新北师大版九年级数学下册《一章 直角三角形的边角关系 2 30°,45°,60°角的三角函数值》教案_9

九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系教案北师大版§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第1课时）教学目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计一、复习已学过的直角三角形性质和定理（勾股定理和其逆定理，300定理，斜边中线定理等等）二、新课讲授1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ABC 8mα5m 5mβ13m3、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论?4、正切函数（1） 明确各边的名称（2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。

（4） tanA 的值越大，梯子越陡 5、巩固练习如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； 三、讲解例题例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。

这是上述结论的直接应用。

ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边ABC例2 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，AC = 6，43tanB ，求BC 、AB 的长。

1.2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值一、选择题1．sin60°的值为（）A. B. C. D.2．若∠A=30°，则下列判断正确的是（）A．sin A=B．cos A=C．tan A=D．cot A=3．计算sin245°+cos30°×tan60°的结果是（）A．2 B．1 C. D.4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A，则tan A等于（）A. B. C. D.5．若∠α为锐角，且tan（α-10°）=，则∠α等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°6．如图，小明爬一土坡，他从A处到B处所走的直线距离AB=4 m，此时，他距离地面的高度h=2 m，则这个土坡的坡角∠A的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．以上都不对7．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A. m B．4 m C．4m D．8 m8．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2 m B．2 mC．（2-2）m D．（2-2）m9．如图，要测量点B到河岸AD的距离，在点A测得∠BAD=30°，在点C测得∠BCD=60°，又测得AC=100 m，则点B到河岸AD的距离为（）A．100 m B．50 m C. m D．50 m二、填空题10．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，如果sin A=，cos B=，那么∠C=________°．11．若α是锐角，tanα=2cos30°，则α=________°.12．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在点C测得∠ACB=30°，在点D测得∠ADB=60°，若CD=100 m，则河宽AB为________m（结果保留根号）．13．在△ABC中，若锐角∠A，∠B满足关系式+（sin B-）2=0，则∠C=________°.14．如图，在△ABC中，∠A=30°，tan B=，BC=，则AB的长为________．三、解答题15．计算：（1）（2cos45°-sin60°）+；（2）-tan45°+tan30°；（3）cos245°+-×tan30°；（4）+3tan30°-（-5）0-（-）-1.16．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：在一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．17．如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tan B=.（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，）．18．对于钝角∠α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）．（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的度数之比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．参考答案一、1．C2．A 3．A4．B 5．C 6．A 7．B 8．B 9．B二、10．105 11．60 12．5013．75 14．3+三、15．解：（1）原式=×（2×-）+=2-+=2．（2）原式=-1+×=1-1+1=1．（3）原式=（）2+-×=+-1=．（4）原式=-1+3×-1+3=-1+-1+3=2+1．16．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴AC==2，∴EF=AC=2．∵∠ECF=90°，∠E=45°，∴FC=EF·sin E=，∴AF=AC- FC=2-．∴AF的长为2-．17．解：（1）如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D．∵∠ACB=150°，∴∠ACD=30°.在Rt△ADC中，AC=4，∴AD =AC =2，CD =AC ·cos30°=4×=2．在Rt△ABD 中，∵tan B ===，∴BD =16． ∴BC =BD - CD =16-2．（2）如图，在BC 边上取一点M ，使CM =AC ，连接AM ． ∵∠ACB =150°，∴∠AMC =∠MAC =15°． ∴tan15°=tan∠AMD ==≈0.3．18．解：（1）由题意，得sin120°=sin （180°-120°）=sin60°=，cos120°=-cos （180°-120°）=-cos60°=-， sin150°=sin （180°-150°）=sin30°=． （2）∵三角形的三个内角的度数之比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°．①当∠A =30°，∠B =120°时，方程的两根分别为，-． 将x=代入方程，得4×（）2-m -1=0，解得m =0． 经检验，x=-是方程4x 2-1=0的根，∴m =0符合题意． ②当∠A =120°，∠B =30°时，两根均为，不符合题意．③当∠A =30°，∠B =30°时，两根分别为12，.将x=代入方程，得4×（）2-m -1=0，解得m =0． 经检验，x=不是方程4x 2-1=0的根．综上所述，m=0，∠A=30°，∠B=120°．。

第一章直角三角形的边角关系一、本章知识要点：1、锐角三角函数的概念；2、解直角三角形。

二、本章教材分析：（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。

如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。

显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。

2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。

这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。

3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。

4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。

同时要强调三角函数的实质是比值。

防止学生产生sinX=60°,sinX=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。

如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。

5.在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过有关的练习加以巩固。

九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案一、本章教学的指导意见：本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数——正切。

因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。

正弦和余弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。

接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。

对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。

教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。

利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。

除“船有触礁的危险吗？”“测量物体的高度”两节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。

直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。

研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。

通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。

通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。

直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。

（二）教学重点1．使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，从中发展学生观察、分析、发现的能力；2．理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明；3．会计算包括30°、45°、60°角的三角函数值的问题；4．能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角；5．能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力；6．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。

第一章直角三角形的边角关系2、30°，45°，60°角的三角函数值一、教学目标知识目标1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.能力目标1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.情感目标1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.2..在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重点1.探索30°，45°，60°角的三角函数值.2.能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.教学难点：三角函数值的应用二、教学过程复习旧知，引入新课活动内容： 1、勾股定理。

勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

如图，用字母表示：a2+b2=c2如图所示在Rt△ABC中，∠C=90°.A（1）a 、b 、c 三者之间的关系是 ，∠A+∠B= . （2）sinA= ，cosA= ，tanA= . sinB= ，cosB= ，tanB= .教师可引导学生，sinA 和cosB 之间的关系tanA 和tanB 之间的关系，让能力强的学生理解三角函数内部之间的关系讲解新课1、探索30°角的三角函数值①观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? ② sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.③ cos30°等于多少?tan30°呢?学生探讨、交流，得出 30°角的三角函数值. 教师提示学生BC=a ，分别求出另外两条边的长.2、求出了30°角的三角函数值，在同一个图中求出60°的三个三角函数值.3、让学生画出45°角的三角形，根据图形求45°三角函数值.并完成下表思考：1．观察表格中函数值说说sinA 和cosB 之间的关系tanA 和tanB 之间的关系.2、观察表格，随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变化情况.3、若对于锐角α有sin α=21,则α= . 例题讲解A例1、计算： (1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°.=0基础练习(1)sin600-cos450; (2)cos600+tan600知识运用例2：一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)目的1、让学生能从实际问题中抽象出几何图形，利用几何图形解答实际问题2、熟练30°、45°、60°角的三角函数值的计算.巩固练习1. 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少?.221+=2221+=1212322-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=14143-+=().45cos260sin45sin22300-+().45cos260cos30sin2240222-+*2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，∠A,∠B ,∠C的对边分别是a，b，c. 证明:sin2A+cos2A=1.课堂小结1、直角三角形三边的关系.2、直角三角形两锐角的关系.3、直角三角形边与角之间的关系.4、特殊角300，450，600角的三角函数值.5、互余两角之间的三角函数关系.6、同角之间的三角函数关系课后作业习题1.3 1、2选用作业1．如图，为了测量河的宽度，在河边选定一点C，使它正对着对岸的一个目标B，然后沿着河岸走100米到点A（∠ACB=90°），测得∠CAB=45°.问河宽是多少？BC A2．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m，2≈1.41，3≈1.73)三、教学反思cBA C本节课是在学生已有的直角三角形有关知识的基础上，根据三角函数的定义，探究30°，45°，60°三个特殊角的三角函数值，要求能利用特殊角的三角函数值进行基本的运算，并能根据三角函数特殊值求出特殊角；能根据生活中一些较简单的实际问题抽象出一定的几何模型，并由抽象出来的几何模型进行分析和计算，得出实际问题中需要的结果，在教学中要进一步渗透三角函数中量与量之间的相互联系、以及相互转化的观点，培养学生观察、分析、比较、概括的思维能力.对已学习能力较高的学生要求很理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系和正切之间的关系，并能利用这一性质进行简单的三角变换或相应计算.。