2016_2017学年高中数学第一章统计案例1.2独立性检验学业分层测评含解析

一、选择题1．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13．若前两局中乙队以20：领先，则下列说法中错误的是（）A．甲队获胜的概率为827B．乙队以30：获胜的概率为13C．乙队以三比一获胜的概率为29D．乙队以32：获胜的概率为492．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军．4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )A．0.15B．0.105C．0.045D．0.213．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（）A．25B．1225C．1625D．454．某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如表学习成绩不优秀16218合计201030经计算2K的值，则有（）的把握认为玩手机对学习有影响．A．95%B．99%C．99.5%D．99.9%5．从345678910,1112，，，，，，，，中不放回地依次取2个数，事件A=“第一次取到的数可以被3整除”,B=“第二次取到的数可以被3整除”，则()P B|?A=( )A．59B．23C．13D．296．某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++并参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”C．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”D．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”7．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如右表，则下列说法正确的是（）使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响．B ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响．C ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响．D ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习无影响．8．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为2133、，则小球落入A 袋中的概率为 （ ）A ．34B ．14C ．13D ．239．以下四个命题，其中正确的个数有（ ）①由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀.②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程^0.212y x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大. A ．1B ．2C ．3D ．410．通过随机询问100名性别不同的高二学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：其中()()()()()22,.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++则下列结论正确的是A ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”11．把一枚硬币任意掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P （B/A ）=（ ） A ．14B ．13C ．12D ．2312．甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过4场即获胜的概率是（ ） A ．0.18B ．0.21C ．0.39D ．0.42二、填空题13．一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________.14．有9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，需要补种的坑数为2的概率等于_______.15．已知如下四个命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于0，表示回归效果越好；②在回归直线方程ˆ0.812yx =-中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加0.8个单位；③两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；④对分类变量X 与Y ，对它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，则“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确命题的序号是__________．16．以下四个命题，其中正确的序号是____________________．①从匀速传递的产品生产流水线上，每20分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程0.212ˆyx =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位；④分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值为k ，当k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大.17．在一场对抗赛中，,A B 两人争夺冠军，若比赛采用“五局三胜制”，A 每局获胜的概率均为23，且各局比赛相互独立，则A 在第一局失利的情况下，经过五局比赛最终获得冠军的概率是_____．18．设甲、乙两套方案在一次试验中通过的概率均为0.3，且两套方案在试验过程中相互之间没有影响，则两套方案在一次试验中至少有一套通过的概率为___________． 19．某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为14，乙完成任务的概率为12，丙、丁完成任务的概率均为23，若四人完成任务与否相互独立，则至少2人完成任务的概率为____.20．2020年新型冠状病毒疫情期间，大学生小白同学在家里根据某款运动软件安排的训练计划进行运动，每天训练一次，连续3天为一个运动周期，若小白每天不能参加训练的概率为14，假设小白每天的训练是相互独立的，若一个训练周期内出现2次不能参加训练，则停止该训练计划，则这个训练计划在第二个完整周期后结束的概率为______．三、解答题21．一个口袋中有4个红球和3个黑球．（1）从口袋中随机地连续取出三个球，取出后不放回，求： （i ）三个球中有两个红球一个黑球的概率；（ii ）第二次取出的是红球且第三次取出的也是红球的概率．（2）从口袋中随机地连续取出三个球，取出后放回，求至少有两个是红球且第三个是红球的概率22．在疫情防控中，不聚集、戴口罩、保持社交距离是对每个人的基本要求同时，通过运动健身增强体质，进而提升免疫力对个人防护也有着重要的意义，某机构为了解“性别与休闲方式为运动”是否有关，随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的25.已知男性中有一半的人休闲方式是运动，而女性只有13的人休闲方式是运动. （1）完成下列22⨯列联表：（2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.23．高三（1）班班主任李老师为了了解本班学生喜爱中国古典文学是否与性别有关，对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢中国古典文学的学生的概率为35． （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关？请说明理由；（3）已知在喜欢中国古典文学的10位男生中，1A ，2A ，3A 还喜欢数学，1B ，2B 还喜欢绘画，1C ，2C 还喜欢体育．现从喜欢数学、绘画和体育的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．24．2019年12月16日，公安部联合阿里巴巴推出的“钱盾反诈机器人”正式上线，当普通民众接到电信网络诈骗电话，公安部钱盾反诈预警系统预警到这一信息后，钱盾反诈机器人即自动拨打潜在受害人的电话予以提醒，来电信息显示为“公安反诈专号”.某法制自媒体通过自媒体调查民众对这一信息的了解程度，从5000多参与调查者中随机抽取200个样本进行统计，得到如下数据：男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人.（1）完成下列22⨯列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关？（2）该自媒体对200个样本中了解这一信息的调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给予一等奖，另外3人给予二等奖，求一等奖与二等奖获得者都有女性的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b a c c d b d-==+++ ++++25．2019年，中国的国内生产总值（GDP）已经达到约100万亿元人民币，位居世界第二，这其中实体经济的贡献功不可没.实体经济组织一般按照市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了如下的散点图.现考虑用反比例函数模型by ax=+和指数函数模型e dxy c=分别对两个变量的关系进行拟合.为此变换如下：令1ux=，则y a bu=+，即y与u满足线性关系；令lnv y=，则lnv c dx=+，即v与x也满足线性关系.这样就可以使用最小二乘法求得非线性的回归方程.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为96.54e dxy=，v与x的相关系数10.94r=-，其他参考数据如表（其中1iiux=，lni iv y=）：81i iiu y=∑u2u821iiu=∑81iiy=∑821iiy=∑0.616185.5⨯2e-ln96.54v 183.40.340.115 1.5336022385.561.40.135 4.6 3.7（1）求指数函数模型和反比例函数模型中y关于x的回归方程；（2）试计算y与u的相关系数2r，并用相关系数判断选择反比例函数和指数函数两个模型中的哪一个拟合效果更好（计算精确到0.01）？参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n nu v u v u v，其回归直线v uαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ni iiniiu v nuvu nuβ==-=-∑∑，v uαβ=-，相关系数1222211ni iin ni ii iu v nuvru nu v nv===-=⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.26．为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资，得到这100名农民工的月工资均在[]25,55(百元)内，且月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:（1）求n的值；（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名.①完成如下所示22⨯列联表技术工非技术工总计月工资不高于平均数50月工资高于平均数50总计5050100②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?参考公式及数据:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.050.010.0050.001 0k 3.841 6.6357.87910.828【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】A ，在乙队以2:0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜；B ，乙队以3:0获胜，即第4局乙获胜；C ，乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜；D ，若乙队以3:2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输． 【详解】解：对于A ，在乙队以2:0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，所以甲队获胜的概率为3128()327P ==，故正确； 对于B ，乙队以3:0获胜，即第4局乙获胜，概率为13，故正确；对于C ，乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为212339⨯=，故正确；对于D ，若乙队以3:2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3:2获胜的概率为221433327⨯⨯=，故错．故选：D ． 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．2．C解析：C 【分析】若甲得冠军且丙得亚军，则甲、乙比赛甲获胜，丙、丁比赛丙获胜，决赛甲获胜. 【详解】甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3， 丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5， 甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件的概率等于概率之积，所以， 甲得冠军且丙得亚军的概率：0.30.50.30.045⨯⨯=. 故选C. 【点睛】本题考查独立事件的概率，考查分析问题解决问题的能力.3．C解析：C 【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．4．C解析：C 【解析】分析：利用公式求得观测值2K ，对照数表，即可得出正确的结论. 详解：根据列联表可得()223042168=1020101218K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯，27.8791010.828K <=<,对照数表知，有99.5%的把握认为玩手机对学习有影响，故选C.点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题目. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.5．C解析：C 【解析】分析：先求()P AB ，()P A ，再根据()(|)()P AB P B A P A =得结果. 详解：因为214421101022(),()155C C P AB P A C C ====， 所以2()115(|)2()35P AB P B A P A ===, 选C.点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.6．A解析：A 【解析】()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++2110(1200400)7.82 6.63560506050-=≈>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”,选A.7．C解析：C 【解析】 经计算，()2230421681020101218K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，27.87910.828K <<，对照数表知，在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响，故选C ．点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题；其解题步骤为：（1）认真读题，取出相关数据，作出22⨯列联表；（2）根据22⨯列联表中的数据，计算2K 的观测值k ；（3）通过观测值k 与临界值0k 比较，得出事件有关的可能性大小．8．D解析：D 【分析】小球落入A 袋中的概率为P （A ）1P =-（B ），由此利用对立事件概率计算公式能求出小球落入A 袋中的概率． 【详解】 解：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为21,33， 小球落入A 袋中的概率为：P （A ）1P =-（B ）1112221()333333=-⨯⨯+⨯⨯23=． 故选：D ． 【点睛】 本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．9．B解析：B 【解析】对于命题①认为数学成绩与物理成绩有关，不出错的概率是99%，不是数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀，不正确；对于④，随机变量K 2的观测值k 越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小，不正确；容易验证②③正确，应选答案B 。

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率与独立事件课后演练提升北师大版选修1—2一、选择题1．下面几种概率是条件概率的是（)A．甲、乙二人投篮命中率分别为0。

6、0。

7，各投篮一次都命中的概率B．甲、乙二人投篮命中率分别为0。

6、0。

7,在甲投中的条件下,乙投篮一次命中的概率C．10件产品中有3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是错误!，小明在一次上学途中遇到红灯的概率解析: 由条件概率定义知选B。

答案：B2．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0。

8和0.9，在两批种子中各取一粒,则恰有一粒种子能发芽的概率是（）A．0。

26 B．0。

08C．0。

18 D．0.72解析: P＝0.8×0。

1＋0.2×0.9＝0。

26。

答案：A3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是（)A。

错误!B．错误!C.错误!D．错误!解析：设甲射击一次中靶为事件A，乙射击一次中靶为事件B，则P(A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!，P(AB）＝P（A）·P(B）＝错误!×错误!＝错误!.答案: D4．一袋中有3个红球，2个白球，另一袋中有2个红球,1个白球，从每袋中任取一球，则至少取到1个白球的概率是( )A。

新课程标准数学选修1—2第一章课后习题解答第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用练习（P8）1、画散点图的目的是通过变量的散点图判断两个变量更近似于什么样的函数关系，以确定是否直接用线性回归模型来拟合原始数据.说明：学生在对常用的函数图象比较了解的情况下，通过观察散点图可以判断两个变量的关系更近似于哪种函数.2、分析残差可以帮助我们解决以下两个问题：（1）寻找异常点，就是残差特别大的点，考察相应的样本数据是否有错.（2）分析残差图可以发现模型选择是否合适.说明：分析残差是回归诊断的一部分，可以帮助我们发现样本数据中的错误，分析模型选择是否合适，是否有其他变量需要加入到模型中，模型的假设是否正确等. 本题只要求学生能回答上面两点即可，主要让学生体会残差和残差图可以用于判断模型的拟合效果.3、（1）解释变量和预报变量的关系式线性函数关系.R=.（2）21说明：如果所有的样本点都在一条直线上，建立的线性回归模型一定是该直线，所以每个=+，没有随机误差项，是严样本点的残差均为0，残差平方和也为0，即此时的模型为y bx aR=.格的一次函数关系. 通过计算可得21习题1.1 （P9）1、（1）由表中数据制作的散点图如下：从散点图中可以看出GDP值与年份近似呈线性关系.y表示GDP值，t表示年份. 根据截距和斜率的最小二乘计算公式，得（2）用tˆ14292537.729a≈-，ˆ7191.969b≈从而得线性回归方程ˆ7191.96914292537.729=-.y t残差计算结果见下表.GDP 值与年份线性拟合残差表（年实际GDP 值为117251.9，所以预报与实际相差4275.540-.（4）上面建立的回归方程的20.974R =，说明年份能够解释约97％的GDP 值变化，因此所建立的模型能够很好地刻画GDP 和年份的关系.说明：关于2003年的GDP 值的来源，不同的渠道可能会有所不同.2、说明：本题的结果与具体的数据有关，所以答案不唯一.3、由表中数据得散点图如下：从散点图中可以看出，震级x 与大于或等于该震级的地震数N 之间不呈线性相关关系，随着x 的减少，所考察的地震数N 近似地以指数形式增长. 做变换lg y N =，得到的数据如下表所示.x 和y 的散点图如下：从这个散点图中可以看出x 和y 之间有很强的线性相关性，因此可以用线性回归模型拟合它们之间的关系. 根据截距和斜率的最小二乘计算公式，得ˆ 6.704a≈，ˆ0.741b ≈-， 故线性回归方程为 ˆ0.741 6.704y x =-+. 20.997R ≈，说明x 可以解释y 的99.7％的变化.因此，可以用回归方程 0.741 6.704ˆ10x N-+= 描述x 和N 之间的关系. 1．2独立性检验的基本思想及其初步应用练习（P15）列联表的条形图如图所示.由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”. 因为2K 的观测值0.653 6.635k ≈<，由教科书中表1-11克重，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”.说明：（1）教师应要求学生画出等高条形图后，从图形上判断两个分类变量之间是否有关系. 这里通过图形的直观感觉的结果可能会出错.（2）本题与例题不同，本题计算得到的2K 的观测值比较小，所以没有理由说明“成绩优秀与班级有关系”. 这与反证法也有类似的地方，在使用反证法证明结论时，假设结论不成立的条件下如果没有推出矛盾，并不能说明结论成立也不能说明结论不成立. 在独立性检验中，没有推出小概率事件发生类似于反证法中没有推出矛盾.习题1.2 （P16）1、假设“服药与患病之间没有关系”，则2K 的值应该比较小；如果2K 的值很大，则说明很可能“服药与患病之间没有关系”. 由列联表中数据可得2K 的观测值 6.110 5.024k ≈>，而由教科书表1-11，得2( 5.024)0.025P K ≥≈，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为“服药与患病之间有关系”. 又因为服药群体中患病的频率0.182小于没有服药群体中患病的频率0.400，所以“服药与患病之间关系”可以解释为药物对于疾病有预防作用. 因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为药物有效.说明：仿照例1，学生很容易完成此题，但希望学生能理解独立性检验在这里的具体含义，即“服药与患病之间关系”可以解释为“药物对于疾病有预防作用”.2、如果“性别与读营养说明之间没有关系”，由题目中所给数据计算，得2K 的观测值为8.416k ≈，而由教科书中表1-11知2(7.879)0.005P K ≥≈，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.3、说明：需要收集数据，所有没有统一答案. 第一步，要求学生收集并整理数据后得到列联表；第二步，类似上面的习题做出判断.4、说明：需要从媒体上收集数据，学生关心的问题不同，收集的数据会不同. 第一步，要求学生收集并整理数据后得到列联表；第二步，类似上面的习题做出判断.第一章 复习参考题A 组（P19）根据散点图，可以认为中国人口总数与年份呈现很强的线性相关关系，因此选用线性回归模型建立回归方程.由最小二乘法的计算公式，得 2095141.503a ≈-，1110.903b ≈，则线性回归方程为 ˆ1110.9032095141.503yx =-. 由2R 的计算公式，得 20.994R ≈，明线性回归模型对数据的拟合效果很好.根据回归方程，，预计2003年末中国人口总数约为129997万人，而实际情况为129227万人，预测误差为770万人；预计2004年末中国人口总数约为131108万人，而实际情况为129988万人，预测误差为1120万人.说明：数据来源为《中国统计年鉴》（2003）. 由于人数为整数，所以预测的数据经过四舍五入的取整运算.2、（1）将销售总额作为横轴，利润作为纵轴，根据表中数据绘制散点图如下：由于散点图中的样本点基本上在一个带形区域内分布，猜想销售总额与利润之间呈现线性相关关系.（2）由最小二乘法的计算公式，得 ˆ1334.5a≈，ˆ0.026b ≈， 则线性回归方程为 ˆ0.0261334.5yx =+ 其残差值计算结果见下表：（3）对于（2）中所建立的线性回归方程，20.457R ≈，说明在线性回归模型中销售总额只能解释利润变化的46％，所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系. 说明：此题也可以建立对数模型或二次回归模型等，只要计算和分析合理，就算正确.3、由所给数据计算得2K 的观测值为 3.689k ≈，而由教科书中表1-11知2( 2.706)0.10P K ≥=所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“婴儿的性别与出生的时间有关系”.第一章 复习参考题B 组（P19）1、因为 21(,)()ni i i Q a b y a bx ==--∑21(()())n i i i y bx y bx a y bx ==--+--+∑ 2211()()n n i i i i y bx y bx a y bx ===--++-+∑∑12()()ni i i y bx y bx a y bx =---+-+∑ 并且221()()n i a y bx n a y bx =-+=-+∑，12()()n i i i y bx y bx a y bx =--+-+∑ 1()(())ni i i a y bx y bx ny nbx ==-+--+∑ ()()0a y b x n y n b xn y n b x=-+--+= 所以 221(,)()()ni i i Q a b y bx y bx n a y bx ==--++-+∑.考察上面的等式，等号右边的求和号中不包含a ，而另外一项非负，所以ˆa和ˆb 必然使得等号右边的最后一项达到最小值，即 ˆˆ0ay bx -+=， 即ˆˆy a bx =+. 2、总偏差平方和21()n i i y y =-∑表示总的效应，即因变量的变化效应；残差平方和21ˆ()ni i y y =-∑表示随机误差的效应，即随机误差的变化效应；回归平方和21ˆ()ni yy =-∑表示表示变量的效应，即自变量的变化效应. 等式 222111ˆˆ()()()n n n i ii i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑ 表示因变量的变化总效应等于随机误差的变化效应与自变量的变化效应之和.3、说明：该题主要是考察学生应用回归分析模型解决实际问题的能力，解答应该包括如何获取数据，如何根据散点图寻找合适的模型去拟合数据，以及所得结果的解释三方面的内容.。

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在正项等比数列{a n }中，a 3·a 5＝4，则a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝( ) A ．64 B ．128 C ．256D ．512【解析】 a 3·a 5＝a 1·a 7＝a 2·a 6＝a 24＝4，∵a n ＞0，∴a 4＝2，∴a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝(a 24)3·a 4＝a 74＝27＝128.【答案】 B2．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝16.【答案】 D3．(2015·福建高考)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9. 【答案】 D4．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5·a 6＋a 4·a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35【解析】 因为a 5·a 6＝a 4·a 7，又a 5·a 6＋a 4·a 7＝18 所以a 5·a 6＝9，∴a 1·a 10＝a 2·a 9＝a 3·a 8 ＝a 4·a 7＝9，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3a 1a 2a 3…a 10 ＝log 3(a 1·a 10·a 2·a 9·a 3·a 8·a 4·a 7·a 5·a 6) ＝log 395＝log 3310 ＝10. 【答案】 B5．(2016·福州高二检测)在等比数列{a n }中，a 5a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5＝( )A ．3B ．13C ．3或13D ．－3或－13【解析】 ∵a 5a 11＝a 3a 13＝3，又a 3＋a 13＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝1a 13＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝3a 13＝1，又a 15a 5＝q 10＝a 13a 3，∴a 15a 5的值为3或13.【答案】 C 二、填空题6．(2015·广东高考)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.【解析】 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝a ·c ＝(5＋26)(5－26)＝1. 又b >0，∴b ＝1. 【答案】 17．(2016·南昌高二检测)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N ＋，则S 10的值为________．【解析】 由a 27＝a 3a 9，d ＝－2，可得[a 1＋6×(－2)]2＝[a 1＋2×(－2)]·[a 1＋8×(－2)]， 即(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)， 解得a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110. 【答案】 1108．已知{a n }是公差不为零的等差数列，且a 7，a 10，a 15是等比数列{b n }的连续三项，若b 1＝3，则b n ＝________.【解析】 ∵{a n }是公差不为零的等差数列，设首项为a 1，公差为d ，∵a 7，a 10，a 15是等比数列{b n }的连续三项，∴(a 1＋9d )2＝(a 1＋6d )(a 1＋14d )，整理可得d ＝－23a 1. 设数列{b n }的公比为q ，则q ＝a 10a 7＝a 1＋9d a 1＋6d ＝53，∴b n ＝b 1qn －1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1.【答案】 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1三、解答题9．(2016·淮北高二检测)设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n . 【导学号：67940017】【解】 由b 1＋b 2＋b 3＝3， 得log 2(a 1·a 2·a 3)＝3， ∴a 1·a 2·a 3＝23＝8，∵a 22＝a 1·a 3，∴a 2＝2，又b 1·b 2·b 3＝－3， 设等比数列{a n }的公比为q ，得 log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2q ·log 2(2q )＝－3，解得q ＝4或14，∴所求等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 2·q n －2＝22n －3或a n ＝25－2n .10．已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．【解】 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2.由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)， 即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－2，故{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )·(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0，由a ＞0得，Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程aq 2－4aq ＋3a －1＝0有两个不同的实根．由{a n }唯一，故方程必有一根为0，代入上式得a ＝13.[能力提升]1．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 为偶数时，a n＋1＝2a n －1，则a 12等于( ) A ．32 B ．34 C ．66D ．64【解析】 依题意，a 1，a 3，a 5，a 7，a 9，a 11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a 11＝a 1×25＝64，a 12＝a 11＋2＝66.故选C.【答案】 C2．(2016·西安高二检测)数列{a n }中，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，那么a 1，a 3，a 5( )A ．成等比数列B ．成等差数列C ．每项的倒数成等差数列D ．每项的倒数成等比数列 【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝a 1＋a 3a 23＝a 2a 42a 4＝1a 3＋1a5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋a 32 ①a 4＝a23a2 ②2a 4＝1a 3＋1a5③将①代入②得2a 4＝a 1＋a 3a 23，④将④代入③得：a 23＝a 1a 5，即a 1，a 3，a 5成等比数列． 【答案】 A3．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于________．【解析】 设A ＝a 1·a 4·a 7…a 28， B ＝a 2·a 5·a 8·a 29，C ＝a 3·a 6·a 9…a 30，则A 、B 、C 成等比数列， 公比为q 10＝210，由条件得A ·B ·C ＝230，∴B ＝210， ∴C ＝B ·210＝220. 【答案】 2204．(2016·蚌埠高二检测)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ， 依题意得，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2. 从而得数列{a n }的通项公式为 a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n ＜60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0， 解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n，使得S n＞60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当a n＝2时，不存在满足题意的正整数n；当a n＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.。

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我小测新人教A版选修1—21．下面是2×2列联表:则表中a，b的值分别为(A．94,96 B．52,50 C．52,54 D．54，522．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( ）A．k越大，推断“X与Y有关系”,犯错误的概率越大B．k越小,推断“X与Y有关系”，犯错误的概率越大C．k越接近于0,推断“X与Y无关"，犯错误的概率越大D．k越大，推断“X与Y无关”，犯错误的概率越小名学生进行了作业量的调查，数据如下表：3．某班主任对全班50A．99％ B．95％C．90％ D．无充分根据4．在列联表中，相差越大，两个分类变量之间的关系越强的两个比值是（）A．错误!与错误! B．错误!与错误!C．错误!与错误! D．错误!与错误!5．在一项打鼾与患心脏病是否有关的调查中，共调查了1 978人，经过计算K2＝28.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是__________的．（填“有关"、“无关”) 6．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果.7．为研究学生的数学成绩与学习数学的兴趣浓厚是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：成绩好坏与学习数学的兴趣浓厚有关？8．在500个用血清的人身上试验某种血清预防感冒的作用，把一年中的记录与另外500个未用血清的人作比较,结果如下：9．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在［29。

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·西安高二检测)等差数列，－，－，…的第10项为( )321252A ．－　B ．－372332C.D ．372332【解析】　由a 1＝，d ＝－－＝－2，得a n ＝＋(n －1)(－2)＝－2n ＋.3212323272当n ＝10时，a 10＝－2×10＋＝－.72332【答案】　B2．等差数列的前三项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝2n －3C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋1【解析】　∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前三项，∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0.∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，∴d ＝2，∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3.【答案】　B3．(2015·重庆高考)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6【解析】　由题意有Error!∴Error!∴a 11＝5＋(n －1)(－1)＝6－n ，∴a 6＝6－6＝0.【答案】　B4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为( )【导学号：67940007】A ．－2B ．－3C ．－4D ．－6【解析】　设a n ＝23＋(n －1)d ，则Error!，即Error!，解得－4＜d ＜－3，3556又因为d ∈Z ，所以d ＝－4.【答案】　C5．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 3＋a 4＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．7【解析】　由题意可得Error!，即Error!解得Error!所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39＋(－2)(n －1)＝41－2n ，故a 20＝41－2×20＝1.【答案】　B 二、填空题6．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________.【解析】　由题意知Error!即Error!解得Error!∴a 5＝a 1＋4d ＝47－32＝15.【答案】　157．(2016·苏州高二检测)已知数列{a n }为等差数列，且a 9－2a 5＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________.【解析】　a 9－a 5＝4d ，a 5＝a 3＋2d ，∴a 9－2a 5＝(a 9－a 5)－(a 3＋2d )＝－1，∴4d －2d ＝－1，即d ＝－.12【答案】　－128．若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则＝________.a 2－a 1b 2－b 1【解析】　∵数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，∴y －x ＝3(a 2－a 1)，∴a 2－a 1＝(y －x )，13∵x 、b 1、b 2、b 3、y 成等差数列，∴y －x ＝4(b 2－b 1)⇒b 2－b 1＝(y －x )，14∴＝＝.a 2－a 1b 2－b 113(y －x )14(y －x )43【答案】　43三、解答题9．在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ；(2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.【解】　(1)由题意知Error!解得Error!(2)∵Error!∴Error!∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∴a 9＝2×9－1＝17.10．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n ＋2n ，a 1＝1，设b n ＝.an2n －1(1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】　(1)证明：将a n ＋1＝2a n ＋2n 两边同除以2n ，得＝＋1，an ＋12n an2n －1∴b n ＋1＝b n ＋1，b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }为等差数列，公差为1.(2)∵{b n }的首项b 1＝＝1.a 120∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝1＋n －1＝n ，∴＝n ，∴a n ＝n ·2n －1.an2n －1[能力提升]1．已知{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝5，b 1＝15，a 10＋b 10＝101，则数列{a n ＋b n }的第20项为( )A ．20B ．190C ．191D ．121【解析】　设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2，由a n ＋1＋b n ＋1－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，其公差设为d .则d ＝＝＝9，(a 10＋b 10)－(a 1＋b 1)10－1819∴a 20＋b 20＝(a 1＋b 1)＋19×d ＝20＋19×9＝191.【答案】　C2．在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点P 有n 条弦的长度成等差数列，最小弦(52，32)长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差d ∈，那么n 的取值集合为( )[16，13]A ．{4,5,6,7}B ．{4,5,6}C ．{3,4,5,6}D ．{3,4,5}【解析】　圆x 2＋y 2＝5x 的圆心为C ，半径为r ＝，过点P 最(52，0)52(52，32)短弦的弦长为a 1＝2＝4，r 2－|PC |2过点P最长弦长为圆的直径长a n ＝5，(52，32)所以4＋(n －1)d ＝5，d ＝，1n －1因为d ∈，所以≤≤，[16，13]161n －113所以4≤n ≤7.【答案】　A3．(2016·南昌高二检测)在数列{a n }中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，点(，)在直线x －y －＝0上，则数列{a n }的通项公式为an an －13a n ＝________.【解析】　∵点(，)在直线x －y －＝0上，∴－－an an －13an an －1＝0，即－＝(n ≥2)．则数列{}是以为首项，为公差的等3an an －13an 33差数列，＝＋(n －1)＝n ，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2.an 333【答案】　3n24．有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，问去哪一家商场购买花费较少．【解】　设某单位需购买电视机n台．在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝－20n＋800.由a n＝－20n＋800≥440，得n≤18，即购买电视机台数不超过18台时，每台售价为800－20n元；购买电视机台数不少于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600元．比较在甲、乙两家商场的费用(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，①当n＜10时，(800－20n)n＞600n；②当n＝10时，(800－20n)n＝600n；③当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n；④当n＞18时，440n＜600n.即当购买电视机台数少于10台时，到乙商场花费较少；当购买电视机10台时，到两商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少．。

回归分析与独立性检验的异同回归分析与独立性检验都是统计中的重要概念，都可以借助已知对未知进行判断；但两者区别还是很大的，下面通过一例进行比较说明：例题：为了对中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学、物理分数对应如下表：（1）若80分以上为“优”，否则为“一般”，试判断数学“优”与物理“优”是否有关？（2）用变量y 与x 的相关系数说明物理与数学的线性相关程度，并用相关指数判断所求回归模型的效果；解析：（1）根据题中条件，对两变量进行分类，先看数学成绩“优”的有“4”人，“一般”的有“4”人；物理“优”的有“6”人，“一般”的有“2”人；于是，列联表如下：假设数学“优”与物理“优”无关，则2216(2446) 1.068 2.70688126K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，显然，没有充分的证据显示数学“优”与物理“优”有关；（2）结合数据，借助计算器容易求出5.77=x ，85=y ，81=z ，21()1102nii x x =-=∑，456)(12≈-∑=ni iy y，550)(12≈-∑=n i i z z ，1()()694ni i i x x y y =--≈∑，1()()niii x x z z =--∑747≈，于是变量y 与x 的相关系数=----=∑∑∑===ni ini ini i iy yx xy y x xr 12121)()())((0.979≈可见变量y 与x 的线性相关性很好；先求变量y 与x 的回归方程由于121()()6940.62981102()niii nii x x y y b x x ==--==≈-∑∑，36.19a y bx =-= 得回归方程为0.629836.19y x =+；此时7)(12≈-∑=∧ni i i y y ，98.04567)()(11212==---=∑∑==∧ni ini i iy yy y R ； 由此可以看出，变量y 与x 的回归模型的回归效果好；评析：（1）从第一问的求解结果可以看出：数学“优”与物理“优”没有明显的关系；也就是数学“优”的人不一定物理“优”，当然，物理“优”的人也不一定数学“优”；它告诉我们这两科不能由一科是否“优”来推知另一科是否“优”；（2）数学成绩与物理成绩没有关系吗？不是！第二问的求解结果告诉我们，这两科的成绩有关且具有很强的线性关系；通过线性回归方程，在已知一科成绩的前提下，可以预测另一科的成绩；由0.629836.19y x =+，当80x =时，0.62988036.1986.57y =⨯+=；从这个结果上看，只要是数学成绩不低于80分时，物理成绩就不低于86分。

2016-2017学年高中数学 第一章 统计案例 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用高效测评 新人教A 版选修1-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．观察下列各图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )解析： 在四幅图中，D 图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D.答案： D2．下面是一个2×2列联表：则表中a ，b A ．94,96 B ．52,50 C ．52,54D ．54,52解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋21＝73，a ＋2＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝54.答案： C3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，k＝－260×50×60×50≈7.8.附表：A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析：由7.8>6.635知，有1－0.010即99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选A.答案： A4．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：A．99% B．95%C．90% D．无充分根据解析：由于随机变量K2的观测值k＝－227×23×26×24≈5.059>3.841，所以在犯错误概率不超过0.05的前提下，可认为学生的性别与认为作业量的大小有关系，即有95%的把握，故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．下列关于K2的说法中，正确的是________．①K2在任何相互独立的问题中都可以用于检验是否相关；②K2越大，两个变量的相关性越大；③K2是用来判断两个相互独立事件相关与否的一个统计量，它可以用来判断两个事件是否相关这一类问题．解析：K2反映的是两个分类变量相关的可能性的大小，而不是反映两个变量相关的程度，故①②错，只有③正确．答案：③6．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：设H0：从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．解析：由公式计算得K2的观测值k≈4.882，∵k＞3.841，∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．答案： 4.882 5%三、解答题(每小题10分，共20分)7．某县对在职的71名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材作了调查，结果如下表所示：解析：由公式得K2的观测值k＝－237×34×22×49≈0.08.由k＜2.706，我们没有充分的证据说明教龄的长短与支持新的数学教材有关．8．为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：解析：等高条形图，如图所示：由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父母不吸烟者中子女吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关”．9.(10分)某运动队研制了一种有助于运动员在大运动量的训练后快速恢复的口服制剂，为了试验新药的效果，抽取若干名运动员来试验，所得资料如下：解析：对男运动员：k＝－2180×90×105×165≈7.013>6.635，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药剂有效．对女运动员：k＝－2225×315×105×435≈0.076<2.706，没有充足的证据显示有关系．综上所述，该药剂对男运动员有效果，对女运动员无效果．。

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第1章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法学业分层测评新人教B版选修4-5(建议用时：45分钟)［学业达标]一、选择题1.集合{x|0＜｜x－3|＜3，x∈Z｝的真子集个数为( ）A。

16 B.15C.8D.7【解析】不等式的解集为x＝1,2，4，5,共4个元素，所以真子集个数为24－1＝15.【答案】B2.不等式｜x－1｜＋|x－2｜≥5的解集为( )A.{x｜x≤－1或x≥4}B。

｛x｜x≤1或x≥2｝C.{x|x≤1}D。

{x｜x≥2｝【解析】画数轴可得当x＝－1或x＝4时，有｜x－1|＋|x－2｜＝5。

由绝对值的几何意义可得，当x≤－1或x≥4时，|x－1|＋|x－2｜≥5。

【答案】A3。

如果关于x的不等式|x－a｜＋｜x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是（）【导学号：38000011】A.（－∞,3]∪［5，＋∞）B.［－5,－3]C。

[3，5］D.(－∞,－5]∪［－3,＋∞）【解析】在数轴(略）上，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3。

1.2 回归分析(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A.预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B.解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C.可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D.可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上【解析】 结合线性回归模型y ＝bx ＋a ＋ε可知，解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上，故选B.【答案】B2.在回归分析中，相关指数r 的绝对值越接近1，说明线性相关程度( ) A.越强 B.越弱 C.可能强也可能弱D.以上均错【解析】 ∵r ＝∴|r |越接近于1时，线性相关程度越强，故选A. 【答案】A3.已知x 和y 之间的一组数据x 0 1 2 3 y1357则y 与x 的线性回归方程y ＝b x ＋a 必过点( ) A.(2，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 C.(1，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 【解析】 ∵x －＝14(0＋1＋2＋3)＝32，y －＝14(1＋3＋5＋7)＝4，∴回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4.【答案】D4.已知人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数y 的回归方程为y ^＝0.577x －0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )【导学号：37820004】A.一定是20.3%B.在20.3%附近的可能性比较大C.无任何参考数据D.以上解释都无道理【解析】 将x ＝36代入回归方程得y ^＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.【答案】B5.某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表所示，根据表中数据可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^＝10.6.据此模型预测广告费用为10万元时的销售额为( )万元 万元D.113.9万元【解析】 由题表中数据得x －＝3.5，y －＝43.由于回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过点(x －，y －)，且b ^＝10.6，解得a ^＝5.9，所以线性回归方程为y ^＝10.6x ＋5.9，于是x ＝10时，y ^＝111.9. 【答案】C 二、填空题6.已知x ，y 的取值如下表所示，由散点图分析可知y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝0.95x ＋2.6，那么表格中的数据m 的值为________.【解析】x －＝04＝2，y －＝4＝4，把(x －，y －)代入回归方程得11.3＋m4＝0.95×2＋2.6，解得m ＝6.7.【答案】 6.77．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．【解析】 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.【答案】 18.调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元.【解析】 以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元.【答案】 0.254 三、解答题9.关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0如由资料可知y 对x 呈线性相关关系.试求：(1)线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 【解】 (1)x －＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y －＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5，于是a ^＝y －－b ^x ＝5－1.23×4＝0.08.所以线性回归方程为：y ^＝b ^x ＋a ^＝1.23x ＋0.08. (2)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元.10.在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x 0.25 0.5 1 2 4 y1612521试建立y 与x 之间的回归方程.【解】 作出变量y 与x 之间的散点图如图所示.由图可知变量y 与x 近似地呈反比例函数关系.设y ＝k x，令t ＝1x ，则y ＝kt .由y 与x 的数据表可得y 与t 的数据表：t 4 2 1 0.5 0.25 y1612521作出y 与t 的散点图如图所示.由图可知y 与t 呈近似的线性相关关系.又t －＝1.55，y －＝7.2，∑5i =1t i y i ＝94.25，∑5i =1t 2i ＝21.312 5，b ^＝∑5i =1t i y i －5t －y －∑5i =1t 2i －5t －2＝94.25－5×1.55×7.221.312 5－5×1.552≈4.134 4，a ^＝y －－b ^t －＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8，∴y ^＝4.134 4t ＋0.8.即y 与x 之间的回归方程为y ^＝4.134 4x＋0.8.[能力提升]1.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155.则实数m 的值为( )C.8.4D.8.5【解析】 依题意得x －＝15×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y －＝15×(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5，因为回归直线必经过样本点的中心，所以17＋m5＝0.8×200－155，解得m ＝8，选A.【答案】A2.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：A.y ＝x －1B.y ＝x ＋1C.y ＝88＋12xD.y ＝176【解析】 因为x －＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y －＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，而回归方程经过样本中心点，所以排除A ，B ，又身高的整体变化趋势随x 的增大而增大，排除D ，所以选C.【答案】C3.以模型y ＝c e kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝ln y ，其变换后得到线性回归方程z ＝0.3x ＋4，则c ＝________.【导学号：37820005】【解析】 由题意得：ln(c e kx)＝0.3x ＋4， ∴ln c ＋kx ＝0.3x ＋4， ∴ln c ＝4，∴c ＝e 4. 【答案】e 44.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.图1­2­2(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为【解】 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程. 由于d ^＝＝108.81.6＝68，，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一章 统计案例 学业分层测评2 独立性检验的基本思想及其初步应用 新人教A 版选修1-2(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如果在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A 和B 有关，那么具体算出的数据满足( )A ．K 2>3.841 B ．K 2<3.841 C ．K 2>6.635D ．K 2<6.635【解析】 对应P (K 2≥k 0)的临界值表可知，当K 2>3.841时，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A 与B 有关．【答案】 A2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，k ＝－260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【解析】 根据独立性检验的思想方法，正确选项为C. 【答案】 C3．下列关于等高条形图的叙述正确的是( )A ．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D．以上说法都不对【解析】在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．【答案】 C3．分类变量X和Y的列联表如下，则( )B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强【解析】结合独立性检验的思想可知|ad－bc|越大，X与Y的相关性越强，从而(ad －bc)2越大，说明X与Y的相关性越强．【答案】 C4．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是( )A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有【解析】这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.【答案】 D5．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：)【导学号：19220006】A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关【解析】根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．【答案】 D二、填空题6．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．(填序号)【解析】K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．【答案】③6．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天内的结果如表所示：【解析】由独立性检验的步骤知第一步先假设两分类变量无关，即假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关．【答案】假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关7．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．【解析】由公式计算得K2的观测值k≈4.882，∵k>3.841，∴有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．【答案】 4.882 5%8．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：【解析】由公式可计算得k＝－2 39×63×61×41≈2.334.【答案】 2.334三、解答题9．为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系．【解】等高条形图如图所示：其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比较尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．10．(2016·江西吉安高二检测)对某校小学生进行心理障碍测试得到如下表列联表：附：k＝≈6.366>5.024，30×80×20×90所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关．[能力提升]1．(2016·玉溪高二检测)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列表述中正确的是( )A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C ．这种血清预防感冒的有效率为95%D ．这种血清预防感冒的效率为5%【解析】 根据随机变量K 2的意义知A 正确． 【答案】 A2．有两个分类变量X ，Y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中X ，Y 有关，则a 的值为( )A ．8B ．9C ．8,9D ．6,8【解析】 根据公式，得 k ＝65×[a ＋a －－a －a220×45×15×50＝a －220×45×3×2>3.841，根据a >5且15－a >5，a ∈Z ，求得a ＝8,9满足题意． 【答案】 C3．某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如下表：错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与作业多有关．【解析】 查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关，则临界值k 0＝6.635.本题中，k ≈5.059<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．【答案】 不能3．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：保留三位小数)，所以判定________(填“有”或“没有”)95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．(参考公式：)K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d；【解析】根据提供的表格，得k＝－223×27×20×30≈4.844＞3.841，∴可以判定有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．【答案】有4．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下表：(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．参考公式：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)k＝－2200×300×70×430≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男女的比例，再把老年人分成男女两层，并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．。

§2　独立性检验2．1　条件概率与独立事件1．了解条件概率的概念及计算．(重点)2．理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式．(重点)3．掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法．(难点)[基础·初探]教材整理1　条件概率阅读教材P 17～P 18部分，完成下列问题．1．概念已知事件B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )．2．公式当P (B )＞0时，P (A |B )＝.P (AB )P (B)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ． B ． 1814C ． D ．2512【解析】　从1,2,3,4,5中任取两个数共有10种取法，事件A 包含(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个基本事件，事件B 包含(2,4)一个基本事件，故P (A )＝，P (AB )＝.所以P (B |A )＝＝.410110P (AB )P (A )14【答案】　B教材整理2　相互独立事件阅读教材P 19“练习”以上部分，完成下列问题．1．定义对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立．2．性质如果A ，B 相互独立，则A 与，与B ，与也相互独立．B A A B 3．如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )A ．B ．1625C ．D ．21556【解析】　记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A ，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B ，则事件A ，B 是相互独立事件，故P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝.242616【答案】　A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________解惑：___________________________________________________疑问2：___________________________________________________解惑：___________________________________________________疑问3：___________________________________________________解惑：___________________________________________________[小组合作型],条件概率　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A ，事件“第二次抽到黑球”为B ．(1)分别求事件A ，B ，AB 发生的概率；(2)求P (B |A )．【精彩点拨】　解答本题可先求P (A )，P (B )，P (AB )，再用公式P (B |A )＝求概率．P (AB )P (A )【自主解答】　由古典概型的概率公式可知：(1)P (A )＝，25P (B )＝＝＝，2×1＋3×25×482025P (AB )＝＝.2×15×4110(2)P (B |A )＝＝＝.P (AB )P (A )1102514用定义法求条件概率P (B |A )的步骤是：(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P (A )，P (AB )；(3)代入公式求P (B |A )＝.P (AB )P (A)[再练一题]1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A ． B ．1423C ．D ．1213【解析】　一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝，P (AB )＝.问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发3414生的概率，即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝＝.143413【答案】　D,事件独立性的判断　判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．【精彩点拨】　利用相互独立事件的定义判断．【自主解答】　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件58发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；47若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，57对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．判断两事件是否具有独立性的三种方法：(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：检验P (AB )＝P (A )P (B )是否成立．(3)条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．[再练一题]2．(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( )A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【解析】　(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．(2)事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以P (A )＝＝，P (B )＝＝，P (AB )＝＝×，即P (AB )＝P (A )P (B )，因36122613161213此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．【答案】　(1)A (2)B[探究共研型],相互独立事件同时发生的概率探究1　甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求：甲、乙都未击中的概率．【提示】　记A ＝“甲击中”，B ＝“乙击中”，C ＝“甲、乙都没有击中”．由题意，甲击中与否并不影响乙，由此可认为A 与B 是相互独立的，则，A 也是相互独立的，则B P (C )＝P ( )＝P ()·P ()＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2.A B A B 探究2　上述问题中如何求敌机被击中的概率？【提示】　记D ＝“敌机被击中”，则P(D)＝1－P()＝1－0.2＝0.8.A B　某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：【导学号：67720003】(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．明确已知事件的概率及其关系【精彩点拨】　→把待求事件的概率表示成已知事件的概率选择公式计算求值→【自主解答】　设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5.B A(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)＋(B)表示．由于事件A与B互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事B A件的概率为B A B AP(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095.即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.B(3)法一　“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)＋(A)＋(A B AB)表示．由于事件AB，A和B两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P (AB )＋P (A )＋P (B )＝0.002 5＋0.095＝0.097 5.B A 法二　1－P ( )＝1－(1－0.05)2＝0.097 5.A B 即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5.求P (AB )时注意事件A ，B 是否相互独立，求P (A ＋B )时同样应注意事件A ，B 是否互斥，对于“至多”、“至少”型问题的解法有两种思路：(1)分类讨论；(2)求对立事件，利用P ()＝1－P (A )来运算．A [再练一题]3．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、.求：1314(1)两个人都破译出密码的概率；(2)两个人都破译不出密码的概率；(3)恰有一人破译出密码的概率；(4)至多一人破译出密码的概率；(5)至少一人破译出密码的概率．【解】　记事件A 为“甲独立地破译出密码”，事件B 为“乙独立地破译出密码”．(1)两个人都破译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝.1314112(2)两个人都破译不出密码的概率为P ( )＝P ()P ()A B A B ＝[1－P (A )][1－P (B )]＝＝.(1－13)(1－14)12(3)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出；乙破译出甲破译不出，即A ＋B ，B A ∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )B A B A ＝P (A )P ()＋P ()P (B )B A ＝×＋×＝.13(1－14)(1－13)14512(4)至多一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴1－P (AB )＝1－＝.1121112(5)至少一人破译出密码的对立事件为两人都没有破译出密码，∴1－P ( )AB＝1－＝.1212[构建·体系]1．已知P (B |A )＝，P (A )＝，则P (AB )等于( )1325A ． B ． 56910C ． D ．215115【解析】　由P (B |A )＝，得P (AB )P (AB )P (A )＝P (B |A )·P (A )＝×＝.1325215【答案】　C2．一件产品要经过两道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )A ．1－a －bB ．1－abC ．(1－a )(1－b )D ．1－(1－a )(1－b )【解析】　∵2道工序相互独立，∴产品的正品率为(1－a )(1－b )．【答案】　C3．把一枚硬币投掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，B ＝{第二次出现正面}，则P (B |A )等于________.【解析】　P (AB )＝，P (A )＝，∴P (B |A )＝＝.1412141212【答案】　124．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为，，两个气象91045台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________.【解析】　P ＝1－＝.(1－910)(1－45)4950【答案】　49505．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为，，，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率．131223【解】　设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝.131223停车一次即为事件BC ＋A C ＋AB ，A B C 故概率为P ＝××＋××＋××＝.(1－13)122313(1－12)231312(1－23)718我还有这些不足：(1) ___________________________________(2)___________________________________我的课下提升方案：(1) ___________________________________(2) ___________________________________学业分层测评(二)　(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是( )A ．0.56B ．0.48C ．0.75D ．0.6【解析】　设甲击中为事件A ，乙击中为事件B ．∵A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.7＝0.56.【答案】　A2．下列说法正确的是( )A ．P (B |A )＜P (AB )B ．P (B |A )＝是可能的P (B )P (A )C ．0＜P (B |A )＜1D ．P (A |A )＝0【解析】　由条件概率公式P (B |A )＝及0＜P (A )≤1知P (B |A )≥P (AB )，P (AB )P (A )故A 选项错误；当事件A 包含事件B 时，有P (AB )＝P (B )，此时P (B |A )＝，故B 选项正确，由于0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，故C ，D 选项错P (B )P (A )误．故选B ．【答案】　B3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )A ．B ．110210C ．D ．810910【解析】　某人第一次失败，第二次成功的概率为P ＝＝，所以9×110×9110选A ．【答案】　A4．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与是( )A 2A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件【解析】　由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第A 2A 2二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与是相互独立事件．A 2【答案】　A2．如图1­2­1，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是( )图1­2­1A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06【解析】　系统可靠即A ，B ，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.【答案】　B 二、填空题6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________.【解析】　设掷两枚骰子点数不同记为事件A ，有一个是6点记为事件B ．则P (B |A )＝＝.2×53013【答案】　137．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.【解析】　设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”，∴P (A )＝1－P ()＝1－(1－0.80)×(1－0.90)A＝1－0.2×0.1＝0.98.【答案】　0.988．如图1­2­2，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”．则： 【导学号：67720004】图1­2­2(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.【解析】　正方形的面积为2，圆的面积为π.(1)∵A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，∴P (A )＝.2π(2)∵B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，∴P (AB )＝，12π∴P (B |A )＝＝.P (AB )P (A )14【答案】　(1)　(2)2π14三、解答题9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A 为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B 为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．【解】　画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P (A )＝＝，183612P (A ∩B )＝＝，63616∴P (B |A )＝＝＝.P (A ∩B )P (A )161213则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为.1310．集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．【解】　将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，所以所求概率P ＝＝.91535[能力提升]1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率13是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于( )1256A ．2个球都是白球的概率B ．2个球都不是白球的概率C ．2个球不都是白球的概率D ．2个球中恰有1个是白球的概率【解析】　记从甲口袋内摸出1个白球为事件A ，从乙口袋内摸出1个白球为事件B ，则A ，B 是独立事件，于是P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝，它表示从131216甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故为2个球不都是白球的概率．56【答案】　C2．如图1­2­3，已知电路中4个开关闭合的概率都是且互相独立，灯亮的12概率为( )图1­2­3A ． B ．31634C ．D ．131614【解析】　因为灯不亮的概率为××1212(1－12×12)＝，所以灯亮的概率为1－＝.3163161316【答案】　C3．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A ，则第2次也抽到A 的概率为________.【解析】　设第1次抽到A 为事件M ，第2次也抽到A 为事件N ，则MN 表示两次都抽到A ，P (M )＝＝，452113P (MN )＝＝，4×352×51113×17P (N |M )＝＝.P (MN )P (M )117【答案】　1174．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且455623三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率；(2)求至少有一个项目成功的概率．【解】　(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××＝，4556(1－23)29只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××＝，45(1－56)23445只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××＝，(1－45)562319∴恰有两个项目成功的概率为＋＋＝.29445191945(2)三个项目全部失败的概率为××＝，(1－45)(1－56)(1－23)190∴至少有一个项目成功的概率为1－＝.1908990。

学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11【解析】　法一：∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝＝5a 3＝5，故选A.5(a 1＋a 5)2法二：∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1，∴S 5＝5a 1＋d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A.5×42【答案】　A2．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.B ．172192C ．10D ．12【解析】　∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.8×(8－1)2∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝，12∴a 10＝a 1＋9d ＝＋9＝.故选B.12192【答案】　B3．在等差数列{a n }中，若S 9＝18，S n ＝240，a n －4＝30，则n 的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17【解析】　S 9＝＝9a 5＝18，所以a 5＝2，9(a 1＋a 9)2S n ＝＝＝240，n (a 1＋an )2n (a 5＋an －4)2∴n (2＋30)＝480，∴n ＝15.【答案】　B4．(2016·西安高二检测)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若＝，则S 3S 613等于( )S 6S 12A.B ．31013C.D ．1819【解析】　由题意S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．∵＝.不妨设S 3＝1，S 6＝3，则S 6－S 3＝2，所以S 9－S 6＝3，故S 3S 613S 9＝6，∴S 12－S 9＝4，故S 12＝10，∴＝.S 6S 12310【答案】　A5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取得最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】　设公差为d ，由a 4＋a 6＝2a 5＝－6，得a 5＝－3＝a 1＋4d ，解得d ＝2，∴S n ＝－11n ＋×2＝n 2－12n ，n (n －1)2∴当n ＝6时，S n 取得最小值．【答案】　A 二、填空题6．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________.【解析】　根据已知条件，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，又a 3＋a 6＝a 4＋a 5所以a 4＋a 5＝0，又a 4＝1，所以a 5＝－1.【答案】　－17．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝________.【解析】　设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得Error!解得d ＝2.又S n ＝na 1＋×d ，n (n －1)2∴100＝n ＋×2，n (n －1)2解得n ＝10.【答案】　108．等差数列{a n }的前9项的和等于前4项的和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. 【导学号：67940012】【解析】　设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1得9×1＋×d ＝4×1＋×d ，所以d ＝－，又a k ＋a 4＝0，所以9×824×3216＋＝0，即k ＝10.[1＋(k －1)×(－16)][1＋(4－1)×(－16)]【答案】　10三、解答题9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．【解】　设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋d .n (n －1)2由已知得Error!①×10－②，整理得d ＝－，1150代入①，得a 1＝，1 099100所以S 110＝110a 1＋d 110×1092＝110×＋×1 099100110×1092(－1150)＝110＝－110.(1 099－109×11100)故此数列的前110项之和为－110.10．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？【解】　(1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋·(－2)＝－n 2＋10nn (n －1)2＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．[能力提升]1．在项数为2n ＋1项的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】　∵等差数列有2n ＋1项，∴S 奇＝，S 偶＝.(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2n (a 2＋a 2n )2又a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴＝＝，S 奇S 偶n ＋1n 165150∴n ＝10.【答案】　B2．(2016·南昌高二检测)已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n和B n ，且＝，则使得为整数的正整数n 的个数是( )An Bn 7n ＋45n ＋3anbn A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】　＝＝＝＝＝7＋，∴n ＝1,2,3,5,11.anbn A 2n －1B 2n －114n ＋382n ＋27n ＋19n ＋17(n ＋1)＋12n ＋112n ＋1【答案】　D3．在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于________．【解析】　因为S n ＝na 1＋d ，所以n (n －1)235＝na 1＋×2＝na 1＋n (n －1)①，又a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝a 1＋2(n －1)，n (n －1)2∴a 1＋2(n －1)＝11②，由①②可得a －2a 1－3＝0，21解得a 1＝3或－1.【答案】　3或－14．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．(1)记该款服装4月份日销售与销售天数n 的关系为a n ，求a n ；(2)求4月份的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天？【解】　(1)从4月1日起每天销售量依次组成数列{a n }，(n ∈{1,2，…，30})依题意，数列a 1，a 2，…，a 12是首项为10，公差为15的等差数列，∴a n ＝15n －5(1≤n ≤12)．a 13，a 14，a 15，…，a 30是首项为a 13＝a 12－10＝165，公差为－10的等差数列，∴a n ＝165＋(n －13)(－10)＝－10n ＋295(13≤n ≤30)，∴a n ＝Error!(2)4月份的总销售量为＋18×165＋＝2 550(件)，12(10＋175)218×17×(－10)2(3)4月1日至4月12日销售总数为＝＝1 110＜1 200，12(a 1＋a 12)212(10＋175)2∴4月12日前还没有流行．由－10n ＋295＜100得n ＞，392∴第20天流行结束，故该服装在社会上流行没有超过10天．§3　等比数列。

第1页，总20页选修1-2第一章、统计案例测试一、选择题1．已知x 与y 之间的一组数据：13574y +++==则y 与x 的线性回归方程为∧∧∧+=a x b y 必过点( ) A.(2,2) B. (1.5 ,4) C.(1.5 ,0) D.(1,2) 【答案】B 【解析】试题分析：由数据可知01231.54x +++==，，∴线性回归方程为∧∧∧+=a x b y 必过点（1.5,4）考点：本题考查了线性回归直线方程的性质点评：解决此类问题常常用到线性回归直线方程恒过定点(,)x y 这一结论，属基础题 2．年劳动生产率x （千元）和工人工资y （元）之间回归方程为1070y x =+，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均Ａ．增加70元 Ｂ．减少70元 Ｃ．增加80元 Ｄ．减少80元 【答案】Ａ 【解析】试题分析：由题意，年劳动生产率x （千元）和工人工资y （元）之间回归方程为1070y x =+，故当x 增加1时，y 要增加70元，∴劳动生产率每提高1千元时，工资平均提高70元， 故Ａ正确．考点：线性回归方程．点评: 本题考查线性回归方程的运用，正确理解线性回归方程是关键．3．已知某回归方程为：ˆˆ23y x =-，则当解释变量增加1个单位时，预报变量平均：（ ）A 、增加3个单位B 、增加13个单位 C 、减少3个单位 D 、减少13个单位试卷第2页，总20页【答案】C 【解析】解释变量即回归方程里的自变量xˆ，由回归方程知预报变量y ˆ减少3个单位 4．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10, 1), (11.3, 2), (11.8, 3), (12.5, 4), (13, 5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5), (11.3, 4), (11.8, 3), (12.5, 2), (13, 1),1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．012<<r r B ． 120r r << C ． 120r r << D ． 12r r = 【答案】C【解析】解：∵变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2）， （11.8，3），（12.5，4），（13，5）， . X =（10+11.3+11.8+12.5+13）÷ 5 =11.72 . Y =（1+2+3+4+5） ÷5 =3∴这组数据的相关系数是r=7.2 ÷19.172 =0.3755， 变量U 与V 相对应的一组数据为 （10，5），（11.3，4）， （11.8，3），（12.5，2），（13，1） . U =（5+4+3+2+1）÷ 5 =3， ∴这组数据的相关系数是-0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零， 故选C ．5．统计中有一个非常有用的统计量2k ，用它的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，下表是反映甲、乙两个平行班(甲班A 老师教, 乙班B 老师教)进行某次数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表.根据2k 的值,你认为不及格人数的多少与不同老师执教有关系的把握大约为 A ．99.5% B ．99.9% C ．95% D ．无充分依据. 【答案】A第3页，总20页【解析】解：k2=22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ =80(4×24-16×36) 2/ 20×60×40×40 =9.6＞7.879∴不及格人数的多少与不同老师执教有关系的把握大约为99.5% 故选A ．6． 下面是一个2⨯2列联表，则表中a 、b 处的值分别为( )A. 94、96B. 52、54C. 52、50D. 54、52 【答案】B【解析】解：因为根据表格中的数据可知，2+a=b,b+46=100,b=54,a=52,选B7．右图是2×2列联表：则表中a 、b 的值分别为A.94,72B.52,50C.52,74D.74,52 【答案】C【解析】a=73-21=52 b=a+22=52+22=74 故选Cy 1 y 2 总计 x 1 a 21 73 x 2 2 25 27 总计b46100试卷第4页，总20页8．统计中有一个非常有用的统计量2k ，用它的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，下表是反映甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表.则2k 的值为（ ）A ．0.559B ．0.456C ．0.443D ．0.4 【答案】A【解析】2290(1236339)900.55945452169161χ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，故选A 。

独立性检验是如何判断两个事件是否相互独立的独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立,在该假设下构造的随机变量2χ应该很小.如果由观测数据计算得到的2χ的观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理.根据随机变量2χ的含义,可以通过概率式评价该假设不合理的程度,由实际计算的2χ>6.635,说明假设不合理的程度约为99%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为99%．当2χ≤3.841时,认为两个分类变量是无关的.对于两事件而言即相互独立. 1.两个事件独立的判定例1: 为了研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进根据193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？请说明理由． 解：提出假设H 0：药的效果与给药方式无关系．根据列联表中的数据，得χ2＝2193(58314064)122719895-⨯-⨯⨯⨯⨯≈1.3896＜2.072．当H 0成立时，χ2＞1.3896的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H 0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论．注意：这是一个由列联表来验证的独立性检验问题,其结论是没有关系的假设成立.并且应该注意上述结论是对所有口服药物与注射药物的实验人而言的,绝不要误以为对被跟踪的193个跟踪研究对象成立.例2:调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表．试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.分析：利用表中的数据通过公式计算出2χ统计量,可以用它的取值大小来推断独立性是否成立． 解：由公式()841.368892.35732345531826248922<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ 故婴儿的性别与出生时间是相互独立的(也可以说没有充分证据显示婴儿的性别与出生时间有关)．2.两个事件不独立的判定例3:在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶.利用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?你所得的结论在什么范围内有效?分析:列出22⨯列联表,利用公式求出2χ与两个临界值3.841与6．635比较大小得适当范围.解：根据题目所给数据得到如下表所示： 秃顶与患心脏病列联表由公式,得:()635.6373.167726651048389451175597214143722>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ 所以有99％的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.说明:因为这组数据来自住院的病人,因此所得到的结论适合住院的病人群体.例 4.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查,喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人,认为作业不多的有9人,不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人,认为作业不多的有15人,则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？2x =059.523272426)981518(502=⨯⨯⨯⨯-⨯， ()024.52>x P =0.025,有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系.。

一、选择题1．下列说法：①对于独立性检验，2χ的值越大，说明两事件相关程度越大；②以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y a bx =+中，2b =，1x =，3y =，则1a =；④通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可以精确反映变量的取值和变化趋势，其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．甲射击时命中目标的概率为0.75，乙射击时命中目标的概率为23，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（ ） A ．12B ．1C ．56D ．11123．已知12P(B|A)=,P(A)=35,则()P AB 等于( ) A ．56B ．910 C ．215D ．1154．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ） A ．15B ．14C ．13D ．125．某商品的售价x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是3.ˆ2yx a =-+，则实数a =( ) A ．30B ．35C ．38D ．406．在一次独立性检验中，得出列表如下：合计 190 400a + 590a +且最后发现，两个分类变量A 和B 没有任何关系，则a 的可能值是( ) A ．720 B ．360C ．180D ．907．工人月工资(元)关于劳动生产率x(千元)的回归方程为，下列说法中正确的个数是( )①劳动生产率为1000元时，工资为730元； ②劳动生产率提高1000元，则工资提高80元； ③劳动生产率提高1000元，则工资提高730元； ④当月工资为810元时，劳动生产率约为2000元． A ．1B ．2C ．3D ．48．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ={两个点数互不相同}，B ={出现一个5点}，则()/P B A =( ) A ．13B ．518C ．16D ．149．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学单独正确解决这个问题的概率分别为12，13，15，则有人能够解决这个问题的概率为（ ） A ．130 B ．415C ．1115D ．131510．甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是23和12，在这个问题至少被一个人正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确解答该问题的概率为（ ）A ．27B ．25C ．15D ．1911．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：及格 不及格 合计 很少使用手机 20 5 25 经常使用手机 10 15 25 合计302050则有（ ）的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响．参考公式:()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++()2P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．97.5%B ．99%C ．99.5%D ．99.9%12．甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为11,32，则密码被破译的概率为（ ） A ．16B ．23C ．56D ．1二、填空题13．有甲、乙两台机床生产某种零件，甲获得正品乙不是正品的概率为14，乙获得正品甲不是正品的概率为16，且每台获得正品的概率均大于12，则甲乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概率是___________.14．三个元件正常工作的概率分别为，，，将两个元件并联后再和串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为_________．15．下列4个命题：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；②四边形ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为12π-； ③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，可得到3sin 2y x =的图象； ④已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程为1.230.08y x =+.其中正确的命题有__________．(填上所有正确命题的编号)16．设甲、乙两套方案在一次试验中通过的概率均为0.3，且两套方案在试验过程中相互之间没有影响，则两套方案在一次试验中至少有一套通过的概率为___________． 17．关于变量,x y 的一组样本数据11()a b ,，22()a b ,，……，(),n n a b （2n ≥，12,,,n a a a ⋅⋅⋅不全相等）的散点图中，若所有样本点(,)i i a b （1,2,,i n =⋅⋅⋅）恰好都在直线21y x =-+上，则根据这组样本数据推断的变量,x y 的相关系数为_____________．18．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A =“至少出现一次反面”，事件B =“恰好出现一次正面”，则(/)P B A =__________．19．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这 20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A ；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ．则P （A|B ）的值是_____．20．2020年新型冠状病毒疫情期间，大学生小白同学在家里根据某款运动软件安排的训练计划进行运动，每天训练一次，连续3天为一个运动周期，若小白每天不能参加训练的概率为14，假设小白每天的训练是相互独立的，若一个训练周期内出现2次不能参加训练，则停止该训练计划，则这个训练计划在第二个完整周期后结束的概率为______．三、解答题21．一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面22⨯列联表：网红乡土直播员 乡土直播达人 合计 男 10 40 50 女 20 30 50 合计3070100（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”．求这两人中恰有一男一女的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.00122．近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在M省的发展情况，M省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数,(1,2,3,4,5)i ix y i=，数据如下表所示：==2s==.（1）试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若0.75r>，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）建立y关于x的回归方程，并预测当A指标数为7时，B指标数的估计值；（3）若城市的网约车A指标数x落在区间(3,3)x s x s-+之外，则认为该城市网约车数量过多，会对城市交通管理带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理，直至A指标数x回落到区间(3,3)x s x s-+之内.现已知2018年11月该城市网约车的A指标数为13，问：该城市的交通管理部门是否要介入进行治理？试说明理由.附：相关公式：()()ni ix x y yr--=∑，121()()()ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，a y bx=-.0.55≈0.95≈.23．随着网络的发展，人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、导航等，所以人们对上网流量的需求越来越大．某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐.为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐，随机抽取50个用户按年龄分组进行访谈，统计结果如下表.（1）若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取15人，则各组应分别抽取多少人？（2）若从第5组的被调查者访谈人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率.（3）按以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断以50岁为分界点，能否在犯错误不超过1％的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关；参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.24．目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：（3）研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为X ，求X 的分布列与数学期望. 附表及公式：()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++25．支付宝作为一款移动支付工具，在日常生活中起到了重要的作用．（1）通过现场调查12位市民得知，其中有10人使用支付宝．现从这12位市民中随机抽取3人，求至少抽到2位使用支付宝的市民的概率；（2）为了鼓励市民使用支付宝，支付宝推出了“奖励金”活动，每使用支付宝支付一次，分别有12，13，16的概率获得0.1，0.2，0.3元奖励金，每次支付获得的奖励金情况互不影响．若某位市民在一天内使用了2次支付宝，记X 为这一天他获得的奖励金数，求X 的概率分布和数学期望．26．新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年6月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数（如下表） 月份2020.012020.022020.032020.042020.05（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆ bt y a =+，并预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2020年6月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：（i ）求这200位竞价人员报价的平均值x 和样本方差s 2（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,,N μσ且μ与σ2可分别由（i ）中所示的样本平均数x 及s 2估计.若2020年月6份计划提供的新能源车辆数为3174，根据市场调研，最低成交价高于样本平均数x ，请你预测（需说明理由）最低成交价. 参考公式及数据：①回归方程ˆˆˆy bx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑ ②5521155, 2.6;ii i i i tx y ====≈∑∑③若随机变量X 服从正态分布()2,,N μσ则()()0.6826,220.9544,P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+= ()330.9974P X μσμσ-<<+=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断. 【详解】对于命题①，根据独立性检验的性质知，两个分类变量2χ越大，说明两个分类变量相关程度越大，命题①正确；对于命题②，由kxy ce =，两边取自然对数，可得ln ln y c kx =+，令ln z y =，得ln z kx c =+，0.34z x =+，所以ln 40.3c k =⎧⎨=⎩，则40.3c e k ⎧=⎨=⎩，命题②正确；对于命题③，回归直线方程y a bx =+中，3211a y bx =-=-⨯=，命题③正确； 对于命题④，通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可估计和预测变量的取值和变化趋势，命题④错误.故选C. 【点睛】本题考查了回归直线方程、非线性回归方程变换以及独立性检验相关知识，考查推理能力，属于中等题.2．D解析：D 【分析】记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，利用独立事件的概率乘法公式计算出事件A 的对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式可得出事件A 的概率. 【详解】记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中， 则事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标， 由独立事件的概率乘法公式得()321114312P A ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()111111212P A P A ∴=-=-=，故选D. 【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题.3．C解析：C 【解析】分析：根据条件概率的计算公式，即可求解答案.详解：由题意，根据条件概率的计算公式()()|()P AB P B A P A =， 则()()()122|3515P AB P B A P A =⋅=⨯=，故选C. 点睛：本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．D解析：D 【解析】分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球.详解：111223122412C C C P C A ==. 点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为1132353310C C A ⨯=. 5．D解析：D 【解析】由表中数据知，199.51010.511105x =⨯++++=（），1111086585y =⨯++++=（），代入回归直线方程 3.ˆ2yx a =-+中，求得实数 3.28 3.21040a y x =+=+⨯=，故选D. 6．B解析：B 【解析】∵两个分类变量A 和B 没有任何关系，∴()()()()2259010090400 2.70219040090500a a K a a +-⨯=<⨯++，代入验证可知360a =满足，故选B.7．C解析：C 【解析】对于①当劳动生产率为1000元时，工资为65080730y =+=元，故①正确；对于②劳动生产率提高1000元，则工资提高80元正确；故③错误；对于④当月工资为810元时，由81065080x =+得2x =，即劳动生产率约为2000元，故④正确；故选C.8．A解析：A 【解析】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36−6=30， 事件B:出现一个5点，有10种，∴()101303|P B A ==， 本题选择A 选项.点睛：条件概率的计算方法：(1)利用定义，求P (A )和P (AB )，然后利用公式进行计算；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，然后求概率值.9．C解析：C 【分析】先利用相互独立事件的概率乘法公式求出“三人都未解答这个问题”的概率，利用对立事件的概率公式得到“有人能够解决这个问题”的概率即可． 【详解】三人都未解答这个问题的概率为 （112-）（113-）（115-）415=，故有人能够解决这个问题的概率为14111515-=， 故选：C ． 【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件和对立事件的概率公式，考查了正难则反的原则，属于中档题．10．B解析：B 【分析】先计算“这个问题至少被一个人正确解答”和“甲、乙两位同学都能正确解答该问题”概率，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】由已知，不妨设A =“这个问题至少被一个人正确解答”，B =“甲、乙两位同学都能正确解答该问题”，因为甲、乙两位同学各自独立正确解答该问题的概率分别是23和12， 故215()111326P A ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，121()233P B =⨯=，易知1()()3P AB P B ==.故()1()235()56P AB P BA P A ===∣. 故选：B. 【点睛】本题考查了条件概率的应用，属于中档题.11．C解析：C 【分析】根据2×2列联表，求出k 的观测值2K ，结合题中表格数据即可得出结论. 【详解】 由题意，可得：222()50(2015105)258.3337.879()()()()302025253n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响. 故选C. 【点睛】本题考查了独立性检验的应用，考查了计算能力，属于基础题.12．B解析：B 【分析】密码被破译分三种情况：甲破译出密码乙未破译，乙破译出密码甲未破译，甲乙都破译出密码，根据相互独立事件的概率和公式可求解出答案. 【详解】设 “甲独立地破译一份密码” 为事件A ， “乙独立地破译一份密码” 为事件B ， 则()13P A =，()12P B =，()12133P A =-=，()11122P B =-=， 设 “密码被破译” 为事件C ，则()()()()P C P AB P AB P AB =++11211123232323=⨯+⨯+⨯=， 故选：B. 【点睛】本题以实际问题为背景考查相互独立事件的概念及其发生的概率的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】设甲乙两台机床生产正品的概率分别为则根据题意列方程组解得甲乙同时生产这种零件至少一台获得正品为甲获得正品乙不是正品乙获得正品甲不是正品以及甲乙均获得正品根据概率加法公式求解即可【详解】设甲乙 解析：1112【分析】设甲乙两台机床生产正品的概率分别为p ，q ，则112p <≤，112q <≤，根据题意列方程组()()114116p q q p ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3423p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，“甲乙同时生产这种零件，至少一台获得正品”为甲获得正品乙不是正品，乙获得正品甲不是正品，以及甲乙均获得正品，根据概率加法公式求解即可. 【详解】设甲乙两台机床生产正品的概率分别为p ，q ，则112p <≤，112q <≤. 甲获得正品乙不是正品的概率为14()114p q ∴-=① 又乙获得正品甲不是正品的概率为16()116q p ∴-=② ①②联立得()()114116p q q p ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3423p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则甲乙均获得正品的概率为321432p q ⋅=⨯= 即甲乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概率是1111146212++= 故答案为：1112【点睛】本题考查概率的加法与乘法公式，属于中档题.14．【解析】分析：组成的并联电路可从反面计算即先计算发生故障的概率然后用对立事件概率得出不发生故障概率详解：由题意故答案为点睛：零件不发生故障的概率分别为则它们组成的电路中如果是串联电路则不发生故障的概解析：【解析】分析：23,T T 组成的并联电路可从反面计算，即先计算发生故障的概率，然后用对立事件概率得出不发生故障概率． 详解：由题意11115(1)24432P =⨯-⨯=． 故答案为1532． 点睛：零件12,,,k a a a 不发生故障的概率分别为12,,,k p p p ，则它们组成的电路中，如果是串联电路，则不发生故障的概率易于计算，即为12k p p p ，如果组成的是并联电路，则发生故障的概率易于计算，即为12(1)(1)(1)k p p p ---．15．③④【解析】①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见打算从中抽取一个容量为40的样本考虑用系统抽样则分段的间隔为800÷40=20故①错误；②已知如图所示：长方形面积为2以O 为圆心1为半径作圆解析：③④ 【解析】①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见， 打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样， 则分段的间隔为800÷40=20，故①错误； ②已知如图所示：长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆， 在矩形内部的部分（半圆）面积为π2. 因此取到的点到O 的距离大于1的概率22P 124ππ-==-; 故②错误； ③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，可得到3sin 23sin263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象, 故③正确，④∵回归直线为ˆybx a =+, 的斜率的值为1.23， ∴方程为 1.23ˆyx a =+,∵直线过样本点的中心（4，5）， ∴a=0.08，∴回归直线方程是为=1.23x+0.08； ∴故④正确． 故答案为：③④．16．51【解析】由于两套方案互不影响故至少有一套方案通过的概率是解析：51 【解析】由于两套方案互不影响，故至少有一套方案通过的概率是2120.3C 0.3(10.3)0.51+⋅⋅-=．17．-【解析】所有样本点都在直线上说明这两个变量间完全负相关故其相关系数为-1故填-1解析：-1 【解析】所有样本点都在直线上，说明这两个变量间完全负相关，故其相关系数为-1，故填-1．18．【解析】表示在已经发生事件的情况下事件发生的概率又事件恰有一次出现正面包含于事件至少一次出现反面所以所以解析：37【解析】(/)P B A 表示在已经发生事件A 的情况下，事件B 发生的概率，又事件B = “恰有一次出现正面”包含于事件A =“至少一次出现反面”，所以()()(/)()()P AB P B P B A P A P A ==,37(),()88P B P A ==，所以()3()7P B P A =. 19．【解析】试题分析：抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分的有9种其中抽出的学生为甲小组学生的事件有5种所以概率为考点：条件概率 解析：【解析】试题分析：抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分的有9种，其中抽出的学生为甲小组学生”的事件有5种，所以概率为59. 考点：条件概率.20．【分析】由题意求得一个周期内就停止训练的概率再结合相互独立事件的概率计算公式即可求解【详解】由题意小白每天不能参加训练的概率为若一个训练周期内出现2次不能参加训练可得一个周期内就停止训练的概率为这个 解析：811024【分析】由题意，求得一个周期内就停止训练的概率，再结合相互独立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，小白每天不能参加训练的概率为14，若一个训练周期内出现2次不能参加训练，可得一个周期内就停止训练的概率为221135244432⎛⎫⎛⎫+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这个训练计划持续两个周期的概率为2513811232441024⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：81 1024.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率的计算，其中解答中正确理解题意，结合独立事件的概率计算公式求得一个周期内就停止训练的概率是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.三、解答题21．（1）有95％的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系；（2）8 15．【分析】（1）由题中22⨯列联表中的数据代入()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++然后与所给表值进行比较可得答案；（2）列出从这6人中随机抽取2人的所有可能情况，选中的2人中恰有一男一女的所有可能情况可得答案.【详解】（1）由题中22⨯列联表，可得()22100103020404.762 3.84150503070K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．∴有95％的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系．（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，男性人数为106230⨯=人，记为A，B；女性人数为206430⨯=人，记为a，b，c，d．则从这6人中随机抽取2人的所有可能情况有以下“A，B；A，a；A，b；A，c；A，d；B ，a ； B ，b ； B ，c ； B ，d ；a ，b ； a ，c ； a ，d ； b ，c ； b ，d ； c ，d ”共15种．其中，选中的2人中恰有一男一女的所有可能情况有以下“A ，a ； A ，b ； A ，c ； A ，d ； B ，a ； B ，b ； B ，c ； B ，d ”共8种． ∴选中的2人中恰有一男一女的概率815P =． 【点睛】古典概型的概率的计算方法，首先计算所有基本事件数，再计算事件A 包含的基本事件数，应用古典概率公式计算求解.22．（1）0.95r ≈，y 与x 具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）35102y x =+，当7x =时， 4.6y =；（3）要介入进行治理. 【分析】（1）由已知数据可得,x y ，利用公式，求得相关系数r ，即可作出判断，得到结论；（2）由（1），求得b 和ˆa，求得回归直线的方程，代入7x =，即可求得回归方程； （3）由(3,3)(1,11)x s x s -+=-，而1311>，即可得到结论． 【详解】（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==.所以相关系数5()x x y y r --=0.95==≈. 因为0.75r >，所以y 与x 具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）由（1）可知()51521()632ˆ010()i i i i i x x y y b x x ==--===-∑∑，354ˆ2ˆ510a y bx =-=-⨯=， 所以y 与x 之间线性回归方程为35102ˆy x =+. 当7x =时，3576102ˆ 4.y=⨯+=. （3）()()3,31,11x s x s -+=-，而1311>，故2018年11月该城市的网约车已对城市交通带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理. 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用问题，其中解答中，认真审题，正确理解题意，利用公式准确计算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．23．（1）各组分别为5人，6人，4人；（2）35；（3）在犯错误不超过1％的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关. 【解析】试题分析：（1）三组一共有30人，抽取15人，故两个人抽一人，由此得到抽取的人数分别为5,6,4人.（2）利用列举法列举出所有可能性有15种，其中符合题意的有9种，故概率为35.（3）根据题意填写好表格后，计算29.979 6.635K ≈>，故有在犯错误不超过1％的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关. 试题解：（1）因为1012815=5,15=615=4303030，⨯⨯⨯，所以第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取15人，各组分别为5人，6人，4人.（2）设第5组中不愿意选择此款“流量包”套餐A,B,C,D,愿意选择此款“流量包”套餐人为a,b,则愿意从6人中选取2人有：,,,,,,,,,,,,,,,AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab 共15个结果，其中至少有1人愿意选择此款“流量包”,,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab 共9个结果，所以求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率93155P ==. （3）2×2列联表∴()()()()25010310279.979 6.63510271031010273K ⨯⨯-⨯=≈>++++∴在犯错误不超过1％的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关. 24．（1）平均数为6，“长潜伏者”的人数为250人（2）列联表见解析, 有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关 （3）分布列见解析,()1750E X = 【分析】（1）由频率分布直方图可计算出潜伏期的均值，再由频率分布直方图可得“长潜伏者”的频率，从而得人数；（2）由所给数据计算出2K 后可得结论；（3）由题意知所需要的试验费用X 所有可能的取值为1000，1500，2000，分别计算出概率得概率分布列，再由期望公式得期望．。

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n 【解析】 S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1.【答案】 C2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15【解析】 设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.【答案】 A3．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( ) A ．n 2＋1－12n －1B ．n 2＋2－12n C ．n 2＋1－12nD ．n 2＋2－12n －1【解析】 由题意知数列的通项为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝n (1＋2n －1)2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n 2＋1－12n . 【答案】 C4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．121【解析】 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.【答案】 C 5．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n 项和为( ) A.2n2n ＋1B ．2nn ＋1 C.n ＋2n ＋1D ．n 2n ＋1【解析】 该数列的通项为a n ＝2n (n ＋1)，分裂为两项差的形式为a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 则S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.【答案】 B 二、填空题6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)的值为________．【解析】 由题意可得，第n 天种树的棵数a n 是以2为首项，以2为公比的等比数列，S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2≥100， ∴2n ＋1≥102. ∵n ∈N *， ∴n ＋1≥7，∴n ≥6，即n 的最小值为6. 【答案】 67．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且a n ＝n ·2n ，则S n ＝__________________. 【解析】 ∵a n ＝n ·2n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① ∴2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，② ①－②得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1. ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 【答案】 (n －1)·2n ＋1＋28．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3，所以a n＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， 则S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.【答案】n n ＋1三、解答题9．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 【导学号：67940023】【解】 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4， 解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n (n ∈N *)． (2)由(1)知，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1， 若q ≠1，上式两边同乘以q ，qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ，两式相减得(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1－n ·q n ＝1－qn1－q－n ·q n .∴S n ＝1－q n(1－q )2－n ·q n 1－q＝n ·q n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2. 若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (q ＝1)，nqn ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2(q ≠1).10．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.【解】 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403.(舍去)故a n ＝3＋2(n －1) ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).[能力提升]1．(2016·金华高二检测)已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29【解析】 设{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14，∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12，a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31. 【答案】 C2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 016项的和等于( )A ．1 509B ．3 018C ．1 512D ．2 016 【解析】 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝2k －1(k ∈N *)，1，n ＝2k (k ∈N *)，故数列的前2 016项的和等于S 2 016＝1 008×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝1 512.【答案】 C3．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n 为________．【解析】 由已知条件可得数列{a n }的通项为 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1.S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1. 【答案】4nn ＋14．(2014·湖南高考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则 A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ， 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.。