九个三角形

四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。

练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。

绝无仅有的十个“三角形”汉字，你懂吗？（一）最土的汉字——“垚”（二）最色的汉字——“姦”（三）最滑的汉字——“鱻”（四）最闹的汉字——“猋”（五）最顶的汉字——“麤”（六）最畜生的汉字——“骉”（七）最敏感的汉字——“毳”（八）最恶毒的汉字——“蠱”（九）最无赖的汉字——“掱”（十）最昂贵的汉字——“赑”。

汉字中的“品”型结构的酷似“金三角”，音、意、形，都非常有趣。

可惜，这些字绝大部分不常用，极为生僻，几乎变成了绝无仅有的“活化石”。

先挑拣十个例子，请列位上眼。

（一）最土的汉字——“垚”这个字读“尧”，山高的意思。

并不是意外的巧合，在金、木、水、火、土这“五行”之中，每个字摆成品型结构，都能派生出另外一个绝然不同的汉字。

“垚”字不常见，虽说一副土头土脑的模样，核心却是峭拔巍峨、直插云霄。

（二）最色的汉字——“姦”这个字读“奸”，也好似“奸”的异体字。

《说文》里解释为“私”“盗”，《广雅》里说是“伪”的意思。

常言道：“三个女人一台戏”，这个字充满了色情与暧昧的情调。

（三）最滑的汉字——“鱻”三个鱼，味道鲜香。

这个字读作“鲜”，同时，也是“鲜”的异体字。

原指生鱼；抑或“新鲜、明丽”的意思；也指鲜美、应时的食物。

现在，街面上不少饭馆喜欢采用这样生僻的招牌，比如：“羴”、“犇”、“鱻”等等，尽管并不一定清楚它们的读音和本意，却给人大鱼大肉、排场丰盛的感觉。

（四）最闹的汉字——“猋”这个字读作“标”。

字型很明显，三条狗纠缠在一起，表示狗群奔跑的样子；引申一步，便派生出迅速、飙升的意思。

（五）最顶的汉字——“麤”这个字读“粗”，也是汉字“粗”的异体。

从字型上看，一大两小三头鹿，死死地顶在一起，似乎彼此混搅，非常有力气；惜乎，只表达了动粗的意思。

《左传》记载：“粮则无矣，麤则有之。

”这里的“麤”是粗砺带糠的谷物。

（六）最畜生的汉字——“骉”《三字经》里说:“马牛羊，鸡犬豕。

此六畜，人所饲。

”除了鸡和猪之外，马、牛、羊和狗，都可以按品型结构拼成另外一个崭新的汉字。

全等三角形八大基本模型全等三角形是初中数学中非常重要的内容，掌握全等三角形的基本模型有助于解决各类题目。

下面我们将详细介绍八大基本模型，以便于大家更好地理解和应用。

一、引言全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。

在解决全等三角形问题时，我们需要掌握基本模型，以便于快速判断三角形是否全等。

全等三角形的基本模型有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、两角一边（AAS）、一边一角一边（SAS）、两边一角（SSA）和角一边一角（AAA）。

二、边边边（SSS）全等三角形当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较三边长度是否相等。

三、边角边（SAS）全等三角形当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较两边长度和夹角是否相等。

四、角边角（ASA）全等三角形当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较两个角和一边是否相等。

五、角角边（AAS）全等三角形当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较两个角和一边是否相等。

六、两角一边（AAS）全等三角形当两个三角形有两个角和一个边相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较两个角和一个边是否相等。

七、一边一角一边（SAS）全等三角形当两个三角形的一边和一角分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较一边和一角是否相等。

注意：此条件仅在角的另一边也相等时成立。

八、两边一角（SSA）全等三角形当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较两边长度和夹角是否相等。

注意：此条件仅在角的另一边也相等时成立。

九、角一边一角（AAA）全等三角形当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形全等。

判断方法：比较两个角和一边是否相等。

注意：此条件仅在边的另一端角也相等时成立。

十、总结全等三角形八大基本模型是我们解决全等三角形问题的基石。

1．（2012•武汉模拟）将11至17这七个数字，填入图中的○内，使每条线上的三个数的和相等。

2．（2012•恩施州）图中的大正方形分成了小正方形，每个汉字个代表一个数，且每个正方形四个角上的数加起来等于20，则“欢”代表的数是（）3．把1、2、3、4、5、6、7、8这个八个数字分别填入图的圆圈内，使四个等式都成立。

4．将数字1-7填入图中的7个圆圈中，使每条直线上三个圆圈内数的和都是12。

5．在图中方框里的汉字下面填上不同的奇数，使得每个平行四边形的顶点方框内的4个数之和都相等，而且最小。

这个和是( )6、将11到20这十个连续自然数分别填入图中圆圈内，使每个正方形四个顶点的数之和均为60，则A=（）；B=（）7、将数字1，2，…，9，10这十个数字填入构成长方形的十个圆圈内，要求长方形每条边上几个数的和相等，则这个和的最大值是（）。

9、自然数1～12中有一些已经填入图中的○内，请将剩下的分别填入空○内，使图中每个三角形（共四个）周边上的数字之和都相等。

13、将10、15、20、30、40、60填入下图圆圈内，使三角形每条边上3个数的积都相等。

14、在空格里填数，使横行、竖行、斜行的三个数相加得30。

12101315、将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字分I别填入下图方格中，使图中四边形正好组成加、减、乘、除四道算式。

16、玲玲在圆上画了五条直径，请你分别将1--10这10个数填写在直径与圆的交点处，使任意两个相邻数之和等于直径另一端点的两个相邻数之和．你能完成吗？17、在下面的算式中加上括号，使等式成立。

5+35÷5-4×5=18018、把1～8这8个数分别填在右图的8个○内，使每条边上的3个○内数的和相等。

其中最小的和是（），一共有（）种不同的和。

19、把1到7各数填入下面空格里，使每一横行、竖行上的数的和都是10。

20、将1～7这七个数字，分别填入下面的圈里，使每条直线上的三个数的和都相等。

等边三角形的性质习题精选一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．234 5A30 B 40 ．50 D 602．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A B C D3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A15° B 22.5° C 30° D 45°4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A L l=L2B L1＞L2．L2＞L1 D 无法确定5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A B C 20+10 D 20﹣106．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）7910A阴影部分面积大B 空白部分面积大C 一样大D 不确定7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（）A190 B 192 C 194 D 1968．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A4个 B 5个 C 6个 D 7个9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h、h、A12 B 9 C 8 D 410．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A B C D11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）121314A 1B 2C 3D 412．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A36 B 32 C 30 D 2813．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A100 B 60 C 100 D 6014．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）A120° B 135° C 150° D 165°二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为_________．16171920 16．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为_________．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON=_________．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有_________个；△PAB的面积是_________．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为_________．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=_________．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=_________．2222．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是_________．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为_________．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_________（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=_________．若不存在，请说明理由．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．27．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）．求证：PA+PB+PC ＞OA+OB+OC．28．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数．29．阅读下列材料，解答相应问题：已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h．小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：证明：如图3，连接AP．∴S△ABC=S△ABP+S△APC．设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴BC•AD=AB•PE+AC•PF∴a•h=a•h1+a•h2．∴h1+h2=h．（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．30．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．等边三角形的性质习题精选参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．A．30 B．40 C．50 D．60考点：等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．解答：解：设AB=x，∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，∵AF=2AB，即x+6=2x，∴x=6cm，∴周长为7 x+18=60cm．故选D点评：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．2．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C，根据三角形的内角和定理求出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，根据等边三角形∴∠B=∠C，∴∠2+∠γ=∠1+∠α，∴∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，∵等边△DEF，∴∠5=∠3=60°，∴∠2+∠α=∠1+∠β=120°，∴∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，∴∠α﹣∠γ=∠β﹣∠α，∴2∠α=∠β+∠γ，∴α=，故选B．点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能推出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ和∠2﹣∠1=∠β﹣∠α是解此题的关键．3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD 对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．解答：解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A．L l=L2B．L1＞L2C．L2＞L1D．无法确定考点：等边三角形的性质；三角形三边关系．专题：计算题．分析：等边三角形各内角为60°，故∠B=∠C=60°，即可求得BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，即可求得L1=L2．解答：解：∵等边三角形各内角为60°，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD=∠CPE=30°，∴在Rt△BDP和Rt△CEP中，∴BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，∴AD+AE=AB+AC﹣BC=BC，∴BD+CE+BC=BC，L1=BC+DE，L2=BC+DE，即得L1=L2，故选A．点评：本题考查了直角三角形中特殊角的正弦函数值，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中求证L1=BC+DE，5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10D．20﹣10考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据ED⊥BC可得∠CED=30°，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．解答：解：∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．故选D．点评：本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据AE、CE求x的值是解题的关键．6．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）A．阴影部分面积大B．空白部分面积大C．一样大D．不确定考点：等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质及三角形的中位线定理解答即可．解答：解：如图，∵D、E、F分别为三角形三边的中点，△ABC为等边三角形，∴AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF，∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED，∴阴影部分面积与空白部分面积一样大．故选C．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角形的中位线定理及等边三角形的性质．7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（）A．190B．192C．194D．196考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据三角形面积的不同计算方法可以求得PQ+PS+PR=AD，根据AD的值即可求得BC的值，根据BC、AD 的值即可计算等边△ABC的面积．解答：解：连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，等边三角形面积S=BC•（PQ+PR+PS）=BC•AD故PQ+PR+PS=AD，∴AD=6+8+10=24，∵∠ABC=60°∴AB=24×=16，∴△ABC的面积S=BC•AD=×24×16=192，故选B．点评：本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，本题中求证PQ+PR+PS=AD是解题的关键．8．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A．4个B．5个C．6个D．7个考点：等边三角形的性质．专题：计算题；开放型．分析：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，则可把三角形分成分成n2个边长为的小三角形，则比三角形的个数多1可以保证至少有两个点落在同一小三角形内，即可解题．解答：解：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，可以把三角形分成n2个边长为的小三角形，n2+1个点可以保证至少有两个点落在同一个小三角形内，所以那两个点的距离是不超过的，∴取得点至少为n2+1，当根据题意n=2，∴n2+1=5．故选B．点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，学生探究发现规律的能力，本题中构建n2个三角形是解题的关键．9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．12B．9C．8D．4考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形的面积即可计算（h3+h2﹣h1）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可求得BC 的值，即可求得△ABC的面积，即可解题．解答：解：设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则S△PAB+S△PAC﹣S△PBC=S△ABC，从而ah3+ah2﹣ah1=a2，即a（h3+h2﹣h1）=a2，∵（h3+h2﹣h1）=6，∴a=4，∴S△ABC=a2=12．故选A．点评：本题考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键．10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设BM=x，CN=y，用x、y分别表示m、n的值，化简m、n的表达式，可得四边形AMPN，△ABC的周长的比值，可以解题．解答：解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，等边三角形周长的计算，本题中用x、y表示m、n的值是解题的关键．11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）A．1B．2C．3D．4考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形边长相等的性质，可以证明△ACD≌△BED，故AC=BE，已知AB，根据勾股定理即可求AC的长，即可解题．解答：解：∵∠ADC+∠CDB=60°，∠CDB+∠BDE=60°，∴∠ADC=∠BDE，在△ACD和△BED中，，∴△ACD≌△BED，∴AC=BE，∵AC=BC，AB=，∴AC=BC=1，∴BE=1．故选A．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BED是解题的关键．12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A．36 B．32 C．30 D．28考点：等边三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等边三角形的“三线合一”的性质来找直角三角形．解答：解：①∵DE，EF，FD为等边△ABC三条中位线，∴AB=AC=BC，∴EF AB，ED AC，∴四边形CEDF是菱形，∴EF⊥CD，∴在菱形CEDF中有6个不同的直角三角形：Rt△CEG、Rt△CFG、Rt△DGE、Rt△DFG、Rt△EOG、Rt△FOG；同理，在菱形ADEF、菱形BEFD中各有6个不同的直角三角形；②∵D为等边三角形ABC三边中点，∴CD⊥AB，∴△ADC、△BDC、AOD、△BOD是直角三角形；同理，以BF、AE为直角边的三角形各有4个；综上所述，图中能数出的直角三角形由6×3+4×3=30（个）；故选C．点评：本题考查了等边三角形的性质．解题时，充分利用了三角形中位线定理、等边三角形的“三线合一”的性质．13．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A．100B．60C．100 D．60考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据三角形面积公式和中位线定理求解．解答：解：设小三角形的边长为a．∴小三角形的面积为a2sin60°=25，解得a=10∵正三角形的三条中位线构成一个小的正三角形∴大三角形的边长为小三角形边长的2倍，为2a∴大的正三角形的周长为2a×3=6a=6×10=60．故选D．点评：考查了学生对三角形面积公式和中位线定理的掌握和理解．14．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设∠CDA=x，∠ABC=y，根据DA=DB=DC=BC，求得x=2y，由四边形的内角和是360°得∠BAC=360°﹣∠DBA ﹣∠DCA﹣∠BDC，解得即可得出答案．解答：解；设∠CDA=x，∠ABC=y，∵DA=DB=DC=BC，∴∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，∵∠DBA+∠BAD+∠BDA=180°，∴60°﹣x+2（60°+y）=180°，即x=2y，∠BAC=360°﹣∠DBA﹣∠DCA﹣∠BDC，=360°﹣（60°+y）﹣﹣60°，=150°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和等边三角形性质的理解和掌握，此题的关键是有已知条件得到∠CAD和∠ABC之间的关系，进一步求出结果．二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为6．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CND∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．点评：此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．16．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：观察图形可知重叠部分的面积即是△DEF的面积减去△MNF的面积．由折叠的性质，可求得∠BDE=∠EDF=45°，由四边形的内角和为360°，求得∠BEF为150°，得到∠CEM为30°，则可证得∠EMC 为90°；作△BDE的高，根据45°与60°的三角函数，借助于方程即可求得其高的值，则各三角形的面积可解．解答：解：过点E作EG⊥AB于G，∴∠EGB=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3+，根据题意得：∠BDE=∠FDE，∠F=∠B=60°，∵DF⊥AB，∴∠FDB=90°，∴∠BEF=360°﹣∠B﹣∠F﹣∠BDF=150°，∠BDE=∠FDE=∠FDB=45°∴∠MEC=180°﹣∠BEF=30°，∴∠EMC=180°﹣∠C﹣∠EMC=90°，在Rt△ADN中，AD=1，tan∠A=tan60°==，∴DN=，∴S△ADN=AD•DN=×1×=，在△BDE中，DB=AB﹣AD=3+﹣1=2+，∵∠EDG=45°，∴∠DEG=45°，∴DG=EG，∵tan∠B=tan60°==，设EG=x，则DG=x，BG=x，∴x+x=2+，解得：x=，∴EG=DG=，∴S△BDE=BD•EG=×（2+）×=，∵∠B=∠C=∠F=60°，∴BE==+1，∴EC=BC﹣BE=2，∵∠BED=∠FED=180°﹣∠B﹣∠BDE=75°，∴∠FNM=∠MEC=30°，∴∠FMN=∠EMC=90°，∴EM=EC•cos30°=，∴FM=EF﹣EM=BE﹣EM=1，∴MN=FM•tan60°=，∴S四边形MNDE=S△DEF﹣S△MNF=S△BDE﹣S△MNF=﹣×1×=．点评：此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是抓住数形结合思想的应用．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON=（）10．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：利用正三角形的性质和正三角形的边长求得OC的长，然后逆时针旋转30°后可以求得OE的长，直至线段ON与线段OA重合，一共旋转了12次，从而可以求得ON的长．解答：解：∵OC为等边三角形的高，且等边三角形的边长为1，∴NC=，∵△OCD为等边三角形，∴∠OCD=60°，∴OE⊥CD，∴OE==（）2，以此类推，当ON与OA重合时，一共旋转了10次，∴ON的长为（）10，故答案为（）10点评：本题考查了正三角形的性质，解题的关键是正确地得到一共旋转了多少次．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有1个；△PAB的面积是．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据三角形面积的计算和△PAB、△PBC、△PCA的面积相等可得P到AB、BC、AC的距离相等，故P点为等边三角形三个角平分线的交点，故P点只有一个，且△PAB的面积为等边△ABC面积的．解答：解：∵△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，AB=BC=AC，∴P到AB、BC、AC的距离相等，故点P为等边三角形三角平分线的交点，等边三角形三角平分线交于一点，故点P只有一个，且△PAB的面积为．故答案为：1，．点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，三角形面积的计算，本题中求得P点是等边三角形三个角平分线的交点是解题的关键．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：作AM⊥BC，根据等边三角形的面积计算可以求得AM=PE+PD+PF，再根据等边三角形的高线长可以计算等边三角形的边长，即可解题．解答：解：过A作AM⊥BC，则AM为BC边上的高，连接PA、PB、PC，则△ABC的面积S=BC•AM=（BC•PD+AB•PF+AC•PE），∴BC•AM=BC•PD+AB•PF+AC•PE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴BC•AM=BC•PD+BC•PF+BC•PE=BC•（PD+PF+PE），∴PD+PE+PF=AM，∴△ABC的高为：1+3+5=9，∴△ABC的边长为：AB===9×=6，故答案为6．点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形边长和高线长的关系，本题中求AM=PD+PE+PF是解题的关键．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=240°．考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：根据OM=ON=MN即可判定△OMN为等边三角形，根据等边三角形各内角为60°的性质，可求得∠OPQ+∠OQP的值，进而根据∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）即可解题．解答：解：∵OM=ON=MN，∴三角形OMN为正三角形，所以∠APQ+∠CQP=（180°﹣∠OPQ）+（180°﹣∠OQP），=360°﹣（∠OPQ+∠OQP），=360°﹣（180°﹣∠POQ），=180°+60°，=240°．故答案为：240°．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了外角的定义，本题中求得∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）是解题的关键．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=60°．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据可以证明AD=BE，即AE=CD，即可证△ACE≌△BCD，可得∠DBC=∠ACE，根据∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°即可求得∠BPE=∠ACB，即可解题．解答：解：∵△ABD的面积=四边形ADPE的面积+△BPE的面积△BCE的面积=三角形BPC的面积+△BPE的面积四边形ADPE与△BPC的面积相等，∴AD=BE，即AE=CD，又∵AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°∴△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠ACE又∵∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°，∴∠BPE=∠ACB=60°，故答案为60°．点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．22．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是4：3．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设=n，根据平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形和△AMN和四边形MBCN 的周长相等，得出3AM=AM+BC+2BM，然后整理此等式即可得出答案．解答：解：设==n，∵3AM=AM+BC+2BM，△ABC为等边三角形，∴BM=AB﹣AM=BC﹣AM，∴2AM=+2（BC﹣AM），即2AM=+2（﹣AM），∴2AM=+2AM（﹣1），即2=+﹣2，4=．∴BC与MN的长度之比是4：3．故答案为：4：3．点评：此题主要考查等边三件形的性质这一知识点，解答此题的关键是设=n 利用等边三角形的性质和△AMN和四边形MBCN的周长相等，列出3AM=AM+BC+2BM这样一个等式，然后整理即可．此题有一定的拔高难度，属于难题．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为3．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求正方形的面积，即可解题．解答：解：∵等边三角形三线合一，∴D为BC的中点，即BD=DC=1，∴AD==，∴正方形的面积为×=3．故答案为3．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，正方形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？存在（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=2．若不存在，请说明理由．考点：等边三角形的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质．分析：（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．解答：证明：（1）连接AP，BP，CP．（2分）则S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，（4分）即，（6分）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴r1+r2+r3=h（定值）；（8分）（2）存在．（10分）r=2．（12分）点评：此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．考点：等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：连接OE，OF构建等腰三角形BOE和CFO，利用等腰三角形的“三线合一”推知的性质BE=OE、OF=CF，然后等边三角形ABC中，根据等边三角形的三个内角都是60°的性质、角平分线的性质证得△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）；最后由等边三角形OEF的三条边都相等、等量代换证明BE=EF=FC即E，F是BC的三等分点．解答：解：E，F是BC的三等分点．理由：连接OE，OF，∵DE垂直平分OB∴BE=OE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），同理OF=CF，∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠FOC，∵等边三角形ABC中，∴∠ABC=∠ACB=60°（等边三角形各角相等且为60°）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠EBO=∠ABC=30°，∠FCO=∠ACB=30°∴∠BOE=∠EBO=30°，∠FOC=∠FCO=30°∴∠OEF=∠BOE+∠EBO=60°，∠OFE=∠FOC+∠FCO=60°，∴△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）∴OE=OF=EF（等边三角形各边相等）∴BE=EF=FC，即E，F是BC的三等分点．点评：本题综合考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质．解答该题时，充分利用了等腰三角形的底边上的高线、中线、对角的角平分线三线合一的特性．26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．。

第7讲：填数游戏专题分析：小朋友都喜爱做游戏，填数游戏不但非常有趣，而且能促使你积极地思考问题、分析问题、但做填数游戏也有一定的难度，不过只要你掌握了方法，填起来就很轻松了。

填数时要仔细观察图形，确实图形中关键位置应填几，关键位置一般是图形的顶点或中间位置。

另外要将所填的空与所提供的数联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提供的总和之差，进而确定关键位置应填几。

关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而解了。

例题1、在右图的小圆圈中他分别填入数字1∽9，使两条直线上的五个数的和相等，这五个数的和是多少呢？习题一、1在下面的小方格内分别填入2∽10，使横行、竖行中的五个数的和相等。

2、把1、4、7、10、13、16、19这七个数填入下图中的7方框里，使每条直线上的三个数的和相等。

3、把6、8、10、12、14、16、18这七个数填在下图的小圆圈中，使每条直线上的三个数及大圆圈上的三个数的和都是32例题2、把数字1∽8分别填入右图的小圆圈内，使每个五边形上的五个数的和都等于20。

习题二、1、将数字1∽6分别填入下图的小圆圈内，使每个大圆圈上的四个数的和都是15.2、把5、6、7、8、9、10这六个数填入下图三角形三条边的小圆圈内，使每条边上的三个数的和都是21.3、把1∽8这8个数字分别填入下图的各个小方格里，使每一横行、每一竖行的三个数的和都是13.例题3、用5∽13这九个数补全右图的方格，使每行、每列及对角线上的三个数之和相等。

习题三、1、将1∽9这9个数字填在下面的方格内，使横行、竖行及对角线上的三个数的和都是15.2、将1∽16这16个数字分别填入下图的16个方格内，使每行、每列及两条对角线上的四个数的和都相等。

3、将1∽11这11个数分别填入下面的“王”字格中，使每行、每一列的数之和都等于18.例题4、将数字1、2、3、4、5、6、7、填入下图的小圆圈中，使大、小圆环上的三个数字之和以及每条直线上的三个数字之和都相等。

第10讲数阵一、知识要点填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。

这里，和同学们讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

二、精讲精练【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

练习1：1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2.把1—9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

【例题2】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

练习2：1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

第1题第二题第三题【例题3】将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

练习3：1.将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

2.将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。

3.将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。

第1题第二题第三题【例题4】将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

练习4：1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

知识点一：不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 知识点二： 三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.1、四组线段的长度分别为2，3，4；3，4，7； 2，6，4；7，10，2。

其中能摆成三角形的有（ ）A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组2、已知三角形两条边长分别为13厘米和6厘米，第三边与其中一边相等，那么第三边长应是多少厘米？3．已知线段a b c 满足a+b+c=24cm, a:b=3:4, b+2a=2c ,问能否以a 、b 、 c 为三边组成三角形，如果能，试求出这三边，如果不能，请说明理由。

知识点三：三角形分类： (1)三角形按边分类如下:三角形 不等三角形 等腰三角形底和腰不等的等腰三角形 等边三角形 (2)三角形按角分类如下: 三角形 直角三角形斜三角形 锐角三角形 钝角三角形⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩1、如图，在△ABC 中，∠BAC=600，∠C=400，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADC 的度数。

2、如图，CM 是△ABC 的中线，△BCM 的周长比△ACM 的周长大3cm,BC=8cm,求AC 的长。

1．如图，AE 、AH 分别为△ABC 的角平分线和高，∠B=∠BAC ， ∠C=360。

求∠BAE 和∠HAE 的度数。

知识点五：三线交点位置 1.三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.2.三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,这个交点在三角形内.3.无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都在三角形内,并且交于一点.知识点六：三角形的高、中线和角平分线都代表线段, 这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上. 知识点七：三角形内角和为180度1、 在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，求三角形各角的度数，并判断它是什么三角形。

正九边形边长与半径的关系正九边形是一个有九条边的多边形，其每条边的长度是相等的，且每个内角都是120度。

我们来探讨一下正九边形的边长和半径之间的关系。

我们需要了解正九边形的特性。

正九边形可以看作是九个等边三角形组成的，每个等边三角形的内角都是60度。

由于正九边形的对称性，我们可以将正九边形分成九个等边三角形，其中每个等边三角形的底边就是正九边形的边长。

因此，我们只需要研究一个等边三角形，就可以得出正九边形的性质。

假设正九边形的边长为a，我们来计算一下它的半径。

在等边三角形中，半径是从三角形的顶点到其重心的距离。

重心是三角形的三条中线的交点，也就是三边中点的连线。

我们可以通过勾股定理计算等边三角形的高。

在一个等边三角形中，高等于边长的一半乘以根号3。

因此，等边三角形的高为a/2 * √3。

接下来，我们需要计算重心到顶点的距离。

在一个等边三角形中，重心到顶点的距离等于边长的二分之一乘以根号3。

因此，重心到顶点的距离为a/2 * √3。

我们可以使用勾股定理计算出半径的长度。

半径的长度等于重心到顶点的距离的平方加上等边三角形的高的平方，再开平方根。

即半径的长度为√((a/2 * √3)^2 + (a/2)^2)。

简化上述式子，我们可以得到半径的长度为√(3a^2/4 + a^2/4)，即半径的长度为√(4a^2/4)，也就是a/2。

因此，我们得出了正九边形的边长和半径之间的关系：正九边形的半径等于边长的一半。

在实际问题中，我们经常会遇到需要计算正九边形的边长和半径的情况。

例如，在建筑设计中，如果我们知道正九边形的半径，就可以根据上述关系计算出边长，从而确定建筑物的尺寸。

同样地，如果我们知道正九边形的边长，就可以计算出半径，帮助我们确定建筑物的结构。

总结一下，正九边形的边长和半径之间的关系是：半径等于边长的一半。

这个关系可以通过勾股定理和等边三角形的性质推导出来。

在实际应用中，我们可以利用这个关系来计算正九边形的边长和半径，帮助我们解决各种问题。

三角形数的定义它有一定的规律性，排列如下(构成图)，像上面的1、3、6、10、15等等这些能够表示成三角形的形状的总数量的数，叫做三角形数。

一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数。

比如10个点可以组成一个等边三角形，因此10是一个三角形数：xx xx x xx x x xx x x x x开始个18个三角形数是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……（OEIS中的数列A000217）第n个三角形数的公式是或者。

第n个三角形数是开始的n个自然数的和。

所有大于3的三角形数都不是质数。

开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方（举例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 =102）所有三角形数的倒数之和是2。

任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。

一部分三角形数（3、10、21、36、55、78……）可以用以下这个公式来表示：n × (2n + 1)；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）则可以用n × (2n - 1)来表示。

一种检验正整数x是否三角形数的方法，是计算：。

如果n是整数，那么x就是第n个三角形数。

如果n不是整数，那么x不是三角形数。

这个检验法是基于恒等式8Tn + 1 = S2n + 1.特殊的三角形数55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形数。

第11个三角形数（66）、第1111个三角形数（617,716）、第111,111个三角形数（6,172,882,716）、第11,111,111个三角形数（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形数，但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形数不是。

和其他数的关系四面体数是三角形数在立体的推广。

两个相继的三角形数之和是平方数。

三角平方数是同时为三角形数和平方数的数。

莱布尼茨调和三角形规律第九排第3个第九排第三个莱布尼茨调和三角形规律莱布尼茨调和三角形规律是一种有趣而又深奥的数学规律，其折射了莱布尼茨在数学领域的杰出成就。

对于第九排第三个莱布尼茨调和三角形规律的研究，我们将深入探讨这个规律的产生原因、数学意义和应用。

一、规律的产生莱布尼茨调和三角形是一种由数字组成的三角形数组，每一行都是前一行数字两两相加的结果。

这个规律可以用公式来表示：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1...根据这个规律，我们可以很容易地写出第九排的数字：1 8 28 56 70 56 28 8 1二、数学意义莱布尼茨调和三角形规律的数学意义在于它展现了一个重要的组合数学性质，即二项式系数。

每行数字可以表示为二项式系数的形式，例如第四行可以表示为C(4, 0) C(4, 1) C(4, 2) C(4, 3) C(4, 4)，其中C(n, k)代表从n个元素中选取k个元素的组合数。

莱布尼茨调和三角形规律不仅仅是一种数列，更是二项式系数的一种排列方式。

三、应用莱布尼茨调和三角形规律在数学中有广泛的应用。

其中，最为著名的应用之一就是在概率论中的二项式定理。

二项式定理为我们提供了将任意整数次幂的多项式展开为二项式系数的和的方法，从而极大地简化了计算。

莱布尼茨调和三角形规律还与组合数学和计算机科学等领域有着密切的关联。

在组合数学中，它可以用于计算组合数、排列数和二项式等。

在计算机科学中，莱布尼茨调和三角形规律可以用来优化算法的效率，特别是在组合数学和动态规划等问题中。

个人观点和理解对于我而言，莱布尼茨调和三角形规律是一种美妙而又奇特的数学发现。

它不仅仅是一种数列，更是一个数学世界中的秘密花园。

通过深入研究莱布尼茨调和三角形规律，我深深感受到数学的美妙之处和它在解决实际问题中的应用价值。

莱布尼茨调和三角形规律的产生源于对二项式系数的研究，它展示了组合数学的魅力和数学中丰富的规律性。

这种规律性不仅仅是数学家的发现和探索，更是自然界的智慧和秩序。

九角星的各顶角度数之和九角星，一般是指由九条线段自我相交而成的有九个尖角的图形.不同的九角星，各顶角的度数和就不同。

如果是正九角星，只要知道每一个顶角的两条边与外接圆的交点之间在角的内部有几个其他角的顶点，就能求出每一个顶角的度数，然后乘以9就可以计算出所有顶角的度数之和。

具体算法是:设每一个顶角的内部有n 个其他角的顶点,则每一个顶角的度数就是18091×+n ,九个顶角的度数之和就是01801×+n ）（。

如果不是正九角星，我们就用三角形内角和及内外角之间的关系的知识进行计算。

如图1，这实际是个九边形；从一个顶点向其他各顶点作对角线，总共能作6条，这6条对角线把九边形分成7个三角形，7个三角形的所有内角度数之和，就是九边形的内角和，即0012601807=×；图2的九角星是三个三角形套在一起组成的图形，所以，所有顶角的度数之和为005401803=×；这两种九角星的所有顶角度数之和比较容易计算。

图3所示的九角星，就不是那么容易计算了。

下面我们来计算一下：设BF、CG的交点为M，BF、CH的交点为N，BF、DH的交点为P，DH、AF的交点为Q，AE、DH的交点为R，AE、DI的交点为S,如图：由图可知：∠BMG=∠C+∠CNF, ∠CNF=∠BPH+∠H,∠BPH=∠F+∠DQF, ∠DQF=∠A+∠ARH, ∠ARH=∠D+∠DSE, ∠DSE=∠I+∠E;所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G+∠H+∠DSE=∠A+∠B+∠C +∠F+∠G+∠H+∠ARH= ∠B+∠C +∠F+∠G+∠H+∠DQF=∠B+∠C +∠G+∠H+∠BPH=∠B+∠C +∠G+∠CNF=∠B +∠G+∠BMG=1800即这种九角星所有顶角度数之和为1800.与正九角星相等。

图4的九角星，用这种方法就又不行了。

因为此时图中没有现成的三角形好用了，怎么办？∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I 的结果是多少，与类似的正九角星的所有顶角之和还相等吗？解答如下：连结AE 、EI 、ID 、DH 、HC 、CG 、GB 、BF 、FA,如图5：则图中有九个以九角星的顶点为顶点的三角形：△HAC 、△IBD 、△ACE 、△BDF 、△CEG 、△DFH 、△EGI 、△AHF 、△BIG 。

三个连环圆圈画12三角形在几何学中，三角形是最基本的图形之一。

它由三条边和三个顶点组成。

而如何用三个连环圆圈来画出12个不同的三角形呢？本文将通过详细解释来回答这个问题。

我们需要了解连环圆圈是什么。

连环圆圈是指三个同心圆，即三个圆心重合的圆。

我们可以将这三个圆分别命名为内圆、中圆和外圆。

接下来，我们来详细解释如何用这三个连环圆圈来画出12个不同的三角形。

第一个三角形：以内圆为边，中圆上的一点和外圆上的一点为顶点，得到的三角形。

第二个三角形：以内圆为边，中圆上的一点和外圆上的另一点为顶点，得到的三角形。

第三个三角形：以内圆为边，中圆上的一点和外圆上的另一点为顶点，得到的三角形。

第四个三角形：以内圆为边，中圆上的另一点和外圆上的一点为顶点，得到的三角形。

第五个三角形：以内圆为边，中圆上的另一点和外圆上的一点为顶点，得到的三角形。

第六个三角形：以内圆为边，中圆上的另一点和外圆上的一点为顶点，得到的三角形。

第七个三角形：以内圆为边，中圆上的另一点和外圆上的一点为顶点，得到的三角形。

第八个三角形：以内圆为边，中圆上的另一点和外圆上的一点为顶点，得到的三角形。

第九个三角形：以内圆为边，中圆上的另一点和外圆上的一点为顶点，得到的三角形。

第十个三角形：以内圆为边，中圆上的另一点和外圆上的一点为顶点，得到的三角形。

第十一个三角形：以内圆为边，中圆上的另一点和外圆上的一点为顶点，得到的三角形。

第十二个三角形：以内圆为边，中圆上的另一点和外圆上的一点为顶点，得到的三角形。

通过以上的描述，我们可以清晰地看到如何使用三个连环圆圈来画出12个不同的三角形。

这些三角形有着不同的形状和大小，展示了连环圆圈的多样性和灵活性。

总结起来，使用三个连环圆圈可以画出12个不同的三角形，每个三角形都有着独特的特点和形状。

这个问题不仅考验了我们对几何图形的理解，也展示了几何学的魅力和无穷的可能性。

无论是在学术研究还是日常生活中，对几何学的认识和应用都有着重要的意义。

九髀算经名词解释
《九髀算经》是传统算学中的一部重要著作，属于算经十书之一。

这本书的内容主要涉及到球面直角三角形（九个边的三角形）的解法。

这部书的编写时间约在东汉时期，具体的作者已经不可考。

《九髀算经》主要讲述了如何利用球面三角的方法来解决一些实际问题，例如测量太阳的高度、计算地球的周长等。

其中，“九髀”的含义是指球面直角三角形中的九个边，包括一个球心角、八个圆弧段和两个半径。

《九髀算经》在古代数学史上具有重要地位，是古人进行天文测量和地理测量的重要工具。

这本书所蕴含的球面三角法对后世数学的发展产生了深远的影响，也为现代球面几何学的发展奠定了基础。

以上信息仅供参考，如有需要，建议您查阅相关文献。

九宫格里的等腰三角形等腰三角形是指三角形的两条边长度相等。

在九宫格里，我们可以想象一个特殊的等腰三角形，它由九个格子组成，如下所示：┌───┬───┬───┐│ │ │ │├───┼───┼───┤│ │ │ │├───┼───┼───┤│ │ │ │└───┴───┴───┘在这个九宫格中，我们可以看到，等腰三角形的顶点位于中间的格子，而底边则由左右两边的格子组成。

这个等腰三角形的形状简单而美观，给人一种稳定和和谐的感觉。

当我们仔细观察这个等腰三角形时，会发现它其实是由对称性构成的。

每个格子都和对面的格子呈镜像关系，这使得整个等腰三角形显得更加平衡和完美。

这个等腰三角形也可以引发我们对对称性的思考。

对称性是一种美的表现形式，它存在于自然界的许多事物中，如花朵、人体等。

对称性给人以安宁和和谐的感觉，它是一种秩序和平衡的象征。

通过观察九宫格中的这个等腰三角形，我们可以体会到对称性的美妙之处。

它让我们感受到自然界中的秩序和平衡，同时也让我们对美的定义有了更深入的理解。

在我们日常生活中，我们也可以通过观察身边的事物来感受到对称性的美。

无论是一朵花、一副画、还是一座建筑，都可能蕴含着对称性的美。

通过欣赏这些美丽的事物，我们可以提升自己的审美能力，同时也更好地理解和欣赏世界的美。

所以，让我们在日常生活中多关注对称性的存在，欣赏和享受它带给我们的美妙感受吧！无论是在九宫格中的等腰三角形，还是身边的各种事物中，对称性都是一种美的表现形式，它让我们的世界更加多彩和美丽。

让我们共同欣赏、感受和传播对称性的美，让这个世界变得更加和谐和平衡！。

一、概述在数学教学中，学生常常需要通过各种形式的组合和运算来解决问题。

本文将以一年级数学为例，探讨正方形和三角形的组合问题。

在这个例子中，我们将探讨如何通过组合正方形和三角形来得到结果为10的不同解决方案。

二、正方形和三角形的性质1. 正方形是一个有四条边相等且四个角都为直角的四边形。

2. 三角形是一个有三条边和三个角的多边形，其中最常见的类型有等边三角形、等腰三角形和直角三角形。

三、正方形和三角形的组合问题我们希望通过组合正方形和三角形的数目，使它们的总数等于10。

在这个问题中，我们假设正方形和三角形的数目均大于等于0，并且可以任意组合。

下面是一些可能的解决方案：1. 一个正方形和九个三角形这个组合中，我们使用了一个正方形和九个三角形，这样正方形有4条边，而每个三角形都有3条边，所以一共有10条边。

这符合题目要求。

2. 两个正方形和六个三角形在这个组合中，我们使用了两个正方形和六个三角形，这样正方形有8条边，而每个三角形有3条边，所以一共有14条边，超过了题目要求。

因此这个组合不符合要求。

3. 三个正方形和四个三角形在这个组合中，我们使用了三个正方形和四个三角形，这样正方形有12条边，而每个三角形有3条边，所以一共有15条边，超过了题目要求。

因此这个组合也不符合要求。

4. 四个正方形和两个三角形在这个组合中，我们使用了四个正方形和两个三角形，这样正方形有16条边，而每个三角形有3条边，所以一共有22条边，超过了题目要求。

因此这个组合也不符合要求。

5. 五个正方形最后一个可能的解决方案是只使用五个正方形。

这样一共有20条边，超过了题目要求。

四、解决方案根据上面的讨论，我们可以得出结论：通过组合正方形和三角形的数目，使它们的总数等于10的解决方案包括：- 一个正方形和九个三角形五、总结在数学教学中，我们经常需要通过组合和运算来解决问题。

上述例子就是一个简单的例子，通过组合正方形和三角形来得到结果为10的不同解决方案。