苏州市苏州实验中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学试卷(文科)(精品解析版)

江苏省苏州市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·衡阳模拟) 设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数，若z=2﹣i，则z+i 在复平面内所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目。

如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为，那么参加这次联欢会的教师共有（）A . 360人B . 240人C . 144人D . 120人3. （2分）设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6．现用直径等于2的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）拋掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是（）A . 2颗都是4点B . 1颗是1点，另1颗是3点C . 2颗都是2点D . 1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点5. （2分） (2018高二下·南宁月考) 设直线l1 ， l2分别是函数f(x)= 图象上点P1 ， P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1 ， l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A . (0,1)B . (0,2)C . (0,+∞)D . (1,+∞)6. （2分）(2020·南昌模拟) 正项等比数列中，的等比中项为，令，则（）A . 6B . 16C . 32D . 647. （2分）(2012·辽宁理) 一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A . 3×3!B . 3×（3!）3C . （3!）4D . 9!8. （2分）设复数z=(x-1)+yi(x,y R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A . +B . -C . -D . +9. （2分）已知f（x）=x3﹣3x+m+2，在[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边的三角形，则实数m的范围是（）A . m＞2B . m＞4C . m＞6D . m＞810. （2分） (2019高二下·泗县月考) 已知，则（）A . 0.6B . 3.6C . 2.16D . 0.21611. （2分）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次实验成功，则在10次实验中，成功次数ξ的期望是（）A .B .C .D .12. （2分）某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）调查，y与x具有相关关系，回归方程y=0.66x+1.562，若A城市居民人均消费水平为7.765（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A . 83%B . 72%C . 67%D . 66%二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·葫芦岛月考) 函数的图像在处的切线方程为________.14. （1分）(2018·安徽模拟) 二项式的展开式中常数项为________．（用数字作答）15. （1分）某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如表：认为作业多认为作业不多总计喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总计262450由表中数据计算得到K2的观测值k≈5.059，于是________（填“能”或“不能”）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．16. （1分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有________ 种（用数字作答）．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高二上·伊春期末) 某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：245683040605070参考公式：（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？18. （10分） (2018高二下·甘肃期末) 3名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？（1）任何2名女生都不相邻，有多少种排法？（2）男生甲、乙相邻，有多少种排法？（结果用数字表示）19. （10分）如图所示，小波从A街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是，红灯亮的概率都是．（1）求小波遇到4次红绿灯后，处于D街区的概率；（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与A街区相距的街道数为ξ（如小波若处在A 街区则相距零个街道，处在D，E街区都是相距2个街道），求ξ的分布列和数学期望．20. （5分）(2017·青岛模拟) 某科技博览会展出的智能机器人有 A，B，C，D 四种型号，每种型号至少有 4 台．要求每位购买者只能购买1台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的．现在有 4 个人要购买机器人．（Ⅰ）在会场展览台上，展出方已放好了 A，B，C，D 四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的概率；（Ⅱ）设这 4 个人购买的机器人的型号种数为ξ，求ξ 的分布列和数学期望．21. （15分）(2017·三明模拟) 某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（ i）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．22. （10分）(2017·菏泽模拟) 已知函数f（x）=（2x+b）ex ， F（x）=bx﹣lnx，b∈R．（1）若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围；（2）若F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、21-1、22-1、答案：略22-2、答案：略。

2017-2018学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．2．（5分）双曲线的离心率是．3．（5分）函数y＝2x﹣ln（x﹣1）的极值点为x0，则x0＝．4．（5分）“x＞1”是“x＞3”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）5．（5分）现有5个人排成一排，则甲恰在正中间的排法有种．（用数字作答）6．（5分）抛物线y2＝4x上位于第一象限内的一点到焦点的距离是3，则该点坐标是．7．（5分）若离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）＝．8．（5分）若（m为正整数且m≥4），则m＝．9．（5分）已知，则a1+a2+…+a5的值是．10．（5分）已知圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上，且经过A（6，2），B（4，8）两点，则圆C的标准方程是．11．（5分）如图，在体积为V1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V2，则＝．12．（5分）若函数在其定义域上单调递减，则称函数f（x）是“L函数”．已知f （x）＝ax2+2是“L函数”，则实数a的取值范围是．13．（5分）过曲线y＝2|x﹣a|+x﹣a上的点P向圆O：x2+y2＝1作两条切线P A，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，若这样的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知a≠0，函数f（x）＝ae x，g（x）＝alnx+b，若存在一条直线与曲线y＝f（x）和y＝g（x）均相切，则使不等式恒成立的最小整数m的值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AB是正三角形，D，E分别为AB，AC的中点，∠ABC＝90°．求证：（1）DE∥平面PBC；（2）AB⊥PE．16．（15分）某公司年会举行抽奖活动，每位员工均有一次抽奖机会．活动规则如下：一只盒子里装有大小相同的6个小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球，抽奖时从中一次摸出3个小球，若所得的小球同色，则获得一等奖，奖金为300元；若所得的小球颜色互不相同，则获得二等奖，奖金为200元；若所得的小球恰有2个同色，则获得三等奖，奖金为100元．（1）求小张在这次活动中获得的奖金数X的概率分布及数学期望；（2）若每个人获奖与否互不影响，求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率．17．（15分）已知，n∈N*．（1）当a＝1时，求f5（x）展开式中的常数项；（2）若二项式f n（x）的展开式中含有x7的项，当n取最小值时，展开式中含x的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数a的值．18．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC的边长为2，侧棱长为4，M是线段AA1上一点，O是线段BC的中点，D为B1C1的中点．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．（1）若AM＝MA1，求直线B1C1和平面BMC1所成角的正弦值；（2）若二面角M﹣BC1﹣B1的正弦值为，求AM的长．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，焦点到相应准线的距离为，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，P为椭圆C 上位于第一象限内的一点，P A交y轴于点E，PB交x轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，求的值；（3）求证：四边形ABDE的面积为定值．20．（15分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+（2﹣t）x，f'（x）为f（x）的导函数，其中t∈R．（1）当t＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）＝0有三个互不相同的根0，α，β，其中α＜β．①是否存在实数t，使得成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．②若对任意的x∈[α，β]，不等式f（x）≤16﹣t恒成立，求t的取值范围．理科附加A组（选修4-2：矩阵与变换）21．若圆C：x2+y2＝1在矩阵对应的变换下变成椭圆E：．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．22．已知，为矩阵的两个特征向量．（1）求矩阵M；（2）若，求M10β．B组（选修4-4：坐标系与参数方程）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cosθ．（1）分别写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C相切，求实数a的值．24．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（其中φ为参数，0≤φ≤π）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，等边△ABC的顶点都在C2上，且点A，B，C依逆时针次序排列，点A的极角为．（1）求点A，B，C的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求点P到直线BC距离的取值范围．2017-2018学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.1．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．2．【解答】解：∵双曲线中，a2＝1且b2＝3∴a＝1，b＝，可得c＝＝2因此双曲线的离心率e＝＝2故答案为：23．【解答】解：函数y＝2x﹣ln（x﹣1），可得y′＝2﹣，令2﹣＝0可得x＝，当x∈（1，）时，y′＜0，当x时，y′＞0，所以x＝是函数的极值点．故答案为：．4．【解答】解：由x＞3，一定有x＞1，反之，x＞1，不一定有x＞3．所以，“x＞1”是“x＞3”成立的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．5．【解答】解：甲必须在中间，则其他4人对应其他4个位置，有A44＝24种情况，故答案为：24．6．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，∵抛物线y2＝4x上一点到其焦点距离为3，则该点到抛物线的准线的距离为3，∴所求点的横坐标为2，代入y2＝4x，得y＝±2 ．抛物线y2＝4x上位于第一象限内的一点为：（2，2）故答案为：（2，2）．7．【解答】解：离散型随机变量X的分布列可知：a+2a+＝1，解得a＝，所以离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）＝＝．故答案为：．8．【解答】解：（m为正整数且m≥4），即为＝+＝，即有m+1＝7，解得m＝6，故答案为：6．9．【解答】解：（x+1）2（x+2）3＝（x2+2x+1）（x3+6x2+12x+8）＝x5+2x4+x3+6x4+12x3+6x2+12x3+24x2+12x+8x2+16x+8＝8+28x+38x2+25x3+8x4+x5，∴a1+a2+…+a5＝28+38+25+8+1＝100．故答案为：100．10．【解答】解：∵圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上，可设圆心C（a，2a），∵圆经过A（6，2），B（4，8）两点，则CA＝CB，∴（a﹣6）2+（2a﹣2）2＝（a﹣4）2+（2a﹣8）2，求得a＝2，故圆心坐标C（2，4），半径CA＝＝2，则圆C的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20，故答案为：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20．11．【解答】解：设圆锥与圆柱的底面面积为s，高为h，所以V1＝sh，V2＝sh﹣sh＝．则＝．故答案为：．12．【解答】解：由题意得：y＝在R递减，∵y′＝，∴﹣ax2+2ax﹣2≤0，即ax2﹣2ax+2≥0，∴a＝0或，解得：0≤a≤2，故答案为：[0，2]．13．【解答】解：根据题意，若经过点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝60°，则∠OAP＝30°，则有|PO|＝2|AO|＝2，则P的轨迹为x2+y2＝4，y＝2|x﹣a|+x﹣a＝，当x≤a时，曲线为x+y﹣a＝0，（x≤a），当x≥a时，曲线为3x﹣y﹣3a＝0，（x≥a），当a＜0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，即﹣＜2，解可得a＞﹣，当a＝0时，曲线为y＝2|x|+x＝，符合题意，当a＞0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，解可得a＜2，则a的取值范围为（﹣，2）；故答案为：（﹣，2）．14．【解答】解：函数f（x）＝ae x，g（x）＝alnx+b，导数为f′（x）＝ae x，g′（x）＝，设切点分别为（t，ae t），（n，alnn+b），与y＝f（x），y＝g（x）相切的直线方程为y﹣ae t＝ae t（x﹣t），y﹣alnn﹣b＝（x﹣n），由题意可得ae t＝，且﹣a+b+alnn＝（1﹣t）ae t，可得n＝e﹣t，b＝a+（1﹣t）ae t+ta，则＝1+t+（1﹣t）e t，由y＝1+t+（1﹣t）e t导数为y′＝1﹣te t，由y＝e t与y＝的交点只有一个，且t＞0，可得e t＝，即有＝1+t+＝t+∈[2，3），且t＝1时，取得等号，则m＞2，可得最小整数m＝3．故答案为：3．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】证明：（1）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC．（2）连结PD，因为DE∥BC，又∠ABC＝90°，所以DE⊥AB．又P A＝PB，D为AB的中点，所以PD⊥AB，又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PDE．因为PE⊂平面PDE，所以AB⊥PE．16．【解答】解：（1）小张在这次活动中获得的奖金数X的所有可能取值为100，200，300．，，，（或P（X＝100）＝1﹣P（X＝200）﹣P（X＝300）＝）所以奖金数X的概率分布为奖金数X的数学期望＝140（元）．（2）设3个人中获二等奖的人数为Y，则，所以（k＝0，1，2，3），设该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖为事件A，则P（A）＝P（Y＝2）+P（Y＝3）＝．答：该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为．17．【解答】解：（1）二项式的展开式通项为（r＝0，1，2，…，n），当n＝5，a＝1时，f5（x）的展开式的常数项为．（2）令2n﹣5r＝7，则，所以n的最小值为6，当n＝6时，二项式的展开式通项为（r＝0，1，2，…，6），则展开式中含x的正整数次幂的项为T1，T2，T3，它们的系数之和为，即15a2+2a﹣1＝0，解得或a＝．故实数a的值为﹣或．18．【解答】解：根据题意得B（1，0，0），B1（1，4，0），C1（﹣1，4，0），所以，，（1）当M是线段AA1的中点时，，，设平面BMC1的一个法向量为，则，得，即，取y＝1，得，设B1C1和平面BMC1所成角为θ，则＝，所以B1C1和平面BMC1所成角的正弦值为．（2）设AM＝a（0≤a≤4），则，，设平面BMC1的一个法向量为，则，得，即，取y＝1，得，显然是平面BC1B1的一个法向量，设二面角M﹣BC1﹣B1的大小为φ，则，所以＝，解得a＝1或3，所以AM的长为1或3．19．【解答】解：（1）设右焦点F（c，0），因为椭圆C的离心率为，所以，①又因为右焦点F到右准线的距离为，所以，②由①②得，a＝2，，b＝1，所以椭圆C的标准方程是．（2）因为，所以，直线AE的方程为，由，得，解得x＝﹣2（舍）或，可得，直线PB的方程为，令y＝0，得，所以．（3）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则，即．直线AP的方程为，令x＝0，得．直线BP的方程为，令y＝0，得．所以四边形ABDE的面积＝＝＝为定值．20．【解答】解：（1）当t＝2时，f'（x）＝3x2﹣6x，令f'（x）＝3x2﹣6x＞0，得x＞2或x＜0，所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞）；令f'（x）＝3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2，所以f（x）的单调减区间为（0，2）．（2）①由题意知α，β是方程x2﹣3x+（2﹣t）＝0的两个实根，所以，得．且α+β＝3，αβ＝2﹣t，α2+β2＝5+2t，由成立得，αf'（α）＝βf'（β），化简得3（α2+αβ+β2）﹣6（α+β）+（2﹣t）＝0，代入得3（5+2t+2﹣t）﹣6×3+（2﹣t）＝0，即5+2t＝0，解得，因为，所以这样的实数t不存在．②因为对任意的x∈[α，β]，f（x）≤16﹣t恒成立．由α+β＝3，αβ＝2﹣t，且α＜β，当时，有0＜α＜β，所以对x∈[α，β]，f（x）≤0，所以0≤16﹣t，解得t≤16．所以．当t＞2时，有α＜0＜β，f'（x）＝3x2﹣6x+（2﹣t），其判别式△＝（﹣6）2﹣12（2﹣t）＝12（t+1）＞0．由f'（x）＞0，得或，此时f（x）存在极大值点x1∈（α，0），且．由题得，将代入化简得，解得t≤11．因此2＜t≤11．综上，t的取值范围是．理科附加A组（选修4-2：矩阵与变换）21．【解答】解：（1）设点P（x，y）为圆C：x2+y2＝1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P'（x'，y'），则，所以，代入椭圆方程得，又圆方程为x2+y2＝1，故，即，又a＞0，b＞0，所以a＝2，．（2）设，则，即，所以，解得，所以．22．【解答】解：（1）设矩阵M的特征向量对应的特征值为λ1，特征向量对应的特征值为λ2，则由，得，即，解得m＝0，n＝1，λ1＝2，λ2＝1，所以．（2）因为，所以＝．B组（选修4-4：坐标系与参数方程）23．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（其中t为参数）．所以：直线l的直角坐标系方程是2x+y﹣a﹣2＝0，圆C的方程为ρ＝4cosθ．所以圆C的直角坐标方程是（x﹣2）2+y2＝4．（2）由（1）知圆心为C（2，0），半径r＝2，设圆心到直线的距离为d，因为直线与圆相切，所以，解得．24．【解答】解：（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得点A的直角坐标，由已知，B点的极坐标为，可得点B的直角坐标为，C点的极坐标为，可得点C的直角坐标为C（0，﹣2）；（2）由直线方程的两点式可得直线BC的方程为，设点P（cosφ，2sinφ）（0≤φ≤π），则点P到直线BC的距离＝（其中，），∵0≤φ≤π，∴θ≤φ+θ≤π+θ，则，∴．。

2017-2018学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．2．（5分）双曲线的离心率是．3．（5分）函数y＝2x﹣ln（x﹣1）的极值点为x0，则x0＝．4．（5分）“x＞1”是“x＞3”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）5．（5分）现有5个人排成一排，则甲恰在正中间的排法有种．（用数字作答）6．（5分）抛物线y2＝4x上位于第一象限内的一点到焦点的距离是3，则该点坐标是．7．（5分）若离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）＝．8．（5分）若（m为正整数且m≥4），则m＝．9．（5分）已知，则a1+a2+…+a5的值是．10．（5分）已知圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上，且经过A（6，2），B（4，8）两点，则圆C的标准方程是．11．（5分）如图，在体积为V1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V2，则＝．12．（5分）若函数在其定义域上单调递减，则称函数f（x）是“L函数”．已知f （x）＝ax2+2是“L函数”，则实数a的取值范围是．13．（5分）过曲线y＝2|x﹣a|+x﹣a上的点P向圆O：x2+y2＝1作两条切线P A，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，若这样的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知a≠0，函数f（x）＝ae x，g（x）＝alnx+b，若存在一条直线与曲线y＝f（x）和y＝g（x）均相切，则使不等式恒成立的最小整数m的值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AB是正三角形，D，E分别为AB，AC的中点，∠ABC＝90°．求证：（1）DE∥平面PBC；（2）AB⊥PE．16．（15分）某公司年会举行抽奖活动，每位员工均有一次抽奖机会．活动规则如下：一只盒子里装有大小相同的6个小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球，抽奖时从中一次摸出3个小球，若所得的小球同色，则获得一等奖，奖金为300元；若所得的小球颜色互不相同，则获得二等奖，奖金为200元；若所得的小球恰有2个同色，则获得三等奖，奖金为100元．（1）求小张在这次活动中获得的奖金数X的概率分布及数学期望；（2）若每个人获奖与否互不影响，求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率．17．（15分）已知，n∈N*．（1）当a＝1时，求f5（x）展开式中的常数项；（2）若二项式f n（x）的展开式中含有x7的项，当n取最小值时，展开式中含x的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数a的值．18．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC的边长为2，侧棱长为4，M是线段AA1上一点，O是线段BC的中点，D为B1C1的中点．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．（1）若AM＝MA1，求直线B1C1和平面BMC1所成角的正弦值；（2）若二面角M﹣BC1﹣B1的正弦值为，求AM的长．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，焦点到相应准线的距离为，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，P为椭圆C 上位于第一象限内的一点，P A交y轴于点E，PB交x轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，求的值；（3）求证：四边形ABDE的面积为定值．20．（15分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+（2﹣t）x，f'（x）为f（x）的导函数，其中t∈R．（1）当t＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）＝0有三个互不相同的根0，α，β，其中α＜β．①是否存在实数t，使得成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．②若对任意的x∈[α，β]，不等式f（x）≤16﹣t恒成立，求t的取值范围．理科附加A组（选修4-2：矩阵与变换）21．若圆C：x2+y2＝1在矩阵对应的变换下变成椭圆E：．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．22．已知，为矩阵的两个特征向量．（1）求矩阵M；（2）若，求M10β．B组（选修4-4：坐标系与参数方程）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cosθ．（1）分别写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C相切，求实数a的值．24．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（其中φ为参数，0≤φ≤π）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，等边△ABC的顶点都在C2上，且点A，B，C依逆时针次序排列，点A的极角为．（1）求点A，B，C的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求点P到直线BC距离的取值范围．2017-2018学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.1．【考点】A8：复数的模．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．2．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：∵双曲线中，a2＝1且b2＝3∴a＝1，b＝，可得c＝＝2因此双曲线的离心率e＝＝2故答案为：2【点评】本题给出双曲线的方程，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念的知识，属于基础题．3．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：函数y＝2x﹣ln（x﹣1），可得y′＝2﹣，令2﹣＝0可得x＝，当x∈（1，）时，y′＜0，当x时，y′＞0，所以x＝是函数的极值点．故答案为：．【点评】本题考查函数的极值的求法，考查计算能力．4．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：由x＞3，一定有x＞1，反之，x＞1，不一定有x＞3．所以，“x＞1”是“x＞3”成立的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．5．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：甲必须在中间，则其他4人对应其他4个位置，有A44＝24种情况，故答案为：24．【点评】本题考查排列、组合的运用，一般要先处理特殊（受到限制的）元素．6．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，∵抛物线y2＝4x上一点到其焦点距离为3，则该点到抛物线的准线的距离为3，∴所求点的横坐标为2，代入y2＝4x，得y＝±2 ．抛物线y2＝4x上位于第一象限内的一点为：（2，2）故答案为：（2，2）．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决，是中档题．7．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：离散型随机变量X的分布列可知：a+2a+＝1，解得a＝，所以离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．8．【考点】D5：组合及组合数公式．【解答】解：（m为正整数且m≥4），即为＝+＝，即有m+1＝7，解得m＝6，故答案为：6．【点评】本题考查组合数公式和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（x+1）2（x+2）3＝（x2+2x+1）（x3+6x2+12x+8）＝x5+2x4+x3+6x4+12x3+6x2+12x3+24x2+12x+8x2+16x+8＝8+28x+38x2+25x3+8x4+x5，∴a1+a2+…+a5＝28+38+25+8+1＝100．故答案为：100．【点评】本题考查二项展开式中系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．10．【考点】J1：圆的标准方程．【解答】解：∵圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上，可设圆心C（a，2a），∵圆经过A（6，2），B（4，8）两点，则CA＝CB，∴（a﹣6）2+（2a﹣2）2＝（a﹣4）2+（2a﹣8）2，求得a＝2，故圆心坐标C（2，4），半径CA＝＝2，则圆C的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20，故答案为：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是求圆心和半径，属于中档题．11．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【解答】解：设圆锥与圆柱的底面面积为s，高为h，所以V1＝sh，V2＝sh﹣sh＝．则＝．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：由题意得：y＝在R递减，∵y′＝，∴﹣ax2+2ax﹣2≤0，即ax2﹣2ax+2≥0，∴a＝0或，解得：0≤a≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．13．【考点】5B：分段函数的应用；JE：直线和圆的方程的应用．【解答】解：根据题意，若经过点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝60°，则∠OP A＝30°，则有|PO|＝2|AO|＝2，则P的轨迹为x2+y2＝4，y＝2|x﹣a|+x﹣a＝，当x≤a时，曲线为x+y﹣a＝0，（x≤a），当x≥a时，曲线为3x﹣y﹣3a＝0，（x≥a），当a＜0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，即﹣＜2，解可得a＞﹣，当a＝0时，曲线为y＝2|x|+x＝，符合题意，当a＞0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，解可得a＜2，则a的取值范围为（﹣，2）；故答案为：（﹣，2）．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及分段函数的图象，关键是分析曲线的图象，属于综合题．14．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：函数f（x）＝ae x，g（x）＝alnx+b，导数为f′（x）＝ae x，g′（x）＝，设切点分别为（t，ae t），（n，alnn+b），与y＝f（x），y＝g（x）相切的直线方程为y﹣ae t＝ae t（x﹣t），y﹣alnn﹣b＝（x﹣n），由题意可得ae t＝，且﹣a+b+alnn＝（1﹣t）ae t，可得n＝e﹣t，b＝a+（1﹣t）ae t+ta，则＝1+t+（1﹣t）e t，由y＝1+t+（1﹣t）e t导数为y′＝1﹣te t，由y＝e t与y＝的交点只有一个，且t＞0，可得e t＝，即有＝1+t+＝t+∈[2，3），且t＝1时，取得等号，则m＞2，可得最小整数m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查基本不等式的运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【解答】证明：（1）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC．（2）连结PD，因为DE∥BC，又∠ABC＝90°，所以DE⊥AB．又P A＝PB，D为AB的中点，所以PD⊥AB，又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PDE．因为PE⊂平面PDE，所以AB⊥PE．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）小张在这次活动中获得的奖金数X的所有可能取值为100，200，300．，，，（或P（X＝100）＝1﹣P（X＝200）﹣P（X＝300）＝）所以奖金数X的概率分布为奖金数X的数学期望＝140（元）．（2）设3个人中获二等奖的人数为Y，则，所以（k＝0，1，2，3），设该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖为事件A，则P（A）＝P（Y＝2）+P（Y＝3）＝．答：该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．17．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（1）二项式的展开式通项为（r＝0，1，2，…，n），当n＝5，a＝1时，f5（x）的展开式的常数项为．（2）令2n﹣5r＝7，则，所以n的最小值为6，当n＝6时，二项式的展开式通项为（r＝0，1，2，…，6），则展开式中含x的正整数次幂的项为T1，T2，T3，它们的系数之和为，即15a2+2a﹣1＝0，解得或a＝．故实数a的值为﹣或．【点评】本题考查二项展开式中常数项的求法，考查实数值的求法，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．【考点】MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：根据题意得B（1，0，0），B1（1，4，0），C1（﹣1，4，0），所以，，（1）当M是线段AA1的中点时，，，设平面BMC1的一个法向量为，则，得，即，取y＝1，得，设B1C1和平面BMC1所成角为θ，则＝，所以B1C1和平面BMC1所成角的正弦值为．（2）设AM＝a（0≤a≤4），则，，设平面BMC1的一个法向量为，则，得，即，取y＝1，得，显然是平面BC1B1的一个法向量，设二面角M﹣BC1﹣B1的大小为φ，则，所以＝，解得a＝1或3，所以AM的长为1或3．【点评】本题考查直线与平面以及平面与平面所成角的求法，考查空间向量的数量积的应用，考查计算能力．19．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）设右焦点F（c，0），因为椭圆C的离心率为，所以，①又因为右焦点F到右准线的距离为，所以，②由①②得，a＝2，，b＝1，所以椭圆C的标准方程是．（2）因为，所以，直线AE的方程为，由，得，解得x＝﹣2（舍）或，可得，直线PB的方程为，令y＝0，得，所以．（3）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则，即．直线AP的方程为，令x＝0，得．直线BP的方程为，令y＝0，得．所以四边形ABDE的面积＝＝＝为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线与椭圆位置关系等知识点的合理运用20．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）当t＝2时，f'（x）＝3x2﹣6x，令f'（x）＝3x2﹣6x＞0，得x＞2或x＜0，所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞）；令f'（x）＝3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2，所以f（x）的单调减区间为（0，2）．（2）①由题意知α，β是方程x2﹣3x+（2﹣t）＝0的两个实根，所以，得．且α+β＝3，αβ＝2﹣t，α2+β2＝5+2t，由成立得，αf'（α）＝βf'（β），化简得3（α2+αβ+β2）﹣6（α+β）+（2﹣t）＝0，代入得3（5+2t+2﹣t）﹣6×3+（2﹣t）＝0，即5+2t＝0，解得，因为，所以这样的实数t不存在．②因为对任意的x∈[α，β]，f（x）≤16﹣t恒成立．由α+β＝3，αβ＝2﹣t，且α＜β，当时，有0＜α＜β，所以对x∈[α，β]，f（x）≤0，所以0≤16﹣t，解得t≤16．所以．当t＞2时，有α＜0＜β，f'（x）＝3x2﹣6x+（2﹣t），其判别式△＝（﹣6）2﹣12（2﹣t）＝12（t+1）＞0．由f'（x）＞0，得或，此时f（x）存在极大值点x1∈（α，0），且．由题得，将代入化简得，解得t≤11．因此2＜t≤11．综上，t的取值范围是．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查韦达定理的应用以及参数问题，考查转化思想，是一道综合题．理科附加A组（选修4-2：矩阵与变换）21．【考点】OH：逆变换与逆矩阵．【解答】解：（1）设点P（x，y）为圆C：x2+y2＝1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P'（x'，y'），则，所以，代入椭圆方程得，又圆方程为x2+y2＝1，故，即，又a＞0，b＞0，所以a＝2，．（2）设，则，即，所以，解得，所以．【点评】本题考查实数值的求法，考查矩阵的逆矩阵的求法，考查矩阵的变换、矩阵的乘法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【解答】解：（1）设矩阵M的特征向量对应的特征值为λ1，特征向量对应的特征值为λ2，则由，得，即，解得m＝0，n＝1，λ1＝2，λ2＝1，所以．（2）因为，所以＝．【点评】本题考查矩阵的求法，考查矩阵的特征方程、待征向量、矩阵的乘法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．B组（选修4-4：坐标系与参数方程）23．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（其中t为参数）．所以：直线l的直角坐标系方程是2x+y﹣a﹣2＝0，圆C的方程为ρ＝4cosθ．所以圆C的直角坐标方程是（x﹣2）2+y2＝4．（2）由（1）知圆心为C（2，0），半径r＝2，设圆心到直线的距离为d，因为直线与圆相切，所以，解得．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用．24．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得点A的直角坐标，由已知，B点的极坐标为，可得点B的直角坐标为，C点的极坐标为，可得点C的直角坐标为C（0，﹣2）；（2）由直线方程的两点式可得直线BC的方程为，设点P（cosφ，2sinφ）（0≤φ≤π），则点P到直线BC的距离＝（其中，），∵0≤φ≤π，∴θ≤φ+θ≤π+θ，则，∴．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查极坐标与直角坐标的互化，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．。

江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．.1. 已知集合，，若，则实数的值为__________.【答案】2【解析】分析：根据交集的定义知或（无解），从而得解.详解：集合，，若，则或（无解）.所以，此时.故答案为2.点睛：本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2. 设函数，则__________ .【答案】1【解析】分析：将代入分段函数，由自变量的范围结合函数关系求解即可.详解：由函数，得.故答案为：1.点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，属于基础题.3. 复数的虚部等于__________ .【答案】【解析】分析：利用复数的除法运算化简得，进而得解.详解：复数.虚部为.故答案为：.点睛：本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.4. 已知幂函数过点，则__________ .【答案】【解析】分析：设幂函数，将点代入求解即可.详解：设幂函数，由过点，得，解得.所以.故答案为：.点睛：本题主要考查了待定系数法求解幂函数的解析式，属于基础题.5. 若且，则__________ .【答案】【解析】分析：利用余弦的二倍角公式，可得，结合的范围可得解.详解：由，解得.又，所以，所以.即.点睛：本题主要考查了余弦的二倍角公式，属于基础题.6. 函数的单调递增区间为__________ .【答案】【解析】y′＝.令y′>0，得1－ln x>0，∴0<x<e.故增区间为(0，e)答案：(0，e)点睛：求函数单调区间的方法：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性7. 设的内角，，所对边的长分别为，，.若且，则角__________ . 【答案】【解析】分析：利用正弦定理得，结合条件得，由余弦定理可得，代入求解即可. 详解：由正弦定理，可得：，即.又，可得.由余弦定理可得.所以.故答案为：.点睛：本题主要考查了运用正弦定理边角互化，余弦定理求解三角形内角，属于基础题.8. 设，，则__________.（用含，的式子表示）【答案】【解析】分析：利用换底公式及对数的运算法则得，带入条件可得解.详解：.由，，得.点睛：本题主要考查了对数的换底公式：且.属于基础题.9. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为__________ . 【答案】【解析】分析：利用奇函数的中心对称性及函数的单调性和奇函数满足可求解.详解：在上单调递减，且，当时，有.又为奇函数，图象关于原点对称，所以在上，可得.又奇函数满足.所以不等式的解集为.故答案为：.点睛：本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系及数形结合进行求解是解决本题的关键．解这种题型往往是根据函数所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性（偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同），然后再根据单调性列不等式求解.10. 已知，则的值为__________ .【答案】【解析】分析：由同角三角函数关系得，诱导公式得，进而得解.详解：由，得..所以.故答案为：.点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式，属于基础题.11. 在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为__________ .【答案】1:27【解析】由题意，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的边长比为，其面积比为边长比的平方，即为，以此类比，又正三角形中心点是对应高的三等分点，则易知，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的边长比为，因此其体积比为.12. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则__________.【答案】0【解析】分析：由函数的奇偶性分别得，，从而得，进而得解.详解：，.由是定义在上的奇函数，可得.又是定义在上的偶函数，所以.综上可得.所以.故答案为：0.点睛：本题中主要考查了函数的奇偶性的性质，以及抽象复合函数的奇偶性，属于难点，需要区别以下难点：是偶函数，则，是奇函数，则，是偶函数，则，是奇函数，则.13. 已知的图像过点，为函数的导函数，若当时恒有，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】分析：构造函数，并求导可得在（0，+∞）上单调递增，由，即得，即可得出结论．详解：构造函数,则，∴在上单调递增，由，即得，∴，故答案为：.点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：，构造xf(x)；2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；，构造;，构造；，构造.等等.14. 设钝角的内角为，，，且，若，则的取值范围是__________. 【答案】【解析】分析：由三角形内角和的关系将条件变形为，记，进而化简得，利用以，所以，得，而，从而得解.详解：内角满足.所以，由，得：.记，则上式为：.进而得：，展开得：.两边同时除以可得：.可得：.由，且为钝角三角形，所以，所以.，所以.所以.又.故答案为：.点睛：本题主要考查了三角形内角和的关系，及和差角公式的灵活应用，还有同角三角函数的弦切互化，本题的难点在于建立于条件的关系，解本题的关键在于设，及将和作为整体化简求值求范围.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求函数的对称轴方程；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）化简函数得，令，可得对称轴；（2）由，，得，，利用和角的正弦展开代入求解即可.详解：（1）.令，解得，即为所求的对称轴方程.（2）由，，则，而，将，代入上式，求得：.点睛：研究三角函数的性质，最小正周期为，最大值为.求对称轴只需令，求解即可，求对称中心只需令，单调性均为利用整体换元思想求解.16. 在中，角，，所对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和和与差公式化简可得角B的大小；（2）利用正弦定理，边化角，根据三角函数的有界限即可求解b的取值范围．试题解析：（1）由已知得：，即，∵，∴，即，又为三角形的内角，则；（2）∵，即，，∴由余弦定理得：，即，∵，∴，则．17. 设复数，且，.（1）求复数的模；（2）求复数实部的取值范围；（3）设，求证：为纯虚数.【答案】（1）1；（2）；（3）见解析【解析】分析：（1）由，由得，从而虚部为0，得，进而可得解；（2）由（1）知，从而求范围即可；（3）化简，由（1）知，则，从而得证.详解：（1），由得，则，由，解得，所以，（2）由（1）知，所以，即复数的实部的取值范围是.（3），由（1）知，则，应为，所以为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.18. 如图，某小区内有两条互相垂直的道路与，平面直角坐标系的第一象限有一块空地，其边界是函数的图象，前一段曲线是函数图象的一部分，后一段是一条线段.测得到的距离为8米，到的距离为16米，长为20米.（1）求函数的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形（其中，为两底边），问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.【答案】（1）；（2）当梯形的高为米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为平方米【解析】分析：（1）以代入，得，再由，两点可得直线，从而利用分段函数表示即可；（2）设梯形的高为米，则，进而得，梯形的面积，求导利用函数单调性求解最值即可.详解：（1）以代入，得，因为，得直线：，所以.（2）设梯形的高为米，则，且，，所以，所以梯形的面积，由，令，得，列表如下：所以当时，取得极大值，即为最大值为.答：当梯形的高为米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为平方米.点睛：本题主要考查了分段函数的额解析式，函数的实际应用问题，属于中档题.19. 已知函数，且定义域为.（1）求关于的方程在上的解；（2）若在区间上单调减函数，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】分析：（1）由题意得，讨论和两种情况去绝对值解方程即可；（2）由，函数单减则有，从而得解；（3）讨论和下解方程即可.详解：（1）令，即有.当时，方程即为，方程无解；当时，方程即为，解得（负值舍去）.综上，方程的解为.（2），由在上单调递减，则，解得，所以实数的取值范围是.（3）当时，，①当时，，②若，则①无解，②的解为，故不成立；若，则①的解为 .（Ⅰ）当，即时，中，则一个根在内，另一根不在内，设，因为，所以，解得，又，则此时，（Ⅱ）当，即或时，②在内有不同两根，由，知②必有负数根，所以不成立，综上.点睛：分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是二次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于二次函数，要关注开口方向和对称轴与区间的位置关系.两段分别递减还不行，还需要在两段交接的地方减，这样才能满足在身上单调递减.20. 设函数，.（1）当时，函数，在处的切线互相垂直，求的值；（2）当函数在定义域内不单调时，求证：；（3）是否存在实数，使得对任意，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，）【答案】（1）；（2）见解析；（3）1【解析】分析：（1）求导得切线斜率为和，由垂直得斜率积为-1，从而得解；（2），求导得，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，利用二次方程根的分别即可得解；（3）对恒成立，令，，令，存在，使得，即，则，取到最小值, 所以，即在区间内单调递增，从而得解.详解：（1）当时，，则在处的斜率为，又在处的斜率为，则，解得 .（2）函数，则 .∵，∴，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，由于开口向上，且只需要，得，因为，所以，故，当且仅当时取等号，命题得证 .（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立，即对恒成立 .令，则，令，则，因为在上单调递增，，，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增.则取到最小值，所以，即在区间内单调递增，所以，所以存在实数满足题意，且最大整数的值为1 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .。

B 1C 1D 1A 1D C B苏州市2018～2018学年度第二学期高二期终考试2018.6数 学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．2. 请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上，第Ⅱ卷的解答写在答题卷上，在本试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 球的直径扩大为原来的2倍，则球的体积将变为原来的 (A ) 2倍(B ) 4倍(C ) 6倍(D ) 8倍2. 抛物线2y x =上点11(,)24M 处的切线的倾斜角为(A ) 90(B ) 60(C ) 45(D ) 303. 直线12,l l 互相平行的一个充分条件是 (A ) 12,l l 都平行于同一平面 (B ) 12,l l 与同一平面所成的角相等 (C ) 1l 平行于2l 所在的平面(D ) 12,l l 都垂直于同一平面4. 函数3223y x x =-在区间[1,2]-上的最大值是 (A ) 5-(B ) 1-(C ) 4(D ) 05. 正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值为(A ) 13(B )12(C(D6. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1A B 与平面11BB D D 所成角的大小为 (A ) 30(B ) 45(C ) 60(D ) 907. 三棱锥P ABC -棱锥中，,,PA PB PC 两两互相垂直，且1PA =，PB PC =P 到平面ABC 的距离为(A(B(C ) 1 (D8.，底面矩形两邻边长分别为a，则长方体的体积为 (A ) 32a(B3(C3(D39. 若函数(),()f x g x 的导函数满足()()f x g x ''=，则 (A ) ()()f x g x =(B ) ()()f x g x -为常数函数 (C ) ()()f x g x -为一次函数(D ) ()()f x g x +为常数函数10. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧面11AA B B 是边长为5 的正方形，若AB BC ⊥，AC 与1BC 所成的角为60，则AC 长为 (A ) 13 (B ) 10 (C)(D)11. 四面体A BCD -中，BD =1，则二面角A BD C --的大小为(A ) 30(B ) 45(C ) 60(D ) 9012. 已知32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，则a 的取值范围为(A ) 0a <(B ) 3a -?(C ) 3a =-(D ) 30a -<<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卷相应的横线上． 13. 空间向量(2,4,8)=-a 与(1,2,4)m =--b 平行，则m 为 ▲ ． 14. 函数3221y x x x =-+--的单调递增区间为 ▲ ．15. 已知二面角角l a b --的大小为45 ，半平面a 内有一条直线AB ，AB 与棱l 所成的角为45 ，则AB 与平面b 所成的角为 ▲ ．16. 在平面几何中有勾股定理：“设ABC △的两边AB 、AC 互相垂直，则22AB AC + 2BC =”；拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积和底面积的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ▲ ”．C 1B 1A 1CBAOPEDCBA三．解答题：本大题共6小题，共74分．请把解答写在答题卷规定的答题框内．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分12分)在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点．(Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；(Ⅱ) 求二面角E AB C --的正切值．18. (本小题满分12分)用铁丝制作一个正三棱柱形容器的框架，框架的总长度为18 m ．(Ⅰ)把正三棱柱形容器的体积V (m 3)表示成底面边长x (m)的函数，并写出相应的定义域；(Ⅱ)当x 为何值时，容器的体积最大？求出它的最大值．19. (本小题满分12分)在ABC △中，90ACB ∠= ，平面ABC 外有一点P ，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ．已知12PC =，点P 到直线,AC BC 的距离PD 和PE都为(Ⅰ) 点P 到平面ABC 的距离； (Ⅱ) PC 与平面ABC 所成角的大小．20. (本小题满分12分)已知函数2()(4)()()f x x x a a =--∈R ． (Ⅰ)求()f x '；(Ⅱ)若(1)0f '-=，求()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值；(Ⅲ) 若()f x 在(,2)-∞-和(2,)+∞上均单调递增，求a 的取值范围．21. (本小题满分12分)EA BCDA 1D 1C 1B 1NMABCA 1B 1C 1如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，1AA =90ACB ∠= ，M 是1AA 的中点，N 是1BC 的中点． (Ⅰ) 求证：//MN 平面111A B C ；(Ⅱ) 求二面角1B C M A --的大小．22. (本小题满分14分)对于函数()y f x =()x D ∈，若同时满足下列两个条件： ①()f x 在D 上是单调函数；②存在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域也是[,]a b ． 则称函数()f x 为D 上的闭合函数．(Ⅰ) 证明函数3y x =-为闭合函数，并求出符合条件②的区间[,]a b ；(Ⅱ) 给出函数32()394f x x x x =---，判断()f x 是否为闭合函数，并说明理由； (Ⅲ) 若2()g x x k =+为(0,)+∞上的闭合函数，求实数k 的取值范围．苏州市2018～2018学年度第二学期高二期终考试数学参考答案和评分标准说明：1．本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细则．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分． 一．选择题：每小题5分，满分60分．二．填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．13．2； 14．1(,1)3； 15．30 ；16．2222ABC ACD ABD BCD S S S S ++=△△△△．三．解答题：17. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)证明：连结11AC ，则1111AC B D ⊥． (2)分又∵1A A ⊥平面1111A B C D ，∴111A A B D ⊥．又∵1111AC A A A = ，∴11B D ⊥平面11AA C C ．… 4分又∵AE ⊂平面1111A B C D ，∴11B D AE ⊥．……… 6分(Ⅱ)解：∵AB ⊥平面11BCC B ，BE ⊂平面11BCC B ，∴AB BE ⊥． (8)分又AB BC ⊥，故EBC ∠为二面角E AB C --的平面角． ……………………… 10分在Rt ECB △中，E 为1CC 的中点，∴1tan 2EBC ∠=． 因此，二面角E AB C --的正切值为12． ……………………………………… 12分B 1C 1D 1A 1DCBAEABCDEPO18. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)∵框架的总长度为18 m ，∴正三棱柱的高186623xh x -==-．……………… 2分∴22()(62)(3)(03)V x x x x =-=-<<．……………………………… 5分 (Ⅱ)2()3)(2)V x x x x '=-=-．………………………………………… 7分当(0,2)x ∈时，()0V x '>，函数()V x 单调递增；当(2,3)x ∈时，()0V x '<，函数()V x 单调递减．……………………………… 11分因此，当2x =时，容器的体积有最大值为 m 3． (12)分19. 本小题满分12分． 解：(Ⅰ)连结OD ，OE ．∵PO ⊥平面ABC ，且PD AC ⊥，∴OD AC ⊥．……………………………… 2分同理OE BC ⊥．∵PD PE =，∴OD OE =．…………3分又∵90ACB ∠= ，∴OD CE 为正方形．………………4分∴CD，OC ==6分又∵PO OC ⊥，∴6PO =，即点P 到平面ABC 的距离为6．………………8分(Ⅱ)连结OC ，则PCO ∠为PC 与平面ABC 所成的角．………………………………9分∵61sin 122PO PCO PC ∠===，………………………………………………………10分 ∴30PCO ∠= ．即PC 与平面ABC 所成角的为30 ．………………………………………………12分20. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)由已知，得32()44f x x ax x a =--+．∴2()324f x x ax '=--．……………………………………………………………2分 (Ⅱ)由(1)0f '-=，得12a =．∴2()34(1)(34)f x x x x x '=--=+-．……………………………………………3分当1x =-或43x =时，()0f x '=；…………………………………………………4分 当[2,1)x ∈--时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当4(1,)3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当4(,2]3x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；……………………………………5分又9450(2)0,(1),(),(2)02327f f f f -=-==-=．……………………………… 7分所以，()f x 在[2,2]-上的最大值为92，最小值为5027-．………………………8分 (Ⅲ)由()f x 在(,2)-∞-和(2,)+∞上均单调递增，得在(,2)-∞-和(2,)+∞上()0f x '…恒成立．∵2()324f x x ax '=--的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0,4)-． ∴只要(2)0,(2)0f f -厖．………………………………………………………10分即480,840.a a +⎧⎨-⎩...... 解得22a -刟?． 因此，a 的取值范围是[2,2]-． (12)分21. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)取11B C 的中点D ，连结1,ND A D ，则11////DN B B A M ，………………………………1分且1111122DN B B A A A M ===．∴四边形1A MND 是平行四边形．∴1//MN A D ．………………………………… 3分 又∵MN ⊄平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ， ∴//MN 平面111A B C ．………………………… 5分 (Ⅱ)∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1BC CC ⊥．又∵BC CA ⊥，1CC CA C = ，∴BC ⊥平面11ACC A ．………………………………7分 在平面11ACC A 内，作1CE C M ⊥，垂足为E ，EDC 1B 1A 1CBAM NC 1A 1EMCA则由三垂线定理得1BE C M ⊥，所以BEC ∠即为二面角1B C M A --的平面角．……………………………………9分∵1CEC △∽11C A M △，∴1111A C CECC C M =．∴1111A C CE CC C M =⨯=．…………………………………………… 10分∴tan BC BEC CE ∠==，∴BEC ∠=．……………………………… 11分因此，二面角1B C M A --的大小的大小为12分22. 本小题满分14分．解：(Ⅰ)∵20y x '=-…，当且仅当0x =时0y '=，∴函数3y x =-在(,)-∞+∞上单调递减．………………………………………… 2分 设3y x =-在[,]a b 上的值域为[,]a b ，则(),().f a b f b a =⎧⎨=⎩ 即33,.a b b a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ ()a b <，解得1,1.a b =-⎧⎨=⎩ 因此，函数3y x =-为闭合函数，符合条件②的区间为[1,1]-．.....................4分 (Ⅱ)2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，它的值可正可负， (6)分∴()f x 在(,)-∞+∞不是单调函数．因此，()f x 不是闭合函数．…………………………………………………………8分(Ⅲ)在(0,)+∞上，()20g x x '=>．∴()g x 在(0,)+∞上是增函数． (10)分∵2()g x x k =+为(0,)+∞上的闭合函数，∴存在区间[,](0,)a b ⊆+∞，使()g x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ．∴(),().g a a g b b =⎧⎨=⎩(0)a b <<，即,a b 是方程20x x k -+=的两个 不等正根．…… 12分∴1212140,10,0.k x x x x k ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩ 解得104k <<．……………………………………………… 14分1 (0,)4．因此，实数k的取值范围为。

绝密★启用前江苏省苏州市实验中学2017～2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）（满分160分,考试时间120分钟）注意事项：答卷前,请考生务必将自己的班级、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其他地方无效.一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.1.已知集合,,则____．【答案】（0,1）.【解析】分析：求不等式间的交集运算,可直接通过数轴分析得到解。

详解：集合的交集运算,所以交集为（0,1）点睛：本题考查了集合间的交集运算,属于简单题。

2.复数（是虚数单位）的实部为____．【答案】2【解析】复数,所以实部为2.点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题,首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如,,其次要熟悉复数的相关基本概念,如复数的实部为,虚部为,模为,对应点为,共轭复数为.3.已知集合,,若,则的取值范围为____．【答案】[ -1 , 4 ].【解析】试题分析：,所以考点：集合的运算4.抛物线的焦点坐标为____．【答案】( -3 , 0 ).【解析】分析：通过抛物线标准方程直接得到P的值,得到焦点坐标。

详解：抛物线标准方程的焦点为所以的焦点坐标为( -3 , 0 ).点睛：本题考查了抛物线标准方程及其焦点表示方法,关键分清抛物线的不同表达形式,属于简单题。

5.如图,正四棱锥的底面一边的长为,侧面积为,则它的体积为___．【答案】4.【解析】由题设,则四棱锥的高,所以该四棱锥的体积,应填答案。

6.过曲线C：y=上点（1,）处的切线方程为____．【答案】y=x-1.【解析】分析：求出曲线C上点的坐标为,通过导函数可求得斜率,进而通过点斜式求出切线方程。

详解：曲线C上的点坐标为求导函数 ,所以过的斜率所以切线方程为。

2017-2018学年江苏省苏州市昆山市高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.抛物线x2=4y的焦点坐标为______．【答案】(0,1)【解析】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴p2=1∴抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1)故答案为：(0,1)由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的几何性质，解题的关键是定型与定量．2.复平面内，复数1+ii(i是虚数单位)，对应的点在______象限．【答案】四【解析】解：复数1+ii =−i(1+i)−i⋅i=1−i(i是虚数单位)，对应的点(1,−1)在第四象限．故答案为：四．利用复数的运算法则、共轭复数的性质、复数的几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.若z1=a+2i，z2=3−3i，(i是虚数单位)且z1⋅z2为纯虚数，则实数a=______．【答案】−2【解析】解：∵z1=a+2i，z2=3−3i，∴z1⋅z2=(a+2i)(3−3i)=(3a+6)+(6−3a)i，∵z1⋅z2为纯虚数，则6−3a≠03a+6=0，即a=−2．故答案为：−2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4.若焦点在y轴上的椭圆x25+y2m的离心率e=105，则m的值是______．【答案】253【解析】解：焦点在y轴上的椭圆x25+y2m的离心率e=105，可得m−5m =105，解得m=253．故答案为：253．利用已知条件列出椭圆的离心率，求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.已知z=1−3i1+i(i是虚数单位)，则|z|=______．【答案】2【解析】解：∵z=1−3i1+i，∴|z|=|1−3i1+i |=|1−3i||1+i|=2=2．故答案为：2．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．6.函数f(x)=ax3−x−ln x在x=1处取得极值，则实数a的值为______．【答案】23【解析】解：由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，求导函数，可得f′(x)=3ax2−1−1x，∵函数f(x)=ax3−x−ln x在x=1处取得极值，∴f′(1)=3a−1−1=0∴a=23，故答案为：23．由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，求导函数，即f′(1)=3a−1−1=0，可求a 的值；本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，正确求导是关键．7.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m//n，n⊂α，那么m//α；②如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m⊥β；③如果m⊥α，n//α，那么m⊥n；④如果m⊥n，m⊥α，n//β，那么α⊥β．其中正确的命题有______(填写所有正确命题的序号)【答案】③【解析】解：①如果m//n，n⊂α，那么m//α或m⊂α，①为假命题；②如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m//β或m⊂β或m与β相交，②是假命题；③如果m⊥α，n//α，那么m⊥n，③是真命题；④如果m⊥n，m⊥α，则n//α或n⊂α，又n//β，那么α与β相交或平行，④是假命题．综上可得：只有③是真命题．故答案为：③．①由线面平行的判定定理判定真假；②由已知推出m与β的位置关系即可判断出真假；③利用线面垂直的性质定理即可判断出真假；④由已知可得α与β相交或平行，即可判断出真假．本题考查了空间线面面面位置关系的判定及其性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.在2017年高考成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学的成绩有如下关系：甲、乙的成绩之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丙成绩之和大于甲、丁成绩之和，甲的成绩大于乙、丁成绩之和，那么四人的成绩最高的是______同学．【答案】丙【解析】解：设甲、乙、丙、丁四名同学的成绩分别为a，b，c，d，根据题意，得：a+b=c+db+c>a+da>b+d，∴c>b+dc>a，∴四人的成绩最高的是丙．故答案为：丙．设甲、乙、丙、丁四名同学的成绩分别为a，b，c，d，根据题意列出不等式组，由此能求出这四名同学中成绩最高的同学．本题考查四名同学中成绩最高的同学的求法，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.底面边长为2，斜高与侧棱之比为32的正四棱锥的体积为______．【答案】423【解析】解：如图，正四棱锥的底面边长为2，斜高与侧棱之比为32，设四棱锥的高为h，过底面中心O作OG⊥BC，则斜高PG=ℎ2+1，侧棱长为ℎ2+2，由题意可得ℎ2+1ℎ2+2=32，即ℎ=．∴该正四棱锥的体积为V=13×2×2×2=423．故答案为：423．由题意画出图形，设出棱锥的高，由已知列式求得高，再由棱锥体积公式求解．本题考查棱锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=2Sa+b+c；类比这个结论可知：四面体P−ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P−ABC的体积为V，则r=______．【答案】3VS1+S2+S3+S4【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为13(S1+S2+S3+S4)r∴r=3VS1+S2+S3+S4．故答案为：3VS1+S2+S3+S4．根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去.一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(或猜想)．11.观察下列等式：12=112−22=−312−22+32=612−22+32−42=−10…照此规律，第n个等式可为______．【答案】12−22+32−⋯+(−1)n−1n2=(−1)n+12n(n+1)【解析】解：观察下列等式：12=112−22=−312−22+32=612−22+32−42=−10…分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为12−22+32−42+⋯(−1)n−1n2．当n为偶数时，分组求和(12−22)+(32−42)+⋯+[(n−1)2−n2]=−n(n+1)2，当n为奇数时，第n个等式左边=(12−22)+(32−42)+⋯+[(n−2)2−(n−1)2]+n2=−n(n+1)2+n2=n(n+1)2．综上，第n个等式为12−22+32−⋯+(−1)n−1n2=(−1)n+12n(n+1)．故答案为：12−22+32−⋯+(−1)n−1n2=(−1)n+12n(n+1)．等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12−22+32−42+⋯(−1)n−1n2.再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．12. 已知函数f (x )=a ln x +x 2，a ∈R ，若f (x )在[1,e 2]上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(−∞,−e 4]∪[−e 22,−2)【解析】解：f (1)=1，f (e 2)=2a +e 4． f ′(x )=ax+2x ，(x ∈[1,e 2])．①a ≥0时，f ′(x )>0，则函数f (x )在x ∈[1,e 2]内单调递增，而f (1)=1，则此时函数f (x )无零点，舍去．②a <0时，f ′(x )=2(x +−a 2)(x− −a 2)x，可得函数f (x )在(0, −a2)内单调递减；在(−a 2,+∞)内单调递增．当 −a2≤1，即−2≤a <0时，此时函数f (x )在[1,e 2]内单调递增，而f (1)=1，则此时函数f (x )无零点，舍去．当 −a2≥e 2，即a ≤−e 4时，此时函数f (x )在[1,e 2]内单调递减，而f (1)=1，只需要f (e 2)=2a +e 4≤0，即a ≤−e 4时，此时函数f (x )有且只有一个零点．当1< −a2<e 2，即−e 2<a <−2时，此时函数f (x )在[1, −a2)内单调递减，在( −a2,e 2]内单调递增.f (x )在[1,e 2]上有且只有一个零点，而f (1)=1．∴ f ( −a 2)≤0f (e 2)≥0，化为 a ln −a 2−a2≥02a +e 2≥0，解得−e 22≤a <−2．综上可得：实数a 的取值范围是(−∞,−e 4]∪[−e 22,−2)．故答案为：(−∞,−e 4]∪[−e 22,−2)．f (1)=1，f (e 2)=2a +e 4.f ′(x )=ax +2x ，(x ∈[1,e 2]).对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的性质、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于难题．13. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1作一条渐近线的垂线，垂足为M ，延长F 1M 与双曲线的右支相交于N ，若MN =3F 1M ，则此双曲线的离心率为______． 【答案】53【解析】解：双曲线x 2a −y 2b =1(a ,b >0)， 一条渐近线方程为bx −ay =0， 设F 1(−c ,0)，可得|F 1M |= b 2+a 2=b ，若MN=3F1M，则|MN|=3b，即|NF1|=|F1M|+|MN|=4b，在直角三角形MF1O中，|OF1|=c，cos∠F2F1M=bc，由双曲线的定义可得|NF2|=|NF1|−2a=4b−2a，在△NF1F2中，|F1F2|2+|NF1|2−|NF2|2 2|F1F2|⋅|NF1|=4c2+16b2−(4b−2a)22⋅2c⋅4b，即有16b2=4c2+16b2−(4b−2a)2，即2c=4b−2a，可得2b=a+c=2 c2−a2，化为3c2−2ac−5a2=0，即有(c+a)(3c−5a)=0，可得3c=5a，即有e=ca =53，故答案为：53．设出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得|F1M|=b，进而得到|MN|，分别在直角三角形MF1O中运用勾股定理，在△NF1F2中，运用余弦定理，结合双曲线的定义和离心率公式，计算可得所求值本题考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的渐近线方程的运用，注意运用解三角形的余弦定理，以及勾股定理和双曲线的定义，考查运算能力.属于中档题．14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+m与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P在圆(x−m)2+y2=1上运动，若∠MPN恒为锐角，则实数m的取值范围是______．【答案】(−∞,−2+102)∪(2+102,+∞)【解析】解：设以MN为直径的圆的圆心为A，则M(−m,0)，N(0,m)，所以中点A(−m2,m2)；半径为：2|m|圆(x−m)2+y2=1，圆的圆心(m,0)，半径为：1．点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，所以两圆外离，所以(m+m2)2+(m2)2>(1+22|m|)2，解得，|m|>2+102，即m>2+102或m<−2+102，所以m的取值范围是：(−∞,−2+102)∪(2+102,+∞)．故答案为：(−∞,−2+102)∪(2+102,+∞)．设以MN为直径的圆的圆心为A，得到MN的中点A(−m2,m2)；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，只要两圆外离，得到圆心距与半径的关系等式求得m 的范围．本题考查了直线与圆和圆与圆的位置关系；直线与圆的方程的综合应用，解得本题的关键是∠MPN恒为锐角的等价条件．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE//平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.【答案】解：(1)∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE//AC，∵ABC−A1B1C1为棱柱，∴AC//A1C1，∴DE//A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE//A1C1F；(2)在ABC−A1B1C1的直棱柱中，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE//A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.【解析】(1)通过证明DE//AC，进而DE//A1C1，据此可得直线DE//平面A1C1F1；(2)通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F. 本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．16.(1)已知函数f(x)=ln x，求曲线y=f(x)在点P(1,0)处的切线方程．(2)证明不等式：ln x≤x−1．【答案】解：(1)函数f(x)=ln x的导数为f′(x)=1x，可得曲线y=f(x)在点P(1,0)处的切线斜率为1，则曲线y=f(x)在点P(1,0)处的切线方程为y−0=x−1，即为x−y−1=0；(2)证明：设g(x)=ln x−x+1，x>0，可得g′(x)=1x −1=1−xx，当x>1时，g′(x)<0，g(x)递减；当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)递增，即有g(x)在x=1处取得极大值，且为最大值0，可得g(x)≤0，即ln x≤x−1．【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程；(2)设g(x)=ln x−x+1，x>0，求得导数和单调区间、极值和最值，即可得证．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．17.已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y−1=0对称，半径为2，且圆心C在第二象限．(1)求圆C的方程．(2)若直线l在x轴、y轴上的截距相等，且与圆C相切，求直线l的方程．【答案】解：(1)圆的标准方程形式为(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−124，则圆心坐标为(−D2,−E2)，半径的平方为D2+E2−124=2，∵圆关于直线x+y−1=0对称，∴−D2−E2−1=0，即D+E+2=0，且D2+E2=20，得E=2，D=−4或E=−4，D=2，∵圆心C在第二象限．∴−D2<0，−E2>0，得D>0，E<0，即E=−4，D=2，则圆的方程为x2+y2+2x−4y+3=0．(2)圆心坐标为C(−1,2)，半径r=2，若直线l在x轴、y轴上的截距相等，且与圆C相切，当直线经过原点，这设直线方程为y=kx，则直线和圆相切，则圆心到直线的距离d=r，d=1+k2=2，得k2−4k−2=0得k=4±16+82=4±262=2±6，若直线不过原点，设直线方程为x+y=a，即x+y−a=0，则圆心到直线的距离d=2=2，得a=3或a=−1，综上满足条件的直线方程为y=(2±6)x或x+y−3=0或x+y+1=0．【解析】(1)利用配方法，找出圆心坐标和半径，建立方程进行求解即可(2)设出直线方程，利用待定系数法结合直线和圆相切的等价条件进行求解．本题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆相切的位置关系的应用，利用配方法求出圆心和半径是解决本题的关键．18.某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示).在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带.(注：小路及绿化带的宽度忽略不计)(1)设∠BAC=θ(弧度)，将绿化带总长度表示为θ的函数S(θ)；(2)试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．【答案】解：(1)由题意，AC=100cosθ，直径AB为100米，∴半径为50米，圆心角为2θ，∴BC=100θ，∴绿化带总长度S(θ)=200cosθ+100θ(θ∈(0,π2)；(2)∵S(θ)=200cosθ+100θ，∴S′(θ)=−200sinθ+100，令S′(θ)=0，可得θ=π6．函数在(0,π6)上单调递增，在(π6,π2)上单调递减，∴θ=π6时，绿化带总长度最大．【解析】(1)利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为θ的函数S(θ)；(2)求导数，确定函数的单调性，即可确定θ的值，使得绿化带总长度最大．利用导数可以解决实际问题中的最值问题，关键是确定函数解析式，正确运用导数工具，确定函数的单调性．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为M、N，点P是椭圆上异于点M、N的任意一点，记直线PM、PN是斜率分别为k PM、k PN，满足k PM⋅k PN=−34．(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)设椭圆C的左焦点为F(−c,0)，过点F的直线AB交椭圆于A，B两点，AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点，记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，求2S1S2S12+S22的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)设P(x0,y0)，则x02a2+y02b2=1，即y02x02−a2=−b2a2，则k PM⋅k PN=y0x0−a ⋅y0x0+a=−34，则b2a =34，则椭圆的离心率e=ca=1−b2a=12，∴椭圆的离心率e=12；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：a=2c，b=3c，则椭圆方程：x24c2+y23b2=1，根据条件直线AB的斜率一定存在且不为0，设直线AB的方程为y=k(x+c)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=k(x+c)x24c2+y23c2=1，消去y并整理得(4k2+3)x2+8ck2x+4k2c2−12c2=0，x1+x2=−8ck24k+3，y1+y2=k(x1+x2+2c)=6ck4k+3，则G(−4ck24k+3,3ck4k+3)，因为DG⊥AB，则3ck4k2+3−4ck22−x D⋅k0=−1，可得xD=−ck24k+3，由Rt △FGD 与△EOD 相似，所以S 1S 2=|GD |2|OD |=(−4ck 24k 2+3+ck 24k 2+3)+(3ck4k 2+3)2(−ck 22)2=9+9k >9，令S 1S 2=t ，则t >9，则2S 1S 2S 12+S 22=2t +1t<29+19<941， ∴2S 1S 2S 12+S 22的取值范围是(0,941).【解析】(Ⅰ)根据直线的斜率公式及P 在椭圆上，即可求得则b 2a 2=34，利用椭圆的离心率公式即可求得椭圆C 的离心率；(Ⅱ)设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，即可求得G 点坐标，根据DG ⊥AB ，即可求得D 点坐标，根据三角形的相似，即可求得S 1S 2的取值范围，换元，根据函数的单调性即可求得答案．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及直线的斜率公式，考查换元法的应用，属于中档题．20. 已知f 1(x )=e x ，f 2(x )=ax 2−2ax +b ．(1)当a =1，b =−1时，设f (x )=f 2(x )f 1(x )，求函数y =f (x )的极值；(2)设a >0，若对任意的m ，n ∈[0,1]，(m ≠n )，|f 1(m )−f 1(n )|>|f 2(m )−f 2(n )|恒成立，求a 的最大值； (3)设g (x )=f 1(x )⋅f 2(x )x，g ′(x )为g (x )的导函数，若存在x >1，使g (x )+g ′(x )=0成立，求ba 的取值范围． 【答案】解：(1)由题目可知，f (x )=x 2−2x−1e ， 则有f ′(x )=(2x−2)e x −(x 2−2x−1)e x(e x )2=−x 2−4x +3e x=−(x−1)(x−3)e x，注意到−1e x <0恒成立，故借助二次函数的图象就直接得到， 当x <1时，，f (x )在(−∞,1)上单调递减，当1<x <3时， 0'/>，f (x )在(1,3)上单调递增， 当x >3时，，f (x )在(3,+∞)上单调递减，故当x =1时，函数f (x )有极小值，为f (1)=−2e ， 当x =3时，函数f (x )有极大值，为f (3)=2e 3；(2)不妨设m >n ，则函数f 1(x )在区间[0,1]上单调递增，故f 1(m )−f 1(n )>0， 又f 2(x )=a (x −1)2+b −a ，对称轴是x =1，开口向上， 故函数f 2(x )在区间[0,1]上单调递减，故f 2(m )−f 2(n )<0，这样对任意的m ，n ∈[0,1](m >n )，|f 1(m )−f 1(n )|>|f 2(m )−f 2(n )|恒成立， 就可以转化为f 1(m )−f 1(n )>f 2(m )−f 2(n )恒成立， 即f 1(m )+f 2(m )>f 1(n )+f 2(n )恒成立，令ℎ(x )=f 1(x )+f 2(x )=e x +ax 2−2ax +b ，则到此的题意相当于已知m >n 时，ℎ(m )>ℎ(n )，故函数ℎ(x )在区间[0,1]上单调递增，故在区间[0,1]上恒成立；即在区间[0,1]上恒成立；即2a (1−x )≤e x 恒成立，这里我们使用倒数法分离参数得到，12a≥1−x e 在区间[0,1]上恒成立；再令p (x )=1−x e ，即需要求p (x )max ，p ′(x )=−1×e x −(1−x )e x(e x )2=x−2e x，容易看出，当x ∈[0,1]时，恒成立，故p (x )在区间[0,1]上单调递减，则p (x )max =p (0)=1，故12a ≥1，又a >0， 故解得0<a ≤1.故a 的最大值为1． (3)g (x )=e x (ax 2−2ax +b )x，则g ′(x )=[e x (ax 2−2ax +b )]′⋅x−[e x (ax 2−2ax +b )]⋅1x 2其中，所以，即转化为e x (ax 2−2ax +b )x+e x (x−1)(ax 2+b )x =0，即e x (ax 2−2ax +b )xx 2+e x (x−1)(ax 2+b )x 2=0，即2ax 3−3ax 2+2bx −b =0，即方程ba=x 2(2x−3)1−2x在x >1时有解，令ℎ(x )=x 2(2x−3)1−2x，则ba 的取值范围即函数ℎ(x )的值域； ℎ′(x )=(6x 2−6x )(1−2x )+2(2x 3−3x 2)(1−2x )=−2x (4x 2−6x +3)(1−2x )，其中4x 2−6x +3>0恒成立，当x >1时必有恒成立，即函数ℎ(x )在区间(1,+∞)上单调递减，故ℎ(x )<ℎ(1)=1 故ba 的取值范围是(−∞,1)．【解析】(1)用常规方法导数法，求数字系数的函数的极值．(2)利用函数的单调性去掉绝对值符号，构造新函数，可以将问题再次转化为恒成立，然后分离参数求解． (3)先化简方程，然后分离参数得到方程ba =ℎ(x )，这样就只需要求函数ℎ(x )的值域就可以了．(1)注意到导函数的分子函数是二次函数，且e x >0，故借助二次函数的图象很快就能写出单调区间，基本常规题目．(2)出现函数值的差的绝对值问题，常常想到利用函数的单调性去掉绝对值符号进行转化；另外在分离参数时如果按照常规方法分离需要分类讨论，这里使用了倒数法分离参数，就能很好的避免分类讨论，嵌套的层次比较多，运算量比较多，是个难题． (3)本题目的运算太过繁琐了，不过解题的思路倒不是很难，先化简方程，然后分离参数得到方程ba =ℎ(x )，由方程有解，转化为求函数ℎ(x )的值域问题．21. 用数学归纳法证明：12+22+32+⋯+n 2=n (n +1)(2n +1)6，(n ∈N ∗).【答案】证明：(1)当n =1时，左边=1，右边=16×1×(1+1)×(2+1)=1，即原式成立，(2)假设当n =k 时，原式成立，即12+22+32+⋯+k 2=16k (k +1)(2k +1)， 当n =k +1时，12+22+32+⋯+(k +1)2=16k (k +1)(2k +1)+(k +1)2=16(k +1)(k +2)(2k +3)，即原式成立，根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n 都成立， ∴12+22+32+⋯+n 2=16(n +1)(2n +1)．【解析】根据数学归纳法的证题步骤，先证明n =1时，等式成立，然后假设当n =k 时，等式成立，进一步推证n =k +1时，成立即可 本题考查数学归纳法，考查推理分析与论证的能力，用上归纳假设是关键，属于中档题．22. 已知函数f (x )=ln(2−x )+ax 在区间(0,1)上是增函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)当a =1时，求函数f (x )的单调减区间． 【答案】解：(1)f ′(x )=1x−2+a ， 若f (x )在(0,1)递增， 则a >12−x 在(0,1)恒成立， 而y =12−x 在(0,1)递增， 故y =12−x <1，故a ≥1；(2)∵数f (x )=ln(2−x )+ax 的定义域为(−∞,2) 当a =1时，f ′(x )=1x−2+1=x−1x−2，∴当1<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减， 当x <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 故f (x )在(−∞,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减【解析】(1)问题转化为a >12−x 在(0,1)恒成立，根据函数的单调性求出a 的范围即可． (2)先求出定义域，再求导，根据导数和函数的单调性的关系即可判断．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题23. 过点(−1,0)作直线l 交抛物线y 2=x 于不同的两点A ，B ，若点M 满足OM =12(OA +OB)，求点M 的轨迹方程． 【答案】解：将y =k (x +1)代入y 2=x ，整理得k 2x 2+(2k 2−1)+k 2=0， ∵动直线l 与抛物线C 交于不同两点A 、B ，∴k ≠0且△>0，即 (2k 2−1)2−4k 4>0k≠0解得：−12<k <12且k ≠0．设A(x1,y2)，B(x2,y2)，则x1+x2=1−2k2k2，x1x2=1．OM=12(OA+OB)=12(x1,y1+12(x2,y2)=12(x1+x2,y1+y2)=12(x1+x2,k(x1+x2+2)=1(1−2,1).设M(x,y)，则x=12k2−1y=12k消去k得：y2=12x+12．又由−12<k<12且k≠0得：0<k2<14，12k2>2，∴x=12k2−1>1，∴点M的轨迹方程为y2=12x+12(x>1)．【解析】利用向量的运算可得点M关于k的参数方程，消去参数并求出范围即可得出点M的轨迹方程．本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的数量积运算、向量的运算、直线的参数方程等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．24.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上，以AB，AC，AP分别为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系．(1)求证：平面EFM⊥平面PAC；(2)如图直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PMPD 的值．【答案】(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，∴PA⊥EF，又AB⊥AC，EF//AB，∴EF⊥AC，而PA∩AC=A，∴EF⊥平面PAC，∵EF⊂平面EFM，∴平面EFM⊥平面PAC；(2)解：设AB=PA=AC=2，则B(2,0，0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)，D(−2,2，0)，E(1,1，0)，再设PMPD=λ，则PM=λPD=(−2λ,2λ,−2λ)，EM=PM−PE=(−2λ−1,2λ−1,−2λ+2)，设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z)．由n⋅PB=2x−2z=0n⋅BC=−2x+2y=0，取z=1，可得n=(1,1,1)；平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1)．∵直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，∴|cos<n,EM>|=|cos<m,EM>|，即|n ⋅EM|n|⋅|EM||=|m ⋅EM|m|⋅|EM||，则3=|2−2λ|，解得λ=3−32．∴PMPD 的值为3−32．【解析】(1)由PA⊥平面ABCD，得PA⊥EF，又AB⊥AC，可得EF//AB，结合EF⊥AC，由线面垂直的判定可得EF⊥平面PAC，进一步得到平面EFM⊥平面PAC；=λ，分别求出平面PBC与平面ABCD的一个法向量，(2)设AB=PA=AC=2，再设PMPD再由直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，可得|cos<n,EM>|=|cos<m,EM>|，由此列式求得λ值得答案．本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．。

2017—2018学年第二学期八县（市）一中高二文科数学期末考试卷 第 1 页 共 3 页2017—2018学年度第二学期八县(市)一中期中联考 高中二年数学科（文科）试卷完卷时间：120分钟 满 分：150分第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若212(1),1z i z i =+=-，则12z z 等于( ) A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --2、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（ ） A. 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B. 1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C. 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D. 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有3、下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明” 中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—反证法 B ．①—分析法，②—反证法 C ．①—综合法，②—分析法 D ．①—分析法，②—综合法4、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”，你认为这个推理（ ） A ．大前题错误 B ．小前题错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的5、已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2, 1.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．y=3x ﹣4.5B ．y=﹣0.4x+3.3C ．y=0.6x+1.1D ． y=﹣2x+5.5 6、极坐标方程2cos4sin ρθθ=所表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一条抛物线D ．一条双曲线7、甲、乙、丙三位同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．不确定8、如右图所示，程序框图输出的所有实数对(x ，y )所对应的点都在函数( ) A ．y ＝x ＋1的图象上 B ．y ＝2x 的图象上 C ．y ＝2x 的图象上 D ．y ＝2x -1的图象上 9、定义运算a bad bc c d=-，若1201812z i i =（i 为虚数单位）且复数z满足方程14z z -=，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ ）A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆10、若下列关于x 的方程24430x ax a +-+=，2220x ax a +-=，22(1)0x a x a +-+= （a 为常数）中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(,1)2-- B ．3(,0)2- C ．3(,][1,)2-∞-⋃-+∞ D ．3(,][0,)2-∞-⋃+∞ 11、以下命题正确的个数是（ ）①在回归直线方程82^+=x y 中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量^y 平均增加2个单位； ②已知复数21,z z 是复数，若221121z z z z z z ⋅=⋅=，则；③用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于060”时，应假设“三个内角都大于060”；④在平面直角坐标系中，直线x y l 6:=经过变换⎩⎨⎧==yy x x ''23：ϕ后得到的直线'l 的方程：x y =； A ．1B ．2C ．3D ．412、《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。

江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．.1. 已知集合，，若，则实数的值为__________.【答案】2【解析】分析：根据交集的定义知或（无解），从而得解.详解：集合，，若，则或（无解）.所以，此时.故答案为2.点睛：本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2. 设函数，则__________ .【答案】1【解析】分析：将代入分段函数，由自变量的范围结合函数关系求解即可.详解：由函数，得.故答案为：1.点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，属于基础题.3. 复数的虚部等于__________ .【答案】【解析】分析：利用复数的除法运算化简得，进而得解.详解：复数.虚部为.故答案为：.点睛：本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.4. 已知幂函数过点，则__________ .【答案】【解析】分析：设幂函数，将点代入求解即可.详解：设幂函数，由过点，得，解得.所以.故答案为：.点睛：本题主要考查了待定系数法求解幂函数的解析式，属于基础题.5. 若且，则__________ .【答案】【解析】分析：利用余弦的二倍角公式，可得，结合的范围可得解.详解：由，解得.又，所以，所以.即.点睛：本题主要考查了余弦的二倍角公式，属于基础题.6. 函数的单调递增区间为__________ .【答案】【解析】y′＝.令y′>0，得1－ln x>0，∴0<x<e.故增区间为(0，e)答案：(0，e)点睛：求函数单调区间的方法：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性7. 设的内角，，所对边的长分别为，，.若且，则角__________ .【答案】【解析】分析：利用正弦定理得，结合条件得，由余弦定理可得，代入求解即可.详解：由正弦定理，可得：，即.又，可得.由余弦定理可得.所以.故答案为：.点睛：本题主要考查了运用正弦定理边角互化，余弦定理求解三角形内角，属于基础题.8. 设，，则__________.（用含，的式子表示）【答案】【解析】分析：利用换底公式及对数的运算法则得，带入条件可得解.详解：.由，，得.点睛：本题主要考查了对数的换底公式：且.属于基础题.9. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为__________ .【答案】【解析】分析：利用奇函数的中心对称性及函数的单调性和奇函数满足可求解.详解：在上单调递减，且，当时，有.又为奇函数，图象关于原点对称，所以在上，可得.又奇函数满足.所以不等式的解集为.故答案为：.点睛：本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系及数形结合进行求解是解决本题的关键．解这种题型往往是根据函数所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性（偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同），然后再根据单调性列不等式求解.10. 已知，则的值为__________ .【答案】【解析】分析：由同角三角函数关系得，诱导公式得，进而得解.详解：由，得..所以.故答案为：.点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式，属于基础题.11. 在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为__________ .【答案】1:27【解析】由题意，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的边长比为，其面积比为边长比的平方，即为，以此类比，又正三角形中心点是对应高的三等分点，则易知，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的边长比为，因此其体积比为.12. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则__________. 【答案】0【解析】分析：由函数的奇偶性分别得，，从而得，进而得解.详解：，.由是定义在上的奇函数，可得.又是定义在上的偶函数，所以.综上可得.所以.故答案为：0.点睛：本题中主要考查了函数的奇偶性的性质，以及抽象复合函数的奇偶性，属于难点，需要区别以下难点：是偶函数，则，是奇函数，则，是偶函数，则，是奇函数，则.13. 已知的图像过点，为函数的导函数，若当时恒有，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】分析：构造函数，并求导可得在（0，+∞）上单调递增，由，即得，即可得出结论．详解：构造函数,则，∴在上单调递增，由，即得，∴，故答案为：.点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：，构造xf(x)；2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；，构造;，构造；，构造.等等.14. 设钝角的内角为，，，且，若，则的取值范围是__________ .【答案】【解析】分析：由三角形内角和的关系将条件变形为，记，进而化简得，利用以，所以，得，而，从而得解.详解：内角满足.所以，由，得：.记，则上式为：.进而得：，展开得：.两边同时除以可得：.可得：.由，且为钝角三角形，所以，所以.，所以.所以.又.故答案为：.点睛：本题主要考查了三角形内角和的关系，及和差角公式的灵活应用，还有同角三角函数的弦切互化，本题的难点在于建立于条件的关系，解本题的关键在于设，及将和作为整体化简求值求范围.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求函数的对称轴方程；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）化简函数得，令，可得对称轴；（2）由，，得，，利用和角的正弦展开代入求解即可.详解：（1）.令，解得，即为所求的对称轴方程.（2）由，，则，而，将，代入上式，求得：.点睛：研究三角函数的性质，最小正周期为，最大值为.求对称轴只需令，求解即可，求对称中心只需令，单调性均为利用整体换元思想求解.16. 在中，角，，所对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和和与差公式化简可得角B的大小；（2）利用正弦定理，边化角，根据三角函数的有界限即可求解b的取值范围．试题解析：（1）由已知得：，即，∵，∴，即，又为三角形的内角，则；（2）∵，即，，∴由余弦定理得：，即，∵，∴，则．17. 设复数，且，.（1）求复数的模；（2）求复数实部的取值范围；（3）设，求证：为纯虚数.【答案】（1）1；（2）；（3）见解析【解析】分析：（1）由，由得，从而虚部为0，得，进而可得解；（2）由（1）知，从而求范围即可；（3）化简，由（1）知，则，从而得证.详解：（1），由得，则，由，解得，所以，（2）由（1）知，所以，即复数的实部的取值范围是.（3），由（1）知，则，应为，所以为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.18. 如图，某小区内有两条互相垂直的道路与，平面直角坐标系的第一象限有一块空地，其边界是函数的图象，前一段曲线是函数图象的一部分，后一段是一条线段.测得到的距离为8米，到的距离为16米，长为20米.（1）求函数的解析式；（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形（其中，为两底边），问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.【答案】（1）；（2）当梯形的高为米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为平方米【解析】分析：（1）以代入，得，再由，两点可得直线，从而利用分段函数表示即可；（2）设梯形的高为米，则，进而得，梯形的面积，求导利用函数单调性求解最值即可.详解：（1）以代入，得，因为，得直线：，所以.（2）设梯形的高为米，则，且，，所以，所以梯形的面积，由，令，得，列表如下：所以当时，取得极大值，即为最大值为.答：当梯形的高为米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为平方米.点睛：本题主要考查了分段函数的额解析式，函数的实际应用问题，属于中档题.19. 已知函数，且定义域为.（1）求关于的方程在上的解；（2）若在区间上单调减函数，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】分析：（1）由题意得，讨论和两种情况去绝对值解方程即可；（2）由，函数单减则有，从而得解；（3）讨论和下解方程即可.详解：（1）令，即有.当时，方程即为，方程无解；当时，方程即为，解得（负值舍去）.综上，方程的解为.（2），由在上单调递减，则，解得，所以实数的取值范围是.（3）当时，，①当时，，②若，则①无解，②的解为，故不成立；若，则①的解为 .（Ⅰ）当，即时，中，则一个根在内，另一根不在内，设，因为，所以，解得，又，则此时，（Ⅱ）当，即或时，②在内有不同两根，由，知②必有负数根，所以不成立，综上.点睛：分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是二次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于二次函数，要关注开口方向和对称轴与区间的位置关系.两段分别递减还不行，还需要在两段交接的地方减，这样才能满足在身上单调递减.20. 设函数，.（1）当时，函数，在处的切线互相垂直，求的值；（2）当函数在定义域内不单调时，求证：；（3）是否存在实数，使得对任意，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，）【答案】（1）；（2）见解析；（3）1【解析】分析：（1）求导得切线斜率为和，由垂直得斜率积为-1，从而得解；（2），求导得，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，利用二次方程根的分别即可得解；（3）对恒成立，令，，令，存在，使得，即，则，取到最小值, 所以，即在区间内单调递增，从而得解. 详解：（1）当时，，则在处的斜率为，又在处的斜率为，则，解得 .（2）函数，则 .∵，∴，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，由于开口向上，且只需要，得，因为，所以，故，当且仅当时取等号，命题得证 .（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立，即对恒成立 .令，则，令，则，因为在上单调递增，，，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增. 则取到最小值，所以，即在区间内单调递增，所以，所以存在实数满足题意，且最大整数的值为1 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .。

2017-2018学年江苏省苏州市昆山市高二下学期数学期中试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为．2．（5分）复平面内，复数（i是虚数单位），对应的点在象限．3．（5分）若z1=a+2i，z2=3﹣3i，（i是虚数单位）且z1?z2为纯虚数，则实数a=．4．（5分）若焦点在y轴上的椭圆的离心率e=，则m的值是．5．（5分）已知z=（i是虚数单位），则|z|=．6．（5分）函数f（x）=ax3﹣x﹣lnx在x=1处取得极值，则实数a的值为．7．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m∥n，n?α，那么m∥α；②如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m⊥β；③如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；④如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．其中正确的命题有（填写所有正确命题的序号）8．（5分）在2017年高考成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学的成绩有如下关系：甲、乙的成绩之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丙成绩之和大于甲、丁成绩之和，甲的成绩大于乙、丁成绩之和，那么四人的成绩最高的是同学．9．（5分）底面边长为2，斜高与侧棱之比为的正四棱锥的体积为．10．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r=．11．（5分）观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．12．（5分）已知函数f（x）=alnx+x2，a∈R，若f（x）在[1，e2]上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是．13．（5分）设F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为M，延长F1M与双曲线的右支相交于N，若=3，则此双曲线的离心率为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+m与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P在圆（x﹣m）2+y2=1上运动，若∠MPN恒为锐角，则实数m的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）解答时应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．16．（14分）（1）已知函数f（x）=lnx，求曲线y=f（x）在点P（1，0）处的切线方程．（2）证明不等式：lnx≤x﹣1．17．（14分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y﹣1=0对称，半径为，且圆心C在第二象限．（1）求圆C的方程．（2）若直线l在x轴、y轴上的截距相等，且与圆C相切，求直线l的方程．18．（16分）某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．19．（16分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为M、N，点P是椭圆上异于点M、N的任意一点，记直线PM、PN是斜率分别为k PM、k PN，满足k PM?k PN=﹣．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设椭圆C的左焦点为F（﹣c，0），过点F的直线AB交椭圆于A，B两点，AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O 是坐标原点，记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，求的取值范围．20．（16分）已知f1（x）=e x，f2（x）=ax2﹣2ax+b．（1）当a=1，b=﹣1时，设f（x）=，求函数y=f（x）的极值；（2）设a＞0，若对任意的m，n∈[0，1]，（m≠n），|f1（m）﹣f1（n）|＞|f2（m）﹣f2（n）|恒成立，求a的最大值；（3）设g（x）=，g′（x）为g（x）的导函数，若存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，求的取值范围．三、附加题21．用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=，（n∈N*）．22．已知函数f（x）=ln（2﹣x）+ax在区间（0，1）上是增函数．（1）求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）的单调减区间．23．过点（﹣1，0）作直线l交抛物线y2=x于不同的两点A，B，若点M满足=（+），求点M的轨迹方程．24．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD 上，以AB，AC，AP分别为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系．（1）求证：平面EFM⊥平面PAC；（2）如图直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．2017-2018学年江苏省苏州市昆山市高二下学期数学期中试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）2．（5分）复平面内，复数（i是虚数单位），对应的点在四象限．【解答】解：复数==1﹣i（i是虚数单位），对应的点（1，﹣1）在第四象限．故答案为：四．3．（5分）若z1=a+2i，z2=3﹣3i，（i是虚数单位）且z1?z2为纯虚数，则实数a=﹣2．【解答】解：∵z1=a+2i，z2=3﹣3i，∴z1?z2=（a+2i）（3﹣3i）=（3a+6）+（6﹣3a）i，∵z1?z2为纯虚数，则，即a=﹣2．故答案为：﹣2．4．（5分）若焦点在y轴上的椭圆的离心率e=，则m的值是．【解答】解：焦点在y轴上的椭圆的离心率e=，可得=，解得m=．故答案为：．5．（5分）已知z=（i是虚数单位），则|z|=．【解答】解：∵z=，∴|z|=||=．故答案为：．6．（5分）函数f（x）=ax3﹣x﹣lnx在x=1处取得极值，则实数a的值为．【解答】解：由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，可得f′（x）=3ax2﹣1﹣，∵函数f（x）=ax3﹣x﹣lnx在x=1处取得极值，∴f′（1）=3a﹣1﹣1=0∴a=，故答案为：．7．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m∥n，n?α，那么m∥α；②如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m⊥β；③如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；④如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．其中正确的命题有③（填写所有正确命题的序号）【解答】解：①如果m∥n，n?α，那么m∥α或m?α，①为假命题；②如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m∥β或m?β或m与β相交，②是假命题；③如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n，③是真命题；④如果m⊥n，m⊥α，则n∥α或n?α，又n∥β，那么α与β相交或平行，④是假命题．综上可得：只有③是真命题．故答案为：③．8．（5分）在2017年高考成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学的成绩有如下关系：甲、乙的成绩之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丙成绩之和大于甲、丁成绩之和，甲的成绩大于乙、丁成绩之和，那么四人的成绩最高的是丙同学．【解答】解：设甲、乙、丙、丁四名同学的成绩分别为a，b，c，d，根据题意，得：，∴，∴四人的成绩最高的是丙．故答案为：丙．9．（5分）底面边长为2，斜高与侧棱之比为的正四棱锥的体积为．【解答】解：如图，正四棱锥的底面边长为2，斜高与侧棱之比为，设四棱锥的高为h，过底面中心O作OG⊥BC，则斜高PG=，侧棱长为，由题意可得，即h=．∴该正四棱锥的体积为V=．故答案为：．10．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r=．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为（S1+S2+S3+S4）r∴r=．故答案为：．11．（5分）观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．【解答】解：观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．综上，第n个等式为．故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）=alnx+x2，a∈R，若f（x）在[1，e2]上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e4]∪．【解答】解：f（1）=1，f（e2）=2a+e4．f′（x）=+2x，（x∈[1，e2]）．①a≥0时，f′（x）＞0，则函数f（x）在x∈[1，e2]内单调递增，而f（1）=1，则此时函数f（x）无零点，舍去．②a＜0时，f′（x）=，可得函数f（x）在（0，）内单调递减；在内单调递增．当≤1，即﹣2≤a＜0时，此时函数f（x）在[1，e2]内单调递增，而f（1）=1，则此时函数f（x）无零点，舍去．当≥e2，即a≤﹣e4时，此时函数f（x）在[1，e2]内单调递减，而f（1）=1，只需要f（e2）=2a+e4≤0，即a≤﹣e4时，此时函数f（x）有且只有一个零点．当1＜＜e2，即﹣e2＜a＜﹣2时，此时函数f（x）在[1，）内单调递减，在内单调递增．f（x）在[1，e2]上有且只有一个零点，而f（1）=1．∴，化为，解得≤a＜﹣2．综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e4]∪．故答案为：（﹣∞，﹣e4]∪．13．（5分）设F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为M，延长F1M与双曲线的右支相交于N，若=3，则此双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线=1（a，b＞0），一条渐近线方程为bx﹣ay=0，设F1（﹣c，0），可得|F1M|==b，若=3，则|MN|=3b，即|NF1|=|F1M|+|MN|=4b，在直角三角形MF1O中，|OF1|=c，cos∠F2F1M=，由双曲线的定义可得|NF2|=|NF1|﹣2a=4b﹣2a，在△NF1F2中，=，即有16b2=4c2+16b2﹣（4b﹣2a）2，即2c=4b﹣2a，可得2b=a+c=2，化为3c2﹣2ac﹣5a2=0，即有（c+a）（3c﹣5a）=0，可得3c=5a，即有e==，故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+m与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P在圆（x﹣m）2+y2=1上运动，若∠MPN恒为锐角，则实数m的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）．【解答】解：设以MN为直径的圆的圆心为A，则M（﹣m，0），N（0，m），所以中点A（﹣，）；半径为：|m|圆（x﹣m）2+y2=1，圆的圆心（m，0），半径为：1．点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，所以两圆外离，所以（m+）2+（）2＞，解得，|m|＞，即m或m，所以m的取值范围是：（﹣∞，）∪（，+∞）．当M、N、P共线时若∠MPN的夹角为0，所以不成立．故答案为：（﹣∞，）∪（，+∞）．二、解答题（共6小题，满分90分）解答时应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）在ABC﹣A1B1C1的直棱柱中，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1?平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F?平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D?平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F?平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．16．（14分）（1）已知函数f（x）=lnx，求曲线y=f（x）在点P（1，0）处的切线方程．（2）证明不等式：lnx≤x﹣1．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx的导数为f′（x）=，可得曲线y=f（x）在点P（1，0）处的切线斜率为1，则曲线y=f（x）在点P（1，0）处的切线方程为y﹣0=x﹣1，即为x﹣y﹣1=0；（2）证明：设g（x）=lnx﹣x+1，x＞0，可得g′（x）=﹣1=，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增，即有g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值0，可得g（x）≤0，即lnx≤x﹣1．17．（14分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y﹣1=0对称，半径为，且圆心C在第二象限．（1）求圆C的方程．（2）若直线l在x轴、y轴上的截距相等，且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（1）圆的标准方程形式为（x+）2+（y+）2=，则圆心坐标为（﹣，﹣），半径的平方为=2，∵圆关于直线x+y﹣1=0对称，∴﹣﹣﹣1=0，即D+E+2=0，且D2+E2=20，得E=2，D=﹣4或E=﹣4，D=2，∵圆心C在第二象限．∴﹣＜0，﹣＞0，得D＞0，E＜0，即E=﹣4，D=2，则圆的方程为x2+y2+2x﹣4y+3=0．（2）圆心坐标为C（﹣1，2），半径r=，若直线l在x轴、y轴上的截距相等，且与圆C相切，当直线经过原点，这设直线方程为y=kx，则直线和圆相切，则圆心到直线的距离d=r，d==，得k2﹣4k﹣2=0得k===2±，若直线不过原点，设直线方程为x+y=a，即x+y﹣a=0，则圆心到直线的距离d==，得a=3或a=﹣1，综上满足条件的直线方程为y=（2±）x或x+y﹣3=0或x+y+1=0．18．（16分）某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．【解答】解：（1）由题意，AC=100cosθ，直径AB为100米，∴半径为50米，圆心角为2θ，∴=100θ，∴绿化带总长度S（θ）=200cosθ+100θ（θ∈（0，）；（2）∵S（θ）=200cosθ+100θ，∴S′（θ）=﹣200sinθ+100，令S′（θ）=0，可得θ=．函数在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴θ=时，绿化带总长度最大．19．（16分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为M、N，点P是椭圆上异于点M、N的任意一点，记直线PM、PN是斜率分别为k PM、k PN，满足k PM?k PN=﹣．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设椭圆C的左焦点为F（﹣c，0），过点F的直线AB交椭圆于A，B两点，AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O 是坐标原点，记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x0，y0），则，即=﹣，则k PM?k PN=?=﹣，则=，则椭圆的离心率e===，∴椭圆的离心率e=；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a=2c，b=c，则椭圆方程：，根据条件直线AB的斜率一定存在且不为0，设直线AB的方程为y=k（x+c），A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y并整理得（4k2+3）x2+8ck2x+4k2c2﹣12c2=0，x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2+2c）=，则G（﹣，），因为DG⊥AB，则?k0=﹣1，可得x D=﹣，由Rt△FGD与△EOD相似，所以===9+＞9，令=t，则t＞9，则=＜＜，∴的取值范围是（0，）．20．（16分）已知f1（x）=e x，f2（x）=ax2﹣2ax+b．（1）当a=1，b=﹣1时，设f（x）=，求函数y=f（x）的极值；（2）设a＞0，若对任意的m，n∈[0，1]，（m≠n），|f1（m）﹣f1（n）|＞|f2（m）﹣f2（n）|恒成立，求a的最大值；（3）设g（x）=，g′（x）为g（x）的导函数，若存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，求的取值范围．【解答】解：（1）由题目可知，，则有，注意到恒成立，故借助二次函数的图象就直接得到，当x＜1时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，当1＜x＜3时，f'（x）＞0，f（x）在（1，3）上单调递增，当x＞3时，f'（x）＜0，f（x）在（3，+∞）上单调递减，故当x=1时，函数f（x）有极小值，为，当x=3时，函数f（x）有极大值，为；（2）不妨设m＞n，则函数f1（x）在区间[0，1]上单调递增，故f1（m）﹣f1（n）＞0，又，对称轴是x=1，开口向上，故函数f2（x）在区间[0，1]上单调递减，故f2（m）﹣f2（n）＜0，这样对任意的m，n∈[0，1]（m＞n），|f1（m）﹣f1（n）|＞|f2（m）﹣f2（n）|恒成立，就可以转化为f1（m）﹣f1（n）＞f2（m）﹣f2（n）恒成立，即f1（m）+f2（m）＞f1（n）+f2（n）恒成立，令，则到此的题意相当于已知m＞n时，h （m）＞h（n），故函数h（x）在区间[0，1]上单调递增，故h'（x）≥0在区间[0，1]上恒成立；即h'（x）=e x+2ax﹣2a≥0在区间[0，1]上恒成立；即2a（1﹣x）≤e x恒成立，这里我们使用倒数法分离参数得到，在区间[0，1]上恒成立；再令，即需要求p（x）max，，容易看出，当x∈[0，1]时，p'（x）＜0恒成立，故p（x）在区间[0，1]上单调递减，则p（x）max=p（0）=1，故，又a＞0，故解得0＜a≤1．故a的最大值为1．（3），则其中[e x（ax2﹣2ax+b）]'=e x（ax2+b﹣2a），所以g（x）+g'（x）=0，即转化为，即，即2ax3﹣3ax2+2bx﹣b=0，即方程在x＞1时有解，令，则的取值范围即函数h（x）的值域；，其中4x2﹣6x+3＞0恒成立，当x＞1时必有h'（x）＜0恒成立，即函数h（x）在区间（1，+∞）上单调递减，故h（x）＜h（1）=1故的取值范围是（﹣∞，1）．三、附加题21．用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=，（n∈N*）．【解答】证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=×1×（1+1）×（2+1）=1，即原式成立，（2）假设当n=k时，原式成立，即12+22+32+…+k2=k（k+1）（2k+1），当n=k+1时，12+22+32+…+（k+1）2=k（k+1）（2k+1）+（k+1）2=（k+1）（k+2）（2k+3），即原式成立，根据（1）和（2）可知等式对任意正整数n都成立，∴12+22+32+…+n2=（n+1）（2n+1）．22．已知函数f（x）=ln（2﹣x）+ax在区间（0，1）上是增函数．（1）求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）的单调减区间．【解答】解：（1）f′（x）=+a，若f（x）在（0，1）递增，则a＞在（0，1）恒成立，而y=在（0，1）递增，故y=＜1，故a≥1；（2）∵数f（x）=ln（2﹣x）+ax的定义域为（﹣∞，2）当a=1时，f′（x）=+1=，∴当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，故f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减23．过点（﹣1，0）作直线l交抛物线y2=x于不同的两点A，B，若点M满足=（+），求点M的轨迹方程．【解答】解：将y=k（x+1）代入y2=x，整理得k2x2+（2k2﹣1）+k2=0，∵动直线l与抛物线C交于不同两点A、B，∴k≠0且△＞0，即解得：﹣＜k＜且k≠0．设A（x1，y2），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=1．=（+）=（x1，y1+（x2，y2）=（x1+x2，y1+y2）=（x1+x2，k（x1+x2+2）=（，）．设M（x，y），则消去k得：y2=x+．又由﹣＜k＜且k≠0得：0＜k2＜，＞2，∴x=＞1，∴点M的轨迹方程为y2=x+（x＞1）．24．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD 上，以AB，AC，AP分别为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系．（1）求证：平面EFM⊥平面PAC；（2）如图直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，∴PA⊥EF，又AB⊥AC，EF∥AB，∴EF⊥AC，而PA∩AC=A，∴EF⊥平面PAC，∵EF?平面EFM，∴平面EFM⊥平面PAC；（2）解：设AB=PA=AC=2，则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），再设，则，，设平面PBC的一个法向量为．由，取z=1，可得；平面ABCD的一个法向量为．∵直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，∴|cos＜＞|=|cos＜＞|，即||=||，则，解得．∴的值为．赠送—高中数学知识点第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。