浅谈初中数学线段之和最值问题

初中数学线段之和的最值求解策略作者：王乔军来源：《新高考·升学考试》2018年第12期线段之和问题通常以直线、三角形、四边形、圆等几何图形或函数图像为背景，考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.这类问题呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象，对学生来讲是个难点.解决这类问题的关键是根据图形的基本特征，将线段之和的最值问题转化为相应的几何模型.笔者根据自己教学实践中的体会，谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略.1. 运用定（公）理求最值平面几何解决最短线路问题时常用的公理（定理）：①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短.1.1应用两点之间线段最短例1. 如图1已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x 轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，求OC的长的最大值.【解题分析】点C为动点，直接相连不可能解决，但因为直角三角形斜边上的中线长和等边三角形边上的中线也是定值，所以设AB中点为P，在一般情况下OP+PC>OC，当O、P、C 三点一线时OC=OP+PC最大.【解题策略】根据“两点之间线段最短”，只要把两定点直接相连，对无法或较难量化的两点间距离则可以利用几何图形的性质转化为“折线和”，再利用三角形三边关系或两点间线段最短可得出最值.1.2应用垂线段最短【解题分析】此题APSymbolk@@ PC=AC为定值10，从而三线段和转化为求BP最小值，因为B为定点，P为AC上一动点，所以BP最小值就是定点B到AC的垂线段.【解题策略】解答此类试题只要透过问题找到本质，剔除一些不变的线段（和）转化为一定点到一定直线的距离，再利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段最短” 即可得出最小值.2. 结合图形变换求最值在平面几何求最值这类问题中，应用轴对称变换、平移变换和旋转变换这三种图形变换及性质，可以将那些分散、远离的条件转移到适当的位置上等条件.相对集中后，再应用上述定（公）理，问题便可迎刃而解.2.1应用轴对称变换把直线同侧的线段和转化为异侧线段之和2.1.1一定直线与两定点和一个动点基本模型1：如图3，在定直线l同侧有两个定点A、B，在定直线l上有一动点P，请找到使PA+PB 最短的点P位置.【思路分析】如图3作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于p，则p点即为所求使PA+PB为最短的距离的点.（此题过B作关于l的对称点B′也可，方法都是一样的.）例3. 如图4所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，则PD+PA和的最小值是多少？（）A. 210B. 10C. 4D. 6【解题分析】由已知得点P为定直线OB上的动点，点D和点A为两个定点，符合模型；用正方形的轴对称性可知点A关于OB的对称点就是点C，因此PD+PA和的最小值就是PD+PC的最小值，而点D和点C都是定点，根据“两点之间线段最短”可得DC即为所求.【解题策略】此类题目往往把背景变换成角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等，但都有一个“轴对称图形”的共同点，解题时只要从变换的背景中提取“一定直线和两定点及一动点”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转化为异侧线段和，利用“两点间线段最短”，实现“折”转“直”即可解决.若所问是求三角形周长或四边形周长最值，则必含有定长线段，依然可以转化为两线段和的最值.2.1.2两定直线和一定点及两动点基本模型2：如图5，已知∠AOB中有一定点P，它的两条边OA、OB上分别有两动点M、N，问是否存在点M、N，使得△PMN的周长最小？【思路分析】要求△PMN周长的最小值，其实就是求PM+PN+MN的最小值，根据轴对称的性质，作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1 P2交OA、OB于点M、N，则PM+PN+MN最小，即△PMN的周长最小，最小值为线段P1P2的长度.2. 2应用平移变换将无交点的两线段之和转化為“将军饮马问题” 中的两线段之和基本模型3：两定点和一定直线及同侧两定点如图6，已知两定点A、B和定直线L，其中在定直线上有两个定距离的动点A、B，请在直线L上找到使AC+BD值最小的点C和点D的位置.【思路分析】如图7，作点B的对称点B′ ，过点A作AA′∥L，且AA′=CD，连结A′B′与直线L交点即为所求的点D位置，点C位置随之也就确定.例4. 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.【解题思路】如图8，由于CD和EF是两定长线段，因此，四边形CDEF的周长最小值其实就是DE+CF的最小值.作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG=2，连接D′G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2.∵ GC∥EF，GC=EF，∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又 DC、EF的长为定值，∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.∵由 Rt△D′OE∽Rt△D′BG，可得OE=13.∴ OF=OE+EF=13+2=73.∴点E的坐标为（13，0），点F的坐标为（73，0）.【解题策略】此类题是求定直线同侧未连接两线段和的最小值，首先需要用轴对称变换转化成“建桥问题”模型，再用平移变换将未连接的两线段在定直线上“聚头”，等量转化为折线，利用“两点间线段最短”，实现“折”转“直”，找到其中一个点的位置，另一点位置也随之找到.2.3应用旋转变换将交于同一点的三线段之和改变位置等量转化为两定点间的折线之和例5. 如图9，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由.【解题分析】根据旋转变换的性质可得：EN=AM，BN=BM，△BNM为等边三角形推得MN=BN，此时AM+BM+CM的最小值转化为求“三折线”EN+NM+MC的最小值.根据“两点之间线段最短” EN+NM+MC等于CE时最小.所以，当M位于BD与CE交点时，AM+BM+CM 的值最小，即等于EC的长.【解题策略】此类试题的模型是：三条聚在一起的线段，求线段和的最小值；解决策略是利用旋转变换，把如图10所求的“相聚于同一点的三条线段”转化为如图11所示的“两定点间的三折线”；根据“两点之间线段最短”可知两定点的连线长即为所求的线段和最小值.线段之和的最值问题是初中数学学习的难点，几何模型是解决这类问题的基本工具.只有在学习中不断积累几何模型，才能有效地建立起基础知识和数学应用之间的桥梁.建立和处理几何模型的能力就是一种将数学知识应用于实际问题的能力.建立模型更为重要的是，能够提高学生对几何图形进一步认识，能够有效地提高学生分析问题解决问题的能力.。

浅谈初中数学线段之和最值问题近年来，在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中，呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的 景象，对学生来讲是个难点；如果深入思考，可以发现：这类试题的命制都是立足于教材，解决途径都是 运用转化的思想“化折为直”。

本文中，笔者根据近几年的中考试题，结合浙教版教材和自己的教学体会, 谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。

1.直接应用定（公）理求最值平面几何解决最短线路问题时常用的公理（定理）：①两点之间线段最短•②三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（②是由①得出） ；③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短•1.1应用两点之间线段最短教材链接：七上7.3线段的长短作业题：D如图，A 、B 、C D 表示4个村庄.村民们准备合打一口水井，（1）略（2）你能给出一 中使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请标出水井的位置，并说明理由 A口 解题分析：u B教材作业题中，因点 D 与点B 、点A 与点C 是定点，当水井打在 AC 与BD 的交点时，水 井到各村庄的距离之和最小，直接利用“两点之间线段最短”的原理。

中考链接：（2009山东潍坊）已知边长为 a 的正三角形 ABC 一象限）,两顶点 A,B 分别在平面直角坐标系的 x 轴,y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC, 求OC 的长的最大值.解题分析：潍坊的这一试题对教材进行了拓展：点 C 为动点，直接相联不可能解决，但因为直角三角形斜边上的中线长和等边三角形边上的中线也是定值,所以设AB 中点为P,在一般情况下 OP+P O OC 当OP 、C 三点一线时 OC=OP+P 最大. 求解策略：教材的模型是在两定点之间求最小值，根据“两点之间线段最短” 连，对无法或较难量化的两点间距离则可以利用几何图形的性质转化为“折线和” 系或两点间线段最短可得出最值 .1.2应用垂线段最短教材链接：七上7.7相交线（2）作业题如图,直线I 表示一段河道，点A 表示集镇，图上距离与实际距离之 比为1 : 2000 000.现要从河I 向集镇A 引水，问沿怎样的路线开挖水渠， 才能使水渠的长度最短？……解题分析：教材作业题解决思路是过点A 向垂直于水渠的方向开挖水渠，水渠长最短•直接利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段最 短”的原理.试题链接：2010台湾如图，△ ABC 中，有一点 P 在AC 上移动.若AB=AC=5,BC=6 的最小值为何？（A ） 8 （B ） 8.8 （C ） 9.8 （D ） 10解题分析：台湾此题AP*PC=AC 为定值5，从而三线段和转化 值，因为B 为定点，P 为AC 上一动点，所以BP 最小值就是定点 B求解策略：教材的模型是已知一定点和一定直线求最小值 .解答此类试题只要透过问题找到本质，剔T\7*，只要把两定点直接相 ，再利用三角形三边关到AC 的垂线A則 APBPCP为求BP 最小除一些不变的线段（和）转化为一定点到一定直线的距离，再利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段 最短”即可得出最小值•在平面几何求最值这类问题中，应用轴对称变换、平移变换和旋转变换这三种图形变换及性质，可以 将那些分散、远离的条件转移到适当的位置上，得以相对集中后，再应用上述定（公）理，便可迎刃而解2.结合图形变换求最值' 2. 1应用轴对称变换把直线同侧的线段和转化为异侧线段之和 ”2.1.1 —定直线+两定点+ —动点教材链接：浙教版科学七下1.5光的反射和折射—基本模型1：（将军饮马问题）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

初中线段最值问题的常用解法初中线段最值问题是数学中的一个常见问题，也是初步引导学生运用数学知识解决实际问题的一种典型例题。

下面将介绍几种常用的解法。

1.分情况讨论法分情况讨论是解决初中线段最值问题的一个常用方法。

以找线段上的最大值为例，我们可以将线段分为两个部分，一部分是线段的左半部分，一部分是线段的右半部分。

然后分别在左半部分和右半部分找到最大值，最后比较这两个最大值，取较大者即为线段上的最大值。

同理，要找线段上的最小值，也可以采用相似的方法。

2.数轴法数轴法是线段最值问题中常用的一种解法。

以线段的最大值为例，我们可以将数轴上线段的两个端点列出，然后根据所给条件（如线段的起点和终点的坐标等）确定线段的位置。

然后，我们可以逐个将线段上的点都标在数轴上，然后找到其中的最大值。

同样地，我们也可以用数轴法来找线段上的最小值。

3.函数法函数法是解决线段最值问题的常用方法之一。

我们可以根据线段的起点和终点的坐标，建立一个函数来描述线段上的点。

然后，对这个函数进行求导，求出其导数为零的点，这些点即为函数的极值点。

然后，我们可以将这些极值点与线段的端点进行比较，找出线段上的最大值或最小值。

4.图像法图像法是解决线段最值问题的另一种有效方法。

我们可以根据线段的起点和终点的坐标，在坐标平面上画出对应的线段图像。

然后，通过观察图像，我们可以直观地找到线段上的最大值或最小值。

5.代数法代数法是解决线段最值问题的另一种常用方法。

我们可以先将线段上的点表示为变量的形式，然后根据线段的端点的坐标，列出相应的方程组。

然后，我们可以通过求解方程组，得到线段上的最大值或最小值。

总结起来，初中线段最值问题一般可以通过分情况讨论法、数轴法、函数法、图像法和代数法等解决。

根据实际情况和题目要求，可以选择合适的方法来解决问题。

需要注意的是，在解题过程中，我们不仅要运用数学知识，还要灵活运用判断和推理能力，善于观察和分析问题，才能高效地解决线段最值问题。

初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。