2015赢在高考第一轮复习数学 课后作业11

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 1-1集合课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(文)集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1} D ．{－1,0,1}[答案] B[解析] ∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B ＝{1，cos1}， ∴A ∩B ＝{1}．(理)(2013·江苏南通一模)集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝e x ，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1} D ．{－1,0,1} [答案] B[解析] ∵x ∈A ，∴B ＝{1e，1，e}，∴A ∩B ＝{1}．故选B.2．(文)(2013·广东佛山一模)设全集U ＝{x ∈N *|x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{2,4}C ．{2,5}D ．{1,5} [答案] B[解析] 由题意易得U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}．故选B. (理)已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{6,8} B ．{5,7} C ．{4,6,7} D ．{1,3,5,6,8} [答案] A[解析] ∵A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，∴A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，又U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}， ∴∁U (A ∪B )＝{6,8}．3．(文)设U ＝R ，M ＝{x |x 2－2x >0}，则∁U M ＝( ) A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞) [答案] A[解析] 由x 2－2x >0得x >2或x <0. ∴∁U M ＝[0,2]．(理)设集合A＝{x|y＝3x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩B为()A．[0,3] B．(2,3]C．[3，＋∞) D．[1,3][答案] B[解析]由3x－x2≥0得，0≤x≤3，∴A＝[0,3]，∵x>1，∴y＝2x>2，∴B＝(2，＋∞)，∴A∩B＝(2,3]．4．已知集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q等于()A．{3,0} B．{3,0,1}C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}[答案] B[解析]根据题意P∩Q＝{0}，所以log2a＝0，解得a＝1从而b＝0，可得P∪Q＝{3,0,1}，故选B.5．(文)(2012·浙江)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝() A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)[答案] B[解析]本题考查了集合的运算．∵x2－2x－3≤0，∴－1≤x≤3，∴∁R B＝{x|x<－1或x>3}．∴A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}．(理)(2013·辽宁大连一模)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)[答案] B[解析]易知A＝{x|0≤x≤2}．∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴a∈(－∞，0]，故选B.6．(2013·山东潍坊一模)已知R为全集，A＝{x|(1－x)·(x＋2)≤0}，则∁R A＝()A．{x|x<－2，或x>1} B．{x|x≤－2，或x≥1}C．{x|－2<x<1} D．{x|－2≤x≤1}[答案] C[解析]∵(1－x)(x＋2)≤0，即(x－1)(x＋2)≥0，∴x ≤－2或x ≥1.∴A ＝{x |x ≤－2，或x ≥1}． ∴∁R A ＝{x |－2<x <1}，故选C. 二、填空题7．已知集合A ＝{(x ，y )|x 、y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x 、y 为实数，且y ＝－x ＋1}，则A ∩B 的元素个数为________．[答案] 2[解析] 集合A 表示圆x 2＋y 2＝1上的所有的点，集合B 表示直线y ＝－x ＋1上的所有的点，故A ∩B 表示圆与直线的交点．由于直线与圆相交，故这样的点有两个．8．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________.[答案] {(0,1)，(－1,2)}[解析] A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由集合A 中落在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，将A 中点的坐标代入直线方程检验知，A ∩B ＝{(0,1)，(－1,2)}．9．若A ＝{x |22x －1≤14}，B ＝{x |log 116x ≥12}，实数集R 为全集，则(∁R A )∩B ＝________.[答案] {x |0<x ≤14}[解析] 由22x －1≤14得，x ≤－12，由log 116 x ≥12得，0<x ≤14，∴(∁R A )∩B ＝{x |x >－12}∩{x |0<x ≤14}＝{x |0<x ≤14}．三、解答题10．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； (3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．[解析] 集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝(－3)2－8a <0，∴a >98， 即实数a 的取值范围是(98，＋∞)．(2)当a ＝0时，方程只有一解23，此时A 中只有一个元素23；当a ≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43，∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43.(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥98}.能力拓展提升一、选择题11．已知A 、B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9} D ．{3,9}[答案] D[解析] 由题意知，A 中有3和9，若A 中有7或5，则∁U B 中无7和5，即B 中有7或5，则与A ∩B ＝{3}矛盾，故选D.12．(2013·青岛一模)设A ，B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，则A ×B ＝( )A ．[0,1]∪(2，＋∞)B ．[0,1)∪(2，＋∞)C ．[0,1]D ．[0,2] [答案] A[解析] 由2x －x 2≥0解得0≤x ≤2，则A ＝[0,2]． 又B ＝{y |y ＝2x ，x >0}＝(1，＋∞)， ∴A ×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)，故选A.13．(2014·巢湖质检)设集合A ＝{x |x 24＋3y 24＝1}，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[0，＋∞)D ．{(－1,1)，(1,1)} [答案] B[解析] A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}， ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]． 二、填空题14．(文)(2013·湘潭模拟)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.[答案] 1[解析] ∵3∈B ，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1.(理)已知集合A ＝{0,2，a 2}，B ＝{1，a }，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________． [答案] 2[解析] ∵A ∪B ＝{0,1,2,4}，∴a ＝4或a 2＝4，若a ＝4，则a 2＝16，但16∉A ∪B ， ∴a 2＝4，∴a ＝±2，又－2∉A ∪B ，∴a ＝2.15．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________.[答案] {2,4,6,8}[解析] A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．三、解答题16．(文)(2013·衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}， ∵B ∪A ＝A ，∴B ⊆A ， ∴B ＝∅或B ＝{2}．当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3.综上所述，所求a 的取值范围是{a |a ≥3}．(理)设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2－ax ＋a ，x ∈N *}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．[解析] 假设A ∩B ≠∅，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2－ax ＋a ，有正整数解，消去y 得， ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0.(*)由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a (a ＋1)≥0， 解得－233≤a ≤233.因a为非零整数，∴a＝±1，当a＝－1时，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，而x∈N*.故a≠－1.当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．故存在a＝1，使得A∩B≠∅，此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．考纲要求1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算．补充说明1．把握集合问题“解题技巧”：准确理解集合中元素的属性，会用数轴、Venn图和几何图形直观表示集合，掌握集合的关系与运算定义，用好集合的性质，恰当的对新定义进行翻译是解决集合问题的关键．2．牢记一条性质若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有2n－1个．3．防范两个“易错点”(1)注意空集在解题中的应用，防止遗漏空集而导致失误．(2)对于含参数的两集合具有包含关系时，端点的取舍是易错点，对端点要单独考虑．备选习题1．(2013·广东理，1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}[答案] D[解析]M＝{0，－2}，N＝{0,2}，∴M∪N＝{－2,0,2}．2．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )A.13 B.23 C.112 D.512[答案] C[解析] 此题虽新定义了“长度”概念，但题意不难理解，只要求出M ∩N ，然后再求一个式子的最小值即可；如何求M ∩N 呢？若真这样理解的话，就走弯路了．其实，根本用不着求M ∩N ；集合M 的“长度”是34，由于m 是一个变量，因此，这个长度为34的区间可以在区间[0,1]上随意移动；同理，集合N 的长度为13且也可以在区间[0,1]上随意移动；两区间的移动又互不影响，因此M ∩N 的“长度”的最小值即为13－⎝⎛⎭⎫1－34＝112，故选C.[点评] 1.该题立意新颖，背景公平．对考生的思维能力和分析解决问题能力有较高的区分度．2．解答新定义题型，一定要先弄清新定义所提供的信息的含义，进行必要的提炼加工，等价转化为学过的知识，然后利用已掌握知识方法加以解答．3．集合M ＝{x ||x －2|－1＝0}，集合N ＝{x |x 2－3|x |＋2＝0}，集合P ＝{x |x 2＋5x ＋6≤0，x ∈Z }，全集为U ，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{－1,1}B ．{2，－2}C ．{3，－3}D ．∅ [答案] C[解析] ∵M ＝{1,3}，N ＝{1,2，－1，－2}，P ＝{－2，－3}，∴M ∩N ＝{1}，N ∩P ＝{－2}，故阴影部分表示的集合为{3，－3}．[点评] 阴影部分在集合M 、P 中，不在集合N 中，抓住这个要点是解题的关键． 4．设集合A ＝{3,5,7,9}，B ＝{3,4,6,8}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 [答案] D[解析] U ＝A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8,9}，A ∩B ＝{3}，∴∁U (A ∩B )＝{4,5,6,7,8,9}，故选D.5．设集合A ＝{x |12<2x <2}，B ＝{x |lg x >－1}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x >－1}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |x >110}D ．{x |－1<x <10或x >10}[答案] A[解析] 先求集合A 、B ，再求A ∪B ，∵12<2x <2，即2－1<2x <21，结合y ＝2x 的单调性知－1<x <1，∴A ＝{x |－1<x <1}，由lg x >－1得x >110，∴B ＝{x |x >110}，∴A ∪B ＝{x |x >－1}．。

第11讲 导数的综合题题一：已知点P 为曲线y =x 2与y =a ln x （a ≠0）的公共点，且两条曲线在点P 处的 切线重合，则a = ．题二：已知函数32()212f x mx nx x =+-的减区间是(2,2)-． ⑴试求m 、n 的值；⑵求过点(1,11)A -且与曲线()y f x =相切的切线方程；⑶过点A （1，t ）是否存在与曲线()y f x =相切的3条切线？若存在求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．题三：已知函数 21()ln (1)2f x x m x m x =-+-，m ∈R ．当 0m ≤ 时，讨论 函数 ()f x 的单调性.题四：已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-.题五：设函数2()(),f x x a x a R =-∈.(Ⅰ)若1x =为函数()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(,2]-∞，恒有()f x ≤4成立.题六：设函数()ln af x x x x =+,32()3g x x x =--. (Ⅰ)讨论函数()()f x h x x=的单调性;(Ⅱ)如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的 最大整数M ;(Ⅲ)如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.第11讲 导数的综合题题一：2e ．即002002ln a x x x a x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得a =2e ．故答案为：2e ．题二：（1）m =1，n =0；（2）920x y ++=或45410x y +-=；（3）存在，1211t -<<-．详解：⑴ 由题意知：f ′(x )234120mx nx =+-<的解集为(2,2)-， 所以，和2为方程234120mx nx +-=的根，由韦达定理知 4120433n ,m m-=--=，即m =1，n =0． ⑵ ∵3()12f x x x =-，∴2()312f x x '=-，∵3(1)112111f =-⨯=-当A 为切点时，切线的斜率 (1)3129k f '==-=-， ∴切线为119(1)y x +=--，即920x y ++=；当A 不为切点时，设切点为00(,())P x f x ，这时切线的斜率是200()312k f x x '==-，切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，即23003(4)2y x x x =--因为过点A （1，-11），2300113(4)2x x -=--，∴3202310,x x -+=200(1)(21)0x x -+=， ∴ 01x =或012x =-，而01x =为A 点，即另一个切点为147(,)28P -， ∴ 1145()312244k f '=-=⨯-=-，切线方程为 4511(1)4y x +=--，即 45410x y +-= 所以，过点(1,11)A -的切线为920x y ++=或45410x y +-=． ⑶ 存在满足条件的三条切线．设点00(,())P x f x 是曲线3()12f x x x =-的切点，则在P 点处的切线的方程为 000()()()y f x f x x x '-=-即23003(4)2y x x x =--因为其过点A （1，t ），所以，233200003(4)22312t x x x x =--=-+-， 由于有三条切线，所以方程应有3个实根，设32()2312g x x x t =-++，只要使曲线有3个零点即可． 设 2()66g x x x '=-=0， ∴ 01x x ==或分别为()g x 的极值点，当(,0)(1,)和x ∈-∞+∞时()0g x '>，()g x 在(,0)-∞和 (1,)+∞上单调递增， 当(0,1)x ∈时()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减， 所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点.所以要使曲线与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩即120110t t +>⎧⎨+<⎩，解得1211t -<<-.题三：省略详解：∵2(1)(1)()()(1)m x m x m x x m f x x m x x x+---+'=-+-==，∴（1）当10m -<≤时，若()0,,()0,()x m f x f x '∈->时为增函数；(),1,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数； ()1,,()0,()x f x f x '∈+∞>时为增函数．（2）当1m ≤-时，若()0,1,()0,()x f x f x '∈>时为增函数；()1,,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数； (),,()0,()x m f x f x '∈-+∞>时为增函数．题四：省略详解：(Ⅰ) f (x )的定义域为(0,+∞)，2121()2a ax a f x ax x x+++'=+=. 当a ≥ 0时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)上单调递增； 当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)上单调递减；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x 当x 时, ()f x '＞0；x +∞)时，()f x '＜0, 故f (x )在（）单调递增，在，+∞）单调递减. (Ⅱ)不妨假设x 1 ≥ x 2.由于a ≤－2,故f (x )在（0，+∞）单调递减. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于1212()()44f x f x x x -≥-即2211()4()4f x x f x x +≥+令()()4g x f x x =+,则1()2a g x ax x +'=++4＝2241ax x a x +++.于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0.从而()g x 在（0，+∞）单调递减，故12()()g x g x ≤， 故对任意x 1,x 2∈(0,+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-.题五：（1）1=a或3=a ；（2）23a ≤≤ 详解：(Ⅰ) )3)(()(a x a x x f --=' 0)3)(1()1(=--='a a f 1=a 或3=a ，检验知符合题意 （Ⅱ）2()4x a x -≤在x ∈(,2]-∞时恒成立 当0≤x 时，显然恒成立当02x <≤时 由2()4x a x -≤得xx a 2≤-在x ∈(0,2]时恒成立x a x≤≤+在x ∈(0,2]时恒成立 令()()(0,2]g x x h x x x==∈，xx x g 2)(-=在单调递增∴max ()(2)2g x g ==xx x x xx x h 111)(-=-='10<<x 时，)(x h 单调递减 ，12x <<时)(x h 单调递增∴3)1()(min ==h x h∴23a ≤≤题六：（1）省略；（2）4M=；（3）1a ≥.详解：(Ⅰ)2()ln a h x x x =+,233212()a x a h x x x x -'=-+=, ①00,()a h x '≤≥,函数()h x 在0(,)+∞上单调递增 ②0a >,0(),h x x '≥≥函数()h x的单调递增区间为)+∞00(),h x x '≤<≤,函数()h x的单调递减区间为0((Ⅱ)存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立 等价于:12max [()()]g x g x M -≥,考察32()3g x x x =--, 22'()323()3g x x x x x =-=-,由上表可知:min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==,12max max min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=, 所以满足条件的最大整数4M =;(Ⅲ)当1[,2]2x ∈时,()ln 1af x x x x=+≥恒成立 等价于2ln a x x x ≥-恒成立, 记2()ln h x x x x =-,所以a ≥h ( x )max'()12ln h x x x x =--, '(1)0h =.记'()(1)2ln h x x x =--,1[,1)2x ∈,10,ln 0,'()0x x x h x -><> 即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上单调递增,记'()(1)2ln h x x x =--,(1,2]x ∈,10,ln 0,'()0x x x h x -<>< 即函数2()ln h x x x x =-在区间(1,2]上单调递减,1,()x h x =取到极大值也是最大值(1)1h =所以1a ≥另解：()12ln m x x x x =--,'()32ln m x x =--, 由于1[,2]2x ∈,'()32ln 0m x x =--<,所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1[,2]2上单调递减, 当1[,1)2x ∈时,'()0h x >,(1,2]x ∈时,'()0h x <, 即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上单调递增, 在区间(1,2]上单调递减,所以max ()(1)1h x h ==,所以1a ≥.。

基础达标检测一、选择题1．如图，矩形长为6，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为( )A ．3.84B ．4.84C ．8.16D ．9.16[答案] C[解析] 矩形的面积为12，设椭圆的面积为S ， 则S 12≈300－96300，解得S ≈8.16.2．在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为( )A.14 B.13 C.427 D.415 [答案] A[解析] 面积为36cm 2时，边长AM ＝6cm ；面积为81cm 2时，边长AM ＝9cm. ∴P ＝9－612＝312＝14.3．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23[答案] C[解析] 如图，在AB 边上取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′上(不包括P ′点)运动，则所求概率为AP ′AB ＝34.4．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )A.25B.25C.35D.3210[答案] B[解析] 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离 d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25.5．手表实际上是个转盘，一天24小时，分针指哪个数字的概率最大( )A ．12B ．6C ．1D ．12个数字概率相同[答案] D[解析] 分针每天转24圈，指向每个数字的可能性是相同的，故指向12个数字的概率相同．6．(文)有下列四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )[答案] A[解析] A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，所以A 游戏盘的中奖概率最大．(理)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )A.34B.12C.13D.35[答案] B[解析] 作等腰直角三角形AOC 和AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC ︵运动时，弦长|AB |>2R ，∴P ＝12. 二、填空题7．(文)(2013·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为________．[答案] 13[解析] 本题考查了几何概型．由3a －1<0得a <13，则事件“3a －1<0”发生的概率为13.(理)(2013·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．[答案] 23[解析] ∵a ∈[0,1)，故a >13的概率P ＝1－131＝23.8．(文)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．[答案] 16[解析] 如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.(理)设函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0，使f (x 0)≤0的概率为________．[答案] 310[解析] 由f (x 0)≤0，得－1≤x 0≤2， 则f (x 0)≤0的概率为P ＝2－(－1)5－(－5)＝310.9．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序数对(x ，y )记事件A 为“x 2＋y 2<1”，则P (A )＝________.[答案] π4[解析]事件“从区间[－1,1]上任取两数，x，y组成有序数对(x，y)”的所有结果都落在－1≤x≤1，且－1≤y≤1为正方形区域中，而事件A的所有结果都落有以(0,0)为圆心的单位圆面上，故μA＝π，μΩ＝2×2＝4，∴P(A)＝π4.三、解答题10．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．[解析]弦长不超过1，即|OQ|≥32，而Q点在直径AB上是随机的，记事件C＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(C)＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P(C)＝1－32.即所求弦长不超过1的概率为1－32.能力强化训练一、选择题1．任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是( )A.24B.14 C.18 D.116[答案] C[解析] 依题意可知，第四个正方形的边长是第一个正方形边长的24倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍，由几何概型可知，所投点落在第四个正方形中的概率为18，故选C.2．(文)已知＝{(x ，y)|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y)|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A.13B.23C.19D.29[答案]D[解析]区域为△AOB，区域A为△OCD，∴所求概率P＝S△OCDS△AOB＝12×4×212×6×6＝29.(理)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A .1πB .2π C .3π D .4π[答案] A[解析] 由题图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin xdx ＝－cos x|π0＝－(cosπ－cos 0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率是S S 矩形OABC＝22π＝1π.二、填空题3．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．[分析] 本题考查了几何概型的应用，同时也考查了互斥、对立事件．[答案] 1316[解析] ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12＝116，∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.4．(文)在区域M ＝{(x ，y)|⎩⎨⎧0<x<20<y<4}内随机撒一把黄豆，落在区域N ＝{(x ，y)|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y<4y>xx>0}内的概率是________．[答案] 12[解析] 画出区域M ，N ，如图，区域M 为矩形OABC ，区域N 为图中阴影部分．S 阴影＝12×4×2＝4， 故所求概率P ＝44×2＝12.(理)已知m ∈[1,7]则函数f(x)＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在实数集R 上是增函数的概率为______．[答案] 13[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，依题意，知f ′(x )在R 上恒大于或等于0，所以Δ＝4(m 2－6m ＋8)≤0，得2≤m ≤4.又m ∈[1,7]，所以所求的概率为4－27－1＝13. 三、解答题5．投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标．(1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．[解析] (1)以0、2、4为横、纵坐标的点P 有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C 内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，∴所求概率为P ＝49.(2)∵区域M 的面积为4，而区域C 的面积为10π，∴所求概率为P ＝410π＝25π.6．(文)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解析] 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}， 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，故所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23. (理) 已知函数f (x )＝ax 2－2bx ＋a (a ，b ∈R )．(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程f (x )＝0恰有两个不相等实根的概率；(2)若b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．[解析](1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2,3}中任一个元素∴a，b取值的情况是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．即基本事件总数为16.设“方程f(x)＝0恰有两个不相等的实根”为事件A当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的充要条件为b>a且a不等于零当b>a且a≠0时，a，b取值的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)即A包含的基本事件数为3，∴方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的概率P(A)＝316.(2)由b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数则试验的全部结果构成区域{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，这是一个矩形区域，其面积S a＝2×3＝6.设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a >b }．其面积S b ＝6－12×2×2＝4，由几何概型的概率计算公式可得：方程f (x )＝0没有实根的概率P (B )＝S b S a＝46＝23.。

基础达标检测一、选择题1．已知随机变量X的分布列X －10 1P 0.50.30.2则DX＝()A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．0.2[答案] B[解析]EX＝(－1)×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，DX＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为()A．100 B．200C．300 D．400[答案] B[解析]本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的均值等．记“不发芽的种子数为X”，则X～B(1 000,0.1)，所以EX＝1 000×0.1＝100，则E(2X)＝2EX＝200，故选B.3．(2013·广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为( )X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望A.32 B ．2 C.52 D ．3[答案] A[解析] EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后乘余子弹的数目X 的均值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4[答案] C[解析] X ＝0,1,2,3，此时P (X ＝0)＝0.43，P (X ＝1)＝0.6×0.42，P (X ＝2)＝0.6×0.4，P (X ＝3)＝0.6，EX ＝2.376.故选C.5．设随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋X ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( )A ．1B ．2C ．4D ．不能确定[答案] C[解析] 因为方程x 2＋4x ＋X ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4X <0，得X >4， 即P (X >4)＝12＝1－P (X ≤4)， 故P (X ≤4)＝12，∴μ＝4. 6．已知随机变量X 的分布列为X123 P 0.5 xy若EX ＝158，则DX 等于( ) A.3364 B.5564 C.732 D.932[答案] B[解析] 由分布列的性质得x ＋y ＝0.5，又EX ＝158，所以2x ＋3y ＝118，解得x ＝18，y ＝38，所以DX ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎪⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎪⎫3－1582×38＝5564.二、填空题7．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次实验成功，则在10次实验中，成功次数X 的期望是________．[答案] 509[解析] 由题意一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X ～B (10，59)，所以EX ＝509.8．已知随机变量X 的分布列为X12345P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1则EX ＝[答案] 3 1.2[解析] EX ＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝0.1＋0.4＋1.2＋0.8＋0.5＝3.DX ＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2.9．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则DX ＝________.[答案] 916[解析] ∵X ～B (3，14)， ∴DX ＝3×14×34＝916. 三、解答题10．(2013·江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望．[解析](1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种．X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝2 7.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1， X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形； X ＝－1时，有10种情形． 所以X 的分布列为：X －2 －1 0 1 P1145142727EX ＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.能力强化训练一、选择题1．已知随机变量X 的分布列为X －1 0 1 P121316则下列式子中：①EX ＝－3；②DX ＝27；③P (X ＝0)＝13.正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]EX＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确；DX＝(－1＋1 3)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，故②不正确，③显然正确，应选C.2．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元．节后卖不出的鲜花以每束1.6元价格处理，根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是()X 200300400500P 0.200.350.300.15A.706元C．754元D．720元[答案] A[解析]节日期间预售的量：EX＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)．则期望的利润：η＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450.∴Eη＝3.4EX－450＝3.4×340－450＝706(元)．∴期望利润为706元． 二、填空题3．若p 为非负实数，随机变量X 的概率分布如下表，则EX 的最大值为________，DX 的最大值为________.X 0 1 2 P12－pp12[答案] 32 1 [解析]∵⎩⎨⎧0≤12－p <10≤p <1∴p ∈[0，12]．∴EX ＝p ＋1≤32，DX ＝－p 2－p ＋1≤1.4．抛掷一枚硬币，正面向上记1分，反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则总得分X 的均值EX ＝________.[答案] 6[解析] 抛掷4次可能出现的结果是四反、一正三反、二正二反、三正一反、四正 ，其中对应的分数分别为8、7、6、5、4所以X 的取值为4、5、6、7、8.设对应的概率的值分别为P 1、P 2、P 3、P 4、P 5，则X45678P P 1 P 2 P 3 P 4 P 5P 1＝C 44⎝⎛⎭⎪⎫124＝116，P 2＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123·12＝14，P 3＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P 4＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，P 5＝C 04⎝⎛⎭⎪⎫124＝116，EX ＝4×116＋5×14＋6×38＋7×14＋8×116＝6. 三、解答题5．(2013·陕西高考)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； (2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．[解析] (1)由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为C 11·C 12C 23＝23，观众乙未选中3号歌手的概率为C 34C 35＝25，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为23×25＝415.(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3.由(1)知，观众甲选中3号歌手的概率为23观众乙选中3号歌手的概率为1－25＝35，则观众丙选中3号歌手的概率也为1－25＝35，则P (X ＝0)＝(1－23)×(1－35)2＝475P (X ＝1)＝23×(1－35)2＋(1－23)×2×35×(1－35)＝2075＝415 P (X ＝2)＝23×2×35×(1－35)＋(1－23)×(35)2＝3375＝1125 P (X ＝3)＝23×(35)2＝1875＝625 则X 的分布列如下：X 0 1 2 3 P4754151125625EX ＝0×475＋1×415＋2×1125＋3×625＝2815.6．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分X 的分布列及均值EX . [解析] (1)P ＝34·(13)2＋14·C 12·13·23＝736； (2)X 的可能取值为0,1,2,3,4,5 P (X ＝0)＝14·(13)2＝136，高考资源网（ ）您身边的高考专家 版权所有@高考资源网（河北、湖北、辽宁、安徽、重庆）五地区 试卷投稿QQ 2355394696P (X ＝1)＝34·(13)2＝112，P (X ＝2)＝14C 1213·23＝19，P (X ＝3)＝34C 12·13·23＝13，P (X ＝4)＝14·(23)2＝19，P (X ＝5)＝34·(23)2＝13.所以X 的分布列为： X0 1 2 3 4 5 P 136 112 19 13 19 13EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112＝3512.。

基础达标检测一、选择题1．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有()A．C14C44种B．C14A44种C．C44种D．A44种[答案] B[解析]先排甲工程队有C14种，其他4个元素在4个位置上的排法为A44种，总方案为C14A44种，故选B.2．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9![答案] C[解析]本题考查捆绑法排列问题．由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法有3！种，三个家庭即(3！)3种，三个家庭又可全排列，因此共(3！)4种．3．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27[答案] A[解析]不相邻问题用插空法，8名学生先排有A88种，产生9个空，2位老师插空有A29种排法，所以最终有A88·A29种排法．故选A 4．(2014·福州质检)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．16种B．36种C．42种D．60种[答案] D[解析]若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法，由分类计数原理知共A34＋C23 A24＝60种方法．5．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328C．360 D．648[答案] B[解析]考查排列组合有关知识、特殊位置优先考虑．分两类：个位数为0和个位数非零．个位为0的有A 29＝72个个位不是0的有C 14·C 18·C 18＝64×4＝256个 ∴共有72＋256＝328个，∴选B.6．(2013·四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a 、b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20[答案] C[解析] 从1,3,5,7,9中取两个数计算lg a －lg b ＝lg a b .共有A 25＝20种取法．但是lg 31＝lg 93.lg 13＝lg 39.故共有20－2＝18个不同值．二、填空题7．(2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．[答案] 590[解析] 本题考查排列组合的运算问题．依题意，C 33C 14C 15＋C 23(C 24C 15＋C 14C 25)＋C 13(C 24C 25＋C 14C 35＋C 34C 15)＝20＋210＋360＝590.8．有5名男生3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．[答案]840[解析]由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A47＝840(种)．9．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为________．[答案]180[解析]本小题主要考查排列组合的基础知识．由题意知可分为两类，1)选“0”，共有C23C12C13A33＝108个，2)不选“0”，共有C23A44＝72个，∴由分类加法计数原理得72＋108＝180.三、解答题10．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？[解析](1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A34＝24种．(2)∵总的排法数为A 55＝120种，∴甲在乙的右边的排法数为12A 55＝60种．(3)解法1：每个学校至少有一个名额，则分去7个，剩余3个名额到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C 27×2＝42种；若分配到3所学校有C 37＝35种．∴共有7＋42＋35＝84种方法．解法2：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有C 69＝84种不同方法．∴名额分配总数为84种.能力强化训练一、选择题1．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484[答案] C[解析] 本题考查了利用组合知识来解决实际问题．C 316－4C 34－C 24C 112＝16×15×146－16－72＝560－88＝472. 另解：C 04C 312－3C 34＋C 14C 212＝12×11×106－12＋4×12×112＝220＋264－12＝472.解题时要注意直接求解与反面求解相结合，做到不漏不重．2．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的五位数的个数是( )A ．36B ．32C ．28D ．24[答案] A[解析] 本题考查排列与组合知识．当5排在两端时，有C 12C 12A 33＝24种排法；当5不排在两端，即放在3和4之间时，有A 22A 33＝12种排法．故共有24＋12＝36种排法．二、填空题3．(2013·新课标Ⅱ)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________.[答案] 8[解析] 由已知从1,2,3，…，n 中取出的两数之和等于5，有以下情况：(1,4)，(2,3)，从n 个正整数中任取两数有C 2n 种取法，由条件知，2C 2n ＝114，∴C 2n ＝28，∴n ＝8.4．(2014·天津模拟)将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案种数是________．[答案]24种[解析]将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C24A33种分配方案，其中甲同学分配到A班共有C23A22＋C13A22种方案．因此满足条件的不同方案共有C24A33－C23A22－C13A22＝24(种)．三、解答题5．在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？[解析]本题中的“双面手”有3人，仅能歌的2人，仅善舞的5人．把问题分为：(1)独唱演员从双面手中选，剩下的2个双面手和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔；(2)独唱演员不从双面手中选拔，即从只能唱歌的2人中选拔，这样3个双面手就可以和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔．故选法种数是C13C47＋C12C48＝245.6．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直到找到所有4件次品为止．(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？[解析](1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐个抽取测试．第2次测到第一件次品有4种抽法；第8次测到最后一件次品有3种抽法；第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A25种抽法；剩余4次抽到的是正品，共有A24A25A46＝86 400种抽法．(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A44种，检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4A34A16种；检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4A35A26＋A66种．由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为A44＋4A34A16＋4A35A26＋A66＝8 520.。

2015届高三一轮复习测试卷十一文科数学X围：等差数列班级:某某:座号:一、选择、填空（每题5分，共60分）1．一个数列{a n}中，a1＝3，a2＝6，a n＋2＝a n＋1－a n，那么这个数列的第5项为( )．A．6 B．－3 C．－12 D．－62．数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列( )．A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列3．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )．A．30° B．60° C．90° D．120°4．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )．A.3B．±3C．－33D．－ 35．在等差数列{a n}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( )．A．12 B．24 C．36 D．486．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5<a k<8，则k等于( )．A．9 B．8 C．7 D．67．在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝a n＋2，则该数列的通项a n＝________.8．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.9．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值X围是________．10．若数列{a n}的前n项和S n＝n2＋2n＋5，则a5＋a6＋a7＝________.11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则{a n}的通项a n＝________.12．在等差数列{a n}和{b n}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{a n＋b n}的前100项的和为________．二、解答题（每题20分，共40分）13．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .12．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且a 11＝－26，a 51＝54，求a 14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？2015届高三一轮复习测试卷十一 文科数学 时间：2014年9月23日班级:某某:座号:一、选择、填空（每题5分，共60分）1．一个数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项为( )．A ．6B ．－3C ．－12D ．－6解析 由递推关系式可求得a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3，a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3，∴a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6.答案 D2．数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )．A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2，∴{a n }是公差为2的等差数列．答案 A3．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( )．A ．30° B．60° C．90° D．120°解析 ∵A ，B ，C 为等差数列，∴B ＝A ＋C 2，即A ＋C ＝2B . 又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，即B ＝60°.答案 B4．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )．A.3B ．±3C ．－33D ．－ 3 解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案 D5．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( )．A ．12B ．24C ．36D ．48解析 由S 10＝10a 1＋a 102，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24. 答案 B6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于( )．A ．9B ．8C ．7D ．6解析 此数列为等差数列，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，由5<2k －10<8得到k ＝8.答案 B7．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则该数列的通项a n ＝________.解析 由a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)可得数列{a n }是公差为2的等差数列，又a 1＝1，所以a n ＝2n －1. 答案 2n －18．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________. 解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105，a 3＝35.∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99.∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.答案 19．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值X 围是________． 解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0解得：83<d ≤3. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 10．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋5，则a 5＋a 6＋a 7＝________.解析 a 5＋a 6＋a 7＝S 7－S 4＝39.答案 3911．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________. 解析 由a 6＝S 3＝12可得{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝2，故易得a n ＝2n .答案 2n12．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________．解析 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[a 1＋b 1＋a 100＋b 100]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000. 答案 10 000二、解答题（每题20分，共40分）13．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .解 (1)∵S n ＝n ·32＋n n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15， 整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4. (2)由S n ＝n a 1＋a n 2＝n －512＋12＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.12．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且a 11＝－26，a 51＝54，求a 14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？解 法一 由等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d 列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋10d ＝－26，a 1＋50d ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2. ∴a 14＝－46＋13×2＝－20.∴a n ＝－46＋(n －1)·2＝2n －48.令a n ≥0，即2n －48≥0⇒n ≥24.∴从第25项开始，各项为正数．法二 在等差数列{a n }中，根据a n ＝a m ＋(n －m )d ，∴a 51＝a 11＋40d ，∴d ＝140(54＋26)＝2. ∴a 14＝a 11＋3d ＝－26＋3×2＝－20.∴a n ＝a 11＋(n －11)d ＝－26＋2(n －11)，∴a n＝2n－48.显然当n≥25时，a n>0. 即从第25项开始各项为正数．。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 11-4数学归纳法课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3[答案] B[解析] ∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立 [答案] C[解析] ∵“若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故若n ＝4时命题成立，则n ＝5时命题也应成立，现已知n ＝5时，命题不成立，故n ＝4时，命题也不成立．[点评] 可用逆否法判断．3．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3，第二步证明由“k 到k＋1”时，左边应加( )A ．k 2B ．(k ＋1)2C ．k 2＋(k ＋1)2＋k 2D ．(k ＋1)2＋k 2 [答案] D[解析] 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋…＋22＋12，∴选D.4．(2013·安徽黄山联考)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2) [答案] B[解析] ∵n ＝k 为偶数，∴下一个偶数应为n ＝k ＋2，故选B.5．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2、a 3、a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3[答案] B[解析] a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 二、填空题6．如果不等式2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立，则n 0的最小值为________． [答案] 5[解析] 当n ＝1时，2>2不成立， 当n ＝2时，4>5不成立． 当n ＝3时，8>10不成立 当n ＝4时，16>17不成立 当n ＝5时，32>26成立当n ＝6时，64>37成立，由此猜测n 0应取5.7．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n (3n ＋1)2(n ∈N *)的第二步中，当n＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时等式左边的差等于________．[答案] 3k ＋2[解析] [(k ＋1)＋1]＋[(k ＋1)＋2]＋…＋[(k ＋1)＋(k ＋1)]－[(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )] ＝[(k ＋1)＋k ]＋[(k ＋1)＋(k ＋1)]－(k ＋1) ＝3k ＋2.8．(2012·温州一模)已知n ∈N *，设平面上的n 个椭圆最多能把平面分成a n 部分，则a 1＝2，a 2＝6，a 3＝14，a 4＝26，…，则a n ＝________.[答案] 2n 2－2n ＋2[解析] 观察规律可知a n －a n －1＝(n －1)×4，利用累加法可得a n ＝2n 2－2n ＋2.9．(2012·长春模拟)如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来的(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n ≥3，n ∈N *)个图形共有________个顶点．[答案] n (n ＋1)[解析] 当n ＝1时，顶点共有3×4＝12(个)，当n ＝2时，顶点共有4×5＝20(个)， 当n ＝3时，顶点共有5×6＝30(个)， 当n ＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，故第n －2图形共有顶点(n －2＋2)(n －2＋3)＝n (n ＋1)个． 三、解答题10．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． [解析] ∵f ′(x )＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，及a 2≥(a 1＋1)2－1得，a 2≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k －1，则当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n －1. 即1＋a n ≥2n .∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n <1.能力拓展提升11.已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n (n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． [解析] (1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为(13，13)．∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立，则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝b k 1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上． 12．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明． [解析] (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1， 所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3， 因为12(k ＋1)2－[12k 2－1(k ＋1)3]＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0， 所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *， 都有f (n )≤g (n )成立．13．(2013·南京一模)已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝1，当n ∈N *时，a n ＋2＝a n ＋1＋a n .求证：数列{a n }的第4m ＋1项(m ∈N *)能被3整除．[证明] (1)当m ＝1时，a 4m ＋1＝a 5＝a 4＋a 3＝(a 3＋a 2)＋(a 2＋a 1)＝(a 2＋a 1)＋2a 2＋a 1＝3a 2＋2a 1＝3＋0＝3.即当m ＝1时，第4m ＋1项能被3整除．故命题成立． (2)假设当m ＝k 时，a 4k ＋1能被3整除，则当m ＝k ＋1时，a 4(k ＋1)＋1＝a 4k ＋5＝a 4k ＋4＋a 4k ＋3＝2a 4k ＋3＋a 4k ＋2＝2(a 4k ＋2＋a 4k ＋1)＋a 4k ＋2 ＝3a 4k ＋2＋2a 4k ＋1.显然，3a 4k ＋2能被3整除， 又由假设知a 4k ＋1能被3整除． ∴3a 4k ＋2＋2a 4k ＋1能被3整除．即当m ＝k ＋1时，a 4(k ＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．由(1)和(2)知，对于n ∈N *，数列{a n }中的第4m ＋1项能被3整除． 14．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n－1n (n ＋1)2. [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1，∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k－1k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k－1k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)2，∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)得对任意n ∈N ＋有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n (n ＋1)2.考纲要求1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 补充说明归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，如果我们考察了某类对象中的一部分，由这一部分对象具有某种特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论，为不完全归纳．由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的，其正确性还需进一步证明；如果我们考察了某类对象中的每一个对象，而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳，由完全归纳法得出的结论一定是正确的，数学归纳法是一种完全归纳法．2．归纳、猜想与证明从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，即“归纳—猜想—证明”．这是我们归纳探究一些有规律性问题的一般步骤．3．在用数学归纳法证明不等式时，常根据题目的需要进行恰当的放缩，要注意既不能放缩的不到位，也不能放缩过了头．备选习题1．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下：1°当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即k2＋k<k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析]上述证明过程中，在由n＝k变化到n＝k＋1时，不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设．故选D.2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为()A．190 B．715C．725 D．385[解析] 由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n 项和，通项a n ＝4n －3.由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为n [1＋(4n －3)]2＝2n 2－n .则前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n6.当n ＝10时，总数为715.3．(2013·九江模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n >0(n ∈N *)．(1)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．(2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2). [解析] (1)分别令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 21＋1，2(a 1＋a 2)＝a 22＋2，2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 23＋3.∵a n >0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3. 猜想：a n ＝n . 由2S n ＝a 2n ＋n .①可知，当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)．②①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1.(ⅰ)当n ＝2时，a 22＝2a 2＋12－1，∵a 2>0，∴a 2＝2.(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ＝k ，那么当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝2a k ＋1＋a 2k －1＝2a k ＋1＋k 2－1⇒[a k ＋1－(k ＋1)][a k ＋1＋(k －1)]＝0， ∵a k ＋1>0，k ≥2，∴a k ＋1＋(k －1)>0， ∴a k ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时也成立． ∴a n ＝n (n ≥2)．显然n ＝1时，也成立，故对于一切n ∈N *，均有a n ＝n . (2)要证nx ＋1＋ny ＋1≤2(n ＋2)，只要证nx ＋1＋2(nx ＋1)(ny ＋1)＋ny ＋1≤2(n ＋2)． 即n (x ＋y )＋2＋2n 2xy ＋n (x ＋y )＋1≤2(n ＋2)，将x ＋y ＝1代入，得2n 2xy ＋n ＋1≤n ＋2， 即只要证4(n 2xy ＋n ＋1)≤(n ＋2)2， 即4xy ≤1.∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴xy ≤x ＋y 2＝12，即xy ≤14，故4xy ≤1成立，所以原不等式成立．[失误与防范] 证明不等式时，不能利用x ＋y ＝1作代换，找不到思路是解答本题中常出现的失误．证题时要注意把题设条件(特别是隐含条件)都找出来，当证题思路打不通时，看看有没有没用上的条件．4．(2013·北京房山摸底)已知曲线C ：y 2＝2x (y ≥0)，A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，…，A n (x n ，y n )，…是曲线C 上的点，且满足0<x 1<x 2<…<x n <…，一列点B i (a i,0)(i ＝1,2，…)在x 轴上，且△B i －1A i B i (B 0是坐标原点)是以A i 为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求A 1，B 1的坐标； (2)求数列{y n }的通项公式；(3)令b i ＝1a i ，c i ＝(2)－y i 2，是否存在正整数N ，当n ≥N 时，都有∑i ＝1nb i <∑i ＋1n c i ，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵△B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B 0A 1的方程为y ＝x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2x ，y >0，得x 1＝y 1＝2，即点A 1的坐标为(2,2)，进而得B 1(4,0)．(2)根据△B n －1A n B n 和△B n A n ＋1B n ＋1分别是以A n 和A n ＋1为直角顶点的等腰直角三角形可得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝x n ＋y n ，a n ＝x n ＋1－y n ＋1， 即x n ＋y n ＝x n ＋1－y n ＋1.(*)∵A n 和A n ＋1均在曲线C ：y 2＝2x (y ≥0)上，∴y 2n ＝2x n ，y 2n ＋1＝2x n ＋1.∴x n ＝y 2n 2，x n ＋1＝y 2n ＋12，代入(*)式得y 2n ＋1－y 2n ＝2(y n ＋1＋y n )． ∴y n ＋1－y n ＝2(n ∈N *)．∴数列{y n }是以y 1＝2为首项，2为公差的等差数列． ∴其通项公式为y n ＝2n (n ∈N *)．(3)由(2)可知，x n ＝y 2n2＝2n 2，∴a n ＝x n ＋y n ＝2n (n ＋1)．∴b i ＝12i (i ＋1)，c i ＝(2)－y i 2＝12i ＋1，∴∑i ＝1nb i ＝12(1×2)＋12(2×3)＋…＋12n (n ＋1)＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝12(1－1n ＋1)， ∑i ＝1n c i ＝122＋123＋…＋12n ＋1＝14(1－12n )1－12 ＝12(1－12n )． ∑i ＝1n b i －∑i ＝1nc i ＝12(1－1n ＋1)－12(1－12n )＝12(12n －1n ＋1)＝n ＋1－2n 2n ＋1(n ＋1). 当n ＝1时，b 1＝c 1不符合题意，当n ＝2时b 2<c 2符合题意，当n ＝3时，b 3<c 3，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数都有∑i ＝1nb i <∑i ＝1nc i ，(*)观察知，欲证(*)式成立，只需证明n ≥2时，n ＋1≤2n . 以下用数学归纳法证明，①当n ＝2时，左边＝3，右边＝4，左边<右边； ②假设n ＝k (k ≥2)时，k ＋1<2k ，当n ＝k ＋1时， 左边＝(k ＋1)＋1<2k ＋1<2k ＋2k ＝2k ＋1＝右边．∴对于一切大于或等于2的正整数，都有n ＋1<2n ， 即∑i ＝1nb i <∑i ＝1nc i 成立．综上，满足题意的n 的最小值为2.5．已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立． (1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论．[解析] (1)由a 2n ≤a n －a n ＋1得a n ＋1≤a n －a 2n .∵在数列{a n }中a n >0，∴a n ＋1>0， ∴a n －a 2n >0，∴0<a n <1，故数列{a n }中的任何一项都小于1. (2)解法1：由(1)知0<a n <1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎫a 1－122＋14≤14<12， 由此猜想：a n <1n.下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N 时猜想正确． ①当n ＝2时，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N )时，有a k <1k ≤12成立．那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝⎛⎭⎫a k －122＋14<－⎝⎛⎭⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2<k －1k 2－1＝1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确． 综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n <1n .解法2：由a 2n ≤a n －a n ＋1， 得0<a k ＋1≤a k －a 2k ＝a k (1－a k )，∵0<a k <1，∴1a k ＋1≥1a k (1－a k )＝1a k ＋11－a k ，∴1a k ＋1－1a k ≥11－a k >1. 令k ＝1,2,3，…，n －1得：1a 2－1a 1>1，1a 3－1a 2>1，…，1a n －1a n －1>1， ∴1a n >1a 1＋n －1>n ，∴a n <1n. 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋an 2x 的图象上． (1)求a 1、a 2、a 3的值，猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，(a 7，a 8，a 9，a 10)；(a 11)，(a 12，a 13)，(a 14，a 15，a 16)，(a 17，a 18，a 19，a 20)；(a 21)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }，求b 5＋b 100的值．[分析] (1)将点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 代入函数f (x )＝x ＋an 2x 中，通过整理得到S n 与a n 的关系，则a 1，a 2，a 3可求；(2)通过观察发现b 100是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80的等差数列，利用等差数列求和公式可求b 100.[解析] (1)∵点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在函数f (x )＝x ＋a n 2x的图象上， ∴S n n ＝n ＋a n 2n ，∴S n ＝n 2＋12a n . 令n ＝1得，a 1＝1＋12a 1，∴a 1＝2； 令n ＝2得，a 1＋a 2＝4＋12a 2，∴a 2＝4； 令n ＝3得，a 1＋a 2＋a 3＝9＋12a 3，∴a 3＝6. 由此猜想：a n ＝2n .用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立．②假设n ＝k (k ≥1)时猜想成立，即a k ＝2k 成立，则当n ＝k ＋1时，注意到S n ＝n 2＋12a n (n ∈N *)， 故S k ＋1＝(k ＋1)2＋12a k ＋1，S k ＝k 2＋12a k . 两式相减得，a k ＋1＝2k ＋1＋12a k ＋1－12a k ，所以a k ＋1＝4k ＋2－a k . 由归纳假设得，a k ＝2k ，故a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2－2k ＝2(k ＋1)．这说明n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 成立．(2)因为a n ＝2n (n ∈N *)，所以数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b 100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b 100＝68＋24×80＝1988，又b 5＝22，所以b 5＋b 100＝2010.[点评] 由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法．证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k与a k＋1或S k与S k＋1间的关系，使命题得证．。

高考数学一轮达标精品试卷(十一) 第11单元 排列组合、二项式定理(时量:1 150分)一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．1B ．324C ．7D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．3．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．10245．如果(n x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是A ．6810C xB ．510C xC ．468C xD ．611C x6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是 A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．B ．60个C ．1D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．10．在34(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于 A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋ ，定义nx M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－1函数199()x f x xM -=的奇偶性为A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有 A ．24种B ．36种C ．60种D ．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为 A ．8B ．9C ．10D ．1117．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有 A ．36种B ．42种C ．50种D ．72种18．若1021022012100210139),()()x a a x a x a x a a a a a a =+++⋯+++⋯+-++⋯+则 的值为 A ．0B ．2C ．－1D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在横线上．19．某电子器件的电路中，在A ，B 之间有C ，D ，E ，F 四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A ，B 间电路不通，则焊点脱落的不同情况有 种． f (x )＝x 5－5x 4＋10x 3－10x 2＋5x ＋1,则f (x )的反函数f －1(x )＝ ．21．正整数a 1a 2…a n …a 2n －2a 2n －1称为凹数，如果a 1>a 2>…a n ，且a 2n －1>a 2n －2>…>a n ，其中a i （i ＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a 1a 2a 3（a 1≠a 3）共有 个（用数字作答）． 22．如果a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，那么a 2－a 3＋a 4 ．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有 ．24．已知（x ＋1）6（ax －1）2的展开式中，x 3的系数是56，则实数a 的值为 ． 三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？ 26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x 2)n 展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含x 3的项； ⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.n n n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅参考答案一、选择题（每小题5分，共90分）：提示1．D 分五步：5×4×4×4×4＝1280．2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++= 3．C 46312.C -=4．B 分8类：3451001210012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为555561010T C x C x ==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯-13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0．14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。

基础达标检测一、选择题1．已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是( )A ．合格产品少于9件B ．合格产品多于9件C ．合格产品正好是9件D ．合格产品可能是9件 [答案] D[解析] 由概率的意义可知，抽出10件产品检查时，由于产品合格率为90%，所以合格产品可能为9件．2．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是( )A ．P (M )＝13，P (N )＝12B ．P (M )＝12，P (N )＝12C ．P (M )＝13，P (N )＝34D ．P (M )＝12，P (N )＝34 [答案] D[解析] P (M )＝12，P (N )＝1－12×12＝34.3．(文)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( )A ．必然事件B ．随机事件C ．不可能事件D ．无法确定[答案] B[解析] 抛一枚硬币，正面向上的次数是随机的，因此抛10次正面向上5次是随机事件．(理)在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为m n ，当n 很大时，P (A )与m n 的关系是( )A ．P (A )≈m nB ．P (A )<m nC ．P (A )>m nD ．P (A )＝m n[答案] A[解析] 随着试验次数n 的增大，频率m n 就越接近事件A 的概率．故选A.4．(文)从6名学生中选取4人参加数学竞赛，其中A 同学被选中的概率为( )A.12B.13C.35D.23 [答案] D[解析] 从6名学生中选4人，每人被选中的可能性都是46＝23，∴P (A )＝23.∴选D.(理)(2012·西安模拟)某班有60名学生，其中女生24人，现任选一人，则选中男生的概率为( )3660C.25D.35[答案] D [解析] 由题意知男生有60－24＝36(人)，故男生选中的概率为3660＝35.5．某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3的四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码之和等于5时中一等奖，等于4时中二等奖，等于3时中三等奖，则在一次抽奖中，中奖的概率为( )A.23B.13C.34D.14[答案] A[解析] 本题主要考查等可能事件的概率的求法和对立事件的概率公式的应用．从四个小球中任取两个小球的取法有6种，抽出的两个小球号码之和等于1的取法有1种：(0,1)；抽出的两个小球号码之和等于2的取法有1种：(0,2)．所以在一次抽奖中，中奖的概率为1－(16＋16)＝23.6．(2013·新课标Ⅰ)从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.1346[答案] B [解析] 由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数为2，所以所求概率为13.二、填空题7．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.[答案] 0.97 0.03[解析] 断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97；于是断头超过两次的概率P 2＝1－P 2＝1－0.97＝0.03.8．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是________．[答案] 0.8[解析] “甲获胜”记为事件A ，“两人下成和棋”记为事件B ，则易知A 与B 互斥，所以甲不输的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.3＋0.5＝0.8.9．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k ，k ＋1，其中k ＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)不小于14”为A ，则P (A )＝________.[答案]1 4[解析]本小题考查等可能事件的概率．从20张卡片中取一张共20种方法，其中数字和不小于14的共5张，∴P＝520＝1 4.三、解答题10．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解析](1)事件A，B，C的概率分别为11000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C.∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－(11 000＋1100)＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.能力强化训练一、选择题1．(文)口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.35，则摸出白球的概率是()A．0.2 B．0.3C．0.25 D．0.5[答案] C[解析]记事件A、B、C分别是为“摸出一球是红球”，“摸出一球是黄球”，“摸出一球是白球”，由已知得事件A、B、C互斥，且事件A＋B＋C是必然事件，∴P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，∴P(C)＝1－0.4－0.35＝0.25.(理)荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍．如图，假设现在青蛙在A叶上，则顺时针跳动一次停在C叶上的概率是()A.13B.23C.49D.12 [答案] A[解析] 设青蛙按顺时针方向跳的概率为P 1，按逆时针方向跳的概率为P 2，则有P 2＝2P 1，P 1＋P 2＝1，∴P 1＝13，P 2＝23，则顺时针跳动一次停在C 叶上的概率为P 1＝13.2．(2013·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910 [答案] D[解析] 以五位大学生选三人共有10种等可能选法，事件“甲或乙被录用”的对立事件为“甲、乙都未被录用”即“丙、丁、戊被录用”，只有一种等可能情况，所以P ＝1－110＝910.二、填空题3．(文)中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．[答案] 1928[解析] 设事件A 为“甲夺得冠军”，事件B 为“乙夺得冠军”，则P (A )＝37，P (B )＝14，因为事件A 和事件B 是互斥事件，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝37＋14＝1928.(理)在10枝铅笔中，有8枝正品和2枝次品，从中不放回地任取2枝，至少取到1枝次品的概率是________．[答案] 1745[解析] 解法1(直接法)：“至少取到1枝次品”包括：A ＝“第一次取次品，第二次取到正品”；B ＝“第一次取正品，第二次取到次品”；C ＝“第一、二次均取到次品”三种互斥事件，所以所求事件的概率为P (A )＋P (B )＋P (C )＝2×8＋8×2＋2×110×9＝1745. 解法2(间接法)：“至少取到1枝次品”的对立事件为“取到的2枝铅笔均为正品”，所以所求事件的概率为1－8×710×9＝1745. 4．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．[答案] 34[解析] 从四条线段中任取三条的所有情况有：(2,3,4)，(2,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)．其中能构成三角形的有(2,3,4)，(2,4,5)和(3,4,5)，所以P ＝34.三、解答题5．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下： 排队人数0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04(2)至少2人排队的概率．[解析] 记“没有人排队”为事件A ，“1人排队”为事件B ，“2人排队”为事件C ，A 、B 、C 彼此互斥．(1)记“至多2人排队”为事件E ，则P (E )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)记“至少2人排队”为事件D .“少于2人排队”为事件A ＋B ，那么事件D与事件A＋B是对立事件，则P(D)＝1－P(A＋B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.6．(2013·湖南高考)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 123 4Y 514845421米．(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：Y 51484542频数 4(2)48kg的概率．[解析](1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有@高考资源网（河北、湖北、辽宁、安徽、重庆）五地区 试卷投稿QQ 2355394696近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：Y51 48 45 42 频数 2 4 6 3所种作物的平均年收获量为51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46. (2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.。

第4讲 数学归纳法随堂演练巩固1.用数学归纳法证明2122+++…1221(n n n -+=-∈*N )的过程中,第二步假设当n =k 时等式成立,则当n =k +1时应得到( ) A.2122+++ (2112)221k k k --+++=-B.2122+++…11122212k k k k +-+++=-+C.2122+++…1112221k k k -++++=-D.2122+++…122212k k k k -++=-+ 【答案】 D【解析】 把n =k +1代入2122+++…1221n n -+=-,得1+2+22+…2212k k k +=-+.2.用数学归纳法证明”当n 为正奇数时n n x y ,+能被x +y 整除”的第二步是( )A.假设n =2k +1时正确,再推n =2k +3时正确(其中k ∈*N )B.假设n =2k -1时正确,再推n =2k +1时正确(其中k ∈*N )C.假设n =k 时正确,再推n =k +1时正确(其中k ∈*N )D.假设(1)n k k ≤≥时正确,再推n =k +2时正确(其中k ∈*N )【答案】 B【解析】 ∵n 为正奇数,∴21(n k k =-∈*N ),故选B.3.平面上原有k 个圆,它们相交所成圆弧共有f (k )段,若增加第k +1个圆与前k 个圆均有两个交点,且不过前k 个圆的交点,则前k 个圆的圆弧增加 段.( )A.2kB.kC.3kD.4k【答案】 A【解析】 增加的第k +1个圆与前k 个圆中的每一个均有两个交点,这两个交点中的每个点都将原来的一段圆弧分为两段,因此每个圆都要增加两段圆弧.故k 个圆共增加的圆弧段数为2k 段.4.在数列{n a }中113a ,=,且(21)n n S n n a =-,通过求234a a a ,,,猜想n a 的表达式为( ) A.1(1)(1)n a n n =-+ B.12(21)n a n n =+ C.1(21)(21)n a n n =-+ D.1(21)(22)n a n n =++ 【答案】 C 【解析】由11(21)3n n a S n n a =,=-,求得2111535a ==,⨯3a =4111135576379a =,==⨯⨯. 猜想1(21)(21)n a n n =-+.课后作业夯基基础巩固1.设11()1f n =+++…1(n +∈*N ),那么f (n +1)-f (n )等于( )A.132n + B.11331n n ++ C.113132n n +++ D.11133132n n n ++++ 【答案】 D【解析】 11()1f n =+++…1(n +∈*N ). f (n 111)123+=+++…1111313313(1)1n n n n ++++-++-. 因此,f (n 1111)()33132f n n n n +-=++++. 2.用数学归纳法证明11123+++…1(21n n n +<∈-N *,n >1)时,第一步应验证不等式( ) A.1122+< B.111223++< C.111323++< D.11113234+++< 【答案】 B【解析】 ∵n ∈N 1n *,>,∴n 取的第一个自然数为2. 左端分母最大的项为211321=-. 3.用数学归纳法证明:当(n +1)(n +2)…()21n n n +=⨯⨯3⨯…(21)n ⨯-时,从”k 到k +1”左边需增乘的代数式是( )A.2k +1B.211k k ++C.2(2k +1)D.221k k ++ 【答案】 C【解析】 当n =k 时,左边=(k +1)(k +2)…(k +k ),当n =k +1时,左边=[(k +1)+1][(k +1)+2]…[(k +1)+(k=(k +2)(k +3)…(k +k )(2k +1)(2k +2)=(k +1)(k +2)…()2(21)k k k +⋅+.∴增乘的代数式应为2(2k +1).4.某个命题与自然数n 有关,若(n k k =∈*N )时,该命题成立,那么可推得n =k +1时该命题也成立.现在已知当n =5时,该命题不成立,那么可推得( )A.当n =6时该命题不成立B.当n =6时该命题成立C.当n =4时该命题不成立D.当n =4时该命题成立【答案】 C【解析】 ”若n =5时命题不成立,则n =4时命题也不成立”的逆否命题为”若n =4时命题成立,则n =5时命题也成立”.而它的逆否命题为真命题.5.已知111()12f n n n n =+++++ (2)1n +,则( ) A.f (n )中共有n 项,当n =2时11(2)23f ,=+ B.f (n )中共有n +1项,当n =2时111(2)234f ,=++ C.f (n )中共有2n n -项,当n =2时11(2)23f ,=+D.f (n )中共有21n n -+项,当n =2时111(2)234f ,=++ 【答案】 D【解析】 总项数为21n n -+.6.k 棱柱过侧棱有f (k )个对角面,则k +1棱柱过侧棱的对角面的个数f (k +1)为( )A.f (k )+k -1B.f (k )+kC.f (k )+k +1D.f (k )+k -2【答案】 A【解析】 由k 棱柱到k +1棱柱,底面对角线增加了k -2+1=k -1条,∴增加了k -1个对角面.7.平面内原有k 条直线,它们的交点个数记为f (k ),则增加一条直线后,它们的交点个数最多为( )A.f (k )+1B.f (k )+kC.f (k )+k +1D.()k f k ⋅【答案】 B【解析】 平面内原有k 条直线,新增加一条直线后,它最多与原有的k 条直线各产生一个交点,即最多共增加k 个交点.增加一条直线,交点个数最多为f (k )+k 个.8.用数学归纳法证明”21a a +++ (2)11(11n n a a a a ++-+=≠-且n ∈*N )”,在验证n =1时,左边计算所得的结果是 .【答案】 21a a ++【解析】 首先观察等式两边的构成情况,它的左边是按a 的升幂顺序排列的,共有n +2项,因此当n =1时,共有3项,应该是21a a ++.9.设数列{n a }的前n 项和为n S ,且对任意的自然数n 都有:2(1)n n n S a S -=.通过计算123S S S ,,,猜想n S = .【答案】 1n n + 【解析】 由2211(1)S S -=,得112S =; 由22212(1)()S S S S -=-,得223S =; 由23323(1)()S S S S -=-,得334S =. 猜想:1n n S n =+. 10.在证明对任意正整数422135n n n ++,+能被14整除时,当n =k +1时422135n n ++,+变形后的有利于证明的代数式是 .【答案】 44221213(35)565k k k ++++-⨯【解析】 (1)当n =1时42216335358541461n n ++,+=+==⨯,能被14整除,命题成立;(2)假设当n =k 时命题成立,即422135k k +++能被14整除, 那么当n =k +1时4(1)22(1)1424212353355k k k k ++++++,+=⨯+⨯42421421421233535355k k k k ++++=⨯+⨯-⨯+⨯4422121423(35)5(35)k k k +++=+--44221213(35)565k k k +++=+-⨯,因422135k k +++能被14整除,56也能被14整除, 所以4(1)22(1)135k k +++++能被14整除,故命题成立. 由(1)(2)知,命题对任意正整数n 都成立.11.设平面内有n 条直线(3)n ≥,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数,则f (4)= ;当n >4时,f (n )= (用n 表示).【答案】 5 1(1)(2n n +-2) 【解析】 f (2)=0,f (3)=2,f (4)=5,f (5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.∴f (3)-f (2)=2,f (4)-f (3)=3,f (5)-f (4)=4,…f (n )-f (n -1)=n -1.累加,得f (n )-f (2)=2+3+4+…+2(1)(1)(2)2n n n +--=-. ∴1()(1)(2f n n n =+-2). 12.是否存在常数a b 、使等式22121335++⨯⨯…22n an n ++=对于一切n ∈*N 都成立.【解】 若存在常数a b 、使等式成立，将n =1,n =2代入上式,有1132421431522a b a b +⎧=⎪+⎨+⎪+=+⎩ ⇒ 14a b =,⎧⎨=,⎩ 即有2212++…22(21)(21)42n n n n n n ++=-++. 对于n 为所有正整数是否成立,再用数学归纳法证明.证明:(1)当n =1时, 左边211133==,⨯右边111+==, ∴等式成立.(2)假设当n =k 时成立,即22121335++⨯⨯…22(21)(21)42k k k k k k ++=,-++ 当n =k +1时,22121335++⨯⨯…22(1)(21)(21)(21)(23)k k k k k k +++-+++ 22(1)11()42(21)(23)21223k k k k k k k k k k k ++++=+=⋅++++++ 2(21)(2)12521212(23)212(23)k k k k k k k k k k ++++++=⋅=⋅++++ 2(1)(2)(1)(1)464(1)2k k k k k k +++++==,+++ 这就是说,当n =k +1时等式也成立.根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈*N 都成立.13.(1)用数学归纳法证明:22389(n n n +--∈*N )能被64整除. (2)证明凸n 边形的对角线的条数1()(3)2f n n n =-(4)n ≥. 【证明】 (1)①当n =1时4381964,-⨯-=,能被64整除,命题成立. ②假设当(1)n k k =≥时命题成立,即22389k k +--能被64整除. 则当n =k +1时2(1)22238(1)99(389)64k k k k k +++,-+-=--++64. 因为22389k k +--能被64整除,所以2(1)238(1)k k ++-+-9能被64整除.即当n =k +1时命题也成立.由①②可知,对任何n ∈*N 命题都成立.(2)①当n =4时1(4)4(43)22f ,=⨯⨯-=, 四边形有两条对角线,命题成立.②假设当n =k 时命题成立,即凸k 边形的对角线的条数1()(3)(4)2f k k k k =-≥. 当n =k +1时,凸k +1边形是在k 边形基础上增加了一边,增加了一个顶点1k A +,增加的对角线条数是顶点1k A +与不相邻顶点连线再加上原k 边形的1k A A ,共增加了对角线条数(k +1-3)+1=k -1. 所以f 1(1)(3)2k k k k +=-+-1 211(2)(1)(22k k k k =--=+-2) 1(1)[(2k k =++1)-3], 故当n =k +1时,命题也成立. 由①②可知,对于4n n ≥,∈*N 命题都成立.拓展延伸14.(2011湖南高考,理22)已知函数f (x )=3()x g x ,=x (1)求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数,并说明理由;(2)设数列{n a }(n ∈*N )满足1(0)a a a =>,1()n f a +=()n g a ,证明:存在常数M ,使得对于任意的n ∈*N ,都有n a M ≤.【解】 (1)由h (x )=3x x -[0)x ,∈,+∞,而h (0)=0,且h (1)=-1<0,h (2)60=,则x =0为h (x )的一个零点,且h (x )在(1,2)内有零点.因此,h (x )至少有两个零点. 方法一:h ′1221()312x x x -=--,记2()3x x ϕ=-1-112x -,则ϕ′31()64x x x -=+. 当(0)x ∈,+∞时ϕ,′(x )>0,因此()x ϕ在(0),+∞上单调递增,则()x ϕ在(0),+∞内至多只有一个零点.又因为(1)00ϕϕ>,<,则()x ϕ在1)内有零点.所以()x ϕ在(0),+∞内有且只有一个零点.记此零点为1x ,则当1(0)x x ∈,时1()()0x x ϕϕ,<=;当1()x x ∈,+∞时,()x ϕ>1()0x ϕ=.所以,当1(0)x x ∈,时,h (x )单调递减.而h (0)=0,则h (x )在1(0]x ,内无零点;当1()x x ∈,+∞时,h (x )单调递增,则h (x )在1()x ,+∞内至多只有一个零点.从而h (x )在(0),+∞内至多只有一个零点.综上所述,h (x )有且只有两个零点.方法二:由122()(1h x x x x -=--),记2()x x ϕ=-1-12x -,则ϕ′(x )=32122x x -+.当(0)x ∈,+∞时,ϕ′(x )>0,从而()x ϕ在(0),+∞上单调递增,则()x ϕ在(0),+∞内至多只有一个零点.因此h (x )在(0),+∞内也至多只有一个零点.综上所述,h (x )有且只有两个零点.(2)记h (x )的正零点为0x ,即x 300x =. ①当0a x <时,由1a a =,即10a x <.而3102a a x x ==30,因此20a x <.由此猜测:0n a x <.下面用数学归纳法证明.(ⅰ)当n =1时10a x ,<显然成立.(ⅱ)假设当(1)n k k =≥时0k a x ,<成立,则当n =k +1时,由3a k +1300k a x x =<=知10k a x +,<.因此,当n =k +1时10k a x +,<成立.故对任意的n ∈*N 0n a x ,<成立.②当0a x ≥时,由(1)知,h (x )在0()x ,+∞上单调递增.则()h a ≥0()0h x =,即3a a ≥从而3312a a a a ==≤,即2a ≤a ,由此猜测:n a a ≤. 下面用数学归纳法证明.(ⅰ)当n =1时1a a ,≤显然成立.(ⅱ)假设当(1)n k k =≥时k a a ,≤成立,则当n =k +1时,由3a k +1=3k a a a ≤+知1k a a +,≤.因此,当n =k +1时1k a a +,≤成立.故对任意的n ∈*N n a a ,≤成立.综上所述,存在常数M =max{0x a ,},使得对于任意的n ∈*N ,都有7。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-7二项式定理课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(2013·新课标Ⅱ理，5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 [答案]D[解析]因为(1＋x )5的二项展开式的通项为C r 5x r (0≤r ≤5，r ∈Z )，则含x 2的项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1.2．(2013·某某某某一模)二项式(x 2－13x )8的展开式中的常数项是( )A ．28B ．－7C ．7D ．－28 [答案]C[解析]二项式(x 2－13x )8展开式中的通项为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (－13x )r ＝(－1)r C r 82r －8x 8－4r 3，令8－4r 3＝0得r ＝6，∴常数项是(－1)6C 6822＝7，故选C.3．(2013·某某模拟)(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 [答案]B[解析]展开式中所有各项系数的和为(2－1)8＝1，其中x 4项的系数为1，∴选B. 4．在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )A ．第11项B ．第13项C ．第18项D ．第20项 [答案]D[解析](1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝5＋6×52＋7×6×53×2＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式a n ＝－2＋3(n－1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，n ＝20，故选D.5．(2013·某某模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( ) A ．－25 B ．－5 C ．5 D ．25[答案]B[解析](x 2＋x ＋1)(x －1)5＝(x 3－1)(x －1)4，其展开式中x 4项的系数为：－1＋C 34(－1)3＝－5.6．(2013·某某理，7)使(3x ＋1x x)n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案]B[解析](3x ＋1x x )n 展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r n (3x )n －r x －32r ＝C r n 3n －r xn －52r ，若展开式中含常数项，则存在n ∈N ＋，r ∈N ，使n －52r ＝0，∴r ＝2k ，k ∈N *，n ＝5k .故最小的n 值为5，故选B. 二、填空题7．(2013·日照模拟)已知关于x 的二项式(x ＋a 3x)n 的展开式中二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为________．[答案]2[解析]由条件得2n ＝32，∴n ＝5，∴T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·(a 3x )r ＝a r C r 5x 52－5r6 ，令52－5r 6＝0得r ＝3，∴a 3C 35＝80，∴a ＝2.8．若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3，则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝________. [答案]5[解析]法1：令x ＝－2得a 0＝－1. 令x ＝0得27＝a 0＋2a 1＋4a 2＋8a 3. 因此a 1＋2a 2＋4a 3＝14.∵C 03(2x )3·30＝a 3·x 3.∴a 3＝8.∴a 1＋2a 2＋3a 3＝14－a 3＝6. ∴a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6＝5.法2：由于2x ＋3＝2(x ＋2)－1，故(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝8(x ＋2)3－4C 13(x ＋2)2＋2C 23(x ＋2)－1， 故a 3＝8，a 2＝－12，a 1＝6，a 0＝－1. 故a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6－24＋24＝5.9．若a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x ＋1x )8展开式中含x 项的系数是________．[答案]1792[解析]a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0＝2. ∵(2x ＋1x )8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8(2x )8－r ·(1x )r ＝28－r ·C r 8·x 4－3r 2，令4－3r2＝1得，r ＝2，∴T 3＝26·C 28x ＝1792x ， 故所求系数为1792.10．(2013·某某模拟)已知等比数列{a n }的第5项是二项式(x －13x )6展开式的常数项，则a 3a 7＝________.[答案]259[解析](x －13x )6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(x )6－r ·(－13x )r ＝C r 6·(－13)r ·x 3－3r 2 .令3－3r 2＝0得r ＝2，因此(x －13x )6的展开式中的常数项是C 26·(－13)2＝53，即有a 5＝53， a 3a 7＝(a 5)2＝(53)2＝259.能力拓展提升一、选择题11．(2013·新课标Ⅰ理，9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案]B[解析]由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，又∵13a ＝7b ，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即137＝2m ＋1m ＋1.解得m ＝6.故选B. 12．(2013·某某一模)(3y ＋x )5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为( )[答案]D[解析]由题意得C 25(3y )5－2(x )2＝10，∴xy ＝1，x >0，y >0，∴y ＝1x ，x >0.故选D. 13．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值X 围是( )A ．(－∞，15)B ．[45，＋∞)C ．(－∞，－45] D ．(1，＋∞)[答案]D[解析]二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r＋1＝C r 9·x 9－r ·y r .依题意有⎩⎨⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )<0.由此解得x >1，即x 的取值X 围是(1，＋∞)，选D.14．(2013·某某某某质检)若(x 2－1x )n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．[答案]255[解析]T 6＝C 5n (x 2)n －5(－1x )5＝－C 5n x 2n －15，令2n －15＝1得，n ＝8， 令x ＝1，a 0＋a 1＋…＋a n ＝(－2)8＝256， 令x ＝0得，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝255.15．设a 为函数y ＝sin x ＋3cos x (x ∈R )的最大值，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案]－192[解析]y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值为a ＝2，二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 3－r ，令3－r ＝2，则r ＝1，∴x 2项的系数为(－1)1×25×C 16＝－192. 16．(2013·某某某某期末)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.[答案]364[解析]令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36； 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12；令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.考纲要求1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．赋值法：在某些二项式定理的有关求“系数和”的问题中，常用对字母取特值的方法解题．2．求二项展开式中的指定项要牢牢抓住通项公式，代入求解或列方程求解，要特别注意项数与指数都是整数．3．求展开式系数最大项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R *)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即为所求．对于(a －bx )x (a ，b ∈R ＋)，求展开式中系数最大的项，还要考虑符号．4．关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种解法． 备选习题1．(2013·某某江门调研)二项式(ax －36)3的展开式的第二项的系数为－32，则⎠⎛－2a x 2d x 的值为( )A ．3 B.73 C ．3或73 D ．3或－103[答案]C[解析]二项式(ax －36)3的展开式的第二项为 T 2＝C 13(ax )2(－36)＝－32a 2x 2， ∴a 2＝1，即a ＝±1.则⎠⎜⎛－2－1x 2d x ＝13x 3|－1－2＝73，⎠⎛1－2x 2d x ＝13x 3|1－2＝3，故选C. 2．(2012·某某，5)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 [答案]A[解析]本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝C 020********－C 12012522011＋C 22012522010＋…＋C 20112012×52×(－1)2011＋C 20122012×(－1)2012，若想被13整除需加12，∴a ＝12. 3．(2013·某某某某一模)已知(x －ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________．[答案]1或38[解析]由题意知C 48·(－a )4＝1120， 解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式中各项系数的和为(1－a )8＝1或38.4．(2013·某某师大附中月考)(x －1x )6的展开式中，系数最大的项为第________项．[答案]3或5[解析](x －1x )6的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3,5项系数最大．。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习11-3推理与证明课后强化作业新人教A版基础巩固强化一、选择题1．(文)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为() A．01B．43C．07D．49[答案] B[解析]75＝16807,76＝117649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，∵2011＝502×4＋3，∴72011与73末两位数字相同，故选B.(理)(2012·江西理，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199[答案] C[解析]本题考查了归纳推理能力，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故选C.[点评]解答本题时，可能因为分析不出右边数字与前两式的数字关系，从而无从下手，导致无法解题或错选，要注意训练观察分析、归纳概括能力．2．(2013·烟台质检)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提错误D．使用了“三段论”，但小前提错误[答案] C[解析]三段论的大前提必须是全称命题，此推理过程是三段论，但大前提是特称命题．3．(文)将正整数排成下表：则在表中数字2014出现在( ) A ．第44行第78列 B ．第45行第78列 C ．第44行第77列 D ．第45行第77列[答案] B[解析] 第n 行有2n －1个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2014,2025>2014，∴2014在第45行．2014－1936＝78，∴2014在第78列，选B.(理)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)[答案] B[解析] 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n ＋1，且每组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B.4．(2012·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x ＋a －x ，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )； ③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )． A ．①②B ．③④C．①④D．②③[答案] B[解析]经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(a x＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(a x＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B.5．(文)n个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2012到2014的箭头方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓[答案] A[解析]观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2012至2014，其位序应与012相同，故选A.(理)已知函数f(x)＝sin x＋e x＋x2010，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，则f2014(x)＝()A．sin x＋e x B．cos x＋e xC．－sin x＋e x D．－cos x＋e x[答案] C[解析]f1(x)＝f′(x)＝cos x＋e x＋2010x2009，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x＋e x＋2010×2009x2008，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x＋e x＋2010×2009×2008x2007，f4(x)＝f3′(x)＝sin x＋e x＋2010×2009×2008×2007x2006，由此可以看出，该函数前2项的和成周期性变化，周期T＝4；而f2014(x)＝f′2013(x)，此时其最后一项的导数已变为0.故求f2014(x)的值，只需研究该函数前2项和的变化规律即可，于是，f2014(x)＝f(2＋4×503)(x)＝－sin x＋e x.6．(文)定义某种新运算“⊗”：S ＝a ⊗b 的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝( )A ．2B ．1C ．3D ．4[答案] B[解析] 由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25,3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1. (理)若定义在区间D 上的函数f (x )，对于D 上的任意n 个值x 1、x 2、…、x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，则称f (x )为D 上的凹函数，现已知f (x )＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凹函数，则在锐角三角形ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．3 B.23 C ．3 3 D. 3[答案] C[解析] 根据f (x )＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凹函数，再结合凹函数定义得，tan A ＋tan B ＋tan C ≥3tan ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝3tan π3＝3 3.故所求的最小值为3 3.二、填空题7．(文)(2013·青岛模拟)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn )．若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．[答案]332[解析] 由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn )，∴sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C3＝3sin π3＝332.(理)设f (x )定义如表，数列{x n }满足x 1＝5，x n ＋1＝f (x n )，则x 2014的值为________.[答案] 1[解析] 由条件知x 1＝5，x 2＝f (x 1)＝f (5)＝6，x 3＝f (x 2)＝f (6)＝3，x 4＝f (x 3)＝f (3)＝1，x 5＝f (x 4)＝f (1)＝4，x 6＝f (x 5)＝f (4)＝2，x 7＝f (x 6)＝f (2)＝5＝x 1，可知{x n }是周期为6的周期数列，∴x 2014＝x 4＝1.8．(文)(2012·陕西文，12)观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为__________________． [答案] 1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析] 本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1， 所以第五个不等式为： 1＋122＋132＋142＋152＋162<116.(理)(2013·龙江模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72.则有________________．[答案] f (2n )≥n ＋22(n ≥2，n ∈N *)[解析] 因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)． 9．(文)(2013·山西四校联考)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. [答案] n n[解析] 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .(理)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________.[答案] b 2a2[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.将A ，B 代入双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中得，x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式相减得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝b 2a 2， 即k OM ·k AB ＝b 2a 2.三、解答题10．(文)已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证：a ＋12＋b ＋12≤2. [证明] 要证a ＋12＋b ＋12≤2， 只需证a ＋12＋b ＋12＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4，又a ＋b ＝1，故只需证(a ＋12)(b ＋12)≤1，只需证(a ＋12)(b ＋12)≤1，只需证ab ≤14.∵a >0，b >0,1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，故原不等式成立．(理)(2013·鹤岗模拟)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？ [解析] (1)证明：假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0， 这与公比q ≠0矛盾，所以数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)，得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．能力拓展提升一、选择题11．(文)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[答案] D[解析] 观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∵g (x )＝f ′(x )，∴g (－x )＝－g (x )，选D.(理)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a 1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a 1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a 1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a 2.对实数a 2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a 3.当a 3>a 1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则a 1的取值范围是( )A ．[－12,24]B ．(－12,24)C ．(－∞，－12)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[24，＋∞) [答案] D[解析] 因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的．故由题意得即4a 1＋36，a 1＋18，a 1＋36，14a 1＋18出现的机会是均等的，由于当a 3>a 1时甲胜，且甲胜的概率为34，故在上面四个表达式中，有3个大于a 1，∵a 1＋18>a 1，a 1＋36>a 1，故在其余二数中有且仅有一个大于a 1，由4a 1＋36>a 1得a 1>－12，由14a 1＋18>a 1得，a 1<24，故当－12<a 1<24时，四个数全大于a 1，当a 1≤－12或a 1≥24时，有且仅有3个大于a 1，故选D.12．(文)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a t＝7at ，(a 、t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、t 的值，a ＋t ＝( ) A ．48 B ．55 C ．41D ．30[答案] B[解析] 类比所给等式可知a ＝7，且7t ＋a ＝72·a ，即7t ＋7＝73，∴t ＝48.∴a ＋t ＝55. (理)在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“⊳”．定义如下：对于任意两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R ，i 为虚数单位)，当且仅当“a 1>a 2”或“a 1＝a 2且b 1>b 2时，z 1⊳z 2”．下列命题为假命题的是( )A ．1⊳i ⊳0B ．若z 1⊳z 2，z 2⊳z 3，则z 1⊳z 3C ．若z 1⊳z 2，则对于任意z ∈C ，z 1＋z ⊳z 2＋zD ．对于复数z ⊳0，若z 1 ⊳z 2，则z ·z 1⊳z ·z 2 [答案] D[解析] 对于A ，注意到1＝1＋0×i ，i ＝0＋1×i,0＝0＋0×i,1>0，则1⊳i,0＝0且1>0，则i ⊳0，因此有1⊳i ⊳0，A 正确．对于B ，由z 1⊳z 2得“a 1>a 2”或“a 1＝a 2且b 1>b 2”；由z 2⊳z 3得“a 2>a 3”或“a 2＝a 3且b 2>b 3”，于是有“a 1>a 3”或“a 1＝a 3且b 1>b 3”，即有z 1⊳z 3，选项B 正确．对于C ，设z ＝a ＋b i ，由z 1⊳z 2得“a 1>a 2”或“a 1＝a 2且b 1>b 2”，所以“a 1＋a >a 2＋a ”或“a 1＋a ＝a 2＋a 且b 1＋b >b 2＋b ”，即有z 1＋z ⊳z 2＋z ，因此选项C 正确．对于D ，取z ＝1－2i ⊳0，z 1＝3，z 2＝3i ，此时z ·z 1＝3－6i ，z ·z 2＝6＋3i ，z ·z 2⊳z ·z 1，因此选项D 不正确．综上所述，选D.二、填空题13．(文)(2013·山东省实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，则a 1＋a 2≤2”的证明过程：证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数a 1、a 2、…、a n 满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1时，你能得到的结论为____________________(不必证明)．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n(理)(2013·长沙模拟)已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．[答案] 2x －y －2＝0[解析] 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0.14．(文)黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．[答案] 503503603[解析] 按拼图的规律，第1个图有白色地砖3×3－1(块)，第2个图有白色地砖3×5－2(块)，第3个图有白色地砖3×7－3(块)，…，则第n 个图形中有白色地砖3(2n ＋1)－n 块，因此第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是503603.(理)(2013·福州模拟)对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S 1＝59；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n 步，所得图形的面积S n ＝(59)n .若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n 步，所得几何体的体积V n ＝________.[答案] (13)n[解析] 将棱长为1的正方体分割成3×3×3＝27个全等的小正方体，拿去分别与中间小正方体的六个面重合的6个小正方体和分别与中间小正方体有1条棱重合的12个小正方体，则余下的9个小正方体体积V 1＝13，第二步，将余下的9个小正方体作同样的操作，则余下的9×9个小正方体的体积V 2＝(13)2，故到第n 步，所得几何体的体积V n ＝(13)n . 15．(文)经过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为________．[答案] x 0x a 2＋y 0y b 2＝1 [解析] 过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程是把圆的方程中的x 2、y 2中的一个x 和一个y 分别用x 0、y 0代替，圆和椭圆都是封闭曲线，类比圆上一点的切线方程可以得到，过椭圆上一点P (x 0，y 0)的切线方程也是把椭圆方程中的x 2、y 2中的一个x 和一个y 分别用x 0、y 0代替，即得到切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1. 例如过椭圆x 24＋y 2＝1上一点(1，32)的切线方程为x 4＋32y ＝1，即x ＋23y －4＝0. (理)已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －am n －m；现已知等比数列{b n }(n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，类比上述结论，得出在等比数列{b n }中，b n ＋m ＝________.[答案] n －m b na m[解析] 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ，等差数列中的bn －am可以类比等比数列中的b n a m ，数列中的bn －am n －m可以类比等比数列中的n －m b n a m ， 故b m ＋n ＝n －m b n a m. 证明如下：设b n ＝b 1q n －1，则b n ＋m ＝b 1q n ＋m －1，∵b m ＝a ，b n ＝b ，∴b n a m ＝b n n b m m ＝(b 1q n －1)n (b 1q m －1)m＝b n －m 1·q n (n －1)－m (m －1)＝b n －m 1·q (n －m )(n ＋m －1)，∴n －m b n am ＝b 1q n ＋m －1＝b m ＋n . 三、解答题16．(文)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12⎣⎡⎦⎤sin (30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12(sin30°＋2α)＝34. (理)(2012·福建理，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解析] (1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34. (2)推广后的三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.考纲要求1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．4．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．5．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点． 补充说明1．推理的概念根据一个或几个已知的判断得出一个新判断，这种思维方式叫推理，推理一般有两部分组成：前提和结论．2．合情推理根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理形式，它是前提为真时，结论可能为真的推理，这种推理叫做叫合情推理，数学中常见的合情推理是归纳推理和类比推理．3．假言推理假言推理的规则是：“若p⇒q，p真，则q真”．它的本质是，通过验证结论的充分条件为真，从而判断结论为真．4．关系推理推理规则是：“如果aRb，bRc，则aRc”(其中R表示具有传递性的关系)，这种推理叫关系推理，如：由a∥b，b∥c，推出a∥c，若a≥b，b≥c，则a≥c，都是关系推理．5．直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理、法则等，直接推证结论的真实性．6．分析法的特点是：从“未知”看需知，逐步靠拢“已知”，其每步推理都是寻求使每一步结论成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件为止．综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其每步推理都是寻找使每一步结论成立的必要条件．7．反证法一般地，由证明p⇒q，转向证明綈q⇒r⇒…⇒t，而t与已知矛盾或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的证明方法叫做反证法．反证法是从否定命题的结论出发，通过正确、严密的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个新结论与已知矛盾，从而肯定原结论是正确的一种间接证明方法．这里所谓的“与已知矛盾”主要是指：(1)与假设自相矛盾．(2)与数学公理、定理、公式、法则、定义或已被证明了的结论矛盾．(3)与公认的简单事实矛盾．(4)使用反证法证明问题时，准确地做出反设(即否定结论)，是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：(5)用反证明证题时，要首先搞清证题的思路步骤；否定原命题时要准确无误；原命题的反面不只一种情形时，要逐个排除．备选习题1．(2013·临沂二模)对于大于或等于2的自然数n 的二次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，根据上述分解规律，对任意自然数n ，当n ≥2时，有____________．[答案] n 2＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)2．(2013·温州第一次适应性测试)已知cos π3＝12， cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， ……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和S n ＝10231024，则n ＝________.[答案] (1)cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)10 [解析] (1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n，故可以猜想出结论为cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)．(2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12[1－(12)n ]1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝10231024，解得n ＝10. 3．(2012·温州适应性测试)若数列{a n }的各项按如下规律排列：21，31，32，41，42，43，51，52，53，54，…，n ＋11，n ＋12，…，n ＋1n，…，则a 2012＝________. [答案] 6459[解析] 依题意得，将该数列中分子相同的项分成一组，第n 组中的数出现的规律是：第n 组中的数共有n 个，并且每个数的分子均是n ＋1，相应的分母依次由1增大到n .由于1953＝62×(62＋1)2<2012<63×(63＋1)2＝2016，又2012＝1953＋59，因此题中的数列中的第2012项应位于第63组中的第59个数，则题中的数列中的第2012项的分子等于64，相应的分母等于59，即a 2012＝6459.。

【解密高考】2015届高考数学大一轮总复习 11.2 二项式定理高效作业 理 新人教A 版时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·课标全国Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析：展开式中x 2项系数为C 25＋a C 15＝10＋5a,10＋5a ＝5，a ＝－1，故选D. 答案：D2．(2014·临汾百题精选)若(1－2x )2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x2009(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 200922009的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1D ．－2解析：本题考查二项式定理展开式．由已知，令x ＝12，则(1－2×12)2009＝C 02009＋a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝－1.故选C.答案：C3．(2013·陕西)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1x 6，x ＜0，－x ， x ≥0，则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析：f [f (x )]＝(1x－x )6，所以T 4＝C 36(1x)3(－x )3＝－20.答案：A4．(2014·盘锦一模)已知(x 2－ix)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为－314，其中i 2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为( )A ．第三项B ．第四项C ．第五项D ．第五项或第六项解析：T 3＝－C 2n x2n －5，T 5＝C 4n x2n －10.由－C 2n ∶C 4n ＝－314得n 2－5n －50＝0，∴n ＝10，又T r ＋1＝C r10(－i)r，据此可知当r ＝0,2,4,6,8,10时其系数为实数，且当r ＝4时，C 410＝210最大．故选C. 答案：C5．(2014·莱州模拟)如果(3x －13x2)n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21解析：令x ＝1，得(3－1)n＝128， 解得n ＝7，展开式第r ＋1项为令7－53r ＝－3，得r ＝6，T r ＋1＝3C 67·x －3＝21x －3，故选C. 答案：C6．(2014·大庆模拟)(x ＋3x )12的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有( )A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项解析：设展开式中第r ＋1项为T r ＋1，当r ＝0,6,12时x 的指数为正整数． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2013·四川)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)解析：含x 2y 3的项的系数为C 35＝10. 答案：108．(2014·济宁二模)已知(1＋ax )5＝1＋10x ＋bx 2＋…＋a 5x 5，则b ＝________. 解析：C 25(ax )2＝bx 2⇒10a 2＝b ，又∵C 15ax ＝10x ⇒a ＝2.∴b ＝40. 答案：409．(2014·浙江模拟)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.解析：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则a 3＝C 25(－1)2＝10.答案：1010．(2014·江西红色六校联考)设二项式(x －a x)6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是______．答案：2三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(2014·蚌埠月考)若(1－2x )2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x2010(x ∈R )．求(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2010)的值． 解：令x ＝0，则得a 0＝(1－2×0)2010＝1.令x ＝1，则得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＝(1－2×1)2010＝1.∴(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2010) ＝2009a 0＋(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010) ＝2009×1＋1＝2010.12．(2014·邹城模拟)已知(12＋2x )n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解：(1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0. ∵n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数＝C 37(12)423＝352，T 5的系数＝C 47(12)324＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T 8.∴T 8的系数＝C 714(12)727＝3432.(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0. ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大， ∵(12＋2x )12＝(12)12(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k124k≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.∴9.4<k <10.4，∴k ＝10. ∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·(12)2·210·x 10＝16896x 10.13．(2014·汕头二模)若在(x ＋124x)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．解：(x ＋124x)n 的展开式中前三项是T 1＝C 0n (x )n ，T 2＝C 1n (x )n －1·124x，T 3＝C 2n (x )n－2(124x)2，其系数分别是C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，由2·12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝1或n ＝8，n ＝1不合题意应舍去，故n ＝8.当n ＝8时，T r ＋1＝C r 8(x )8－r·(124x)r＝C r8·12r ·，T r ＋1为有理项的充要条件是16－3r4∈Z ，所有r 应是4的倍数，故r 可为0、4、8，故所有有理项为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习11-1两个计数原理课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种[答案]D[解析]因为每人均有两种选择方法，所以不同的报名方法有25＝32种．2．从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为() A．6种B．5种C．3种D．2种[答案]B[解析]有3＋2＝5种．3．(2012·全国大纲)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种B．360种C．480种D．720种[答案]C[解析]本题考查了排列问题的应用．由题意，甲可从4个位置选择一个，其余元素不限制，所以所有不同次序共有A14A55＝480.利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论．4．某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字(如2 816)的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有()A．90个B．99个C．100个D．112个[答案]C[解析]由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有10×10＝100(个)．5．(2013·某某高考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．10[答案]B[解析]①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根，∴(a，b)的取值有4个．②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1.a＝－1时，b的取值有4个，a＝1时，b的取值有3个，a＝2时，b的取值有2个．∴(a，b)的取法有9个．综合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13个．6．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A．10种B．20种C．36种D．52种[答案]A[解析]分为两类：①1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C14＝4种放球方法；②1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C24＝6种放球方法．∴共有C14＋C24＝10种不同的放球方法．二、填空题7．(原创题)美女换装游戏中，有5套裙子，4双鞋子，3顶帽子，要求裙、鞋、帽必须且只能各选择一件，则有________种装扮方案．[答案]60[解析]根据分步计数原理知，有5×4×3＝60种．8．8名世界网球顶级选手在某某大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3,4名，大师赛共有________场比赛．[答案]16[解析]小组赛共有2C24场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4场比赛；根据分类加法计数原理共有2C24＋4＝16场比赛．9．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答) [答案]120[解析]由已知条件可得第1块地有C12种种植方法，则第2～4块地共有A35种种植方法，由分步乘法计数原理可得，不同的种植方案有C12A35＝120种．三、解答题10．乒乓球队的10名队员有3名主力队员，派5名参加比赛，按出场次序，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排的种数．[解析]解法1：按出场次序逐一安排．第一位置队员的安排有3种方法；第二位置队员的安排有7种方法；第三位置队员的安排有2种方法；第四位置队员的安排有6种方法；第五位置队员的安排只有1种方法．由分步计数原理，得不同的出场安排种数为3×7×2×6×1＝252.解法2：按主力与非主力，分两步安排．第一步安排3名主力队员在第一、三、五位置上，有A33种方法；第二步安排7名非主力队员中的2名在第二、四位置上，有A27种方法．由分步计数原理，得不同的出场安排种数为A33×A27＝252.能力强化训练一、选择题1．如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连起来，则不同的修筑方法共有()A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种 [答案]C[解析]修筑方案可分为两类，一类是“折线型”，用三条公路把四个村庄连在一条曲线上(如图(1)，A －B －C －D )，有12A 44种方法；另一类是“星型”，以某一个村庄为中心，用三条公路发散状连接其他三个村庄(如图(2)，A －B ，A －C ，A －D )，有4种方法．共有12＋4＝16种方法．2．(2014·某某模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色共有( )A ．400种B ．460种C ．480种D ．496种 [答案]C[解析]从A 开始，有6种方法，B 有5种，C 有4种，D 有4种，∴不同涂法有6×5×4×4＝480(种)，故选C.二、填空题3．椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆有________个．[答案]20[解析]m <n ，根据m 的取值分为5类：m ＝1时，有6个椭圆；m ＝2时，有5个椭圆；m ＝3时，有4个椭圆；m ＝4时，有3个椭圆；m ＝5时，有2个椭圆．共有6＋5＋4＋3＋2＝20(个)．4．(2013·某某高考)将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．[答案]480[解析]A 、B 两个字母与C 的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占13，∴排法有23A 66＝480.三、解答题5．已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )表示平面上的点(a ，b ∈M )，问 (1)P 可表示平面上多少个不同的点？ (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P 可表示多少个不在直线y ＝x 上的点？[分析] 完成“确定点P ”这件事需依次确定横、纵坐标，应用分步乘法计数原理． [解析](1)确定平面上的点P (a ，b )可分两步完成：第一步确定a 的值，共有6种确定方法；第二步确定b 的值，也有6种确定方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6×6＝36个．(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a ，由于a <0，所以有3种确定方法； 第二步确定b ，由于b >0，所以有2种确定方法． 由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2＝6.(3)点P (a ，b )在直线y ＝x 上的充要条件是a ＝b .因此a 和b 必须在集合M 中取同一元素，共有6种取法，即在直线y ＝x 上的点有6个．由(1)得不在直线y ＝x 上的点共有36－6＝30个． [点评] 利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．6.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有多少种？[分析]根据A球、B球所在位置进行分类讨论．[解析]根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E有A33＝6种不同的放法，则根据分步计数原理，此时有A33＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E有A33＝6种不同的放法，则根据分步计数原理，此时有A33＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E有A33种不同的放法，根据分步计数原理，此时有A13A33＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．。

第3讲 三角函数的图象及性质基础巩固1.下列函数中,周期为π2的是( ) A.y=sin x2 B.y=sin 2x C.y=|sin x| D.y=sin 4x答案:D2.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<π2,则f (x )的最大值、最小值分别为( )A . 和1B .2和1C .2和D .2和答案:A解析:f(x)=(1+tan x)cos x=cos x+sin x= 2sin x +π4 .∵0≤x<π2,∴π4≤x+π4<3π4.∴1≤f(x)≤ 2.3.函数y=2sin π6-2x (x ∈[0,π])的单调递增区间是( ) A. 0,π3 B. π12,7π12 C. π3,5π6 D. 5π6,π答案:C解析:∵y=2sin π6-2x =-2sin 2x -π6 ,∴y=2sin π6-2x 的单调递增区间实际上是y=2sin 2x -π6 的单调递减区间. 令2k π+π2≤2x-π6≤2k π+3π2(k ∈Z ), 解得k π+π3≤x ≤k π+5π6(k ∈Z ).令k=0,得π3≤x ≤5π6. 又∵x ∈[0,π],∴π3≤x ≤5π6,即函数y=2sin π6-2x (x ∈[0,π])的单调递增区间为 π3,5π6 . 4.y=sin x -π4 的图象的一个对称中心是( ) A.(-π,0) B. -3π4,0C. 3π2,0 D. π2,0答案:B解析:∵y=sin x 的对称中心为(k π,0)(k ∈Z ),∴令x-π4=k π(k ∈Z ),x=k π+π4(k ∈Z ),由k=-1,x=-3π4,得y=sin x -π4 的一个对称中心是 -3π4,0 .5.函数f(x)=sin 2x -π4 在区间 0,π2 上的最小值为( ) A .-1 B .- 22C . 22D .0答案:B解析:因为x ∈ 0,π2 ,所以2x-π4∈ -π4,3π4 ,当2x-π4=-π4,即x=0时,f (x )取得最小值- 22. 6.已知函数f(x)=2sin (ωx+φ),x ∈R ,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=π2时,f (x )取得最大值,则( ) A .f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B .f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C .f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D .f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 答案:A解析:∵f(x)的最小正周期为6π,且ω>0,∴ω=13.∵当x=π2时,f (x )有最大值,∴13×π2+φ=π2+2kπ(k∈Z),φ=π3+2kπ(k∈Z).∵-π<φ≤π,∴φ=π3.∴f(x)=2sin x3+π3,由此函数图象易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是增函数.7.(2013·江苏,1)函数y=3sin2x+π4的最小正周期为. 答案:π解析:函数y=3sin2x+π4的最小正周期T=2π2=π.8.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈0,π2时,f(x)=sin x,则f5π3的值为.答案:32解析:f5π3=f-π3=fπ3=sinπ3=32.9.f(x)是以5为周期的奇函数,f(-3)=4且cosα=12,则f(4cos 2α)=. 答案:-4解析:∵4cos 2α=4(2cos2α-1)=42×14-1=-2,又T=5,且f(x)为奇函数,∴f(4cos 2α)=f(-2)=f(-2+5)=f(3)=-f(-3)=-4.10.已知函数f(x)=2sin(π-x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-π6,π2上的最大值和最小值.解:(1)∵f(x)=2sin(π-x)cos x=2sin x cos x=sin 2x, ∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵-π6≤x ≤π2,∴-π3≤2x ≤π,则- 32≤sin 2x ≤1.∴f(x)在区间 -π6,π2 上的最大值为1,最小值为- 32. 11.(1)求函数y=2sin 2x +π3 -π6<x <π6 的值域; (2)求函数y=2cos 2x+5sin x-4的值域. 解:(1)∵-π6<x<π6,∴0<2x+π3<2π3.∴0<sin 2x +π3 ≤1.∴y=2sin 2x +π3 的值域为(0,2]. (2)y=2cos 2x+5sin x-4 =2(1-sin 2x)+5sin x-4 =-2sin 2x+5sin x-2 =-2 sin x -54 2+98. ∴当sin x=1时,y max =1; 当sin x=-1时,y min =-9.∴y=2cos 2x+5sin x-4的值域为[-9,1].12.已知a>0,函数f(x)=-2a sin 2x +π6 +2a+b ,当x ∈ 0,π2 时,-5≤f (x )≤1. (1)求常数a,b 的值;(2)设g(x)=f x +π2 且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间. 解:(1)∵x ∈ 0,π2 ,∴2x+π6∈ π6,7π6 .从而sin 2x +π6 ∈ -12,1 , ∵a>0,∴-2a sin 2x +π6 ∈[-2a ,a ]. 则f(x)∈[b,3a+b].又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,故a=2,b=-5. (2)由(1)得a=2,b=-5, 从而f(x)=-4sin 2x +π6 -1, g(x)=f x +π2 =-4sin 2x +7π6-1=4sin 2x +π6 -1, 又由lg g(x)>0得g(x)>1, 即4sin 2x +π6 -1>1, 从而sin 2x +π6 >12,则有2k π+π6<2x+π6<2k π+5π6,k ∈Z ,其中当2k π+π6<2x+π6≤2k π+π2,k ∈Z 时,g(x)单调递增,即k π<x ≤k π+π6,k ∈Z , 故g(x)的单调递增区间为 k π,k π+π6 ,k ∈Z . 又∵当2k π+π2<2x+π6<2k π+5π6,k ∈Z 时,g(x)单调递减, 即k π+π6<x<k π+π3,k ∈Z .故g(x)的单调递减区间为 k π+π6,k π+π3 ,k ∈Z .拓展延伸13.已知函数f(x)=sin 2x+a cos 2x(a ∈R ,a 为常数),且π4是函数y=f (x )的零点. (1)求a 的值,并求函数f(x)的最小正周期;(2)若x ∈ 0,π2 ,求函数f (x )的值域,并写出f (x )取得最大值时x 的值.解:(1)由于π4是函数y=f (x )的零点,即x=π4是方程f (x )=0的解, 从而f π4 =sin π2+acos 2π4=0, 则1+12a=0,解得a=-2.所以f(x)=sin 2x-2cos 2x=sin 2x-cos 2x-1, 则f(x)= 2sin 2x -π4 -1.所以函数f(x)的最小正周期为π. (2)由x ∈ 0,π2 ,得2x-π4∈ -π4,3π4 , 则sin 2x -π4 ∈ - 22,1 ,则-1≤ 2sin 2x -π4 ≤ 2, -2≤ 2x -π4 -1≤ 2-1, 所以函数f(x)的值域为[-2, 2-1]. 当2x-π4=2k π+π2(k ∈Z ),即x=k π+3π8(k ∈Z )时,f(x)有最大值, 又x ∈ 0,π2 ,故k=0,x=3π8时, f(x)有最大值 2-1.。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 11-1算法与框图课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．阅读如图的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，则输入的实数x 的取值X围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,2]D ．[2，＋∞) [答案]B[解析]若x ∉[－2,2]，则f (x )＝2∉[14，12]，不合题意；当x ∈[－2,2]时，f (x )＝2x ∈[14，12]，得x ∈[－2，－1]，故选B.2．(文)如图是求x 1，x 2，…，x 10的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S *(n ＋1)B ．S ＝S *x n ＋1C ．S ＝S *nD ．S ＝S *x n [答案]D[解析]由循环结构的特点知图中空白的处理框中表示前10个数的连乘积，故选D. (理)下图是求样本x 1，x 2，…，x 10的平均数x －的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x nnC ．S ＝S ＋nD ．S ＝S ＋1n[答案]A[解析]n ＝n ＋1控制循环，n ＝10时，跳出循环，w ＝s n ，即w ＝s10，据题意w ＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，即x －，∴处理框中应是求x 1，x 2，…，x 10的和S ，故应填S ＝S ＋x n .3．(文)(2013·某某)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.34B.16C.1112D.2524 [答案]C[解析]第一次循环，s ＝0＋12＝12，n ＝4；第二次循环，s ＝12＋14＝34，n ＝6；第三次循环，s ＝34＋16＝1112，n ＝8.因为8<8不成立，故输出s ＝1112. (理)(2013·某某一模、武昌区联考)阅读程序框图，输出的结果s 的值为( )A ．0 B.32 C.3D ．－32[答案]C[解析]本题是求数列{sin n π3}前2013项的和，数列是32，32，0，－32，－32，0，32，32，0，－32，－32，0，…具有周期性，周期为6且每个周期内6项的和为0，故前2013项求和得32＋32＋0＝ 3. 4．(文)如图所示，程序框图的功能是( )A ．求数列{1n }的前10项和(n ∈N *)B ．求数列{12n }的前10项和(n ∈N *)C ．求数列{1n }的前11项和(n ∈N *)D ．求数列{12n }的前11项和(n ∈N *)[答案]B[解析]依题意得，第一次运行，S ＝12，n ＝4，k ＝2；第二次运行，S ＝12＋14，n ＝6，k ＝3……第九次运行，S ＝12＋14＋…＋118，n ＝20，k ＝10；第十次运行，S ＝12＋14＋…＋118＋120，n ＝22，k ＝11.此时结束循环，故程序框图的功能是计算数列{12n}的前10项和，选B.(理)(2012·某某四校联考)执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p 的取值X 围是( )A.78<p ≤1516B ．p >1516 C.78≤p <1516D.34＜p ≤78 [答案]D[解析]依题意得，数列{12n }的前2项和小于p ，前3项和不小于p .又数列{12n }的前2、3项和分别等于12＋14＝34、12＋14＋18＝78，因此p 的取值X 围是34<p ≤78，选D.5．(2013·潍坊模拟)运行如图所示的程序框图，若输出结果为137，则判断框中应该填的条件是( )A ．k >5B ．k >6C ．k >7D ．k >8 [答案]B[解析]据题意令S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1k ×(k ＋1)＝1＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1k －1k ＋1)＝2－1k ＋1，令2－1k ＋1＝137，解得k ＝6，故判断框应填入k >6.6．(2013·豫西五校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的λ是( )A ．－4B ．－2C ．0D ．－2或0 [答案]B[解析]λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，依题意，若λa ＋b 与b 垂直，则有(λa ＋b )·b ＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝0，解得λ＝－2；若λa ＋b 与b 平行，则有－2(λ＋4)＝4(－3λ－2)，解得λ＝0.结合题中的程序框图，输出的λ是－2，选B.[点评] 本题中条件虽然是满足平行或垂直关系时，输出λ，但因为λ初值为－4，λ＝λ＋1，所以当λ＝－2时，两向量垂直，输出λ＝－2后即结束循环．二、填空题7．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x ≥2，2－x ， x <2.如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．[答案]x <2，y ＝log 2x[解析]根据分段函数解析式及程序框图知，当满足x <2时，执行y ＝2－x ，故判断框中条件为x <2，不满足条件x <2，即x ≥2时，y ＝log 2x ，故②中为y ＝log 2x .8．(2013·某某模拟)执行如图所示的程序框图，若输入x ＝10，则输出y 的值为________．[答案]－54[解析]当x ＝10时，y ＝4，此时|y －x |＝6>1，不合条件，当x ＝4时，y ＝1，不满足|y －x |<1，故重新赋值x ＝1，此时y ＝－12，仍不满足|y －x |<1，再赋值x ＝－12，此时y ＝－54，∵|(－54)－(－12)|＝34<1成立，∴跳出循环，输出y 的值－54后结束．9．(2013·某某)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．[答案]9[解析]a＝1，b＝2，第一次循环，a＝a＋b＝1＋2＝3；第二次循环，a＝a＋b＝3＋2＝5；第三次循环，a＝a＋b＝5＋2＝7；第四次循环，a＝a＋b＝7＋2＝9.因为9>8，所以输出a＝9.10．(2012·某某理，13)执行如下图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为________．[答案]8[解析]程序运行过程如下：开始→n ＝8，i ＝2，k ＝1，S ＝1，作判断i <n 成立，执行循环体，S ＝11×(1×2)＝2，i＝2＋2＝4，k ＝1＋1＝2，再判断i <n 仍成立，再执行循环体，S ＝12×(2×4)＝4，i ＝4＋2＝6，k ＝2＋1＝3，此时，i <n 仍然成立，第三次执行循环体，S ＝13×(4×6)＝8，i ＝6＋2＝8，k ＝3＋1＝4，此时不满足i <n ，跳出循环，输出S 的值8后结束.能力拓展提升一、选择题11．(文)如果执行如图的程序框图，那么输出的值是( )A ．2014B ．－1 C.12D ．2 [答案]B[解析]程序运行过程依次为：k ＝0<2014→S ＝11－2＝－1，k ＝1<2014→S ＝11－(－1)＝12，k ＝2<2014→S ＝11－12＝2，k＝3，故S 的值依次循环取值－1，12，2，周期为3，因为2014＝671×3＋1，故最后输出结果为S ＝－1.[点评] 遇到这种数值较大，循环次数较多的情形，可将数值变小，∵2014能被3整除，故可取k <6，k <3来检验输出结果．你能指出条件改为k <32014时输出的结果吗？(理)(2013·某某质检)按如图所示的算法框图运算，若输出k ＝2，则输入x 的取值X 围是( )A ．19≤x <200B ．x <19C ．19<x <200D ．x ≥200 [答案]A[解析]由框图可知，输出k ＝2，需满足⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋10<2010，10(10x ＋10)＋10≥2010， 解得19≤x <200，故选A.12．(文)(2013·某某一模)若执行如下图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x －＝2，则输出的数等于( )A.13B.23C.23D ．1 [答案]C[解析]算法的功能是求解三个数的方差，输出的是S ＝(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)23＝23.(理)(2012· 某某文，5)下图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入( )A ．q ＝N MB ．q ＝MNC ．q ＝N M ＋ND ．q ＝MM ＋N[答案]D[解析]本题考查了循环结构的程序框图在实际问题中的应用．由框图知M 为及格人数，N 为不及格人数，所以及格率q ＝MM ＋N.[点评] 对于在空白框中填写判断条件或处理计算语句，一定要结合实际的背景要求，同时要养成再检验一遍的习惯．二、填空题13．(文)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为________．[答案]138[解析]运行过程为：x ＝1，y ＝1，z ＝2→x ＝1，y ＝2，z ＝3→x ＝2，y ＝3，z ＝5→x ＝3，y ＝5，z ＝8→x ＝5，y ＝8，z ＝13→x ＝8，y ＝13，z ＝21→输出y x ＝138.(理)(2012·某某理，12)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是________．[答案]1120[解析]这是一个循环结构程序框图，控制循环的条件i >5，由于i 初值为1，故需循环5次．开始→T ＝1，i ＝1，T ＝11＝1，i ＝1＋1＝2，此时i >5不成立，第二次执行循环体，T ＝12，i ＝2＋1＝3，i >5仍不成立，第三次执行循环体，T ＝123＝16，i ＝3＋1＝4，i >5仍不成立，第四次执行循环体T ＝164＝124，i ＝4＋1＝5，i >5仍不成立，第五次执行循环体，T ＝1245＝1120，i ＝5＋1＝6，i >5成立，跳出循环，输出T 的值1120后结束．14．(文)(2013·某某调研)阅读如图所示的程序框图．若输入n ＝5，则输出k 的值为________．[答案]3[解析]执行程序框图可得，n ＝5，k ＝0；n ＝16，k ＝1；n ＝49，k ＝2；n ＝148，k ＝3；n ＝148×3＋1>150，循环结束，故输出的k 值为3.(理)(2013·某某调研)执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是________．[答案]3018[解析]由题意，a 1＝1×cos π2＋1＝1，a 2＝2×cos 2π2＋1＝－1，a 3＝3×cos 3π2＋1＝1，a 4＝4×cos 4π2＋1＝5，a 5＝5×cos 5π2＋1＝1，a 6＝6×cos 6π2＋1＝－5，a 7＝7×cos 7π2＋1＝1，a 8＝8×cos 8π2＋1＝9，…，a 2010＝－2009，a 2011＝1，a 2012＝2013，故输出的S ＝a 1＋a 2＋…＋a 2012＝503－(1＋5＋9＋…＋2009)＋503＋(5＋9＋13＋…＋2013)＝503－1＋503＋2013＝3018.考纲要求1．了解算法的含义及算法的思想．2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．补充说明 1．算法的要求(1)写出的算法，必须能解决一类问题，并且能重复使用；(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得出结果．2．对图形符号的几点说明①终端框(起止框)是任何流程不可少的，表明程序的开始和结束．②输入和输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置．③算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内．④当算法要求你对两个不同的结果进行判断时，判断条件要写在判断框内．⑤一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连结．⑥如果一个流程图需要分开来画．要在断开处画上连结点，并标出连结的．3．画流程图的规则①使用标准的框图符号．②框图一般按从上到下、从左到右的方向画．③除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点．判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．④在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．4．程序框图分为顺序结构、条件结构和循环结构，任何算法都可以由这三种基本逻辑结构来构成．顺序结构是最简单的算法结构．语句与语句之间，框与框之间按从上到下、从左到右的顺序运行．条件结构是指在算法中需要对条件作出判断，根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构．根据指定条件，决定是否重复执行某些步骤的控制结构称为循环结构．反复执行的处理步骤为循环体．常见的循环结构有当型循环和直到型循环．(1)当型(while型)循环结构如图所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，执行循环体即语句序列A，执行完后，再判断条件P1是否成立，如果仍然成立，再执行循环体，如此反复执行循环体，直到某一次条件不成立时跳出循环．(2)直到型(until)循环结构直到型循环一般用于预先难以知道循环次数，通过设置某个条件满足时退出循环．如图所示，它的功能是先执行循环体，即语句序列A，然后判断给定的条件P2是否成立，如果条件P2不成立，则再执行循环体，然后再对条件P2作判断，如果条件P2仍然不成立，又执行循环体……如此反复执行循环体，直到给定的条件P2成立时跳出循环．解决程序框图问题时应注意：①不要混淆处理框和输入框．②注意区分条件结构和循环结构．③注意区分当型循环和直到型循环．④循环结构中要正确控制循环次数．⑤要注意各个框的顺序．编程时，先从总体上把握整个问题分哪几大步骤，分块写出算法，再用程序语言表达，最后组合到一块．在画程序框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．当型循环语句中，要注意WHILE与WEND的配对．5．算法语句(1)输入语句①“提示内容”提示用户输入什么样的信息．②变量是指程序在运行时其值可以变化的量．③输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式．④提示内容与变量之间用分号“；”隔开，可以一次为一个或多个变量赋值，若输入多个变量，变量与变量之间用“，”隔开．(2)输出语句①“提示内容”提示用户输出什么样的信息．②表达式是指程序要输出的数据．③输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符．(3)赋值语句用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句叫做赋值语句．①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式.②赋值号左右不能对换．赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量．③不能利用赋值语句进行代数式的演算．④赋值语句中的“＝”号，称为赋值号．赋值号与数学中的等号的意义不同．赋值号左边的变量如果原来没有值，则在执行赋值语句后获得一个值，如果原已有值，则执行该语句后，以赋值号右边的表达式的值代替该变量的原值．⑤对于一个变量可以多次赋值，变量总是取最后赋出的值．⑥一个赋值语句只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”．⑦“表达式”可以是一个数据、常量和算式，如果“表达式”是一个算式时，赋值语句的作用是先计算出“＝”右边表达式的值，然后将该值赋给“＝”左边的变量．(4)条件语句的嵌套在某些较为复杂的算法中，有时需要按条件要求执行某一语句(特别是ELSE后的语句)后，继续按照另一条件进行判断，这时可以再利用条件语句完成这一要求，这就形成了条件语句的嵌套，其一般形式是：IF条件1THEN语句序列1；ELSEIF条件2THEN语句序列2；ELSE语句序列3；END IFEND IF编写嵌套条件语句、可分块处理．识读程序时，可用文字缩进来表示嵌套的层次．(5)两种循环语句格式的区别在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，而在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环体．当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断．6．辗转相除法与更相减损术(1)用两数中较大的数减去较小的数，再用所得差和较小数构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到所得的两数相等为止，这个数就是这两个数的最大公约数．这个方法称为“更相减损术”，用它编写的算法称为“等值算法”．更相减损术求最大公约数的程序设计如下：INPUT a，bWHILE a< >bIF a>b THENa＝a－bELSEb＝b－aEND IFWENDPRINT aEND(2)古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是辗转相除法：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数．据此编写的算法，也称为“欧几里得算法”．对于正整数a与b(a>b)，总能找到整数q和r(0≤r<b)使得a＝bq＋r成立，这个算式称为带余除法．通常记作r＝aMODb.辗转相除法的程序框图．7．秦九韶算法(1)对于n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：f(x)＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值．这样通过一次式的反复运算，逐步得出高次多项式的值的方法称为秦九韶算法．令⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k 其中k ＝1,2，…，n 就得到了一个递推关系．这个递推关系是一个反复执行的步骤，可用循环语句来实现．(2)程序框图：8．进位制(1)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“满十进一”就是十进制，“满二进一”就是二进制，“满k 进一”就是k 进制，k 进制的基数是k ，因此k 进制需要使用k 个数字．(2)若k 是一个大于1的整数，以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：a n a n －1…a 1a 0(k )(0<a n <k,0≤a n －1，…，a 1，a 0<k )其中右下角括号内的数字k 表明此数是k 进制数，十进制的基数不标注．(3)十进制数与k 进制数可以相互转换①把k 进制数化为十进制数的方法是：先把这个k 进制数写成用各位上的数字与k 的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果．如a n a n －1…a 2a 1a 0(k )＝a n ×k n ＋a n －1×k n －1＋…＋a 2×k 2＋a 1×k ＋a 0.其中要注意的是，k 的幂的最高次数应是该k 进制的位数减去1，然后逐个减小1，最后是0次幂．②将十进制化为k 进制数的方法叫除k 取余法．即用k 连续去除该十进制数或所得的商，直到商是零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应的k 进制数．例如，把十进制数化为二进制数的方法是除2取余法．9．流程图由一些图形符号和文字说明构成的表示事件发生、发展的过程(或解决问题的过程、或工序)的图示称为流程图．工序流程图又称统筹图，常见的一种画法是：将一个工作或工程从头至尾依先后顺序分为若干道工序(即所谓自顶向下)，每一道工序用矩形框表示，并在该矩形框内注明此工序的名称或代号，两相邻工序之间用流程线相连．有时为合理安排工程进度，还在每道工序框上注明完成该工序所需时间．10．结构图描述系统结构的图示称为结构图．常见的有知识结构图，组织结构图，建筑结构图，布局结构图等．画结构图的的过程与方法：首先，你要对所画结构图的每一部分有一个深刻的理解和透彻的掌握，从头到尾抓住主要脉络进行分解．然后将每一步分解进行归纳与提炼，形成一个个要素点，并将其逐一地写在矩形框内．最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，这样就画成了结构图．连线一般按从上到下、从左到右的方向表示要素间的从属关系或逻辑的先后顺序．备选习题1．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为()A．0.5 B．1C．2 D．4[答案]C[解析]输入x＝－4，∵|－4|>3，∴x＝|－4－3|＝7.∵7>3，∴x ＝|7－3|＝4.∵4>3，∴x ＝|4－3|＝1.∵1<3，∴y ＝2x ＝21＝2.2．如图是计算1＋13＋15＋…＋129的一个程序框图，则图中①处应填写的语句是( )A ．i ≤15B ．i >15C ．i >16D ．i ≤16[答案]B[解析]∵s ＝0，n ＝1，i ＝1，∴s ＝0＋11＝1，n ＝1＋2＝3，i ＝1＋1＝2； ∵s ＝1，n ＝3，∴s ＝1＋13，n ＝3＋2＝5，i ＝2＋1＝3； ∵s ＝1＋13，n ＝5，∴s ＝1＋13＋15，n ＝5＋2＝7，i ＝3＋1＝4； ∵s ＝1＋13＋15，n ＝7，∴s ＝1＋13＋15＋17，n ＝7＋2＝9，i ＝4＋1＝5；…. 故当S ＝1＋13＋15＋…＋129时，i ＝16，故图中①处应填写的语句是“i >15”． 3．如图所示是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S ＝720，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是( )A．k≥6? B．k≥7?C．k≥8? D．k≥9?[答案]C[解析]第一次运行结果为S＝10，k＝9；第二次运行结果为S＝90，k＝8；第三次运行结果为S＝720，k＝7.满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是k≥8？.故选C.[失误与防X]本题易错的地方是：①弄清楚计数变量k与累乘变量S的变化规律．②注意S＝S×k与k＝k－1的顺序．③弄清满足条件时结束循环还是不满足条件时结束循环．4．(2012·某某理，3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A ．3B ．4C ．5D ．8[答案]B[解析]由x ＝1，y ＝1→x ＝2，y ＝2→x ＝4，y ＝3→x ＝8，y ＝4→结束(输出y ＝4)．[点评] 对循环次数较少的问题可以依次写出，对循环次数较多的应考虑是否具有周期性．5．(2012·新课标全国，6)如果执行下边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1、a 2、…、a N ，输出A 、B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数[分析] 这是一个循环结构程序框图，有三个判断条件，通过赋值语句x ＝a k ，依次将a i (i ＝1,2，…，N )的值赋给x 后，第一个判断条件“x >A ”，满足时A 取x 的值，因此循环结束后，A 是a 1，a 2，…，a N 中的最大值；第二个判断条件“x <B ”满足时B 取x 的值，因此循环结束后B 取a 1，a 2，…，a N 中的最小值；第三个判断条件“k ≥N ”，控制循环的结束，即当k＝N时循环结束，让x能取遍a1，a2，…，a N中的每一个值．[答案]C[解析]随着k的取值不同，x可以取遍实数a1，a2，…，a N，依次与A、B比较，A始终取较大的那个数，B始终取较小的那个数，直到比较完为止，故最终输出的A、B分别是这N个数中的最大数与最小数，故选C.[点评]在读取循环结构的框图时，要注意每一次循环之后变量的变化，并能通过循环中止的条件确定好循环次数，避免在判断时，出现多一次循环与少一次循环的错误．。