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分式的通分

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分式通分)

分式通分)
1 1 解： 与 的最简公 分母为( x y )( x y ), x y x y 即 x 2 y 2 , 所以
1 1 x y ) （ x y 2 , 2 x y ( x y )( x y ) x y
1 1 x y ) ( x y 2 . 2 x y ( x y )( x y ) x y
3 a b (1) 2 与 2 ; 2a b ab c
分析：为通分要先确定分式的公分母. 取各个分母的所有因式的最高次幂的积作公 分母，它叫做最简公分母.
（1）最简公分母是2a2b2c. 解：
3 3bc 3bc 2 , 2 2 2 2a b 2a bbc 2a b c a b (a b)2a 2a 2 2ab . 2 2 2 2 ab c ab c2a 2a b c
（2）最简公分母是(x+5)(x-5).
2x 2 x ( x 5) 2 x 2 10x 2 , x 5 ( x 5)( x 5) x 25 2 3x 3 x ( x 5) 3 x 15x 2 . x 5 ( x 5)( x 5) x 25
分式的通分
利用分式的基本性质，类比分数的约分和通分，
分式的通分
与分数的通分类似，也可以利用分式的基 本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变 分式的值， 把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等 的同分母分式，这样的分式变形叫做分式的通分 .
分式的通分
例1 通分：
2x 3x ( 2) 与 . x5 x5
(3)
1 x²－y² ,
1 x²＋xy
(x＋y)(x－y) ∵ x²－y²＝________________,
x(x＋y) x²＋xy＝_____________,

分式通分_精品文档

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分式通分分式通分是在计算和简化分式运算中的一项重要的基本方法。

在分式中，有时候需要将分母不同的两个或多个分式进行通分，使它们的分母相同，从而方便进行后续的运算。

这是因为当分母相同时，我们就可以直接对分子进行相加或相减的运算。

通分的方法有很多种，下面将介绍几种常用的通分方法。

1. 直接相乘法：当两个分式的分母不同时，我们可以通过直接相乘的方法来进行通分。

假设有两个分式，分别为a/b和c/d。

我们可以将a/b乘以d/d，将c/d乘以b/b，从而得到相同分母的两个新分式，分别为ad/bd和cb/bd。

这样，我们就可以对它们的分子进行运算了。

2. 公因式法：当两个分式的分母有公因式时，可以通过提取公因式的方法来进行通分。

假设有两个分式，分别为a/b和c/d。

我们可以找到它们的分母的最小公因式，假设为m。

然后，我们可以将这两个分式分别乘以 m/b 和 m/d，得到相同分母的两个新分式，分别为am/mb和cm/md。

这样，我们就可以对它们的分子进行运算了。

3. 增减分法：当两个分式的分母不同时，可以通过增减分的方法来进行通分。

假设有两个分式，分别为a/b和c/d。

我们可以通过将这两个分式分别乘以 d/d 和 b/b，得到相同分母的两个新分式，分别为ad/bd和cb/bd。

然后，我们可以将ad/bd和cb/bd相加或相减，得到最终的结果。

通过上述的通分方法，我们可以方便地将分母不同的分式进行通分，从而实现对其进行计算和简化。

除了这几种常用的通分方法外，也可以根据具体情况灵活运用其他的通分方法。

在实际应用中，我们需要灵活地根据题目要求和计算需要选择最适合的通分方法，以便进行后续的运算。

需要注意的是，在进行通分时，我们通常会选择最简分式进行运算和简化。

最简分式是指分子和分母的最大公因数为1的分式。

因此，在进行通分后，我们可能需要对得到的新分式进行约分，以得到最简分式。

总结起来，分式通分是在计算和简化分式运算中的重要方法。

分式的通分经典练习题

分式的通分经典练习题

1【基础知识】分式的通分1.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分.2.最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，该公分母叫做最简公分母.3.确定最简公分母的一般步骤： ①取各分母系数的 .②单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式. ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数 . ④保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取. 【题型1】分式的通分 通分：（1）1ab 2与53a 2c ； (2)x 2y 与23xy 2； (3)2n n －2与3n n ＋3； （4）1x 2－4与x4－2x.【变式训练】1.分式yx y x y x 322231,3,53的最简公分母是______________. 2.分式12x 2，2y -xy 2，3x的最简公分母是 . 3.通分 (1) yx xy 3275与53； (2)2245与54ac b cab a ； （3）22245与32bcc ab .2（4）22294,65,31m n m mn； (5)222,53,4ac bbca cb a-.（6）625与32--x x x ； （7）aba a 253与522-+. （8）)(5与)(4y x b y y x a x -+； （9）b a bb ab a ++23与222.（10）y x x x y 2与4222+- ； （11）43与422-+x x x .（12）))((5与32b a b a b ab +--； （13）)(与)(222x y b yy x a x --.（14）93与96522-++m am m a ； （15）2x x 2＋2x 与x －6x 2－4；。

分式通分的技巧

分式通分的技巧

分式通分的技巧一、分组通分例1、计算：xy x y x y x y x y x y x y x --+-----+-24352 分析：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。

解：原式)23(452yx x y x y x y x y x y x y x ---+-+--+-= 222244xy xy y x xy y x y x y x y x -=--=-+-+-= 反思：当遇到的分式较多时可以观察是否有相同分母的分式适当分组结合，先将同分母分式相加减，再通分，可以使计算更加简便。

二、先约分再求值例2、计算：969362222++-+++x x x x x x x 分析：我们观察到两个分式都不是单项式，看起来很复杂，计算起来肯定不会很轻松，应首先想到运用约分化简后再计算。

解：原式3323336)3()3(3()3()6(2++=+-+++=+-++++=x x x x x x x x x x x x x 反思：在进行分式加减运算时，不能简单的盲目进行通分，首先要根据题目自身的特点，选用合适的方法，以使运算过程适当简化，本题中利用公式因式分解后，先约分再进行计算就比较简单。

三、逐步通分法例3、计算：4214121111xx x x ++++++- 分析：我们在计算时，会发现计算的分式较长，不知如何下手，但我们仔细观察各个分式的特点，会发现可以巧妙运用平方差公式逐步通分，会得到想要的结果.解：原式844422181414141212xx x x x x -=++-=++++-= 反思：本题如果用常规方法进行计算太繁琐，根据题目特点巧用平方差公式，采用逐步通分法，从而使运算简便。

四、整体通分法例4、计算y x yx x +-+2分析：我们看到题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式yx y y x y x y x x y x y x x +=+--+=--+=22222)( 反思：将后两项看作一个分母为“1”的整体可使运算简便。

分式的基本性质通分

分式的基本性质通分

梳理
1、分式的基本性质。
2、分式的约分，最简分式。
3、分式的通分，最简公分母。
再见
25a bc (1) 约分： 2 15ab c
2
示范
3
x 9 ( 2) 2 x 6x 9
2
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式。
5ac2 25a 2 bc3 5abc 5ac2 解： (1) 2 3b 15ab c 5abc 3b
x2 9 ( x 3)( x 3) x3 ( 2) 2 2 x 6x 9 ( x 3) x3
1 1 解： 与 的最简公 分母为( x y )( x y ), x y x y 即 x 2 y 2 , 所以
1 1 （ x y) x y 2 , 2 x y ( x y )( x y ) x y
1 1 ( x y) x y 2 . 2 x y ( x y )( x y ) x y
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
C , C C .(C 0) C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式。
分式的约分
把一个分式的分子和分母的公因式 约去,不改变分式的值，这种变形叫做分 式的约分。 1.约分的依据是：分式的基本性质 2.约分的基本方法是： 先找出分式的分子、分母公因式,再约 去公因式. 3.约分的结果是： 整式或最简分式
(3)
1 x²－y² ,
1 x²＋xy
(x＋y)(x－y) ∵ x²－y²＝________________,
x(x＋y) x²＋xy＝_____________,
先把分母

分式的基本性质--通分

分式的基本性质--通分

例题讲解 确定
1 1 1 , 2 3, 3 2 2 x y z 4 x y 6 xy 4 的最简公分母。
如何确定最简公分母呢？
1.定系数： 2.定字母或者因式： 3.定指数： 各分母中的所有字 3 相同字母（或因式） 1 4 取各分式的分母 Y Z 12 X 母或者因式都要取 X Y Z 的幂取指数最大的 的系数的最小公 倍数。 4.所得系数的最小公倍数与 各字母（或因式）的最高次 幂的积即为最简公分母。
1 ( a b)3 ( x y ) 2
1 x y
1 x y
1 2 x xy
1 2 2 x y
公分母如何确定呢？
若分母是多项式时，应先将各分 母分解因式，再找出最简公分母。
练 一 练
试确定下列分式的最简公分母：
1 x( x y )
x y( x y)
2
y ( x y)(x y)
练 一 练
求分式
2
1 1 与 2 4x 2x 2 x 4
的最简公分母。
4 x 2 x 2 x(2 x) 2 x( x 2) x 4 ( x 2)(x 2)
2
把这两个分式的分母中所有的因式都 取到，其中，系数取正数，取它们的积， 2 x( x 2)(就是这两个分式的最简 x 2) 即 公分母。
练 一 练
3 ab 与 （ 1） 2 2a b ab 2 c
2x （ 2） 与 x5
3x x5
(3)
1 x 与 2 x 4 4 2x
巩固练习：
3 2
1 1 1 1、分式 , , 的最简公分母是 B 2 x y z 4 x y 6 xy
2 3 4
A、12xyz B、12x3y4z C、24xyz D、24x3y4z

分式的通分

复习回顾
分式的基本性质： 分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整 分式的值不变. 式，分式的值不变. 用式子表示是： 用式子表示是：
A A×C A A÷C = , = B B×C B B ÷C
（ 其中C是不等于零的整式）。
我们知道， 我们知道，分数的约分和通分在分数的运算中起着 非常重要的作用.类似地 类似地， 非常重要的作用 类似地，分式的约分和通分在分式 的运算中也有重要的作用.而在上一节课中我们已经 的运算中也有重要的作用 而在上一节课中我们已经 学习了分式的约分,所以下面我们将重点讨论分式的 学习了分式的约分 所以下面我们将重点讨论分式的 通分. 通分
最简公分母 1、各分母系数的最小公倍数。 各分母系数的最小公倍数。 各分母所含有的因式。 2、各分母所含有的因式。 各分母所含相同因式的最高次幂。 3、各分母所含相同因式的最高次幂。 所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（ 4、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中 系数都取正数） 系数都取正数）
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1 3 5 把下面的分数通分： 1、把下面的分数通分： , , 2 4 6
什么叫分数的通分？ 2、什么叫分数的通分？ 把几个异分母的分数化成同分母的分数， 答：把几个异分母的分数化成同分母的分数， 而不改变分数的值， 而不改变分数的值，叫做分数的通分。 和分数通分类似， 3、和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来 的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。 的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
例题讲解与练习
例1、 通分
（1）
3 a−b 与 ; 2 a 2b ab 2c

分式通分的常用技巧

分式通分的常用技巧
张永平
分式加减运算的关键是通分，对于有些特殊的分式加减题，若按照常规方法进行通分，往往运算比较繁杂，不便于速算。

若能注意观察分式的结构特征，灵活运用解题技巧，则能化繁为简，常可收到事半功倍的效果。

下面向同学们介绍几种通分的常用技巧，供学习时参考。

一. 先整体考虑，再通分
例1. 计算
解：原式
二. 先结合，再通分
例2. 计算
解：原式
三. 先分组，再通分例3. 计算
解：原式
四. 先降次，再通分例4. 计算
解：原式
五. 先分解，再通分例5. 计算
解：原式
六. 先约分，再通分例6. 计算
解：原式
七. 先分离，再通分例7. 计算
解：原式
八. 先拆项，再通分例8. 计算
解：原式
九. 先添项，再通分例9. 计算
解：原式
十. 先变号，再通分
例10. 计算
解：原式
十一. 先代入，再通分
例11. 已知
，求
解：原式
年级初中学科数学版本期数
内容标题分式通分的常用技巧
分类索引号G.622.46 分类索引描述辅导与自学
主题词分式通分的常用技巧栏目名称学法指导供稿老师审稿老师
录入常丽霞一校曲兰香二校审核。

分式通分的方法口诀

分式通分的方法口诀
1.【问题】分式通分的方法口诀
【答案】红楼梦谐音双关的例子分式通分的方法口诀整理如下，供大家学习参考。

通分的方法口诀是同分母直加减，异分母先通分，通分要用短除法，最后一定化为简。

相同分母的直接加减就可以，不相同分母的要进行通分，把分母化成一样的，通分的时候用短除法，最后千万要记住，要化成最简分数式（不能再进行约分的分数式）。

在做题的时候还要注意简便运算，有括号先算括号里面的，再接着计算，如果发现有相同分母的，移位（去括号）先算；如果分母成倍数关系的话，也应该先算简便。

1可以写成好多种，可以是二分之二，三分之三，四分之四。

分式的通分经典练习例题

分式的通分经典练习例题1. 例题一已知分式 $\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$，求其最小公倍数和通分结果。

解答：最小公倍数是两个数的公共倍数中最小的那个数，可通过找到它们的公倍数并选择最小的一个来确定。

对于分式，可以通过将其转化为分子和分母的最小公倍数的倍数来完成通分。

是两个数的公共倍数中最小的那个数，可通过找到它们的公倍数并选择最小的一个来确定。

对于分式，可以通过将其转化为分子和分母的最小公倍数的倍数来完成通分。

先求最小公倍数：- 分式 $\frac{1}{2}$ 的分子为 1，分母为 2。

它的倍数为：2, 4, 6, 8, 10, ...- 分式 $\frac{2}{3}$ 的分子为 2，分母为 3。

它的倍数为：3, 6, 9, 12, 15, ...可以观察到，它们的最小公倍数是 6。

通分结果：- $\frac{1}{2}$ 通分得到分子为 1，分母为 2 的分式。

- $\frac{2}{3}$ 通分得到分子为 2，分母为 3 的分式。

因此，最小公倍数为 6，通分结果分别为 $\frac{3}{6}$ 和$\frac{4}{6}$。

例题一解答如下：最小公倍数：6通分结果：$\frac{3}{6}$ 和 $\frac{4}{6}$2. 例题二已知分式 $\frac{3}{4}$、$\frac{5}{6}$，求其最小公倍数和通分结果。

解答：同样，先求最小公倍数：- 分式 $\frac{3}{4}$ 的分子为 3，分母为 4。

它的倍数为：4, 8, 12, 16, 20, ...- 分式 $\frac{5}{6}$ 的分子为 5，分母为 6。

它的倍数为：6, 12, 18, 24, 30, ...可以观察到，它们的最小公倍数是 12。

通分结果：- $\frac{3}{4}$ 通分得到分子为 9，分母为 12 的分式。

- $\frac{5}{6}$ 通分得到分子为 10，分母为 12 的分式。

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是
（四）课堂练习：通分
2c 3ac (1) 与 2 bd 4b
2 xy x 与 2 2 (2) 2 （x y） x y
2 a -1 (3) 与 2 3a 9 a 9
1 1 与 (4) 2 2 4x 2x x 4
（五）补充例题
例2（补充）通分
1 3 4 （ 1 ） 3 ， 2 ， 3 3ab 4a b 9a b
5x 4 2 x （2） ， ， 2 2x 1 1 2x 4x 1
小练习
通分．
2b ad 3x y 4y (1) 与 3 ;(2) 与 2 ; 2 2 ac 4b x y x y 2( m 2) 2n 3x 5y (3) 与 ;(4) 2 与 . 2 3m n mn 4 x 16 2 x 4
1 ⑵ ( a b) 2 ( x y ) 3
，
1 3 2 ( a b) ( x y )
1 1 (3) 与 x y x xy
2 2 2
2y 3 4 , x x x 1
2 2
1、分式的通分与分数的通分类似，正确 掌握分式通分的方法和步骤，才能熟练地 进行以后分式的加减法运算；
解：（1）最简公分母是 2a b c
2 2
3 3 bc 3bc 2 2 2 2 2a b 2a b bc 2a b c
a b (a b) 2a 2a 2ab 2 2 2 2 ab c ab c 2a 2a b c
2
3x 2x （ 2） 与 x5 x5
解： （2）最简公分母是 ( x 5)(x 5)
2x 2 x( x 5) 2 x 10x 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
2

3x 3x( x 5) 3x 15x 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
2
(3)
问题 类比分数的通分你能把下列分式 化为分母相同的分式吗？
3 b 与 2 2a 3ac
知识要点
使分子和分母同乘适当的整式，不改 变分式的值，把它们化成相同分母的分式， 这样的分式变形叫做分式的通分 （changing fractions to a common denominator）．
（2）如何进行分式通分？
2、通分的关键是确定最简公分母，包括 系数、因式和因式的指数；分母是多项式 的要先分解因式；
3 、分式通分的依据是分式的基本性质， 每一步变形综合性都较强，计算时要步步 细心；
4、分式通分的基本步骤： （1）、将各分母分解因式（没有拉倒） （2）、寻找最简公分母（方法要记牢） （3）、根据分式的基本性质，把各分式的分子 分母乘以同一个整式，化异分母为最简公分母。 （分子运算很重要）
2
巩固练习：
3 2
1 1 1 1、分式 , , 的最简公分母是 B 2 x y z 4 x y 6 xy
2 3 4
A、12xyz B、12x3y4z C、24xyz D、24x3y4z
1 m 1 2、m,1 m, 的最简公分母是： m 1
3、通分：
1 1 (1) 与 x y x y
（四）课堂练习（补充）
y x 1 , 2, 1.三个分式 的最简公分母是（ 2 x 3 y 4 xy
）
A. 4 xy
B. 3 y
2
C. 12xy
2
2 2 12 x y D.
1 x , 2.分式 2 的最简公分母是_________. x x 2( x 1)
1 y 3 , , 3. 三个分式 的最简公分母 2 2 x x x x 1
归纳：
确定几个分式的最简公分母的方法：
（1）系数：分式分母系数的最小公倍数； （2）因式：凡各分母中出现的不同因式都 要取到； （3）因式的指数：相同因式取指数最高的。
3 ab （1） 2 a 2 b 与 ab 2 c 3x 1 x 2 x 与 (3) 2 与 （ 2 ） x5 x 4 4 2x x5
1 x 与 2 x 4 4 2x
解： （2）最简公分母是
2( x 2)(x 2)
1 1 2 2 2 2 x 4 ( x 2)(x 2) 2 2 x 8
x 2 x x x x ( x 2) 2 4 2 x 2( x 2) 2( x 2)( x 2) 2x 8
2 2
5a 6b 3b 4a a 3b 1 2 2 , 通分： , 2 2 3a b c 6bac 3c ba
b a 2 2 2 , ,a b a b ba
2 2
1 1 3x 3 , , 2 2 6x 4 y 4 y 6x 4 y 6x
y x 1 , , 1.三个分式 的最简公分母是（ 2 2 x 3 y 4 xy
第4课时
（一）复习回顾
1.分式的基本性质： 一个分式的分子与分母同乘（或除以） 一个 不为0的整式 ，分式的值___________ 不变 2.什么叫约分？把一个分式的分子和分母的公 因式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式 的约分。
约分：
14x y (1) 36xy2 z
2
，
x 5x (2) 2 x 10x 25
1.各分母系数的最小公倍数 最简公分母 2所有因式的最高次幂
（六）知识梳理
1、把各分式化成相同分母的分式叫做 分式的通分. 2、一般取各分母的所有因式的最高次幂 的积作公分母，它叫做最简公分母。
（七）课后作业 课本P9 第7题
(1)将各个分式的分母分解因式；(2)取 各分母系数的最小公倍数(3)凡是出现的 所有字母或因式都要取；(4)相同字母 (或含字母的式子)的幂取指数最大的； (5)将上述所得系数的最小公倍数与各字 母(或因式)的最高次幂全都乘起来，就
得到了最简公分母
确定最简公分母的一般步骤
（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么 取它们的最小公倍数。 （2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或 含字母的式子都要选取。 （3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含 字母的式子中指数最大的。 （4）当分母是多项时，应先将各分母分解因式， 再确定最简公分母 （5）分母的系数若是负数时，应利用符号法则， 把负号提取到分式前面；
）
A. 4 xy
B. 3 y 2
C. 12xy
2
2 2 D. 12x y
1 x , 2.分式 2 的最简公分母是_________. x x 2( x 1)
1 y 3 , 2 3. 三个分式 , 2 的最简公分母 x x x x 1
是
1 1 c a b (1) 2 , 3 2 ; (2) , , ; 2a b 3a b ab bc ac y x 1 4a 3c 5b (3) , 2 , ; (4) 2 , , 2 2 x 3 y 4 xy 5b c 10a b 2ac2 ; 1 1 1 1 (5) 2 , ; (6) 2 , ; 2 2 x xy xy y x y x y 1 1 1 1 (7 ) 2 , 2 ; (8) 2 , 2 x x x x x x x 2x 1
2 a 2 b 2
c
最简 公分母
（ 1 x 5） （ 1 x 5）
最简 公分母
1（x 5（ ) x 5)
不同的因式
例1.通分：
解：最简公分母是 2a 2b 2c
3 ab (1) 2 与 2 2a b ab c
3 3bc 3 bc 2 2 2 2 2a b 2a b bc 2a b c 2 a b (a b) 2a 2a 2ab 2 2 2 2 ab c ab c 2a 2a b c
2
（二）问题情景
1.分数的通分：
7 1 (1) 与 12 8
什么叫做分数的通分？
（二）问题情景
1. 通分：
7 1 (1) 与 12 8
7 7 2 14 解： 12 12 2 24 1 1 3 3 8 8 3 24
4 12 8 3 2
最简公分母：
4×3×2=24
（二）问题情景
（三）例题分析
通分：
2x 3x 3 ab 与 (1) 2 与 2 ( 2) 2a b ab c x5 x5
2 a 2 b 2
c
单独 字母
最简
公分母
最小 公倍数
最高 次幂
（三）例题分析
例1.（课本P7）通分：
2x 3x 3 ab 与 (1) 2 与 2 ( 2) 2a b ab c x5 x5