湖南省新化县第四中学高中数学《2.2.2向量减法运算及其几何意义》课件 新人教A版必修4
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高中数学必修四 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 人教课标版38精品公开PPT课件
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur
＝ OD－OA － OM－OB ＋ OC－OB －(OC－OM)
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur ＝OD－OA－OM＋OB＋OC－OB－OC＋OM＝OD－OA＝AD.
1.给出下列论述：
①若
uuur uuur uuuur OD＋OE＝OM
，则
uuuur uuur uuur OM－OE＝OD
；
②若
uuur uuur uuuur OD＋OE＝OM
，则
uuuur uuur uuur OM＋DO＝OE
；
③若
uuur uuur uuuur OD＋OE＝OM
，则
uuur uuur uuuur OD－EO＝OM
(2)
uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r A CB OO AD CD OO BA CB OO AD CD OO B
uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r
(2)向量加法和减法几何意义的联系 ①如图所示，平行四边形ABCD中， 若 A u u B u ra ， A u u 则D u rb ，A u u C u r a b ， D u u B u r a b .
②类比||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 可知||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
【解析】 1.①正确.若 O uu D u r＋ O uu E u r＝ 则O uu M u u r，O uu 即D u r＝ O uu M u u r－ O uu E u r，O uu M u u r－ O uu E u r＝ O uu D u r；
人教版 数学 2 向量减法运算及其几何意义(共14张ppt)教育课件
•: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
数学：222《向量减法运算及其几何意义》课件(新人教A版必修
注意事项
在作图时需要保证所画的直线与坐标轴平行或垂直，以避免误差。
向量减法在物理中的应用
定义
向量减法在物理中主要用于描述物体运动的方向和速度。
应用场景
如物体在平面内的直线运动、曲线运动、匀速圆周运动等都需要用到向量减法来描述速度 和加速度的方向。
实例
一艘船从点$A$出发，以速度$vec{v_1}$航行一段时间后到达点$B$，然后以速度 $vec{v_2}$继续航行一段时间后到达点$C$，则船从$A$到$C$的速度可以表示为 $vec{v_c} = vec{v_1} - vec{v_2}$。
形成的向量。
性质
向量减法的结果是一个向量，其大 小等于被减向量的模与减向量的模 之差，方向与被减向量相同。
应用
向量减法在解决三维空间中的物理 问题、工程问题等方面有广泛应用 ，如力、力矩的计算等。
向量减法与向量加法的几何关系
关系
应用
向量加法和向量减法是互为逆运算， 即两个向量的和等于它们的相反向量 的差。
。
计算步骤
设$vec{A} = (x_1, y_1)$， $vec{B} = (x_2, y_2)$，则 $vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2,
y_1 - y_2)$。
注意事项
向量减法满足交换律和结合律， 即$vec{A} - vec{B} = vec{B} vec{A}$，$(vec{A} - vec{B}) vec{C} = vec{A} - (vec{B} +
CHAPTER
04
实例分析
生活中的向量减法实例
帆船运动
在帆船运动中，需要计算 风向和风速的向量差，以 调整帆船的航向。
航空导航
在作图时需要保证所画的直线与坐标轴平行或垂直，以避免误差。
向量减法在物理中的应用
定义
向量减法在物理中主要用于描述物体运动的方向和速度。
应用场景
如物体在平面内的直线运动、曲线运动、匀速圆周运动等都需要用到向量减法来描述速度 和加速度的方向。
实例
一艘船从点$A$出发，以速度$vec{v_1}$航行一段时间后到达点$B$，然后以速度 $vec{v_2}$继续航行一段时间后到达点$C$，则船从$A$到$C$的速度可以表示为 $vec{v_c} = vec{v_1} - vec{v_2}$。
形成的向量。
性质
向量减法的结果是一个向量，其大 小等于被减向量的模与减向量的模 之差，方向与被减向量相同。
应用
向量减法在解决三维空间中的物理 问题、工程问题等方面有广泛应用 ，如力、力矩的计算等。
向量减法与向量加法的几何关系
关系
应用
向量加法和向量减法是互为逆运算， 即两个向量的和等于它们的相反向量 的差。
。
计算步骤
设$vec{A} = (x_1, y_1)$， $vec{B} = (x_2, y_2)$，则 $vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2,
y_1 - y_2)$。
注意事项
向量减法满足交换律和结合律， 即$vec{A} - vec{B} = vec{B} vec{A}$，$(vec{A} - vec{B}) vec{C} = vec{A} - (vec{B} +
CHAPTER
04
实例分析
生活中的向量减法实例
帆船运动
在帆船运动中，需要计算 风向和风速的向量差，以 调整帆船的航向。
航空导航
高中数学必修四人教版2.2.2向量减法运算及其几何意义15ppt课件
1．当 a，b 不共线时， 如图①，作 OA―→＝a，OB―→＝b， 则 a－b＝OA―→－OB―→＝BA―→. 2．当 a，b 共线且同向时， 若|a|＞|b|，则 a－b 与 a，b 同向(如图②)， 于是|a－b|＝|a|－|b| 若|a|＜|b|，则 a－b 与 a，b 反向(如图③)， 于是|a－b|＝|b|－|a|. 3．当 a，b 共线且反向时，a－b 与 a 同向，与 b 反向．于是|a－b|＝|a|＋|b|(如图④)． 可见，对任意两个非零向量，总有下列向量不等式成立： ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
4．若|AB―→|＝8，|AC―→|＝5，则|BC―→|的取值范围是________． 44． ．若 若||AABB― ―→ →||＝ ＝88， ，||AACC― ―→ →||＝ ＝55， ，则 则||BBCC― ―→ →||的 的取 取值 值范 范围 围是 是________________． ．
若 a，b 至少有一个为零向量时，向量不等式的等号成立．
向量加减法的运算 【例 1】 化简：(AB―→－CD―→)－(AC―→－BD―→)． 思路点拨：解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简． 解：法一：(AB―→－CD―→)－(AC―→－BD―→) ＝AB―→－CD―→－AC―→＋BD―→＝AB―→＋DC―→＋CA―→＋BD―→ ＝(AB―→＋BD―→)＋(DC―→＋CA―→)＝AD―→＋DA―→＝0. 法二：(AB―→－CD―→)－(AC―→－BD―→) ＝AB―→－CD―→－AC―→＋BD―→ ＝(OB―→－OA―→)－(OD―→－OC―→)－(OC―→－OA―→)＋(OD―→－OB―→) ＝OB―→－OA―→－OD―→＋OC―→－OC―→＋OA―→＋OD―→－OB―→＝0. 法三：(AB―→－CD―→)－(AC―→－BD―→)＝AB―→－CD―→－AC―→＋BD―→ ＝(AB―→－AC―→)＋(DC―→－DB―→)＝CB―→＋BC―→＝0.
【课件】2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
a＝－b， b＝－a，a＋b＝0.
(想一想
1.
向量a，b是否为相反向量？
提示：不是．因为a与b的长度不相等．
2.向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相 当于加上这个向量的___相__反___向__量_____． (2)几何意义：已知 a、b，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，即 a－b 可以表示为_____从__向___量__b_的__终__点________指向 _____向___量__a_的__终__点__________的向量．
备选例题
1.如图所示，D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、
BC、CA 的中点，则A→F－D→B等于( )
→
→
A.FD
B.FC
→ C.FE
→ D.BE
解析：选 D.由题图可知D→B＝A→D，则A→F－D→B
＝A→F－
→ பைடு நூலகம்D
＝ D→F .
又由
三角形
中位
线定
理知
D→F＝B→E.
2.若非零向量a与b互为相反向量，给出下列 结论： ①a∥b；②a≠b；③|a|≠|b|；④b＝－a. 其中正确命题的序号为________． 答案：①②④
例2 化简：(1)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)； (2)(A→C＋O→B＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 【解】 (1)(A→B－C→D)－(A→C－B→D) ＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝(A→B－A→C)＋(B→D－C→D)＝C→B＋B→C＝0.
(2)(A→C＋O→B＋O→A)－(D→C－D→O－O→B) ＝A→C＋O→B＋O→A－D→C＋D→O＋O→B ＝A→C＋O→B＋O→A＋C→D＋D→O＋O→B ＝A→C＋2O→B＋CA＝2O→B.
(想一想
1.
向量a，b是否为相反向量？
提示：不是．因为a与b的长度不相等．
2.向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相 当于加上这个向量的___相__反___向__量_____． (2)几何意义：已知 a、b，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，即 a－b 可以表示为_____从__向___量__b_的__终__点________指向 _____向___量__a_的__终__点__________的向量．
备选例题
1.如图所示，D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、
BC、CA 的中点，则A→F－D→B等于( )
→
→
A.FD
B.FC
→ C.FE
→ D.BE
解析：选 D.由题图可知D→B＝A→D，则A→F－D→B
＝A→F－
→ பைடு நூலகம்D
＝ D→F .
又由
三角形
中位
线定
理知
D→F＝B→E.
2.若非零向量a与b互为相反向量，给出下列 结论： ①a∥b；②a≠b；③|a|≠|b|；④b＝－a. 其中正确命题的序号为________． 答案：①②④
例2 化简：(1)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)； (2)(A→C＋O→B＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 【解】 (1)(A→B－C→D)－(A→C－B→D) ＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝(A→B－A→C)＋(B→D－C→D)＝C→B＋B→C＝0.
(2)(A→C＋O→B＋O→A)－(D→C－D→O－O→B) ＝A→C＋O→B＋O→A－D→C＋D→O＋O→B ＝A→C＋O→B＋O→A＋C→D＋D→O＋O→B ＝A→C＋2O→B＋CA＝2O→B.
(教师用书)高中数学 2.2.2 向量减法运算及其几何意义配套课件 新人教版必修4
2.2.2
向量减法运算及其几何意义
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解相反向量的概念． (2)掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其 几何意义．
2．过程与方法 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算， 使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想． 3．情感、态度与价值观 通过本节学习，使学生利用类比的方法探究向量减法的 运算法则，培养学生的探索精神与创新意识．
【提示】 是零向量． 2．根据向量的加法，如何求作 a－b?
【提示】 作出 a＋(－b)．
先出－b，再按三角形或平行四边形法则
1．定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上 这个向量的 相反向量 ．
图 2－2－8 → ＝a，OB → ＝b，则 2．作法：在平面内任取一点 O，作OA → ，如图 2－2－8 所示． 向量 a－b＝ BA 3．几何意义：a－b 可以表示为从向量 b 的终点指向 向量 a 的终点的向量．
如图所示， 在正六边形 ABCDEF 中， 点 O 是正 → ＝a，OF → ＝b，EO → ＝c，DO → ＝d，试 六边形中一点，若已知OA → ，AD → ，DB →. 用向量 a，b，c，d 表示ED
图 2－2－9
【思路探究】 运用三角形法则和平行四边形法则，将 所求向量用已知向量 a、b、c、d 的和与差来表示．
→ －CD → )－(AC → －BD → )． 化简：(AB
【思路探究】 解答本题可先去括号，再利用相反向量 及加法交换律、结合律化简． → －CD → )－(AC → －BD →) 【自主解答】 法一 (AB
→ －CD → －AC → ＋BD → ＝AB → ＋DC → ＋CA → ＋BD → ＝AB → ＋B→ → ＋CA → )＝AD → ＋DA → ＝0. ＝(AB D )＋(DC
向量减法运算及其几何意义
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解相反向量的概念． (2)掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其 几何意义．
2．过程与方法 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算， 使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想． 3．情感、态度与价值观 通过本节学习，使学生利用类比的方法探究向量减法的 运算法则，培养学生的探索精神与创新意识．
【提示】 是零向量． 2．根据向量的加法，如何求作 a－b?
【提示】 作出 a＋(－b)．
先出－b，再按三角形或平行四边形法则
1．定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上 这个向量的 相反向量 ．
图 2－2－8 → ＝a，OB → ＝b，则 2．作法：在平面内任取一点 O，作OA → ，如图 2－2－8 所示． 向量 a－b＝ BA 3．几何意义：a－b 可以表示为从向量 b 的终点指向 向量 a 的终点的向量．
如图所示， 在正六边形 ABCDEF 中， 点 O 是正 → ＝a，OF → ＝b，EO → ＝c，DO → ＝d，试 六边形中一点，若已知OA → ，AD → ，DB →. 用向量 a，b，c，d 表示ED
图 2－2－9
【思路探究】 运用三角形法则和平行四边形法则，将 所求向量用已知向量 a、b、c、d 的和与差来表示．
→ －CD → )－(AC → －BD → )． 化简：(AB
【思路探究】 解答本题可先去括号，再利用相反向量 及加法交换律、结合律化简． → －CD → )－(AC → －BD →) 【自主解答】 法一 (AB
→ －CD → －AC → ＋BD → ＝AB → ＋DC → ＋CA → ＋BD → ＝AB → ＋B→ → ＋CA → )＝AD → ＋DA → ＝0. ＝(AB D )＋(DC
数学：222《向量减法运算及其几何意义》PPT课件(新人教A版必修4)
因为DAB 120 O ，所以DAC 60 O 所以ADC 是正三角形，则 | AC | 3
C
D
O
b
120o A
`
a
B
由于菱形对角线互相垂直平分,所以AOD是直角三角形， 3 3 3 o | OD || AD | sin 60 3 2 2 return 所以 | a b | 3， | a b | 3 3
A C
b
B B
b
C
a b
A
例１：
如图，已知向量a,b,c,d,
求作向量a-b,c-d.
b a d
c
a b
B b d
D
A a
cd
C
c
O
例2：选择题
（1） AB BC AD D ( A) AD ( B)CD (C ) DB ( D) DC
0 (a ) a ______
已知a, b,根据减法的定义，如何 作出a b呢？
a
B
b
b
a b
b O
C
a
A
D 方法：平移向量a, b, 使它们起点相同，那么 b的终点指向a的终点的向量就是a b.
二、向量减法的三角形法则
1 在平面内任取一点O
例3：如图平行四边形ABCD, AB a, D DA b, OC c, c b 证明： b c a OA
O
C
A
a
B
证明： b c DA OC OC CB OB b c a OB AB OB BA OA
C
D
O
b
120o A
`
a
B
由于菱形对角线互相垂直平分,所以AOD是直角三角形， 3 3 3 o | OD || AD | sin 60 3 2 2 return 所以 | a b | 3， | a b | 3 3
A C
b
B B
b
C
a b
A
例１：
如图，已知向量a,b,c,d,
求作向量a-b,c-d.
b a d
c
a b
B b d
D
A a
cd
C
c
O
例2：选择题
（1） AB BC AD D ( A) AD ( B)CD (C ) DB ( D) DC
0 (a ) a ______
已知a, b,根据减法的定义，如何 作出a b呢？
a
B
b
b
a b
b O
C
a
A
D 方法：平移向量a, b, 使它们起点相同，那么 b的终点指向a的终点的向量就是a b.
二、向量减法的三角形法则
1 在平面内任取一点O
例3：如图平行四边形ABCD, AB a, D DA b, OC c, c b 证明： b c a OA
O
C
A
a
B
证明： b c DA OC OC CB OB b c a OB AB OB BA OA
人教版高中数学2向量减法运算及其几何意义 (共14张PPT)教育课件
2.2.2向量减法运算及其几何意义
回顾：（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
实数 a 的相反数记作 a 。
： 思考 （2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
如设 x,yR,xyx (y)
如何定义向量的减法运算呢？
一、相反向量：
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反
a 的向量叫做 a 的相反向量。 记作：
[解] 由题意知，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，D→E＝d，E→A＝e， 则(1)D→B＝D→E＋E→A＋A→B＝d＋e＋a. (2)D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－b－c. (3)E→C＝E→A＋A→B＋B→C＝a＋b＋e. (4)E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－c－d.
[解] (1)(A→B－C→D)－(A→C－B→D) ＝(A→B＋B→D)－(A→C＋C→D)＝A→D－A→D＝0. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B) ＝(A→C＋B→A)－(O→C－O→B)＝B→C－B→C＝0.
例4 在 ABCD 中， AB a, AD b,
D
C
你能用 a , b 表示 AC, DB 吗？ b
ACab DBab
A
a
B
变式一 本例中，当 a , b 满足什么条件时，
a b与 a b 互相垂直？ a b
变式二 本例中，当 a , b 满足什么条件时，
abab?
a与 b互 相 垂 直
练习 3 如图，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示D→B； (2)用 b，c 表示D→B； (3)用 a，b，e 表示E→C； (4)用 d，c 表示E→C.
《
《
我
是
算
回顾：（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
实数 a 的相反数记作 a 。
： 思考 （2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
如设 x,yR,xyx (y)
如何定义向量的减法运算呢？
一、相反向量：
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反
a 的向量叫做 a 的相反向量。 记作：
[解] 由题意知，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，D→E＝d，E→A＝e， 则(1)D→B＝D→E＋E→A＋A→B＝d＋e＋a. (2)D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－b－c. (3)E→C＝E→A＋A→B＋B→C＝a＋b＋e. (4)E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－c－d.
[解] (1)(A→B－C→D)－(A→C－B→D) ＝(A→B＋B→D)－(A→C＋C→D)＝A→D－A→D＝0. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B) ＝(A→C＋B→A)－(O→C－O→B)＝B→C－B→C＝0.
例4 在 ABCD 中， AB a, AD b,
D
C
你能用 a , b 表示 AC, DB 吗？ b
ACab DBab
A
a
B
变式一 本例中，当 a , b 满足什么条件时，
a b与 a b 互相垂直？ a b
变式二 本例中，当 a , b 满足什么条件时，
abab?
a与 b互 相 垂 直
练习 3 如图，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示D→B； (2)用 b，c 表示D→B； (3)用 a，b，e 表示E→C； (4)用 d，c 表示E→C.
《
《
我
是
算
高中数学第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意
C
a b b b ab ab
D
O
a
A
B
思考5：求作两个向量的差向量也有三角形法则和
平行四边形法则，其中三角形法则的作图特点是
什么？ 提示:
O
b ab b a
C
ab
D
A
B
首同尾连指被减
思考6：向量 a－b与b－a 是什么关系？
| a－b | 与 | a ＋ b | 、 | a － b | 的大小关系如何？
A
a
由向量的减法可得，
注意向量的 方向
【变式练习】
如图，平行四边形ABCD中, AB a, DA b, OC c, 证明： b c a OA,
D
c
O
C
b
A
a
B
证明： b + c = DA + OC = OC + CB = OB, 所以b + c - a = OB - AB = OB + BA = OA.
b
a
A
例1.如图，已知向量 a, b,c,d, 求作向量 a b,c d.
a b
B b d c O
D
b
a
d
A
cd
C
c
a
作法：如图，在平面内任取一点O，作OA a,
OB b, OC c,则 OD d,
BA a b, DC c d.
【变式练习】
如图，已知 a , b, 求作
提示：定义： a－b ＝a＋（－b） .
思考4：两个向量的差还是一个向量吗？ 提示：是
思考5：向量 a 加上向量 b 的相反向量，叫做a与 b
的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减 法，对于向量 a， b ， c ，若a c ＝b ，则c等于什么？ 提示:
a b b b ab ab
D
O
a
A
B
思考5：求作两个向量的差向量也有三角形法则和
平行四边形法则，其中三角形法则的作图特点是
什么？ 提示:
O
b ab b a
C
ab
D
A
B
首同尾连指被减
思考6：向量 a－b与b－a 是什么关系？
| a－b | 与 | a ＋ b | 、 | a － b | 的大小关系如何？
A
a
由向量的减法可得，
注意向量的 方向
【变式练习】
如图，平行四边形ABCD中, AB a, DA b, OC c, 证明： b c a OA,
D
c
O
C
b
A
a
B
证明： b + c = DA + OC = OC + CB = OB, 所以b + c - a = OB - AB = OB + BA = OA.
b
a
A
例1.如图，已知向量 a, b,c,d, 求作向量 a b,c d.
a b
B b d c O
D
b
a
d
A
cd
C
c
a
作法：如图，在平面内任取一点O，作OA a,
OB b, OC c,则 OD d,
BA a b, DC c d.
【变式练习】
如图，已知 a , b, 求作
提示：定义： a－b ＝a＋（－b） .
思考4：两个向量的差还是一个向量吗？ 提示：是
思考5：向量 a 加上向量 b 的相反向量，叫做a与 b
的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减 法，对于向量 a， b ， c ，若a c ＝b ，则c等于什么？ 提示:
2.2.2 向量减法运算及其几何意义 课件(人教A版必修4)
＝( OB － OA )－( OD － OC )－( OC － OA )＋( OD － OB ) ＝ OB － OA － OD ＋ OC － OC ＋ OA ＋ OD － OB ＝0.
法二：原式＝ AB ＋ PC ＋ BA － QC
＝( OB － OA )＋( OC － OP )＋( OA － OB )－( OC － OQ )
＝ OQ － OP ＝ PQ .
问题1：一个数a的相反数是什么？ 提示：－a. 问题2：一个向量有相反向量吗？ 提示：有，向量a的相反向量是－a.
相反向量 与a长度相等，方向相反 的向量，叫做a的相反向量， 记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量 仍是零向量 ；
(2)－(－a)＝ a ； (3)a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝0； (4)若a与b互为相反向量，则a＝ －b ，b＝ －a ， a＋b＝ 0 .
问题1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的
和也为零吗？
提示：是零向量．
问题2：根据向量加法，如何求作a－b?
提示：①先作出－b；②再按三角形或平行四边形法 则进行．
向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋ (－b) ，即减去一个向 量相当于加上这个向量的 相反向量 ．
(2)几何意义：以O为起点，作向量 OA ＝
1．在平行四边形ABCD中， AB ＋ CB － DC ＝
A． BC
(
)
C． DA
B． AC D． BD
解析：如图∵ CB ＝ DA ， ∴ AB ＋ CB － DC ＝ AB ＋ DA － DC ＝ AB ＋ CA ＝ CA ＋ AB ＝ CB ＝ DA .
法二：原式＝ AB ＋ PC ＋ BA － QC
＝( OB － OA )＋( OC － OP )＋( OA － OB )－( OC － OQ )
＝ OQ － OP ＝ PQ .
问题1：一个数a的相反数是什么？ 提示：－a. 问题2：一个向量有相反向量吗？ 提示：有，向量a的相反向量是－a.
相反向量 与a长度相等，方向相反 的向量，叫做a的相反向量， 记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量 仍是零向量 ；
(2)－(－a)＝ a ； (3)a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝0； (4)若a与b互为相反向量，则a＝ －b ，b＝ －a ， a＋b＝ 0 .
问题1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的
和也为零吗？
提示：是零向量．
问题2：根据向量加法，如何求作a－b?
提示：①先作出－b；②再按三角形或平行四边形法 则进行．
向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋ (－b) ，即减去一个向 量相当于加上这个向量的 相反向量 ．
(2)几何意义：以O为起点，作向量 OA ＝
1．在平行四边形ABCD中， AB ＋ CB － DC ＝
A． BC
(
)
C． DA
B． AC D． BD
解析：如图∵ CB ＝ DA ， ∴ AB ＋ CB － DC ＝ AB ＋ DA － DC ＝ AB ＋ CA ＝ CA ＋ AB ＝ CB ＝ DA .
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2.2.2向量减法运算 及其几何意义
复习回顾
复习回顾
1.向量加法的三角形法则
ab
b
复习回顾
1.向量加法的三角形法则
2.向量加法的四边形法则
ab
b
复习回顾
1.向量加法的三角形法则
ab
b
2.向量加法的四边形法则
b
a
b
b
讲授新课
探究
1. 向量是否有减法?
讲授新课
探究
1. 向量是否有减法? 2. 向量的减法是否与数的减法有类
练习1. (3)
讲授新课
ab
练习1. (3)
讲授新课
ab
ab
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
两向量起点相同，则差向量就是连结 两向量终点，指向被减向量终点的向量.
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则:
两向量起点相同，则差向量就是连结 两向量终点，指向被减向量终点的向量.
注 意:
(1)起点相同；
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则:
两向量起点相同，则差向量就是连结 两向量终点，指向被减向量终点的向量.
a,
解：AC a b
D
C
DB AB AD ba A
B b
变 式1.
讲授新课
D
C
A
B
b
讲授新课
当 变a式,b2满. 足什么条件时a，
b
a
b
?
D
C
A
B
b
讲授新课
变a 式b3与. a
b可
能
是
相
等
向
量
吗
？
D
C
A
B
b
讲授新课
例3. 如图，已知一点O到平行四边形ABCD 的 三 个 顶 点A、B、C的 向 量 分 别 为a、b、c， 试 用 向 量a、b、c表 示OD.
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
A
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
B A
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
a-b
B
A
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
D A
C O
B
讲授新课
练习2. 比较大小：
ab,
ab,
a
b
，a
b
.
讲授新课
练习2. 比较大小：
ab,
ab,
a
b
，a
b
.
练习3. 教材P. 87第1、2、3题.
课堂小结
向量的减法的定义及向量减 法的三角形法则及运用.
课后作业
1. 阅读教材P.85-P.86； 2.《习案》作业十九.
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
a-b
B
A C
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
a-b
A
BD C
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
a-b
A
B D c-d
C
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
a-b
A
B D c-d
C
作法：
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
a-b
A
B D c-d
C
作O在C法平：面c,内OD任取d,一则点BOA，作aOOAb,DaC,OBcbd, .
2. 向量的减法：
思考
(1) (a b) b ?
讲授新课
2. 向量的减法：
思考
(1) (a b) b ?
讲授新课
(22. )向已量知的向减法量a：，b，如何表示图中用 红线表示的向量？
C
A
b
?
B
讲授新课
(22. )向已量知的向减法量a：，b，如何表示图中用 红线表示的向量？
注 意:
(1)起点相同； (2)指向被减向量的终点.
讲授新课
练习1. (1)
b
讲授新课
练习1.
(1)
？
b
讲授新课
练习1.
(1)
b
？
ba
练习1. (2)
A
讲授新课
C B
练习1. (2)
A
讲授新课
0
C B
练习1. (3)
讲授新课
练习1. (3)
讲授新课
练习1. (3)
讲授新课
ab
似的法则?
讲授新课
1. 相反向量：
讲授新课
1. 相反向量：
讲授新课
1. 相反向量：
记作
a
.
讲授新课
1. 相反向量：
记作
a
.
讲授新课
1. 相反向量：
记作
a
.
讲授新课
1. 相反向量：
记作
a
.
讲授新课
2. 向量的减法：
讲授新课
2. 向量的减法：
讲授新课
2. 向量的减法：
讲授新课
讲授新课
例AB2.如b，图用，平a、行b四表边示形向AB量CADC中、，DABD.
a,
D
C
A
B
b
讲授新课
例AB2.如b，图用，平a、行b四表边示形向AB量CADC中、，DABD.
a,
解：AC a b
D
C
A
B
b
讲授新课
例AB2.如b，图用，平a、行b四表边示形向AB量CADC中、，DABD.
分 析：
C
A
b
?
B
讲授新课
(22. )向已量知的向减法量a：，b，如何表示图中用 红线表示的向量？
分 析：
C
A
b
?
B
讲授新课
(22. )向已量知的向减法量a：，b，如何表示图中用 红线表示的向量？
分 析：
C
答
案
：a
b.
A
b
?
B
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则:
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则:
复习回顾
复习回顾
1.向量加法的三角形法则
ab
b
复习回顾
1.向量加法的三角形法则
2.向量加法的四边形法则
ab
b
复习回顾
1.向量加法的三角形法则
ab
b
2.向量加法的四边形法则
b
a
b
b
讲授新课
探究
1. 向量是否有减法?
讲授新课
探究
1. 向量是否有减法? 2. 向量的减法是否与数的减法有类
练习1. (3)
讲授新课
ab
练习1. (3)
讲授新课
ab
ab
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
两向量起点相同，则差向量就是连结 两向量终点，指向被减向量终点的向量.
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则:
两向量起点相同，则差向量就是连结 两向量终点，指向被减向量终点的向量.
注 意:
(1)起点相同；
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则:
两向量起点相同，则差向量就是连结 两向量终点，指向被减向量终点的向量.
a,
解：AC a b
D
C
DB AB AD ba A
B b
变 式1.
讲授新课
D
C
A
B
b
讲授新课
当 变a式,b2满. 足什么条件时a，
b
a
b
?
D
C
A
B
b
讲授新课
变a 式b3与. a
b可
能
是
相
等
向
量
吗
？
D
C
A
B
b
讲授新课
例3. 如图，已知一点O到平行四边形ABCD 的 三 个 顶 点A、B、C的 向 量 分 别 为a、b、c， 试 用 向 量a、b、c表 示OD.
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
A
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
B A
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
a-b
B
A
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
D A
C O
B
讲授新课
练习2. 比较大小：
ab,
ab,
a
b
，a
b
.
讲授新课
练习2. 比较大小：
ab,
ab,
a
b
，a
b
.
练习3. 教材P. 87第1、2、3题.
课堂小结
向量的减法的定义及向量减 法的三角形法则及运用.
课后作业
1. 阅读教材P.85-P.86； 2.《习案》作业十九.
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
a-b
B
A C
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
a-b
A
BD C
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
a-b
A
B D c-d
C
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
a-b
A
B D c-d
C
作法：
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
d
c
a-b
A
B D c-d
C
作O在C法平：面c,内OD任取d,一则点BOA，作aOOAb,DaC,OBcbd, .
2. 向量的减法：
思考
(1) (a b) b ?
讲授新课
2. 向量的减法：
思考
(1) (a b) b ?
讲授新课
(22. )向已量知的向减法量a：，b，如何表示图中用 红线表示的向量？
C
A
b
?
B
讲授新课
(22. )向已量知的向减法量a：，b，如何表示图中用 红线表示的向量？
注 意:
(1)起点相同； (2)指向被减向量的终点.
讲授新课
练习1. (1)
b
讲授新课
练习1.
(1)
？
b
讲授新课
练习1.
(1)
b
？
ba
练习1. (2)
A
讲授新课
C B
练习1. (2)
A
讲授新课
0
C B
练习1. (3)
讲授新课
练习1. (3)
讲授新课
练习1. (3)
讲授新课
ab
似的法则?
讲授新课
1. 相反向量：
讲授新课
1. 相反向量：
讲授新课
1. 相反向量：
记作
a
.
讲授新课
1. 相反向量：
记作
a
.
讲授新课
1. 相反向量：
记作
a
.
讲授新课
1. 相反向量：
记作
a
.
讲授新课
2. 向量的减法：
讲授新课
2. 向量的减法：
讲授新课
2. 向量的减法：
讲授新课
讲授新课
例AB2.如b，图用，平a、行b四表边示形向AB量CADC中、，DABD.
a,
D
C
A
B
b
讲授新课
例AB2.如b，图用，平a、行b四表边示形向AB量CADC中、，DABD.
a,
解：AC a b
D
C
A
B
b
讲授新课
例AB2.如b，图用，平a、行b四表边示形向AB量CADC中、，DABD.
分 析：
C
A
b
?
B
讲授新课
(22. )向已量知的向减法量a：，b，如何表示图中用 红线表示的向量？
分 析：
C
A
b
?
B
讲授新课
(22. )向已量知的向减法量a：，b，如何表示图中用 红线表示的向量？
分 析：
C
答
案
：a
b.
A
b
?
B
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则:
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则: