含不定值的计算

反常积分收敛判别口诀
反常积分收敛判别口诀：积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。

反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分(又称无界函数的反常积分)。

广义积分判别法不仅比传统的判别法更加精细，而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。

只要研究被积函数自身的性态，即可知其敛散性。

四、定值问题的证法定值问题在初中平面几何中已经多次遇到，只不过没有明确它们是“定值”而已！如：底边固定，顶点在与底边的直线上移动，则三角形的面积为定值； 点在弓形弧上移动，则对底边所张的视角为定值；过圆内一定点任意作弦，则弦被该点所分的两部分之积为定值； ……由此可见，定值问题反映出某种“动态”之下不变的量，正是这种不变的量，才使我们深刻地理解并掌握该“动态”的规律，因此，定值问题有着十分丰富的内容，由它还可以引发出一些生动的故事，引起人们对几何产生浓厚的兴趣．许多定值问题有时摇身一变，而成为我们欲定的轨迹，有些定值命题又可用来求极大、极小值，由于这多种用途，很有必要掌握它们的证法．定值问题常用的证明思路：定值问题，实质上也是一个等量问题．因此，前面介绍的各种方法，都可运用在定值问题中，但针对定值的特点，还应注意以下几个方面．1、探求有时，定值问题中并没有具体给出定值来，这时就需要以特殊位置先求这个定值．特殊情况随题而异，通常以动线处于平行、垂直的位置较易算之；对变动的三角形，则又以正的、等腰、直角为宜；涉及到圆，则圆心、切线、公共弦……又有很多性质好为我们利用．2、转化设法转化成已知的定值问题． 3、途径当定值问题不能转化时，通常可沿如下三条途径去试着论证． (1)证任一情形与某特殊情形有相同之值； (2)证任二情形有相同之值；(3)把任一情形的值用题中给定的常量表示出来．这最后一条，正是以前所讲的计算方法，不过在这里，计算之初，有时要先设一个参变量，以体现“动态”之动，然后以参变量为媒介，计算欲定之值，最后化简得出欲算之值不含该参变量，就表明它在“动态”之中确实不变．例3.12 已知⊙O 1、⊙O 2，每一圆的圆心在另一圆周上，A 、B 是二圆之交点，过B 任作一割线分别交二圆于M 、N ，B 在M 、N 之间． 试求：切圆于M 、N 之二切线间的夹角．探索：从题意看，随割线的位置不同，所求之角若变化，这样是求不出的，因此所求之角应与割线无关，故不妨以特殊位置先定其大小．相对于公共弦AB ，宜取与它垂直的割线M 0N 0，如图3-83，这时，由∠ABM 0=∠ABN 0=90o可知，AM 0、AN 0分别过各圆之圆心．故△AM 0N 0是正△，因而易知所求之角应为120o．依此证之如下：证法1：与特殊值皆等如上之探索，先作一特殊割线M 0N 0，再作任一割线MN ，如图3-84．图 3-83图 3-84∵ ∠M 0AM =∠M 0BM =∠N 0BN =∠N 0AN ，∴ ∠MAN =∠M 0AN 0=60o．由弦切角定理，∠TMN +∠TNM =∠MAB +∠NAB =∠MAN =60o．∴ ∠MTN =120o(定值)． 证法2：任二值相等将上述证法中的M 0N 0换成任意位置M 1N 1，如图3-85，则照搬上述过程，可证出∠MTN =∠M 1T 1N 1，即二切线之夹角为定值．证法3：算出任一个由每个圆心在另一圆上可知：∠AO 1B =∠AO 2B =120o． 对任一割线MN ，如图3-86，皆有：o 11602AMN AO B ∠=∠=，o 21602ANM AO B ∠=∠=，∴ △AMN 是正三角形⇒∠MAN =60o．∴ αβ+=60o ⇒∠MTN =120o(定值)．本例的三种证法，体现了上面所述的证定值问题的三种途径．不过，单凭第二种，只能肯定是定值，而未能定出具体值，但任二情形当然也包括特殊的，故如探索，即可定出．最后补充一点：如图3-87，B 不在M 、N 之间．∵ ∠AMN =180o -∠AMB =180o-∠AO 2B =180o -120o =60o，o 21602ANB AO B ∠=∠=，∴ △AMN 是正三角形⇒∠MAN =60o．又 ∠AMT =∠ABM ，∠ANT =∠ABM ，∴ A 、M 、N 、T 四点共圆⇒∠MTN =∠MAN =60o．即，如果题中省略“B 在M 、N 之间”，则二切线MT 、NT 的夹角是60o或120o．例3.13 定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆周上滑动，SP ⊥AB 于P ，M 是ST 之中点．求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角． 探索：题中没给出角的大小，故应以特殊位置S 0T 0探求． 相对于AB ，以S 0T 0∥AB 为宜，因为这时具有对称性，如图3-88，容易看出：∠S 0P 0M 0=∠S 0OM 012=∠S 0OT 0．图3-85图3-86图3-870图 3-88依此看来，弦长一定，所对的圆心角也定，而定角正是这弦长一定的产物．依此，可得如下两种证法．证法1：化归为圆心角如图3-89，连结OM 、OS 、OT ，则有：OM ⊥ST ⇒S 、P 、O 、M 四点共圆⇒SPM SOM ∠=∠，而 12SOM SOT ∠=∠．∴ 12SPM SOT ∠=∠=定值．证法2：化归为圆周角为使定角移至圆周角，先画出全圆周，再延长SP 交另一半圆周于Q ，再连TQ ，如图3-90，则由中位线定理知：PM ∥QT ．故 ∠SPM =∠SQT =定值．例3.14 已知：正△ABC 的边长为1，如图3-91，等腰△DBC 的顶角∠BDC =120o ，以D 为顶点任作一个60o的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ．求证：△AMN 的周长等于2．分析：因2AB BC +=，容易看出：△AMN 的周长等于2⇔MN BM CN =+， 于是，只需证后式即可．为此，在MN 上取点E ，无论是使M DE M DB ∠=∠，还是使ME MB =，或是使DE ⊥MN ，企望直接用全等形去证：E 把MN 分成的两段恰与BM 、CN 分别相等，因缺一条件而遇到困难．既然直接去证困难，我们改用间接去证．证法1：同一法如图3-92，作M D E M D B ∠=∠，且使DE DB =，则有：△MDE ≌△MDB ⇒M ED M BD ∠=∠=90o． ∵ DB DC =， ∴ DE DC =． 又 NDE MDE MDN ∠+∠=∠=60o．NDC MDB ∠+∠=120o MDN -∠=60o．∴ NDE NDC ∠=∠． ∴ △NDE ≌△NDC ⇒NED NCD ∠=∠=90o．∴ M 、E 、N 三点共线，即E 在MN 上． 再由两组全等形知：BM EM =，CN EN =， ∴ MN BM CN =+．证毕．既然把MN 分成两段去证有难度，何不反过来，把BM 、CN 合成一段！即有：证法2：作出线段和如图3-93，延长MB 至F ，使BF CN =，连结DF ．则易知：Rt △BDF ≌Rt △CDN ⇒BDF CDN ∠=∠，DF DN =．从而有 MDF MDN ∠=∠=60o．图 3-89图3-90图3-91图 3-92图 3-93∴ △MDF ≌△MDN ，∴ MN MF BM CN ==+．证毕．作出图3-93中的辅助线还有下列方式：作BDF CDN ∠=∠，使DF DN =(或使DF 交MB 的延长线于F )，或将△CDN 绕点D 逆时针旋转120o，然后去证都行的通，自行不妨一试．当然，也可在NC 的延长线上作出MB ，但无本质区别．如果一时引不出辅助线，也可采用计算的办法，因为本例中含有直角等一些特殊角．证法3：计算如图3-94，设BM a =，CN b =，在△CDN 中，由余弦定理：222o 2cos60MN AM AN AM AN =+-⋅⋅22(1)(1)(1)(1)a b a b =-+---- 221()a b a b ab =++-+-在△BDC 中，易算得BD CD ==故tan α，tan β=．又tan 60tan()o αβ==+=，∴ 1()3a b ab -+=，∴ 22222()MN a b ab a b =++=+，即 MN BM CN =+． 引申：对本例细加分析，就可看出它的来源，并加以推广．首先，从证法1中容易看出：自D 作DE ⊥MN于E ，如图3-95，则有DE DB DC ==，故以D 为圆心，以DB 为半径画圆，则BMNC 正是与此圆相切的折线，切点为B 、E 、C ．于是，原题的条件和结论：12MDN BDC ∠=∠，△AMN 的周长等于2AB ，都是十分显然的，因此，原命题之逆也是一个定值问题，即有：例3.15 已知：正△ABC 的边长为1，如图3-91，等腰△DBC 的顶角∠BDC =120o，∠MDN 的两边分别交AB 、AC 于M 、N ．若△AMN 的周长等于2，则∠MDN 为定值(60o)．从图3-95中进一步可看出，保持相切关系不变，当切点B 或C 在圆上滑动时，如图3-96，则正三角形变为等腰三角形，此时，12MDN BDC ∠=∠，△AMN 的周长等于2AB ，仍然成立．再隐去相切之圆，可得到如下推广：例3.16 已知等腰△ABC 中，AB AC =，D 与A 在BC 之异侧，且BD ⊥AB ，CD ⊥AC ，M 、N 分别在AB 、AC 上．则12MDN BDC ∠=∠⇔△AMN 的周长等于2AB ．这再一次表明：深挖一下题目的背景和来源，有利于我们加深理解并加以推广．图3-94图3-95图 3-96如前所述，定值问题也可用来解决极值问题，对此，请看一道赛题． 例3.17 设定点A 位于定圆⊙O 外，自A 引⊙O 的二切线AB 、AC ，再在劣弧 BC上任取一点P ，过P 引切线分别与AB 、AC 相交于M 、N ，如图3-97．试问：P 点在劣弧 BC上移动到何处时，△AMN 的面积最大？并证明之．证法1：利用定值 由上例可知：△AMN 的周长为定值．而周长为定值的三角形以正三角形的面积为最大．又因∠MAN 为定角，故△AMN 只能以等腰时的面积为最大，因此，当P 处于 BC的中点时，△AMN 的面积为最大． 证法2：计算如图3-97，设⊙O 的半径为r ，△AMN 的面积为S ．则：S ABOC BMNCO =-四边形的面积五边形的面积2MNO ABOC S ∆=-四边形的面积，由于四边形ABOC 的面积为定值，12MNO S r MN ∆=⋅，故当MN 最小时，S最大．记BOM α∠=，CON β∠=，则有：tan MP BM r α==，tan PN CN r β==， 所以，(tan tan )tan()(1tan tan )MN MP PN r r αβαβαβ=+=+=+-，其中，1tan()tan tan 2r r BOC r BOA αβ+=∠=∠AB =为定值，而cos cos sin sin 2cos()1tan tan cos cos cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβ-+-==-++，故知当αβ=时，MN 达到最小值．此时易知，P 是 BC的中点． 所以，当P 滑动到 BC的中点时，△AMN 的面积最大． 进而，我们还可以求出△AMN 面积的最大值来： 如图3-98，当△AMN 的面积S 最大时，易知P 也是MN 与AO 的交点．设AO a =，则cos()cos OB rBOA OA aαβ+=∠==， ∴ 221tan tan 1r a rr a a rαβ-==++． 又tan()tan AB BOA OB αβ+=∠= ∴2r MN r a r ==+最小图 3-97图 3-98∴ 12S AP MN =⋅=最大最小 当然，MN 的最小值也可由△AMP ∽△AOB 求出：MP APBO AB =⇒BO AP MP AB ⋅===⇒2MN MP ==最小．此外，还有定位问题，即在动态之中，某些动线恒过定点等，它们也很有趣．请看下节的例3.26．。

定值的概念解释全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：定值，顾名思义即“固定数值”，是一个在数学、物理学、工程科学等领域常见的概念。

在这些学科中，定值是指在一个过程或系统中所具有的一个确定的数值，该数值在一定条件下保持不变。

在物理学中，定值通常用于描述一个系统的特定物理量。

一个物体的质量、长度或者电荷数量等都可以视为定值。

这些物理量在一个特定的环境下通常是不会发生改变的，即它们具有固定的数值。

定值在物理学中具有重要的意义，它可以帮助科学家们更好地理解物体的性质以及系统的运行机理。

在工程科学中，定值也扮演着至关重要的角色。

工程师们在设计各种设备和系统时，通常需要考虑到各种因素的定值。

在设计一座桥梁时，工程师们需要考虑到桥梁的长度、宽度、承重能力等物理量的定值，以确保桥梁的结构稳定可靠。

定值在工程科学中的应用范围非常广泛，它可以帮助工程师们准确地设计和制造各种设备。

在数学中，定值是一个常见的概念。

数学中的定值通常指的是一个常数，即一个固定的数值。

π是一个著名的定值，它代表着圆周率的数值，是一个无理数。

在代数方程中，常常需要考虑到各种参数的定值，以确定方程的解。

定值在数学中扮演着重要的角色，它可以帮助数学家们推导出各种数学定理和公式。

定值是一个非常重要的概念，它在数学、物理学、工程科学等领域都有着广泛的应用。

通过研究和理解定值，我们可以更好地理解和描述各种现象和系统，从而推动科学技术的发展。

希望本文对定值的概念有着更加清晰的理解。

第二篇示例：定值是一个常用的概念，在不同领域都有不同的含义和应用。

在数学和工程领域，定值通常指一个固定的数值或参数，在某个范围内不变的值。

在统计学中，定值通常指一个不随机变量的取值。

在计算机科学中，定值通常指一个不可更改的常量。

定值在各个领域都有着重要的作用和应用，下面就让我们来深入探讨一下定值的概念和应用。

在数学和工程领域，定值是指一个不变的数值或参数。

定值通常用来表示一个固定的量，比如一条直线的斜率，一个圆的半径，或者一个方程的常数项。

储能电站继电保护定值计算储能电站继电保护是保障系统安全稳定运行的重要组成部分，它能够在异常情况发生时及时切除故障，保护设备不受损坏，同时还能确保储能电站的输出稳定性和可靠性。

因此，正确进行定值计算对储能电站继电保护的可靠性和运行效果有着至关重要的影响。

定值计算是指根据系统运行特性和设备参数，确定继电保护中各种保护元件的额定参数。

定值计算的目的是使继电保护能够准确、可靠地识别系统异常和故障，并在需要时迅速切除故障。

下面我们将详细介绍储能电站继电保护定值计算的具体步骤。

首先，要明确储能电站的工作原理和组成结构。

储能电站通过将电能转化为其他形式的能量进行储存，以备不时之需。

常见的储能形式包括电容、电压源和化学电池等。

了解储能电站的工作原理有助于准确判断异常情况及制定相应的保护策略。

其次，要对储能电站的输出特性进行分析。

储能电站在不同负载和运行状态下，其输出电流和电压可能会有所变化。

因此，在定值计算中考虑到不同负载条件下的特性曲线，可以更准确地判断故障和异常情况，从而提高继电保护的可靠性。

接下来，根据储能电站的工作方式和特性，确定各种保护元件的额定参数。

常见的保护元件包括过电流保护、差动保护和间隙保护等。

根据不同的保护类型，使用适当的定值计算方法进行计算。

例如，在过电流保护中，可以使用潮流计算和保护动作时间计算等方法，结合设备的额定参数、运行状态和系统负荷情况，确定保护元件的整定值。

最后，要对定值计算结果进行验证和调整。

通过仿真模拟和实际测试等手段，验证计算所得的定值是否能够满足系统的保护要求和动作特性。

如果存在不足或调整需求，可以根据实际情况对定值进行调整。

同时，还要记录和保存定值计算结果及调整过程，以备将来参考和更新。

总结起来，储能电站继电保护定值计算是一项综合性的工作，需要深入理解储能电站的工作原理和特性，合理选择保护元件和计算方法，并进行验证和调整。

只有在定值计算的基础上，继电保护系统才能够正常运行，确保储能电站的稳定性和可靠性。