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抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。
2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。
【知识梳理】1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．2．抛物线四种标准方程的几何性质：3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围 因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点(,0)2pF (1) 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p xx =，212y y p =-。
(2) 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。
(3) 已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ,112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===∙∙ (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。
通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．(5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
巧用抛物线的对称性解题抛物线y=ax 2+bx+c 是轴对称图形，对称轴是x=-ab 2，抛物线有下面对称性质： 1、抛物线上关于对称轴对称的两点的纵坐标相等；反过来，抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称；特别地，如果抛物线交x 轴两点，那么这两点是对称点；2、抛物线上有对称的两点，它们的横坐标分别是21,x x ，那么抛物线的对称轴的直线方程是x=221x x +=-a b2；一、选择题1、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取 值范围是（ ）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x 3、函数y=x 2-x+m(m 为常数)的图象如图，如果x=a 时，y ＜0；那么x=a-1时，函数值（ ）A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y=m4、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x取12x x + 时，函数值为（ ）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c5、已知关于x 的方程32=++c bx ax 的一个根为1x =2，且二次函数c bx ax y ++=2 的对称轴直线是x=2，则抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(2，－3 )B ．(2，1)C ．(2，3)D ．(3，2)6、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确 的个数为（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 y–1 1 3O x7、小颖在二次函数y=2x 2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)，(－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ） A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 3>y 1 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 18、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个9、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ） A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.310、已知二次函数682-+-=x x y ,设自变量x 分别为321,,x x x ，且3214x x x <<<，则对应的函数值321,,y y y 的大小关系是（ ）A. 321y y y <<B. 132y y y <<C. 123y y y <<D. 231y y y <<11、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为A. 0B. －1C. 1D. 2二、填空题1、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________·2、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．3、二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a 、b 、c 是常数）中，自变量x 与函数y 的对应请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是： 、 、 ．（写出3条即可）x … 0 12 32 52 … y … 1 74 74 14- …y –1 3 3 O x P 14、一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线y=ax 2+bx+c 上，则点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 ．5、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=2，且过点（3,0），则a+b+c=6、y=a 2x +5与X 轴两交点分别为（x 1 ,0），（x 2 ,0） 则当x=x 1 +x 2时，y 值为____7、请你写出一个b 的值，使得函数22y x bx =+在第一象限内y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是 ．8、一个关于x 的函数同时满足如下三个条件①x 为任何实数，函数值y ≤2都能成立；②当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；③当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；符合条件的函数的解析式可以是 。
人教版数学九年级巧用二次函数的对称性解题一 依托函数的解析式，利用函数的对称性探求抛物线与x 轴的另一个交点 例1 抛物线 y=2x -4x+2m与x 轴的一个交点的坐标为（l,0), 则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 .思路点拨： 解答时同学们要储备好如下的知识： （1）找准抛物线的对称轴：直线x=-ab 2； （2）明确抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标与抛物线对称轴的关系： 设抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的坐标分别是（1x ，0），（2x ，0），且2x 在原点的右侧，根据对称性知道：-a b 2-1x =2x -（-a b 2），所以221x x +=-ab2．解：因为抛物线 y=2x -4x+2m 的对称轴是：直线x=-a b 2=-24-=2；设抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（2x ，0），所以212x +=2，解得2x =3， 所以抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3,0）．二 依托函数的图像，利用函数的对称性探求抛物线与x 轴的另一个交点例 2 抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）的图像如图1所示，则抛物线的对称轴是直线_____________，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 .思路点拨： 仔细观察函数的图像，从中找出解题所需要的关键，有价值的信息是解题的核心．解：仔细观察图像，知道函数的对称轴是：直线x=1，抛物线与x 轴的一个交点的横坐标 为3，设抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（2x ，0），所以232x +=1，解得2x =-1， 所以抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（-1,0）．三 依托表格，利用函数的对称性探求抛物线与x 轴的另一个交点例3 抛物线y=-2x +bx+c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：根据上表信息，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 .思路点拨：仔细看准图表，从表格中落实好如下两个知识点：（1）函数值为0的x值就是抛物线与x轴的一个交点的横坐标；（2）函数值相等的两个点就是抛物线上的一对对称点，其横坐标和的一半就是抛物线的对称轴．解：从表格中知道抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），点（0,6）和（1,6）时抛物线上的一对对称点，所以抛物线的对称轴是直线x=210+=21．设抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2x，0），所以222x+-=21，解得2x=3，所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3,0）．四依托图像，根据对称轴探求不等式的解集例4 如图2，是二次函数y=a2x+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x 轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式a2x+bx+c＜0的解集是 .思路点拨：要想确定不等式a2x+bx+c＜0的解集，同学们需要根据图像所揭示的信息，把握好如下几点：（1）根据抛物线的开口方向，确定符合条件的不等式的解集的大致范围；（2）根据图像揭示的信息，确定出抛物线与x轴的交点的坐标；（3）利用交点坐标的横坐标来描述不等式的解集．解：因为抛物线的开口向上，所以满足a2x+bx+c＜0的大致范围应该是在抛物线与x轴的交点横坐标之间．因为抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴一交点为A（3，0），设抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2x，0），所以232x+=1，解得2x=-1，所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-1,0）．所以不等式a2x+bx+c＜0的解集是－1＜x＜3．x …-2 -1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …五 依托图像，根据对称轴探求点的坐标例5如图3，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ）A ．（2，3）B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（4，3）思路点拨： 解答时同学们要储备好如下的知识： （1）找准抛物线的对称轴：直线x=-ab2； （2）明确抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标与抛物线对称轴的关系： 设抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的坐标分别是（1x ，0），（2x ，0），且2x 在原点的右侧，根据对称性知道：-a b 2-1x =2x -（-a b 2），所以221x x +=-ab2．解：因为抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，所以点A 与点B 是一对对称点，因为点A 的坐标为（0，3），所以点B 的 纵坐标与点A 的纵坐标相同，横坐标关于对称轴对称，设点B 坐标为（1x ，3）， 所以所以201x +=2，解得1x =4，所以点B 的坐标为（4,3）．因此我们应该选D ． 六 依托函数的表达式，根据函数的对称性，比较纵坐标的大小例6 已知抛物线y=a 2x +bx+c （a ＜0）过A （-2，0）、O （0，0）、 B （-3，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．1y ＞2yB ．1y =2yC ．1y ＜2yD ．不能确定思路点拨： 解答时同学们要储备好如下的知识： （1）准确定位抛物线的开口方向； （2）找准抛物线的对称轴：直线x=-ab 2； （3）选准所要用的性质：当a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．（4）当所要比较大小的两个点，不在对称轴的同侧时，要充分利用构造对称点的方法，将异侧点转化成同侧点，后用性质完成问题的解答．解：因为抛物线y=a 2x +bx+c 的二次项系数a ＜0，所以抛物线的开口向下；因为抛物线经过A （-2，0）、O （0，0），所以抛物线的对称轴为2)2(0-+=-1；所以B （-3，1y ）、C （3，2y ）在对称轴的异侧．设点B 关于对称轴的对称点M 坐标为（1x ，1y ），则2)3(1-+x =-1，解得1x =1，所以点B 关于对称轴的对称点M 坐标为（1，1y ）．这样点M 与点C 就都在对称轴的右侧，且1＜3，根据当a ＜0时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，得到：1y ＞2y ，因此我们应该选A ．七 依托函数的图像，根据函数的对称性，确定表达式中待定字母的值例7 .如图4所示，设a 、b 是常数，且b ＞0，抛物线y=a 2x +bx+2a -5a-6为下图中四个图象之一，则a 的值为（ ）A. 6或－1B. －6或1C. 6D. －1 思路点拨：正确看懂函数的图像是解题的关键．仔细观察第一个和第二个函数的图像，知道图像是关于y 轴对称的，因此b=0，这与已知的条件b ＞0是矛盾的，所以函数的图像不可能是第一个和第二个；在第三个图像中展示出来的信息主要是：抛物线的开口向上，所以a ＞0；对称轴位于x 轴的正半轴上，所以-ab2＞0，所以b ＜0，这与已知的条件b ＞0是矛盾的，所以函数的图像不可能是第三个．综上所述，知道函数的图像一定是第四个，而第四个函数图像所展示的信息是：抛物线的开口向下，所以a ＜0；对称轴位于x 轴的正半轴上，所以-ab2＞0，所以b ＞0；图像经过原点，所以2a -5a-6=0，解得a=6或a=-1，又a ＜0，所以a=-1． 解：选D ．八 依托函数的图像和平行四边形，根据函数的对称性，确定表达式中待定字母的值例8 如图5所示，二次函数y=a 2x 上的点B ，C 与x 轴上的点A （-5,0），D(3,0)构成平行四边形ABCD ，BC 与y 轴交于点E （0,6），则实数a= ．思路点拨：在解答时，基本思路是：（1）根据点的坐标确定出平行四边形的边长 因为A （-5,0），D(3,0)，所以DA=3-(-5)=8. (2)根据平行四边形的性质确定出BC 的长因为四边形ABCD 是平行四边形，所以BC=AD=8． （3）根据函数的对称性确定出点B ，点C 的横坐标因为二次函数y=a 2x 的图像关于y 轴对称，点B ，C 在二次函数y=a 2x 上， 所以点B ，点C 关于y 轴对称，所以点B 的横坐标为-4，点C 的横坐标为4. (4)根据平行线的性质确定点B ，点C 的纵坐标 因为BC ∥AB ，且点E （0,6），所以点B ，点C 的纵坐标都是6． （5）确定点的坐标，代入解析式定字母的值 所以点C 的坐标是（4，6），所以16a=6，所以a=83． 解：应该填83．。
巧用二次函数对称性解决问题作者：***来源：《初中生世界·九年级》2020年第12期抛物线的轴对称性，是二次函数的一个重要特征，往往也是解题的关键。
我们如果能够熟练并巧妙地运用，可使解题变得轻松。
一、利用对称性求点坐标例1 已知二次函数y=kx2-4kx+3k图像上有一点（3，2），则该点关于图像对称轴的对称点的坐标为（）。
A.（2，3）B.（l，2）C.（2，2）D.（l，3）【分析】我們要求对称点，就要先求出抛物线的对称轴，然后利用对称性求出另一点的坐标。
解：对称轴为x=-b/2a=--4k/2k=2。
设所求点的横坐标为m，根据中点坐标公式可得m+3/2=2，解得m=l。
由对称性可知纵坐标不变，所以所求点的坐标为（1，2）。
故选B。
【点评】灵活利用配方法或公式求出对称轴是解题的关键。
本题还可以利用十字相乘法，将表达式转化为交点式y=k（x-1）（x-3），求出对称点的坐标。
二、利用对称性比较数值大小例2 若点A（2，y，）、B（-3，Y2）、C（3，y3）三点在二次函数y=x2-4x-m的图像上，则Y1、Y2、y3的大小关系是（）。
A.Y1>Y2 >y3B.Y2>Y1>Y3C.Y2>y3 >Y1D.y3>Y1>Y2【分析】找出图像对称轴，利用增减性求解。
解：配方得y= （x-2）2-4-m，所以对称轴为x=2。
因为a>0，A点横坐标为2，所以A为图像顶点，即Y1最小。
根据对称性，可得点C关于对称轴的对称点C'的坐标为（1，y3），在对称轴左侧，y随x增大而减小，所以Y2>Y3，即Y2>Y3>Y1。
故选C。
【点评】借助抛物线的轴对称性，把位于对称轴两侧的点变换到同一侧，这样便于利用二次函数的增减性来进行比较。
当然，本题也可直接代入求解。
三、数形结合解不等式例3 已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图像如图1所示，若y>0，则x的取值范围是（）。
巧解抛物线的对称性和平移问题夹河镇黑虎中学李玉升在二次函数一章中抛物线的对称性和平移问题是一个重点内容，也是中考常考的知识点。
掌握其对称和平移的规律能为我们解题带来很多方便，也能为我们从中节省很多时间。
一.抛物线关于x轴、y轴、原点对称的抛物线的解析式。
对于求抛物线顶点式：y=a(x-h)2+k关于x轴、y轴、原点对称的解析式，学生很容易想到先找到其顶点（h,k）关于x轴、y轴、原点的对称点，再根据对称后的开口方向决定是a还是-a，从而得出对称后的解析式。
可对于求一般式y=ax2+bx+c关于x轴、y轴、原点对称的解析式时，学生还是想到先将其化为顶点式后，再根据顶点式来求其对称后的解析式。
这样做固然正确，但解答过程比较繁琐。
其实抛物线的对称规律与点的对称规律一样：关于x轴对称横坐标不变，纵坐标变为它的相反数；关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变为其相反数；关于原点对称横、纵坐标都变为它的相反数。
例：求抛物线y=-2x2+3x-6关于x轴对称的抛物线的解析式时只需将y变为－y，即：－y＝-2x2+3x-6，然后化为一般形式y=2x2－3x+6即可；求抛物线y=-2x2+3x-6关于y轴对称的抛物线的解析式时只需将x变为－x ，即：y＝-2（－x）2+3（－x）-6，然后化为一般形式y=－2x2－3x－6即可；求抛物线y=-2x2+3x-6关于原点对称的抛物线的解析式时将x变为－x，y变为－y，即：－y＝-2（－x）2+3（－x）-6，然后化为一般形式y=2x2+3x+6即可。
二.求抛物线上、下、左、右平移的抛物线的解析式。
对于求抛物线顶点式：y=a(x-h)2+k上、下、左、右平移后的解析式学生也不是问题，即：上加下减，直接加、减在k上，左加右减，直接加、减在x上，而对于求一般式y=ax2+bx+c平移后的解析式时学生也想到将其化成顶点式后再平移。
其实没这个必要，也可直接在一般式中进行，即上或下平移时直接在c上加或减，左或右平移时直接在x上加或减。
巧用抛物线的对称性解中考题一、知识点抛物线线上有两点（x 1，y 0），（x 2，y 0），则抛物线的对称轴方程：x=122x x +． 二、应用举例例1 如图，抛物线的对称轴是x=1，与x 轴交于A 、B 两点，点B 0），则点A 的坐标是________．（2005年宁夏回族自治区中考题）简析 显然A 、B 两点关于x=1对称，设点A 的坐标为（x 1，0=1，从而解出x 1•故点A 的坐标为（0）．点评 若不用这种方法，则需由顶点（1，1）及B 0）求出抛物线的解析式，再令y=0，求出抛物线与x •而且非常麻烦．例2 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-2，7），B （6，7），C （3，-8），•则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是________．（2005年山东省中考题）简析 由点A （-2，7），B （6，7）的纵坐标相同，知A 、B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x=262-+=2，于是设该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标为（x 2，-8），则有2=232x +，从而得x 2=1． 故应填答案为（1，-8）．点评 本题两次运用抛物线的轴对称性，大大降低了难度及运算量，常规解法为：由A 、B 、C 三点列出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出抛物线的解析式，再令y=-8，解关于x 的一元二次方程选出不同于3的根，得出答案．例3 抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴是x=2，且经过点（3，0），则a+b+c 的值为（ ）．（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （2005年山西省中考题）简析 由抛物线的对称轴x=2及点P （3，0）可求出抛物线上点P 关于x=2•的对称点的坐标为Q （1，0），由于点Q 在抛物线上，则（1，0）满足解析式．即a+b+c=0，故选（B ）．点评 本题设计非常巧妙，独具匠心，若不用这种方法势如登天．例4 如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的一个交点是（-2，0），顶点是（1，3），下列说法中不正确的是（ ）． （2005年湖南省湘潭市中考题）（A ）抛物线的对称轴是x=1 （B ）抛物线的开口向下（C ）抛物线与x 轴的另一交点是（2，0）；（D ）当x=1时，y 有最大值是3简析 由顶点（1，3）知抛物线的对称轴为x=1，又与x 轴的一个交点为（-2，0）可求出与x 轴的另一交点为（4，0），故选（C ）．点评 本题虽可用排除法得到正确答案，•但用此法加以验证更增加了答案的可信度，而且非常方便、简捷．例5 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标为（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根分别为x 1=1.3，x 2=•________．•（2005年贵阳市课改实验区中考题）简析 由顶点（-1，-3.2）知抛物线的对称轴为x=-1，又x=122x x ，而x 1=1.3代入可求得x 2=-3.3，故正确答案为x 2=-3.3．点评 此题看似估计值，实则是准确值，也可由顶点（-1，-3.2）及点（1.3，0），•求得抛物线的解析式，再令y 0=0求得x 2，但实在是太繁．例6 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象如图所示，则下列结论①a 、b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （2002年武汉市中考题） 简析 不难验证①、④错误，③正确，究竟是选（A ）还是选（B ），•则取决于②是否正确，由图象知：图象交x 轴于点（-1，0）和（5，0），•于是可确定抛物线的对称轴方程为x=152-+=2，于是132+=2，于是确定②正确，故选（B ）． 点评 此题若不用这种方法仍可根据抛物线上三点（-1，0），（5，0），（0，-2），求出抛物线的解析式．再把x=1和x=3分别代入解析式中求出相应的y 值，加以比较即可，但哪个繁，哪个简便一目了然了．综上可见，利用抛物线的对称性解决的这一类问题大大简化了解题过程，降低了题目的难度，从而节省了大量的有效时间，只要我们平时多研究、多积累，•中考才能超水平发挥，答出优异的成绩．。
巧用抛物线的对称性解题作者：杨宝善来源：《初中生·考试》2011年第12期我们知道，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)是轴对称图形，其对称轴是x=-■. 利用抛物线的对称性，能得到以下性质：性质1：抛物线上关于对称轴对称的两点的纵坐标相等，反过来，抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称.特别地，如果抛物线与x轴有两个交点，那么这两个交点关于对称轴对称.性质2：设抛物线上有对称的两点，它们的横坐标分别为x1、x2，那么抛物线对称轴的直线方程为x=■．利用这两个性质，能巧解一些与抛物线有关的问题.一、求抛物线与x轴的交点坐标例1 （2011年黔南卷）二次函数y=-x2+2x+k的部分图像如图1所示，关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解是x1=3，则另一个解x2=( ).A.1B. -1C. -2D. 0解：∵方程-x2+2x+k=0的一个解是x1=3，∴抛物线y=-x2+2x+k与x轴的交点是（3，0）.由于抛物线的对称轴是x=1，设抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为x0，根据性质2，则■=1，解得x0=-1.∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1，0），方程-x2+2x+k=0的另一个解是x=-1.选B.温馨小提示：已知抛物线与x轴的一个交点坐标，根据对称性，运用x=■可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标.二、求函数值例2 （2011年泰安卷）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：则当x＝1时，y的值为( ).A．5 B．-3 C．-13 D．-27解：由表格可知，当x＝-4和x=-2时，y的值都是3．由性质1可知，点（-4，3）与（-2，3）是对称点.由性质2可得，抛物线对称轴为x=■=-3.因为当x=1与x=-7时，抛物线上的对应点关于对称轴对称，所以它们对应的函数值相等.当x=-7时，y=-27，所以当x=1时，y=-27．选D.温馨小提示：对于这类用表格呈现二次函数的问题，要仔细观察表格的数据特征，以纵坐标相等的点为突破口，找出抛物线的对称轴，然后用抛物线的对称性求解.三、比较大小例3 （2011年陕西卷）若二次函数y=x2-6x+c的图像过A(-1，y1)，B(2，y2)，C(3+■，y3)三点，则y1、y2、y3大小关系正确的是( ).A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y2>y1>y3D. y3>y1>y2解：将y=x2-6x+c配方，得y=x2-6x+c=(x-3)2-9+c，对称轴为直线x=3.设C(3+■，y3)关于x=3的对称点的横坐标为x0，由性质2，得x0=3-■，则y3的值与当x=3-■时的函数值相等.∵a=1>0，∴当x∵-1y3>y2.选B.温馨小提示：二次函数的增减性是以对称轴为分界线的，因此，对于函数值的大小问题，根据抛物线的对称性，将所给的点转移到对称轴的同一侧，运用抛物线的增减性比较大小.四、求解析式例4 （2011年天水卷）已知抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），且过点（1，4），则这个抛物线的解析式是 .解：∵抛物线与x轴交于点(-1，0)，(3，0)，∴它的对称轴为直线x=■=1.又∵抛物线过点(1，4)，∴点(1，4)是抛物线的顶点坐标.设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4.将x=3，y=0代入解析式，解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4，即y=-x2+2x+3.温馨小提示：本题的常规解法是设抛物线的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)，然后将三个已知点的坐标代入，建立关于a、b、c的三元一次方程组求解，但这种方法计算量大，且容易出错.在本题的解法中，由抛物线与x轴的交点坐标是(-1，0)，(3，0)，利用抛物线的对称性求出对称轴，然后判断(1，4)是抛物线的顶点是解题关键.另外，如果已知抛物线的顶点坐标或对称轴，通常设抛物线的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k，用这种方法求抛物线的解析式快捷、准确. （作者为洞口县山门镇中学老师）■。
巧用抛物线对称性解题►类型之一二次函数与三角形的综合图3－ZT－11．如图3－ZT－1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________．2．如图3－ZT－2，在平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，求过点B，C，E的抛物线的函数表达式．图3－ZT－23．如图3－ZT－3，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C，连结AB，AC，BC.(1)求该二次函数的表达式；(2)判断△ABC的形状．图3－ZT－34．如图3－ZT－4，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，已知C(0，5)，M为它的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；(2)求△MAB的面积；(3)求△MCB的面积．图3－ZT－45．如图3－ZT －5，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，且点P 在x 轴上方．若S △PAB ＝8，请求出此时点P 的坐标．图3－ZT －56．如图3－ZT －6，一小球从斜坡上点O 抛出，球的抛出路线可以用二次函数y ＝－x 2＋4x 刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画．(1)请用配方法求二次函数图象最高点P 的坐标； (2)小球的落点是A ，求点A 的坐标；(3)连结抛物线的最高点P 与点O ，A 得△POA ，求△POA 的面积；(4)在OA 上方的抛物线上存在一点M (点M 与点P 不重合)，使△MOA 的面积等于△POA 的面积，请直接写出点M 的坐标．图3－ZT －6► 类型之二 二次函数与特殊四边形的综合图3－ZT －77．边长为1的正方形OA 1B 1C 1的顶点A 1在x 轴的正半轴上，将正方形OA 1B 1C 1绕顶点O 顺时针旋转75°得正方形OABC (如图3－ZT －7)，使点B 恰好落在函数y ＝ax 2(a ＜0)的图象上，则a 的值为( )A ．－23B ．－12C ．－2D ．－238．如图3－ZT －8，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．3－ZT －83－ZT －99．二次函数y ＝3x 2的图象如图3－ZT －9，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA ＝120°，则菱形OBAC 的面积为__________．10．如图3－ZT －10，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－43x ＋2过点B (1，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线与y 轴的交点C 的坐标及与x 轴的另一交点A 的坐标； (3)以AC 为边在第二象限画正方形ACPQ ，求P ，Q 两点的坐标．图3－ZT －1011．如图3－ZT －11，已知抛物线y ＝－14x 2－12x ＋2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C .(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)E 是此抛物线上的点，F 是其对称轴上的点，求以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积．(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图3－ZT －11详解详析1．(1＋2，2)或(1－2，2)[解析]∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形， ∴点P 在线段CD 的垂直平分线l 上．如图，作CD 的垂直平分线交抛物线于点P 1，P 2，交y 轴于点E ，则E 为线段CD 的中点．∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ， ∴C (0，3)，而D (0，1)，∴点E 的坐标为(0，2)， ∴点P 的纵坐标为2.在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝2，可得－x 2＋2x ＋3＝2，解得x ＝1±2，∴点P 的坐标为(1＋2，2)或(1－2，2)． 2．解：如图，过点D 作DG ⊥x 轴于点G . ∵OA ＝8，AC ＝AB ＝10， ∴A (0，－8)，BO ＝OC ＝6， ∴B (6，0)，C (－6，0)． ∵S △COE ＝S △ADE ，∴S △CBD ＝S △AOB ＝12×8×6＝24，∴12×BC ×||y D ＝24，解得||y D ＝4， ∴D 为AB 的中点，∴D (3，－4)．联合C 点坐标可求得直线CD 的函数表达式为y ＝－49x －83，∴E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83.设过B ，C ，E 三点的抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋6)(x －6)， 将E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83代入，得a ＝227，∴过点B ，C ，E 的抛物线的函数表达式为y ＝227(x ＋6)(x －6)＝227x 2－83.3．解：(1)把A (3，0)，B (4，1)代入y ＝ax 2＋bx ＋3中，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋3＝0，16a ＋4b ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－52，∴该二次函数的表达式为y ＝12x 2－52x ＋3.(2)△ABC 是直角三角形．理由：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ， 易知点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝45°.又∵点B 的坐标为(4，1)， ∴AD ＝BD ， ∴∠DAB ＝45°，∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC是直角三角形．4．解：(1)∵A (－1，0)，B (5，0)，∴可设表达式为y ＝a (x ＋1)(x －5)．将C (0，5)代入，得a ＝－1，∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)(x －5)＝－x 2＋4x ＋5.∴M (2，9)．(2)S △MAB ＝12AB ·||y M ＝12×6×9＝27. (3)过点M 作MD ⊥y 轴于点D ，则S △MCB ＝S 梯形MDOB －S △DCM －S △COB ＝12×(2＋5)×9－12×2×4－12×5×5＝15. 5．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根为x ＝－1或x ＝3，∴－1＋3＝－b ，－1×3＝c ，∴b ＝－2，c ＝－3，∴该抛物线的函数表达式是y ＝x 2－2x －3.(2)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－4)．(3)设点P 的纵坐标为y P ，∵S △PAB ＝8，∴12AB ·|y P |＝8. ∵AB ＝3＋1＝4，∴|y P |＝4，∴y P ＝±4.∵点P 在x 轴上方，∴y P＝4.把y P ＝4代入表达式，得4＝x 2－2x －3，解得x ＝1±2 2，∴点P 的坐标为(1＋2 2，4)或(1－2 2，4)．6．解：(1)∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x 2－4x )＝－(x 2－4x ＋4)＋4＝－(x －2)2＋4，∴最高点P 的坐标为(2，4)．(2)点A 的坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝74， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，74.(3)如图，过点P 作PB ⊥x 轴交OA 于点B ，则点B 的坐标为(2，1)，∴PB ＝3，∴S △POA ＝S △OPB ＋S △APB ＝12×3×2＋12×3×32＝214. (4)如图，过点P 作PM ∥OA 交抛物线于点M ，连结OM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋b ， ∵直线PM 过点P (2，4)，∴12×2＋b ＝4，解得b ＝3，∴直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋3. 根据题意，可列方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝154， ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，154.7．D [解析] 如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，连结OB .依题意得∠AOE ＝75°，∠AOB ＝45°，∴∠BOE ＝30°.∵OA ＝1，∴OB ＝ 2.∵∠OEB ＝90°，∴BE ＝12OB ＝22，∴OE ＝62， ∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22. 将其代入y ＝ax 2(a ＜0)，得a ＝－23. 故选D.8．－2 [解析] 连结BC，与AO交于点D.观察图象，根据二次函数的图象与其表达式的系数之间的关系可知a<0，c>0.由图象可知，点A是抛物线的顶点，设点A的坐标为(0，c)，则OA＝c，∵四边形ABOC 是正方形，∴AO ＝BC ，AD ＝OD ，△ABD ，△ACD 是等腰直角三角形，∴AD ＝OD ＝c 2. ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴BD ＝c 2. ∵BD ＝c 2，OD ＝c 2， ∴点B 的坐标为(－c 2，c 2)． 将点B 的坐标代入二次函数表达式y ＝ax 2＋c ，可得c 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 22＋c ， 整理，得ac ＝－2.9．2 3 [解析] 连结BC 交OA 于点D .∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥OA .∵∠OBA ＝120°，∴∠OBD ＝60°，∴OD ＝3BD .设BD ＝t ，则OD ＝3t ，∴B ()t ，3t . 把B (t ，3t )代入y ＝3x 2，得3t ＝3t 2，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝1.∴BD ＝1，OD ＝3，∴BC ＝2BD ＝2，OA ＝2OD ＝2 3，∴菱形OBAC 的面积为12×2×2 3＝2 3.10．解：(1)将B (1，0)代入y ＝ax 2－43x ＋2，得a －43＋2＝0，∴a ＝－23， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－23x 2－43x ＋2. (2)当y ＝0时，－23x 2－43x ＋2＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－3.当x ＝0时，y ＝2，∴抛物线与x 轴的另一交点A 的坐标为(－3，0)，与y 轴的交点C 的坐标为(0，2)．(3)如图，过点P ，Q 分别作PH ⊥y 轴，QG ⊥x 轴，H ，G 分别为垂足．∵四边形ACPQ 是正方形，∴易知△AOC ≌△QGA ≌△CHP ，∴AO ＝QG ＝CH ＝3，OC ＝GA ＝HP ＝2，∴P (－2，5)，Q (－5，3)．11．解：(1)当x ＝0时，y ＝2，∴C (0，2)．当y ＝0时，－14x 2－12x ＋2＝0， 解得x 1＝－4，x 2＝2，∴B (－4，0)，A (2，0)．(2)易得对称轴为直线x＝－1.当AB为对角线时，如图①，图①由点F 的横坐标为－1，易知点E 的横坐标也是－1，∴E (－1，94)， ∴▱AEBF 的面积为AB ×94×12×2＝272； 当AB 为边时，如图②，图②∵AB ＝6，∴EF ＝6，∴E (5，－274)或E ′(－7，－274)， ∴以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为AB ×274＝6×274＝812. 综上，以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为272或812. (3)存在，设点M 的坐标为(－1，t )．∵A (2，0)，C (0，2)，∴AC ＝22，MC ＝1＋（t －2）2，AM ＝9＋t 2.①当AC＝MC时，22＝1＋（t－2）2，解得t＝2±7，即M(－1，2＋7)或M(－1，2－7)；②当MC＝AM时，1＋（t－2）2＝9＋t2，解得t＝－1，即M(－1，－1)；③当AC＝AM时，22＝9＋t2，此方程无解．综上，此抛物线的对称轴上存在点M，使得△ACM是等腰三角形，点M的坐标为(－1，2＋7)或(－1，2－7)或(－1，－1)．感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
讨论抛物线的对称性抛物线是一个经典的二次曲线，其对称性在数学中有着重要的地位。
本文将深入探讨抛物线的对称性特征，包括顶点对称、焦点对称和轴对称三个方面。
一、顶点对称抛物线的顶点是其最高点（对于开口向上的抛物线）或最低点（对于开口向下的抛物线），而这个顶点是整个曲线的对称中心。
具体来说，如果抛物线的顶点坐标为（h，k），则曲线上任意一点P（x，y）关于顶点（h，k）对称的另一点为P'（x'，y'）。
满足以下关系：x' = 2h - xy' = 2k - y这就意味着通过顶点将抛物线分成两个对称的部分。
二、焦点对称抛物线还有一个重要的对称性特征是焦点对称。
焦点是指确定抛物线形状的关键点，我们用字母F来表示。
对于开口向上的抛物线，焦点位于顶点的下方，对于开口向下的抛物线，焦点位于顶点的上方。
焦点对称指的是曲线上任意一点P到焦点F的距离与点P'到焦点F的距离相等，即PF = PF'根据抛物线的性质可知，焦点到定点的距离等于焦半径，即 PF =PD（D为抛物线的顶点到直线y=k的距离）。
三、轴对称抛物线还具有轴对称的性质，其中轴称为对称轴。
对称轴是垂直于焦半径、通过顶点的一条直线。
具体来说，如果抛物线开口向上，对称轴是水平线 y = k；如果抛物线开口向下，对称轴是水平线 x = h。
轴对称指的是关于对称轴对抛物线进行镜像对称，即曲线上任意一点P关于对称轴的镜像点P'，满足以下关系：P'（x，y）= P（x'，y'），其中 x = 2h - x'，y = y'经过以上对抛物线的对称性特征的讨论，我们可以看出抛物线的特殊形状与其对称性密不可分。
这些对称性特征可以帮助我们更好地理解抛物线的性质，并在解决实际问题时提供重要的数学工具。
总结：抛物线的对称性主要包括顶点对称、焦点对称和轴对称三个方面。
顶点对称以抛物线的顶点为中心，将曲线分为两个对称部分；焦点对称表明曲线上任意一点到焦点的距离相等；而轴对称以对称轴为中心，实现曲线的镜像对称。
抛物线的对称性质证明：（1）当直线2:pky x AB +=过焦点F 时，根据※得：222p y y p y y p B A B A -=⇔-=当直线2:p y k x AG -'=过准线与x 轴交点G 时，即B A A A y y p y p y y p y y p -==⇒=⇔-=-2222222，根据抛物线的对称性可知，直线AG 过点()B B y x -,，故直线AG 与BG 关于x 轴对称，即AGB ∠被长轴平分。
（2）当直线t ky x AB +=:过点N （t,0）时，根据※得：pt y y B A 2-=当直线t y k x AG -'=:过点G(-t,0)时，即B AA y y pty pt y y -=-=⇒=2222，根据抛物线的对称性可知，直线AG 过点()B B y x -,，故直线AG 与BG 关于x 轴对称，即AGB ∠被长轴平分。
（3）当直线t ky x AB +=:过点P （t,0）时，根据※得：pt y y B A 2-=当直线t y k x P B -'=':过P 点关于y 轴对称的点P '(-t,0)时，即A BB y y pty pt y y -=-=⇒=2222，根据抛物线的对称性可知，直线P B '过点()A A y x -,，即点()A A y x A -',在直线P B '上，则点A’，B ，P’(-t,0)三点共线。
同理：抛物线py x 22=也满足以上三定理。
例1：（2014四川）已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，•=2（其中O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．解：令AB 直线方程为：()0>+=m m ky x ，则m y y k y y B A B A -==+;，2122212121y y y y y y x x OB OA +=+=⋅（舍）或1222-==⇒=-m m m m ，()8814412122122+=-+⋅=-⋅=+k y y y y y y p S S B A B A B A BOF AOF 42≥，当k 等于0时，等号成立。
