等差数列学习资料基础篇及提高篇(含答案)

专题02 等差数列一、考情分析二、经验分享【基础知识】1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

①等差数列定义：定义法或。

②分类：若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

2、等差数列的判断方法：定义法或3、等差数列的通项：或。

①当0d ≠时，等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 4、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

①前n 和是关于n 的二次函数且常数项为0.5、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

①当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 6、若{}n a 是等差数列 ，232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列. 【方法总结】1、等差数列基本运算的解题思路： （1）设基本量a 1和公差d ．（2）列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d 的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．2、求解等差数列通项公式的方法主要有两种： （1）定义法.（2）前n 项和法，即根据前n 项和n S 与n a 的关系求解. 3、等差数列前n 项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用1(1)=2n n n S na d -+； 若已知通项公式，则使用1()=2n n n a a S +，同时注意与性质“”的结合使用. 4、等差数列的判定与证明的方法：①定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N 是等差数列；②定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ； ③等差中项法：为等差数列；④通项公式法：通项公式形如为常数)⇔为等差数列；⑤前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)⇔为等差数列．5、等差数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.应用等差数列性质的注意点： （1）熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. （2）应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,m n,p, ，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{a n }的前n 项和S n 中的n 为奇数时，才有S n =na 中成立.6、等差数列的前n 项和的最值问题（3）不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和n S的最大值．三、题型分析(一) 等差数列的概念及其定义一般地，如果一个数列从______________，相邻每一项与它的前一项的差等于同一个______________，那么这个数列就叫做______________，这个常数叫做等比数列的公差；公比通常用字母________表示，即：____________________________或____________________________。

4.2.1.1等差数列的概念和通项公式要点一 等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示． (2)符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)． 【重点概要】(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n 无关．(3)求公差d 时，可以用d ＝a n －a n －1来求，也可以用d ＝a n ＋1－a n 来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用a n －a n －1求公差时，要求n ≥2，n ∈N *. 要点二 等差中项(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是________． 【重点概要】在等差数列{a n }中，任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n 是a n －1与a n ＋1的等差中项． 反之，若a n －1＋a n ＋1＝2a n 对任意的n ≥2，n ∈N *均成立，则数列{a n }是等差数列．因此，数列{a n }是等差数列⇔2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．要点三 等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝1(1)a n d +-【重点总结】从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d)． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( )(3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( )(4)一个无穷等差数列{a n }中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( ) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2．(多选题)下列数列是等差数列的有( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 【答案】ABC3．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3 【答案】C【解析】由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.故选C. 4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于________． 【答案】60°【解析】因为三内角A 、B 、C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，所以B ＝60°.题型一 等差数列的通项公式 探究1 基本量的计算【例1】(1)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.【答案】(1)2n (2)－314【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12a 1＋17d ＝36，⎩⎪⎨⎪⎧解得d ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)法一：(方程组法)由⎩⎨⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得⎩⎨⎧a 1＝114，d ＝－34，∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：(利用a m ＝a n ＋(m －n )d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34，∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 探究2 判断数列中的项【例2】100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 【解析】∵a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15， ∴100是这个数列的第15项．探究3 等差数列中的数学文化 【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是( )A.116B.103C.56D.53【答案】D【解析】由题意可得中间的那份为20个面包， 设最小的一份为a 1，公差为d ，由题意可得[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53，故选D.【方法归纳】(1)已知a n ，a 1，n ，d 中的任意三个量，求出第四个量．(2)应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝aa 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．(3)若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷． 【跟踪训练】(1)等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( )A ．50B ．49C ．48D ．47 【答案】A【解析】由题得2a 1＋5d ＝4，将a 1＝13代入得，d ＝23，则a n ＝13＋23(n －1)＝33，故n ＝50.(2)等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31. ①求a 20；②85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？ 【解析】(2)①设数列{a n }的公差为d . 因为a 5＝10，a 12＝31，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3. 即a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，则a 20＝3×20－5＝55. ②令3n －5＝85，得n ＝30，所以85是该数列{a n }的第30项． 题型二 等差数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }满足a 1＝4且a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12又b 1＝1a 1－2＝12∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝12＋(n －1)×12＝12n ∵b n ＝1a n －2∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.要证{b n }是等差数列，只需证b n ＋1－b n ＝常数或b n －b n －1＝常数(n ≥2)．【变式探究1】将本例中的条件“a 1＝4，a n ＝4－4a n －1”改为“a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2”，求a n .【解析】∵a n ＋1＝2a na n ＋2∴取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ∴1a n ＋1－1a n ＝12，又1a 1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n 2－12＝n 2，∴a n ＝2n . 【方法归纳】定义法判断或证明数列{a n }是等差数列的步骤： (1)作差a n ＋1－a n ，将差变形；(2)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．【跟踪训练】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列．(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1，所以a n ＋12n －a n2n －1＝1，n ∈N *.又b n ＝a n2n －1，所以b n ＋1－b n ＝1.所以数列{b n }是等差数列，其首项b 1＝a 1＝1，公差为1. (2)由(1)知b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝2n －1b n ＝n ·2n －1，经检验，n ＝1时a 1＝1也满足上式． 题型三 等差中项【例5】已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数为________． 【答案】3,5,7或7,5,3【解析】设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝15(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝83 解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.【总结】三个数成等差数列可设为x -d,x,x+d【变式探究2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 【解析】法一：(设四个变量)设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【小结】四个数成等差数列可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d【变式探究3】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．【解析】设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23. 当d ＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73.当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.【方法归纳】当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间的一项为a ，再以d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列的项数n 为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以2d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误【例6】已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325 【答案】D【解析】由题意可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1即⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1解得875<d ≤325，故选D.【易错警示】1. 出错原因(1)错选A ，只看到了a 10>1而忽视了a 9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C ，误认为a 9<1，是由不会读题，马虎造成错误. 2. 纠错心得认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件.一、单选题1．等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前2n 项2n S =（ ）． A ．3(21)n n - B ．3(21)n n + C ．3(1)2n n + D ．3(1)2n n - 【答案】B 【分析】根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，进而可得2n S . 【解析】等差数列{}n a 的公差为3，且2a ，4a ，8a 成等比数列，2428a a a ∴=，()()2222618a a a ∴+=+，解得26a =，1233a a ∴=-=，{}∴n a 的前2n 项， 22(21)2332n n n S n -=⋅+⨯ 3(21)n n =+．故选：B ．2．已知数列{}n a 满足()()11220n n n n a a a a ++--+=，下列结论正确的是（ ） A ．当11a =时，10a 的最大值258 B ．当11a =时，9a 的最小值384- C ．当101a =时，1a 的最小值17- D ．当91a =时，1a 的最大值132【答案】C【分析】根据题干中的条件可得：12n n a a +-=或120n n a a ++=，即{}n a 是等差数列或等比数列，A 选项分别把两种情况下的10a 算出来，比较大小，求出10a 的最大值，同样的道理，其他选项也可以判断出来，进而选出正确的选项 【解析】()()11220n n n n a a a a ++--+=则120n n aa +--=或120n n a a ++=A 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，101911819a a d =+=+= 当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()9102512a =-=-，10a 的最大值为19，故A 选项错误；B 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，91811617a a d =+=+=当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()892256a =-=，9a 的最小值为17，故B 选项错误；C 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当101a =时，即1192a +⨯=，解得：117a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当101a =时，即()9112a -=，解得：11512a =-，117512<--，故1a 的最小值为17-，故选项C 正确 D 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当91a =时，1161a += ，解得：115a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当91a =时，即()8112a -=，解得：11256a =，此时1a 的最大值为1256，D 选项错误 故选：C3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若235a a +=，728S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2【答案】C 【分析】由等差数列性质，747S a =求得44a =，根据项与项之间的关系代入条件求得公差. 【解析】由题知，74728S a ==，则44a =，设数列公差为d ，则234424435a a a d a d d +=-+-=+-=， 解得1d =， 故选：C4．在等差数列{}n a 中，前9项和918S =，266a a +=，则3n a =（ ） A ．33-n B ．35n + C ．73n - D ．213n -【答案】C 【分析】根据918S =，266a a +=，可求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【解析】 解：()199599182a a S a ===+，52a ∴=，又26426a a a +==，43a ∴=，∴公差541d a a =-=-，()447n a a n d n =+-⋅=-，373n a n ∴=-．故选：C.5．在ABC ∆中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】若π3B =，则2π23AC B +==，若A ，B ，C 成等差数列，则π3B =，得到答案. 【解析】在ABC ∆中，若π3B =，则2ππ23A CB B +=-==，所以A ，B ，C 成等差数列，充分性成立. 反之，若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，因为3πA B C B ++==，所以π3B =，必要性成立.所以“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的充要条件. 故选：C.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．192【答案】B 【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案. 【解析】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=， 由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3724a a +=，840S =，则29a a +等于（ ） A ．44- B ．14C ．24D ．38【答案】D 【分析】根据条件，列出方程组，求出首项和公差即可求解. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3724a a +=，840S =得112824,82840,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得144,14,a d =-⎧⎨=⎩则2912938a a a d +=+= 故选：D8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，43a =，1224S =，若i 0j a a +=（i ，j N *∈，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4,5C ．{}6,7,8D ．{}6,7,8,9,10【答案】B 【分析】设公差为d ，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案. 【解析】设公差为d ，由4133a a d =+=-及121121112242S a d ⨯=+=，解得19a =-，2d =， 所以数列为9-，7-，5-，3-，1-，1，3，5，7，9，11，…，故i 取值的集合为{}1,2,3,4,5. 故选:B .二、多选题9．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图： 1112131n a a a a ⋯⋯ 2122232n a a a a ⋯⋯ 3132333n a a a a ⋯⋯ ……123n n n nn a a a a ⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知1113612,1a a a ==+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1()313j ij a i -=⨯-D ． (13)131(4)n S n n =-＋ 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，对各选项进行判断，即可得到结果. 【解析】由11136121a a a ==+，，可得22131161112525a a m m a a m m ===+=+，，所以22251m m =++，解得3m =或12m =- (舍去)，所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111[()][2]11333()(3)1j j j j ij i a a m a i m m i i ----==+-⋅⋅=+-⨯⨯=-⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++⋯++++⋯++⋯+++⋯+()()()11211131313...131313n n n n a a a ---=+++--- ()()()()23111 313131224n n n n n n +-=-⨯=+-，所以选项D 是正确的； 故选：ACD.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝0，a 4＝8，则（ ）A ．S n ＝2n 2－6nB ．S n ＝n 2－3nC ．a n ＝4n －8D ．a n ＝2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得1,a d ，由此求得,n n a S ，从而确定正确选项，【解析】 依题意3408S a =⎧⎨=⎩， 1113304,438a d a d a d +=⎧⇒=-=⎨+=⎩， 所以2148,262n n n a a a n S n n n +=-=⋅=-. 故选：AC11．已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BCD【分析】由已知得2021＝3＋(n －1)d ，即有n ＝2018d ＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.由此可得选项.【解析】解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.故选：BCD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．设n S 为正项数列{n a }的前n 14n a +，则通项公式n a =___________ 【答案】21()4n n N +-∈ 【分析】当1n =时，求得114a =；当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减得到112n n a a --=，结合等差数列的定义，即可求解其通项公式. 【解析】由n S 为正项数列{n a }的前n 14n a =+，当1n =114a =+，可得2111()4a a =+，解得114a =， 当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减，可得1-11()()02n n n n a a a a -+--=， 因为0n a >，所以112n n a a --=， 所以数列{n a }是以12为公差，以14为首项的等差数列， 所以1121(1)424n n a n -=+-=. 故答案为：21()4n n N +-∈. 13．在等差数列{a n }中，a 3＝0．如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________．【答案】9【分析】根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 3＝a 1＋2d ＝0，∈a 1＝－2d ．又∈a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，266k k a a a +∴=，即[a 1＋(k －1)d ]2＝(a 1＋5d )·[a 1＋(k ＋5)d ]，[(k －3)d ]2＝3d ·(k ＋3)d ，解得k ＝9或k ＝0(舍去)． 故答案为：914．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.【答案】32【分析】由a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，两式相减求得公差即可.【解析】因为a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，所以(a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，解得d ＝32， 所以a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32. 故答案为：32四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，9411S a =. （1）求n a ；（2）若3n n S a =+2 ，求n .【答案】（1）21n a n =+（2）4n =【分析】（1）设公差为d ，根据28S =，9411S a =，列出方程组，求得首项跟公差，即可得出答案； （2）利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再根据3n n S a =+2 ，即可的解. （1）解：设公差为d ，由已知294811S S a =⎧⎨=⎩， 得：()11128936113a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：132a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =+；（2）解：()232122n n n S n n ++==+， 因为3n n S a =+2 ，即()223212n n n +=++，得2450n n --=，解得4n =，或1n =-（舍去）， 所以4n =.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1646,2a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及相应的n 的值.【答案】（1）102n a n =-（2）当4n =或5n =时，n S 有最大值是20【分析】（1）用等差数列的通项公式即可. （2）用等差数列的求和公式即可. （1）在等差数列{}n a 中，∈1646,2a a a +==, ∈1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得182a d =⎧⎨=-⎩， ∈1(1)102n a n d a n ==--+；（2）∈18,2a d ==-，1(1)2n n n S na d -=+ ∈1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+ ， ∈当4n =或5n =时，n S 有最大值是20。

1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ )(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( × )(5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．( × )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ )1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________________________________________________________________________. 答案 6解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＋a 9＝a 4＋a 6＝－6，且a 1＝－11，∴a 9＝5，从而d ＝2.∴S n ＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ，∴当n ＝6时，S n 取最小值．2．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，从第7项起为负数，则它的公差为________．答案 －4解析 a n ＝23＋(n －1)d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 6>0，a 7<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧23＋5d >0，23＋6d <0，解得－235<d <－236， 又d 为整数，所以d ＝－4.3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________.答案 88解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.答案 28解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为________．(2)已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10＝________.答案 (1)52 (2)210 解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12， 所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列， 所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52. (2)因为a 2＝7，a 4＝15，所以d ＝4，a 1＝3，故S 10＝10×3＋12×10×9×4＝210. 思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．(1)(2015·课标全国Ⅱ改编)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝________________________________________________________________________.(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是________． 答案 (1)5 (2)2解析 (1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5. (2)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)， b n ＝1a n －1(n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知b n ＝n －72， 则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7， 则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.引申探究例2中，若条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，探求数列{a n }的通项公式． 解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n＋1， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列， ∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是________．①公差为3的等差数列 ②公差为4的等差数列③公差为6的等差数列 ④公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为______________． 答案 (1)③ (2)a n ＝1n解析 (1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2)＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2)＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列．(2)由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得 1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n . 题型三 等差数列的性质及应用命题点1 等差数列的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60.命题点2 等差数列前n 项和的最值例4 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ， ∴d ＝－53. 方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53 ＝－53n ＋653. 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0.∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53 ＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.方法三 由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 引申探究例4中，若条件“a 1＝20”改为a 1＝－20，其他条件不变，求当n 取何值时，S n 取得最小值，并求出最小值．解 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，∴a 13＝0.又a 1＝－20，∴a 12<0，a 14>0，∴当n ＝12或13时，S n 取得最小值，最小值S 12＝S 13＝13(a 1＋a 13)2＝－130. 思维升华 (1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a n m －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则a ．S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；b ．S 2n －1＝(2n －1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．②邻项变号法：a ．当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ； b ．当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m . (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是________．(2)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为________．(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________． 答案 (1)6 (2)5或6 (3)110解析 (1)依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6.(2)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大．(3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝20n －n (n －1)2×2 ＝－n 2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2122＋⎝⎛⎭⎫2122， 又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.6．等差数列的前n 项和及其最值典例 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10＝________.(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.(3)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________． 思维点拨 (1)求等差数列前n 项和，可以通过求解基本量a 1，d ，代入前n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…；(2)求等差数列前n 项和的最值，可以将S n 化为关于n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项．解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45. (2)方法一 设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧ a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110. 方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90， 所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110. (3)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，所以S n 的最大值为S 5.答案 (1)45 (2)－110 (3)S 5温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时，要注意到n ∈N *；(2)利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量．[方法与技巧]1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解．2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定．[失误与防范]1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数．2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．(2015·课标全国Ⅰ改编)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝________________________________________________________________________. 答案 192解析 ∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12， ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192. 2．(2015·北京改编)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是________．①若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0；②若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0；③若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3；④若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0.答案 ③解析 设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故①错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故②错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，所以a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，所以a 2>a 1a 3，故③正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故④错．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 答案 5解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列． ∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验为原方程的解．4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.答案 3解析 设{b n }的公差为d ，∵b 10－b 3＝7d ＝12－(－2)＝14，∴d ＝2.∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6.∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62d ＝7×(－6)＋21×2＝0.又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3＝0， ∴a 8＝3.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为________．答案 7或8解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8.6．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14. 7．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 设等差数列的公差为d ，∵a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.8．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.9．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.10．(2015·济南模拟)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解 方法一 由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1. 从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 又a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大． 方法二 由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知a ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大． 方法三 由方法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧ a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．方法四 由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0，所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝24，则a 6·a 7的最大值为________． 答案 4解析 在等差数列{a n }中，∵S 12＝6(a 6＋a 7)＝24，∴a 6＋a 7＝4，令x >0，y >0，由基本不等式可得x ·y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立．又a 6>0，a 7>0，∴a 6·a 7≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 722＝4，当且仅当a 6＝a 7＝2时，“＝”成立．即a 6·a 7的最大值为4.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k＝－12，则正整数k ＝________. 答案 13解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212， 又S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13. 13．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 答案1941 解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 14．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (－8，－7)解析 依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＜0，a ＋8＞0，由此解得－8＜a ＜－7，即实数a 的取值范围是(－8，－7)．15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，所以a 3＜a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ，所以2c2＋c＝0，所以c＝－1或c＝0(舍去)，2时，{b n}是等差数列，经验证c＝－12故c＝－12.。

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．8. 等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

等差数列知识点及考点试题解析一．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．二．等差中项如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义知2A ＝a＋b．①a，A，b是等差数列的充要条件是2A＝a＋b．②数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．③若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．三．等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d；an＝am＋(n－m)d(n，m ∈N*)四．等差数列的前n项和公式1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和Sn＝n（a1＋an）2或Sn＝na1＋n（n－1）d．22.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝dn2n⇌数列{an}是等差数列⇔Sn＝2An2＋Bn(A，B为常数)．3.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，若a1>0，d<0≥0，＋1≤0的项数m 使得Sn 取得最大值Sm ；若a1<0，d>0≤0，＋1≥0的项数m 使得Sn 取得最小值Sm ．一．等差数列运算问题的通性方法1.等差数列运算的一般求法是设出首项a1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．2.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a1，an ，d ，n ，Sn ，知其中三个就能求另外两个。

二．等差数列的判定与证明的常用方法1.定义法：an ＋1－an ＝d(d 是常数，n ∈N*)或an －an －1＝d(d 是常数，n ∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列．2.等差中项法：2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)⇔{an}为等差数列．3.通项公式法：an ＝an ＋b(a ，b 是常数，n ∈N*)⇔{an}为等差数列．4.前n 项和公式法：Sn ＝an2，b 为常数)⇔{an}为等差数列．三．在等差数列{an}中前n项和性质1.Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，…，构成等差数列；2.S2n ＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an ＋an ＋1)；3.S2n －1＝(2n －1)an ．n n n n 2n 1n 2n 1n 2n-12m 1m2n 1n(S T a b n S (2n 1)a S a 1S =(2)T (2m 1)b T b -----==-−−→特例n 4.数列项数为奇数2n-1时、分别是等差数列、的前项和）（）(2n-1)a 5.若项数为偶数2n ，则S2n ＝n(a1＋a2n)＝n(an ＋an ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝anan ＋1．6.若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；S奇S偶＝nn－1．四．求等差数列前n项和Sn及最值1，二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.2.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．3.项的符号法(邻项变号法)：①当a1>0，d<0≥0，＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0≤0，＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.数列的单调性当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．考点等差数列基本量的计算【例1-1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列{}na的前n项和为nS，131,18a S==，则6S=（）A．54B．71C．80D．81【答案】D【解析】设等差数列{}n a的公差为d ，因为131,18a S ==，可得1333318a d d +=+=，解得5d =，所以166********S a d =+=+⨯=.故选：D.【例1-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和是376,1,3n S a S a ==，则3S =（）A ．1B ．1-C ．3D ．3-【答案】D【解析】由已知设等差数列的公差为d ，则3121a a d =+=，117673(5)2a d a d ⨯+=+，解得13a =-，2d =，所以31333S a d =+=-．故选：D.【例1-3】（2023·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（）A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【解析】方法一：设等差数列{}n a的公差为d ，首项为1a ，依题意可得，2611510a a a d a d +=+++=，即135a d +=,又()()48113745a a a d a d =++=，解得：11,2d a ==，所以515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=．故选：C.方法二：264210a a a +==，4845a a =，所以45a =，89a =，从而84184a a d -==-，于是34514a a d =-=-=，所以53520S a ==．故选：C.【一隅三反】1．（2023·四川雅安·统考三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．若()*111,2N n n n a S S a n +==++∈，则5S =（）A ．16B ．25C ．29D ．32【答案】B【解析】由12n n n S S a +=++可得12n n a a +=+，即12n n a a +-=，故数列{}n a是以11a =为首项，2为公差的等差数列，所以5154=52252S a ⨯+⨯=，故选：B2．（2023春·广东佛山）（多选）若{}n a为等差数列，211a =，55a =，则下列说法正确的是（）A ．152n a n=-B ．－11是数列{}n a中的项C ．数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-+D ．数列{}n a的前7项和最大【答案】ABD【解析】2111a a d =+=，5145a a d =+=，解得113a =，2d =-，对选项A ：()()1312152n a n n=+-⨯-=-，正确；对选项B ：取15211n a n =-=-，13n =，正确；对选项C ：()21132142n n n S n n n -=-⨯=-+，错误；对选项D ：152n a n =-，710a =>，810a =-<，故数列{}n a的前7项和最大，正确.故选：ABD3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等差数列{}n a为递减数列，且31a =，2434a a =，则下列结论中正确的有（）A ．数列{}n a的公差为12-B ．1522n a n =-+C ．数列{}1n a a 是公差为1-的等差数列D ．1741a a a +=-【答案】ABC【解析】由题意知，2432 2.a a a +==又2434a a =，故24,a a 可看出方程23204x x -+=的两根，∵数列{}n a为递减数列，412a ∴=，232a =．∴公差42122a a d -==-，故A 正确；又122a a d =-=，11521222n a n n ∴=+-⨯-=-+（）（），故B 正确；由上可知12n n a a a =，则当2n ≥时，()111222212n n n n a a a a --⎛⎫-=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，当1n =时，214a =，∴数列{}1n a a 是首项为4，公差为1-的等差数列，故C 正确；由C 选项知：15n a a n =-，故17572a a =-=-，∵451222a =-=，174135722a a a ∴+=-+=-，故D 错误．故选：ABC4．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）（多选）已知数列{}n a的前n 项和为n S ，若数列{}n a和均为等差数列，且518a=，则（）A ．16a =B ．830a =C ．560S =D ．798S =【答案】BD【解析】数列{}n a为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则18(5)185n n d dn d a =+-=+-，5(184)(3692182)n n nS d dn d dn d +-=+-+=-，由数列为等差数列，可得则7215d -=两边平方整理得，28160d d -+=，解之得4d =，则42n a n =-，22n S n =，选项A ：1422a =-=.判断错误；选项B ：848230a =⨯-=.判断正确；选项C ：252550S =⨯=.判断错误；选项D ：272798S =⨯=.判断正确.故选：BD考点等差数列的判定与证明【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a满足1111,22n n a a a +=-=--．证明：11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求出数11n a ⎧⎫⎨+⎩⎭的通项公式．【答案】证明见解析，111n n a =++【解析】因为112n n a a +=--，所以1111122n n n n a a a a +++=+=--+，则12111111n n n n a a a a ++==++++，即111111n n a a +-=++，又112a =-，则1121112n a ==+-，所以11n a ⎧⎫⎨+⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以()121111n n n a =+-⨯=++．【例2-2】（2023·北京）已知数列{}n a满足()1144,41n n a a n a -==->，记12n n b a =-．求证：数列{}n b 是等差数列．【答案】证明见解析【解析】（定义法）111111422242n n n n n nb b a a a a ++-=-=------()121222nn a a -==-，所以数列{}n b 是首项为11122a =-，公差为12的等差数列.（等差中项法）12n n b a =-，()1111422242n n n n na b a a a ++===----，()1214412224242n nn n n n n a a a b a a a +++--==--⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()21112202222n n n n n n n n a a b b b a a a ++-+-=+-⨯=---，所以()*212N n n n b b b n +++=∈，所以数列{}n b 是首项为11122a =-，公差为12的等差数列.【一隅三反】1．（2023·安徽）若数列{}n a为等差数列，则下列说法中错误的是（）A ．数列12a ，22a ，32a ，…，2n a …为等差数列B ．数列2a ，4a ，6a ，…，2n a ，…为等差数列C ．数列{}1n n a a +为等差数列D ．数列{}1n n a a ++为等差数列【答案】C【解析】A 选项：因为{}n a为等差数列，所以设1n n a a d --=（d 为常数），又()112222n n n n a a a a d---=-=，所以数列{}2n a 也为等差数列，故A 正确；B 选项：2222n n a a d --=，所以数列{}2n a 为等差数列，故B 正确；C 选项：112n n n n n a a a a da +--={}1n n a a +不是等差数列，故C 错；D 选项：()112n n n n a a a a d+-+-+=，所以数列{}1n n a a ++为等差数列，故D 正确.故选：C.2．（2023·云南）已知等差数列{}n a的前n 项和为n S ，若6812,72,a S ==(1)求数列{}n a的通项公式.(2)证明:数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.【答案】(1)2n a n =(2)证明见解析【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得11512878722a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，有22(1)2n a n n=+-=，所以等差数列{}n a 的通项公式为2n a n =；（2）由(1)知(22)(1)2n nS n n n =+=+，1n S n n =+，所以1(1)1(1)11n n S S n n n n +-=++-+=+，又121S =，故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列.3．（2023·广东）已知数列{n a }满足112,12nn n a a a a +==+．(1)求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求数列{n a }的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)243n a n =-【解析】（1）证明：数列{n a }满足112,12nn n a a a a +==+．两边取倒数可得：1112n n a a +=+，即1112n n a a +-=，∴数列{1n a }是等差数列，首项为1112=a ，公差为2；（2）由（1）可得：()11432122n n n a -=+-=，解得243n a n =-．。

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广： ． 从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2） 等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3） 数列是等差数列（其中是常数）。

{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4） 数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。

{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

三、等差数列的前n 项和1．等差数列前n 项和公式n a 通项公式得到）★ 21()22n d dS n a n =+-（以n 为变量，体现二次函数） 2n S An Bn =+（简化写法，不含常数项的二次函数）2．和的有关性质等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，那么： （1）{}n S n也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的12．（2）等差数列{}n b ，前n 项和为n T （21(21)n n S n a -=-）．★ （3）数列232,,,k k k k k S S S S S --是等差数列，公差为2k d ．★（4）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n 时，S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶； ②当项数为奇数21n -时，n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶．3．和与函数的关系及和的最值 21()22n d dS n a n =+-简写为2()n S An Bn n =+∈*N ，可以把(,)n n S 看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值．练习题：D．9答案解析：11 | 1312 | 1313 | 13当12n <时，n S 很明显都是小于0的 故n S 取到最小正数时的n 为12． 答案：1231解析：由1020S S =知对称轴为15n =，故最大值为前15项之和． 答案：A 32解析：41434442S a d ⨯=+=，81878562S a d ⨯=+=两式联立解得114a =，2d =- 故2(1)14(2)152n n n S n n n -=+⨯-=-+ 对称轴为7.5，故当7n =或8n =时取最大值27715756S =-+⨯=．答案：最大值为7856S S ==33解析：根据对称性，由67S S =可知58S S =，49S S = 由中间到两端以此减小，所以985S S S <=，C 选项错误． 答案：C34解析：由条件可知函数零点在18与19之间，又函数过原点则对称轴应介于182与192之间，即大于9小于9.5 数列的下标只能取正整数，离对称轴最近的正整数为9，故9S 最大． 答案：C数学浪子整理制作，侵权必究。

二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推式表示为1n n a a d +-=或1(2)n n a a d n --=≥．例如：数列{}n a 满足12n n a a +=+，则数列{}n a 是公差为2的等差数列． 注：0d >时，为递增数列；0d <时，为递减数列；0d =时，为常数列． 2．等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫作a 与b 的等差中项． 此时2a b A +=3．等差数列的通项公式等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．4．等差数列的性质（1）等差数列{}n a 的第m 项为m a ，则()n m a a n m d =+-．★ 例如：8123107652a a d a d a d a d =+=+=+=-=L ．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=．★ 例如：1928374652a a a a a a a a a +=+=+=+=，12132n n n a a a a a a --+=+=+=L ． （3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,L 组成公差为md 的等差数列． 例如：135721,,,,,,n a a a a a -L L 组成公差为2d 的等差数列；51015205,,,,,,n a a a a a L L 组成公差为5d 的等差数列．（4）{}n a 是公差为d 的等差数列，则{}n ka b +也是等差数列，公差为kd ． （5）{}n a ,{}n b 都是等差数列，则{}n n a b ±,{}n n pa qb ±也是等差数列．5．判断一个数列是等差数列的方法 （1）定义法：1n n a a d +-=（常数）．（2）等差中项法：122++=+n n n a a a 或112-+=+n n n a a a ．★ （3）通项公式法：=n a kn b +（公差为k ）．（4）前n 项和公式法：2n S An Bn =+（不含常数项的二次函数）．★练习题：答案解析：112(1)nna=+-，121nan=-．答案：C25解析：设公差为d，则7311411da a=+++，解得124d=故197111211da a=+++1=，19a∴=．答案：A26解析：原式变形为211(11)n na a++=++，1111n na a+∴+=++{1}na∴+是以1为首项，1为公差的等差数列则11(1)na n+=+-，21na n=-故213131168a=-=．答案：C数学浪子整理制作，侵权必究。

等差数列提高题第I卷徐荣先汇编一．选择题（共20小题）1．记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．82．等差数列{an }中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{an}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．363．已知Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．1204．等差数列{an }中，a3=5，a4+a8=22，则{an}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．1285．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=（）A．36 B．72 C．144 D．706．在等差数列{an }中，a9=a12+3，则数列{an}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．1327．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，则a4=（）A．4 B．5 C．6 D．78．一已知等差数列{an }中，其前n项和为Sn，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．1479．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．210．已知等差数列{an }的前n项和Sn，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．26011．已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，若4S6+3S8=96，则S7=（）A．48 B．24 C．14 D．712．等差数列{an }的前n项和为Sn，且满足a4+a10=20，则S13=（）A．6 B．130 C．200 D．26013．在等差数列{an }中，Sn为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．10514．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．215．已知等差数列{an }，a1=50，d=﹣2，Sn=0，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．5116．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．417．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（）A．9 B．81 C．5 D．4518．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．219．等差数列{an }中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{an}的前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．29720．等差数列{an }中，a2+a3+a4=3，Sn为等差数列{an}的前n项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．6 二．选择题（共10小题）21．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= ．22．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d= ．23．已知等差数列{an }中，a1=1，a2+a3=8，则数列{an}的前n项和Sn= ．24．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若公差d=2，a5=10，则S10的值是．25．设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= ．26．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=9﹣a6，则S8= ．27．设数列{an }是首项为1的等差数列，前n项和Sn，S5=20，则公差为．28．记等差数列{an }的前n项和为Sn，若，则d= ，S6= ．29．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4=4，则S7= ．30．已知等差数列{an }中，a2=2，a12=﹣2，则{an}的前10项和为．I卷答案一．选择题（共20小题）1．（2017•新课标Ⅰ）记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{an}的公差为4．故选：C．2．（2017•于都县模拟）等差数列{an }中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{an}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．36【解答】解：∵等差数列{an }中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，∴a3+a7=4，∴{an }的前9项和S9===．故选：C．3．（2017•江西模拟）已知Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．120【解答】解：由等差数列的性质可得：．故选：C．4．（2017•尖山区校级四模）等差数列{an }中，a3=5，a4+a8=22，则{an}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．128【解答】解：a4+a8=2a6=22⇒a6=11，a3=5，∴，故选：B．5．（2017•宁德三模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=（）A．36 B．72 C．144 D．70 【解答】解：在等差数列{an}中，由a2+a4+a9=24，得：3a1+12d=24，即a1+4d=a5=8．∴S9=9a5=9×8=72．故选：B．6．（2017•湖南一模）在等差数列{an }中，a9=a12+3，则数列{an}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．132【解答】解：在等差数列{an }中，a9=a12+3，∴，解a1+5d=6，∴数列{an }的前11项和S11=（a1+a11）=11（a1+5d）=11×6=66．故选：C．7．（2017•商丘三模）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，则a4=（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴a4=﹣1+2×3=5．故选：B．8．（2017•葫芦岛一模）一已知等差数列{an }中，其前n项和为Sn，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147【解答】解：等差数列{an }中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．9．（2017•南关区校级模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．2【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，∴，解得，d=．故选：A．10．（2017•锦州一模）已知等差数列{an }的前n项和Sn，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．260【解答】解：∵数列{an}为等差数列，∴2a3=a3，即a3=0又∵a11=20，∴d=S13=•（a1+a13）=•（a3+a11）=•20=130故选B．11．（2017•龙门县校级模拟）已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，若4S6+3S8=96，则S7=（）A．48 B．24 C．14 D．7【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵4S6+3S8=96，∴+=96，化为：a1+3d=2=a4．则S7==7a4=14．故选：C．12．（2017•大连模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，且满足a4+a10=20，则S13=（）A．6 B．130 C．200 D．260【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且满足a4+a10=20，∴S13=（a1+a13）=（a4+a10）=20=130．故选：B．13．（2017•大东区一模）在等差数列{an }中，Sn为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．105【解答】解：∵等差数列{an }中，Sn为其前n项和，a3+a4+a8=25，∴3a1+12d=25，∴，∴S9==9a5=9×=75．故选：B．14．（2017•延边州模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，∴，解得a3=﹣2，d=4．故选：B．15．（2017•金凤区校级四模）已知等差数列{an }，a1=50，d=﹣2，Sn=0，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．51【解答】解：由等差数列的求和公式可得，==0整理可得，n2﹣51n=0∴n=51故选D16．（2017•唐山一模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．4【解答】解：设等差数列{an }的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴d=﹣4，d=6，解得a1=﹣4，d=2．则S5=5×（﹣4）+×2=0，故选：B．17．（2017•南关区校级模拟）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（）A．9 B．81 C．5 D．45【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，a 4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那∴a4+a6=18，∴S9===81．故选：B．18．（2017•宜宾模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，∴，解得a1=7，d=﹣2，∴公差d等于﹣2．故选：B．19．（2017•西宁模拟）等差数列{an }中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{an}的前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297【解答】解：∵等差数列{an }中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，∴3a3=39，3a7=27，解得a3=13，a7=9，∴数列{an}的前9项的和：S9===．故选：B．20．（2017•大庆二模）等差数列{an }中，a2+a3+a4=3，Sn为等差数列{an}的前n项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵等差数列{an }中，a2+a3+a4=3，S n 为等差数列{an}的前n项和，∴a2+a3+a4=3a3=3，解得a3=1，∴S5==5a3=5．故选：C．二．选择题（共10小题）21．（2017•榆林一模）设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= 49 ．【解答】解：∵a2+a6=a1+a7∴故答案是4922．（2017•宝清县校级一模）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d= 3 ．【解答】解：由等差数列的性质可得S3===3，解得a2=1，故公差d=a3﹣a2=4﹣1=3故答案为：323．（2017•费县校级模拟）已知等差数列{an }中，a1=1，a2+a3=8，则数列{an}的前n项和Sn= n2．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=1，a2+a3=8，∴2×1+3d=8，解得d=2．则数列{an }的前n项和Sn=n+=n2．故答案为：n2．24．（2017•淮安四模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若公差d=2，a5=10，则S10的值是110 ．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，若公差d=2，a5=10，∴a5=a1+4×2=10，解得a1=2，∴S10=10×2+=110．故答案为：110．25．（2017•盐城一模）设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= 63 ．【解答】解：∵{an }是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．26．（2017•乐山三模）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=9﹣a6，则S8=72 ．【解答】解：由题意可得a3+a6=18，由等差数列的性质可得a1+a8=18故S8=（a1+a8）=4×18=72故答案为：7227．（2017•凉山州模拟）设数列{an }是首项为1的等差数列，前n项和Sn，S5=20，则公差为．【解答】解：设等差数列{an }的公差为d，∵a1=1，S5=20，∴5+d=20，解得d=．故答案为：．28．（2017•鹿城区校级模拟）记等差数列{an }的前n项和为Sn，若，则d= 3 ，S6= 48 ．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵，∴+d=20，解得d=3．∴S6==48．故答案为：3，48．29．（2017•金凤区校级一模）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a4=4，则S7=28 ．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，a4=4，∴S7=（a1+a7）=7a4=28．故答案为：28．30．（2017•衡阳三模）已知等差数列{an }中，a2=2，a12=﹣2，则{an}的前10项和为 6 ．【解答】解：∵等差数列{an }中，a2=2，a12=﹣2，∴，解得a1=2.4，d=﹣0.4，∴{an}的前10项和为：=6．故答案为：6．第II 卷一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D.252．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.123．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11D.124．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D.125．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D.－15二、填空题6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝________.7．{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则S 10＝________.8．若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1nn ＋1的前n 项和为S n ，且S n ＝1920，则n ＝________.[能力提升]1．如图2­2­4所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n等于( )图2­2­ 4A.3n22B.n n＋12C.3n n－12D.n n－123．(2015·安徽高考)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1＋12(n≥2)，则数列{a n}的前9项和等于________．资*源%库4．(2015·全国卷Ⅰ)S n为数列{a n}的前n项和．已知a n＞0，a2n＋2a n＝4S n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1anan＋1，求数列{b n}的前n项和．第III卷1．已知{a n}为等差数列，a1＝35，d＝－2，S n＝0，则n等于( ) A．33 B．34C．35 D．36【答案】 D【解析】本题考查等差数列的前n项和公式．由S n＝na1＋n n－12d＝35n＋n n－12×(－2)＝0，可以求出n＝36.2．等差数列{a n}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则数列前13项的和是( )A．13 B．26C．52 D．156【答案】 B【解析】3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24⇒6a4＋6a10＝24⇒a4＋a10＝4⇒S13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝13×42＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28.【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d2n 2＋n (a 1－d2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎨⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎨⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n n －12×4＝2n 2－17n ，所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎨⎧ 122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎨⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n n －12d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列，所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400【答案】 B 【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C【解析】 由已知⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 A【解析】 ⎩⎨⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n .＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36，S n ＝n a1＋a n2＝n×362＝234.∴n＝13，S13＝13a7＝234.∴a7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( ) A．8 B．7C．6 D．5【答案】 D【解析】S奇＝6a1＋6×52×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋5×42×2d＝5(a1＋5d)＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n，T n，已知SnTn＝7nn＋3，则a5b5等于( )A．7 B.2 3C.278D.214【答案】 D【解析】a5b5＝2a52b5＝a1＋a9b1＋b9＝92a1＋a992b1＋b9＝S9T9＝214.8．已知数列{a n}中，a1＝－60，a n＋1＝a n＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于( )A．445 B．765C．1 080 D．1 305【答案】 B【解析】a n＋1－a n＝3，∴{a n}为等差数列．∴a n＝－60＋(n－1)×3，即a n＝3n－63.∴a n＝0时，n＝21，a n>0时，n>21，a n<0时，n<21.S′30＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－a1－a2－a3－…－a21＋a22＋a23＋…＋a30＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n＝________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则 ⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎨⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3，∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S 8＝8a1＋a82＝44.(2)由S n＝n a1＋a n2＝n－512＋12＝－1 022，解得n＝4.又由a n＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.【规律方法】一般地，等差数列的五个基本量a1，a n，d，n，S n，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a1和d，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n}，且满足a n＝40－4n，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】方法一：(二次函数法)∵a n＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，∴S n＝a1＋a n n2＝36＋40－4n2·n＝－2n2＋38n＝－2[n2－19n＋(192)2]＋1922＝－2(n－192)2＋1922.令n－192＝0，则n＝192＝9.5，且n∈N＋，∴当n＝9或n＝10时，S n最大，∴S n的最大值为S9＝S10＝－2(10－192)2＋1922＝180.方法二：(图象法)∵a n＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，a2＝40－4×2＝32，∴d＝32－36＝－4，S n ＝na1＋n n－12d＝36n＋n n－12·(－4)＝－2n2＋38n，点(n，S n)在二次函数y＝－2x2＋38x的图象上，S n有最大值，其对称轴为x＝－382×－2＝192＝9.5， ∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列． 令⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨⎧40－4n ≥0，40－4n ＋1≤0，∴⎩⎨⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大． ∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m－1＝S m 同为S n 的最值．。

AP等差数列1:(概念\通项公式)定义\等差中项\等差数列的通项公式\.等差数列的通项公式:a n=a1+(n−1)d等差数列通项公式的推导:○1归纳法(由特殊到一般的思想)○2逐差法○3累加法○4迭代法等差数列通项公式的变形:.对任意正整数m,n∈N∗,有a n=a m+(n−m)d,即d=a n−a mn−m等差数列的性质(重点):设{a n}是公差为d的等差数列,那么(1)在等差数列{a n}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N∗),则a m+a n=a p+a q.注:○1若m+n=2k(m,n,k∈N∗),则a m+a n=a2k.○2若{a n}是有穷等差数列,则与首尾两项等距离的两项之和都相等,且等于首位两项之和,即a1+a n=a2+a n−1=⋯.(2)数列{λa n+b}(λ,b为非零常数)是公差为λd的等差数列.(3)若数列{b n}也是等差数列,则数列{a n±b n},{ka n+mb n}(m,k∈R)是等差数列.(4)等差数列的单调性:(三种情况)1.等差数列的判定:方法:(1)定义法;(2)等差中项法;(3)通项公式法.(不再举例)还是举一个例子吧:例15:已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足:a n+1=n n√a n +b nn ∈N ∗.设b n+1=1+b na n,n ∈N ∗,求证:数列{(b n a n)2}是等差数列.2.灵活设项求解等差数列问题:方法:(1)若所给等差数列为2n (n ∈N ∗)项,则这个数列可设为:a −(2n −1)d,…,a −3d,a +d,a +3d,…,a +(2n −1)d ,此数列公差为2d.(2)若所给等差数列的项数为2n +1(n ∈N ∗)项,则这个等差数列可设为:a −nd,a −(n −1)d,…,a −d,a,a +d,…,a +(n −1)d,a +nd,此数列的公差为d .例:成等差数列的四个书之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.分析:总共四个数,即2n(n ∈N ∗)个,用对称设法:解:设这四个数为a −3d,a −d,a +d,a +3d,由题意可知{(a −3d )+(a −d )+(a +d )+(a +3d )=26(a −d )(a +d )=40 ,即{4a =26a 2−d 2=40.解的{a =132d =32 或 {a =132d =−32. 故这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.(今后也许会遇到这种设法了解一下即可)变式:一直四个数依次成等差数列,且这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两素数之积少18,求这四个数.(等差数列的性质应用)例:在数列{a n}中,a1=1且对任意大于1的正整数n,点(√a n,√a n+1)在直线x−y−√3=0上,则a n= .例16:若{a n}是等差数列,a3,a10,是方程x2−3x−5=0的两根 ,则a5+a6+a7+a8= .例17:若数列{a n}为等差数列,且a1+a7+a13=π,则tan(a2+a12)= .例18:在∆ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果a,b,c成等差数列,B= 30°,∆ABC的面积为1.5,那么b= .例19:已知∆ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则∆ABC的面积为.(需要使用余弦定理)例20:若{a n}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9= .例21:若等差数列{a n},a3+a4+a5=12,那么a1+a2+⋯+a7= .例22:在数列{a n}中,若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9−a13= .a8= .例23:在数列{a n}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7−12例24:已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32 ,若a m=8,则m为.例25:若{a n}为等差数列,且a1+a5+a8=π,则cos(a2+a8)的值为.例26:已知在等差数列{a n }中,a 3+a 4=1,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6= .例27:已知数列{a n }中,a 1=0,a 2=2,且a n+1+a n−1=2(a n +1)(n ≥2) (1)求证:数列{a n+1−a n }是等差数列. (2)求{a n }的通项公式.等差数列2:(等差数列的前n 项和)a n 与S n 的关系:若数列的前n 项和为S n ,则通项公式a n ={S 1 (n =1),S n −S n−1 (n ≥2).已知S n 求a n ,不能直接用a n =S n −S n−1,必须有n ≥2,因为S 0是没有意义的. a 1应单独解出,在验证是否符合a n =S n −S n−1(n ≥2).若符合,写成统一的式子;若不符合,则用分段函数的形式给出.等差数列前n 项和公式:S n =n(a 1+a n )2或S n =na 1+n(n−1)2d .(知道)等差数列前n 项和的公式的推导(仅有一个倒叙相加法):1.等差数列前n项和的性质:(重点)设S n是等差数列{a n}的前n项和,d是{a n}的公差,那么:(1)S k,S2k−S k,S3k−S2k,…(k∈N∗)构成公差为k2d的等差数列.(2)设等差数列{a n}的项数为2n,(n∈N∗),则有:○1S2n=n(a n+a n+1)○2S偶−S奇=nd,S偶S奇=a n+1a n,(S偶,S奇分别为数列{a n}的所有奇数项的和,偶数项和.)○3设等差数列{a n}的项数为2n−1(n∈N∗),则S2n−1=(2n−1)a n(a n是数的列中间项),S奇−S偶=a n,S奇S偶=nn+1.(3)数列{S nn}是等差数列,首项为a1,公差为d2.(4)在等差数列{a n}中,若a1>0,d<0,则S n存在最大值;若a1<0,d>0,则S n 存在最小值.(注:若等差数列{a n}中,若a1>0,d<0,且a k>0,a k+1<0,则S k为最大值;若a k>0,a k+1=0,则S k=S k+1且S k与S k+1均为最大值.若等差数列{a n}中,a1>0,d> 0,情况与此相似.)(5)在等差数列{a n}中,○1若a n=m,a m=n(m≠n),则a m+n=0;○2若S n=m,S m=n(m≠n),则S m+n=−(m+n).○3若S n=S m(m≠n),则S m+n=0.2.等差数列前n项和比值的问题:(难点\重点):(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d1,等差数列{b n}的公差为b1,公差为d2,它们的前n项和分别为S n,T n,则它们的前n项和的比S n Tn有下列性质:○1等差数列{a n}的前n项和S n与等差数列{b n}的前n项和T n的比S nT n是关于n的一次函数,即S nT n =an+bcn+d.○2若等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,则a mb m=S2m−1T2m−1.a mb n=2n−12m−1∙S2m−1T2n−1(证明:a mb n =2a m2b n(分子分母同乘2)=a1+a2m−1b1+b2n−1(化为a1+a n的模式)=a1+a2m−12b1+b2n−12(分子分母同乘12)=(2m−1)∙a1+a2m−12(2n−1)∙b1+b2n−12×2n−12m−1(这步,分子分母同乘a n,只不过此时的n为(2m−1)⋅(2n−1) )特别地:当n=m时:a mb m=S2m−1T2m−1) (详细的不能再详细了(*^_^*))(上面的公式需要记忆,证明过程看懂就行)(2)设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S m,S n与a m,a n有如下性质:○1S2k−1S2l−1=(2k−1)a k(2l−1)a l○2S mS n=am2+bman2+bn.3.等差数列的前n项和公式与函数的关系:等差数列前n项和公式: S n=na1+n(n−1)2d可以写成S n=d2n2+(a1−d2)n.若令d2=A,a1−d2=B,则上式可以写成S n=An2+Bn,即S n是关于n的函数.则有以下总结:(1)一个数列{a n}是等差数列的前提条件是其前n项和的公式S n=f(n)是关于n的二次函数或一次函数或常函数,且其常数项为0,即S n=An2+Bn(A,B为常数).(2)若一个数列的前n 的项和的表达式为S n =An 2+Bn +C(A,B,C 为常数),则当C ≠0时,函数{a n }不是等差数列,但从第2项起是等差数列.例28:已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2,则a 8的值为 .例29:已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2+a 9=10,则S 10= .例30:等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S n T n=7n+45n−3,则是得an b n为正整数n 的和数是 .例31:已知S n 表示数列{a n }的前n 项和,且S 5S 10=13,那么S5S 20= .例32:等差数列{a n },{b n }的前n 项和之比为(5n+13)(4n+5),求a10b10的值.有关数列的基本量计算题目不举例了.例33:(1)等差数列{a n }中,a 2+a 7+a 14=24,求S 13.(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为377,项数n 为奇数,且前n 项和中奇数项和与偶数项和之比为7:6,求中间项.例34:已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,和T n,若S nT n =2n3n+1,求a8b8.例35:若数列{a n}的通项公式为a n=1n(n+1),求其前n项和.1.裂项(拆项)相消法求和:方法:把数列的通项拆成两项之差,数列的每一项按如此拆法拆成两项之差,在求和时一些项正负抵消,于是前n项和变成首尾如若干项之和.此法对通项公式如1(an+b)(cn+d)的数列尤为适用.例36:若数列{a n}的通项公式为a n=1(3n−2)(3n−1),求其前n项和S n.例37:已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n−1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:{1S n}是等差数列;(2)求a n的表达式;(3)若b n=2(1−n)a n(n≥2),求b2b3+b3b4+⋯+b n b n+1.2.等差数列前n项和最值的求法:方法:(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.○1当a1>0,d<0时,{a n}只有前面有限的几项为非负数,从某项开始其余所有项均为负数,所以由{a m≥0a m+1<0可得S n的最大值为S m.○2当a1<0,d>0时,{a n}只有前面有限的几项为负数,从某项开始其余所有项均为非负数,所以由{a m<0a m+1≥0可得S n的最小值为S m.(2)二次函数法(具体不再详细说了,没什么内容,看例题)例38:设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=−11,a4+a6=−6,则当S n 取最小值时,n等于 .例39:在等差数列{a n}中,a1=25,S17=S9,求其前n项和S n的最大值.例40:设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m−1=−2,S m=0,S m+1=3,则m= .例41:等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1+a2=5,a3+a4=9,则S10的值为 .例42:已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S n=S n−1+n+2(n∈N∗,n≥2),则S5的值为 .例43: 已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26,{a n}的前n项和为S n.(1)求{a n}及S n;(n∈N∗),求数列b n的前n项和T n.(2)令b n=1a n2−1例44:已知数列{a n},{b n}满足a1=2,2a n=1+a n a n+1,b n=a n−1,设数列{b n}的前n项和为S n,令T n=S2n−S n.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)求证:T n+1>T n(n∈N∗).例45:已知等差数列{a n}的前n项和为S n满足S3=0,S5=−5.(1)求{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)求数列{1a2n−1a2n+1= .例46:已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S100=100S10,则a100a10例47:已知数列{a n}的前n项和为S n=n2−n+1,则数列{a n}的通项公式为 .例48:求下面各数列的前n项和S n:(1)11×3,13×5,15×7,17×9…;(2)11×2×3,12×3×4,13×4×5,14×5×6….例49:一个等差数列共10项,其中奇数项的和为1212,偶数项的和为15,则公差是 .例50:已知等差数列{a n},首项a1>0,a2005+a2006>0,a2005⋅a2006<0,则使前n项和S n>0成立的最大自然数n是 .例51:在等差数列{a n}中,其前n项和为100,其后的2n项和为500,则紧随其后的3n项和为 .例52:已知等差数列{a n}的公差d<0,若a3a7=9,a1+a9=10,则该数列的前n项和S n的最大值为 .例53:设数列{a n}(n∈N)满足a0=0,a1=2,且对一切n∈N,有a n+2=2a n+1−a n+2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=13a1+14a2+15a3+⋯+1(n+2)a n,求T n的取值范围.。

等差数列答案高频考点一 等差数列基本量的运算例1、(1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10C.52D.54(2)已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380D ．400答案 (1)C (2)B【感悟提升】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．【变式探究】 (1)(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.12B ．1C ．2D ．3 答案 (1)A (2)C解析 (1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1， ∴S 5＝a 1＋a 52＝5a 3＝5.故选A. (2)∵S n ＝n a 1＋a n 2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2，∴数列{a n }的公差为2.高频考点二 等差数列的判定与证明例2、已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1－1an－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．【感悟提升】等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．【变式探究】(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1n B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 (1)C (2)A高频考点三 等差数列的性质及应用例2、 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60.【变式探究】在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ， ∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653.得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.【感悟提升】(1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 a ．S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； b ．S 2n －1＝(2n －1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．②邻项变号法：a ．当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；b ．当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .【举一反三】(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________．答案 (1)B (2)C (3)110解析 (1)依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6，选B.(2)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，选C. (3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得， S n ＝na 1＋n n －2d ＝20n －n n －2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2122＋⎝⎛⎭⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.习题：1．数列{a n }为等差数列，a 1，a 2， a 3成等比数列，a 5＝1，则a 10＝( )A ．5B ．－1C ．0D ．1解析：设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d 2＝a 1a 1＋2da 1＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝0，所以a 10＝a 1＋9d ＝1，故选D 。

1等差数列复习一、目标：掌握等差数列的有关概念、性质及简单应用 二、基础知识：1、a n 与S n 的关系式a n =⎩⎨⎧2、等差数列的定义式： 或 ；通项公式： ，前n 项和公式S n = = 。

3、等差数列的常见性质及结论：设{a n }为等差数列，公差为d （1）a n =a m + ；d= （m ≠n ） （2）若m+n=s+t=2l (m, n, s, t, l ∈N *)，则 。

（3）S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k …构成公差为 的等差数列。

（4）项数为2n 的等差数列中：S 偶-S 奇= 项数为2n+1的等差数列中：奇偶S S = 。

（5）若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最 值 n 由⎩⎨⎧ 确定若a 1＜0，d ＞0，则S n 有最 值 n 由⎩⎨⎧ 确定（6）若{a n }为等差数列，则}{n ac （c ＞0，c ≠1）为 数列。

（7）等差数列{a n }的一般形式：a n = S n = ，d= =三．[基础巩固]1.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( )A ．12B ．18C ．22D ．442．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 6＋a 7＝18，则S 9的值是( )A ．64B ．72C ．54D ．以上都不对3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．94．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为( )A ．3B ．－1C ．2D ．3或－15．已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( )A ．16B ．11C ．－11D ．±116．在函数y ＝f(x)的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f(x)的解析式可能为( )A ．f(x)＝2x ＋1B ．f(x)＝4x 2C ．f(x)＝log 3xD ．f(x)＝⎝⎛⎭⎫34x7．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 8．将正偶数按下表排成5列：那么2010应该在第________行第________列．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f(x)＝3x 2－2x 的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n ·a n ＋1，求数列{b n }的第n 项和T n .2四．[能力提升]10.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 211.已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( )A ．－2或－3B ．2或3C ．－2D ．312．“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A.1升B.6766升C.4744升D.3733升13.已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P(1，a n )，点Q(2011，a 2011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2011B ．－2011C ．0D ．114．若数列{x n }满足x n －x n －1＝d ，(n ∈N *，n≥2)，其中d 为常数，x 1＋x 2＋…＋x 20＝80，则x 5＋x 16＝________.15．已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .16.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且b n －1＋b n ＋1＝2b n (n≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝b na n，求数列{c n }的前n 项和T n .17．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．3等差数列复习答案二、1、a n =⎩⎨⎧≥-=-2111n S S n S n n2、)2(1≥=--n d a a n n )2(211≥=--+n a a a n n n d n a a n )1(1-+=d n n na a a n 2)1(2)(211++=+ 3、（1）a m +(n-m)d mn a a mn -- （2）a m +a n =a s +a t =2a l（3）k 2d （4）nd 1+n n（5）大 ⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 小⎩⎨⎧≥≤+001n n a a（6）等比 （7）kn+b An 2+Bn R=2A三．[基础巩固]1.[答案] C[解析] 根据等差数列的性质可知S 11＝11 a 1＋a 11 2＝11 a 2＋a 102＝11×42＝22，故选C.2．[答案] C [解析] 由a 2＋a 6＋a 7＝3a 1＋12d ＝3a 5＝18，得a 5＝6.3．[答案] C[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13.令a n >0得n>6.5，即在数列{a n }中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n ＝6时，S n 取最小值，选C.4．[答案] D[解析] 由x 2－2x －3<0及x ∈Z 得x ＝0,1,2. ∴a 4＝3或－1.故选D. 5．[答案] B [解析] 依题意得x ＋y ＝2＋3＝5，mn ＝2×3＝6，x ＋y ＋mn ＝11，选B.6．[答案] D [解析] 对于函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫34x上的点列(x n ，y n )，有y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n＋1⎝⎛⎭⎫34x n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1－x n＝⎝⎛⎭⎫34d ，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D.7．[答案] 110[解析] 由题意，设公差为d ，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝1620a 1＋20× 20－12d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20d ＝－2 ∴S 10＝10a 1＋10 10－12d ＝110.8．[答案] 252,4[解析] 通项a n ＝2n ，故2010为第1005项，∵1005＝4×251＋1，又251为奇数，因此2010应排在第252行，且第252行从右向左排第一个数，即252行第4列．9．[解析] (1)由已知点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f(x)＝3x 2－2x 的图象上，可得S n ＝3n 2－2n. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －3(n －1)2＋2(n －1)＝6n －5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也适合上式，∴a n ＝6n －5.(2)b n ＝3a n a n ＋1＝36n －5 6n ＋1＝12(16n －5－16n ＋1) ∴T n ＝12(11－17＋17－113＋…＋16n －5－16n ＋1)＝12(1－16n ＋1)＝12－112n ＋2. 四．[能力提升]10.[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∵a 1>0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1±2. 又q>0，因此有q ＝1＋2， ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2 a 7＋a 8 a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22，选C. 11.[答案] A[解析] 由2a 5＝a 2＋a 8＝12，得a 5＝6，由S 15＝m 得a 8＝m15.又因为a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的根， 解之得m ＝0，或m ＝－45， 则a 8＝0，或a 8＝－3.由3d ＝a 8－a 5得d ＝－2，或d ＝－3. 12．[答案] B[解析] 设该数列为{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4解之得⎩⎨⎧a 1＝1322d ＝766，所以第5节的容积为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋766×4＝6766.13.[答案] A[解析] S 21＝S 4000⇒a 22＋a 23＋…＋a 4000＝0⇒a 2011＝0，又P(1，a n )，Q(2011，a 2011)，则OP →＝(1，a n )，OQ →＝(2011，a 2011)， ∴OP →·OQ →＝(1，a n )·(2011，a 2011)＝2011＋a n a 2011＝2011，故选A 14．[答案] 8[解析] 由x n －x n －1＝d 知{x n }为公差为d 的等差数列， ∴x 1＋x 2＋…＋x 20＝80⇒10(x 1＋x 20)＝80⇒x 1＋x 20＝8，4∴x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝8.15．[解析] (1)由2S n ＝a n ＋1，n ＝1代入得a 1＝1，两边平方得4S n ＝(a n ＋1)2 ① ①式中n 用n －1代替得4S n －1＝(a n －1＋1)2(n≥2) ② ①－②，得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2,0＝(a n －1)2－(a n －1＋1)2， [(a n －1)＋(a n －1＋1)]·[(a n －1)－(a n －1＋1)]＝0， ∵{a n }是正数数列，∴a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝12n －1 2n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，裂项相消得B n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝n2n ＋1.16.[解析] (1)由题意S n ＝2－a n ， ① 当n≥2时，S n －1＝2－a n －1， ② ①－②得a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n ＝12a n －1，又a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1，故数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．所以a n ＝12n －1；由b n －1＋b n ＋1＝2b n (n≥2)知，数列{b n }是等差数列，设其公差为d ，则b 5＝12(b 3＋b 7)＝9，所以d ＝b 5－b 14＝2，b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n －1.综上，数列{a n }和{b n }的通项公式为a n ＝12n －1，b n ＝2n －1.(2)c n ＝b n a n＝(2n －1)·2n －1，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， ③2T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ， ④③－④得：－T n ＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2×2－2n1－2－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3.∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3. 17．[解析] 设公差为d.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d 2＝a 1 a 1＋6d ， 联立解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1.(2)1a n a n ＋1＝1 n ＋1 n ＋2 ＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2 n ＋2.∵T n ≤λa n ＋1，∴n 2 n ＋2 ≤λ(n ＋2)，∴λ≥n2 n ＋2 2.又n 2 n ＋2 2＝12 n ＋4n＋4≤12 4＋4 ＝116. 等号在n ＝4n即n ＝2时成立．∴λ的最小值为116.。

专题01 等差数列必备知识点与考点突破答案◆知识点1:等差数列例:【答案】A 【解析】∵a 1 = 11n s +n s = 1，∵{}n S 是以1为首项，以1为公差的等差数列，n S n ，即2n S n =，∵当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，11a =也适合上式，所以21n a n =-.故选：A.◆知识点2:等差数列的性质例:【答案】C 【详解】∵数列{}n a 是等差数列，且31140a a +=，∴3117240a a a +==，∴720a =， ∴6787360a a a a ++==故选：C ．例:【答案】B 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以147a a a ++，258a a a ++，369a a a ++也成等差数列， 所以369a a a ++2582()a a a =++147()a a a -++2211527=⨯-=．故选：B ．◆知识点3:等差数列前n 项和例:【答案】12或13【详解】等差数列{}n a 中，1015S S =，则11121314150a a a a a ++++=， ∵1350a =，即130a =，又120a =，易得53d =-，∵()2155125202366n n n S n n n -⎛⎫=+⨯-=-+ ⎪⎝⎭， 当12n =或13时，n S 取得最大值，∵存在正整数k ，使任意*n N ∈，都有k n S S ≥恒成立，且k 为12或13． 故答案为：12或13．◆知识点4:等差数列前n 项和的性质例:【答案】D 【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1020103020S S S S S --，，构成等差数列， 即310，3012203101220S --，构成等差数列， 则()301220212203103101510S -=--=，则302730S = 故选：D例:【答案】B 【解析】在等差数列{}n a 中，由7945a a =，得()()11313711717913131345221717175852a a S a a a S a +==⨯=⨯=+，故选：B 【核心考点】◆考点1:等差中项1．【答案】D 【解析】解：依题意()22142x x x +=++，解得0x =；故选：D2．【答案】A 【解析】由等差中项的定义得：则a ，b 的的等差中项为：32322a b+++-=32323-++==A ．3．【答案】D 【解析】由题意可知，5a ，34a ，42a -成等差数列，所以45328a a a -=，即233328a q a q a -=，所以2280q q --=，4q =或2q =-（舍），所以2428a a q ==，421764a a a ==，故选：D.4．【答案】D 【解析】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为231a a a ⋅=，所以223111a a a q a q a =⋅=，解得3141a q a ==，因为4a 与72a 的等差中项为58，则有475228a a +=⨯，即3445228a a q +⋅=⨯，解得12q =，所以4138a a q ==，故141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，则18a =，24a =，32a =，41a =，所以1234842164a a a a ⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=．故选：D ．◆考点2:等差数列的证明1．【答案】D 【解析】数列{}n a 为等差数，设其公差为d ，则等差数列{}n a 的前n 项和()112n d S n n na -=+，所以()112nd S n a n -=+，所以112n n S S d n n +-=+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 的等差数列；所以10122212102S S d-=⨯=-，所以2d =-.故选：D. 2．【答案】B 【解析】解：因为等比数列{}n a 满足11a =，12q =，则111121--===n n n n a a a q a ，111a 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A 错误；则221221log log lo l 1g og ---===-nn n n a a a q a ，12log 0a =故数列{}2log n a 是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B 正确；由A 知：112n na-=。

等差列必备知识点与考点突破【必备知识点】◆知识点1:等差数列1.定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母d 表示.2.等差数列的判定(1)1n n a a d +-=(定义法); (2)112n n n a a a -+=+(中项法);(3)n a kn b =+(通项法, 一次函数); (4)2n S An Bn =+(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点).3.等差数列通项公式11(1);1n n a a a a n d d n -=+-=-的几何意义是过()()11,,,n a n a 两点的直线的斜率. 例:已知数列{an }的前n 项和为S n ，满足a 1 = 11n s +n s = 1，则an =（ ） A ．2n －1 B ．n C ．2n － 1 D ．2n -1【答案】A 【解析】∵a 1 = 11n s +n s = 1，∵{}n S 是以1为首项，以1为公差的等差数列，n S n =，即2n S n =，∵当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 当1n =时，11a =也适合上式， 所以21n a n =-. 故选：A.◆知识点2:等差数列的性质设{}n a 为等差数列,公差为d ,则1.若()*,,,m n p q m n p q +=+∈N ,则m n p q a a a a +=+. 特别地,(1)若2m n p +=,则()*2,,m n p a a a m n p +=∈N ;2.若m n t p q r ++=++,则()*,,,,,m n t p q r a a a a a a m n t p q r ++=++∈N ;3.若{}n a 是有穷等差数列,则与首、末两项等距离的两项之和都相等, 且等于首、末两项之和,即 12132n n n a a a a a a --+=+=+=.4.数列{}(,n a b b λλ+ 是常数)是公差为d λ的等差数列.5.若{}n b 是公差为d '的等差数列,{}n a 与{}n b 的项数一致,则数列{1n a λ+}(212,n b λλλ为常数)是公差为12d d λλ'+的等差数列.6.下标成等差数列且公差为m 的项()*2,,,,k k m k m a a a k m ++∈N 组成公差为md 的等差数列.7.在等差数列{}n a 中,若,,n m a m a n m n ==≠,则有0m n a +=.例:已知数列{}n a 是等差数列，且31140a a +=，则678a a a ++等于（ ） A ．84 B ．72C ．60D ．43【答案】C 【详解】∵数列{}n a 是等差数列，且31140a a +=， ∴3117240a a a +==，∴720a =， ∴6787360a a a a ++== 故选：C ．例:{}n a 是等差数列，且14715a a a ++=，25821a a a ++=，则369a a a ++的值（ ） A ．24 B ．27C ．30D ．33【答案】B 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以147a a a ++，258a a a ++，369a a a ++也成等差数列， 所以369a a a ++2582()a a a =++147()a a a -++2211527=⨯-=． 故选：B ．◆知识点3:等差数列前n 项和1.等差数列前n 项和公式(1)()12n n n a a S +=(2)1(1)2n n n S na d -=+ (3) 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(关于前n 项和的最大值与最小值可选择此二次函数形式)2.等差数列前n 项和公式与二次函数的关系等差数列{}n a 的前n 项和211(1)222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭,令1,22d dA aB =-=,则 2n S An Bn =+. (1) 当0,0A B ==(即10,0d a ==)时,0n S =是常数函数,{}n a 是各项为0的常数列. (2) 当0,0A B =≠(即10,0d a =≠)时,n S Bn =是关于n 的一次函数,{}n a 是各项为非零的常数列.(3) 当0,0A B ≠≠(即10,0d a ≠≠)时,2n S An Bn =+是关于n 的二次函数(常数项为0).从上面的分析,我们可以看出:(1)一个数列{}n a 是等差数列的条件是其前n 项和公式()n S f n =是关于n 的二次函数或一次函数或常数函数,且2( n S An Bn A B =+为常数).(2)若一个数列{}n a 前n 项和的表达式为2(,,n S An Bn C A B C =++为常数),则当0C ≠时,数列{}n a 不是等差数列,但从第2项起为等差数列;(3)由二次函数图象可知,当0d >时({}n a 是递增数列),n S 有最小值;当0d <时({}n a 是递减数列),n S 有最大值.例:在等差数列{}n a 中，120a =，前n 项和为n S ，且1015.S S =若对一切正整数n ，均有k n S S ≥ 成立，则正整数k =_____________．【答案】12或13 【详解】等差数列{}n a 中，1015S S =，则11121314150a a a a a ++++=，∵1350a =，即130a =，又120a =，易得53d =-，∵()2155125202366n n n S n n n -⎛⎫=+⨯-=-+ ⎪⎝⎭， 当12n =或13时，n S 取得最大值，∵存在正整数k ，使任意*n N ∈，都有k n S S ≥恒成立，且k 为12或13． 故答案为：12或13．◆知识点4:等差数列前n 项和的性质1.等差数列中依次k 项之和232,,,k k k k k S S S S S -- 组成公差为2k d 的等差数列2.若等差数列的项数为()*2n n ∈N ,则() 121,,n n n n nS a S n a a S S nd S a ++=+-==偶奇偶奇 3.若等差数列的项数为()*21n n -∈N ,则21(21)n n S n a -=-⋅(n a 是数列的中间项),1,n S n S S a S n--==偶奇偶奇 4.{}n a 为等差数列n S n ⎧⎫⇒⎨⎬⎩⎭为等差数列 5.若{}{},n n a b 都为等差数列,,n n S T 分别为它们的前n 项和,则2121m n m n a S b T --= 例:设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10203101220S S ==，，则30S =（ ） A ．2330 B ．2130 C ．2530 D ．2730【答案】D 【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1020103020S S S S S --，，构成等差数列， 即310，3012203101220S --，构成等差数列， 则()301220212203103101510S -=--=，则302730S = 故选：D例:设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7945a a =，则1317SS =（ ）A ．1317B ．5285C ．1713D ．8552【答案】B在等差数列{}n a 中，由7945a a =，得()()11313711717913131345221717175852a a S a a a S a +==⨯=⨯=+， 故选：B【核心考点】◆考点1:等差中项1．等差数列{}n a 的前三项依次为x ，21x +，42x +，则x 的值为（ ） A ．55+x B ．21x + C ．2 D ．0【答案】D 【解析】解：依题意()22142x x x +=++，解得0x =； 故选：D 2．已知32a =+，32b =-a ，b 的等差中项为（ ）A 3B 2C 3D 2【答案】A 【解析】由等差中项的定义得： 则a ，b 的的等差中项为：32322a b+++-=32323-++==故选：A ．3．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（ ）A ．4B ．8C ．32D ．64【解析】由题意可知，5a ，34a ，42a -成等差数列，所以45328a a a -=，即233328a q a q a -=，所以2280q q --=，4q =或2q =-（舍），所以2428a a q ==，421764a a a ==，故选：D.4．已知{}n a 为等比数列，若231a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为58，则1234a a a a ⋅⋅⋅的值为（ ）． A ．5 B ．512 C ．1024 D ．64【答案】D 【解析】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为231a a a ⋅=，所以223111a a a q a q a =⋅=，解得3141a q a ==，因为4a 与72a 的等差中项为58，则有475228a a +=⨯，即3445228a a q +⋅=⨯，解得12q =，所以4138a a q ==，故141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，则18a =，24a =，32a =，41a =， 所以1234842164a a a a ⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=． 故选：D ．◆考点2:等差数列的证明1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若101221210S S -=-则公差d =（ ） A ．1 B ．2C ．－1D ．－2【答案】D数列{}n a 为等差数，设其公差为d ， 则等差数列{}n a 的前n 项和()112n d S n n na -=+，所以()112nd S n a n -=+，所以112n n S S d n n +-=+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 的等差数列；所以10122212102S S d-=⨯=-，所以2d =-. 故选：D.2．已知等比数列{}n a 满足11a =，12q =，则（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差等列B ．数列{}2log n a 是等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列D ．数列{}2log n a 是递增数列【答案】B 【解析】解：因为等比数列{}n a 满足11a =，12q =， 则111121--===n n n n a a a qa ，111a 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A错误；则221221log log lo l 1g og ---===-nn n n a a a q a ，12log 0a =故数列{}2log n a 是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B 正确；由A 知：112n n a -=。