第六章 第七节

第7节 斜棱柱技法（新高考、理科专用）知识与方法斜棱柱是高考立体几何大题中常见的几何体，因为侧棱与底面并不垂直，故有两大难点须突破： 1.如何建系：在高考题中，斜棱柱往往会给出面面垂直或给出某个顶点在底面上的投影位置这类条件.若是前者，可根据面面垂直的性质定理得出线面垂直，进而建立坐标系；若是后者，则等于直接给出了线面垂直，建系即可.2.“困难点”的坐标：斜棱柱中往往存在着某些顶点在坐标平面上的投影位置不易寻找的情况，这些点的坐标不易直接写出，此时可借助向量可以平移的特征，运用向量的线性运算规则，巧妙地避开直接写“困难点”的坐标，体现了转化与化归的数学思想.典型例题【例题】如下图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AB ===，1AB ⊥平面ABC ，1AC AC ⊥，D 、E 分别是AC 、11B C 的中点. （1）证明：11AC B C ⊥； （2）证明：DE ∥平面11AA B B ；（3）求1A D 与平面11BB C C 所成角的正弦值.【解析】解：（1）由题意，1AB ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AC AB ⊥， 又1AC AC ⊥，且1AB 、1AC ⊂平面11AB C ，11AB AC A =，所以AC ⊥平面11AB C ，因为11B C ⊂平面11AB C ，所以11AC B C ⊥.（2）取AB 中点F ，连接DF 、1B F ，因为D 、E 分别是AC 、11B C 的中点，所以1B E BC ∥且112B E BC =，又DF BC ∥且12DF BC =，所以1B E DF ∥且1B E DF =，故四边形1DEB F 为平行四边形，从而1DE B F ∥，因为DE ⊄平面11AA B B ，111B F AA B B ⊂，所以DE ∥平面11AA B B . （3）由（1）知11AC B C ⊥，又11BC B C ∥，所以AC BC ⊥，以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0B ，()10,2,2B ，()0,2,0A ，()0,1,0D ，所以()2,0,0CB =，()12,2,2BB =-，()0,1,0DA =，()()()1110,1,02,2,22,3,2DA DA AA DA BB =+=+=+-=-，设平面11BC C C 的法向量为(),,n x y z =，则1202220n CB x n BB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，所以()0,1,1n =-， 从而11134cos ,172DA n DA n DA n⋅==⋅⋅， 故直线1A D 与平面11BB C C 34.【反思】本题若直接写点1A 的坐标，则需要耗费更多的时间，像解析那样，运用向量的线性运算，巧妙地回避写像1A 这种困难点的坐标，是比较好的处理方法.强化训练1.（★★★★）如下图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 与1ABB 均为等边三角形，12BB =，16CB =（1）证明：平面ABC ⊥平面11ABB A ； （2）求直线1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值.【解析】（1）取AB 中点O ，连接OC 、1OB ，由题意，ABC 与1ABB 都是边长为2的正三角形，所以13OC OB ==OC AB ⊥，故222116OC OB B C +==，所以1OC OB ⊥，因为AB 、1OB ⊂平面11ABB A ，1AB OB O =，所以OC ⊥平面11ABB A ，又OC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面11ABB A（2）以O 为原点建立如图所示的坐标系，则()1,0,0B ，()0,3,0C ，()10,0,3B ，()1,0,0A -，所以()3,0BC =-，()11,0,3BB =-，()1,3,0AC =，(1113,3AC AC CC AC BB =+=+=，设平面1BCB 的法向量为(),,n x y z =，则13030n BC x n BB x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，所以()3,1,1n = 从而11110cos ,5AC n ACn ACn⋅==⋅1AC 与平面1BCB 10.2.（★★★★）在三棱柱111ABC A B C -中，已知15AB AC AA ===4BC =，点1A 在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O .（1）证明：在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长；（2）求平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的余弦值.【解析】（1）由题意，1A O ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BC AO ⊥， 因为AB AC =，且O 是BC 的中点，所以BC AO ⊥， 因为AO 、1A O ⊂平面1AOA ，1AO AO O =，所以BC ⊥平面1AOA ， 过O 作1OE AA ⊥于E ，则BC ⊂平面1AOA ，故OE BC ⊥，又11BB AA ∥，所以1OE BB ⊥，因为BC 、1BB ⊂平面11BB C C ，1BCBB B =，所以OE ⊥平面11BB C C ，故侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，易求得221OA AB OB =-，22112AO AA OA -=，所以1125OA OA OE AA ⋅==，225AE OA OE =-=. （2）以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()10,0,2A ，()0,2,0C -，()0,2,0B ，所以()1,0,0OA =，由（1）知1112,0,555AE AA ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，42,0,55OE OA AE ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由于OE ⊥平面11BB C C ，故平面11BB C C 的法向量可取()2,0,1u =，()111,2,0A B AB ==-，()10,2,2CA =，设平面11A B C 的法向量(),,v x y z =则11120220v A B x y v CA y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，所以()2,1,1v =-， 从而30cos ,10u v u v u v⋅==⋅， 故平面11A B C 与平面11BB C C 30.3.（★★★★）在三棱柱111ABC A B C -中，P 、Q 、D 分别是1AA 、11A C 、1BB的中点. （1）证明：1C D ∥平面1PQB ；（2）若2AB =，114AC AA AC ===，1160AA B ∠=︒，且平面11AAC C ⊥平面11AA B B ，求二面角11Q PB A --的余弦值.【解析】（1）连接1A D 交1PB 于O ，连接OQ ，由P 、D 分别是1AA 、1BB 中点知11A P B D ∥且11A P B D =，所以四边形11A B DP 是平行四边形，故O 是1A D 中点，又Q 是11A C 中点，所以1C D OQ ∥，而1C D ⊄平面1PQB ，OQ ⊂平面1PQB ，故1C D ∥平面1PQB .（2）由114AC AA AC ===知11AAC 是正三角形，在1ABB 中，114BB AA ==，11160ABB AA B ∠=∠=︒，由余弦定理，22211112cos 12AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=，所以2221116AB AB BB +==，故1AB AB ⊥，取1CC 中点S ，则1AS CC ⊥，所以1AS AA ⊥，又平面11AAC C ⊥平面11AA B B ，且平面11AAC C平面111AA B B AA =，AS ⊂平面11AA C C ，所以AS ⊥平面11AA B B ，从而AB 、AS 、1AB 两两垂直，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()12,23,0A -，()3,0P -，()10,23,0B ，(13,23C -，33332Q ⎛- ⎝，所以1332PQ ⎛=- ⎝，，()11,3,0PB =， 设平面1PQB 的法向量为(),,u x y z =， 则11330230u PQ x y z u PB x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅==⎩，故()3,1,1u =-，显然平面11PA B 的法向量可取()0,0,1v =， 所以5cos ,5u v u v u v⋅==⋅ 由图可知，二面角11Q PB A --5.【反思】本题由于存在着面面垂直，所有点的坐标都比较容易写出来，故并未使用斜棱柱技法.在具体的问题中，是否需要用向量的线性运算来回避写一些“困难点”的坐标，得具体问题具体分析.。

第六章第七节向心力理解领悟物体做圆周运动的过程中线速度的方向不断变化，其变化的快慢可用向心加速度表示。

那么，向心加速度又是怎样产生的呢？向心力是产生向心加速度的原因，使物体速度的方向不断改变，但不改变速度的大小。

本节课我们通过牛顿第二定律结合向心加速度大小的表达式，推导向心力大小的表达式，并用实验来验证向心力大小的表达式。

1.向心力的概念由牛顿第一定律我们可以知道，一切物体都将保持静止或匀速直线运动状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。

做圆周运动的物体不沿直线飞去而是沿着一个圆周运动，说明这个物体必然受到了外力的作用。

用绳系着的物体在光滑水平面上做匀速圆周运动，是由于绳子对它有拉力作用，不难想像，如在某时刻剪断细绳，那物体必然沿切线方向飞出做匀速直线运动；如果月球不受地球对它的吸引力，则月球不受任何外力的作用（其它天体对月球的吸引力很小，可忽略），月球必然不会绕地球转动，而是做匀速直线运动，离地球越来越远。

由于物体做圆周运动过程中，至少速度的方向在不断变化，所以物体一定具有加速度。

做匀速圆周运动的物体，其加速度的方向始终指向圆心，根据牛顿第二定律，力是产生加速度的原因，所以物体一定受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力。

2. 向心力的表达式设做匀速圆周运动物体的向心加速度为a n，所受向心力为F n，根据牛顿第二定律可得F n＝ma n。

通过上一节内容的学习，我们知道a n＝v2r＝rω2，所以F n＝m v2r＝m rω2。

3. 用圆锥摆验证向心力的表达式教材提供了“用圆锥摆粗略验证向心力的表达式”实验（参见教材图6.7-1）。

(1) 实验原理：当物体做匀速圆周运动时，合力正好提供物体所需向心力，即F合＝F n，反映了一对“供”、“需”矛盾的统一，F合是物体所受外力的合力，为“供”，F n＝m rω2是物体以半径为r、角速度为ω做原圆周运动所需要的向心力，是“需”。

当“供”、“需”平衡（相等）时，物体就做匀速圆周运动；当“供”、“需”不平衡时，物体原来的匀速圆周运动状态就会被破坏。

临床执业妇产科第六章病理妊娠第七节母儿血型不合母儿血型不合是指在妊娠期间，母亲和胎儿的血型不一致。

这种情况可能引发一系列的并发症，对母婴健康产生威胁。

在临床执业妇产科中，病理妊娠是需要重点关注和及时干预的一种情况。

在我们的社会中，血型分为A、B、AB、O四个类型，同时还有Rh 因子的阳性和阴性之分。

这种血型不合可能导致母亲产生抗体，攻击胎儿血红细胞，引起胎儿溶血反应。

母儿血型不合一般需要进行血型鉴定和抗体筛查，以及其他相关的检查，早期发现并及时干预可以避免严重的并发症。

血型不合的原因常常是因为胎儿继承了父母血型中的不同基因。

例如，当母亲是Rh阴性，父亲是Rh阳性，而胎儿继承了父亲的Rh阳性基因时，就可能导致母儿血型不合。

此外，ABO血型也可能引起血型不合的情况。

当母儿血型不合时，需要进行密切监测和干预。

首先，医生会进行详细的询问和检查，确定母儿血型差异的具体情况。

接着，医生会根据孕妇的抗体情况和胎儿的血型，制定相应的管理计划。

这可能包括定期检查孕妇的抗体水平、胎儿的血红蛋白水平等，以评估母婴的健康状况。

在严重的情况下，可能需要进行胎儿输血、早产或剖宫产等干预措施。

胎儿输血是一种非常关键的治疗方法，可以通过将新鲜的血液输送到胎儿体内，提供足够的氧气和养分，以避免溶血反应的发生。

对于适应症的孕妇，权衡利弊后需要进行血浆输注或抗D免疫球蛋白的使用。

此外，还需要注意孕妇的饮食和生活习惯，保持良好的营养状况和恰当的体力活动。

孕妇应该避免长时间站立或久坐不动，以免加重血液循环的负担，造成更大的风险。

总之，对于母儿血型不合的情况，及早发现并及时干预是十分必要的。

通过临床执业妇产科的综合管理措施，可以降低母儿并发症的风险，保障母婴的健康与安全。

医生的专业知识和经验，以及密切的团队合作，是保证顺利妊娠和分娩的关键要素。

我们要关注孕妇的身心健康，努力提供最好的医疗护理，以确保每一位孕妇和胎儿的健康平安。