复习课件含绝对值不等式的解法(含答案).doc

选修4—5不等式选讲必备知识预案自诊知识梳理1.绝对值三角不等式(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤,当且仅当时,等号成立;(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤,当且仅当时,等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法:①|x|<a⇔-a<x<a;②|x|>a⇔x>a或x<-a.(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:①|ax+b|≤c⇔;②|ax+b|≥c⇔.(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.3.基本不等式定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥,当且仅当a=b时,等号成立.定理2:若a,b为正数,则a+b2≥√ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理3:若a,b,c为正数,则a+b+c3≥√abc3,当且仅当a=b=c时,等号成立.定理4:若a1,a2,…,a n为n个正数,则a1+a2+…+a nn ≥√a1a2…a nn,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.4.柯西不等式(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)设a1,a2,a3,…,a n,b1,b2,b3,…,b n是实数,则(a12+a22+…+a n2)(b12+b22+…+b n2)≥(a1b1+a2b2+…+a n b n)2,当且仅当b i=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得a i=kb i(i=1,2,…,n)时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.5.不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、放缩法以及利用绝对值三角不等式、柯西不等式法等.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)对|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时,等号成立.()(2)|a+b|+|a-b|≥|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.()(4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则n≥m.() 2.若|a-c|<|b|,则下列不等式正确的是()A.a<b+cB.a>c-bC.|a|>|b|-|c|D.|a|<|b|+|c|3.若不等式|x+1x|>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是() A.(2,3) B.(1,2)C.(1,3)D.(1,4)4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则√m2+n2的最小值为.5.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是.第1课时绝对值不等式关键能力学案突破考点绝对值不等式的解法【例1】(2020全国1,理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.解题心得解含有两个以上绝对值符号的不等式的方法解法1:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;解法2:利用“零点分段法”求解,即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式,体现了分类讨论的思想;解法3:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.对点训练1(2019全国2,理23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.考点求参数范围(多考向探究)考向1分离参数法求参数范围【例2】(2017全国3,理23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解题心得在不等式有解或成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参数,通过求对应函数最值的方法获得.对点训练2已知f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a,(1)当a=-1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立,求a的取值范围.考向2利用函数最值求参数范围【例3】(2020辽宁大连一中6月模拟,23)已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(1)当f(1)+f(-1)>1时,求a的取值范围;+|y-a|恒成立,求a的取值范围.(2)若a>0,对任意x,y∈(-∞,a],都有不等式f(x)≤y+54解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围.2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;f(x)>a有解⇔f(x)max>a;f(x)<a有解⇔f(x)min<a;f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.对点训练3(2020山西太原三模,23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2a|,a∈R.(1)若a=1,解不等式f(x)<4;(2)对任意的实数m,若总存在实数x,使得m2-2m+4=f(x),求实数a的取值范围.考向3恒等转化法求参数范围【例4】(2020全国2,理23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.解题心得在不等式成立的前提下求参数范围,通常对不等式进行等价变形,求出不等式的解,然后根据已知条件确定参数范围.对点训练4(2018全国1,理23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.考点求函数或代数式的最值(多考向探究)考向1利用基本不等式求最值【例5】(2020河北石家庄二模,文23)函数f(x)=|2x-1|+|x+2|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)的最小值为M,a+2b=2M(a>0,b>0),求证:1a+1+12b+1≥47.解题心得在求某一代数式的最值时,根据已知条件利用基本不等式a 2+b 2≥2ab ,a+b2≥√ab (a ,b 为正数),a+b+c3≥√abc 3(a ,b ,c 为正数)对代数式进行适当的放缩,从而得出其最值.对点训练5(2020河南开封三模)关于x 的不等式|x-2|<m (m ∈N +)的解集为A ,且32∈A ,12∉A. (1)求m 的值;(2)设a ,b ,c 为正实数,且a+b+c=3m ,求√a +√b +√c 的最大值.考向2 利用绝对值三角不等式求最值【例6】已知函数f (x )=2|x+a|+|x -1a|(a ≠0).(1)当a=1时,解不等式f (x )<4;(2)求函数g (x )=f (x )+f (-x )的最小值.解题心得利用绝对值三角不等式求函数或代数式的最值时,往往需要对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式等价变形,使相加或相减后对消变量,得到常数.对点训练6已知函数f (x )=|2x+1|-|x-1|. (1)求f (x )+|x-1|+|2x-3|的最小值;(2)若不等式|m-1|≥f (x )+|x-1|+|2x-3|有解,求实数m 的取值范围.考向3利用放缩法求最值【例7】(2019全国3,理23)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1.解题心得利用放缩法求代数式的最值,一般利用基本不等式,绝对值三角不等式及数学结论进行放缩,在放缩的过程中,结合已知条件消去变量得到常量,从而得到代数式的最值.对点训练7已知实数m,n满足2m-n=3.(1)若|m|+|n+3|≥9,求实数m的取值范围;(2)求|53m-13n|+|13m-23n|的最小值.1.绝对值不等式主要利用“零点分段法”求解,有时也利用函数图像通过观察得出不等式的解集.2.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法(1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.(2)数形结合法:在研究不等式f(x)≤g(x)恒成立问题时,若能作出两个函数的图像,通过图像的位置关系可直观解决问题.3.求函数或代数式的最值主要应用基本不等式、绝对值三角不等式以及通过放缩求解.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.选修4—5 不等式选讲必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)|a|+|b| ab ≥0 (3)|a-b|+|b-c| (a-b )(b-c )≥02.(2)①-c ≤ax+b ≤c ②ax+b ≥c 或ax+b ≤-c3.2ab考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.D |a|-|c|≤|a-c|<|b|,即|a|<|b|+|c|,故选D .3.C 因为|x +1x |=|x|+|1x |≥2,要使对于一切非零实数x ,|x +1x|>|a-2|+1恒成立,则|a-2|+1<2,即1<a<3.4.√5 由柯西不等式可知(a 2+b 2)(m 2+n 2)≥(ma+nb )2,即5(m 2+n 2)≥25,当且仅当an=bm 时,等号成立,所以√m 2+n 2≥√5.5.[-2,4] ∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a )-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a ≤4.第1课时 绝对值不等式 关键能力·学案突破 例1解(1)由题设知f (x )={-x -3,x ≤-13,5x -1,-13<x ≤1,x +3,x >1.y=f (x )的图像如图所示.(2)函数y=f (x )的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=f (x+1)的图像.y=f (x )的图像与y=f (x+1)的图像的交点坐标为-76,-116.由图像可知当且仅当x<-76时,y=f (x )的图像在y=f (x+1)的图像上方. 故不等式f (x )>f (x+1)的解集为(-∞,-76). 对点训练1解(1)当a=1时,f (x )=|x-1|x+|x-2|·(x-1).当x<1时,f (x )=-2(x-1)2<0; 当x ≥1时,f (x )≥0.所以,不等式f (x )<0的解集为(-∞,1). (2)因为f (a )=0,所以a ≥1. 当a ≥1,x ∈(-∞,1)时,f (x )=(a-x )x+(2-x )(x-a )=2(a-x )(x-1)<0. 所以,a 的取值范围是[1,+∞). 例2解(1)f (x )={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时,f (x )≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f (x )≥1得,2x-1≥1,解得1≤x ≤2; 当x>2时,由f (x )≥1解得x>2. 所以f (x )≥1的解集为{x|x ≥1}.(2)由f (x )≥x 2-x+m 得m ≤|x+1|-|x-2|-x 2+x. 而|x+1|-|x-2|-x 2+x ≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=-(|x |-32)2+54≤54,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54. 故m 的取值范围为(-∞,54].对点训练2解(1)当a=-1时原不等式可化为|x+1|-2|x|≥-1,设φ(x )=|x+1|-2|x|={x -1,x ≤-1,3x +1,-1<x <0,-x +1,x ≥0,则{x ≤-1,x -1≥-1,或{-1<x <0,3x +1≥-1,或{x ≥0,-x +1≥-1. 即-23≤x ≤2.所以原不等式的解集为-23,2.(2)若存在x 0∈R 使得f (x 0)≥g (x 0)成立,等价于|x+1|≥2|x|+a 有解, 由(1)即φ(x )≥a 有解,即a ≤φ(x )max ,由(1)可知,φ(x )在(-∞,0)单调递增,在[0,+∞)单调递减, 所以φ(x )max =φ(0)=1,所以a ≤1.故a 的取值范围为(-∞,1].例3解(1)f (1)+f (-1)=|1-a|-|1+a|>1,若a ≤-1,则1-a+1+a>1,得2>1,即当a ≤-1时,不等式恒成立;若-1<a<1,则1-a-(1+a )>1,得a<-12,即-1<a<-12; 若a ≥1,则-(1-a )-(1+a )>1,得-2>1,此时不等式无解. 综上所述,a 的取值范围是-∞,-12.(2)由题意知,要使不等式恒成立,只需f (x )max ≤y+54+|y-a|min .当x ∈(-∞,a ]时,f (x )=-x 2+ax ,f (x )max =f a 2=a 24. 因为y+54+|y-a|≥a+54, 所以当y ∈-54,a 时,y+54+|y-a|min =a+54=a+54.于是a 24≤a+54,解得-1≤a ≤5.结合a>0,所以a 的取值范围是(0,5].对点训练3解(1)当a=1时,f (x )<4,即|x+1|+|x-2|<4,化为{x <-1,2x >-3或{-1≤x ≤2,3<4或{x >2,2x -1<4,解得-32<x<-1或-1≤x ≤2或2<x<52,综上,-32<x<52,即不等式f (x )<4的解集为-32,52.(2)根据题意,得m 2-2m+4的取值范围是f (x )值域的子集.m 2-2m+4=(m-1)2+3≥3,又f (x )=|x+1|+|x-2a|≥|2a+1|, 所以f (x )的值域为[|2a+1|,+∞).故|2a+1|≤3,解得-2≤a ≤1,即实数a 的取值范围为[-2,1].例4解(1)当a=2时,f (x )={7-2x ,x ≤3,1,3<x ≤4,2x -7,x >4.因此,不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤32或x ≥112}. (2)因为f (x )=|x-a 2|+|x-2a+1|≥|a 2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤-1时,f (x )≥4.当-1<a<3时,f (a 2)=|a 2-2a+1|=(a-1)2<4. 所以a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).对点训练4解(1)当a=1时,f (x )=|x+1|-|x-1|,即f (x )={-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}.(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2a ,所以2a ≥1,故0<a ≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2]. 例5(1)解f (x )=|2x-1|+|x+2|={-3x -1,x ≤-2,-x +3,-2<x <12,3x +1,x ≥12,当x ≤-2时,f (x )≥5;当-2<x<12时,52<f (x )<5; 当x ≥12时,f (x )≥52. 所以f (x )的最小值为52. (2)证明由(1)知M=52,即a+2b=5.又因为a>0,b>0,所以1a+1+12b+1=17[(a+1)+(2b+1)]1a+1+12b+1=172+2b+1a+1+a+12b+1 ≥172+2√2b+1a+1·a+12b+1 =47,当且仅当a=2b ,即a=52,b=54时,等号成立.所以1a+1+12b+1≥47. 对点训练5解(1)由已知得{|32-2|<m ,|12-2|≥m ,解得12<m ≤32.因为m ∈N *,所以m=1.(2)因为a+b+c=3,所以√a +√b +√c =√1·a +√1·b +√1·c ≤1+a 2+1+b 2+1+c2=3+a+b+c2=3, 当且仅当a=b=c=1时,等号成立.所以√a +√b +√c 的最大值为3.例6解(1)∵a=1,∴原不等式为2|x+1|+|x-1|<4,∴{x <-1,-2x -2-x +1<4,或 {-1≤x ≤1,2x +2-x +1<4,或{x >1,2x +2+x -1<4,∴-53<x<-1或-1≤x<1或∅. ∴原不等式的解集为(-53,1).(2)由题意得g (x )=f (x )+f (-x )=2(|x+a|+|x-a|)+(|x +1a |+|x -1a |)≥2|2a|+2|a |≥4√2.当且仅当2|a|=1|a |,即a=±√22,且-√22≤x ≤√22时,g (x )取最小值4√2. 对点训练6解(1)f (x )+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|-|x-1|+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-(2x-3)|=4,当-12≤x ≤32时等号成立,所以f (x )+|x-1|+|2x-3|的最小值为4.(2)不等式|m-1|≥f (x )+|x-1|+|2x-3|有解,∴|m-1|≥[f (x )+|x-1|+|2x-3|]min .∴|m-1|≥4,∴m-1≤-4或m-1≥4,即m ≤-3或m ≥5,∴实数m 的取值范围是(-∞,-3]∪[5,+∞).例7(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a )]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a )+(z-a )(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2≥(2+a )23,当且仅当x=4-a 3,y=1-a 3,z=2a -23时等号成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2的最小值为(2+a )23.由题设知(2+a )23≥13,解得a ≤-3或a ≥-1.对点训练7解因为2m-n=3,所以2m=n+3.(1)|m|+|n+3|=|m|+|2m|=3|m|≥9,所以|m|≥3,所以m ≤-3或m ≥3.故m 的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).(2)53m-13n +13m-23n =53m-13(2m-3)+13m-23(2m-3)=|m+1|+|m-2|≥3,当且仅当-1≤m ≤2(或-5≤n ≤1)时等号成立, 所以53m-13n +13m-23n 的最小值是3.。

(1)(几何法)利用绝对值的几何意义求解.只要找到使|x-a|+|x-b|=c
成立的 x 值,依据“大于取两边,小于取中间”的法则写出不等式的解集
即可.
(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号,以 a,b 为分界点,将实数
集分为三个区间,在每个区间上 x-a,x-b 的符号都是确定的,从而去掉绝
对值符号.
∴x-8≥3,或 x-8≤-3.∴x≥11,或 x≤5.
∴原不等式的解集为{x|x≥11 或 x≤5}.
本题题型已成为“公式”型的问题,即解不等式时,套用|ax+b|≥c 型
的转化方法,进而解之,而数形结合是从函数图象的角度解释不等式,从
中可找到适合的 x.
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问题
(wèntí)导
学
KETANG HEZUO TANJIU
预习(yùxí)
导引
预习交流
如何用分段讨论法解含绝对值的不等式?
提示:用分段讨论法解含绝对值的不等式时,先求出使每一个绝对
值符号内的多项式等于零的未知数的值(称为零点),再将这些值依次在
数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号
内的多项式在每一个区间上的符号,去掉绝对值符号,使之转化为不含
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
3
2
(3)当 x≥1 时,|x+2|+|x-1|<4⇔x+2+x-1<4⇔2x<3⇔x< ,即
≥ 1,
3
的解集为 1, .
2
| + 2| + |-1| < 4

g ( x) 5
令g ( x) x 1 x 4
f ( x)的 最 小 值 为 5
a
4 a 2 5a 4 由a 5 0成 立 a a 0 a 1或a 4 a (0,1] [4,)
例3、已知关于x的不等式 ax 2 ax a 2(a 0) （1）当a 1时，求此不等式的解集； （2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围。 解：（1）当a=1时，不等式为 x 2 x 1 2 由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型 不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了 数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论 的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现 了函数与方程的思想．
2．绝对值的三角不等式
当且仅当( x a)(1 x) 0 时，即 f ( x) a 1 记不等式( x a)(1 x) 0 的解集为A，则
(3,1) A故a 3
a (,3]
例2、已知关于x的不等式2x 1 x 1 log2 a （其中a 0 ） （1）当 a 4时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数a 的取值范围。 解：（1）令 f ( x) 2x 1 x 1 ，当a 4时， f ( x) 2 1 1 当 x 时， x 2 2 ，得 4 x ; 2 2 1 当 x 1 时， 3 x 2 ，得 4 x 2 ; 2 3 当 x 1 时， x 0 ，此时的x不存在。
2 x 5, x 2 1,2 x 3 2 x 5, x 3

含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。

答案为{}51<<-x x 。

(解略)（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。

例2。

解不等式22x xx x >++。

分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。

解:原不等式等价于2xx +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。

分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和 图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．
2．解不等式|x－2|－|x＋7|≤3.
解：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2. ①当x<－7时， 不等式变为－x＋2＋x＋7≤3， ∴9≤3.∴ 解集为空集．
②当－7≤x≤2时，
不等式变为－x＋2－x－7≤3，
(3)若不等式解集为∅，这样的m不存在，即m∈∅.
点击下图进入创新演练
，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．
2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法 几何意义 ①利用绝对值不等式的
求解，
体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值 不等式以准确的几何解释是解题关键．
②以绝对值的 零点 为分界点，将数轴分为几个区
间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思
1．解下列不等式：
(1)|3－2x|<9；(2)|x－x2－2|>x2－3x－4； (3)|x2－3x－4|>x＋1 解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9. ∴－9<2x－3<9. 即－6<2x<12. ∴－3<x<6.
∴原不等式的解集为{x|－3<x<6}．
(2)法一：原不等式等价于 x－x2－2>x2－3x－4 或 x－x2－2< －(x2－3x－4)． ∴原不等式的解集为{x|x>－3}． 法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|， 12 7 而 x －x＋2＝(x－ ) ＋ >0， 2 4
绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值， 再分别写出三种情况下m的范围．

??x<1或x>3，
即?x≤9，
? ?
x≥－5.
∴－5≤x<1 或 3<x≤9.
∴原不等式解集为 {x|－5≤x<1 或 3<x≤9}．
10
法二：原不等式可转化为 －7≤2－x<－1或1<2－x≤7， ∴3<x≤9或－5≤x<1， ∴原不等式解集为 {x|－5≤x<1或3<x≤9}． 【名师点评】 本例题是不等式的一种常见 题，第二种解法要比第一种解法更为简 单．也可根据绝对值的意义解题．
13
【解】 ∵A＝{x||2 －x|<5}＝{x||x－2|<5}＝ {x|－5<x－2<5}＝{x|－3<x<7}； B＝{x||x＋a|≥3}＝{x|x＋a≥3，或 x＋a≤－ 3}＝{x|x≥3－a ，或 x≤－ a －3}， 又A∪B＝R，借助数轴如图所示．
14
?－a－3≥－3， a 应满足??3－a≤7. ∴－4≤a≤0. ∴a 的取值范围是{a|－4≤a≤0}． 【名师点评】 解此类题，常借助数轴考虑， 把不变的集合固定好，让含参数的集合移动， 使它满足已知条件即可．
2
(2)分段讨论法： | ax ＋b|≤c(c>0)? ?ax＋b≥0 ?ax＋b<0 ??_a_x_＋__b_≤__c___或__??_－____a_x_＋__b___≤__c__._____
3
3．解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型 不等式，除分段讨论法外，还可用 函__数__法__或__几__何__意__义__ ( 课本上叫做图象法、几 何法)．
学习目标 1.根据不等式的性质，利用绝对值不等式的 几何意义求解单向或双向的绝对质不等式； 2．在进行含有参数的不等式的求解问题时， 要学会分类讨论 . 3.掌握常见不等式 |x－c|＋|x－b|≥a的解 法．并会运用分段讨论法、图象法和几何法 来求解．

高三第一轮复习数学---含绝对值的不等式的解法一、教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法二、教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算三、教学过程：（一）主要知识：1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）；（4）图象法或数形结合法；(如讨论a x x =--122的解有个数)（5）不等式同解变形原理：即()a x a a a x <<-⇔><0()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔<()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或03、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。

（二）主要方法：1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；2．去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．（三）例题分析：例1、解下列不等式（1）x x 3232->-解：原不等式等价于032<-x ，所以不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x （2）532<-x（3）x x 232>-（4）4321≤-≤x（5）1+<x x（6）312-->+x x（7）22<+ax例2、设0>a ，不等式c b ax <+的解集为{}12<<-x x ，求c b a ::答：c b a ::=2：1：3例3、若a x x >+++12恒成立，求实数a 的取值范围。

(-6)( + 1) < 0
-5-6 < 0
-1 < < 6.
∴-1<x<2或3<x<6.
∴原不等式的解集为{x|-1<x<2或3<x<6}.
题型一
题型二
题型三
题型四
方法二:作函数y=x2-5x的图象,如图所示.
|x2-5x|<6表示函数图象中直线y=-6和直线y=6之间相应部分的自
故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4.
∴x>-3.∴原不等式的解集为{x|x>-3}.
反思本题形如|f(x)|>g(x),我们可以借助形如|ax+b|>c的解法转化
为f(x)<-g(x)或f(x)>g(x),当然|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).如果f(x)的
正负能确定的话,也可以直接去掉绝对值号再解不等式.
解法二:3≤|x-2|<4⇔3≤x-2<4或-4<x-2≤-3⇔5≤x<6或-2<x≤-1.
∴原不等式的解集为{x|-2<x≤-1或5≤x<6}.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 不等式|5x-x2|<6的解集为(
)
A.{x|x<2或x>3} B.{x|-1<x<2或3<x<6}
C.{x|-1<x<6}
借助函数的图象,用数形结合来解得a的范围.而理解这几种表述方
式对掌握本节知识有很好的帮助.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 解|ax+b|≥c(c>0)和|ax+b|≤c(c>0)型的不等式

• 5．不等式|x－1|－|x＋4|＞1的解是_________. • 6．不等式x2－2|x|－15＞0的解集为________ .
• 7．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集为空集，
•
则a的取值范围为 ( ) (A)(3,＋∞) (B)[3,＋∞) ∞,3) 围是 (A) m＞2 (C)(－∞,3] (D)(－
行讨论，如本例需对a+1的符号进行讨论，否则易导致错误结
果.
变式1 解不等式
|x－a|＞a．
例2 解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为 5x-6<6-x，解得x<2, 所以6/5≤x＜2 (Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时，不等式化为 -(5x-6)<6-x，解得x>0 所以0<x<6/5 取(Ⅰ)、 (Ⅱ) 并集得原不等式解集为(0, 2)
5.2.1 含有绝对值的 不等式的解法
复习：
1.绝对值的定义: |x|= 2.几何意义:
x2
B O
x 0 -x
x>0 x=0 x<0
一个数的绝对值表示数轴上这个数对 应的点到原点的距离.
x1
A x
|x1| =OA |x2| =OB
|x2-x1| =AB
两个数的差的绝对值表示数轴上这两个 个数对应的两点间距离.
变式1.不等式|x－1|＞|x－2|的解集为 ______.
变式2
x－ 1＞ ( 2－x ) 2 ,
求它的解集.
【解析】
x－ 1 ＞( 2－x) (x－ 1) ＞ 2－x 3 x 2－2x 1＞x 2－4x 4 2x＞3 x＞ , 2 又2－x≥0，所以x≤2.

【最新整理，下载后即可编辑】解绝对值不等式1、解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等。

变形一右边的常数变代数式2、解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值3、解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1变形二 含两个绝对值的不等式 4、解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。

5、 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1)6．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为 。

7．求不等式1331log log 13x x+≥-的解集.变形三 解含参绝对值不等式8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。

若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。

在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。

2）形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：① 当a >0时，|()f x |<a ⇔－a <()f x <a ；|()f x |>a ⇔()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x ≠0③ 当a <0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x 有意义。

高三一轮复习
谢 谢观 看
读书当将破万卷；求知不叫一疑存。读书之法，在循序而渐进，熟读而精思，喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。自得读书乐，不邀为 善名。有时间读书，有时间又有书读，这是幸福；没有时间读书，有时间又没书读，这是苦恼。不读书的人，思想就会停止。读书时要深思多问。只读而不想， 就可能人云亦云，沦为书本的奴隶；或者走马看花，所获甚微。为乐趣而读书。立身以立学为先，立学以读书为本读书而不能运用，则所读的书等于废纸。读书 可以培养一个完人，谈话可以训练一个敏捷的人，而写作则可造就一个准确的人。读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。养心莫若寡欲；至乐无如读 书。身边永远要着铅笔和笔记本，读书和谈话时碰到的一切美妙的地方和话语都把它记下来。凿壁偷光，聚萤作囊；在读书上，数量并不列于首要，重要的是书 的品质与所引起的思索的程度。劳于读书，逸于作文。、没有比读书更廉价的娱乐，更持久的满足了。从来没有人为了读书而读书，只有在书中读自己，在书中 发现自己，或检查自己。不怕读得少，只怕记不牢。莫等闲，白了少年头，空悲切！书籍是培育我们的良师，无需鞭答和根打，不用言语和训斥，不收学费，也 不拘形式，对图书倾注的爱，就是对才智的爱。熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。书到精绝潜心读；文穷情理放声吟读万卷书，行万里路。书犹药也，善读之 可以医愚。如果把生活比喻为创作的意境，那么阅读就像阳光。书籍是少年的食物，它使老年人快乐，也是繁荣的装饰和危难的避难所，慰人心灵。在家庭成为 快乐的种子，在外也不致成为障碍物，但在旅行之际，却是夜间的伴侣。读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。饭可以一日不吃，觉可以一日不睡， 书不可以一日不读。、读过一本好书，像交了一个益友。读书有三到，谓心到，眼到，口到立身以立学为先，立学以读书为本。读书而不思考，等于吃饭而不消 化。为中华之崛起而读书。来书籍是在时代的波涛中航行的思想之船，它小心翼翼地把珍贵的货物运送给一代又一代。书籍是最好的朋友。当生活中遇到任何困 难的时候，你都可以向它求助，它永远不会背弃你。1、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。有些事情本身我们无法控制，只好控制自己。挫折时，要 像大树一样，被砍了，还能再长；也要像杂草一样，虽让人践踏，但还能勇敢地活下去。人的活动如果没有理想的鼓舞，就会变得空虚而渺小。莫向不幸屈服， 应该更大胆、更积极地向不幸挑战！一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。志在山顶的人，不会贪念山腰的风景。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个 有价值的人。旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。强者向人们揭示的是确认人生的价值，弱者向人们揭示的却是对人生的怀疑。不要对挫折叹气，姑且把 这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。成功源于不懈的努力。积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。对的，坚持；错的，放弃！理想 的路总是为有信心的人预备着。这社会你改变不了就得适应，适应不了就得被淘汰！这叫适者生存！宁愿跑起来被拌倒无数次，也不愿规规矩矩走一辈子，就算 跌倒也要豪迈的笑。没有伞的孩子必须努力奔跑。你不勇敢，没人替你坚强。态度决定一切，实力捍卫尊严！人要经得起诱惑耐得住寂寞！虽然你的思维相对于 宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥有一切宇宙智慧。成功者绝不放弃，放 弃者绝不会成功。人生不售来回票，一旦动身，绝不能复返。自己要先看得起自己，别人才会看得起你。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。1、 人生的光荣，不在于永不言败，而在于能够屡扑屡起。——拿破仑游手好闲的人最没有空闲不经风雨，长不成大树；不受百炼，难以成钢过去属于死神，未来属 于你自己。人的一生，是很短的，短暂的岁月要求我好好领会生活的进程……攀登顶峰，这种奋斗的本身就足以充实人的心。人们必须相信，垒山不止就是幸福。 老骥伏枥，志在千里；烈士暮年，壮心不已。大鹏一日同风起，扶摇直上九万里。不会宽容人的人，是不配受到别人的宽容的。不经过本身的努力，就永远达不 到自己的目的，任何外来的帮助也不能代替本身的努力。子女中那种得不到遗产继承权的幼子，常常会通过自身奋斗获得好的发展。而坐享其成者，却很少能成 大业。明日复明日，明日何其多！日日待明日，万事成蹉跎。世人皆被明日累，明日无穷老将至。晨昏滚滚水东流。今古悠悠日西坠。百年明日能几何？请君听 我《明日歌》我希望你照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。百金买骏马，千金买美人；万金买高爵，何处买青春除非一个人有大 量的工作要做，否则他不可能从懒散空闲中得到乐趣。如果我们以为只有野心和爱情这类强烈的激情才能抑制其他情感，那就错了。懒惰尽管柔弱似水，却常常 把我们征服：它渗透进生活中一切目标和行为，时钟随着指针的移动滴答在响：“秒”是雄赳赳气昂昂列队行进的兵士，“分”是士官，“小时”是带队冲锋陷阵的骁勇 的军官。，所以当你百无聊赖，胡思乱想的时候，请记住你掌上有千军万马；你是他们的统帅。检阅他们时，你不妨问问自己——他们是否在战斗中发挥了最大 的作用。沧海可填山可移，男儿志气当如斯。从来便没有什么救世主，也不靠神仙皇帝，要创造人类的幸福，全靠我们自己。任何人都应该有自尊心自信心独立 性，不然就是奴才。但自尊不是轻人，自信不是自满，独立不是弧立。三更灯火五更鸡，正是男儿发愤时。黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。醉斩长鲸倚天剑， 笑凌骇浪济川舟。富贵不淫贫贱乐，男儿到此是豪雄。滴自己的汗，吃自己的饭。自己的事情自己干，靠人靠天靠祖上，不算是好汉。你要做一个勇敢的少年人， 不可为一些芝麻小事在那儿大惊小怪。你知道，弱者在这世界上是不好过日子的。真正的敏捷是一件很有价值的事。因为时间是衡量事业的标准，如金钱是衡量 货物的标准时间是一位可爱的恋人，对你是多么的爱慕倾心，每分每秒都在叮嘱；劳动创造别虚度了一生。与善人居，如入兰芷之室，久而不闻其香；与恶人居。 如入鲍鱼之肆，久而不闻其。光勤劳是不够的，蚂蚁也非常勤劳。你在勤劳些什么呢？有两种过错是基本的，其他一切过错都由此而生：急躁和懒惰。时间会刺 破青春的华丽精致，会把平行线刻上美人的额角，会吃掉稀世珍宝，天生丽质，什么都逃不过他横扫的镰刀。人，只要有一种信念，有所追求，什么艰苦都能忍 受，什么环境也都能适应。我年轻时注意到，我每做十件事有九件不成功，于是我就十倍地去努力干下去。滴自己的汗，吃自己的饭。自己的事情自己干，靠人 靠天靠祖上，不算是好汉。”天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。古今中外，凡成就事业，对人类有所作为的人，无一不是脚踏实地艰苦登攀的 结

一．课题：含绝对值的不等式的解法二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．四．教学过程：（一）主要知识：1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．（二）主要方法：1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；2．去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．（三）例题分析：例1．解下列不等式：（1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->．解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,)(,5]22--． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤-时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞．例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞；（2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞．解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <；（2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a bx -≥①或2()2a b x x a b+≤⇒≤+②，当0a b >>时，由①得2x a b ≥-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或2x a b≤+； 当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+； 当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+． 综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b -∞+∞+-， 当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b-∞+． 例4．已知{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，求实数a 的取值范围． 解：当0a ≤时，A φ=，此时满足题意；当0a >时，33|23|22a a x a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102a a a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩， 综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）在一条公路上，每隔100km 有个仓库（如下图），共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？解：以一号仓库为原点建立坐标轴，则五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ，设货物集中于点:B x ，则所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-，当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =；当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<；当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．综上可得，当400x =时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．（四）巩固练习：1．||11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5-∞； 2．不等式||1||||a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a ∈(7,)+∞； 4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，则x ∈(1,)+∞ ．五．课后作业：《高考A 计划》考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2
2 + 1 ≠ 0,
4.不等式(x-1)(x-2)(x-3)<0的解集为
.
答案 (-∞,1)∪(2,3)
解析 方程(x-1)(x-2)(x-3)=0的三个根分别为1,2,3,标根穿线如图所示.故解
集为(-∞,1)∪(2,3).
关键能力 学案突破
考点1
幂函数的概念
α
【例 1】 (1)已知幂函数 f(x)=k·x 的图像经过点
() ≥ 0,
(3) ()<g(x)⇔ () ≥ 0,
() < 2 ().
5.一元高次不等式的解法(标根穿线法)
(1)化x的最高次系数为正;
(2)在数轴上标出方程的根;
(3)从数轴上方穿针,奇穿偶回;
(4)写出解集.
常用结论
1.幂函数y=xα的图像在第一象限的两个重要结论
(1)恒过点(1,1);
综上,不等式的解集为(-3,2).
(3)由|2x-1|-|x-2|<0,得|2x-1|<|x-2|,∴(2x-1)2<(x-2)2,
∴3x2<3,解得-1<x<1.
∴不等式的解集为(-1,1).
解题心得1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点,选择更简便的方法.
2.零点分段法的好处在于,一段范围可将所有的绝对值一次性去掉,缺点在
0<α<1,下凸时α>1;最后由x>1时,在第一象限内α的值按逆时针方向依次增
大得出结论.
对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应的是
(
)
1
3
1
2
A.①y= ;②y=x2;③y= ;④y=x-1
1

选修4-5学案 §1.2.2含绝对值不等式的解法 姓名 学习目标： 1. 掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法;2. 理解含绝对值不等式的解法思想：去掉绝对值符号，等价转化 ☻知识情景：1．绝对值的定义：a R ∀∈，||a ⎧⎪=⎨⎪⎩2. 绝对值的几何意义：10. 实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A20. ∀两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ，那么||a b -的几何意义是 .3.绝对值三角不等式：①0a b ⋅>时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++.②0a b ⋅<时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++.③0a b ⋅=时,显然有：||||||a b a b ++. 综上,得定理1 如果,a b R ∈, 那么||||||a b a b ++. 当且仅当 时, 等号成立. 定理2 如果,,a b c R ∈, 那么||||||a c ab bc --+-. 当且仅当 时,等号成立. ☻建构新知：含绝对值不等式的解法1．设a 为正数, 根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ，如图所示.2．设a 为正数, 根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ，如图所示.3．设a 为正数, 则10.()f x a <⇔; 20.()f x a >⇔; 30. 设0b a >>, 则()a f x b ≤<⇔.4．10.()f x ≥()g x ⇔ ；20. ()()f x g x <⇔ .☆案例学习：例1解不等式(1)213+<-x x ; (2)x x ->-213.例2 解不等式(1)52312≥-++x x ; (2)512≥-+-x x .例3 解不等式(1) |2||1|x x -<+；(2)4|23|7x <-≤ .例4 (1)（03北京春）若不等式26a x +<的解集为()1,2-，则实数a 等于( ) .A 8 .B 2 .C 4- .D 8-(2) 不等式31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是例5 已知{23}Ax x a =-<，{B x x =≤10}，且A B ⊂≠，求实数a 的范围.选修4-5练习 §1.2.2含绝对值不等式的解法 姓名解不等式 1、 .1122>-x 2、01314<--x3、423+≤-x x .4、 x x -≥+21.5、1422<--x x6、 212+>-x x .7、 42≥-+x x 8、 .631≥++-x x9、 21<++x x 10、 .24>--x x11. 已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值12. 解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）13. 解关于x 的不等式：① 解关于x 的不等式31<-mx ；② a x <-+132)(R a ∈。

解 （1）这个不等式等价于 -5＜2x-3＜5,
-5+3＜2x-3+3＜5+3， -2＜2x＜8,
把x的系数化为1，得 -1＜x＜4,
因此，原不等式的解集为（-1,4).
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
（2）原不等式等价于
数学
基础模块（上册）
第二章 不等式
2.2.4 含有绝对值的不等式
人民教育出版社
第二章 不等式 2.2.4 含有绝对值的不等式
学习目标
知识目标 能力目标
理解含有绝对值的不等式概念及其解集的学习，掌握含有绝对值的不等式的 解题方法
学生运用分组探讨、合作学习，掌握含有绝对值的不等式的解题方法，提高 运用含有绝对值的不等式知识解决实际问题能力
一般地，一元二次不等式可以通过配方化为x2＞m2和 x2＜m2（m＞0）的形式，于是，我们可以将一元二次不等 式化为含有绝对值的不等式进行求解. 试一试
(1)x≤3;
(2) 2 x -1＞3
分析 将不等式化成x≤m或＞m的形式后求解．
解 （1）原不等式的解集为［-3,3]；
（2）这个不等式可化＞2，故其解集为
（- ,- 2)U(2,+ )。
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2x-3≥5，
①
或
2x-3≤-5，
②
不等式①的解集为［4，+ )，不等式②的解集为（- ，-1].
因此，原不等式的解集为（- ，-1]∪［4，+ ).
探索研究 用配方法求解一元二次不等式.

专题解含绝对值符号的不等式1．阅读：我们知道，00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥． 【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x ＜-1，两种情况分别求解可得；（2）分①x -2≥0，即x≥2，②x -2＜0，即x ＜2，两种情况分别求解可得．【详解】解：（1）|x+1|≤2，①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，解这个不等式，得：x≤1由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；②当x+1＜0，即 x ＜-1时：-（x+1）≤2解这个不等式，得：x≥-3由条件x ＜-1，有：-3≤x ＜-1∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．（2）|x-2|≥1①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1解这个不等式，得：x≥3由条件x≥2，有：x≥3；②当x-2＜0，即 x ＜2时：-（x-2）≥1，解这个不等式，得：x≤1，对于含绝对值的不等式3x <，从图1的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值小于3，所以3x <的解集为33x -<<；对于含绝对值的不等式3x >，从图2的数轴上看：小于－3或大于3的数的绝对值大于3，所以3x >的解集为3x <-或3x >．(1)含绝对值的不等式2x 的解集为______；(2)已知含绝对值的不等式1x a -<的解集为3b x <<，求实数a ，b 的值；(3)已知关于x ，y 的二元一次方程1x y m +=--的解满足2x y +≤，其中m 是正数，求m 的取值范围．【答案】11x -<<##11x >>-【答案】3x >或3x <-【分析】首先算出|x |=3的解，然后根据“大于取两边”的口诀得解 ．【详解】解：由绝对值的意义可得：x =3或x =-3时，|x |=3，∴根据“大于取两边”即可得到｜x ｜＞3的解集为：x >3或 x <−3（如图），故答案为：x >3或 x <−3．【点睛】本题考查绝对值的意义及不等式的求解，熟练掌握有关不等式的求解方法是解题关键．5．若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．__________.8．不等式组25x ⎧⎨-≤⎩的解集是（ ） A ．52x >- B ．37x -≤≤ C ．572x -<≤ D ．572x -≤≤ 【答案】x ＜0或x ＞4【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为x≤1，1＜x≤3，x ＞3，三种情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可.试题解析：当x≤1时，原式可变形为1－x ＋3－x ＝4－2x ＞4，解得x ＜0.注意最后要合并解集．11．解不等式：（1）||2x <（2）|21|3x -≥ 【答案】（1）22x -<<；（2）2x ≥或1x ≤-．【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集；（2）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集.【详解】解：（1）∵||2x <，∴22x -<<．（2）∵|21|3x -≥，原不等式变形为：213x -≥或213x -≤-，解得：2x ≥或1x ≤-．【点睛】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握绝对值的意义进行解题.12．解下列不等式：（1）|2|30x +->（2）35572x -+<问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离．⑴. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =．∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3．⑶.解决问题：①.-++x 4x 2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->③.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2． 【答案】①6；②3x <-或1x >；③1a =-或5a =-【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．【详解】解：(3)①设A 表示的数为4，B 表示的数为-2，P 表示的数为x ，∴|4|x -表示数轴上的点P 到4的距离，用线段PA 表示，|2||(2)|+=--x x 表示数轴上的点P 到-2的距离，用线段PB 表示，∴|4||2|x x -++的几何意义表示为PA+PB ，当P 在线段AB 上时取得最小值为AB ， 且线段AB 的长度为6，∴|4||2|x x -++的最小值为6.故答案为：6.②设A 表示-3，B 表示1，P 表示x ，小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.求绝对值不等式3x >的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x 恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示.观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于3；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3；点B 右边的点表示的数的绝对值大于3.因此，小明得出结论，绝对值不等式3x >的解集为：3x <-或3x >.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.①1x >的解集是；x<的解集是.② 2.5x-+>的解集. （2）求绝对值不等式359（3）直接写出不等式24x>的解集是．∴|x|＞1的解集是x＞1或x＜-1；∴|x|＜2.5的解集是-2.5＜x＜2.5；x-+>的解集为：x＞7或x＜-1；可知：359可知：不等式x2＞4的解集是x＞2或x＜-2．对于绝对值不等式||3x <，从图1的数轴上看：大于3-而小于3的数的绝对值小于3，所以||3x <的解集为33x -<<；对于绝对值不等式||3x >，从图2的数轴上看：小于3-或大于3的数的绝对值大于3，所以||3x >的解集为3x <-或3x >．(1)求绝对值不等式|3|2x ->的解集；(2)已知绝对值不等式|21|x a -<的解集为3b x <<，求2a b -的值；|21|x -<2a x ∴-<解得12a -解集为1a -⎧我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离：0x x =-，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 和数2x 对应的点之间的距离；例1解方程2x =，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±，即该方程的解为2x =±．例2解不等式12x ->，如图，在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为1x <-或3x >．例3解方程125x x -++=由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的对应的x 的值.在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应的点在1的右边或2-的左边，若x 对应的点在1的右边，由下图可以看出2x =；同理，若x 对应的点在2-的左边，可得3x =-，故原方程的解是2x =或3x =-．回答问题：（只需直接写出答案）①解方程34x +=②解不等式34x -≥③解方程328x x -++=③328x x -++=，。