高二年级期中考试题-含答案数 学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共10个小题,每小题6分,共60分.）1．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2.抛物线y=4x 2的焦点到准线的距离是( )A. B. C. D. 23．已知命题p ：∀x>0，总有(x ＋1)e x >1，则命题p 的否定为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)ex 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)ex 0≤1C ．∀x>0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x≤0，使得(x ＋1)e x ≤1 4.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，都有OC OB OA x OM 3131++=，则x 的值是( )A. 1B. 0C. 3D.5.与向量)2,3,1(-=平行的一个向量的坐标是( )A. )1,1,31(B. (-1,-3,2)C. )1,23,21(-- D. )22,3,2(-- 6.已知双曲线C: 12222=-by a x (0,0>>b a )的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C 的方程为( )A. 1322=-y x B. 1322=-y x C.1322=-y x D. 1922=-y x7.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若⊥，则λ等于( )A. 28B. －28C. 14D. －148.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为( )A.B. -C.D. -9、双曲线2221y x b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1||8PF =，120PF PF •=，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．22y x =±B ．26y x =±C ．5y x =±D ．34y x =±10.若平面α的一个法向量为)1,0,1(1=n ,平面β的一个法向量是)3,1,3(2-=n ,则平面α与β所成的角等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上） 11.已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当BP AP •取最小值时，点P 的坐标为__________． 12.在正四面体O －ABC 中，c OC b OB a OA ===,,，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用c b a ,,表示)．13.已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是________.14.已知斜率为－12的直线L 交椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)于A ，B 两点，若点P(2，1)是AB 的中点，则C 的离心率等于___________ .三、解答题（本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分10分）如图,直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA1=2,如图,以C为原点,分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴建立空间直角坐标系.(1)求平面A1B1C的法向量;(2)求直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值.16．（本小题满分12分）如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标.17. （本小题满分12分）如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．18.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.(1)求二面角F-BE-D的余弦值;(2)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.19．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线283x y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；20．（本小题满分12分）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）经过点M(－2，－1)，离心率为22．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（1）求椭圆C的方程；（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．参考答案一、选择题（每题6分，共60分）1. A2.A3.B4.D5.C6.A7.D8.A9.B 10.D二、填空题（每题5分，共20分）11、(，0,0)12、13、214、3 2三、解答题（共70分）15、【详解】(1)由题意可知C(0,0,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),故=(1,0,2),=(0,1,2),设v=(x0,y,z)为平面A1B1C的法向量,则v·=(x0,y,z)(1,0,2)=x+2z=0,v·=(x0,y,z)(0,1,2)=y+2z=0,即令z=1,则v=(-2,-2,1).(2)设直线AC与平面A1B1C夹角为θ,而=(1,0,0),所以直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值sinθ=.16、[解] (1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－p 2，于是4＋p2＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．又F(1,0)，所以k AF＝43，则FA的方程为y＝43(x－1)．因为MN⊥FA，所以k MN＝－3 4，则MN的方程为y＝－34x＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－34x ＋2y ＝43(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85y ＝45，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.17、(1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、D 1(0,0,5)、E (0,0,1)、F (2,2,4)．∴＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2，0,1)．∵·＝0，·＝0，∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A . ∴BE ⊥平面ACF . (2)由(1)知，为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离d ＝＝.故点E 到平面ACF 的距离为.18、（1）因为DA,DC,DE 两两垂直,所以建立空间直角坐标系D-xyz 如图所示.因为DE⊥平面ABCD,所以BE与平面ABCD所成角为∠DBE，故∠DBE =60°,所以.由AD=3可知DE=3,AF=.则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),所以=(0,-3,),=(3,0,-2),设平面BEF的法向量为,则令z=,则.同理得平面BDE的法向量为,(也可证AC⊥平面BDE,得即为法向量).所以cos<,>=.由图形得二面角F-BE-D为锐角,所以二面角F-BE-D的余弦值为.(2)点M是线段BD上一个动点,设M(t,t,0).则=(t-3,t,0),因为AM∥平面BEF,所以，解得t=2.此时,点M坐标为(2,2,0),BM=BD,符合题意.所以当BM=BD 时，满足AM∥平面BEF．19、解：（1）设C 方程为，则．由，得a=4 ∴椭圆C 的方程为．……4分（2）解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为，代入，得x 2+tx+t 2﹣12=0 由△＞0，解得﹣4＜t ＜4由韦达定理得x 1+x 2=﹣t ，x 1x 2=t 2﹣12． ……………………6分 ∴==． 由此可得：四边形APBQ 的面积∴当t=0时，． ………………8分 20、解：（1）由题设，得4a 2＋1b 2＝1， ①且a 2－b 2a ＝22， ②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3， 椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1．（2）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．由题意知，直线MP 、MQ 的斜率存在． 设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)， 同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2．因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ＝y1－y2x1－x2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)x1－x2＝k(x1＋x2＋4)x1－x2＝8k1＋2k28k1＋2k2＝1，因此直线PQ的斜率为定值．。
