高中数学高三课件湖北黄冈中学高三数学专题八圆锥曲线背景下的最值与定值问题
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高三数学圆锥曲线中的最值问题课件(与“问题”有关的文档共10张)
B
题 的两个顶点，C、D是椭圆上两点，
且 分 别 在AB两 侧 ， 则 四 边 形ABCD
O
面 积 的 最 大 值 是_1_2__2____.
D
C x
A
例1.设实数 x，y满足x2 y2 1 16 9
则3x4y的最大值_是 1_2 _2__， _
最小值是 __1_2_2__. _
y
3
O ( t ,0 )
一 想
x2 y2 a2 b2 1
y2 2px
2.若 将 3x4y换 成 y4如何求其范围呢？ x3
y
Q(3,4) 利用几何意义：看成PQ 的斜率
k2
O
P
x k ,k 1 k 2 ,
k 1 第二页，共10页。
圆锥曲线中的最值问题（一）
变 如图，已知A、B是椭圆x2 y2 1
y
16 9
转移法
D
C
要善双 于结合图形曲 ，通过C 数、 形线 结D 合将以 抽象过 A 的、 问题B 、繁为 杂的问题 焦点，由 称双 性 C 、 曲 D 知 关 线 y于 轴 的 对 .
圆锥曲线中的最值问题（一）
设 双 曲 线x的 y方 1程 ，e为 则 c 记A(c,0) 化归为动态的形的问题，从而使问题顺利解决.
y
y
PQ
B
O
F
x
P
B
P2
P1 F1 O
F
x
利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面上直线段最短来解决.
第六页，共10页。
小结
圆锥曲线中的最值问题（一）
y
例3. 如图，已知A梯 BC形中 D| AB|2|CD|，
点E分有向线A段 C所成的比 ， 为双曲线 C、 过 D
高三总复习数学精品课件 圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题
14
【解】 (1)由题意可得ac＝ 23， 2c＝2 3，
解得ac＝＝2，3， 所以 b2＝a2－c2＝1， 故椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
15
(2)证明：设直线 l 的方程为 y＝－12x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 由xy4＝2＋－y212＝x＋1，m，消去 y 得 x2－2mx＋2(m2－1)＝0. 则 Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0， 且 x1＋x2＝2m，x1x2＝2(m2－1)，
7
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线 y＝kx(k≠0)与双曲线 x2－y2＝1 一定相交． (2)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点． (3)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切． (4)过点(2，4)的直线与椭圆x42＋y2＝1 只有一条切线．
(× ) (√ ) (√ )
34
技法三 目标函数法
(2020·河北九校第二次联考)椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，短
轴长为 2
3，右顶点为
A，上顶点为
B，△ABF
的面积为3 2
3 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过 A 作直线 l 与椭圆交于另一点 M，连接 MF 并延长交椭圆于点 N，当
△AMN 的面积最大时，求直线 l 的方程．
26
联立得y＝1－x1mx＋1， y＝－4（mx＋1 1）x－1，
解得点 D 的纵坐标为 yD＝－ －1144xx2121－ ＋mm22＋ －11. 因为点 M 在椭圆 C 上，所以x421＋m2＝1， 则 yD＝0. 所以点 D 在 x 轴上．
27
范围(最值)问题
高三总复习数学课件 圆锥曲线中的定点、定值问题
定点问题
考向 1 参数法求证定点问题的一般思路 (1)把直线或者曲线方程中的变量 x，y 当作常数看待，把常量当作未知数，将方程 一端化为 0，即化为 kf(x，y)＋g(x，y)＝0 的形式(这里把常量 k 当作未知数)． (2)既然过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部 等于 0，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，即fgxx，，yy＝＝00，. (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，即满足fgxx，，yy＝＝00， 的点(x0，y0)为直线或曲线所过的定点．
[解] (1)抛物线 y2＝8x 的准线为 x＝－2， 所以 F(－2,0)，即 c＝2， 又因为椭圆 C 经过点 A( 6，1)，
则a62＋b12＝1， 解得 a2＝8，b2＝4， a2＝b2＋c2，
所以椭圆 C 的方程为x82＋y42＝1． (2)证明：由(1)知，A1(－2 2，0)，A2(2 2，0)， 所以 l1：x＝－2 2，l2：x＝2 2， 联立x82＋y42＝1， 消 y 得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－8＝0，
(2020·全国Ⅰ卷)已知 A，B 分别为椭圆 E：xa22＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，―A→G ·―G→B ＝8．P 为直线 x＝6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D．
(1)求 E 的方程； (2)证明：直线 CD 过定点． [解] (1)由题意得 A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)． 则―A→G ＝(a,1)，―G→B ＝(a，－1)． 由―A→G ·―G→B ＝8 得 a2－1＝8，即 a＝3． 所以 E 的方程为x92＋y2＝1．
直线过定点问题的解题模型
2025高考数学一轮复习-44.1-圆锥曲线中的定值与定点问题【课件】
然直线 MN 的斜率不为 0，所以设直线 MN 的方程为 x＝my－4， 且－12＜m＜12，与x42－1y62 ＝1 联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，Δ ＝64(4m2＋3)＞0，则 y1＋y2＝4m322－m 1，y1y2＝4m42y＋1 2(x＋2)，直线 NA2 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)，联立直线 MA1
44.1-圆锥曲线中的定值与定点问题
举题说法 定点问题
1 已知点 P(4，3)在双曲线 C：ax22－yb22＝1(a＞0，b＞0)上，过点 P 作 x 轴的平行线， 分别交双曲线 C 的两条渐近线于 M，N 两点，且|PM|·|PN|＝4.
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】因为点 P(4，3)在双曲线上，所以1a62－b92＝1.过点 P 作 x 轴的平行线 y＝3，与 y＝±bax 相交于 M，N 两点，不妨取 M3ba，3，则 N－3ba，3，所以4－3ba×4＋3ba ＝16－9ba22＝a21a62 －b92＝a2＝4，所以 a＝2. 代入1a62－b92＝1，解得 b＝ 3，所以双曲线 C 的方程为x42－y32＝1.
①【k解1＋答】k2＝若选1；①②：设k1kA2(＝x1，1.y1)，B(x2，y2).联立x42－y32＝1， 得(3－4k2)x2－8kmx－4m2
y＝kx＋m， －12＝0，所以 3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)＞0，即 m2＋3－4k2＞ 0，x1＋x2＝3－8km4k2，x1x2＝－34－m24－k212(*).
定直线问题
2 已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为(－2 5，0)，离心率为 5.
(1) 求C的方程；
【解答】设双曲线 C 的方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0).由焦点坐标可知 c＝2 5.由 e＝ ac＝ 5，可得 a＝2，则 b＝ c2－a2＝4，故双曲线 C 的方程为x42－1y62 ＝1.
44.1-圆锥曲线中的定值与定点问题
举题说法 定点问题
1 已知点 P(4，3)在双曲线 C：ax22－yb22＝1(a＞0，b＞0)上，过点 P 作 x 轴的平行线， 分别交双曲线 C 的两条渐近线于 M，N 两点，且|PM|·|PN|＝4.
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】因为点 P(4，3)在双曲线上，所以1a62－b92＝1.过点 P 作 x 轴的平行线 y＝3，与 y＝±bax 相交于 M，N 两点，不妨取 M3ba，3，则 N－3ba，3，所以4－3ba×4＋3ba ＝16－9ba22＝a21a62 －b92＝a2＝4，所以 a＝2. 代入1a62－b92＝1，解得 b＝ 3，所以双曲线 C 的方程为x42－y32＝1.
①【k解1＋答】k2＝若选1；①②：设k1kA2(＝x1，1.y1)，B(x2，y2).联立x42－y32＝1， 得(3－4k2)x2－8kmx－4m2
y＝kx＋m， －12＝0，所以 3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)＞0，即 m2＋3－4k2＞ 0，x1＋x2＝3－8km4k2，x1x2＝－34－m24－k212(*).
定直线问题
2 已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为(－2 5，0)，离心率为 5.
(1) 求C的方程；
【解答】设双曲线 C 的方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0).由焦点坐标可知 c＝2 5.由 e＝ ac＝ 5，可得 a＝2，则 b＝ c2－a2＝4，故双曲线 C 的方程为x42－1y62 ＝1.
圆锥曲线中的最值(范围)问题-高中数学总复习课件
1）＝8（ x 2－ xQ ），解得 xQ ＝2，
过点 P 作 PH 垂直准线于点 H ，根据抛物线的定义，
得｜ PF ｜＋｜ PQ ｜＝｜ PH ｜＋｜ PQ ｜，
高中总复习·数学
1
设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），解得 x 1＝3， x 2＝ .
3
设 Q （ xQ ， yQ ），因为5 ＝8 ，所以5（ x 2－ x
高中总复习·数学
代数法求最值（范围）
考向1 借助不等式求最值（范围）
【例2】
2
2
已知椭圆Γ： 2 ＋ ＝1（ m ＞0， m ≠
3
3 ）.
（1）若 m ＝2，求椭圆Γ的离心率；
2
2
解：当 m ＝2时，椭圆Γ的方程为 ＋ ＝1，
4
3
则 a ＝2， b ＝ 3 ，∴ c ＝ 2 − 2 ＝1，
解题技法
若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直
线与曲线的定义、图形、几何性质来解决.
高中总复习·数学
已知过抛物线 C ： y 2＝4 x 的焦点 F 且倾斜角为60°的直线交 C 于 A ， B
两点（ A 在 B 的右边）， P 为 C 上一点，若5 ＝8 ，求｜ PF ｜
2
2，
高中总复习·数学
1
即点 B （ ，±
2
2 ），
2
将点 B 代入 x ＝ my ＋1，得 m ＝± ，所以直线 l 的方程为 x ＝
4
2
± y ＋1，即4 x ±
4
2 y －4＝0.
高中总复习·数学
2. 已知点 A 1（－ 6 ，0）， A 2（ 6 ，0），直线 PA 1， PA 2的斜率之
过点 P 作 PH 垂直准线于点 H ，根据抛物线的定义，
得｜ PF ｜＋｜ PQ ｜＝｜ PH ｜＋｜ PQ ｜，
高中总复习·数学
1
设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），解得 x 1＝3， x 2＝ .
3
设 Q （ xQ ， yQ ），因为5 ＝8 ，所以5（ x 2－ x
高中总复习·数学
代数法求最值（范围）
考向1 借助不等式求最值（范围）
【例2】
2
2
已知椭圆Γ： 2 ＋ ＝1（ m ＞0， m ≠
3
3 ）.
（1）若 m ＝2，求椭圆Γ的离心率；
2
2
解：当 m ＝2时，椭圆Γ的方程为 ＋ ＝1，
4
3
则 a ＝2， b ＝ 3 ，∴ c ＝ 2 − 2 ＝1，
解题技法
若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直
线与曲线的定义、图形、几何性质来解决.
高中总复习·数学
已知过抛物线 C ： y 2＝4 x 的焦点 F 且倾斜角为60°的直线交 C 于 A ， B
两点（ A 在 B 的右边）， P 为 C 上一点，若5 ＝8 ，求｜ PF ｜
2
2，
高中总复习·数学
1
即点 B （ ，±
2
2 ），
2
将点 B 代入 x ＝ my ＋1，得 m ＝± ，所以直线 l 的方程为 x ＝
4
2
± y ＋1，即4 x ±
4
2 y －4＝0.
高中总复习·数学
2. 已知点 A 1（－ 6 ，0）， A 2（ 6 ，0），直线 PA 1， PA 2的斜率之
届高考数学复习强化双基系列圆锥曲线背景下的最值与定值问题-资料.ppt
2019届高考数学复习 强化双基系列课件
《圆锥曲线背景下的 最值与定值问题》
【考点搜索】
1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从 两个途径思考，一是建立函数，用求值 域的方法求范围；二是建立不等式，通 过解不等式求范围.
2. 注意利用某些代数式前导引】
a4 b2
)x2
2
a4 b2
cx
a 4c 2 ( b2
a 2b2 )
0,
x1 x2
(
a
4
b
c
2
2
a 2b2 )
b2
a4 b2
0,
b4 a4.
即b2 a2,c2 a2 a2.
e2 2. 即 e 2.
[例3] 已知点 H (0, 3 ), 点 P 在 x轴上 , 点 Q
在 y轴正半轴上 , 点 M 在直线 PQ 上 , 且满足
OB 、OF 成等比数列 , 过 F 作双曲线 C 在第 一、三象限的渐近线的 垂线 l,垂足为 P .
(1) 求证 : PA OP PA FP ;
(2)若l与 双 曲C的 线左右、两 支 分 别 交 于D点 、E,求 双 曲C的 线离 心e的 率取 值 范 围 .
(2)若l与 双 曲C的 线左右、两 支 分 别
a 2 2 a (a 2
a2 a)
a 2 2 a 2 1, 2
抛物线在点 P 0 ( x 0 , y 0 )处的切线 与直线 AP 0 垂直 .
[例2] (长郡 05 届月考题 )已知双曲线 C ：
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b 0 ), B 是右顶点
,F是
右焦点 , 点 A 在 x轴正半轴上 , 且满足 OA 、
交 于D点 、E,求 双 曲C的 线离 心e的 率取 值
《圆锥曲线背景下的 最值与定值问题》
【考点搜索】
1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从 两个途径思考，一是建立函数，用求值 域的方法求范围；二是建立不等式，通 过解不等式求范围.
2. 注意利用某些代数式前导引】
a4 b2
)x2
2
a4 b2
cx
a 4c 2 ( b2
a 2b2 )
0,
x1 x2
(
a
4
b
c
2
2
a 2b2 )
b2
a4 b2
0,
b4 a4.
即b2 a2,c2 a2 a2.
e2 2. 即 e 2.
[例3] 已知点 H (0, 3 ), 点 P 在 x轴上 , 点 Q
在 y轴正半轴上 , 点 M 在直线 PQ 上 , 且满足
OB 、OF 成等比数列 , 过 F 作双曲线 C 在第 一、三象限的渐近线的 垂线 l,垂足为 P .
(1) 求证 : PA OP PA FP ;
(2)若l与 双 曲C的 线左右、两 支 分 别 交 于D点 、E,求 双 曲C的 线离 心e的 率取 值 范 围 .
(2)若l与 双 曲C的 线左右、两 支 分 别
a 2 2 a (a 2
a2 a)
a 2 2 a 2 1, 2
抛物线在点 P 0 ( x 0 , y 0 )处的切线 与直线 AP 0 垂直 .
[例2] (长郡 05 届月考题 )已知双曲线 C ：
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b 0 ), B 是右顶点
,F是
右焦点 , 点 A 在 x轴正半轴上 , 且满足 OA 、
交 于D点 、E,求 双 曲C的 线离 心e的 率取 值
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[答案] C
2. 若动点( x,
y)在曲线
x2 4
y2 b2
1
(b 0)上变化, 则x2 2 y的最大值为( )
A.
b2 4
4 (0
b
4)
B.
b2 4
4 (0
b
2)
2b (b 4)
2b (b 2)
C. b2 4 4
D. 2b
2. 若动点( x,
y)在曲线
x2 4
y2 b2
1
(b 0)上变化, 则x2 2 y的最大值为( A)
2008年湖北黄冈中学
【考点搜索】
【考点搜索】
1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从 两个途径思考，一是建立函数，用求值 域的方法求范围；二是建立不等式，通 过解不等式求范围.
2. 注意利用某些代数式的几何特征 求范围问题（如斜率、两点的距离等）.
【课前导引】
【课前导引】
1. 设P(x, y)是曲线C：x2+y2+4x+3=0
(2) 若l与双曲线C的左、右两支分别相 交 于 点D、E , 求 双 曲 线C的 离 心 率e的 取 值 范 围.
(2) 若l与双曲线C的左、右两支分别相
交 于 点D、E , 求 双 曲 线C的 离 心 率e的 取 值
范 围.
[解析] (1) l：y a ( x c)
b
y y
b a
(2) 设(1)中使f ( x)取极小值 的正数x为 x0 ,求 证 ：抛 物 线 在 点P( x0 , y0 )处 的 切 线 与 直 线AP0垂 直.
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.
[解析] (1) AP ( x a, y a2 ) ( x a, x2 a2 )
(2) 过 定 点A(a, b)的 直 线 与 曲 线C相 交 于 两 点S、R,求 证 ： 抛 物 线S、R两 点 处 的 切 线 的 交 点B恒 在 一 条 直 线 上.
[解析] (1) 设P(a,0),Q(0, B),则
HP PM (a,3) (a,b) a2 3b 0,
a2 3b, 设M ( x, y), PM 3 HQ. 2
a2b2 )
b2
a4 b2
0,
b4 a4.
即b2 a2 , c2 a2 a2 .
e2 2. 即e 2.
[例3] 已 知 点H (0,3),点P在x轴 上,点Q
在y轴 正 半 轴 上,点M在 直 线PQ上, 且 满 足
HP PM 0, PM 3 MQ. 2
(1)当 点P在x轴 上 移 动 时,求 动 点M的 轨 迹 曲 线C的 方 程;
a b
x
(
x
c) ,
解
得
:
a2 P(
,
ab ).
OA 、OB
、OF
成等比数列,
cc
A( a2 ,0). PA (0, ab ).
c
c
OP ( a2 , ab ), cc
FP ( b2 , ab ), cc
PA OP
ab c2
,
PA FP
ab c2
.
PA OP PA FP.
A.
b2 4
4 (0
b
4)
B.
b2 4
4 (0
b
2)
2b (b 4)
2b (b 2)
C. b2 4 4
D. 2b
【链接高考】
【链接高考】
[例1] 设 抛 物 线y x2过 一 定 点A(a, a2 )
(a 2), P( x, y)是抛物线 上的动点.
2
(1) 将 AP 表示为关 于x的函数f ( x),并 求当x为何值时, f ( x)有极小值;
则
f
( x)
2
AP
(x
a)2
(x2
a2 )2
x4 (1 2a2 )x2 2ax a4 a2 .
f '( x) 4x3 2(1 2a2 )x 2a.
令f '( x) 0得 : 2x3 (1 2a2 )x a 0,
即 ( x a)(2x2 2ax 1) 0.
x0
a
a a2 2 a a2 2 a ,
2
2
又 抛 物 线y x2在 点P0 ( x0 , y0 )处 的
切 线 的 斜 率k2 2 x0 a a2 2,
k1k2
a2 2 a (a
2
a2 a)
a2 2a2
1,
2
抛 物 线 在 点P0 ( x0 , y0 )处 的 切 线
a 2,此 方 程 有 三 个 根x1 a,
x2 a
a2 2
2
,
x3
a
a2 2 , 2
1 当x a时, f '( x) 0;
2 当 a x a a2 2 时, f '( x) 0; 2
3 当a
a2 2
a
x
a2 2 时,
2
2
f '( x) 0;
4 当x a a2 2 时, f '( x) 0. 2
x
a
2a,
y
3 2
b
3b,
y
1
x2.
1 3
1 3
4
2
2
[法一]
( 2)
设A( a
PA OP
ab c2
,
PA FP
.
( 2)
y
a b
(x
c)
b2 x 2 a 2 y2 a 2b2
b2 x2
a4 b2
(x
c)2
a 2b2 .
即(b2
a4 b2
)x2
2
a4 b2
cx
(
a4c b2
2
a2b2 )
0,
x1
x2
(
a4c b2
2
当x a或x a a2 2 时, 2
f ( x)有极小值.
4 当x a a2 2 时, f '( x) 0. 2
当x a或x a a2 2 时, 2
f ( x)有极小值.
(2)由(1)知 : x0 a
a2 2 ,则 2
直 线AP0的 斜 率k1
x02 a 2 x0 a
与 直 线AP0垂 直.
[例2] (长郡07届月考题)已知双曲线C：
x2 y2 1(a 0,b 0), B是右顶点, F是 a2 b2 右焦点, 点A在x轴正半轴上, 且满足 OA、
OB、OF 成等比数列,过F作双曲线C在第 一、三象限的渐近线的垂线l , 垂足为P.
(1) 求证 : PAOP PA FP;
上任意一点，则 x 的取值范围是 ( ) y
A. [ 3, 3] B. (, 3) [ 3,)
C. [ 3 , 3 ] D. (, 3 ][ 3 ,)
33
33
[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.
[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.
2. 若动点( x,
y)在曲线
x2 4
y2 b2
1
(b 0)上变化, 则x2 2 y的最大值为( )
A.
b2 4
4 (0
b
4)
B.
b2 4
4 (0
b
2)
2b (b 4)
2b (b 2)
C. b2 4 4
D. 2b
2. 若动点( x,
y)在曲线
x2 4
y2 b2
1
(b 0)上变化, 则x2 2 y的最大值为( A)
2008年湖北黄冈中学
【考点搜索】
【考点搜索】
1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从 两个途径思考，一是建立函数，用求值 域的方法求范围；二是建立不等式，通 过解不等式求范围.
2. 注意利用某些代数式的几何特征 求范围问题（如斜率、两点的距离等）.
【课前导引】
【课前导引】
1. 设P(x, y)是曲线C：x2+y2+4x+3=0
(2) 若l与双曲线C的左、右两支分别相 交 于 点D、E , 求 双 曲 线C的 离 心 率e的 取 值 范 围.
(2) 若l与双曲线C的左、右两支分别相
交 于 点D、E , 求 双 曲 线C的 离 心 率e的 取 值
范 围.
[解析] (1) l：y a ( x c)
b
y y
b a
(2) 设(1)中使f ( x)取极小值 的正数x为 x0 ,求 证 ：抛 物 线 在 点P( x0 , y0 )处 的 切 线 与 直 线AP0垂 直.
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.
[解析] (1) AP ( x a, y a2 ) ( x a, x2 a2 )
(2) 过 定 点A(a, b)的 直 线 与 曲 线C相 交 于 两 点S、R,求 证 ： 抛 物 线S、R两 点 处 的 切 线 的 交 点B恒 在 一 条 直 线 上.
[解析] (1) 设P(a,0),Q(0, B),则
HP PM (a,3) (a,b) a2 3b 0,
a2 3b, 设M ( x, y), PM 3 HQ. 2
a2b2 )
b2
a4 b2
0,
b4 a4.
即b2 a2 , c2 a2 a2 .
e2 2. 即e 2.
[例3] 已 知 点H (0,3),点P在x轴 上,点Q
在y轴 正 半 轴 上,点M在 直 线PQ上, 且 满 足
HP PM 0, PM 3 MQ. 2
(1)当 点P在x轴 上 移 动 时,求 动 点M的 轨 迹 曲 线C的 方 程;
a b
x
(
x
c) ,
解
得
:
a2 P(
,
ab ).
OA 、OB
、OF
成等比数列,
cc
A( a2 ,0). PA (0, ab ).
c
c
OP ( a2 , ab ), cc
FP ( b2 , ab ), cc
PA OP
ab c2
,
PA FP
ab c2
.
PA OP PA FP.
A.
b2 4
4 (0
b
4)
B.
b2 4
4 (0
b
2)
2b (b 4)
2b (b 2)
C. b2 4 4
D. 2b
【链接高考】
【链接高考】
[例1] 设 抛 物 线y x2过 一 定 点A(a, a2 )
(a 2), P( x, y)是抛物线 上的动点.
2
(1) 将 AP 表示为关 于x的函数f ( x),并 求当x为何值时, f ( x)有极小值;
则
f
( x)
2
AP
(x
a)2
(x2
a2 )2
x4 (1 2a2 )x2 2ax a4 a2 .
f '( x) 4x3 2(1 2a2 )x 2a.
令f '( x) 0得 : 2x3 (1 2a2 )x a 0,
即 ( x a)(2x2 2ax 1) 0.
x0
a
a a2 2 a a2 2 a ,
2
2
又 抛 物 线y x2在 点P0 ( x0 , y0 )处 的
切 线 的 斜 率k2 2 x0 a a2 2,
k1k2
a2 2 a (a
2
a2 a)
a2 2a2
1,
2
抛 物 线 在 点P0 ( x0 , y0 )处 的 切 线
a 2,此 方 程 有 三 个 根x1 a,
x2 a
a2 2
2
,
x3
a
a2 2 , 2
1 当x a时, f '( x) 0;
2 当 a x a a2 2 时, f '( x) 0; 2
3 当a
a2 2
a
x
a2 2 时,
2
2
f '( x) 0;
4 当x a a2 2 时, f '( x) 0. 2
x
a
2a,
y
3 2
b
3b,
y
1
x2.
1 3
1 3
4
2
2
[法一]
( 2)
设A( a
PA OP
ab c2
,
PA FP
.
( 2)
y
a b
(x
c)
b2 x 2 a 2 y2 a 2b2
b2 x2
a4 b2
(x
c)2
a 2b2 .
即(b2
a4 b2
)x2
2
a4 b2
cx
(
a4c b2
2
a2b2 )
0,
x1
x2
(
a4c b2
2
当x a或x a a2 2 时, 2
f ( x)有极小值.
4 当x a a2 2 时, f '( x) 0. 2
当x a或x a a2 2 时, 2
f ( x)有极小值.
(2)由(1)知 : x0 a
a2 2 ,则 2
直 线AP0的 斜 率k1
x02 a 2 x0 a
与 直 线AP0垂 直.
[例2] (长郡07届月考题)已知双曲线C：
x2 y2 1(a 0,b 0), B是右顶点, F是 a2 b2 右焦点, 点A在x轴正半轴上, 且满足 OA、
OB、OF 成等比数列,过F作双曲线C在第 一、三象限的渐近线的垂线l , 垂足为P.
(1) 求证 : PAOP PA FP;
上任意一点，则 x 的取值范围是 ( ) y
A. [ 3, 3] B. (, 3) [ 3,)
C. [ 3 , 3 ] D. (, 3 ][ 3 ,)
33
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[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.
[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.