高一数学竞赛培训——三角函数(包括答案)

全国高中数学竞赛专题-三角函数三角函数是数学中的一个重要分支，它与三角学和几何学密切相关，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。

在全国高中数学竞赛中，三角函数是一个常见的考点，掌握好相关知识对于获得好的成绩至关重要。

首先，我们来介绍一下三角函数的基本概念。

在直角三角形中，定义了三个基本三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

这些函数的值与直角三角形的各边长之间的关系密切相关，可以通过三角函数表格或计算器查到具体的数值。

接着，我们来讨论一下三角函数的性质和相关公式。

首先是奇偶性。

正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数的奇偶性与正弦函数相同，即tan(-x)=-tan(x)。

其次是周期性。

正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)；正切函数的周期是π，即tan(x+π)=tan(x)。

最后是相关公式。

三角函数之间有一系列的相关公式，如正弦函数和余弦函数之间的勾股定理：sin^2(x) + cos^2(x) = 1；另外还有和差公式、积化和差公式等。

在解题过程中，掌握好三角函数的这些性质和公式，是非常重要的。

很多题目需要在使用相关公式的基础上，灵活运用三角函数的性质，进行合理的转化和变形。

这不仅要求对三角函数的概念有深刻的理解，还需要通过大量的练习和思考，掌握一些解题的技巧和方法。

此外，在解题过程中，还需要掌握一些常见三角函数的特殊值。

例如，sin0=0，sinπ/6=1/2，sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2等。

对于这些特殊值的掌握，有助于简化计算和验证答案。

最后，我们来介绍一些常见的三角函数应用题。

在数学竞赛中，三角函数的应用题常常涉及到几何问题、物理问题以及实际生活中的应用问题。

比如，在几何问题中，可以根据角度和边长给出的条件，计算出未知边长或角度的值。

高一数学三角函数试题答案及解析1.化简 = ;【答案】【解析】【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。

点评：在三角函数的化简与求值时，通常将常数写成角的一个三角函数，再根据有关公式进行变形。

2.若x∈(0，2π)，函数的定义域是A．( ,π］B．( ,π)C．(0,π)D．( ,2π)【答案】A【解析】为使函数有意义须，即，又x∈(0，2π)，所以x∈( ,π］，故选A。

【考点】本题主要考查三角函数的图象和性质。

点评：求三角函数的定义域，应特别注意正切函数本身的定义域。

3.若，试求y＝f(x)的解析式.【答案】y＝【解析】由x＝sinθ＋cosθx2＝1＋2sinθcosθsinθcosθ＝∴y＝f(x)＝sinθcosθ＝【考点】本题主要考查任意角的三角函数、同角公式的应用。

点评：的互求，常常通过平方（开方）实现，这类题属于常考题型。

4.将角α的终边顺时针旋转，则它与单位圆的交点坐标是A．（cosα，sinα）B．（cosα，－sinα）C．（sinα，－cosα）D．（sinα，cosα)【答案】C【解析】α的终边与单位圆的交点坐标为，将角α的终边顺时针旋转，对应角为-，所以它与单位圆的交点坐标是，即（sinα，－cosα），故选C。

【考点】本题主要考查任意角的三角函数、单位圆、诱导公式的应用。

点评：属于常考题型，应用诱导公式转化。

5.使tanx－有意义的x的集合为 .【答案】{x|x∈R且x≠，k∈Z}【解析】为使tanx－有意义，须，即角x终边不能落在坐标轴上，所以x≠，故使tanx－有意义的x的集合为{x|x∈R且x≠，k∈Z}。

【考点】本题主要考查任意角的三角函数定义。

点评：求三角函数的定义域，应特别注意正切函数本身的定义域。

6.已知0°≤θ<360°，θ角的7倍的终边和θ角重合，试求θ角【答案】θ=0°，θ=60°，θ=120°θ=180°，θ=240°，θ=300°【解析】根据终边相同角的关系式7θ=θ+k·360，k∈Z，则θ=k·60°。

【2013黑龙江】化简2sin 44sin ()tan()44αππαα=+-（ ）(A) cos2α(B) sin 2α (C) cos α (D) sin α 答案：B【2013安徽】化简sin12sin 48sin54⋅⋅=（用数字作答） 答案：18【2013浙江】若tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -= 答案：()11cos cos ,cos 62x y x y =-=，23x y k ππ-=± 【2013江苏】设[],0,2x y π∈，且12sin cos sin cos 2x y x y ++=-，则()max x y += 答案：()()2sin 12cos 10x y ++=，[]711,,0,266x y πππ=∈，[]24,,0,233y x πππ=∈()max 1126x y ππ+=+. 【2013全国】在ABC ∆中，sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =，则tan A =答案：()cos sin 10cos 10cos A A B C A -=+=-，tan 11A =. 【2012山西】sin 7.5cos7.5+=答案：()262sin 7.5cos7.51sin1514-+=+=+，462sin 7.5cos 7.52+-+=【2013天津】22cos 75cos 15cos75cos15++⋅=答案：2215cos 75sin 75sin15cos151sin 3024++⋅=+=【2013吉林】()2sin()cos()(0)36f x x x ππωωω=++->的最小正周期为π，则ω=答案：()2sin()sin()3sin()333f x x x x πππωωω=+++=+，2ω=.【2013吉林】()cos()(0)6f x A x A πωω=+>在(0,)8π上是减函数，则max ω=答案：28T ππω=≥，8 【2013山东】4cos cos 2()y x x x R =+∈的值域是答案：[-3,5]【2013湖北】设02x y π<<<，cos 2cos 24cos 4cos P x y x y =--+的取值范围是答案：（-2,0）【2013天津】在ABC ∆中，2sin sin cos 2a A B b A a +=，则ba等于答案：22sin sin (1sin )a a A B b A b =+-=，2 【2013甘肃】在ABC ∆中，2sin sin cos 2a A B b A a +=，则ba等于答案：22sin sin (1sin )a a A B b A b =+-=，2【2013甘肃】在ABC ∆中，222ac c b a +=-，最大边的边长为7，sin 2sin C A =，则ABC ∆最小边的边长为答案：余弦定理得23B π=，正弦定理得2c a =，故最小边为a ， 2221(7)422()2a a a a =+-⋅⋅-，解得1a =.【2012河北】在ABC ∆中，22()ABC S a b c ∆=--，则tan 2A =答案：222(2)ABC S a b bc c ∆=--+2222()22cos bc b c a bc bc A =-+-=-1sin 2bc A =4(1cos )sin A A -=，242sin 2sin cos 222A A A ⨯=，1tan 24A = 【2013湖北】若sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++-，则tan x = 答案：sin cos 20cos sin 202cos cos10x x x +=，同除以cos x 得t a nc o s 20s i n 202c o s (30x +=-，tan 3x = 【2012河北】在ABC ∆中，2sin tan tan ,cos AB C B C+==则 答案：s i n c o s c o s s i n 2s i n B C B C A B +=，2sin cos sin()sin A B B C A =+=，60B =【2012全国】在ABC ∆中，3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB= 答案：3cos cos 5a B b A c -=，cos cos a B b A c +=得：41cos ,cos 55a B cb Ac ==所以tan sin cos cos 4tan sin cos cos A A B a B B B A b A===.【2012福建】函数2()3sin 22cos ,f x x x a =++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值1-，则a = 答案：()2sin(2)16f x x a π=+++，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当7266x ππ+=，min ()111,1f x a a =-++=-=- 【2012江西】锐角,αβ满足()()sin cos sin cos 2ααββ++=，则α= ，β= 答案：sin sin sin cos cos sin cos cos 2αβαβαβαβ+++=()()sin cos 2αβαβ++-=，()sin 1αβ+=，()cos 1αβ-=，2παβ+=，4παβ==.。

高一数学三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，则点位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为角为第二象限角，所以，，即点位于第四象限，故选D.2.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A. B. C. D. A=B=C【答案】B【解析】锐角必小于 ,故选B.3.已知角的终边过点，且，则的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以角的终边在第二，三象限，，从而，即，解得，故选C。

4.若，，则角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质。

由知角可能在第一、四象限；由知角可能在第三、四象限；综上得角的终边在箱四象限故正确答案为5.已知函数相邻两对称轴间的距离为，若将的图像先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数为奇函数.（1）求的解析式，并求的对称中心；（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.【答案】（1），对称中心为：，（2）或.【解析】（1）相邻两对称轴间的距离为半周期,由,可得，按三角函数的平移变换,得表达式,函数为奇函数,得值,且过点得值,求出表达式后由性质可得对称中心；（2）由得的范围,将利用换元法换元,将问题转化为一个一元二次方程根的分布问题,利用判别式得不等式解得取值范围.试题解析：（1）由条件得：，即,则，又为奇函数，令，，，，由，得对称中心为：（2）,又有（1）知：，则，的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令则由原命题得：在上仅有一个实根.令，则需或，解得：或.【考点】1. 性质；2.一元二次方程；3.换元法．6.设函数的最小正周期为，且，则（）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增【答案】A【解析】由得，，又，则，即．当时，，递减，故选A．【考点】函数的解析式，函数的奇偶性，单调性．7.若，且，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】根据且，可得角为第三象限角，故选择C．【考点】三角函数定义．8.已知函数 .（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值及最小值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）取得最大值，取得最小值.【解析】（Ⅰ）先根据两角和余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求单调区间：由解得，最后写出区间形式（Ⅱ）先根据自变量范围确定基本三角函数定义区间：，再根据正弦函数在此区间图像确定最值：当时，取得最小值；当时，取得最大值1.试题解析：（Ⅰ）. ……………………………………3分由，，得，.即的单调递减区间为，.……………………6分（Ⅱ）由得，………………………………8分所以. …………………………………………10分所以当时，取得最小值；当时，取得最大值1. ………………………………13分【考点】三角函数性质【思路点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”。

专题5三角函数部分竞赛题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上)1.如图是五角星，已知AC a =，则五角星外接圆的直径为________(结果用含三角函数的式子表示，必须使用弧度制).2.已知θ为第二象限角，则三角函数()()sin cos cos sin θθ的符号为_______(填写正或负).3.设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+.当0x π≤<时，()0f x =，则236f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝_________.4.如果()2tan sin 5sin cos f x x x x =-，那么()5f ＝___________.5.若角α的终边落在直线0x y +=cos α的值是______.6.函数2log sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_______________________.7.已知(]0,x π∈，关于x 的方程2sin 3x a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________.8.若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是______.9.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为__________.10.将函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为______.11.设函数()()sin f x A x ωϕ=+(A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>).若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为_______.12.△ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为()sin cos ,cos sin A B A C --，则sin cos tan sin cos tan θθθθθθ++的值是_____.13.为得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则m n -的最小值是____________.14.如图所示，函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，0ω>，2πϕ≤)的图象与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足()2,0P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，PM =，则A 的值为_______.二、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题12分)已知()tan 0m m α=≠，求sin α和cos α.16.(本小题12分)(1)设2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数24sin 12sin 1y x x =--的最大值与最小值；(2)求函数3sin 1sin 2x y x +=+的值域.17.(本小题12分)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，1//l l ，l 与半圆相交于F，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E，D 两点．设弧FG 的长为x（0＜x＜π），y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，求函数()y f x =的解析式，并作出大致图像.18.(本小题14分)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期上的简图如图所示，求：(1)函数()f x 的解析式；(2)方程()lg 0f x x -=的实根的个数.19.(本小题14分)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,2x 和()03,2x π+-.(1)求()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，然后再将所得到的图象向x 轴正方向平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，写出()g x 的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象.20.(本小题16分)在一昼夜中，钟表的时针和分针有几次重合？几次形成直角？时针、分针和秒针何时重合？请写出理由.1.cos10a π 2.负 3.124.05.06.()5,612k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭7.)28.38π9.3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.211.π12.1-13.23π14.163315.解：由已知得22sin tan cos sin cos 1m ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩①②，由①得sin cos m αα=，代入②得222cos cos 1m αα+=，解得21cos 1m α=±+.当21cos 1m α=时，21sin cos 1m m αα==；当21cos 1m α=-+时，21sin cos 1m m αα==-+.综上可知，22sin 11cos 1m m αα⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩或22sin 11cos 1m m αα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩.16.解：(1)令sin x μ=，∵2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴1,12μ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22341214102y μμμ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.∵1,12μ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且函数单调递减，∴当12μ=-，即6x π=-时，y 有最大值6；当1μ=，即2x π=时，y 有最小值9-.(2)将3sin 1sin 2x y x +=+整理得，()3sin 1sin 2x y x +=+，∴12sin 3yx y -=-.又∵1sin 1x -≤≤，∴12113y y --≤≤-，即1213yy -≤-.∴2244169y y y y -+≤-+，解得423y -≤≤.∴函数3sin 1sin 2x y x +=+的值域为42,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.17.解：由题图知正三角形的高为1，则边长为233，显然当0x =时，233y =，且函数()y f x =是递增函数，由平行线分线段成比例定理可知，1cos 21x BE AB -=，即1cos 32x BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而BE CD =，所以()2032xy EB BC x π=+=<<.大致图像如下：18.解：(1)显然A＝2，由图象过()0,1点，∴()01f =，即1sin 2ϕ=，∵2πϕ<，∴6πϕ=.由图象结合“五点法”可知，11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对应函数sin y x =图象的点()2,0π，∴112126ππωπ+=,解得2ω=.所以所求的函数的解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)在同一坐标系中作函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭和函数lg y x =的大致图象：∵()f x 的最大值是2，令lg 2x =，得100x =，令()1710012k k Z ππ+<∈，得()30k k Z ≤∈，而113110012ππ+>，∴在区间(]0,100上有31个形如()1117,,0301212k k k Z k ππππ⎡⎤++∈≤≤⎢⎥⎣⎦的区间，在每个区间上两函数的图象都有2个交点，故两函数在11,10012π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2×31＝62个交点，另外在110,12π⎛⎫⎪⎝⎭上还有1个交点，故所给方程共有实根63个.19.解：(1)由已知，易得2A =，()00332T x x ππ=+-=，解得6T π=，∴13ω=.把()0,1代入解析式2sin 3x y ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，得2sin 1ϕ=.又2πϕ<，解得6πϕ=.∴2sin 36x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)压缩后的函数的解析式为2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再平移得()2sin 2sin 366g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.列表：图象：20.[解析]时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度，秒针每分钟走360度，本题为追及问题.(1)一昼夜有24×60＝1440分钟，时针和分针每重合一次间隔时间为36060.5-分钟，所以一昼夜时针与分针重合14402236060.5=-次.(2)假设时针不动，分针转一圈与时针两次成直角，但一昼夜时针转了两圈，则少了4次垂直，于是一共有24×2－4＝44次时针与分针垂直.(3)秒针与分针每重合一次间隔时间为3603606-分，而由于36060.5-与3603606-的最小公倍数为720分钟，即12个小时，所以一昼夜只有0:00与12:00这两个时刻三针重合.答案页1._____________2._____________3.________________4._________________5._____________6._____________7.________________8._________________9._____________10._____________11.________________12._________________13.____________14._____________15.16.17.18.19.20.21.。

高一数学奥赛训练试题——三角函数、选择题：1．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．(,]()4k k k Z πππ-∈ B ．(,]()88k k k Z ππππ-+∈C ．3(,]()88k k k Z ππππ-+∈ D ．3(,]()88k k k Z ππππ++∈2．设角35,6απ=-则222sin()cos()cos()1sin sin()cos ()παπαπααπαπα+--+++--+的值等于（ ）A ．33 B ．－33C ．3D ．－3 3．已知锐角α终边上一点的坐标为（),3cos 2,3sin 2-则α=（ ） A ．3-π B ．3 C ．3－2π D ．2π－3 4．函数[]sin ,,y x x x ππ=+∈-的大致图象是（ ）5．下列函数中同时具有①最小正周期是π；②图象关于点（6π,0）对称这两个性质的是（ ）A. y ＝cos （2x ＋6π） B ．y ＝sin （2x ＋6π） Ｃ．y ＝sin （2x ＋6π） Ｄ．y ＝tan （x ＋6π）6．已知cos (02)y x x π=≤≤的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是（ ）A ．4πB ．2πC ．8D ．47．与正弦曲线x y sin =关于直线34x π=对称的曲线是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin -=D ．x y cos -=8．已知函数)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，9π=x 时取得最大值21，π94=x 时取得最小值－21，则该函数解析式为 （ ）A ．)63sin(2π-=x yB )63sin(21π+=x yC 、)63sin(21π-=x yD ．)63sin(21π-=x y9．.函数)0(tan )(>=w wx x f 的图象的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．-1D ．4π 二、填空题：10．设)cos()sin()(21απαπ+++=x n x m x f ，其中m 、n 、1α、2α都是非零实数，若 (2001)1,f =则(2005)f = . 11．设函数()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，给出以下四个论断：①它的图象关于直线12x π=对称； ②它的图象关于点(,0)3π对称； ③它的周期是π； ④在区间[,0)6π-上是增函数。

全国高中数学竞赛专题-三角函数三角函数是高中数学中的重要内容，也是数学竞赛中常考的考点之一、掌握好三角函数相关的知识，在竞赛中起到事半功倍的效果。

本文将从基本概念、常用公式、性质以及解题方法等几个方面全面介绍三角函数在数学竞赛中的应用。

首先，我们来了解一下基本概念。

在直角三角形中，三角函数是指与一个锐角的对边、邻边和斜边之间的关系。

其中，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）是最常用的三种三角函数。

它们分别表示为sinθ、cosθ和tanθ，其中θ是一个锐角。

在解题时，我们常常需要利用这些基本概念进行推导和计算。

其次，我们要掌握一些常用的三角函数公式。

比如，角的加减关系公式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβtan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)这些公式可以帮助我们更方便地计算复杂的三角函数式子。

此外，还有一些特殊角的值，如0°、30°、45°、60°和90°等。

熟记这些特殊角的三角函数值对于解题时的计算非常重要。

然后，我们要了解一些三角函数的性质。

三角函数的定义域是实数集R，值域是[-1,1]。

另外，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数在一个周期内有无穷多个零点。

最后，我们来谈一谈解题方法。

在解三角函数的题目时，我们首先要根据题目给出的条件建立方程，然后进行简化和变形，最终求解出未知量。

常见的解题方法有两角和差的公式、倍角公式、半角公式和三角恒等式等。

我们在解题时要熟练运用这些公式，灵活选择适合题目情况的公式来求解。

除此之外，我们还可以利用三角函数的图像性质来解题。

通过观察函数图像的变化规律，可以快速找到题目中所求的解。

因此，熟悉和掌握基本的函数图像是十分必要的。

12π3-π3xOy 高一数学竞赛辅导——三角函数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π2．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是（ ）A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是（ ）A ． ]3,0[πB ．]65,3[ππC ．]127,12[ππD ． ],65[ππ5．在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形6．在△ABC 中，8b =，83c =，163ABC S ∆=，则A ∠等于（ ）A 、30B 、60C 、30或150D 、60或1207．函数y ＝－xcosx 的部分图象是 ( )8．在△ABC 中，cos cos cos a b cA B C==，则△ABC 一定是 ( ) A 直角三角形 B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度10．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（]24,0[∈t ）（ ） A ．t y 6sin 312π+= B ．)6sin(312ππ++=t y C ．t y 12sin 312π+=D ． )212sin(312ππ++=t y二、填空题：本大题共5小题，每小题5分5，共25分．把答案填在横线上．11．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ． 12．︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值是 ．13．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是 ．14．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是15．已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若则sinC= .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）已知在ABC ∆中，54sin ,135cos =-=B A . （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）设15=BC ，求ABC ∆的面积．17．(本题满分12分)已知在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.18. （本题满分12分）已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，274sin ()cos 222B C A +-=. (1)求角A 的度数； (2)若3b+c=3，求b 和c 的值.19．（本题满分12分）已知1sin cos ,(0,).5βββπ+=∈ （1）求tan β的值； （2）求21sin 22cos sin 2βββ++的值．20．(本题满分12分）求函数f (x )=121log cos()34x π+的单调递增区间，21．（本题满分15分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（ ） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=【答案】A 【解析】 【详解】由()1sin 3f x x ≥得sin (1cos 01cos 0x x x ），-≥-≥，所以该式不一定成立，sinx 有可能是负数，所以选项A 错误； ()sin sin 2cos x f x x x x =≤≤+.所以选项B 正确；()sin 2cos x f x x=+=sin 0||cos (2)x x ---表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观察得到()f x ≤C 正确； ()()f x f x ππ++-=sin sin 002-cos 2-cos 2-cos x x x x x-+==，所以选项D 正确.故答案为A2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（ ）.A ．2B ．1C ．12+D【答案】B 【解析】 【详解】因为()sin cos sin cos 122sin cosxx x x x y x ⋅-++=+⋅，令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 则()21sin cos 12x x t ⋅=-，于是()()22211112.2121t t t y t t --+==-++- 令()(21t g t t t =+，则()()22211t g t t '-=+. 由()0g t '=知1t =-或1.因为(()()111,1,22g g g g =-=-==()g t 的最小值是()112g -=-，所以y 的最大值是11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为:B3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（ ）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,1--【答案】D 【解析】 【详解】1sin224y x x π⎤⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦..下面的讨论均视k Z ∈. （1）当222k x k πππ≤≤+时，1y =； （2）当32224k x k ππππ+<≤+时，1y =-； （3）当3224k x k ππππ+<<+时，2y =-； （4）当2x k ππ=+或322k ππ+时，1y =-；（5）当3222k x k ππππ+<<+时，2y =-； （6）当372224k x k ππππ+<<+时，2y =-； （7）当72224k x k ππππ+≤<+时，1y =-. 综上，{}2,1,1y ∈--. 故答案为D4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（ ）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【详解】sin cos αα+，所以，p 是q 的充要条件．5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（ ）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【详解】由条件有)sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++=++2sincos sin 22A C A C B +-⇒︒+ 2cos cos cos 22A C A C B +-⎫=︒+⎪⎭2sin cos222A C A C A C ++-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ sin B B =. 利用辅助角公式有2sin cossin 3223A C A C B ππ+-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos 262B A C π-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ 2sin cos 2626B B ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭60602sin cos cos 0222B A C B -︒--︒⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭606060sinsin sin 0244B AC B B A C -︒-+-︒-+-︒⇒︒︒=， 所以，600B ∠-︒=或者600A C B ∠-∠+∠-︒=或者600B A C ∠-∠+∠-︒=, 即60B ∠=︒或者60C ∠=︒或者60A ∠=︒,亦即A B C ∠∠∠、、中有一个为60︒.若60B ∠<︒,则60A B ∠≤∠<︒，所以，只能60C ∠=︒，此时，180A B C ∠+∠+∠<︒,矛盾； 若60B ∠>︒，则60C B ∠≥∠>︒,所以，只能60A ∠=︒，从而，180A B C ∠+∠+∠>︒，亦矛盾. 选C. 二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．【答案】3- 【解析】 【详解】 根据π3x y =-，π3z y =+，则tan x =tan z =所以tan tan x y tan tan y z 22tan 3tan tan 13tan y z x y -=-． 则229tan 3tan tan tan tan tan tan 313tan y x y y z z x y-++==--． 故答案为-37．（2018·广东·高三竞赛）已知△ABC 的三个角A 、B 、C 成等差数列，对应的三边为a 、b 、c ，且a 、c成等比数列，则2:ABC S a ∆=___________.【解析】 【详解】因为A 、B 、C 成等差数列，2B A C =+，3180B A B C =++=︒，因此60B =︒.又因为a 、c成等比数列，所以c qa =，b =由正弦定理()sin sin 120a qa A A ==︒-，整理得22sin A q =221A q q=-，()()232235420q q q q ⎡⎤-+++-=⎣⎦. 所以2q =，1sin 2A =，30A =︒，90C =︒.故212ABC S ab ∆==，所以2:ABC S a ∆=8．（2019·全国·高三竞赛）设锐角α、β满足αβ≠，且()()22cos cos 1tan tan 2αβαβ++⋅=，则αβ+=__________． 【答案】90 【解析】 【详解】由已知等式得()()()()22222tan tan 1tan tan 21tan 1tan αβαβαβ+++⋅=++，()()2tan tan tan tan 10αβαβ-⋅-=.但锐角αβ≠，故tan tan 10αβ⋅-=()cos 090αβαβ⇒+=⇒+=︒.故答案为909．（2021·全国·高三竞赛）函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为____________．【答案】2π 【解析】 【详解】解析：当=2,x k k Z π∈时，sin 1tan tan 02x y x x ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，当2,x k k Z π≠∈时，sin 1cos sin 1tan cos sin x x y x x x x -⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，其中2x k ππ≠+且2x k ππ≠+，画出图象可得函数周期为2π．故答案为：2π.10．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设()()πcos 2243x f x x x =++为定义在R 上的函数．若正整数n 满足()12021nk f k ==∏，则n 的所有可能值之和为______．【答案】12121 【解析】 【详解】()cos cos cos 2222()41(1)(3)xxxf k k k k k πππ=++=++,111()(11)(13)(21)(23)nk f k --==++++⨯∏00(431)(433)m m ⨯-+-+11(421)(423)m m --⨯-+-+0011(411)(413)(41)(43)m m m m ⨯-+-+++,考虑cos2x π的周期为4,分四种情况考虑(1)当43k m =-(m 为正整数)时,4311111001()(21)(23)(41)(43)(443)(431)(433)m k f k m m m ---==++++⨯-+-+-+∏13(41)2021m -=⨯-=,所以416063,436061m n m -==-=;(2)当42k m =-时，42111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(3)当41k m =-时，41111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(4)当4k m =时，41111()3(43)2021m k f k m --==⨯+=∏,此时46060n m ==，综上,6060n =或6061n =, 故答案为：12121.11．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，1155,tantantan222AC AC B =+-=，则+BC AB 的值为__________． 【答案】7 【解析】 【详解】解析：记ABC 中A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ， 如图，设内切圆的半径为r ，则tan22A r b c a =+-，tan 22C r a b c =+-，tan 22B r a c b =+-，故5()b c a a b c a c b +-++-=+-，故()57a c b +=， 即7a c +=， 故答案为：712．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足2sin sin 2sin A B C +=，则59sin sin A C+的最小值是_______． 【答案】16 【解析】【详解】解析：2sin sin 2sin sin 2(sin sin )A B C B C A +=⇒=-2sincos 4sin cos 2222A C A C C A A C ++-+⇒⋅=⋅sin 2sin tan 3tan 2222A C C A C A+-⇒=⇒=． 令tan 2A t =，则222259595527326sin sin 22191t t t t A C t t t t +++=+=+++216416t t +=≥=．当113,tan ,tan 22222A C t ===时，tan02A C+>，所以180A C +<︒， 故min5916sin sin A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 故答案为：1613．（2020·浙江·高三竞赛）已知,,0,2παβγ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos 2cos cos cos()2cos()αβγαγβγ++-+-+的最大值为___________.【答案】【解析】 【详解】()cos cos 2sin sin 2sin 222γγγααγα⎛⎫-+=+≤ ⎪⎝⎭，同理()cos cos 2sin2γββγ-+≤，故cos 2cos cos cos()6sin22cos()cos αβγαγβγγγ++-+-++≤，而22cos 2sin 3116sin 6sin 12sin 222222γγγγγ⎛⎫+++=--+ -⎪=⎝⎭，因为0sin 2γ≤≤23112sin 222γ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭当且仅当,24ππγαβ===时，各等号成立，故答案为：14．（2021·全国·高三竞赛）已知三角形ABC 的三个边长a b c 、、成等比数列，并且满足a b c ≥≥.则A ∠的取值范围为___________.【答案】2[,)33ππ【解析】 【详解】由条件2b ac =，结合余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，则有11cos (1)22a c B c a =+-≥，从而(0,]3B π∈，而A 是最大角，从而2,33A ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 15．（2021·全国·高三竞赛）设02πθ<<，且333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++，则实数m 的取值范是___________.【答案】14⎫⎪⎣⎭ 【解析】 【详解】解析：333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++ ()223(cos sin )cos cos sin sin 1(cos sin 1)θθθθθθθθ+-++=++.令cos sin x θθ=+，则4x πθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 2x θθ-=， 于是2323321112232231(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2x x x x x x x m x x x x x ⎛⎫--+ ⎪+-+--⎝⎭=====-+++++， 为然m是上的减函数，所以()(1)f f m f ≤<，即14m ⎫∈⎪⎣⎭.故答案为：41,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 16．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，30B C ∠=∠=︒，2AB =.若动点P ，Q 分别在AB ，BC 边上，且直线PQ 把ABC 的面积等分，则线段PQ 的取值范围为______.【答案】 【解析】 【分析】【详解】如图所示，设,BP x BQ y ==,所以113sin 30222BPQBBCSxy S ︒===,所以23xy =由余弦定理可得,2222222312266PQ x y xy x y x x=+-=+-=+-, 易得[1,2]x ∈,所以2[1,4]x ∈, 所以2367PQ ≤≤,则PQ 的取值范围为[436,7]-. 故答案为：[436,7]-.17．（2021·浙江·高三竞赛）若π3,π44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则函数4sin cos 3sin cos x x y x x +=+的最小值为______.【答案】22【解析】 【分析】 【详解】令(sin cos 224t x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭， ()22213211222t t y t tt t-++===+≥当且仅当12t t =即2t =.故答案为：2218．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角PQR 的三个顶点分别在等腰直角ABC 的三条边上，记PQR 、ABC 的面积分别为PQR S、ABCS，则PQR ABCS S的最小值为__________．【答案】15【解析】 【分析】 【详解】（1）当PQR 的直角顶点在ABC 的斜边上，如图1所示，则P ，C 、Q ，R 四点共圆，180APR CQR BQR ∠=∠=︒-∠，所以sin sin APR BQR ∠=∠．在APR △、BQR 中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==∠∠． 又45,A B PR QR ∠=∠=︒=，故AR BR =，即R 为AB 的中点． 过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=， 所以22221124PQR ABCBC SPR SBC BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=≥=，此时PQR ABCS S 的最小值为14．（2）当PQR 的直角顶点在ABC 的直角边上，如图2所示．设1,(01),02BC CR x x BRQ παα⎛⎫==≤≤∠=<< ⎪⎝⎭，则90CPR PRC BRQ α∠=︒-∠=∠=． 在Rt CPR 中，sin sin CR xPR αα==，在BRQ 中， 31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=-， 由正弦定理，11sin 3sin sin sin cos 2sin sin sin 44x RQ RB x x B RQB απαααπα-=⇔=⇔=∠+⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此222111122sin 2cos 2sin PQRx SPR ααα⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 这样，()()2222111cos 2sin 512cos sin PQR ABCS Sαααα⎛⎫=≥= ⎪+++⎝⎭，当且仅当arctan 2α=时取等号，此时PQR ABCS S的最小值为15．故答案为：15.19．（2021·全国·高三竞赛）满足方程223cos cos 22cos cos2cos4,[0,2]4x x x x x x π+-=∈的实数x 构成的集合的元素个数为________． 【答案】14 【解析】 【分析】 【详解】将方程变形为，1cos2cos44cos cos2cos42x x x x x +-=-．两边同乘2sin x ，运用积化和差和正弦的倍角公式，得：(sin3sin )(sin5sin3)sin8sin x x x x x x -+--=-，即sin5sin8x x =，故58(21),x x k k π+=+∈Z 或852,x x k k π=+∈Z ， 即21,13k x k π+=∈Z 或2,3k x k π=∈Z ． 又因为在方程两边同时乘sin x 时，所以引入了增根,x k k π=∈Z （代入原方程检验可得）． 再结合[0,2]xπ，得所求结果为14．故答案为：14.20．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若2b c a +-=，则2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +-值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +- 2211(1cos )(1cos )12(cos cos cos 1)22b Cc B bc A B C =-+--++- 22(2)(cos cos 1114)(cos cos 22)b c bc b C b c B c c B b C =++-+-+221(2cos )4b c bc A ++-22221111(2)()142242b c a b c bc ba ca a +-=++--+==． 故答案为：1.21．（2021·全国·高三竞赛）ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 是ABC 的外心，点P 满足OP OA OB OC =++，若3B π=，且4BP BC ⋅=，则ABC 的面积为_________．【答案】【解析】 【分析】 【详解】由OP OA OB OC =++，得OP OA OB OC -=+，即AP OB OC =+． 注意到()OB OC BC +⊥，所以AP BC ⊥． 同理，BP AC ⊥，所以P 是ABC 的垂心， ()BP BC BA AP BC BA BC ⋅=+⋅=⋅，所以cos 4ac B =，8ac =，所以1sin 2ABC S ac B ==△故答案为：22．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，并且sin cos sin A B C 、、成等比数列，cos sin cos A B C 、、成等差数列，则B 为____________. 【答案】23π【解析】 【分析】 【详解】依题意，2sin sin cos ,cos cos 2sin A C B A C B =+=， 前一式积化和差可得2cos()2cos cos A C B B -=-，后一式和差化积可得cos2cos 22A C B-=， 所以22cos()2cos18cos 14cos 322A CB AC B --=-=-=+，联立两式得1cos 2B =-或3（舍去），所以23B π=. 故答案为：23π. 23．（2021·全国·高三竞赛）如果三个正实数x y 、、z 满足2225x xy y ++=，22144y yz z ++=，22169z zx x ++=，则xy yz zx ++=_________.【答案】【解析】 【分析】 【详解】易知三个等式可化为2222222222cos1205,2cos12012,2cos12013.x y xy y z yz z x zx ⎧+-︒=⎪+-︒=⎨⎪+-︒=⎩构造Rt ABC ，其中13,5,12AB BC CA ===.设P 为ABC 内一点，使得,,,120PB x PC y PA z BPC CPA APB ===∠=∠=∠=︒. 因BPCCPAAPBABCSSSS++=，则11()sin12051222xy yz zx ++︒=⨯⨯，所以xy yz zx ++=故答案为：24．（2021·全国·高三竞赛）设()cos ()cos 30xf x x =︒-，则()()()1260f f f ︒+︒++︒=_________．【解析】 【分析】 【详解】 因为()cos ()cos 30xf x x =︒-，所以：()()()()cos 60cos ()60cos 30cos 30x xf x f x x x ︒-+︒-=+︒--︒()()()()cos cos 602cos30cos 30cos 30cos 30x x x x x +︒-︒-︒===-︒-︒令：()()()1259s f f f =︒+︒++︒，① ()()()()595821s f f f f =︒+︒++︒+︒，②①+②得：：()()()()()()2159258591s f f f f f f =︒+︒+︒+︒++︒+︒=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以s =()()()59312592f f f +++=．又()()1cos6060cos 3060f ︒︒==︒=︒-，则()()()()125960f f f f ︒+︒++︒+︒==． 25．（2021·全国·高三竞赛）已知cos cos 1x y +=，则sin sin xy -的取值范围是________. 【答案】⎡⎣【解析】 【分析】 【详解】设sin sin x y t -=，易得2cos in sin 1cos s 2y x y t x --=，即21cos()2t x y -+=. 由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21112t --≤≤，解得t≤故答案为：⎡⎣.26．（2020·全国·高三竞赛）在ABC中，6,4AB BC ==，边AC 66sin cos 22A A+的值为_______． 【答案】211256． 【解析】【分析】由中线长公式计算出AC 的长度，然后运用余弦定理计算出cos A 的值，化简后即可求出结果. 【详解】记M 为AC 的中点，由中线长公式得()222242BM AC AB BC +=+，可8AC ==．由余弦定理得2222228647cos 22868CA AB BC A CA AB +-+-===⋅⋅⋅，所以66224224sin cos sin cos sin sin cos cos 22222222A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos 3sin cos 2222A A A A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭231sin 4A =-213211cos 44256A =+=． 故答案为：211256【点睛】关键点点睛：解答本题关键是能够熟练运用中线长公式、余弦定理、倍角公式等进行计算，考查综合能力.27．（2019·江苏·高三竞赛）已知函数()4sin 23cos 22sin 4cos f x x x a x a x =+++的最小值为－6，则实数a 的值为________ .【答案】【解析】 【详解】令sin 2cos x x t +=，则[t ∈， ∴224sin 23cos 25t x x =++，∴2()()225,[f x g t t at t ==+-∈，当2a-≤a ≥函数的最小值为：(((22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =当2a-a ≤-函数的最小值为：22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =，不合题意，舍去；当2a-<a -< 函数的最小值为：22256222a a a g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：a =.故答案为：28．（2019·福建·高三竞赛）在△ABC中，若AC =AB =25tan 12π=，则BC =____________ .【解析】 【详解】5tan 12π=，得2sin 56tan 122cos 6A A πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即5tan tan 612A ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5,612A k k πππ+=+∈Z . 结合0A π<<，得5,6124A A πππ+==. 所以由余弦定理，得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅⋅22222cos4π=+-⋅2=所以BC29．（2018·全国·高三竞赛）设 A B C ∠∠∠、、是ABC 的三个内角.若sin ,A a =cos B b =,其中,a ＞0,0b >,且221a b +≤,则tan C =______.【解析】 【详解】因为cos 0B b =>,所以,B ∠为锐角,sin B又221a b +≤,则sin sin A a B =≤. 于是()sin sin A B π-≤. 若A ∠为钝角,则A π-∠为锐角.又B ∠为锐角,则A B A B ππ-∠≤∠⇒∠+∠≥矛盾.从而,A ∠为锐角,且cos A .故sin tan cos A A A ==sin tan cos B B B ==则tan tan tan tan tan 1A B C A B +==⋅-30．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠的对边．若4cos a b C b a +=，()1cos 6A B -=，则cos C ______． 【答案】23【解析】 【详解】由题设及余弦定理知222222422a b a b c a b c b a ab+-+=⋅⇒+=()()2221cos21cos22sin sin sin 1cos cos 22A BC A B A B A B --⇒=+=+=-+⋅-()2111cos 1cos 21cos 66C C C =+⇒+=-2cos 3C ⇒=或34-． 而()3cos cos 2sin sin 0cos 4C A B A B C ++=⋅>⇒=-（舍去）．因此，2cos 3C =． 31．（2018·全国·高三竞赛）若对任意的ABC ∆，只要()+p q r p q R 、+=∈，就有222sin sin sin p A q B pq C +>，则正数r 的取值范围是______.【答案】01r <≤ 【解析】 【详解】设的三边长分别为a 、b 、c . 则222sin sin sin p A q B pq C +>①22211a b c q p⇔+>. 若1r ≤，则()22221111a b q p a b q p qp ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭ ()22a b c ≥+>；若1r >，令2rp q ==. 当a b =，C π∠→时，2221 22a b rc +→<，式①不成立.综上，01r <≤.32．（2018·全国·高三竞赛）在锐角ABC ∆中，cos cos sin sin A B A B +--的取值范围是______. 【答案】()2,0- 【解析】 【详解】由02A B C π<∠∠∠<、、 22A B AB πππ⇒<∠+∠⇒∠-∠，2B A π∠>-∠.则0cos sin 1A B <<<，0cos sin 1B A <<<故2cos cos sin sin 0A B A B -<+--<. 所以取值范围是()2,0-.33．（2019·全国·高三竞赛）已知单位圆221x y +=上三个点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y满足1231230x x x y y y ++=++= .则222222123123x x x y y y ++=++=__________.【答案】32【解析】 【详解】设1cos x α=，2cos x β=，3cos x γ=，1sin y α=，2sin y β= 3sin y γ=. 由题设知ABC ∆的外心、重心、垂心重合，其为正三角形.故()222313cos cos cos cos2cos2cos2222αβγαβγ++=+++=， ()222313sin sin sin cos2cos2cos2222αβγαβγ++=-++=. 故答案为3234．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，2cos 3cos 6cos A B C +=，则cos C 的最大值为_______________．【解析】 【分析】 【详解】令cos ,cos ,cos A x B y C z ===，则236x y z +=，即223y z x =-． 因为222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=， 所以22222212233x z x z x z x z ⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得222134********z x z z x z ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2228134Δ44510393z z z z ⎛⎫⎛⎫=----≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2413(1)(1)4039z z z z ⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭， 于是24134039z z +-≤，得z ≤ 所以cos C．16. 35．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数n p 、，且2p ≥，设正实数12,,,n m m m 满足1111npi im ==+∑，则12n m m m 的最小值为_______．【答案】(1)mp n - 【解析】 【分析】【详解】令2tan ,0,,1,2,,2p i i i m x x i n π⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭．由题设可得22212cos cos cos 1n x x x +++=，于是：2222121cos cos cos sin n n x x x x -+++=，222221221cos cos cos cos sin n n n x x x x x --++++=，……2222231cos cos cos sin n x x x x +++=，将上述各式利用均值不等式得：2221(1)cos sin n n n x x --≤， 22221(1)cos sin n n n x x ---≤，……2231(1)cos sin n n x x -≤，再把上述n 个不等式相乘，得()2222221212(1)cos cos cos sin sin sin n n n n x x x x x x -≤，即22212tan tan tan (1)n n x x x n ≥-．由于2tan ,1,2,,p i i m x i n ==，故12(1)n pn m mm n ≥-，当且仅当1(1)p i m n =-时上式等号成立．故答案为：(1)mp n -.36．（2021·全国·高三竞赛）设锐角ABC 的三个内角、、A B C ，满足sin sin sin A B C =⋅，则tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值为_______．【答案】163【解析】 【分析】 【详解】由题设可知，0,,2A B C π<<，则cos 0,cos 0B C >>．又由A B C π++=及sin sin sin A B C =⋅ 得()()sin sin sin B C B C π-+=⋅， 即()sin sin sin B C B C +=⋅，则sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=⋅， ① 由cos 0,cos 0B C >>，①式两边同时除以cos cos B C ⋅， 可得tan tan tan tan B C B C +=⋅． 设tan tan B C s +=，则tan tan B C s ⋅=， 由0,2B C π<<知，tan 0,tan 0B C >>，则0s >． 于是有()tan tan B s B s ⋅-=，故2tan tan 0B s B s -+=，从而有22(tan )(4)244s s sB s s -=-=-．又2(tan )02s B -≥，得(4)04s s -≥，而0s >．所以4s ≥．故4s ≥．tan tan tan tan(())tan tan A B C B C B C π⋅⋅=-+⋅⋅2tan tan tan tan 1tan tan 1B C s B C B C s +=-⋅⋅=-⋅-． 因为4s ≥，于是求tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值转化为求函数2()(4)1x f x x x =≥-的最小值．考虑函数221()(4),()(1)2(4)111x x f x x f x x x x x x =≥==-++≥---，即()f x 在[)4,+∞上单调递增，从而()()4,4x f x f ≥≥． 因此()f x 的最小值在4x =时取得，为2416(4)413f ==-． 由tan tan tan tan 4B C B C +=⋅=得，tan tan 2B C ==，从而4tan 3A =， 故当4tan 3A =，tan tan 2BC ==时，tan tan tan A B C ⋅⋅取得最小值163． 故答案为：163. 37．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B CA B+⋅=____________ .【答案】12 【解析】 【详解】设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .由0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=，知G 为△ABC 的重心. 又GA ⊥GB ，所以22222222211221122GA GB c GA GB a GB GA b ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩.得到2225a b c +=.故：(tan tan )tan (sin cos cos sin )sin tan tan sin sin cos A B C A B A B C A B A B C++=⋅2sin sin sin cos C A B C =()22222abc ab a b c =+-2222212c a b c ==+-. 故答案为：12．38．（2019·江西·高三竞赛）△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A =3B =9C ，则cos cos A B +cos cos cos cos B C C A +=____________ .【答案】14-【解析】 【详解】设,3,9C B A θθθ===，由39θθθπ++=得13πθ=，所以cos cos cos cos cos cos S A B B C C A =++9339coscos cos cos cos cos 131313131313ππππππ=++112642108cos cos cos cos cos cos 2131313131313ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 注意括号中的诸角度构成公差为213π的等差数列，两边同乘4sin 13π，得到 246810124sin2sincos cos cos cos cos cos 1313131313131313S ππππππππ⎛⎫⋅=+++++⎪⎝⎭35375sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭971191311sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin13π=-.所以，14S =-.故答案为：14-．三、解答题39．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，三内角A 、B 、C 满足tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，求cos C 的最小值．【答案】23【解析】 【分析】 【详解】由tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，得： sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B B C C AA B B C C A =+sin (sin cos sin cos )cos cos cos C B A A B A B C +=sin sin()cos cos cos C A B A B C+=2sin cos cos cos C A B C=， 所以2sin sin cos sin A B C C =．由正余弦定理，得22222a b c abc ab+-=， 所以2222222sin 223,cos sin sin 333C c a b ab a b c C A B ab ab ab ++====≥=， 当且仅当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为23．40．（2021·全国·高三竞赛）解关于实数x 的方程：{}202020201arctan k x x k==∑（这里{}[][],x x x x =-为不超过实数x 的最大整数） 【答案】{}0 【解析】 【分析】 【详解】（1）当0x <时，{}202020201arctan 0(1,2,,2020),arctan 0k x x k x k k =<=<≤⋅⋅⋅∑，此时原方程无解．（2）当0x =时，有{}202020001arctan0k x x k===∑． （3）当01x <<时，令arct ()1)2an (0x xf x x =-<<，则211()0(01)12f x x x '=-><<+， 故()f x 在()0,1上递增．有()()00f x f >=，即arctan 2x x > 于是，此时{}202020204202020201111125arctan 2224k k k x x x xx x x k k k =====>>=>∑∑∑，即1x >，矛盾．故无解．（4）当1≥x 时，注意到111123tan(arctan arctan )112316++==-， 且由110arctan arctan arctan1arctan1232π<+<+=，知11arctan arctan 234+=π．则{}20202020202011111arctan arctan arctan1arctan arctan 1232k k x x k k π===≥>++=>∑∑，与{}202001x <<，矛盾．故此时无解．由（1）（2）（3）（4），知原方程的解集为{}0．41．（2021·全国·高三竞赛）已知点(2cos ,sin ),(2cos ,sin ),(2cos ,sin )A B C ααββγγ，其中,,[0,2)αβγπ∈，且坐标原点O 恰好为ABC 的重心，判断ABCS是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】三角形ABC【解析】 【分析】 【详解】先证明一个引理：若()()1122,,,,(0,0)A x y B x y C ，则122112ABCS x y x y =-． 因为()()1122,,,CA x y CB x y ==， 所以21cosCA CB C CA CBx⋅==⨯所以sin C ==所以：1sin 2ABCSCACB C =⋅⋅ 12211122x y x y ==-回到原题，连结OA 、OB 、OC ，则： ABCOABOBCOACSSSS=++112cos sin 2sin cos 2cos sin 2sin cos 22αβαββγβγ=-+- 12cos sin 2sin cos 2αγαγ+- sin()sin()sin()αββγαγ=-+-+-．由三角形的重心为原点得sin sin sin 0,2cos 2cos 2cos 0.αβγαβγ++=⎧⎨++=⎩即sin sin sin ,cos cos cos .αβγαβγ+=-⎧⎨+=-⎩ 所以两式平方相加可得1cos()2αβ-=-，所以sin()αβ-=，同理sin()sin()βγαγ-=-=， 所以sin()sin()sin()3ABCSαββγαγ=-+-+-==故三角形ABC 42．（2019·上海·高三竞赛）已知,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin sin A B =()sin A B +，求tanA 的最大值.【答案】43【解析】 【详解】由题设等式可得sin sin (sin cos cos sin )A B A B A B =+， 所以tan sin (tan cos sin )A B A B B =+. 令tan t A =，则2sin cos sin t t B B B =+，于是2sin 21cos2t t B B =+-，21)t B θ--， 这里θ是锐角，sin θ=.所以2|21|1t t -+，注意到t >0，可得43t. 当413arctan ,arcsin 3225A B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，题设等式成立.所以，tanA 的最大值为43.43．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，证明：coscos cos cos cos cos 222222cos cos cos 222B C C A A BA B C ⋅⋅⋅++≥ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.【答案】见解析 【解析】 【详解】如图，对ABC ∆，作其相伴111A B C ∆. 则11cos 2B E B B O =，111cos 2C G C A C =，111cos 2C G A B C =. 故11111111111111coscos 22cos2B E C G B C B O A C B E B C A C G B O A C B C ⋅⋅⋅==⋅. 由O 、E 、1C 、F 四点共圆得11111B E B C B O B F ⋅=⋅则111cos cos 22cos 2B C B F A AC ⋅=.类似地，111coscos 22cos 2B C C G A A B ⋅=，111cos cos 22cos2B C A E A B C ⋅= 记111A B C ∆的三边111111B C C A A B 、、分别为111a b c 、、，相应边上的高111A E B F C G 、、分别为123h h h 、、，且其面积为S 、则312222222111111111cos cos 222111222cos2B C h h h S S S S A a b c a b c a b c ⋅⎛⎫∑=++=++=++ ⎪⎝⎭.其中，“∑”表示轮换对称和.由熟知的不等式222111111334a b c S++≥，得coscos 33222cos 2B CA ⋅∑≥. 当且仅当ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.44．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC 中，若cos cos 2sin sin A BB A+=，证明:∠A ＋∠B ＝90° 【答案】见解析 【解析】 【详解】由sin cos sinB sin sin sin sinB 0A A cosB A B A ⇒⋅+⋅-⋅-⋅=()()sin cos sin sinB cosB sinA 0A A B ⇒-+-=()()sinA sin 90sinB sinB sin 90sinA 0A B ⎡⎤⎡⎤⇒︒--+︒--=⎣⎦⎣⎦909090902sinA cossin 2sin cos sin 2222A B A B B A B AB ︒-+︒--︒-+︒--⇒⋅⋅+⋅⋅ 902sin sin cos 45?sin cos 450222A B A B A B A B ⎡⎤︒----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒⋅︒-+⋅︒+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=0902A B ︒--⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()()90cos sin sin sin sin sin 0222A B A B A B A B A B ︒----⎛⎫⎡⎤⇒++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222cos sin 2sin cos 02222A B A B A B A B -+-+⋅+⋅>sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 90sin 02A B ︒--⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭ 90A B ⇒∠+∠=︒()10A a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，. 45．（2018·全国·高三竞赛）已知ABC 的三个内角满足2A C B ∠+∠=∠,cos cos A C +=cos 2A C -的值.【解析】 【详解】由题设知60,B ∠= 120A C ∠+∠=︒. 设2A Cα∠-∠=,则2A C α∠-∠=,于是,60,60A C αα∠=+∠=-. 故()()cos cos cos 60cos 602cos60cos cos A C αααα+=++-=⋅=.()()()260cos 6032cos2cos120cos cos604αααα+⋅-⎫==+︒=-⎪⎭.故223cos cos 2cos 04αααα⎫=--⇒+-=⎪⎭()(32cos 0αα⇒+=.若3cos 1αα+⇒=<-舍，从而,2cos 0cos αα=⇒=. 46．（2018·全国·高三竞赛）已知函数()()()3333sin cos sin cos f x x x m x x =+++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有最大值2.求实数m 的值.【答案】1m =- 【解析】 【详解】注意到，()()233sin cos sin cos sin cos 3sin cos x x x x x x x x ⎡⎤+=++-⋅⎣⎦()()()223sin cos sin cos sin cos 12x x x x x x ⎧⎫⎡⎤=++-+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭.令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭. 则()()()223333931222f x t t t mt m t t g t ⎡⎤⎛⎫=--+=-+∆ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.由()233322g t m t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，有以下两种情形.（1）32m ≥. 由()0g t '>，知()max 92322g t g m ⎫==-+=⎪⎭ 230m ⇒-<，矛盾.（2）32m <. 若32132m -<-，即0m <时，()()max 1321g t g m m ==+=⇒=-；若32132m -≤≤-3012m ⎛≤≤ ⎝⎭时， ()max271523248g t g m m ==⇒=-⇒=-，矛盾；若3232m ->-33122m ⎛<< ⎝⎭时，()max 3 222g t g m ⎫==+=⎪⎭34m ⇒=-. 综上，1m =-.47．（2019·全国·高三竞赛）求(),f xy =【答案】42 【解析】 【详解】注意到，2cos472cos 26x x +=+ ()2222cos 16x =-+ ()428cos cos 1x x =-+，同理，()42cos478cos cos 1y y y +=-+，而22cos4cos48sin sin 6x y x y +-⋅+ ()()22cos47cos478sin sin 8x x x y =+++-⋅-()428cos cos 1x x =-++ ()428cos cos 1y y -+- ()()2281cos 1cos 8x y ---()44228cos cos 8cos cos x y x y =+-⋅，()()42424422,8cos cos 1cos cos 1cos cos cos cos f x y x x y y x y x y =-++-+++-⋅，如图，作边长为1的正SAB ∆、SBC ∆、SCD ∆，在SB 、SC 上分别取点X 、Y 使得2cos SX x =，2cos SY y =，联结AX 、AY ，则(),f x y ()8AX XY YD =++，其最小值就是线段ASD 的长度，即当2x y π==时，min 2842f ==.48．（2021·全国·高三竞赛）求证：对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】由于1111tan arctan 1412111n n n n n π-⎛⎫+-== ⎪++⎝⎭+⨯+，只需证： 2111arctan arctan arctanarctan 3712nn n n +++=+++．设*(),2nf n n n =∈+N ，注意到：21()(1)12111()(1)1121n n f n f n n n n n f n f n n n n n ----++==-+-+++⋅++，即21tan[arctan ()arctan (1)]tan arctan 1f n f n n n ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭， 又由于()f n 、(1)f n -、211n n ++均大于0，则21[arctan ()arctan (1)],,arctan 0,2212f n f n n n πππ⎛⎫⎛⎫--∈-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 从而21arctanarctan ()arctan (1)1f n f n n n =--++． 所以2111arctan arctan arctan371n n +++=++arctan ()arctan (0)arctan 2nf n f n -=+，所以对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．49．（2021·全国·高三竞赛）设αβγ、、是锐角，满足αβγ+=，求证：cos cos cos 1αβγ++-≥【答案】证明见解析 【解析】 【详解】2cos cos cos 12coscos2sin 222αβαβγαβγ+-++-=⋅- 2cos cos sin sin 2222γαβγαβ-+⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭.由于0,224αβγπ+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以cos cos cos sin 2222αβαβγγ-+>=>. 由恒等式()()222222()()ac bd ad bc a b c d ---=--可知，如果0a b >>且0c d >>，则ac bd -≥cos cossinsin2222γαβγαβ-+⋅≥-⋅===所以cos cos cos 1αβγ++-≥50．（2019·河南·高二竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C ---.【答案】证明见解析 【解析】 【详解】 原不等式等价于cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C---.在三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=， cos()sin sin cos cos cos sin sin cos cos B C B C B C A B C B C -+=-tan tan 1tan tan 1B C B C +=-tan (tan tan 1)tan tan A B C B C +=+2tan tan tan tan tan A B CB C++=+.令tan tan tan tan tan tan A B xB C y C A z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则原不等式等价于()()()8z x y z x y yxz +++. 而上式左边228zx yxz⋅=，故原不等式得证【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（ ） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（ ）.A ．2B ．1C ．12+D3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（ ）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,1--4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（ ）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（ ）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．。

高中数学竞赛与强基计划试题专题：三角函数一、单选题1．（2021·北京·高三强基计划）已知O 为ABC 的外心，,AB AC 与OBC △的外接圆分别交于点D ，E ．若DE OA =，则OBC ∠=（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．以上答案都不对2．（2020·北京·高三强基计划）设等边ABC 的边长为1，过点C 作以AB 为直径的圆的切线交AB 的延长线于点D ，AD BD >，则BCD △的面积为（）ABCD ．前三个答案都不对3．（2020·北京·高三强基计划）（）AB．CD ．前三个答案都不对4．（2020·北京·高三校考强基计划）使得sin115cos1n >+成立的最小正整数n 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．65．（2020·北京·高三校考强基计划）在ABC中，90,1,A AB AC ∠=︒==点P 满足0||||||PA PB PCPA PB PC ++=，则（）A ．120APC ∠=︒B ．120APB ∠=︒C ．||2||PB PA =D ．||2||PC PB = 6．（2020·北京·高三校考强基计划）设,αβ为锐角，且sin cos()sin ααββ+=，则tan α的最大值为（）本号资*料全部来源于微信公众号：数学第六感A．4BC ．1D7．（2020·北京·高三校考强基计划）212lim arctan nn k k →∞==∑（）A ．3π4B ．πC ．5π4D ．3π28．（2020·北京·高三校考强基计划）sin arctan1⎛+= ⎝⎭（）A ．1BCD ．22二、多选题9．（2020·北京·高三校考强基计划）设ABC 的三边长a ，b ，c 都是整数，面积是有理数，则a 的值可以为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中123∠∠∠==），得到四个小正方形,,,A B C D ，记它们的面积分别为,,,A B C D S S S S ，则以下结论正确的是（）A ．A DBC S S S S +=+B ．AD B C S S S S ⋅=⋅C ．2A D B S S S + D ．2D A CS S S +<11．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若{3cos (sin 1)0a cb Cc b C +=+-=），则（）A ．3B π=B ．4B π=C ．ABC 3316D ．ABC 332三、填空题12．（2021·北京·高三强基计划）在锐角ABC 中，tan tan 2tan tan 3tan tan A B B C C A ++的最小值是_________．13．（2022·江苏南京·高三强基计划）设0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数2sin cos y x x =的最大值为___________.14．（2022·江苏南京·高三强基计划）在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知2cos cos sin sin sin a C b A a A B c A -=-，则tan A 的值为___________.15．（2022·江苏南京·高三强基计划）函数4153y x x =--___________.16．（2021·全国·高三竞赛）设02πθ<<，且333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++，则实数m 的取值范围是___________.17．（2020·浙江·高三竞赛）已知,,0,2παβγ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos 2cos cos cos()2cos()αβγαγβγ++-+-+的最大值为___________.18．（2021·全国·高三竞赛）函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为____________．19．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足2sin sin 2sin A B C +=，则59sin sin A C+的最小值是_______．20．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，1155,tantantan222AC A C B =+-=，则+BC AB 的值为__________．21．（2021·浙江·高三竞赛）若π3,π44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则函数4sin cos 3sin cos x x y x x +=+的最小值为______.22．（2022·福建·高二统考竞赛）已知α，β，()0,γπ∈，且，则cos cos sin 2αβγ++的最大值为___________.23．（2022·浙江·高二竞赛）已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2b aC a-=，则角A 的取值范围是______.24．（2022·北京·高三校考强基计划）在ABC 中，()2ABC cS a b =- ，其外接圆半径2R =，且())224sin sin sin A B b B -=-，则sinsin 22A B C-+=___________.25．（2022·北京·高三校考强基计划）在梯形ABCD 中，,AD BC M ∥在边CD 上，有ABM CBD BCD ∠∠∠==，则AMBM取值范围为___________.26．（2022·北京·高三校考强基计划）若ABC 三边长为等差数列，则cos cos cos A B C ++的取值范围是___________.27．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，2cos 3cos 6cos A B C +=，则cos C 的最大值为_______________．四、解答题28．（2021·全国·高三竞赛）求证：对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctan arctan 37114n n n π++++=+++ ．29．（2022·新疆·高二竞赛）直角三角形DEF 的三个顶点分别在等边三角形ABC 的边,,AB BC CA 上，且=90,=30DEF EDF ∠∠︒︒，求DEFABCS S 的最小值．30．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C --- .高中数学竞赛与强基计划试题专题：三角函数答案一、单选题1．（2021·北京·高三强基计划）已知O 为ABC 的外心，,AB AC 与OBC △的外接圆分别交于点D ，E ．若DE OA =，则OBC ∠=（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．以上答案都不对【答案】B【分析】利用圆周角和圆心角的关系可求OBC ∠的大小.【详解】如图，连结BE ．由于DE OA OB OC ===，于是弧BO 分别与弧DE 、弧OC 相等，进而可得弧BD 与弧OE 相等、弧OD 与弧CE 相等，进而190902EBC OBD AOB ECB ∠=∠=︒-∠=︒-∠，从而90BEC ∠=︒，因此BC 是OBC △外接圆的直径，进而45OBC ∠=︒．2．（2020·北京·高三强基计划）设等边ABC 的边长为1，过点C 作以AB 为直径的圆的切线交AB 的延长线于点D ，AD BD >，则BCD △的面积为（）A ．16-B ．16-C ．16D ．前三个答案都不对【答案】C【分析】利用射影定理可求4OD =，故可求BCD △的面积.【详解】如图，设题中圆的圆心为O ，CD 与圆O 切于点T ，连结,CO TO ，则12OC OT ==，于是OD =，从而1112242216BCD S BD OC ⎛⎫=⋅⋅=⨯-⨯= ⎪⎝⎭△．3．（2020·北京·高三强基计划）222323cos cos 523cos cos 4sin θθθθθ++-++（）A 23B ．223C 223D ．前三个答案都不对【答案】D【分析】利用基本不等式可求代数式的最大值.【详解】题中代数式为223cos 123cos 10(3cos 1)10(3cos 1)33θθθ+++-++-++111033≤+21023+=210(3cos 1)103cos 3cos 123θθθ-+=⇒+103．4．（2020·北京·高三校考强基计划）使得sin115cos1n >+成立的最小正整数n 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】先证明3,1s π02in 6x x x x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭>成立，再结合2()1f x x x =+-21151sin1sin 1+-n 的值.【详解】根据题意，有21151sin1sin 1n >+-记2()1f x x x =+-，则函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增函数．设()31sin 6g x x x x =-+，则：()2222sin 2sin sin 11cos 12222222g x x x xx x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪⎪⎝⎭+⎝=-⎭'，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有sin 22x x >，故()0g x '>，故()g x 为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，故()()30100sin 6g x g x x x >=⇔->+.接下来利用当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，31sin 6x x x >-以及正弦函数的单调性估计sin1．511sin1sin 663π=-<<<有16661045sin15553f f f ⎛⎫⎛⎫<=<<=++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此使得不等式成立的最小正整数n 的值为5．5．（2020·北京·高三校考强基计划）在ABC 中，90,1,A AB AC ∠=︒==点P 满足0||||||PA PB PCPA PB PC ++=，则（）A ．120APC ∠=︒B ．120APB ∠=︒C ．||2||PB PA =D ．||2||PC PB = 【答案】ABCD【分析】根据题设条件可得P 为ABC 的费马点，如图，以,AB BC 为边作等边三角形,ABE BCD ，可证,PAB BAD △∽△PBC BEC △∽△，故可判断各项的正误.【详解】根据题意，,,PA PB PC方向上的单位向量之和为零向量，因此120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，进而P 为ABC 的费马点．如图，以,AB BC 为边作等边三角形,ABE BCD ，则60BPD BCD ∠=∠=︒，故,,,B P C D 四点共圆，故PBC PDC ∠=∠，故D PBA A B ∠=∠，故12PA BA PAB BAD PB BD ⇒==△∽△，同理，12PB BE PBC BEC PC BC ⇒==△∽△，因此所有选项均正确．6．（2020·北京·高三校考强基计划）设,αβ为锐角，且sin cos()sin ααββ+=，则tan α的最大值为（）A ．4B C ．1D 【答案】A【分析】利用基本不等式可求最大值.【详解】解法一：由sin cos()sin ααββ+=得2cos cos sin sin sin sin αββαβα-=，所以2cos sin tan sin tan ββαβα-=．因为,αβ均为锐角，所以22cos sin tan 1tan 11sin 12tan 42tan tan βββαββββ===≤+++，当且仅当tan β=tan α的最大值是4．解法二:由sin cos()sin ααββ+=得:1cos()sin sin [sin(2)sin ]sin 2αββααβαα+=⇒+-=，于是11sin sin(2)33ααβ=+≤，等号当111arcsin ,arccos 323αβ==时取得，因此tan α的最大值为1tan arcsin 34=．7．（2020·北京·高三校考强基计划）212lim arctan nn k k →∞==∑（）A ．3π4B ．πC ．5π4D ．3π2【答案】A【分析】利用裂项相消法可求数列的和，再根据基本极限可求题设中数列的极限.【详解】根据题意，有22(1)(1)arctanarctan arctan(1)arctan(1)1(1)(1)k k k k k k k +--==+--++-，于是211]2lim arctan lim arctan(1)arctan(1)nnn n k k k k k →∞→∞===+--∑∑()()lim arctan 1arctan arctan1arctan 0n n n ∞→=++--3π4=．8．（2020·北京·高三校考强基计划）sin arctan1arcsin arccos 510⎛++= ⎝⎭（）A ．1B．10C．5D．2【答案】A【分析】利用复数的乘法可求3个角的和的正弦值.【详解】arctan1,arcsin510分别是复数1i,2i,3i +++的辐角，于是题中代数式为复数(1i)(2i)(3i)10i z =+++=的辐角的正弦值，为1．二、多选题9．（2020·北京·高三校考强基计划）设ABC 的三边长a ，b ，c 都是整数，面积是有理数，则a 的值可以为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】CD【分析】由特例可得a 的值可以取3，4，再利用整数的性质可判断a 的值不可能为1，2，故可得正确的选项.【详解】取三边为3，4，5的三角形，其面积为6，此时a 的值可以取3，4．当1a =时，有||||a b c a b c b -<<+⇒=，此时ABC 2413(mod 4)b -≡，不为完全平方数，因此ABC 的面积不可能是有理数．当2a =时，不妨设2b c ≤≤，有||||a b c a b c b -<<+⇒=或1c b =+．情形一若c b =，则ABCp q=，其中p ，q 为互质的正整数，则()2221q b p -=，于是21b -为完全平方数，而正整数的完全平方数的最小间隔为22213-=，因此该情形不成立．情形二若1c b =+，则2222(1)23cos 44b b b C b b+-+-+==，于是面积为有理数，等价于sin C =2121293(mod 4)b b +-≡，因此ABC 的面积不可能是有理数．综上所述，a 的值不可能为1，2，可能为3，4．故选：CD.10．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中123∠∠∠==），得到四个小正方形,,,A B C D ，记它们的面积分别为,,,A B C D S S S S ，则以下结论正确的是（）A ．A DBC S S S S +=+B ．AD B C S S S S ⋅=⋅C ．2A D B S S S + D ．2D A CS S S +<【答案】BC【详解】设123α∠=∠=∠=，最大正方形的边长为1，小正方形,,,A B C D 的边长分别为a b c d ,,,．∵2cos ,sin cos a b ααα==，2sin cos ,sin c d ααα==，4422sin cos 2sin cos A D S S αααα+=+≥，22sin cos B C S S αα==，2A D B S S S +≥，所以C 正确；4444sin sin ,sin sin A D B C S S S S αααα==，所以A D B C S S S S =，所以B 正确，故选：BC.11．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若{cos (sin 1)0a cbc b C ++-=），则（）A ．3B π=B ．4B π=C ．ABCD ．ABC 【答案】AC【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式以及基本不等式化简即可。

高中数学竞赛（07-10年）试题分类汇总——三角、向量一、选择题1.（07全国）设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。

若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x−c )=1对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值等于（ ） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f (x )+f (x−c )=2，于是取21==b a ，c=π，则对任意的x ∈R ，af (x )+bf (x−c )=1，由此得1cos -=acb 。

一般地，由题设可得1)sin(13)(++=ϕx x f ，1)sin(13)(+-+=-c x c x f ϕ，其中20π<<ϕ且32tan =ϕ，于是af (x )+bf (x−c )=1可化为1)sin(13)sin(13=++-+++b a c x b x a ϕϕ，即0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13=-+++-+++b a x c b c x b x a ϕϕϕ，所以 0)1()cos(sin 13)sin()cos (13=-+++-++b a x c b x c b a ϕϕ。

由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+)3(01)2(0sin )1(0cos b a c b c b a ， 若b =0，则由(1)知a =0，显然不满足(3)式，故b≠0。

所以，由(2)知sin c =0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k ∈Z )。

当c=2kπ时，cos c =1，则(1)、(3)两式矛盾。

故c=2kπ+π(k ∈Z )，cos c =−1。

由(1)、(3)知21==b a ，所以1cos -=ac b 。

2.（08全国）ABC ∆中，边,,a b c 成等比数列，则sin cot coscos A C A B+的取值范围是（ C）A. (0,)+∞B.C. D. )+∞[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩从而1122q <<，因此所求的取值范围是． 3．（08江苏）如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么 答：[B]A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22A π， cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12C π.则212A A -=π，212B B -=π，212C C -=π，即 )(23222111C B A C B A ++-=++π，矛盾. 选B. 4.（08河北）已知cos cos 1x y +=，则sin sin x y -的取值范围是（ ）．A []11-，B []2-，2C 0⎡⎣ D⎡⎣答案：D ．解：设sin sin x y t -=，易得21cos cos sin sin 2t x y x y --=，即()21cos 2t x y -+=．由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21112t --≤≤，解得t ≤ 5.（08湖南）设)2008sin(sin 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是（ ）Ａ．d c b a <<< Ｂ．c d a b <<< Ｃ．a b d c <<< Ｄ．b a c d <<<解：因为00002818036052008++⨯=，所以，0)28sin(sin )28sin sin(00<-=-=a ；0)28sin(cos )28cos sin(00<-=-=b ； 0)28cos(sin )28sin cos(00>=-=c ；0)28cos(cos )28cos cos(00>=-=d ．又0028cos 28sin <，故.c d a b <<<故选B.6.（08江西）若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2kkkx kx x kx x ⋅+⋅=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3． 解：记()sin sin cos cos cos 2k k k f x x kx x kx x =⋅+⋅- ，则由条件，()f x 恒为0，取2x π=，得()sin12k k π=-，则k 为奇数，设21k n =-，上式成为sin 12n ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此n 为偶数，令2n m =，则41k m =-，故选择支中只有3k =满足题意．二、填空题1.（08江西）0sin 20sin 40sin80⋅⋅= .解：()0000008sin 20sin 40sin804cos 20cos60sin80⋅⋅=-()0004sin80cos202sin802sin100sin 602sin80=-=+-02sin 60==所以0sin 20sin 40sin 80⋅⋅=． 2.（08湖北）设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈==)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为 15 3.（08湖北）若1|lg |<ϕ，则使函数)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数的ϕ的个数为 3 ．4．（08湖北）在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，223=BK ，则△ABC 的面积为16715．5．（08湖北）已知a OA =，b OB =，过O 作直线AB 的垂线，垂足为P ．若3||,3||==，6π=∠AOB ，y x +=，则=-y x -2 ．6．（07全国）在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________解：因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所以2)()(=+⋅++⋅BF AB AC BE AB AB ，即22=⋅+⋅+⋅+。

高中数学三角函数题目及答案一、填空题1.$\\sin 30° = \\underline{\\hspace{1cm}}$2.$\\cos 60° = \\underline{\\hspace{1cm}}$3.$\\tan 45° = \\underline{\\hspace{1cm}}$二、选择题1.已知直角三角形的斜边长为10，其中一个锐角的正弦值等于$\\frac{1}{2}$，则此角的度数是： A. 30° B. 45°C. 60°D. 90°2.若$\\sin \\theta = \\frac{3}{5}$，$\\theta$为锐角，则$\\cos \\theta =$ A. $\\frac{4}{5}$ B. $\\frac{3}{4}$ C. $\\frac{3}{5}$ D. $\\frac{5}{4}$3.若$\\tan \\alpha = \\sqrt{3}$，$\\alpha$为锐角，则$\\cot \\alpha =$ A. −1 B. $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ C. $-\\sqrt{3}$ D. $\\frac{1}{\\sqrt{3}}$三、计算题1.求解$\\sin 45° \\cdot \\cos 45° - \\sin 30° \\cdot\\cos 60°$2.求解$\\frac{\\sin^2 30° + \\cos^2 30°}{\\sin 60°\\cos 30°}$四、简答题1.说明余切的定义及其在三角函数中的关系。

2.如何利用正弦定理和余弦定理解决三角形的不全等问题？五、综合题已知直角三角形ABC中，$\\angle B = 90°$，AA=6，AA=8，求角A的大小。

六、答案1.$\\sin 30° = \\frac{1}{2}$ $\\cos 60° =\\frac{1}{2}$ $\\tan 45° = 1$1. C. 60°2. A. $\\frac{4}{5}$3. C. $-\\sqrt{3}$1.$\\sin 45° \\cdot \\cos 45° - \\sin 30° \\cdot\\cos 60° = \\frac{1}{2}$2.$\\frac{\\sin^2 30° + \\cos^2 30°}{\\sin 60° \\cos30°} = 1$1.余切的定义为正切的倒数，即$\\cot \\theta =\\frac{1}{\\tan \\theta}$。

三角函数公式1．同角三角函数基本关系式sin 2α＋ cos2α =1sin αcosα =tan αtan αcot α =12．诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin( π－α ) ＝ sin α sin( π +α) ＝ -sin αcos( π－α ) ＝ -cos αcos(π +α) ＝ -cos αtan( π－α ) ＝ -tan αtan(π+α ) ＝ tan αsin(2 π－α ) ＝ -sin αsin(2π +α ) ＝ sin αcos(2 π－α ) ＝ cosαcos(2π +α)＝cosαtan(2 π－α ) ＝ -tan αtan(2π +α ) ＝ tan αππ（二） sin(2－α ) ＝ cos αsin(2 + α ) ＝ cos αππcos(2－α ) ＝ sin αcos( 2 +α ) ＝ - sin αtan(π－α ) ＝ cot αtan(π+ α) ＝ -cot α22sin(3π－α ) ＝ -cos αsin(3π+ α ) ＝-cos α22cos(3π－α ) ＝ -sin αcos(3π+ α ) ＝sin α223π3πtan(2－α ) ＝ cot αtan(2+ α ) ＝ -cot αsin( －α ) ＝－ sin αcos(－α )=cosαtan(－α )=－tanα3．两角和与差的三角函数cos( α +β)=cos αcos β－ sin α sin βcos( α－β )=cos α cosβ＋ sin α sin βsin (α +β )=sin α cosβ＋ cosα sin βsin (α－β )=sin α cos β－ cos αsin βtan( α +β)=tan α +tan β1－tan α tan βtan( α－β )=tan α－ tan β1＋ tan α tan β4．二倍角公式sin2 α =2sin α cosαcos2α =cos2α－ sin 2α＝ 2 cos 2α－ 1＝1－ 2 sin 2α2tan αtan2 α =1－tan2α5．公式的变形（ 1）升幂公式： 1＋ cos2α＝ 2cos2α1— cos2α＝ 2sin 2α（ 2）降幂公式： cos 2α＝1＋ cos2αsin 2 α＝1－ cos2α22（3）正切公式变形： tan α+tan β＝ tan( α +β ) （1－ tan α tan β）tanα－ tan β＝ tan( α－β ) （ 1＋tan α tan β)（ 4）万能公式（用 tan α表示其他三角函数值）2tan α1－tan 2α2tan αsin2 α＝1+tan2αcos2 α＝1+tan2αtan2α＝1－tan 2α6．插入辅助角公式22basinx ＋ bcosx= a+b sin(x+φ)(tan φ = a )π特殊地： sinx ±cosx ＝ 2 sin(x± 4)7．熟悉形式的变形（如何变形）1± sinx ± cosx1±sinx1±cosx tanx＋cotxπ若 A、 B 是锐角， A+B＝4，则（1＋tanA）(1+tanB)=28．在三角形中的结论若： A＋B＋C=π,A+B+C=2π2则有tanA ＋tanB ＋ tanC=tanAtanBtanCtan A2 tanB2＋tanB2 tanC2＋ tanC2 tanA2＝ 1三角函数的诱导公式1一、选择题1．如果 |cos x|=cos（ x+π），则x的取值集合是（）A．－π+2kπ≤x≤π +2kπ B ．－π+2kπ≤x≤3π+2kπ2222C．π +2kπ≤x≤3π+2kπD．（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（以上k 22∈Z）2．sin （－19π）的值是（）6A．1B．－1C．3D．－3 22223．下列三角函数：① sin （nπ+4π）；② cos（ 2nπ+π）；③ sin （ 2nπ+π）；363④cos［（2n+1）π－π］；⑤ sin ［（2n+1）π－π］（n∈Z）．其中函数值与sinπ633的 相同的是（ ）A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤4．若 cos （π+α） =－10，且 α∈（－ π ， 0）， tan （ 3 π+α）的522（ ）A ．－6B ．6C ．－6D ．63 3 225． A 、 B 、 C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A ． cos （A +B ） =cosC B ． sin （ A +B ） =sin C C ． tan （A +B ） =tan CD ． sinAB=sin C226．函数 f （ x ） =cos πx（x ∈Z ）的 域 （）3A ． { － 1，－ 1，0， 1， 1}B ． { － 1，－ 1， 1， 1}2222C ． { － 1，－ 3 ， 0， 3，1}D ． { － 1，－ 3 ， 3，1}2222二、填空7．若 α 是第三象限角， 1 2sin(π ) cos(π) =_________．8．sin 21°+sin 22°+sin 2 3°+⋯+sin 289°=_________．三、解答9．求 ： sin （－ 660°） cos420°－ tan330 °cot （－ 690°） ．10． 明：2sin(π) cos 1 tan(9π) 1 ． 1 2sin 2tan(π) 111．已知 cos α= 1，cos （ α+β） =1，求 ： cos （ 2α+β） = 1．3312． 化 ：1 2sin 290 cos 430 ．sin 250 cos79013、求 ： tan(2π )sin( 2 π) cos(6 π )=tan θ．cos( π)sin( 5π )14．求证：（ 1）sin （3π－α） =－ cosα；2（2） cos（3π+α）=sin α．2参考答案 1一、选择题1．C 2．A 3． C 4． B 5．B 6．B 二、填空题7．－ sinα－cosα 8．892三、解答题9．3+1．410．证明：左边 =2 sin coscos2sin2=－(sin cos)2sin cos ，(cos sin )(cos sin )sin cos右边 =tan tan sin cos ，tan tan sin cos左边 =右边，∴原等式成立．11．证明：∵ cos（α+β） =1，∴α+β=2kπ．∴cos（ 2α+β）=cos（α+α+β） =cos（α+2kπ） =cosα=1．3 12．解： 1 2sin 290 cos 430sin 250cos 790= 1 2 sin( 70 360 ) cos(70 360 )sin(180 70 ) cos(70 2 360 )= 1 2 sin 70 cos 70cos 70sin 702=(sin 70 cos70 )cos 70sin 70= sin 70cos 70 =－1． cos 70sin 7013．证明：左边 = tan( ) sin( ) cos( )( tan )( sin ) cos =tan θ=右边，( cos )( sin )cos sin∴原等式成立．14 证明：（1）sin （ 3π － α）=sin ［π +（ π － α）］=－ sin （ π－α）=－22 2cos α．（ 2） cos （ 3π +α）=cos ［π +（ π +α）］=－ cos （ π+α） =sin α．22 2三角函数的诱导公式 2一、选择题：1．已知 sin( π+α)=342，则 sin(3π- α) 值为（）4A.1B.—1C.3 D.—322222．cos(+α)= — 1 ， 3π2 ,sin( 2 - α) 值为（）2 2 <α<A.3 B.1 C.3 D.—322223．化简：1 2sin( 2) ?cos(2) 得（）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2- cos2D.±(cos2-sin2)4．已知 α 和 β 的终边关于 x 轴对称，则下列各式中正确的是（）A.sin α=sin βB. sin( α - 2 ) =sin βC.cos α=cos βD. cos( 2- α) = - cos β5．设 tan θ=-2,π θ< ，那么2θ+cos( θ - 2 ) 的值等于（），<sin2A. 1 （ 4+ 5 ）B.1（ 4- 5 ） C.1（4± 5 ） D.1（ 5 -4 ）5555二、填空题：6．cos(-x)=3， x ∈（ - ，），则 x 的值为．27．tan α=m ，则 sin(α 3 ） cos(π α)．sin( α） π α- cos( )8．|sin α|=sin （ -+α），则 α 的取值范围是 ．三、解答题：π α）sin( ) cos( π α9． sin( 2)．π α） π αsin(3 ·cos( )10．已知： sin （x+π ）=1，求 sin （7πx) +cos 2（5π-x ）的值．6 46611． 求下列三角函数值：（ 1） sin 7 π；（2） cos 17π ；（3）tan （－ 23π）；34 612 ． 求下列三角函数值：（ 1） sin 4 π·cos 25π·tan 5 π ；364（ 2） sin ［（2n +1）π－2π］ .313．设 f （ θ） = 2 cos3sin 2( 2 π) sin(π) 322cos 2 (π ) cos(2 ，求 f （ π）的值 .)3参考答案 21．C 2 ．A 3 ． C 4 ． C 5 ． A6．±5π7 ．m1 8 ．[(2k-1) ,2k ]6m19．原式 =αsi nπ α2αα10．11sin () cos() = sin(cos )= sin απ α）αααsin(·( cos )16sin ?( cos )11．解：（ 1） sin 7 π=sin （2π+π ） =sin π= 3.333 2（ 2） cos 17π =cos （4π+π ）=cos π= 2.4442（ 3） tan （－ 23π） =cos （－ 4π+π ）=cos π= 3 .6662（ 4） sin （－ 765°） =sin ［360°×（－ 2）－ 45°］ =sin （－ 45°） =－sin45 °=－ 2 .2注：利用公式（ 1）、公式（ 2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sin 4π·cos 25π ·tan 5 π =sin （π+π ）·cos （4π+π ）·tan36436（π+π ）4=（－ sin π）· cos π·tan π=（－3）· 3 ·1=－ 3.3 6 4224（ 2） sin ［（2n +1）π－2π］ =sin （π－ 2 π） =sin π = 3.333213．解： f （θ）=2 cos 3sin 2cos 32 2 cos 2cos= 2 cos 31 cos 2cos32 2 cos 2cos=2 cos 32 (cos 2cos )22cos2 cos3= 2(cos1) cos (cos1)2 2cos 2cos= 2(cos1)(cos 2 cos 1) cos (cos 1)2 2 cos 2cos = (cos1)( 2 cos 2cos 2)2 2cos 2cos＝ cos θ－ 1，∴ f （ π ） =cos π－ 1= 1 － 1=－ 1 .3322。

高一三角函数定义域、值域习题及答案
三角函数是数学中重要的概念之一，它在解决各种实际问题中发挥着重要的作用。

本文将介绍高一三角函数的定义域、值域，并提供一些题及答案供参考。

一、正弦函数的定义域和值域
正弦函数是三角函数中常见的一种，表示为sin(x)。

它的定义域是所有实数集合R，即无限制。

而它的值域是闭区间[-1, 1]，即sin(x)的取值范围在-1到1之间。

例题1：求函数y = sin(x)的定义域和值域。

答案：
定义域：D = R
值域：V = [-1, 1]
二、余弦函数的定义域和值域
余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。

它的定义域也是所有实数集合R，无限制。

值域同样是闭区间[-1, 1]，即cos(x)的取值范围在-1到1之间。

例题2：求函数y = cos(x)的定义域和值域。

答案：
定义域：D = R
值域：V = [-1, 1]
三、正切函数的定义域和值域
正切函数是三角函数中另一个重要的函数，表示为tan(x)。

它的定义域是除去所有使得tan(x)无定义的点的实数集合。

tan(x)在x = (2n+1)π/2 (n为整数)时无定义，因此其定义域为除去这些点的实数集合。

正切函数的值域是全体实数R。

例题3：求函数y = tan(x)的定义域和值域。

答案：
定义域：D = R - {(2n+1)π/2} (n为整数)
值域：V = R
以上是高一三角函数定义域、值域的基本介绍以及一些习题的答案。

希望对您的学习有所帮助！。

高一数学竞赛培训教程—三角函数一、选择、填空题1.设函数sin 23cos2y x x =+的最小正周期为T ,最大值为A ,则 ( )A ．T π=,2A = B . T π=,2A = C ．2T π=,2A = D ．2T π=,2A = 答案：C2．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图1所示，则函数()y f x =对应的解析式为 ( )A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭答案：A3.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x x x +=- ( ) （A ）2875- （B ）2875（C ）21100- （D ）21100答案：A4.已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=， 则下列结论正确的是（ ）A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线4x π=-对称C ．两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数D ．可以将函数②的图像向左平移4π个单位得到函数①的图像 答案：C5、如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，那么a 等于（D ）A.2B.－2C.1D.－1答案：D6.已知2,tan α=则cos(2)cos 22παα-+的值 . 答案：157.已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos 答案：43310+ 8.已知1cos 3ϕ=-()0ϕπ<<,则sin 2ϕ= 答案：429- 二、解答题1.已知函数()()2sin cos sin .f x x x x =-（1）当0x π<<时，求()f x 的最大值及相应的x 值； （2）利用函数y=sin x 的图象经过怎样的变换得到f(x)的图象.解（1）()()22sin cos sin 2sin cos 2sin f x x x x x x x =-=- 1分sin 2cos 21x x =+- 3分2sin 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 5分∵0x π<<，∴92444x πππ<+<6分 所以当242x ππ+=时，即8x π=时 f(x)有最大值21-.所以f(x)最大值是21-，相应的x 的值8x π= 8分（2）函数y=sin x 的图象向左平移4π个单位， 9分 把图象上的点横坐标变为原来的12倍，把图象上的点纵坐标变为原来的2倍，11分 最后把图象向下平移1个单位得到y 2sin 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象. 12分方法2：把函数y=sin x 图象上的点横坐标变为原来的12倍 9分 把函数x 的图象向左平移8π个单位，把图象上的点纵坐标变为原来的2倍， 最后把图象向下平移1个单位得到y 2sin 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象 12分2.已知1)2cos 2sin 3(2cos2)(-+=xx x x f ，R x ∈． ⑴ 求)(x f 的最小正周期；⑵ 设α、)2, 0(πβ∈，2)(=αf ，58)(=βf ，求)(βα+f 的值． 解：⑴x x x f cos sin 3)(+=……2分，)6sin(2π+=x ……4分，)(x f 的最小正周期π2=T ……5分⑵因为2)6sin(2=+πα，1)6sin(=+πα，3266ππαπ<+<……6分， 所以26ππα=+，3πα=……7分，58)6sin(2=+πβ，54)6sin(=+πβ，3266ππβπ<+<……8分，因为2354<，所以266ππβπ<+<，53)6cos(=+πβ……9分，所以ββππβαβαcos 2)2sin(2)6sin(2)(=+=++=+f ……10分， 6sin)6sin(26cos)6cos(2]6)6cos[(2ππβππβππβ+++=-+=……11分，5433+=……12分。

竞赛试题选讲：三角函数一1．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3，-2cos3),则角α的弧度数为（ ）A ．3B ．π-3C ．3-2πD ． 2π-3 2．若f (sin x )=cos2x ，则(cos )f x 等于（ ）．A ．－cos2xB ．cos2xC ．－sin2xD ．sin2x答．Ａ ∵f (sin x )=cos2x ，∴(cos )=(sin())=cos2()=cos(2)=cos 222f x f x x x x πππ---- 3．已知：集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==Z k k x x P ,3)3(sin |π，集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈--==Z k k y y Q ,3)21(sin |π，则P 与Q 的关系是 （ ）． A ．P ⊂QB ．P ⊃QC ．P=QD ．P ∩Q=φ 答．Ｃ∵(21)(3)(3)sin sin[8]sin 333k k k ππππ----=-+=，∴Ｐ＝Ｑ 4．化简sin(2)cos(2)tan(24)ππ-+---所得的结果是（ ）Ａ．2sin 2 Ｂ．０ Ｃ．2sin 2- Ｄ．－１答．Ｃ sin(2)cos(2)tan(24)=sin 2(cos 2)tan 22sin 2ππ-+---+-=-5．设99.9,412.721-==αα，则21,αα分别是第 象限的角 若集合一、二 07.4122,2ππ<-< 得1α是第一象限角；9.994,2πππ<-+<得2α是第二象限角 6．|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则B A =___ [2,0][,2]3π-7．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = π10sin 60t，其中[0,60]t ∈。