高数第五章复习提纲

高一数学必修第五章知识点一、集合与命题1. 集合的概念及表示方法- 集合是具有某种特定性质的事物的总体，用大写字母表示。

- 用罗马字母表示集合的元素，用花括号{}表示集合。

2. 集合的分类- 根据元素的性质，集合可分为数集、点集、平面集等。

3. 命题的概念- 命题是陈述性质的句子，可以判断真假。

- 用P、Q等表示命题。

4. 命题的连接词- 与、或、非分别表示“且”、“或”、“非”的逻辑关系。

二、命题的复合1. 合取命题- 由两个或多个命题通过“且”的关系连接而成的命题。

- 用P∧Q表示，当P和Q同时为真时，命题为真。

2. 析取命题- 由两个或多个命题通过“或”的关系连接而成的命题。

- 用P∨Q表示，当P和Q中至少有一个为真时，命题为真。

3. 否定命题- 对一个命题取相反的意义而得到的命题。

- 用¬P表示，当P为真时，命题为假。

三、集合间的关系1. 子集关系- 对于任意集合A和集合B，如果A的所有元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。

2. 并集- 由两个或多个集合的所有元素组成的新集合。

- 记作A∪B，表示A和B的并集。

3. 交集- 由两个或多个集合共有的元素组成的新集合。

- 记作A∩B，表示A和B的交集。

4. 互斥集合- 两个集合没有共同的元素。

- 当A∩B=∅时，称A和B为互斥集合。

四、集合的运算1. 并、交、差集的运算性质- 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A- 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)- 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)- 对偶律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A2. 补集的概念及性质- 对于集合A，A的补集是与A互斥的集合，记作A的补集。

- 补集的性质：A∪A的补集=全集，A∩A的补集=空集。

五、关于集合的定理1. 幂集定理- 对于一个有n个元素的集合，其幂集有2^n个元素。

高数大一第五章知识点总结在高等数学的第五章中，我们主要学习了极限与连续的相关知识。

极限与连续是高数中的重要概念，对于理解微积分等后续学科具有重要意义。

下面我将对第五章的知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一章节内容。

1. 极限的概念和性质极限是一个数列或函数在某一点或者无穷远处的趋近值。

我们通常用“lim”表示极限，例如lim(n→∞) an = a表示当n趋近于无穷大时，数列an的极限为a。

极限具有唯一性、局部有界性、保号性等性质。

2. 极限的计算方法在计算极限时，可以利用数列的性质、极限的四则运算法则、夹逼定理等方法。

对于无穷小量与无穷大量的比较，我们可以使用洛必达法则等方法。

3. 无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是指极限为0和极限为正无穷或负无穷的数列或函数。

无穷小量与无穷大量在微积分中有重要应用，例如在计算微分和积分时经常会用到。

4. 函数的极限函数的极限与数列的极限类似，也是描述函数在某一点或者无穷远处的趋近值。

例如lim(x→a) f(x) = L表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。

函数的极限计算同样可以利用极限的性质和计算方法。

5. 连续的概念和性质连续是指函数在某一点处具有极限，且该极限等于函数在该点处的函数值。

连续函数具有保持不等式、可加性、介值性等重要性质。

我们还学习了间断点的分类和判定方法。

6. 基本初等函数的连续性基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

这些函数在其定义域内均是连续函数。

总的来说，高数第五章的内容较为复杂，但是又非常重要。

掌握了极限和连续的概念和性质，我们才能够更好地理解微积分等后续学科，为以后的学习打下扎实的基础。

希望以上对第五章知识点的总结能够给大家带来帮助，同时也希望大家在学习高等数学的过程中能够保持耐心和积极性，不断提高自己的数学思维能力和解题能力。

通过不断的练习和思考，相信大家都能够掌握好这一章节的内容，为自己的数学学习打下坚实的基础。

高一数学第五章知识点归纳总结高一数学的第五章主要介绍了一元二次函数以及其相关的知识点。

本文将对该章进行一个归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。

一、一元二次函数的基本概念一元二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c都是实数，且a不等于零。

其中，a称为二次项的系数，b称为一次项的系数，c称为常数项。

二、二次函数的图像特点1. 开口方向：当a大于零时，函数的图像开口向上，形如一个“U”字形；当a小于零时，函数的图像开口向下，形如一个倒立的“U”字形。

2. 对称轴：一元二次函数的图像都关于其对称轴对称，对称轴的方程为x=-b/2a。

3. 顶点坐标：对于开口向上的二次函数，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)表示将-b/2a代入函数中求得的值；对于开口向下的二次函数，其顶点坐标同样为(-b/2a, f(-b/2a))。

4. 判别式：判别式Δ=b^2-4ac可以用来判断一元二次方程的根的性质：- 当Δ大于零时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ等于零时，方程有两个相等的实根；- 当Δ小于零时，方程没有实根。

三、一元二次函数的性质1. 零点：一元二次方程的零点即为函数与x轴的交点，可以通过解方程来求得。

若Δ大于零，则方程有两个不相等的实根，这两个实根将分别对应图像与x轴的两个交点；若Δ等于零，则方程有两个相等的实根，图像与x轴仅有一个交点；若Δ小于零，则方程没有实根，图像与x轴没有交点。

2. 平移变换：平移变换是指将函数的图像沿着平行于x轴或者y轴的方向进行平移。

一元二次函数可以通过平移变换来得到新的函数。

其中，平移变换的一般形式为：- 向左平移h个单位：f(x+h)；- 向右平移h个单位：f(x-h)；- 向上平移k个单位：f(x)+k；- 向下平移k个单位：f(x)-k。

四、应用问题一元二次函数在实际生活中有很多应用，常见的问题包括最值问题和问题求解。

高二数学第五章知识点归纳高二数学第五章主要包括数列与数学归纳法的内容。

数列是数学中非常重要的一个概念，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。

而数学归纳法则是数学中一种常用的证明方法，通过归纳的思路，我们可以证明一些特定的数学命题。

下面将对这两个知识点进行详细的归纳总结。

一、数列的概念与性质1. 数列的定义：数列是按照一定的顺序排列的一列数的集合，它可以用数学表达式或递推公式表示。

2. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

等差数列具有以下性质：a) 公差：等差数列中相邻两项的差值称为公差，用d表示。

b) 通项公式：等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n -1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。

c) 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(2a1 + (n - 1)d)。

3. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

等比数列具有以下性质：a) 公比：等比数列中相邻两项的比值称为公比，用q表示。

b) 通项公式：等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * q^(n - 1)，其中an为第n项，a1为首项，q为公比。

c) 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可以表示为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。

4. 等差数列与等比数列的应用：等差数列与等比数列在实际问题中具有广泛的应用，例如财务计算、人口统计、工程问题等。

在解决这些问题时，我们可以通过建立等差或等比数列来简化计算。

二、数学归纳法的基本思想与步骤1. 数学归纳法的基本思想：数学归纳法是一种证明方法，它的基本思想是通过证明第一个命题成立，并通过归纳假设证明第k 个命题成立，再证明第k+1个命题成立。

2. 数学归纳法的步骤：a) 第一步（递推基础）：证明命题在某个基础情况下成立，通常是证明第一个命题成立。

b) 第二步（归纳假设）：假设第k个命题成立，即假设当n=k时命题成立。

高一数学知识点第五章高一数学知识点第五章主要涉及概率与统计相关的内容。

本章包括了条件概率、事件间的关系、随机事件概率计算、离散型随机变量等内容。

下面将对这些知识点进行详细的阐述。

1. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

在计算条件概率时，需要使用条件概率公式：P(A|B) =P(AB) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

2. 事件间的关系在概率理论中，常用的事件间关系有两种：互斥事件和相对事件。

互斥事件指的是两个事件不能同时发生，即事件A与事件B 互斥。

而相对事件指的是事件A与事件B至少有一个发生，即事件A与事件B相对。

3. 随机事件概率计算在概率计算中，常用的方法有频率法和几何概率法。

频率法通过实验数据统计来计算概率，几何概率法则通过几何模型计算概率。

频率法计算概率时，概率P(A)等于事件A发生的次数除以总实验次数。

几何概率法计算概率时，概率P(A)等于事件A所占的样本空间面积除以总样本空间面积。

4. 离散型随机变量离散型随机变量是指取值有限且可数的随机变量。

在离散型随机变量中，每个取值都对应一个概率，并且各个取值之间是不连续的。

在计算离散型随机变量的期望值时，需要使用期望值公式：E(x) = Σ(x * P(x))，其中x表示随机变量的取值，P(x)表示随机变量取值x的概率。

以上就是高一数学知识点第五章的主要内容。

通过学习这些知识点，我们可以更好地理解概率与统计的基本概念，能够应用数学方法解决实际问题。

概率与统计是数学中一个非常重要的分支，对于我们的生活和工作都具有重要的意义。

希望同学们能够认真学习，掌握这些基础知识，为将来的学习和研究打下坚实的基础。

第五章定积分复习要点§1 定积分的概念与性质1. 了解定积分的定义：其中称为被积函数称为积分区间规定: (1 ;(2 .2 . 掌握定积分的性质：(1 设为常数则;(2 ;(3 (路径性质;(4;(5 设在区间上,则;(6 (估值定理设及分别是函数在区间上的最大值及最小值,则;(7 (定积分中值定理如果函数在闭区间上连续,则在积分区间上至少存在一个点,使下式成立:§ 2 微积分基本公式1. 会求积分上限函数的导数积分上限函数的导数若, 则2. 熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式-----微积分基本公式§ 3 定积分的换元法和分部积分法1. 掌握定积分的换元法定理：设在上连续,若函数满足:(1(2 在或上,有连续的导数,且,则有注意: 定积分换元必须换限.2. 掌握定积分的分部积分法:公式：或3 . 记住几个常用结论:(1 若为偶函数,则;(2 若为奇函数,则;(3§ 4 反常积分1. 理解无穷区间上的反常积分的定义设函数在相应区间上连续,定义;若上述等式右端极限存在,则称左端的广义积分收敛,否则,称广义积分发散.而当右端两个反常积分均收敛时,称左端的反常积分收敛,否则称左端反常积分发散.2. 了解无界函数的反常积分(又称瑕积分的定义：:若函数在点的任一邻域内都无界,则称点为的瑕点(也称无界间断点.设函数在相应区间上连续,且分别以,,为瑕点,定义;若上述等式右端极限存在,则称左端的广义积分收敛,否则,称广义积分发散.而当右端两个反常积分均收敛时,称左端的反常积分收敛,否则称左端反常积分发散.第六章定积分的应用1. 掌握定积分的微小元素法。

2. 会用定积分求平面图形的面积及该平面图形绕坐标轴旋转一周所得的旋转体的体积。

3. 会用定积分求一些物理量，如：功、水压力等。

第五章高一数学知识点总结高一数学知识点总结第五章：函数与方程一、函数的概念与性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的映射关系，它将定义域中的每个数值都对应到值域中的唯一数值。

函数可以用数学表达式、函数图像或函数关系式来描述。

1.2 函数的性质（1）定义域与值域：函数的定义域是所有可以接受的输入值的集合，值域是函数所有可能的输出值的集合。

（2）奇偶性：一个函数是奇函数，当且仅当对于任意x有f(-x)=-f(x)。

一个函数是偶函数，当且仅当对于任意x有f(-x)=f(x)。

（3）单调性：一个函数在其定义域内的某个区间上是单调增加的，当且仅当对于该区间中的任意两个实数x1、x2，若x1<x2，则有f(x1)<f(x2)。

（4）周期性：一个函数f(x)是周期函数，当且仅当存在一个正数T，使得对于函数定义域中的任意x都有f(x+T)=f(x)。

（5）上下界：一个函数的最小值和最大值分别是其定义域中取到的最小值和最大值。

二、一次函数一次函数由形如y=ax+b的数学表达式表示，其中a和b是实常数。

2.1 函数图像一次函数的图像是一条直线，其斜率为a，截距为b。

当a>0时，函数图像呈现上升趋势；当a<0时，函数图像呈现下降趋势。

2.2 解一次方程对于一次方程ax+b=0，其中a≠0，解可以表示为x=-b/a。

一次方程的解即为函数与x轴的交点。

2.3 求斜率斜率代表了一次函数的变化速率，可以通过求取任意两个点的纵坐标差与横坐标差之比得到，即斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)。

三、二次函数二次函数由形如y=ax^2+bx+c的数学表达式表示，其中a、b和c是实常数且a≠0。

3.1 函数图像二次函数的图像是一个抛物线。

当a>0时，抛物线开口朝上，形状为“U”字型；当a<0时，抛物线开口朝下，形状为倒置的“U”字型。

3.2 求顶点坐标二次函数图像上的最低点（或最高点）被称为顶点。

顶点的纵坐标可以通过将二次函数化为标准形式y=a(x-h)^2+k来求得，其中(h,k)为顶点坐标。

第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积：设曲边梯形是由连续曲线、轴以及两条直线、所围成,求其面积. ①．大化小(分割)：在区间内任意插入个分点，用直线将曲边梯形分成个小曲边梯形，用表示第个曲边梯形的面积; ②．常代变(近似代替)：在第个窄曲边梯形的底上任取，有. ③．近似和(求和)：④．取极限：令，则2. 变速直线运动的路程：设某物体作直线运动,已知速度在时间间隔上连续，且，求在运动时间内物体所经过的路程①．大化小(分割)：在区间内任意插入个分点，将它分成个小段，用表示物体第个小段上经过的路程; ②．常代变(近似代替)：在第个小段上经过的路程任取，有. ③．近似和(求和)：④．取极限：令，则这两个具体问题来自两个不同的学科，但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的极限，抽去它们的具体意义，就得到数学上定积分的概念. 二、定积分的相关概念 1．定积分 :设函数在区间上有界，若在区间内任意插入，任取，记，只要和式极限总存在，则称此极限为在上的定积分,记作，即，此时也称在区间上黎曼可积. 注：1°.引例中，曲边梯形的面积；路程2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即3°.在定积分定义中，要求积分上限大于积分下限，为了方便起见，规定：当时，；当时，. 4°.定积分定义中意味着区间的分割越来越细.时必有小区间的个数并不能保证(不等分的时候，当等分的时候5°.若已知在上可积，则可以通过特殊的分法分割区间(例如等分) (例如取或)来计算定积分2．定积分的几何意义：曲边梯形的“面积”. 3. 函数可积的条件 (1). 必要条件：定理1.若在上可积，则在上有界反之未必，例如：狄利克雷函数在上有界，但不可积, 分和的极限不总存在. (2). 充分条件：定理2. 若在上连续，则在上可积反之未必，例如在上可积，但在上有一个间断点定理3. 若在上有界，并且只有有限个间断点，则在上可积. 定理4. 若在上单调且有界，则在上可积. 例1. 利用定义计算定积分解：将区间进行等分, 分点为则，于是，，取，，所以例2. 用定积分表示下列极限 1.. 2. .三、定积分的性质(设所列定积分都存在) 1.线性性质1. ( k为常数) 性质2. 2.积分区间的可加性性质3. 设，则有 3.保序性性质4. 若在，，则性质5. 若在，，则 4.绝对不等式性性质6. 5.介值性性质7.设和是在上的最大值和最小值，则. 性质8. 6.中值性性质9.(积分中值定理) 若在上连续，则至少存在一点，使得 .证明：设在上的最大值和最小值为和，则由介值性得， . 再由闭区间上连续函数的介值定理, 至少存在一点，使注：1°.积分中值定理对或的情形都成立. 2°.称为在上的平均值. 因为，故它是有限个数的平均值概念的推广3°.积分中值定理的几何意义: 以为曲边的曲边梯形的面积等于同底的且以为的矩形的面积第二节微积分基本公式一、引例:变速直线运动中位臵函数与速度函数之间的联系在变速直线运动中, 已知位臵函数与速度函数之间满足：，即的原函数又物体在时间间隔内经过的路程为，即速度函数区间上的定积分等于的原函数在上的增量这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性. 二、积分上限函数及其导数 1.积分上限函数：若函数区间上可积，则称函数分上限函数，或变上限积分注：积分上限函数在上连续推导：，有，当，即在上连续 2.积分上限函数的导数：定理1.若函数在区间上连续，则积分上限函数在并且 . 证明: ，则有 (积分中值定理)，又在上连续，故有 . 若，取，可证；若，取，可证. 注：其它变限积分求导: 1°；2°； 3. .3.原函数存在定理：定理2.若函数在区间上连续，则积分上限函数在上的一个原函数注：这个定理一方面肯定了连续函数的原函数的存在性，另一方面初步地揭示了在被积函数连续的前提下，定积分与原函数之间的联系，为使用原函数计算定积分开辟了道路例1.例2.设在内连续且，证明在内单调增加证明：由于(积分中值定理，所以在内单调增加. 4.函数存在原函数与函数可积的关系： (1).函数存在原函数，但不一定可积例如：对函数，由于，令，即函数在区间上具有原函数，但由于在无界，所以在不可积，事实上，取，有，即在无界(2).函数可积，但不一定存在原函数例如：函数在除了一个间断点外都连续，所以在可积，但在上不存在原函数 (3).存在既不存在原函数又不可积的函数，例如：狄利克雷函数：三、微积分基本公式——牛顿—莱布尼茨公式定理3. (微积分基本定理)设函数在区间上连续，若函数是在上的任一原函数，则证明：由于积分上限函数是的一个原函数，故，令，得，因此；再令，得注：微积分基本公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系.它表明：连续函数在上的定积分等于它的任意一个原函数在上的增量微积分基本公式是对被积函数连续时给出的计算定积分的公式，若函数在上不连续，但满足一定的条件，也有相同的公式：定理3’ 设函数在区间上有界，且有有限多个间断点，若存在连续函数，的间断点外，有，则证明：假设在不连续，不满足，，有在区间上连续，且满足，从而有，由的连续，有 . 例3. .例4.例5. . . 例6.计算正弦曲线在与轴所围成的平面图形的面积. 解：例7.用微积分基本定理证明积分中值定理：若在，使得证明：因为连续，故具有原函数，设为它的一个原函数，即，由牛顿—莱布尼茨公式有由在上满足拉格朗日中值定理的条件，故至少存一点，使得，故第三节定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分的换元法：定理1.设函数在区间上连续，函数满足：(1). , ，并且当从变到时，对应的单调地从变到； (2). 函数在或上具有连续导数，则有证明：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在，且它们的原函数也存在. 设的一个原函数，则是的原函数，于是由牛顿—莱布尼茨公式，有 . 注：1°.换元必换限, 原函数中的变量不必代回. 2°.换元公式也可以这样使用, 即凑元法，换.这相当于不定积分的第一换元积分法. 例1. 计算 . 解：令，则，当时，；时，，于是 .例 .例3.例4.计算 . . 解：令，则，，且当时，；当时，，于是 .另解： + 例5. 设为上的连续函数， (1). 若，则.(偶倍 (2). 若，则.(奇零证明: 由于，对积分作变换，令，则有，于是例6.若在上连续，证明(1). ；，并由此计算 (2). 证明： (1).令，则，且当时，；当时，，于是 . (2). 令，则，且当时，；当时，，于是整理得由此例7. 设是连续的周期函数，周期为，证明： (1). (2). ,并由此计算证明： (1).记，则，即与无关，因，于是(2).由于，又由(1)知，因此由于是以为周期的周期函数，于是 (令例8. 计算. 解：由于，令，，；时，，则，.当于是 (偶倍奇零) . 例9.设函数，计算解：设，则，且当时，；时，，于是 ) (由于二、定积分的分部积分法定理2. 设函数、在区间上连续，则有定积分的分部积分公式：证明：由于，两端在上积分得，，整理得例10. 计算解：. 例11. 计算解：令，则，，于是思考题：. 提示: 令，则第四节反常积分一、无穷积分 1.引例：曲线和直线及轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作，其含义可理解为将记作，因其积分区间时无穷区间，故称其为无穷积分. 2.无穷积分：设函数在区间上连续，取，若极限为在无穷区间上无穷积分,记作存在此时也称为无穷积分可类似定义：，收敛；若上述极限不存在,则称无穷积分在无穷区间上的无穷积分： . 在无穷区间上的无穷积分：注：上述定义中若出现，并非不定型,它表明该无穷积分发散. 无穷积分也称为第一类反常积分 3.无穷积分的计算：设是在上的一个原函数，引入记号 ; 则有类似牛——莱公式的计算表达式: 例 1.计算反常积分解：；；. 另解： . 注：是否正确？因为，故原积分发散，所以对反常积分, 使用“偶倍奇零”的性质, 否则会出现错误例2. 计算反常积分.解：. 当时收敛; 时发散. 证明：当时，有，例3. 证明积分当时，有因此当时, 反常积分收敛, 其值为；当时, 反常积分发散二、瑕积分 1.引例：曲线与轴及轴和直线所围成的开口曲边梯形的面积可记作，其含义可理解为将记作，因其被积函数在积分区间内无界，也称为无界函数的反常积分易知左端点是被积函数的无界间断点，称其为被积函数的瑕点，因此无界函数的反常积分也称为瑕积分 2.瑕点：若函数在点的任意邻域内都无界，则称为的无界间断点，又称为瑕点. 3.瑕积分：设函数在区间上连续，点为的瑕点，取，若存在，则称此极限为在区间上的瑕积分记作，此时也称瑕积分收敛；若上述极限不存在,就称瑕积分发散，可类似定义：若在区间内连续，为的瑕点，则有： .若在区间上除了点外连续，为的瑕点，则有：注：若出现，并非不定型,它表明该反常积分发散. 若也称为第二类反常积分. 注：1°.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分, . 常积分. 例如: 2°.有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化. 例如(令 (令) 3°.当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分. 3.瑕积分的计算：设是的一个原函数，则有类似牛——莱公式的计算表达式: 若为瑕点, 则若为瑕点, 则 . 若和都为瑕点, 则思考题：若瑕点，则提示：和不一定相等.例 . 例5. 讨论反常积分的收敛性. 解：由于，所以反常积分发散. 例6. 证明反常积分当时收敛; 时发散. 证明：当时，为被积函数的瑕点，有，当时，有因此当时, 反常积分收敛, 其值为；当时, 反常积分发散例7. 计算反常积分解：注意到这是一个无穷限和瑕点都出现的反常积分令，则，，当时，；当时，，于是 . 再令，，，，当时，；当，于是 . 三.两类反常积分之间的关系：瑕积分积分可转化为无穷积分，例如：设函数在区间上连续，为的瑕点，由定义有，令，有第五节反常积分的审敛法函数一、无穷积分的审敛法由于无穷积分的收敛性问题实质上上是一个极限的存在性问题，于是根据函数极限的理论，不难得出无穷积分的收敛准则： 1.柯西收敛准则：定理1. 收敛的充要条件是：对，，当成立下面讨论无穷积分2.有界审敛法：的另外几种收敛判别法，首先考虑非负函数的无穷积分定理2. 设非负函数在区间上连续，若函数在收敛证明：由于，则在上单调增加且有上界，根据极限收敛准则知存在 , 收敛由此定理，可得下面的比较审敛法： 3．比较审敛法：定理3.设函数、在区间上连续，且，有， (1). 若(2). 收敛，则收敛；发散证明：设，由于，有. (1). 收敛，则有，即单调递增且有上界, 由定理1知收敛 (2).用反证法：则由知，发散注：大的收敛，保证小的收敛；小的发散，导致大的发散由于反常积分当时，收敛；当时，发散，故通常取作为比较函数，即有下面的柯西审敛法： 4．柯西审敛法：定理4.设非负函数在区间上连续，对常数，记， (1). 当时，若，, 有，则收敛； (2).当时，若，, 有则发散例1.的敛散性解：由于收敛，故收敛在比较审敛法的基础上，可以得到应用更方便的极限审敛法： 5．极限审敛法：定理5.设非负函数在区间上连续，对常数，记， (1). 当时，若，则(2). 当时，若，则证明：收敛；发散 (1). 当时，若，则由极限定义知：对任意给定的，当时，必有，即收敛 (2). 当时, 若, 则由极限定义，可取，使，当充分大时，必有，即，由比较审敛法知发散，由若，则对任意，当充分大时，，即发散例2. 的敛散性收敛，故解法(一)：由于，而收敛解法(二)：由于收敛例3. 的敛散性. 解：由于发散. 例4. 的敛散性. 发散.解：由于，极限审敛法知的概念以及绝对收敛定理. 6．绝对审敛法： (1). 无穷积分的绝对收敛与条件收敛：设反常积分若收敛，收敛，则称发散，则称绝对收敛；条件收敛； (2)．绝对审敛法：定理6.若函数在区间上连续，且收敛，则收敛证明：令，则，由于，故敛，而，又例5. 判断反常积分故收敛为常数，的敛散性解:由于，而再由绝对收敛定理知二、瑕积分的审敛法收敛，根据比较审敛原理知收敛由于瑕积分可转化为无穷积分，故无穷积分的审敛法完全可平移到瑕积分中来. 1.柯西收敛准则：定理7. (为的瑕点)收敛的充要条件是：对，成立 2．比较审敛法：定理8.设非负函数、在区间上连续，为、的瑕点，且，有， (1). 若(2). 收敛，则收敛；发散利用反常积分当时收敛; 敛法和极限审敛法： 3．柯西审敛法：定理9.设非负函数在区间上连续，为的瑕点， (1). 若，当时，,有，则收敛； (2).若，当时，, 有4．极限审敛法：发散定理10.设非负函数在区间上连续，为的瑕点，对常数，， (1). 当时，若，则(2). 当时，若，则例6. 判别反常积分收敛；发散的敛散性. 解：易知是被积函数的瑕点，由于，由极限判别法知瑕积分例7.判定椭圆积分发散.的敛散性解：易知是被积函数的瑕点，由于，故由极限判别法知5．绝对审敛法：收敛. (1).瑕积分的绝对收敛与条件收敛：设瑕积分(为的瑕点)收敛，若收敛，则称绝对收敛；若发散，则称条件收敛；(2)．绝对审敛法：定理11.若函数在区间上连续上连续，且收敛，则收敛例8.判定反常积分的敛散性. ，而收敛，根据比较审敛解:易知是被积函数的瑕点，由于法知收敛. ，再由绝对收敛定理知例9.判定反常积分的敛散性解: 易知是被积函数的瑕点，由于,从而，即收敛. 收敛，从而三、函数 1. 函数：称参变量的反常积分为为函数，记作2. 函数的收敛性：收敛证明：由定义式可知，函数可分解为当时，为定积分；当时，为瑕积分，为瑕点，此时，由于，又由于时，瑕积分对无穷积分收敛，于是收敛，由于，从而收敛综上可得收敛 3. 函数的性质： (1). 递推公式：. 证明：应用分部积分法，有当介于两个整数之间时，则当为正整数时，则，而，所以 (2). 当时，. 证明：由于且，又当时连续(可证)，于是 .(3). 余元公式: 注： (4). 函数的其它形式：推导：对函数注： 1. ，令得， . 推导：令，则，，于是。

高数笔记大一第五章知识点高数笔记：大一第五章知识点第五章是大一学生学习高等数学的重要阶段，主要包括一元函数微分学和函数的积分学。

这一章节的内容对于进一步学习数学和应用数学都具有重要的意义。

本文将对第五章的一些关键知识点进行总结和解析，希望对大家在学习高等数学时有所帮助。

一、一元函数微分学1. 导数和微分在第五章，我们学习了一元函数的导数和微分。

导数是函数变化率的极限，表示函数在某一点的切线斜率。

微分是在导数的基础上定义的一个新概念，它表示函数在某一点的微小变化量。

2. 常用函数的导数公式在学习求导的过程中，掌握一些常用函数的导数公式是非常重要的。

例如，幂函数的导数公式、指数函数的导数公式、对数函数的导数公式等。

掌握这些公式可以简化求导的过程，提高计算效率。

3. 高阶导数和导数的几何意义我们不仅可以对函数进行一阶导数，还可以进行二阶导数、三阶导数等。

高阶导数的几何意义是函数曲线的曲率。

通过求解高阶导数，我们可以进一步了解函数曲线的变化规律和形态特征。

4. 隐函数求导在实际问题中，有些函数可能无法显式地表示为关于自变量的函数形式，我们称之为隐函数。

通过隐函数求导的方法，可以求出隐函数的导数和微分。

这在物理、工程、经济等领域的问题中具有广泛的应用价值。

二、函数的积分学1. 定积分的定义和性质定积分是反应函数在一定区间上的积累效果的数值。

定积分的定义是通过将区间等分，求出分割点上函数值与区间长度乘积的极限得到。

定积分具有线性性、积分中值定理、换元积分法等重要性质。

2. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是函数积分学中的核心公式，它将积分与导数联系在一起。

通过牛顿-莱布尼茨公式，我们可以通过求函数的原函数来计算定积分。

3. 不定积分和定积分的关系在第五章，我们学习了不定积分和定积分之间的关系。

不定积分是定积分的逆运算，通过不定积分我们可以求出函数的原函数。

而定积分则是通过对函数在特定区间上的积累效果进行求解。

高等数学第5章知识点总结第5章二重积分（一）概念1. 二重积分的概念设二元函数f(x,y)在闭区域D上有界，把闭区域D分成n个小区域，记作ΔDi ,ΔSi为第i 个小区域的面积,ξi (i=1,2,3,…,n) 取在Di上的任一点，则二重积分的极限∬f(x,y)dA=lim n->∞ Σf(ξi)ΔSi（i=1,2,3,…,n）当这极限存在时，称其为在D上的二重积分，记作∬f(x,y)dA2. 二重积分的几何意义二重积分∬f(x,y)dA 表示把函数f(x,y)在闭区域D上的值与ΔS之积相加，其中ΔS是D上的微小面积。

即表示在闭区域D上f(x,y)在ΔS上的平均值与ΔS的面积之积的和。

3. 二重积分的计算法（1）累次积分法先对y积分，再对x积分。

（2）二次积分法先对x,y积分都在一起进行。

（3）极坐标法根据二重积分的边界条件，将直角坐标系转换为极坐标系。

（二）性质1. 线性性质若函数f(x,y)和g(x,y)在区域D上有界，则∬[f(x,y)+g(x,y)]dA = ∬f(x,y)dA + ∬g(x,y)dA2. 积分域的可加性若函数f(x,y)在区域D1和区域D2上有界，则∬f(x,y)dA = ∬f(x,y)dA1 + ∬f(x,y)dA23. 面积性质若函数f(x,y)在区域D上恒为1，则∬f(x,y)dA = S(D)（三）二重积分的应用1. 计算面积当f(x,y)=1时，二重积分∬1dA表示在闭区域D上的面积。

2. 计算质量、重心、转动惯量在力学中，可以利用二重积分计算平面薄片的质量、重心和转动惯量。

3. 计算电荷、电场在电磁学中，可以利用二重积分来计算平面薄片上的电荷、电荷分布和电场分布。

（四）二重积分的换元法1. 极坐标换元2. 线性换元3. 一般换元注：该知识点总结仅包括了高等数学第5章的基本内容，如需更多详细知识，请查阅相关资料。

82 第五章 向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲)内容要点内容要点一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量概念二、向量概念®a ＝®i x +®j y +®k z坐标()z y x ,,模®a ＝222z y x ++ 方向角g b a ,,方向余弦g b a cos ,cos ,cosa cos ＝222zy x x ++ ；b cos ＝222zy x y ++ ；g cos ＝222zy x z ++三、向量运算三、向量运算设®a ()11,1,z y x ；®b ()22,2,z y x ；®c ()33,3,z y x 1． 加（减）法加（减）法®a ±®b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2． 数乘数乘 ()111,,z y x a l l l l =®3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义®a ·®b =®a®b ÷øöçèæ®®Ðb a ,cos （ⅱ）坐标公式®a ·®b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用®a ·®b =0Û®a ^®b4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a ´®b ＝®®ba ÷øöçèæ®®Ðb a ,sin ®a ´®b 与®a 和®b 皆垂直，且®a ，®b ，®a ´®b 构成右手系构成右手系83（ⅱ）坐标公式®a ´®b =222111z y x z y x k j i®®®（ⅲ）重要应用®a ´®b =®0Û®a ，®b 共线共线5、混合积、混合积 （ⅰ）定义（ⅰ）定义（®a ，®b ，®c ）＝（®a ´®b ）·®c （ⅱ）坐标公式（®a ，®b ，®c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）÷øöçèæ®®®c b a ,,表示以®a ，®b ，®c 为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积§5.2 平面与直线（甲）内容要点（甲）内容要点一、一、 空间解析几何空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。

高一数学第五章书本知识点高一阶段的数学学习内容丰富多样，其中第五章是一个非常重要的章节，涵盖了很多数学的基础知识和常用方法。

在这一章里，我们将学习线性方程组、矩阵及其运算、行列式等内容。

接下来，我将从这些方面详细介绍和讨论。

一、线性方程组线性方程组是数学学习过程中的基础概念，也是很多实际问题的数学模型。

通过线性方程组的学习，我们能够理解和解决各种线性问题。

在这一部分，我们将学习线性方程组的定义、解法和相关性质。

首先，线性方程组是由多个线性方程组成的方程组。

一个线性方程通常具有以下形式：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b其中a1、a2…an是已知系数，x1、x2…xn是未知数，b是已知常数。

解线性方程组的常见方法有：直接代入法、消元法、矩阵法等。

通过这些方法，我们可以求解出未知数的具体值，从而解决问题。

二、矩阵及其运算矩阵是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。

矩阵的学习可以帮助我们更好地理解和处理数据。

在这一部分，我们将学习矩阵的定义、基本运算和性质。

矩阵由m行n列的数构成，通常表示为一个矩形数组。

矩阵的运算包括加法、减法、数乘、矩阵乘法等。

通过运算得到的结果可以进行进一步的分析和应用。

特别要注意的是矩阵乘法。

矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。

此外，对于矩阵的乘法，必须满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数，否则乘法无法进行。

三、行列式行列式是高一数学中的另一个重要内容，也是线性代数的基础知识之一。

了解行列式的性质和计算方法，对于理解矩阵和解决线性方程组都有很大帮助。

行列式的定义和计算方法稍显复杂，但通过学习可以掌握。

行列式的性质包括：行列式的值与行列式的互换、倍数行及倍数列有关，行列式的某一行或某一列的元素加上另一行或另一列相应的元素，行列式的值不变等等。

通过行列式的计算，我们可以求解线性方程组的唯一解、无解和有无穷多解的情况。

总结：高一数学第五章的内容涵盖了线性方程组、矩阵及其运算、行列式等重要知识点。

高一高数第五章知识点第一节：函数的概念和性质函数是数学中的一种重要概念，它描述了两个集合之间的对应关系。

在高中数学中，我们主要研究实函数，即定义域和值域都是实数集的函数。

函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。

其中，定义域指的是函数能够接受的自变量的取值范围；值域是函数在定义域上所有可能取到的值的集合；奇偶性描述了函数在自变量取正值和负值时的对称性；单调性则表示函数在定义域上的增减趋势。

第二节：函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。

通过绘制函数的图像，我们可以直观地了解函数的性质。

对于一元函数来说，我们可以通过画出函数的图像来描述它的奇偶性、单调性、极值点等。

而对于二元函数，我们需要使用等值线或者三维坐标系来表示函数的图像。

第三节：函数的运算与初等函数函数之间可以进行加、减、乘、除等运算，这些运算可以帮助我们理解函数之间的关系。

例如，两个函数的和、差、乘积、商仍然是函数，并且有一些性质与原函数相关联。

初等函数是一类常见的函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

初等函数在数学和物理等领域中有广泛的应用。

第四节：反函数与复合函数反函数指的是由原函数反过来确定的函数。

原函数和其反函数互为反函数关系，即将自变量和因变量对调，可以得到反函数。

复合函数是指由两个或多个函数组成的函数，即一个函数的输出作为另一个函数的输入。

通过复合函数，我们可以将复杂的函数关系拆分为简单的函数关系，更便于分析和计算。

第五节：数列和数学归纳法数列是按照一定规律排列的数的集合。

数列可以是等差数列、等比数列等，通过数列的性质，我们可以研究数列的增减规律和数列的和。

数学归纳法是一种证明方法，通过证明当某个命题成立时，该命题在下一个情况也成立，从而推论该命题在所有情况下都成立。

数学归纳法在高中数学中有广泛的应用，尤其是在证明数列性质方面。

第六节：概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支，它研究随机事件的发生概率和数据的收集、整理与分析。

高一数学第五章总结知识点第一节直线方程的研究1. 直线的基本概念直线是平面几何中的一种基本图形，由无数个相邻的点组成，它没有宽度和厚度。

2. 直线的表示方法(1) 点斜式：$y-y_1=k(x-x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 为直线上的一点，$k$ 为直线的斜率。

(2) 斜截式：$y=kx+b$，其中 $k$ 为直线的斜率，$b$ 为直线和 $y$ 轴的交点在 $y$ 轴上的截距。

(3) 截距式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，其中 $a$，$b$ 分别为直线与 $x$ 轴和 $y$ 轴的截距。

3. 相关性质(1) 相互垂直的两条直线的斜率互为相反数。

(2) 相互平行的两条直线具有相同的斜率。

(3) 两条非垂直的直线的交点为 $(x_0, y_0)$，则两条直线的斜率之积等于 $-1$，即 $k_1 \cdot k_2 = -1$。

(4) 若一个方程可以化为 $Ax+By+C=0$ 的形式，那么该方程表示一条直线，斜率为 $-\frac{A}{B}$。

第二节平面直角坐标系与图形的性质1. 平面直角坐标系平面直角坐标系由横轴 $x$ 轴和纵轴 $y$ 轴组成，原点为坐标轴的交点，任意点的坐标表示为 $(x, y)$。

2. 图形的性质(1) 图形的对称性：包括原点对称、关于 $x$ 轴对称和关于$y$ 轴对称等。

(2) 图形的平移：平移图形时，每个点的坐标都按照平移向量的规律进行平移。

(3) 平行和垂直关系影响：平行于 $x$ 轴的线与 $y$ 轴相交得到的点的纵坐标为 $0$；平行于 $y$ 轴的线与 $x$ 轴相交得到的点的横坐标为 $0$。

第三节二次函数的性质及其图像1. 二次函数的概念二次函数是一个以 $x$ 的平方项为最高次的多项式函数，一般形式为 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a$，$b$，$c$ 为常数，且 $a \neq 0$。

2. 二次函数的图像和性质(1) 抛物线的开口方向由二次项的系数 $a$ 的正负决定。

高一数学第五章知识点总结第一节直角三角形及其应用1. 直角三角形的性质- 直角三角形定义：一个三角形中，其中一个角为90度，则该三角形为直角三角形。

- 斜边：直角三角形的斜边即为直角的对边。

- 直角边：直角三角形斜边和直角的两条边称为直角边。

- 勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

- 特殊直角三角形：如45-45-90三角形和30-60-90三角形，它们的边长比有特定的关系。

2. 三角函数的定义- 正弦函数sinθ：对于一个直角三角形，对边与斜边的比值。

- 余弦函数cosθ：对于一个直角三角形，邻边与斜边的比值。

- 正切函数tanθ：对于一个直角三角形，对边与邻边的比值。

3. 三角函数的基本性质- 三角函数的定义域和值域。

- 三角函数的周期性。

- 三角函数的奇偶性。

- 三角函数的相互关系（借助单位圆理解）。

第二节平面向量的基本概念1. 平面向量的定义和表示- 平面向量定义：平面上由有序数对表示的对象称为平面向量。

- 平面向量表示：用大写字母表示平面向量，如AB表示从点A到点B的向量。

2. 平面向量的运算- 平面向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则。

- 平面向量的减法：向量的减法满足平行四边形法则的逆运算。

- 数乘：向量与实数的乘法。

3. 平面向量的数量积- 平面向量的数量积定义：已知向量a和向量b，数量积表示为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。

- 平面向量垂直的条件：两个向量的数量积等于0时，它们垂直。

- 平面向量平行的条件：两个向量的夹角为0度或180度时，它们平行。

- 平面向量投影的计算：向量a在向量b上的投影为|a|cosθ。

第三节平面向量与解析几何1. 平面直角坐标系和向量的关系- 平面直角坐标系的向量表示：以原点O为起点，以某点P 的坐标表示为终点，得到向量OP。

- 向量的坐标表示：向量的坐标表示为(x, y)，表示向右为x 轴正方向，向上为y轴正方向。

高一数学第五章知识点总结
高一数学第五章主要涉及以下几个知识点：
1. 一次函数：了解一次函数的定义、性质和表示方法，掌握求解一次方程和一次不等式的方法。

能够根据实际问题建立一次函数模型，并运用一次函数解决实际问题。

2. 一次函数图像：掌握一次函数图像的性质，包括直线的斜率和截距的意义，能够根据斜率和截距画出一次函数的图像，理解线性函数的特点。

3. 二次函数：了解二次函数的定义、性质和表示方法，掌握求解二次方程和二次不等式的方法。

能够根据实际问题建立二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题。

4. 二次函数图像：掌握二次函数图像的性质，包括顶点、开口方向、对称轴和最值等概念。

能够根据二次函数的特点画出二次函数的图像，理解二次函数的变化规律。

5. 指数函数：了解指数函数的定义、性质和表示方法，掌握指数函数的运算法则，能够求解指数方程和指数不等式。

能够根据实际问题建立指数函数模型，并运用指数函数解决实际问题。

6. 对数函数：了解对数函数的定义、性质和表示方法，掌握对数函数的运算法则，能够求解对数方程和对数不等式。

能够根据实际问题建立对数函数模型，并运用对数函数解决实际问题。

7. 复合函数：了解复合函数的概念和性质，能够求解复合函数的值和复合函数的反函数。

能够根据实际问题建立复合函数模型，并
运用复合函数解决实际问题。

8. 综合应用：能够综合运用以上知识点解决实际问题，如求解函数的零点、最值等问题，以及利用函数建立模型解决实际问题。

以上是高一数学第五章的主要知识点总结，希望对你有帮助！。

大一高等数学第五章知识点第五章：定积分定积分是微积分中的重要概念，也是几何中面积计算的工具之一。

本章主要介绍定积分的定义、性质以及计算方法等相关知识点。

1. 定积分的定义定积分是对被积函数在一定区间上的积分运算。

设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将该区间分成若干小区间，其中每个小区间的长度趋于0。

若存在数I，使得当区间的长度趋于0时，每个小区间上的函数值乘以小区间的长度的和趋于I，则称I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。

2. 定积分的性质（1）可加性：若函数f(x)在区间[a,b]上可积，且c位于区间[a,b]内，则有定积分的可加性质，即∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx。

（2）积分中值定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则存在一点ξ位于[a,b]内，使得定积分等于函数在[a,b]上的某一点的函数值乘以区间长度，即∫[a,b]f(x)dx=f(ξ)(b-a)。

（3）定积分的性质：定积分的结果与积分区间有关，与被积函数在积分区间以外的取值无关。

3. 定积分的计算方法（1）基本积分表：根据被积函数的特点和常用积分公式，可以利用基本积分表来计算定积分。

（2）换元法：通过变量代换的方法，将被积函数进行化简，然后计算定积分。

（3）分部积分法：对于乘积形式的被积函数，可以利用分部积分法将其转化为更易计算的形式，然后求解定积分。

（4）定积分的几何意义：定积分可以用于计算函数图像与x 轴所围成的面积，利用横纵坐标的变化可以计算出面积值。

4. 定积分的应用定积分在几何、物理、经济等领域中具有广泛应用。

例如，可以利用定积分计算曲线与x轴所围成的面积，求解物体的质量、重心等物理问题，计算经济中的总收益、总成本等。

总结：大一高等数学第五章主要介绍了定积分的定义、性质、计算方法以及应用。

掌握定积分的概念和计算方法对于进一步学习微积分以及相关领域的应用具有重要意义。

高一数学第5章知识点总结第1节：直角三角形的性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

直角三角形的性质有以下几点：1. 直角三角形的斜边是其他两边中最长的边。

2. 勾股定理：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

3. 正弦定理：在任意三角形ABC中，对于任意一个角A有：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a，b，c分别为三边的长度。

第2节：三角函数的扩展在高一数学中，我们已经学习了正弦函数、余弦函数和正切函数。

在第5章中，我们将对三角函数进行扩展，引入割函数、余割函数和余切函数：1. 割函数：sec(x) = 1/cos(x)。

割函数的定义域为所有不等于kπ+π/2 (k为整数)的实数。

2. 余割函数：csc(x) = 1/sin(x)。

余割函数的定义域为所有不等于kπ (k为整数)的实数。

3. 余切函数：cot(x) = 1/tan(x)。

余切函数的定义域为所有不等于kπ (k为整数)的实数。

第3节：三角函数的基本关系在本节中，我们将介绍三角函数之间的一些基本关系：1. 余弦函数和正弦函数：cos(x) = sin(x + π/2)。

即，余弦函数和正弦函数的图像是相同的，只是平移了个π/2的单位。

2. 正切函数和余切函数：tan(x) = 1/cot(x)。

即，正切函数和余切函数是互为倒数的关系。

第4节：特殊角的三角函数值在高一数学中，我们经常需要计算特殊角的三角函数值。

下面是几个常见的特殊角及其三角函数值：1. 30度角：sin(30°) = 1/2，cos(30°) = √3/2，tan(30°) = 1/√3。

2. 45度角：sin(45°) = cos(45°) = 1/√2，tan(45°) = 1。

3. 60度角：sin(60°) = √3/2，cos(60°) = 1/2，tan(60°) = √3。