中档题训练题

《一天十道中档题》中档题（一）一、单选题1．已知函数221ln 11f x x x，则不等式 211f x f x 的解集为（）A ． ,01,B ． ,2C ．,20, D ．2,0 2．设函数 f x 的定义域为 ,11y f x R 为奇函数， 2y f x 为偶函数，若 2024f 1，则 2f （）A ．1B ．1C ．0D ．33．下列不等式中正确的是（）A ．11πeπeB ．1eπC ．2e2ππeD ．2π2e lnπ4．已知函数 e ,0,ln ,0,x x x f x x x ，若关于x 的方程 10f x a 的不同实数根的个数为4，则a 的取值范围为（）A ．11,1eB ．11,1eC ．11,1eD ．111,1ee5．已知函数 32697f x x x x ，直线l 过点 0,1且与曲线 y f x 相切，则直线l 的斜率为（）A ．24B ．24或3C ．45D ．0或45二、多选题6．已知函数 f x 的定义域为R ，且 21f x 的图象关于点1,02对称， 11f x f x ，则下列结论正确的是（）A ． f x 奇函数B ． f x 的图象关于直线2x 对称C ． f x 的最小正周期为4D ．若 12f ，则 12200f f f三、填空题7．已知0b ，函数 42bxxa f x 是奇函数，则ab ．8．设0a ，已知函数 2ln 2f x x ax 的两个不同的零点1x 、2x ，满足121x x ，若将该函数图像向右平移 0m m 个单位后得到一个偶函数的图像，则m．四、解答题9．已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x且(e)3f ．(1)求实数a 的值；(2)若函数()() g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．10．设 2cos 1f x ax x ，a R .(1)当12a时，证明： 0f x ；(2)证明： *1114cos cos cos ,1233n n n n N L .中档题（二）一、填空题1．(1)已知0y x ，则42y x y x x y的最小值为.(2)设,0x y ，已知2xyx y，则22x y 的最小值为.(3)已知x >0，y >0，且3x y ，则141x y 的最小值为.(4)设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ﹐且满足 222cos cos b a a B b A ，ABC 的周长为51，则ABC 面积的最大值为．(5)已知0a ，0b ，且1ab ，则111822a b a b的最小值为.(6)正实数x ，y 满足132x y时，则x y 的最小值为．(7)已知222x xy y ，则22x y 的最大值为.(8)已知0x ，0y ，2xy x y ，则xy 的最小值是．(9)设10,0,22x y y x，则1x y 的最小值为．(10)已知正实数x ，y 满足2x y ，则12x y的最小值为．二、多选题2．已知0a ，0b ，a b ab ，则（）A ．1a 且1bB ．4abC ．49a b D ．11b ab3．在ABC 中，角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，已知60B ，b 的是（）A ．若π4A ，则aB ．若1a ，则72cC ．ABC 周长的最大值为D ．ABC 面积的最大值124．若正实数,a b 满足1a b ，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．122a bC ．14a b的最小值是10D5．若0,0,1a b a b ，则下列不等式恒成立的是（）A ．14abB C ．2212a bD ．114a b6．下列说法正确的是（）A ．若12x，则函数1221y x x 的最小值为1 B ．若,,a b c 都是正数，且2a b c ，则411a b c的最小值是3C ．若0,0,26x y x y xy ，则2x y 的最小值是4D ．已知0xy ，则22222222x y x y x y 的最大值为4 7．设11a b ,，且()1ab a b ，那么（）A ．a b 有最小值21B ．a b 有最大值21C ．ab 有最大值3 .D ．ab 有最小值3 .8．已知x ，y 是正数，且21x y ，下列结论正确的是（）A ．xy 的最大值为18B ．224x y 的最小值为12C ． x x y 最大值为14D ．2x yxy最小值为99．下列结论正确的是（）A ．当1x 2B ．当54x时，14245x x 的最小值是5C ．当0x 时，1x x的最小值是2D ．设0x ，0y ，且2x y ，则14x y 的最小值是9210.已知不等式220ax bx 的解集是 12x x ．(1)求实数,a b 的值．(2)解不等式2203ax bx x ．一天十道中档题（三）一、单选题1．已知0a ，且1a ，若函数1()(ln )x f x a x a 在(1,) 上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．1(0,]eB ．1[,1)eC ．(1,e]D ．[e,)2．已知曲线:e x E y 与y 轴交于点A ，设E 经过原点的切线为l ，设E 上一点B 横坐标为(0)m m ，若直线//AB l ，则m 所在的区间为（）A ．10mB ．01mC ．312m D ．322m 3．设等比数列 n a 中，3a ，7a 使函数 3223733f x x a x a x a 在=1x 时取得极值0，则5a 的值是（）A ．BC ．D ．4．函数 y f x 在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，对任意x ，R y ， f x f y f ， 11f ，则下列说法正确的是（）A ． 22f B ． f x 为奇函数C ． f x 在 0, 单调递减D ．若 4f x ，则2,2x 5．已知 0f x ，且0x 时， 22cos f x x f x ，若2π42πf ，若 22sin x f x g x x是常函数，则方程 1f x 在区间 0,1内根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．06．函数 y f x 的导数 y f x 仍是x 的函数，通常把导函数 y f x 的导数叫做函数的二阶导数，记作 y f x ，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，n 1 阶导数的导数叫做n 阶导数，函数 y f x 的n 阶导数记为n y f x ，例如e x y 的n 阶导数e e n x x ．若 e cos 2xf x x x ，则500f （）A ．50502 B ．50C ．49D ．49492 二、解答题7．已知函数 ln 0x f x x a a x.(1)讨论 f x 的最值；(2)若1a ，且 e x k xf x x≤，求k 的取值范围.8．已知函数 2ln ,R f x x a x a .(1)若函数 g x f x x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围;(2)讨论函数 2h x f x a x 的单调性.9．若函数 y f x 存在零点a ，函数 y g x 存在零点b ，使得1a b ，则称 f x 与 g x 互为亲密函数.(1)判断函数 22xf x x 与 1ln 210g x x x x是否为亲密函数，并说明理由；(2)若 1ex h x x 与 32212k x x mx m x m 互为亲密函数，求m 的取值范围.附：ln3 1.1 .10．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f (x )，g (x )满足:①图象在 ,a b 上是一条连续不断的曲线；②在 ,a b 内可导;③对 ,x a b ， 0g x ，则 ,a b ，使得f b f a fg b g a g .特别的，取 g x x ，则有： ,a b ，使得 f b f a f b a，此情形称之为拉格朗日中值定理.(1)设函数 f x 满足 00f ，其导函数 f x 在 0, 上单调递增，证明：函数 f x y x在 0, 上为增函数.(2)若 ,0,e a b 且a b ，不等式ln ln 0a b b a m b a a b恒成立，求实数m 的取值范围.一天十道中档题（四）一、填空题1．已知实数,a b 满足221a ab b ，则ab 的最大值为；221111a b 的取值范围为．2．函数y 的值域为.3．2223164sin 20sin 20cos 20 ．4．在ABC 中，若sin(2)2sin A B B ，则tan B 的最大值为．5．设 ， 为锐角，且满足 22sin sin sin ，则 .6．已知锐角 ， 满足条件：4422sin cos 1cos sin ，则 .7．设G 为ABC 的重心，满足0AG BG .若11tan tan tan A B C ，则实数 的值为.二、单选题8．已知ABC 非直角三角形，G 是ABC 的重心，GA GB ，则tan tan tan tan tan A B C A B （）A ．12B ．1C D ．29．已知 ， 0,π ，且cos 10， 1tan 3 ，则2 （）A ．π4 或3π4B ．3π4 或π4C ．π4D ．3π410．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222222a b a b c c ab ，若ABC 为锐角三角形，则角B 的取值范围是（）A ．π0,6 B ．ππ,64C ．ππ,43D ．ππ,32 三、解答题11．ABC 中，求3sin 4sin 18sin A B C 的最大值。

中档小题练(七)(限时45分钟)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足z(1－i)＝2＋i ，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量AB→＝(2，－1)，BC →＝(1，－3)，则|AC →|＝( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．已知命题p ：∃x 0∈R ，ex 0＜0；命题q ：∀x ∈(1，＋∞)，log 2x ＞0，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．綈(p ∨q )D ．(綈p )∨q4．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择庐山，事件B ：甲和乙选择的景点不同．则条件概率P (B |A )＝( ) A.716B ．78 C.37 D ．675．函数f (x )＝x 3－3x e |x |在[－5，5]的图象大致为( )6．已知cos θ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝( ) A ．－13B ．12 C.23 D ．337．如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为( )A ．2 6πB ．4 6πC ．16πD ．16π38．(2022·山东滨州二模)已知椭圆C 1和双曲线C 2有相同的左、右焦点F 1，F 2，若C 1，C 2在第一象限内的交点为P ，且满足∠POF 2＝2∠PF 1F 2，设e 1，e 2分别是C 1，C 2的离心率，则e 1，e 2的关系是( )A ．e 1e 2＝2B ．e 21＋e 22＝2C ．e 21＋e 1e 2＋e 22＝2D ．e 21＋e 22＝2e 21e 229．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，A ＝2π3，记△ABC 外接圆的面积为S 1，取△ABC 三边的中点分别为D ，E ，F ，记△DEF 外接圆的面积为S 2，再取△DEF 三边的中点分别为P ，Q ，R ，记△PQR 外接圆的面积为S 3，依次类推，若△ABC 的内切圆半径为2 3－3，则S 5＝( )A ．πB ．π4 C.π16 D ．π6410．已知函数f (x )＝sin x ＋sin 2x 在(0，a )上有4个零点，则实数a 的最大值为( )A.43π B ．2π C.83π D ．3π11．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的面积为6 2π，两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 的上顶点．直线y ＝kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，若P A ，PB 的斜率之积为－89，则椭圆C 的长轴长为( )A ．3B ．6C ．2 2D ．4 212．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体内任取一点P ，则点P 落在该四面体内切球内部的概率为( )A.29πB ．6π18 C.3 2π16 D ．π16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．14．函数f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝a e x＋1＋1e ，若f (1)＝1，则a ＝________．15．已知a >0，b >0，且a 2b ＋3ab 2＝3a ＋b ，则a ＋3b 的最小值为________．16．公比为q 的等比数列{a n }满足：a 9＝ln a 10>0，记T n ＝a 1a 2a 3…a n ，则当q 最小时，使T n ≥1成立的最小n 值是________．参考答案与解析中档小题练(七)1．解析：选D.依题意，z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋3i 2＝12＋32i ，于是得z ＝12－32i ，所以z 的共轭复数在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32位于第四象限．故选D.2．解析：选C.由题意可得AC →＝AB →＋BC →＝(3，－4)，所以|AC→|＝32＋（－4）2＝5.3．解析：选D.因为x ∈R 时，e x ＞0；∀x ∈(1，＋∞)，log 2x ＞log 21＝0，所以p 为假命题，q 为真命题，綈p 为真命题，綈q 为假命题，根据复合命题的真假判断可得，p ∧q ，p ∧(綈q )，綈(p ∨q )均为假命题，(綈p )∨q 为真命题．故选D.4．解析：选D.甲和乙至少一人选择庐山对应的样本点有4×4－3×3＝7(个)，因为甲和乙选择的景点不同对应的样本点有C 12×C 13＝6(个)，所以P (B |A )＝67.5．解析：选D.f (－x )＝－x 3＋3x e |x |＝－f (x )，故f (x )为奇函数，函数图象关于原点中心对称，排除B 选项；令f (x )＝x 3－3x e |x |＝x （x －3）（x ＋3）e |x |＝0，则x ＝0或x ＝±3，故f (x )在[－5，5]上有三个零点，排除A 选项；当0＜x ＜3时，f (x )＜0，排除C 选项．故选D.6．解析：选A.因为cos θ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝cos θ＋cos θcos π3－sin θsin π3＝32cos θ－32sin θ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－1＝23－1＝－13.故选A.7.解析：选B.依题意，做球的剖面图如下：其中，O 是球心，E 是圆锥的顶点，EC 是圆锥的母线，由题意可知球的半径计算公式：43πR 3＝36π，R ＝3.由于圆柱的高为2，OD ＝1，DE ＝3－1＝2，DC ＝32－12＝22，母线EC ＝22＋8＝23，所以圆锥的侧面积为S ＝12·EC ·2π·DC ＝12×2 3×2π×2 2＝4 6π，故选B.8．解析：选D.因为∠POF 2＝∠PF 1F 2＋∠F 1PO ，∠POF 2＝2∠PF 1F 2，所以∠PF 1F 2＝∠F 1PO ，所以OF 1＝OP ＝OF 2＝c ，所以PF 1⊥PF 2，记椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由椭圆和双曲线定义可得m ＋n ＝2a 1，①m －n ＝2a 2.②①2＋②2可得2(m 2＋n 2)＝4(a 21＋a 22)，由勾股定理知，m 2＋n 2＝4c 2，代入上式可得2c2＝a 21＋a 22，整理得a 21c 2＋a 22c2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，所以e 21＋e 22＝2e 21e 22.故选D.9.解析：选D.如图连接AE ，因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，△ABC 的内切圆圆心在AE 上，设为O ，因为A ＝2π3，所以∠BAE ＝∠CAE ＝π3，因为△ABC 的内切圆半径为2 3－3，所以AE ＝2 3－3＋23(2 3－3)＝1，所以AB ＝2AE ＝2，设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理得AB sin C ＝2R ，2sin π6＝2R ，解得R ＝2，所以S 1＝4π，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ，DE ＝12AC ＝1，所以△DEF 外接圆的半径为1，所以S 2＝π，同理可得△PQR 外接圆的半径为12，则S 3＝π4，S 4＝π16，S 5＝π64，故选D.10．解析：选C.f (x )＝sin x ＋sin 2x ＝sin x ＋2sin x cos x ＝sin x (1＋2cos x )，令f (x )＝0得sin x ＝0或cos x ＝－12，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象：f (x )在(0，a )上有4个零点，则2π<a ≤2π＋2π3＝8π3，故a 的最大值为8π3.故选C.11．解析：选B.椭圆的面积S ＝πab ＝6 2π，即ab ＝6 2.①因为点P 为椭圆C 的上顶点，所以P (0，b )．因为直线y ＝kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，不妨设A (m ，n )，则B (－m ，－n )且m 2a 2＋n 2b 2＝1，所以m 2＝a 2－a 2n 2b 2.因为P A ，PB 的斜率之积为－89，所以n －b m ·－n －b －m＝－89，把m 2＝a 2－a 2n 2b 2代入整理化简得b 2a 2＝89，②①②联立解得a ＝3，b ＝2 2.所以椭圆C 的长轴长为2a ＝6.故选B. 12.解析：选D.由三视图可知其直观图如图所示．三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝4 2，BD ＝BC ，CD ＝4.取CD 的中点E ，连接BE ，则BE ＝2，且BE ⊥CD ，所以BD ＝BC ＝2 2，则BD 2＋BC 2＝CD 2，所以BC ⊥BD ，AC ＝AD ＝ （4 2）2＋（2 2）2＝2 10.连接AE ，则AE ⊥CD ，所以AE ＝AC 2－CE 2＝6，则三棱锥A -BCD 的表面积S ＝S △BCD ＋S △ABD ＋S △ABC ＋S △ACD ，即S ＝12×2 2×2 2＋12×4 2×2 2×2＋12×4×6＝32，V A -BCD ＝13S △BCD ·AB ＝13×4×4 2＝16 23.设三棱锥A -BCD 的内切球的半径为r ，则13S ·r ＝V A -BCD ，解得r ＝22，则在该四面体内任取一点P ，点P 落在该四面体内切球内部的概率为V 内切球V A -BCD ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫22316 23＝π16，故选D. 13．解析：志愿者的总人数为20（0.24＋0.16）×1＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.答案：1214．解析：当x ∈[－1，0]时，f (x )＝a e x ＋1＋1e .当x ∈(0，1]时，－x ∈[－1，0)，f (－x )＝a e －x ＋1＋1e .因为f (x )是定义域为R 的偶函数，所以当x ∈(0，1]时，f (x )＝f (－x )＝a e －x ＋1＋1e ，所以f (1)＝a e ＋1＋1e＝1，解得a ＝－1. 答案：－115．解析：由题得ab (a ＋3b )＝3a ＋b ，所以a ＋3b ＝3a ＋b ab ＝3b ＋1a ，所以(a＋3b )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3b ＋1a (a ＋3b )＝10＋3a b ＋3b a ≥10＋23a b ·3b a ＝16，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．因为a ＋3b ≥4，所以a ＋3b 的最小值为4.答案：416．解析：{a n }是等比数列，因为a 9＝ln a 10>0，所以a 9>0，a 10>1. 又因为a 9＝ln a 10＝ln(a 9·q )＝ln a 9＋ln q ，ln q ＝a 9－ln a 9，设函数f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝x －1x ，当x >1时，f ′(x )>0，0<x <1时，f ′(x )<0，所以在x ＝1时，f (x )取极小值1.所以ln q ≥1，q ≥e ，由题意得q ＝e ，a 9＝1，a 1＝e －8，a n ＝e －8·e n －1＝e n －9，T n ＝a 1a 2a 3…a n ＝e －8·e －7·e －6·…·e n －9＝e n （n －17）2≥1，n ≥17，所以n 的最小值是17.答案：17。

专题03�新定义下的实数运算（中档题、压轴题50题）（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、新定义下的实数运算，中档题30题，难度三星1．规定一种新运算ab ad bc cd =-．（1）2345=；（2）若22233235x x x x M -++-+-=--，则M 的化简结果为．【答案】2-2221x x --【分析】本题考查了新定义的计算，解题关键是能熟练运用新定义中的计算规律结合实数的运算法则求解．（1）根据新定义运算法则即可求解；（2）根据新定义运算法则化简即可求解．【详解】解：（1）原式254310122=⨯-⨯=-=-．（2）由题意得：22523332M x x x x =--++-+-（+）（）2210515936x x x x =---+-2221x x =--．2．若一个各个数位的数字均不为零的四位数M 满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”；将－个间位等和数的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作A ，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作B ，令()33A B F M +=，若四位数M 的千位数为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则()1573F =，如果()F M 为完全平方数（完全平方数就是这个数可以写成某个整数的平方，如，242=，所以4是完全平方数），那么M 的最小值为．【答案】83；1122．【分析】根据题意得出A 、B 的值，代入()33A B F M +=计算即可解答；由题意可知10A a b =+，10B c d =+，a c b d +=+，代入()33A B F M +=计算得到()3a c F M +=，根据()F M 为完全平方数且取M 的最小值，可得()1F M =，进而求出abcd ,,,的值，即可解答．本题考查了新定义运算，解题关键是读懂题意根据间位等和数的定义正确表示出A 、B ，再结合完全平方③[)1x x -≤，即最大值为1，该选项错误；④[)0.2x x -=不一成立，该选项错误；故答案为：①．4．定义：对于一个两位数x ，如果x 满足个位数字与十位数字互不相同．．．．，且都不为零．．．．，那么称这个两位数为“相异数”．将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，再除以11所得的商记为()S x ．例如，13a =，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为133144+=，和44除以11的商为44114÷=，所以(13)4S =．(1)下列两位数：40，51，77中，“相异数”为________；(2)计算：(65)S 的值；(3)若一个“相异数”y 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8S y =，求相异数y ．【答案】(1)51(2)11(3)相异数y 是35【分析】本题考查了新定义整数的整除问题，根据定义计算是解题的关键．（1）先确定各数位上的数字，不同的才是“相异数”．（2）根据()S x 的定义计算即可．（3）用幂乘的方式表示相异数，再根据()S x 的定义计算即可．【详解】（1）∵40中有数字0，不符合定义，不是“相异数”，51中十位数字是5，个位数字是1，不同，是“相异数”，77中，十位数字和个位数字都是7，相同，不符合题意，故不是“相异数”．故答案为：51．（2）根据题意，得655621+=1，1211111÷=，故(65)11S =．（3）由“相异数”y 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8S y =得，()10211021811k k k k +-+-+=⨯，解得3k =，∴212315k -=⨯-=，∴相异数y 是35．5．定义一种新的运算“※”，称为（加乘）运算：A．1B．4C．6D【分析】（1）根据题目中所给的定义求解即可；（2）紧扣题目给出的定义，逐一判断即可;（3）根据[][]11x x +=+，[]{}x x x -=，即[]{}2139x x x ++=-，可变为：{}(){}2139x x x x -++=-，整理：{}11x x -=，则有[]{}{}112x x x x =-=-，根据{}01x ≤<，可得[]11x 9<≤，即有[]10x =，或者[]11x =，问题随之得解．【详解】（1）根据题意：[]3.63=，即：{}[]3.6 3.6 3.60.6=-=，故答案为：3，0.6；（2）∵{}m 表示[]m m -的值，称为m 的小数部分，∴{}01x ≤<，即①正确；根据定义可得：[][]11x x +=+，即②正确；∵{}[]111x x x +=+-+，∴{}[][][]{}11111x x x x x x x x +=+-+=+--=-=，∴即③错误，∵[]x a =，[]{}x x x =-，∴{}a x x =-，∴{}x a x =+，∵{}01x ≤<，∴{}1a a x a ≤+<+，∴即④正确；故正确的有：①②④；（3）∵[][]11x x +=+，[]{}x x x -=，∴[]{}11x x x +=-+，∴[]{}2139x x x ++=-，可变为：{}(){}2139x x x x -++=-，整理：{}11x x -=，即：[]{}{}112x x x x =-=-，。

适合班集体猜的一些中档题目
1、大江东去打中国地名，答：上海。

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中档题训练1．设人的某一特征（如眼睛大小）是由他一对基因所决定，以d 表示显性基因，r 表示隐性基因，则具有dd 基因的人为纯显性，具有rr 基因的人是纯隐性，具有rd 基因的人为混合性。

纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问（1）1个孩子有显性决定特征的概率是多少？（2）2个孩子中至少有一个有显性决定的特征的概率是多少？解：孩子一对基因为dd,rr,rd 的概率分别为,21,41,41孩子有显性决定特征具有dd 或rd （1）1个孩子有显性决定特征的概率为432141=+ （2）2个孩子中至少有一个有显性决定特征的概率为1－1615)41(202=C 2．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC=90°3AD=DC=3，AB=2，E 是DC 上一点，满足DE=1，连接AE ，将△DAE 沿AE 折起到△D 1AE 的位置，使得∠D 1AB=60°，设AC 与BE 的交点O. （Ⅰ）试用基向量;,,11OD AD AE AB 表示向量（Ⅱ）求异面直线OD 1与AE 所成的角；（Ⅲ）判断平面D 1AE 与平面ABCE 是否垂直？并说明理由.解：（Ⅰ）根据已知，可得四边形ABCE 为平行四边形.所以，O 为BE 中点..2121)(211111AD AD AD OD --=+-=-=（3分） （Ⅱ）AE AE AB AD AE OD ⋅--=⋅)2121(11 所以OD 1与AE 所成角为33arccos （7分） （Ⅲ）设AE 的中点为M ，则.2111AD MD -= 而D 1M ⊂平面AD 1E ，所以，平面AD 1E ⊥平面ABCE.3．是否存在数列{a n }使得]1)12(3[4132321+-=++++n na a a a n n 对任意正整数都成立？若存在这样的{a n }，写出它的通项公式，并加以证明；若不存在，说明理由.解：令n=1得a 1=1，令n=2，得a 2=3，令n=3，得a 3=9，……推测13-=n n a ……5分 设S n =1·1+2·3+3·32+……+n ·3n －1，则n n n n n S 33)1(3231312⋅+⋅-++⋅+⋅=- 两式相减整理得]1)12(3[41+-=n S n n （也可用数学归纳法证明）…………13分4．（理科学生作）已知二次函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=的定义域为[-1，1]，且|f （x ）|的最大值为M 。

一元二次方程综合训练题（中档题集训卷）1.如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为x 1＝3、x 2＝1，那么这个一元二次方程是（ ）A. x 2+3x+4=0 B.x 2+4x -3=0 C.x 2-4x+3=0 D. x 2+3x -4=02．一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于 （ ）A. 6-B. 1C. 2D. 6-或13．对于任意实数x,多项式x 2－5x+8的值是一个（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．无法确定4．若方程8x 2+2kx+k-1=0的两个实数根是x 1, x 2且满足x 21+x 22=1,则k 的值为( ).A.-2或6B.-2C.6D.45．如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞–14B ．a ≥–14C ．a ≥–14 且a ≠0D ．a ＞–14且a ≠0 6．若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=∆和完全平方式2)2(b at M +=的关系是（ ）A.△=MB. △>MC. △<MD. 大小关系不能确定7．方程x 2+ax+1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程060162=+-x x 的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A ．24 B ．24或58 C ．48 D ．58 9．已知实数a 满足 ， 则a -20052的值___________.10．已知5)3)(1(2222=-+++y x y x ，则22y x +的值等于 。

11．已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值为 。

12．先化简，再求值：，其中a 是方程的解．13．已知关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋m －1＝0。

中档小题练(十四)(限时45分钟)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，若复数z ＝3－i 1＋i ，则|i z |＝( ) A ．1B ． 5 C. 2 D ．22．已知x ∈R ，则“－3≤x ≤4”是“lg(x 2－x －2)≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线l 将圆C ：x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0平分，且与直线x ＋2y ＋3＝0垂直，则l 的方程为 ( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x －y ＋2＝04．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝45°，a ＝23，则△ABC 的面积为 ( )A ．2 3B ．3 2C ．1＋ 3D ．3＋ 35．已知a ＝⎠⎛－11x dx ，则(2x ＋a －1)5的展开式中x 3项的系数为( ) A ．40B ．－40C ．80D ．－806．在平面直角坐标系xOy 中，若A (1，0)，B (3，4)，OC→＝xOA →＋yOB →，x ＋y ＝6，则|AC→|的最小值为( ) A ．1B ．2 C. 5 D ．2 57．甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天生产的次品数的茎叶图如图所示，下列判断错误的是( )A ．甲的中位数大于乙的中位数B ．甲的众数大于乙的众数C ．甲的方差大于乙的方差D ．甲的性能优于乙的性能8．设点A 在球O 的球面上，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得圆M ，点B 在圆M 上，若AB ＝2，则圆M 的面积等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π9．已知函数f (x )的图象与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )的图象经过点A (4，2)与点B (8，t )，若p ＝t 0.2，q ＝0.2t ，r ＝log t 0.2，则( )A ．r ＜q ＜pB ．r ＜p ＜qC ．q ＜r ＜pD ．p ＜q ＜r10．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 ( )A ．将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数B ．函数f (x )的图象关于点(π8，0)对称C ．f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π3)D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 11．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 22－y 2b 2＝1(b >0)的两个焦点，M 为C 上一点，且∠F 1MF 2＝60°，MF 1→·MF 2→＝2.有下述四个结论：①△MF 1F 2 的面积S ＝3；②|F 1F 2→|＝3；③双曲线C 的离心率e ＝62；④点M 一定在曲线|x |＝|2y |上．其中，所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①③④12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折成△A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在翻折过程中，下列结论中错误的是( )A ．翻折到某个位置，使得DA 1⊥ECB ．翻折到某个位置，使得A 1C ⊥平面A 1DEC ．四棱锥A 1-DCBE 体积的最大值为24D ．点M 在某个球面上运动二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知tan α，tan β是方程3x 2＋5x －7＝0的两根，则sin （α＋β）cos （α－β）＝________．14．某校高三学生一次数学诊断考试的成绩(单位：分)服从正态分布N (110，102)，从中随机抽取一个同学的数学成绩ξ.记90＜ξ≤110为事件A ，记80＜ξ≤100为事件B ，则在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率P (B |A )≈________．(结果用分数表示)(参考数据：若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ≤ μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5)15．已知等比数列{a n } 的前n 项和S n 满足S n －2S n －1－2＝0(n ≥2)，则数列{a n }的前n 项积T n ＝________．16．已知函数f (x )＝e xx 2－2k ln x ＋kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是________．参考答案与解析中档小题练(十四)1．解析：选B.方法一：i z ＝（3－i ）i 1＋i ＝1＋3i 1＋i ＝（1＋3i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4＋2i 2＝2＋i ，所以|i z |＝22＋12＝5，故选B.方法二：|i z |＝|i||z |＝1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i 1＋i ＝|3－i||1＋i|＝32＋（－1）212＋12＝102＝5，故选B. 2．解析：选B.lg(x 2－x －2)≤1⇒0＜x 2－x －2≤10，解得－3≤x ＜－1或2＜x ≤4，所以“－3≤x ≤4”不能推出“lg(x 2－x －2)≤1”，反之成立，所以“－3≤x ≤4”是“lg(x 2－x －2)≤1”的必要不充分条件．故选B.3．解析：选D.化圆C 的方程为标准方程，得(x ＋12)2＋(y －1)2＝14，故圆C的圆心为(－12，1). 因为直线l 将圆C 平分，所以直线l 过圆心(－12，1)，设直线l 的斜率为k l ，因为直线l 与直线x ＋2y ＋3＝0垂直，所以k l ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，所以k l ＝2，所以直线l 的方程为y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0，故选D.4．解析：选D. 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得b ＝22，因为C ＝180°－A －B ＝75°，所以sin C ＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°×cos 45°＋cos 30°×sin 45°＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3＋ 3.故选D.5．解析：选C. 由已知得a ＝⎠⎛－11x d x ＝0，则(2x ＋a －1)5＝(2x －1)5，其展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (－1)r ，令5－r ＝3，得r ＝2，则T 3＝C 25(2x )3＝80x 3，故(2x ＋a －1)5的展开式中x 3项的系数为80.故选C.6．解析：选D. 由题意得OA→＝(1，0)，OB →＝(3，4)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得OC →＝(x ＋3y ，4y )，所以AC→＝OC →－OA →＝(x ＋3y －1，4y )，又x ＋y ＝6，所以AC →＝(5＋2y ，4y )，则|AC→|＝（5＋2y ）2＋（4y ）2＝20y 2＋20y ＋25＝25（y ＋12）2＋5，y ∈R ，所以当y ＝－12时，|AC→|取得最小值25，故选D. 7．解析：选D.由茎叶图知，甲机床每天生产的次品数为7，8，9，10，12，13，15，15，20，21.乙机床每天生产的次品数为8，9，10，10，11，12，12，12，16，20.对于A ，甲的中位数为12＋132＝12.5 ，乙的中位数为11＋122＝11.5，甲的中位数大于乙的中位数，故A 正确；对于B ，甲的众数为15，乙的众数为12，所以甲的众数大于乙的众数，故B 正确；对于C ，甲的平均数x －甲＝7＋8＋9＋10＋12＋13＋15＋15＋20＋2110＝ 13，乙的平均数x －乙＝8＋9＋10＋10＋11＋12＋12＋12＋16＋2010＝12，甲的方差s 2甲＝110×[(－6)2＋(－5)2＋(－4)2＋(－3)2＋(－1)2＋02＋22＋22＋72＋82]＝20.8，乙的方差s 2乙＝110×[(－4)2＋(－3)2＋(－2)2＋(－2)2＋(－1)2＋02＋02＋02＋42＋82]＝11.4，所以s 2甲>s 2乙，故C 正确；对于D ，由A ，B ，C 可得，中位数、众数、平均数和方差均为甲大于乙，所以甲的次品数大于乙，故乙的性能优于甲的性能，故D 错误．故选D.8.解析：选C. 如图，连接OB ，BM ，则OB ＝OA .因为OA 垂直于圆M 所在平面，所以OA ⊥MB ，又M 为OA 的中点，所以MB 为△OAB 中OA 所在边的中线，所以△OAB 为等边三角形，所以OA ＝OB ＝AB ＝2.在Rt △OBM 中，OB 2－OM 2＝BM 2，所以BM ＝3，即截面圆M 的半径r ＝3，所以圆M 的面积S ＝πr 2＝3π.故选C.9．解析：选A.因为f (x )的图象与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝log a x ，又因为f (x )的图象过点A (4，2)，则2＝log a 4，则a ＝2，则函数f (x )＝log 2x ，因此t ＝log 28＝3.则p ＝t 0.2＝30.2>1，q ＝0.2t ＝0.23，0＜q ＜1，r ＝log t 0.2＝log 30.2＜0，故r ＜q ＜p ，故选A.10．解析：选C.由题图知A (π12，2)，B (5π6，0)．设f (x )的最小正周期为T ，则34T ＝5π6－π12＝3π4，即T ＝π＝2πω，故ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)，则f (π12)＝2sin(2×π12＋φ)＝2sin(π6＋φ)＝2，令π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3)，故选项C 正确．对于选项A ，将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋π12）＋π3＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x ，g (x )为偶函数，故选项A 错误．对于选项B ，f (π8)＝2sin(π4＋π3)≠0，故函数f (x )的图象不关于点(π8，0)对称，故选项B 错误．对于选项D ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ＋π3∈[0，π]，故f (x )∈[0，2]，故选项D 错误．综上，选C.11．解析：选D. 由MF 1→·MF 2→＝|MF 1→|·|MF 2→|cos 60°＝2可知，|MF 1→|·|MF 2→|＝4，所以△MF 1F 2的面积S ＝12|MF 1→|·|MF 2→|sin 60°＝3，故①正确；由焦点三角形的面积公式知S △MF 1F 2＝b 2tan ∠F 1MF 22＝3，解得b ＝1，所以|F 1F 2→|＝2c ＝2a 2＋b 2＝23，故②错误；双曲线C 的离心率e ＝c a ＝32＝62，故③正确；设M (x M ，y M )，则S △MF 1F 2＝12×2c ×|y M |＝3，所以|y M |＝1，y M ＝±1，代入双曲线方程x 22－y2＝1，得x M ＝±2，所以M (x M ，y M )一定在曲线|x |＝|2y |上，故④正确．故选D.12．解析：选B. 由题意，可计算得AD ＝AE ＝A 1D ＝A 1E ＝1，DE ＝EC ＝2，所以DE 2＋EC 2＝CD 2＝4，即DE ⊥EC .对于A ，若DA 1⊥EC ，因为DA 1∩DE ＝D ，DA 1，DE ⊂平面A 1DE ，所以EC ⊥平面A 1DE ，又EC ⊂平面ABCD ，所以平面A 1DE ⊥平面ABCD ，即将△ADE 翻折到垂直于平面ABCD 时，可使得DA 1⊥EC ，故A 正确．对于B ，取DE 的中点为F ，连接A 1F ，CF (图略)，易得A 1F ＝22，CF ＝102.若A 1C ⊥平面A 1DE ，则A 1C ⊥A 1E ，A 1C ⊥A 1F ，因为A 1C 2＝CF 2－A 1F 2＝(102)2－(22)2＝2，A 1C 2＝EC 2－A 1E 2＝(2)2－12＝1，显然2≠1，所以A 1C ⊥平面A 1DE 不成立，故B 错误．对于C ，设h 为点A 1到平面ABCD 的距离，则VA 1-DCBE ＝13S 四边形DCBE ·h ，因为S 四边形DCBE ＝（1＋2）×12＝32，为定值，所以当h 取得最大值时，四棱锥A 1-DCBE 的体积最大，显然将△ADE 翻折到垂直于平面ABCD 时h 取得最大值22，此时VA 1-DCBE ＝13×32×22＝24，故C 正确．对于D ，取CD 的中点为N ，连接MN (图略)，则MN 是△A 1CD 的中位线，所以MN ＝12A 1D ＝12，为定值，所以点M 在以N 为球心，MN 为半径的球面上(点M 所在的球不唯一，存在即可)，故D 正确．故选B.13．解析：因为tan α，tan β是方程3x 2＋5x －7＝0的两根，所以由一元二次方程根与系数的关系可得tan α＋tan β＝－53，tan α·tan β＝－73，所以sin （α＋β）cos （α－β）＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝－531－73＝54. 答案：5414．解析：由题意可知，μ＝110，σ＝10，事件AB 为90＜ξ≤100，因为90＝μ－2σ，100＝μ－σ，所以P (AB )＝P (90＜ξ≤100)＝P (μ－2σ＜ξ≤ μ－σ)＝P （μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ）－P （μ－σ＜ξ≤ μ＋σ）2≈0.954 5－0.682 72＝2 71820 000，P (A )＝P (90＜ξ≤110)＝P (μ－2σ＜ξ≤μ)＝P （μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ）2≈9 54520 000，由条件概率公式得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）≈2 71820 000×20 0009 545＝2 7189 545. 答案：2 7189 54515．解析：方法一：设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，在S n －2S n －1＝2(n ≥2)中，令n ＝2，可得a 2－a 1＝a 1(q －1)＝2，①令n ＝3，可得a 3－a 2－a 1＝a 1(q 2－q －1)＝2，②由①②可得a 1＝q ＝2，所以a n ＝2n ，所以数列{a n }的前n 项积T n ＝a 1a 2·…·a n －1·a n ＝21×22×…×2n －1×2n ＝21＋2＋…＋(n －1)＋n ＝2n （n ＋1）2.方法二：由S n －2S n －1＝2(n ≥2)可知，S n ＋2＝2(S n －1＋2)，所以数列{S n ＋2}是以S 1＋2＝a 1＋2为首项，2为公比的等比数列，所以S n ＋2＝(a 1＋2)2n －1.当n ≥2时，有S n －1＋2＝(a 1＋2)·2n －2，两式相减得a n ＝(a 1＋2)2n －2.(*)因为数列{a n }为等比数列，所以(*)式对于n ＝1也成立，将n ＝1代入(*)式，得a 1＝a 1＋22，解得a 1＝2，所以a n ＝2n ，所以数列{a n }的前n 项积T n ＝a 1a 2·…·a n －1a n ＝21×22×…×2n －1×2n ＝21＋2＋…＋(n －1)＋n ＝2n （n ＋1）2.答案：2n （n ＋1）216．解析：函数f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－2k x ＋k ＝（e x ＋kx 2）（x －2）x 3，由题意可得，x ＝2是方程f ′(x )＝0唯一变号的根，令h (x )＝e x ＋kx 2，则h (x )在(0，＋∞)上没有变号零点，令h (x )＝0，得－k ＝e xx 2，令g (x )＝e xx 2(x >0)，则g ′(x )＝e x （x －2）x 3，当x >2时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， 当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，故当x ＝2时，g (x )取得最小值g (2)＝e 24，故－k ≤e 24，即k ≥－e 24.故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 24，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 24，＋∞。

中考数学训练题（中档题）一、选择题7.已知点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP=4，弦AB 经过点P ，若弦AB 的长为整数，则这样弦AB 的条数为（ ）A 、5B 、7C 、8D 、108.我们知道，一元二次方程x 2 = -1没有实数根，若我们规定一 个新数i,使其满足:i 2=-1，即方程x 2 = -1有一个根为i ，并且进一步规定， 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是由i 1= i ，i 2= -1，i 3= -i ，i 4= 1，从而对于任意正数n ，我们可得到： i 4n+1=i 4n ×i=(i 4)n ×i=1×i=i ,同理可得：i 4n+2= -1，i 4n+3= -i ，i 4n+4= 1，那么， i+i 2 +i 3+i 4+... +i 2018+i 2019的值为（ ）A.0B.1C. -1D.-i9.已知二次函数y=x 2+bx+c 与x 轴只有一个交点，且图象过A （x 1，m ）、B （x 1+n ，m ）两点，则m 、n 的关系为（ ）A ．m=n B ．m=n C ．m=n 2 D ．m=n 210.如图，△ACD 内接于⊙O ，CB 垂直于过点D 的切线，垂足为B ．已知⊙O 的半径为38，BC ＝3，那么sin ∠A ＝（ ）A ．91 B ．43 C ．98 D ．53二、填空题13.已知 x √x −3 =0，则x=_________.14. 如图，扇形AOB 的半径为5，∠AOB=90°, P 是半径0B 上一点，Q 是弧AB 上的一点，将扇形A 0B 沿PQ 对折，使折叠后的弧Q B'恰好与半径0A 相切于C 点，若0P=3,则0C 的长为_________.15.如图，已知直线343+=x y 与双曲线y=k x相交于A 、B 两点，与x 轴，y 轴分别相交于D 、C 两点，若CD=3，则k=_______.16.已知: E 、F 分别是矩形ABCD 的边AD 、CD 上一点, 且DF ＝CF, ∠DEF ＝2∠CBF, 若AB ＝4, BC ＝6, 则AE ＝ .xyDCBA O三、解答题20.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB 和线段CD ，点A 、B 、C 、D 均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出线段AB 绕点E 顺时针旋转90°得到线段AP ，点E 在小正方形的顶点上；（2）在方格纸中画出以CD 为对角线的矩形CMDN （C 、M 、D 、N 按顺时针排列），且面积为10，点M 、N 均在小正方形的顶点上；（3）连接PM 交CN 于点O ，直接写出OC ：ON 的值为___________.21.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 上一点，以CD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交⊙O 于点F ，连接DF ，∠CAE=∠ADF ．（1）判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若PF ：PC=1：2，AF=5，求CP 的长．22.为迎接军运会，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，某体育器材公司有,A B 两种型号的健身器可供选择.（1）体育器材公司2017年每套A 型健身器的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2019年每套售价为1.6 万元，求每套A 型健身器年平均下降率n ；（2）2019年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司,A B 两种型号的健身器材共80套，采购专项费总计不超过112万元，不少于110万元。

中档题专题练习（1）1、某商品的进价为每件20元，售价为每件30，每个月可买出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为x 的取值范围为y 元。

(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(2)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？(3)问：欲使得每个月的利润不低于1920元，问有哪几种调价方案？2、如图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点．过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点B ．延长BO 与⊙O 交于点D ，与P A 的延长线交于点E ． （1）求证：PB 为⊙O 的切线； （2）若tan ∠ABE ＝21，求sinE 的值．3、如图1，已知P是反比例函数kyx=（k＞0，x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）若△AOB的面积为12，求k的值；（2）如图2，Q是反比例函数kyx=（k＞0，x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D，连接AD、BC.试判断AD与BC的位置关系，并说明理由.中档题专题练习（2）1、如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E ． (1) 求证：AC 平分∠DAB ；(2) 连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD ＝54，求FCAF 的值．2、某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x 件．已知产销两种产品的有关信息如下表：其中a 为常数，且3≤a ≤5．（1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y 1万元、y 2万元，直接写出y 1、y 2与x 的函数关系式； （2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．3、如图，直线l : y ＝x ＋1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 与原点O 关于直线l 对称．反比例函数y ＝xk的图象经过点C ，点P 在反比例函数图象上且位于点C 左侧．过点P 作x 轴、y 轴的垂线分别交直线l 于M 、N 两点．(1)（4分）求反比例函数的解析式； (2)（6分）求AN ·BM 的值．l中档题专题练习（3）1、如图，⊙O 的半径OA 与OB 互相垂直，P 是线段OB 延长线上的一点，连结AP 交⊙O 于点D ，点E 在OP 上且DE ＝EP ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）作DH OP 于点H ，若HE ＝6，DE ＝43，求⊙O 的半径的长．2、如图，直线y ＝﹣x ＋3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数的图象交于点P （2，1）． （1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC ⊥y 轴于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′； ①求△A ′BC 的周长和sin ∠BA ′C 的值；②对大于1的常数m ，求x 轴上的点M 的坐标，使得sin ∠BMC ＝m1．3、工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生的利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生的利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图：(1)当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生的利润是多少？(2)为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x＝10m＋500，且该工厂每天用电量不超过60千度．为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生的利润最大是多少元？第 23 题图t （秒）中档题专题练习（4）1、近几年来，我市交通发展迅速，途经我市的福厦铁路动车组已在2010年4月通车。