2017届高三数学(理)一轮总复习(人教通用)板块命题点专练：7平面向量与复数.doc

第四章平面向量高考导航考试要求重难点击命题展望1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景；(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及其坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义；(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义；(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系；(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；(2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其本章重点：1.向量的各种运算；2.向量的坐标运算及数形结合的思想；3.向量的数量积在证明有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中的应用.本章难点：1.向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行问题中的应用；2.向量的夹角公式和距离公式在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用.向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，同时又是数形结合思想运用的典范，正是由于向量既具有几何形式又具有代数形式的“双重身份”，所以它成为中学数学知识的一个交汇点.在高考中，不仅注重考查向量本身的基础知识和方法，而且常与解析几何、三角函数、数列等一起进行综合考查.在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值.他一些实际问题.知识网络4.1 平面向量的概念及线性运算典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量的长度与的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD 是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：a•；①|a|＝a②(a •b ) •c ＝a • (b •c )； ③OA －OB ＝BA ；④在任意四边形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为BC 的中点，则AB ＋DC ＝2MN ； ⑤a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a 与b 不共线，则(a ＋b )⊥(a －b ). 其中正确的个数为( ) A.1B.2C.3D.4【解析】选D.| a |＝a a •正确；(a •b ) •c ≠a • (b •c )； OA －OB ＝BA 正确；如下图所示，MN =MD +DC +CN 且MN =MA +AB +BN ，两式相加可得2MN ＝AB ＋DC ，即命题④正确；因为a ，b 不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a ＋b ，a －b 为菱形的两条对角线， 即得(a ＋b )⊥(a －b ). 所以命题①③④⑤正确.题型二 与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且DM =DO 31，点N 在线段OC 上,且ON =OC 31,设AB =a , AD =b ,试用a 、b 表示AM ，AN ，MN .【解析】在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点O ， 所以DO ＝12DB ＝12(AB －AD )＝12(a －b )，AO ＝OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )＝12(a ＋b ).又DM ＝13DO ， ON ＝13OC ，所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋13DO＝b ＋13×12(a －b )＝16a ＋56b ，AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋13OC＝43OC ＝43×12(a ＋b )＝23(a ＋b ). 所以MN ＝AN －AM ＝23(a ＋b )－(16a ＋56b )＝12a －16b . 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，若λ＝12时，则PA •(PB ＋PC )的值为 .【解析】由已知得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，当λ＝12时，得AP ＝12(AB ＋AC )，所以2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ， 所以BP ＝PC ，所以PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0，所以PA • (PB ＋PC )＝PA •0＝0，故填0. 题型三 向量共线问题【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.【解析】(1)证明：因为AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， 所以BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB ， 所以AB ， BD 共线.又因为它们有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线. (2)因为k a ＋b 和a ＋k b 共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 所以(k －λ)a ＝(λk －1)b .因为a 与b 是不共线的两个非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0，所以k 2－1＝0，所以k ＝±1.【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知O 是正三角形BAC 内部一点，OA +2OB +3OC =0，则△OAC 的面积与△OAB 的面积之比是（） A.32 B.23C.2D.13【解析】如图，在三角形ABC 中， OA ＋2OB ＋3OC ＝0，整理可得OA ＋OC ＋2(OB ＋OC )＝0.令三角形ABC 中AC 边的中点为E ，BC 边的中点为F ，则点O 在点F 与点E 连线的13处，即OE ＝2OF .设三角形ABC 中AB 边上的高为h ，则S △OAC ＝S △OAE ＋S △OEC ＝12•OE • (h 2＋h 2)＝12OE ·h ，S △OAB ＝12AB •12h ＝14AB ·h ，由于AB ＝2EF ，OE ＝23EF ，所以AB ＝3OE ，所以S △OACS △OAB ＝h h AB OE ••4121＝23.故选B.总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a 与b 共线同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |； 当向量a 与b 共线反向时，|a ＋b |＝||a |－|b ||； 当向量a 与b 不共线时，|a ＋b |＜|a|＋|b |.4.2 平面向量的基本定理及其坐标表示典例精析题型一 平面向量基本定理的应用【例1】如图▱ABCD 中,M ,N 分别是DC ，BC 中点.已知AM =a ,AN =b ,试用a ，b 表示AB ，AD 与AC 【解析】易知AM ＝AD ＋DM ＝AD ＋12AB ，AN ＝AB ＋BN ＝AB ＋12AD ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.21,21b a AD AB AB AD 所以AB ＝23(2b －a )， AD ＝23(2a －b ).所以AC ＝AB ＋AD ＝23(a ＋b ).【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知D 为△ABC 的边BC 上的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足PA ＋BP ＋CP ＝0，则||AD PD 等于( ) A.13B.12C.1D.2【解析】由于D 为BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB ＋PC ＝2PD ，因此结合PA ＋BP ＋CP ＝0即得PA ＝2PD ，因此易得P ，A ，D 三点共线且D 是P A 的中点，所以||||AD PD ＝1，即选C.题型二 向量的坐标运算【例2】 已知a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b . (1)若u ＝3v ，求x ；(2)若u ∥v ，求x . 【解析】因为a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，所以u ＝(1，1)＋2(x ，1)＝(1，1)＋(2x ，2)＝(2x ＋1，3)， v ＝2(1，1)－(x ，1)＝(2－x ，1). (1)u ＝3v ⇔(2x ＋1，3)＝3(2－x ，1) ⇔(2x ＋1，3)＝(6－3x ，3)，所以2x ＋1＝6－3x ，解得x ＝1. (2)u ∥v ⇔(2x ＋1，3)＝λ(2－x ，1)⇔⎩⎨⎧=-=+λλ3),2(12x x⇔(2x ＋1)－3(2－x )＝0⇔x ＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视. 【变式训练2】已知向量a n ＝(cos n π7，sin n π7)(n ∈N *)，|b|＝1.则函数y ＝|a 1＋b|2＋|a 2＋b|2＋|a 3＋b|2＋…＋|a 141＋b|2的最大值为 .【解析】设b ＝(cos θ，sin θ)，所以y ＝|a 1＋b|2＋|a 2＋b|2＋|a 3＋b|2＋…＋|a 141＋b|2＝(a 1)2＋b 2＋2(cos π7，sin π7)(cos θ，sin θ)＋…＋(a 141)2＋b 2＋2(cos 141π7，sin 141π7)(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(π7－θ)，所以y 的最大值为284.题型三 平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2).(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积.【解析】(1)证明：因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B . 由正弦定理，得a 2＝b 2，即a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形. (2)因为m ⊥p ，所以m ·p ＝0，即 a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab .由余弦定理，得4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以(ab )2－3ab －4＝0. 所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去). 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.【点拨】设m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则 ①m ∥n ⇔x 1y 2＝x 2y 1；②m ⊥n ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.【变式训练3】已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1).若m ⊥n ，且a ＋b ＝10，则△ABC 周长的最小值为( )A.10－5 3B.10＋5 3C.10－2 3D.10＋2 3【解析】由m ⊥n 得2cos 2C －3cos C －2＝0，解得cos C ＝－12或cos C ＝2(舍去)，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ，由10＝a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤25，所以c 2≥75，即c ≥53，所以a ＋b ＋c ≥10＋53，当且仅当a ＝b ＝5时，等号成立.故选B.总结提高1.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来.向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运算.2.向量的运算中要特别注意方程思想的运用.3.向量的运算分为向量形式与坐标形式.向量形式即平行四边形法则与三角形法则，坐标形式即代入向量的直角坐标.4.3 平面向量的数量积及向量的应用典例精析题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题 【例1】 已知a ，b 夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)|a ＋b |；(2)(a ＋2b ) ·(a ＋b )； (3)a 与(a ＋b )的夹角θ.【解析】(1)(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以|a ＋b |＝2 3.(2)(a ＋2b ) ·(a ＋b )＝a 2＋3a ·b ＋2b 2 ＝16－3×4×2×12＋2×4＝12.(3)a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝16－4×2×12＝12.所以cos θ＝||||)(b a a b a a ++•＝124×23＝32，所以θ＝π6.【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.【变式训练1】已知向量a ，b ，c 满足：|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则a 与b 的夹角大小是 . 【解析】由c ⊥a ⇒c ·a ＝0⇒a 2＋a ·b ＝0， 所以cos θ＝－12，所以θ＝120°.题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题【例2】 在△ABC 中，AB ＝(2，3)， AC ＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值. 【解析】①当∠A ＝90°时，有AB ·AC ＝0， 所以2×1＋3·k ＝0，所以k ＝－23；②当∠B ＝90°时，有AB ·BC ＝0，又BC ＝AC －AB ＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)， 所以2×(－1)＋3×(k －3)＝0⇒k ＝113；③当∠C ＝90°时，有AC ·BC ＝0， 所以－1＋k ·(k －3)＝0， 所以k 2－3k －1＝0⇒k ＝3±132.所以k 的取值为－23，113或3±132.【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.【变式训练2】△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6， 求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB .【解析】因为2AB ·BC ＋2BC ·CA ＋2CA ·AB＝(AB ·BC ＋CA ·AB )＋(CA ·AB ＋BC ·CA )＋(BC ·CA ＋BC ·AB ) ＝AB ·(BC ＋CA )＋CA ·(AB ＋BC )＋BC ·(CA ＋AB ) ＝AB ·BA ＋CA ·AC ＋BC ·CB ＝－42－62－52＝－77.所以AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝－772.题型三 平面向量的数量积的综合问题【例3】数轴Ox ，Oy 交于点O ，且∠xOy ＝π3，构成一个平面斜坐标系，e 1，e 2分别是与Ox ，Oy 同向的单位向量，设P 为坐标平面内一点，且OP ＝x e 1＋y e 2，则点P 的坐标为(x ，y )，已知Q (－1，2).(1)求|OQ |的值及OQ 与Ox 的夹角；(2)过点Q 的直线l ⊥OQ ，求l 的直线方程(在斜坐标系中). 【解析】(1)依题意知，e 1·e 2＝12，且OQ ＝－e 1＋2e 2，所以OQ 2＝(－e 1＋2e 2)2＝1＋4－4e 1·e 2＝3. 所以|OQ |＝ 3.又OQ ·e 1＝(－e 1＋2e 2) ·e 1＝－e 21＋2e 1•e 2＝0. 所以OQ ⊥e 1，即OQ 与Ox 成90°角. (2)设l 上动点P (x ，y )，即OP ＝x e 1＋y e 2， 又OQ ⊥l ，故OQ ⊥QP ，即[(x ＋1)e 1＋(y －2)e 2] ·(－e 1＋2e 2)＝0.所以－(x ＋1)＋(x ＋1)－(y －2) ·12＋2(y －2)＝0，所以y ＝2，即为所求直线l 的方程.【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势.【变式训练3】在平面直角坐标系xOy 中，点A (5，0).对于某个正实数k ，存在函数f (x )＝ax 2(a ＞0)，使得OP ＝λ• (||OA OA ＋||OQ OQ)(λ为常数)，其中点P ，Q 的坐标分别为(1，f (1))，(k ，f (k ))，则k 的取值范围为( )A.(2，＋∞)B.(3，＋∞)C.(4，＋∞)D.(8，＋∞)【解析】如图所示，设||OA OA ＝OM ，||OQ OQ＝ON ，OM ＋ON ＝OG ，则OP ＝λOG .因为P (1，a )，Q (k ，ak 2)，OM ＝(1，0)，ON ＝(k k 2＋a 2k 4，ak 2k 2＋a 2k 4)，OG ＝(k k 2＋a 2k 4＋1，ak 2k 2＋a 2k 4)，则直线OG 的方程为y ＝ak 2k ＋k 2＋a 2k 4x ，又OP ＝λOG ，所以P (1，a )在直线OG 上，所以a ＝ak 2k ＋k 2＋a 2k 4，所以a 2＝1－2k.因为|OP|＝1＋a2＞1，所以1－2k＞0，所以k＞2. 故选A.总结提高1.本节是平面向量这一章的重要内容，要准确理解两个向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)；数量积不满足消去律，即a·b ＝a·c推不出b＝c.2.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断两直线是否垂直.3.向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识，在解决向量与不等式、函数、方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时，往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径.。

高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。

板块命题点专练(七) 平面向量与复数1．(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)解析：选B 由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B ，事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2.2．(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12 ADC ．BCD.12BC解析：选 A EB ＋FC ＝12(AB ＋CB )＋12(AC ＋BC )＝12(AB ＋AC )＝AD ，故选A. 3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：124．(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN ＝x AB ＋y AC ，则x ＝__________；y ＝__________.解析：∵AM ＝2MC ，∴AM ＝23AC .∵BN ＝NC ，∴AN ＝12(AB ＋AC )，∴MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－23AC＝12AB －16AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －161．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝( )A ．5B ．4C ． 3D ． 2解析：选 A 由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝5.2．(2015·福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C.53D.32解析：选A c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.3．(2015·陕西高考)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：选B 根据a ·b ＝|a ||b |cos θ，又cos θ≤1，知|a ·b |≤|a ||b |，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |＞||a |－|b ||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．4．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC解析：选D 在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，故选D.5．(2015·重庆高考)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π解析：选A 由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0. 又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 6．(2015·四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD |＝4.若点M ，N 满足BM ＝3MC ，DN ＝2NC ，则AM ·NM ＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6解析：选C 如图所示，由题设知：AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋34AD ， NM ＝NC －MC ＝13AB －14AD ，∴AM ·NM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ＋34 AD · ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 AB －14 AD＝13|AB |2－316|AD |2＋14AB ·AD －14AB ·AD ＝13×36－316×16＝9. 7．(2015·福建高考)已知AB ⊥AC ，|AB |＝1t，|AC |＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP ＝AB|AB |＋4AC |AC |，则PB ·PC 的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21解析：选A ∵AB ⊥AC ，故可以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B ⎝⎛⎭⎪⎫0，1t ，C (t,0)，则AP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t 1t＋4t ，t＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1)．PB ·PC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13.当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.8．(2014·四川高考)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：由已知可以得到c ＝(m ＋4,2m ＋2)， 且cos 〈c ，a 〉＝cos 〈c ，b 〉，所以c·a |c|·|a|＝c·b|c|·|b|，又|b |＝2|a |，所以2c ·a ＝c ·b ， 即2[]m ＋＋m ＋＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)，解得m ＝2. 答案：29．(2014·湖北高考)若向量OA ＝(1，－3)，|OA | ＝|OB |，OA ·OB ＝0，则|AB | ＝________.解析：法一：设OB ＝(x ，y )，由|OA |＝|OB |知，x 2＋y 2＝10，又OA ·OB ＝x －3y ＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB | ＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB | ＝2 5.则|AB | ＝2 5.法二：由几何意义知，|AB |就是以OA ，OB 为邻边的正方形的对角线长，所以|AB |＝2 5.答案：2 510．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sinx ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.1．(2014·浙江高考)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.2．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A 由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋－2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A.3．(2014·天津高考)i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：选A7＋i3＋4i＝＋－＋－＝25－25i 25＝1－i.选A.4．(2015·全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.5．(2014·江苏高考)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：216．(2014·上海高考)若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6. 答案：6。

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练平面向量一、填空、选择题1、（2016年上海高考）在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是 .2、（2016年上海高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0i j OP OA OA ++u u u r u u u r u u u u r r＝，则点P 落在第一象限的概率是 .3、（2015年上海高考）在锐角三角形 A BC 中，tanA=12，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥A B 于 E ，DF ⊥AC 于F ，则DE DF •u u u r u u u r= ．4、（2014年上海高考）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =L 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=u u u r u u u rK 的不同值的个数为 （ ）P 2P 5P 6P 7P 8P 4P 3P 1BA(A) 1. (B) 2. (C) 4.(D) 8.5、（浦东新区2016届高三三模）已知2a =r ，3b =r ，且a r ，b r 的夹角为3π，则32a b -=r r6、（杨浦区2016届高三三模）如图，已知AB AC ⊥，3AB =，3AC =A 是以A 为圆心、半径为1的圆，圆B 是以B 为圆心、半径为2的圆，设点P 、Q 分别为圆A 、圆B 上的动点，且12AP BQ =u u u r u u u r，则CP CQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围是7、（虹口区2016届高三三模）在锐角ABC ∆中,60,B =︒2,AB AC -=u u u r u u u r则AB AC ⋅u u u r u u u r 的取值范围为 ( )（A ）（0， 12） （B ）1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（C ）(]0,4 （D ） (]0,2 8、（崇明县2016届高三二模）矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，P 为矩形内部一点，且1AP =．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r(,)R λμ∈，则23λμ+的最大值是 ．9、（奉贤区2016届高三二模）已知△ABC 中，2AB =u u u r ， 3AC =u u u r，0AB AC ⋅<u u u r u u u r ，且△ABC的面积为32， 则BAC ∠=_______．10、（黄浦区2016届高三二模）已知菱形ABCD ，若||1AB =u u u r ，3A π=，则向量AC u u u r 在AB u u u r 上的投影为11、（静安区2016届高三二模）已知△ABC 外接圆的半径为2，圆心为O ，且2AB AC AO +=u u u r u u u r u u u r，AB AO =u u u r u u u r ，则CA CB ⋅=u u u r u u u r.12、（闵行区2016届高三二模）平面向量a r 与b r 的夹角为60︒，1a =r ，(3,0)b =r，则2a b +=r r.13、（闵行区2016届高三二模）若AB 是圆22(3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点，则OA OB ⋅u u u r u u u r的值为14、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知a r ，b r是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0c a c b -⋅-=rr r r ，则||c r 的最大值是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22 15、（青浦区2016届高三上学期期末）已知平面向量OA u u u r 、OB u u u r 、OC u u u r 满足0OA OB ⋅=u u u r u u u r，且1OA OC ==u u u r u u u r ，3OB =u u u r ，则CA CB ⋅u u u r u u u r的最大值是16、（松江区2016届高三上学期期末）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为k 的直线与l 相交于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ．若2AM MB =u u u u r u u u r，则 k = ▲ ．17、（杨浦区2016届高三上学期期末）如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r,则=μ+λ____________.18、（闸北区2016届高三上学期期末）在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ︒∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅u u u r u u u r的值是19、（宝山区2016届高三上学期期末）P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ， 则P 点一定在……（ ）（A ）ABC ∆内部 （B ）AC 边所在直线上 （C ）AB 边所在直线上 （D ）BC 边所在直线上20、（金山区2016届高三上学期期末）已知,是单位向量，0=⋅，且向量满足||--=1，则||的取值范围是( )．(A) ]12,12[+- (B) ]2,12[-(C) ]12,2[+ (D) ]22,22[+-二、解答题1、（虹口区2016届高三二模）在锐角ABC ∆中， 2sin sin sin()sin().44A B B B ππ=++-(1) 求角A 的值；(2) 若12,AB AC ⋅=u u u r u u u r求ABC ∆的面积.2、（宝山区2016届高三上学期期末）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=2cos ),cos(1B A B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos,85B A ,且89=⋅. （1）求B A tan tan ⋅的值； （2）求222sin c b a Cab -+的最大值.3.（嘉定区2016届高三上学期期末）已知R ∈x ，设)cos sin ,cos 2(x x x m +=ρ，)cos sin ,sin 3(x x x n -=ρ，记函数n m x f ρρ⋅=)(．（1）求函数)(x f 取最小值时x 的取值范围；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2)(=C f ，3=c ，求△ABC的面积S 的最大值．4、（浦东新区2016届高三上学期期末）已知两个向量()()2221log ,log ,log ,1a x x b x =+=r r（1）若a b ⊥r r，求实数x 的值；（2）求函数1(),,24f x a b x ⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦r r 的值域。

第五章 平面向量专题1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理【三年高考】1．【2017江苏高考】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ．2. 【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. 3．【2013江苏，理10】设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=2AD AB ，2=3BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．4．【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为5．【2017北京，理6】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 条件 6．【2017山东，文11】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若a ||b ,则λ= .7．【2016高考新课标2文数】已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.8．【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，若,AD m AB nAC =+u u u r u u u r u u u r，则_____,___________m n ==.9.【2015高考北京，理13】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN xAB yAC =+， 则x =；y =．10.【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 11.【2015高考浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ．【2018年高考考点定位】高考对向量的概念及线性运算、平面向量基本定理的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量的概念与线性运算，二是考查平面向量共线的充要条件，三是考查平面向量基本定理，题型为选择题，难度容易题或中档题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量共线的充要条件处理涉及的共线问题. 【考点1】向量的概念 【备考知识梳理】1.向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.2.零向量：模为0的向量，记作0，其方向为任意的，所以0与任意向量平行，其性质有：∙0a =0，0+a =a .3.单位向量：模为1个长度单位的向量，与a 方向相同的单位向量为a |a |. 4.相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作a =b .5.相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，a 的相反向量为-a ，有-(- a )= a .【规律方法技巧】1.判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况： （1）零向量的方向及与其他向量的关系. (2)单位向量的长度与方向.2.对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上.3.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小. 【考点针对训练】1.设向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 若,a b 方向相反, 则实数x 的值是____________．2.已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为________________． 【考点2】向量的线性运算 【备考知识梳理】 1、向量加法:①平行四边形法则：平移a ，b 使其由公共的起点，以a 、b 为领边做平行四边形，则以共同起点为起点的对角线对应的向量就是a 与b 的和向量. ②三角形法则：要注意“首尾相连” ③两个向量的和向量仍为向量④当两个向量共线时，三角形法则适合，平行四边形法则不适合. 2、向量减法应注意：①向量减法实质是加法的逆运算，其差仍是向量；②用三角形法则作向量减法时，牢记“起点相同，连结两个向量的终点，箭头指向被减向量终点”. 3、向量数乘运算①实数λ与a 的积仍是向量，|λa |=|||λa |，当λ＞0时，λa 与a 方向相同，当λ＜0时，λa 与a 方向相反，当λ=0时，λa =0.②向量数乘的特殊情况：λa =0充要条件是a =0或λ=0. ③实数与向量可以求积，但可以求和、差.④熟练掌握向量的线性运算的运算律是正确化简向量式的关键，正确区分向量数量积与实数向量积的运算律. 4、平面向量基本定理①平面向量基本定理：若a 、b 是平面内不共线的向量，向量c 是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对,x y ，使x y c =a +b .②平面向量基本定理作用，平面向量基本定理是定义向量坐标的基础，是将平面内任意向量用不共线的平面向量即基底表示出来的基础. 5、平面向量的基本运算①若a =（1x ，1y ），b =（2x ，2y ），则a ±b =（1x ±2x ，1y ±2y ），λa =（λ1x ，λ1y ）， ②若A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），则AB =（2x -1x ，2y -1y ）. 【规律方法技巧】1. 在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解.2. 当M 是线段AB 的中点时，则OM =1()2OA OB +是中点公式的向量形式，应当做公式记忆. 3. 当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题. 【考点针对训练】1.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线，P 为垂线上任一点，则错误！未找到引用源。

第一课时 向量的基本概念及基本运算C【知识要点】1．向量的基本概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的模 （2）特定大小或关系的向量①零向量：模为0的向量，记作→0，其方向是任意的②单位向量：模为1个单位长度的向量 ③共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量。

规定：零向量与任何向量共线 ④相等向量：模长相等且方向相同的向量⑤相反向量：模长相等但方向相反的向量。

规定：零向量的相反向量是它本身 2．向量的表示法①字母表示法：如小写字母a , b , c 等，或AB ，CD 等 ②几何表示法：用一条有向线段表示 ③代数表示法：即向量的坐标表示法1．向量的加法、减法（1）法则：平行四边形法则、三角形法则 （2）运算律：交换律、结合律 （3）几何意义：2．向量的数乘（实数与向量的积） （1）定义与法则：（2）运算律：交换律、结合律、分配律 1．共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得λ=2．平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数221121,,e e a λλλλ+=使3．三点共线定理：平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数βα,，使得βα+=，其中1=+βα ，O 为平面上任意一点4．①平面内有任意三点O 、A 、B ，若M 是线段AB 的中点，则()+=21②ABC ∆中，M 为BC 边的中点，G 为重心，则=++，=++ ③向量加法的多边形法则 【自主练习】1． 以下命题中，正确命题的序号是 （1=，则b a = （2）b a b a =则都是单位向量若,, （3）===则若,,（4）==则,//（5）若四边形ABCD 是平行四边形，则==,2．已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于AB两点，且-=+。

其中O 为坐标原点，则实数a 的值为3．已知向量,53=-=+=，则= 4．已知()-=+-=+=3,82,5 ，则（ ） A. 点A 、B 、D 共线 B. 点A 、B 、C 共线 C. 点B 、C 、D 共线 D. 点A 、C 、D 共线 【典例解析】例1．对于非零向量b a ,，“=+”是“//”的（ ）A. 充分非必要B. 必要不充分C. 充要条件D.既不充分也不必要知识突破：如图，四边形ABCD ，其中A. 与B. 与C. DB AC 与D. OB DO 与例2．如图所示，D 、E 是△ABC 中AB ，AC 边的中点， M 、N 分别是DE ，BC 的中点。

广东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练平面向量一、选择题1、（2016年全国II 卷）已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b +⊥，则m =（A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）82、（2016年全国III 卷）已知向量13(,)22BA =uu v,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC=(A)300(B) 450(C) 600(D)12003、（2015年全国I 卷）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+(B)1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =-4、（茂名市2016届高三二模） 已知向量(3,2)a =- ，(,1)a x y =-且a ∥b ，若,x y 均为正数，则32x y+的最小值是 （ ） A ．24 B ．8 C ．38 D ．35 5、（汕头市2016届高三二模）在三角形ABC 中，已知5AB =，7AC =，AD 是BC 边上的中线，点E 是AD 的一个三等分点(靠近点A )，则BC AE ⋅=( ) A ．12B ． 6C ．24D ． 46、（深圳市2016届高三二模）如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+=（ ）A ．2B ．83C ．65D ．857、（珠海市2016届高三二模）在ΔABC 中，点 D 在 AB 边上，点 E 在 AC 边上,AD=35AB , AE=23AC ，设AC a = ，AE b = ，则BC =A ．2a b +B ．3523b a -C ．3523a b -D ．2a b + 8、（广州市2016届高三1月模拟考试）已知ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为NA DC MB()()()0,1,2,0,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1CP =uu r，则OA OB OP ++uu r uu u r uu u r 的最小值是（A ）31- （B ）111- （C ）31+ （D ）111+9、（惠州市2016届高三第三次调研考试）已知向量1(sin ,)2m A = 与向量(3,sin 3cos )n A A =+ 共线，其中A 是ABC ∆的内角，则角A 的大小为（ ） A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π10、（茂名市2016届高三第一次高考模拟考试）=∠=⋅==∆C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （ ）A ．︒60B ．︒30C ．︒150D ． ︒12011、（汕头市2016届高三上期末）设a ，b 是两个非零向量．下列命题正确的是（ ） A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b | C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ使得a ＝λb D ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |12、（韶关市2016届高三1月调研）在△ABC 中，∠C ＝90°，且BC ＝3，点M 满足BM 2MA =， 则CM CB ⋅等于( )A ．2B ．3C ．4D ．613、（湛江市2016年普通高考测试（一））在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB BC＝1，则BC ＝A 、3B 、7C 、22D 、2314、（江门市2016高三4月模拟）已知向量)0 , 3 , 2( --=t a ，)2 , , 1( -=t b ，R t ∈，则| |b a +的最小值是A ．5B ．4C ．3D ．215、（广东省2016届高三3月适应性考试）已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）A ．0B ．2C ．2D ．3二、填空题1、（2016年全国I 卷）设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =2、（2014年全国I 卷）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+ ，则AB 与AC的夹角为 .3、（2013年全国I 卷）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____.4、（佛山市2016届高三二模）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 边CD 上一个动点，CQ QD λ=，点P 为线段BQ (含端点)上一个动点,若λ= 1 ,则PA PD 的取值范围为5、（广州市2016届高三二模）已知平面向量a 与b 的夹角为3π，()13=a ,，223-=a b ，则b = .6、（广州市2016届高三1月模拟考试）已知向量a ，b 满足||4=b ，a 在b 方向上的投影是12，则=a b ． 7、（惠州市2016届高三第三次调研考试）已知向量()1,3a = ，向量()3,b m = ．若向量b在向量a方向上的投影为3，则实数m ＝ ．8、（清远市2016届高三上期末）已知向量,b c在正方形网格中的位置如图所示 ，则b c + ＝参考答案 一、选择题 1、【解析】D()42a b m +=-，，∵()a b b +⊥ ，∴()122(2)0a b b m +⋅=--=解得8m =，故选D ．2、【答案】A【解析】试题分析：由题意，得133132222cos 112||||BA BC ABC BA BC ⨯+⨯⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 3、【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.4、答案B ，提示：∵a ∥b，∴﹣2x ﹣3（y ﹣1）=0，化为2x+3y=3，∴32x y += 321194194()(23)(66)(122)8333y x y x x y x y x y x y+⨯+=+++≥+∙= 当且仅当2x=3y=32 时，等号成立。

考点集训(二十六) 第26讲 平面向量的概念及运算1．平面向量a ，b 共线的充要条件是A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a ＋λ2b ＝02．已知|a|＝|b|＝|a －2b|＝1，则|a ＋2b |＝A ．9B ．3C ．1D ．23．已知△ABC ，D 是BC 边上的一点，AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，|AB →|＝2，|AC →|＝4，若记AB →＝a ，AC →＝b ，则用a ，b 表示BD →所得的结果为A.12a －12bB.13a －13b C ．－13a ＋13b D.12a ＋13b4．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋14b 5．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．6．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则AP ∶PM 的值为________．7．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？8．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.9．在△ABC 中，||AD ||AB ＝13，||AE ||AC ＝14，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.第26讲 平面向量的概念及运算【考点集训】1．D 2.B 3.C 4.B 5.12 6.4∶1 7．【解析】 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )， ∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a . 要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧23＝λ，13＝λt . ∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上． 8．【解析】(1)∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0.(2)显然OM →＝12(a ＋b )． 因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )． 由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13， 消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3. 9.【解析】取AE 的三等分点M ，使|AM |＝13|AE |，连结DM . 设|AM |＝t ，则|ME |＝2t .又|AE |＝14|AC |， ∴|AC |＝12t ，|EC |＝9t ，|AD ||AB |＝|AM ||AE |＝13， ∴DM ∥BE ，∴|PC ||DC |＝|PE ||DM |＝|EC ||MC |＝911. ∴|DP |＝211|DC |. ∴AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →) ＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311a ＋211b .。

四川省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练平面向量一、选择、填空题1、（2016年四川省高考）在平面内,定点A ，B ,C ,D 满足DA =DB =DC ，DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA =—2，动点P ，M 满足AP =1,PM =MC ，则2BM 的最大值是（A ）434(B)494 （C ）37634+ （D ）372334+2、（2015年四川省高考)设四边形ABCD 为平行四边形,6,4AB AD ==.若点M ，N 满足3BMMC=，2DNNC=,则AM NM ⋅= ( ）（A)20 (B ）15 (C)9 (D ）63、(四川省2016届高三预测金卷 ）设α为锐角， =(cosα，sinα）,=（1，﹣1）且•=，则sin （α+）= ．4、（成都市都江堰2016届高三11月调研）若非零向量AB 与AC 满足||||(=•+BC AC AB 21||||=•AC AB ，则ABC ∆为( ）A ．等腰直角三角形B ．非等边的等腰三角形C ．等边三角形D ．直角三角形5、(乐山市高中2016届高三第二次调查研究）在平面直角坐标系xOy ，已知OA =(1,t -)，OB =（2,2），若︒=∠90ABO ，则实数t 的值为 。

6、（绵阳市高中2016届高三第一次（11月）诊断性考试）直角△ABC 的三个顶点都在单位圆221x y +=上，点M(12,12）,则｜MA MB MC ++｜的最大值是（A ）2＋l （B ）2＋2 （C)322＋1 （D ）322＋27、（绵阳中学2017届高三上学期入学考试）设平面α的一个法向量为()11,2,2n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，若α‖β,则k =（ ）A ． 2B ． 4-C ． 2-D ．48、（绵阳中学2017届高三上学期入学考试)正三棱柱1111ABCD A BC D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动, 则DC AP 的取值范围是 ．9、（内江市2016届高三第四次（3月）模拟）如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ,b ，c 满足b y a x c+=，（R ∈y x ，)，则＝y x + DA 。

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平面向量知识点整理1、概念（1）向量：既有大小,又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． （2）单位向量：长度等于1个单位的向量．（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性!（因为有零向量）④三点A 、B 、C 共线 AC AB 、共线（4）相等向量:长度相等且方向相同的向量．(5）相反向量:长度相等方向相反的向量.a 的相反向量是-a(6)向量表示：几何表示法；字母a 表示;坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (7)向量的模:设OA a =,则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。

（ 222222||,||a x y a a x y =+==+.） （8)零向量：长度为0的向量。

a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1。

下列命题：（1）若ab=，则a b =.(2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形.（4)若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

福建省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练平面向量一、选择题1、（2016年全国II 卷）已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b +⊥，则m = （A ）8- (B ）6- (C)6 (D ）82、（2016年全国III 卷）已知向量13(,)22BA = ,31(,),22BC = 则∠ABC=（A ）300 （B) 450 (C) 600 （D)12003、（2015年全国I 卷)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ) （A ）1433AD AB AC =-+ （B)1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133AD AB AC =-4、(福建省2016届高三4月质检）在ABC ∆中,3A π=，2AB =，3AC =,2CM MB =，则AM BC ⋅=（A ）113- （B)43- (C)43 （D ）1135、（福州市2016届高三5月综合质量检测）在ABC ∆中，5AB AC ⋅=，4BA BC ⋅=，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）16、（龙岩市2016届高三3月质量检查）若,,A B C 为圆:O 221x y +=上的三点，且1AB =，C 2B =，则BO AC = A ． 0B ．12C ．3D ．327、（莆田市2016高中毕业班3月质量检测）在ABC中，1267,cos ,sin 57BC AC ．若动点P 满足(1)()2AP AB AC R λλλ+-∈＝，则点P 的轨迹与直线,AB AC 所围成的封闭区域的面积为A ．B ．C ．D ．8、(泉州市2016届高三第二次（5月）质量检查）已知AB 是圆221xy +=的一条直径， 点P 在圆()()22431x y -+-=上，则PA PB 的最小值为（ ）A ．15B ．17C ．24D ．359、(泉州五校2016届高三12月联考)若点M 是ABC ∆所在平面内一点,且满足AM =34AB +14AC ，则ABM ∆与ABC ∆的面积之比等于( )A ．34B ．12C ．13D ．1410、（厦门市2016届高三第二次(5月）质量检查)在ABC ∆中,11,33AP AB BQ BC =＝，记,,AB a AC b PQ ==＝则A .b a 3131+ B 。