2019年最新题库 杭州二中高一年级期终考试数学试卷

2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 在等比数列中，若，，则的值为（）A. B. ___________________________________ C.D.2. 在中，已知，则等于（）A． B. _________________________________ C.D.3. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则实数的值是（）A. _______________________B. ____________________________C.或____________________________ D. 或4. 在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（）A. ________________________B. ______________________C.______________________ D.5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A．____________________ B. ______________ C.___________ D.6. 若，则一定有（）A. _________________________________B.____________________________ C．______________________________ D.7. 直线分别交轴和轴于两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是（）A. ___________________________________B._________________________________ C. ______________________________ D.8. 已知是上的奇函数,数列满足,则数列的通项公式为（）A. ________________________B. ________________________C.________________________ D.二、填空题9. 已知直线，直线；若直线的倾斜角为，则______________ ，若，则______________ .10. 若规定，则______________ ，不等式的解集为______________ .11. 已知数列是等比数列，是其前项的和，若，，则___________ ，______________ .12. 在中，内角的对边分别为，已知， ,，则______________ ，边______________ .13. 若是等差数列的前项和，且，则______________ .14. 在中，内角的对边分别为，已知，则角______________ .15. 设数列满足：，则的前项的和为______________ .三、解答题16. 已知直线 .（Ⅰ ）证明：直线过定点；（Ⅱ ）若直线与直线平行，求的值并求此时两直线间的距离.17. 在中内角的对边分别为，已知．（Ⅰ ）求角的大小；（Ⅱ ）求的取值范围．18. 已知等差数列的前项和为，，，是递减的等比数列，且， .（Ⅰ ）求，；（Ⅱ ）求数列的前项和 .19. 已知不等式 .（Ⅰ ）若不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ ）若存在实数使得该不等式成立，求实数的取值范围.20. 已知数列的前项和为，且，数列满足.（Ⅰ ）求数列、的通项公式；（Ⅱ ）数列满足，记，求使恒成立的实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。

杭州二中第一学期高一年级期中考试数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分， 满分100 分，考试时间 90 分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答卷．．相应空格中） 1. 满足{}1,1{1,0,1}A-=-的集合A 共有（ ）A.2个B. 4个C. 8个D. 16个2. 三个数20.520.5,log 0.5,2a b c ===之间的大小关系是 （ ） A ．a c b << B. b c a << C. b a c << D. a b c <<3. 下列函数中是偶函数的是 ( ) A .3y x=-B.]3,3(,22-∈+=x x yC.x y 2log =D.2-=x y 4. 已知⎩⎨⎧>-<+=0404)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为（ ）A ．－2B ．2C ．－3D ．35. 已知函数()833-+=x x f x，用二分法求方程()33801,3x x x +-=∈在内近似解的过程中，取区间中点02x =，那么下一个有根区间为 ( ) A ．（1,2） B ．（2,3） C ．（1,2）或（2,3）都可以 D ．不能确定6. 函数y =）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞ C ．(,1]-∞ D ．2(,1]37. 已知()f x 为R 上奇函数，当0x ≥时,2()2f x x x =+，则当0x <时，()f x =( ).A.22x x - B. 22x x -+ C. 22x x + D. 22x x -- 8. 甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度1v 与2v （1v ＜2v ）.甲前一半的路程使用速度1v ，后一半的路程使用速度2v ；乙前一半的时间使用速度1v ，后一半时间使用速度2v .关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析（其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程，C 是AB 的中点），则其中可能正确的图示分析为 （ ）A .（1） B. （2） C.（3） D . （4） 9. 已知函数(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩满足:对任意实数21,x x ,当12x x <时,总有12()()0f x f x ->,那么实数a 的取值范围是 （ ）A ． [11,)73B ． 1(0,)3C ．11(,)73D ．[1,1)710. 定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -．已知函数||2x y =的定义域为[],a b ，值域为[]1,2，记区间[],a b 的最大长度为m , 最小长度为n ．则函数)2()(n x m x g x +-=的零点个数是 （ ）A ．1B ．2C ．0D ．3二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分 ．把答案填在答卷中相应横线上） 11.函数2y =的值域是 ▲ . 12. 已知集合{}{222,,M y y x x x R N x y ==-++∈==，那么集合MN为 ▲ .13. 设函数2 0()() 0.x x f x g x x ⎧<=⎨>⎩，，， ，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是 ▲ .14. 方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的范围是 ▲ .15. 已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是 ▲ .16. 定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如，121*=，则函数2()(1)f x x x =*-的最大值为▲ . 17. 下列说法：①函数()212log 23y x x =--的单调增区间是(),1-∞；②若函数()y f x =定义域为R 且满足()()11f x f x -=+，则它的图象关于y 轴对称；③函数()()1||xf x x R x =∈+的值域为(1,1)-；④函数2|3|y x =-的图象和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值可能是0,2,3,4；⑤若函数2()25(1)f x x ax a =-+>在[]1,3x ∈上有零点，则实数a 的取值范围是,3].其中正确的序号是 ▲ .杭州二中第一学期高一年级期中考试数学答题卷 一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11. . 12. . 13. . 14. .15. . 16. . 17. .三、解答题（本大题共4小题，共39分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 18. ( 本小题满分8分）(Ⅰ) 计算：2213log lg14812lg1)27100-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（Ⅱ）已知11223x x -+=，求22123x x x x --+-+-的值.19. （本小题满分8分）若集合2{|log (2)2,01}a A x x x a a =--<>≠且，（Ⅰ）若2=a ，求集合A ；（Ⅱ）若3A ∈，求实数a 的取值范围．20. （本小题满分11分）已知函数4()nf x x x=-，且(4)3f =. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）判断()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若在区间[1,3]上，不等式()221f x x m >++恒成立，试确定实数m 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知幂函数(2)(1)(),k k f x xk Z -+=∈，且()f x 在()0,+∞上单调递增.（Ⅰ）求实数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；（II ）若()2()43F x f x x =-+在区间[2,1]a a +上不单调．．．，求实数a 的取值范围； （III ）试判断是否存在正数q ，使函数()1()(21)g x qf x q x =-+-在区间[1,2]-上的值域为17[4,]8-. 若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由.杭州二中第一学期高一年级期中考试数学答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11. [02]，. 12. []3,2- . 13. 14-. 14. 5[2,)2.15. 12{|}33x x <<. 16. 32. 17. ③ ④ ⑤.三、解答题（本大题共4小题，共39分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）18. ( 本小题满分8分）(Ⅰ) 2213log lg1481192lg1)2132710044-⎛⎫-++=--+=- ⎪⎝⎭（Ⅱ）已知11223x x -+=，求22123x x x x --+-+-的值. 解：∵11223x x-+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=， ∴2212472453734x x x x --+--==+--19.（本小题满分8分）若集合2{|log (2)2,01}a A x x x a a =--<>≠且，（Ⅰ）若2=a ，求集合A ；（Ⅱ）若3A ∈，求实数a 的取值范围．解:（Ⅰ）若2=a ，22log (2)2x x --<，则2024x x <--<得21x -<<-或 23x <<所以{|2123}A x x x =-<<-<<或（Ⅱ）因为3A ∈，所以2log (332)2a --<，log 42a <，当1a >时，24a >，2a ∴>；当01a <<时，24a <，∴01a << 所以实数a 的取值范围是(0,1)(2,)+∞. 本小题满分11分）已知函数4()nf x x x=-，且(4)3f =. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）判断()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若在区间[1,3]上，不等式()221f x x m >++恒成立，试确定实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）由(4)3f =得： 1n =()(),00,-∞+∞∴函数()f x 在()(),00,-∞+∞上为奇函数。

高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={0，1}，则下列关系式中，正确的是（）A. {0}∈MB. {0}∉MC. 0∈MD. 0⊆M2.下列函数中与y=x表示同一个函数的是（）A. y=log22xB. y=2log2xC. y=√x2D. y=(√x)23.幂函数f（x）的图象过点（27，3），则f（8）=（）A. 8B. 6C. 4D. 24.已知f（x）={x−4x>0x+4x<0，则f[f（-3）]的值为（）A. 3B. 2C. −2D. −35.三个数a=0.52，b=log20.5，c=20.5的大小关系是（）A. a<c<bB. b<c<aC. a<b<cD. b<a<c6.函数f（x）=e x+x-4的零点所在的区间为（）A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)7.函数y=ln|x|x的图象大致是（）A. B.C. D.8.设函数f（x）=min{|x-2|，x2，|x+2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小值．下列说法正确的是（）A. 函数f(x)为奇函数B. 函数f(x)既是奇函数又是偶函数C. 函数f(x)为偶函数D. 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数9.函数f（x）=xx−a，（a∈R），若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,1]B. (0,1]C. (0,+∞)D. [1,+∞)10.已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2-x），则f（x）的最小值为（）A. −94B. −3516C. −2D. 0二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.432=______，lg4+lg25=______．12.函数f（x）=a x-1-2（a＞0且a≠1）恒过定点______，f（x）的值域为______．13.设f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1og2（x+2）．则f（0）=______，14. 函数f （x ）={2x 2,x >1−x 2+kx,x≤1，若f （1）=2，则k =______，若对任意的x 1，x 2，（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））≥0恒成立，则实数k 的范围______．15. 函数f （x ）=x 3，若f （a -2）+f （4+3a ）＜0，则实数a 的取值范围为______．16. 函数f （x ）={2x ,x ≥1−6x+5,x<1，若存在x 1＜x 2，使得f （x 1）=f （x 2），则x 1•f （x 1）的最大值为______．17. 设函数f （x ）=|x -1|在x ∈[t ，t +4]（t ∈R ）上的最大值为M （t ），则M （t ）的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知全集为R ，集合P ={x |2a ≤x ≤2a +3}，Q ={x |-2≤x ≤5}．（Ⅰ）若a =32，求P ∪Q ，（∁R P ）∩Q ；（Ⅱ）若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．19. 已知函数f （x ）=2ax 2+1x （a ∈R ）．（Ⅰ）若f （1）=2，求函数y =f （x ）-2x 在[12，2]上的值域；（Ⅱ）当a ∈（0，12）时，试判断f （x ）在（0，1]上的单调性，并用定义证明你的结论．20. 已知函数f （x ）=lg 1−ax x−1的图象关于原点对称，其中a 为常数．（Ⅰ）求a 的值，并求出f （x ）的定义域（Ⅱ）关于x 的方程f （2x ）+21g （2x -1）=a 在x ∈[12，32]有实数解，求a 的取值范围．21.设函数f（x）=x2+（2a+1）x+a2+3a（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在[0，2]上单调，求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在闭区间[m，n]上单调递增（其中m≠n），且{y|y=f（x），m≤x≤n}=[m，n]，求a的取值范围．22.已知函数f（x）=x|x-a|+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=-1时，函数f（x）恰有两个不同的零点，求实数a的值；（Ⅱ）当b=1时，①若对于任意x∈[1，3]，恒有f（x）≤2x2，求a的取值范围；②若a≥2，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值g（a）．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合M={0，1}，∴{0}⊊M，0∈M．故A，B，D都错误，C正确．故选：C．利用元素与集合、集合与集合的关系直接求解．本题考查命题真假的判断，考查元素与集合、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】A【解析】解：对A，y==x，定义域为x∈R，与已知函数定义域，对应法则相同，故A正确，对B，函数y=的定义域为x＞0，与函数的定义域不同，∴B错误；对C，y==|x|，与函数对应法则不同，∴C错误；对D，函数y=（）2，的定义域为x＞0，与函数的定义域不同，∴D错误．故选：A．根据两个函数为同一函数，其定义域和对应法则完全相同，依次验证可得答案．本题考查了如何判断两个函数是否为同一函数．3.【答案】D【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R，其图象过点（27，3），∴27α=3，解得α=，∴f（x）=；∴f（8）==2．故选：D．用待定系数法求出幂函数y=f（x）的解析式，再计算f（8）的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由题意可得：f（x）=，所以f（-3）=-3+4=1，所以f（1）=1-4=-3，所以f[f（-3）]=f（1）=-3．故选：D．由题意可得函数的解析式，结合函数的解析式的特征要计算f[f（-3）]，必须先计算f（-3）进而即可得到答案．解决此类问题的关键是熟悉解析式特征与所求不等式的结构，此类题目一般出现在选择题或填空题中，属于基础题型．5.【答案】D【解析】解：∵0＜a=0.52＜1，b=log20.5＜log21=0，c=20.5＞20=1，∴b＜a＜c故选：D．利用对数函数与指数函数的性质，将a，b，c与0和1比较即可．本题考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵f（1）=e-3＜0，f（2）=e2-2＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴有一个零点x0∈（1，2）．又函数f（x）单调递增，因此只有一个零点．利用函数零点的判定定理、函数的单调性即可判断出结论．本题考查了函数零点的判定定理、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：∵y=f（-x）==-f（x），∴y=f（x）=为奇函数，∴y=f（x）的图象关于原点成中心对称，可排除B；又x＞0时，f（x）=，f′（x）=，∴x＞e时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上单调递减，0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上单调递增，故可排除A，D，而C满足题意．故选：C．利用函数的奇偶性可排除B，再通过导数研究函数的单调性进一步排除，即可得到答案．本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性与单调性，着重考查导数的应用，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，在同一直角坐标系中画出y=|x-2|，y=x2，y=|x+2|的图象：则有f（x）=，显然f（-x）=f（x），可得f（x）为偶函数；在同一直角坐标系中画出y=|x-2|，y=x2，y=|x+2|，求得f（x）的解析式，结合图象可得奇偶性，即可得答案．本题考查分段函数的图象和性质，考查图象变换及性质，运用数形结合思想方法是解题的关键，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵f（x）==1+，（a∈R），函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴f′（x）=-＜0，在（1，+∞）恒成立，∴a＜0，故选：C．据题意，已知f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，即f′（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立，对于恒成立往往是把字母变量放在一边即参变量分离，另一边转化为求函数在定义域下的最值，即可求解本题主要考查了根据函数单调性求参数范围的问题，属于基础题10.【答案】A【解析】解：∵f（x）=f（2-x），∴f（0）=f（2），f（-1）=f（3），即0=6（4+2a+b），0=12（9+3a+b），解得，a=-5，b=6；故f（x）=（x2+x）（x2-5x+6），令f′（x）=（2x+1）（x2-5x+6）+（x2+x）（2x-5）=（x-1）（2x2-4x-3）=0，解得，x=1或x=1+或x=1-；由函数的对称性知，当x=1+或x=1-时，函数f（x）都可以取到最小值f（1+）=-，故选：A．的极值，从而求最小值．本题考查了导数的综合应用及学生的化简运算能力，属于中档题．11.【答案】8 2【解析】解：=（22）=23=8；lg4+lg25=lg100=2．故答案为：8，2．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数、对数的性质、运算法则化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】（1，-1）（-2，+∞）【解析】解：由x-1=0得x=1，此时f（1）=a0-2=1-2=-1，即函数过定点（1，-1），∵a x-1＞0，∴a x-1-2＞2，∴f（x）的值域为（-2，+∞）故答案为：（1，-1），（-2，+∞）根据指数函数的性质进行求解即可．本题主要考查指数函数过定点问题以及函数的值域，利用指数幂等于0是解决本题的关键．13.【答案】0 -1og2（-x+2）【解析】解：根据题意，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）=0，设x＜0，则-x＞0，则f（-x）=1og2（-x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（x）=-f（-x）=-1og2（-x+2），故答案为：0，-1og2（-x+2）．根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，设x＜0，则-x＞0，由函数的解析式可得f（-x）=1og2（-x+2），结合函数的奇偶性变形可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数的定义域，属于基础题．14.【答案】3 [2，3]【解析】解：根据题意，函数f（x）=，若f（1）=2，则f（1）=-1+k=2，解可得k=3；若对任意的x1，x2，（x1-x2）（f（x1）-f（x2））≥0恒成立，则函数f（x）为R上的增函数，则有，解可得2≤k≤3，则k的取值范围为[2，3]；故答案为：3，[2，3]．根据题意，由函数的解析式可得f（1）=-1+k=2，解可得k的值；结合函数单调性的定义分析可得函数f（x）为R上的增函数，则有≥1，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数解析式的计算以及单调性的性质，注意分析（x1-x2）（f（x1）-f（x2））≥0恒成立的含义．15.【答案】（-∞，-1）2【解析】解：根据题意，函数f（x）=x3，则f（x）为奇函数且在R上为增函数，若f（a-2）+f（4+3a）＜0⇒f（a-2）＜-f（4+3a）⇒f（a-2）＜f（-4-3a）⇒a-2＜-4-3a，解可得：a＜-，即a的取值范围为：（-∞，-）；故答案为：（-∞，-）．根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，则f（a-2）+f（4+3a）＜0⇒f（a-2）＜-f（4+3a）⇒f（a-2）＜f（-4-3a）⇒a-2＜-4-3a，解可得a的取值范围，即本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键．16.【答案】2524【解析】解：由于f（x）在x＜1递减，x＞1递增，存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），可得5-6x1=2x2＞0，可得x1＜，x1•f（x1）=x1（5-6x1）≤6•（）2=，当且仅当x1=时，上式取得等号，即x1•f（x1）的最大值为，故答案为：．由f（x）的解析式可得5-6x1=2x2＞0，可得x1＜，x1•f（x1）=x1（5-6x1），运用基本不等式即可得到所求最大值．本题考查分段函数的运用：求最值，考查基本不等式的运用，以及变形能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】2【解析】解：作出函数f（x）=|x-1|的图象，当t+4≤1即t≤-3时，f（x）在[t，t+4]递减，可得最大值M（t）=f（t）=|t-1|=1-t，由M（t）在t≤-3递减，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t≥1时，f（x）在[t，t+4]递增，可得最大值M（t）=f（t+4）=|t+3|=t+3，由M（t）在t≥1递增，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t ＜1＜t+4，即-3＜t ＜1时，f （x ）在（t ，1）递减，在（1，t+4）递增， 可得f （x ）的最小值为0； 当t=-1时，f （t ）=f （t+4）=2；当-1＜t ＜1时，f （t ）＜f （t+4），f （x ）的最大值M （t ）=f （t+4）=t+3，且M （t ）∈（2，4）； 当-3＜t ＜-1时，f （t ）＞f （t+4），f （x ）的最大值M （t ）=f （t ）=1-t ，且M （t ）∈（2，4）； 综上可得M （t ）的最小值为2． 故答案为：2．画出f （x ）的图象，讨论对称轴x=1与区间[t ，t+4]的关系，结合单调性可得最小值．本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想和数形结合思想，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）a =32时，P ={x |3≤x ≤6}，∁R P ={x |x ＜3或x ＞6}∴P ∪Q ={x |-2≤x ≤6}，（∁R P ）∩Q ={x |-2≤x ＜3}； （Ⅱ）∵P ⊆Q ，∴{2a +3≤52a≥−2，∴-1≤a ≤1， ∴实数a 的取值范围为[-1，1]． 【解析】（Ⅰ）先简化集合P ，然后根据交并补的定义得结果； （Ⅱ）由P ⊆Q ，得，得-1≤a≤1．本题考查了集合的基本运算，考查了集合的包含关系应用，集合关系中的参数问题，转化为等价的不等式组是关键．19.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，函数f （x ）=2ax 2+1x ，若f （1）=2，则2a+11=2，解可得a =12，则f （x ）=x 2+1x=x +1x ，则y =f （x ）-2x =1x -x ，设g （x ）=1x -x ，分析易得g （x ）在[12，2]上为减函数， 且g （12）=2-12=32，g （2）=12-2=-32； 故y =f （x ）-2x 在[12，2]上的值域为[-32，32]；（Ⅱ）f （x ）=2ax 2+1x=2ax +1x ，当a ∈（0，12）时，在（0，1]上为减函数，证明：设0＜x 1＜x 2≤1，f （x 1）-f （x 2）=（2ax 1+1x 1）-（2ax 2+1x 2）=（2ax 1x 2-1）•(x 1−x 2)x 1x 2，又由a ∈（0，12）且0＜x 1＜x 2≤1， 则（x 1-x 2）＜0，（2ax 1x 2-1）＜0， 则f （x 1）-f （x 2）＞0，即函数f （x ）在（0，1]上为减函数． 【解析】（Ⅰ）根据题意，由f （1）=2可得=2，解可得a 的值，即可得y=f （x ）-2x 的解析式，设g （x ）=-x ，分析易得g （x ）在[，2]上为减函数，据此分析函数g（x ）的最值，即可得答案；（Ⅱ）设0＜x 1＜x 2≤1，由作差法分析可得答案．本题考查函数的单调性的判定方法，涉及函数值域的计算，属于基础题． 20.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=lg 1−axx−1的图象关于原点对称，∴函数f （x ）=lg 1−axx−1为奇函数，即f （-x ）+f （x ）=0， ∴lg 1+ax−x−1+lg 1−ax x−1=0，且a ≠1∴lg (1+ax)(1−ax)(1−x)(1+x)=0，∴(1+ax)(1−ax)(1−x)(1+x)=1，整理可得，（a 2-1）x 2=0恒成立， ∴a =1（舍）或a =-1，f （x ）=lg 1+xx−1， 由1+xx−1＞可得，x ＜-1或x ＞1，即函数的定义域（-∞，-1）∪（1，+∞）， （Ⅱ）设2x =t ，则t ∈[√2，2√2]，∵关于x 的方程f （2x ）+21g （2x -1）=a 在x ∈[12，32]有实数解， ∴lg2x +12x −1+21g （2x -1）=lg （2x +1）（2x -1）=lg （22x -1）=a 在x ∈[12，32]有实数解，设u =22x -1，则u （x ）为增函数，y =lg u 为增函数， ∴y =lg （22x -1）在[12，32]上为增函数， ∴0≤y ≤lg7，∴a ∈[0，lg7]． 【解析】（Ⅰ）根据奇函数的定义即可求出a 的值，根据对数函数的解析式，即可求出函数的定义域，（Ⅱ）关于x 的方程f （2x ）+21g （2x -1）=a 在x ∈[，]有实数解，转化为lg （22x -1）=a 在x ∈[，]有实数解，根据函数的单调性，求出y=lg （22x -1）的值域即可求出a 的范围本题考查了函数的奇偶性，函数的解析式的求法，对数的运算性质，复合函数的单调性，函数的最值，属于中档题 21.【答案】解：（Ⅰ）当-2a+12≤0，即a ≥-12时，f （x ）在[0，2]上单调递增，当-2a+12≥2，即a ≤−52时，f （x ）在[0，2]上单调递减；综上所述：a 的取值范围是（-∞，−52]∪[-12，+∞） （Ⅱ）因为f （x ）在[m ，n ]上递增，则满足 {−2a+12≤m f(m)=m f(n)=n， 即方程f （x ）=x 在[-2a+12，+∞）上有两个不相等的实数根，设F （x ）=f （x ）-x =x 2+2ax +a 2+3a ，则{△=4a 2−4a 2−12a ＞0−a ＞−2a+12F(−2a+12)≥0，则-112≤a ＜0， 综上所述：实数a 的取值范围是[-112，0） 【解析】（Ⅰ）二次函数的对称轴x=-≤0或x=-≥2可解得a或x；（Ⅱ）问题转化为方程f （x ）=x 在[-，+∞）上有两个不相等的实数根，然后构造函数G （x ）=f （x ）-x ，利用二次函数的图象列式可解得． 本题考查了二次函数的图象与性质，属中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当b =-1时，f （x ）=x |x -a |-x =x （|x -a |-1），由f （x ）=0，解得x =0或|x -a |=1，由|x -a |=1，解得x =a +1或x =a -1．由f （x ）恰有两个不同的零点且a +1≠a -1，可得a +1=0或a -1=0，得a =±1； （Ⅱ）当b =1时，f （x ）=x |x -a |+x ，①对于任意x ∈[1，3]，恒有f （x ）≤2x 2， 即|x -a |+1≤2x ，即|x -a |≤2x -1，即有1-2x ≤x -a ≤2x -1，即1-x ≤-a ≤x -1， x ∈[1，3]时，1-x ∈[-2，0]，x -1∈[0，2]， 可得0≤-a ≤0，即a =0；②f （x ）={x 2−ax +x,x >a −x 2+ax+x,x≤a={−(x −a+12)2+(a+1)24，x ≤a (x −a−12)2−(a−1)24，x ＞a． 当2≤a ＜3时，a−12＜a+12＜2≤a ，这时y =f （x ）在[0，a+12]上单调递增，在[a+12，2]上单调递减，此时g （a ）=f （a+12）=(a+1)24；当a ≥3时，a+12≥2，y =f （x ）在[0，2]上单调递增，此时g （a ）=f （2）=2a -2．综上所述，g （a ）={(a+1)24，2≤a ＜32a −2，a ≥3．【解析】（Ⅰ）求得b=-1时，f （x ）的解析式，由f （x ）=0，解方程即可得到所求a 的值； （Ⅱ）当b=1时，f （x ）=x|x-a|+x ，①由题意可得|x-a|+1≤2x ，即|x-a|≤2x -1，即有1-2x≤x -a≤2x -1，即1-x≤-a≤x -1，由x 的范围，结合恒成立思想可得a 的范围；②求得f （x ）的分段函数形式，讨论2≤a ＜3时，f （x ）的单调性和最值，即可得到所求最大值．本题考查函数零点的判定，考查恒成立问题的求解方法，体现了数学转化、分类讨论等数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．。

2019学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高一年级数学学科 试题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案.） 1.已知{(,)|3}{(,)|1}A x y x y B x y x y =+==-=，，则A B ⋂=（ ） A. {}2,1 B. {}2,1x y == C. {}(2,1) D. (2,1)【答案】C试题分析：{}32{(,)|{}{(,)|{}(2,1)11x y x A B x y x y x y y +==⋂===-==.故选C ．考点：集合运算． 2.已知函数2-2()(1)x 1xf x x =>+，则它的值域为（ ）A. ()0+∞，B. (),0-∞C. ()-10，D. ()2,0-【答案】D 【分析】化简得到4()2(1)1f x x x =-+>+，设1(2)t x t =+>，再求出4(0,2)t y =∈得到答案. 【详解】222(1)44()=2(1)111x x f x x x x x --++==-+>+++ 设1(2)t x t =+>，易知：4(0,2)ty =∈故4()2(1)1f x x x =-+>+的值域为：()2,0- 故选：D【点睛】本题考查了函数的值域，分离常数是常用的技巧，需要灵活掌握. 3.设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中元素共有 （ ） A. 3个 B. 4个C. 5个D. 6个【答案】A试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ． 考点：集合的运算．4.为了得到函数2log (22)y x =+的图像，只需把函数2log y x =的图像上所有的点（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】A 【分析】通过函数的平移法则依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到2log (22)y x =+，正确；B. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到2log (44)y x =-，错误；C. 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到2log (24)y x =+，错误；D. 向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到2log (48)y x =-，错误. 故选：A【点睛】本题考查了函数的平移，熟练掌握函数平移法则是解题的关键.5.设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则当0x <时，()f x =（ ） A. -221x x ++B. --221x x ++C. -2-2-1x xD.--2-2-1x x【答案】B【分析】通过(0)0f =解得1b =-，设0x <，则0x ->，代入函数化简得到答案.【详解】函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则0(0)2001f b b =++=\=-设0x <，则0x ->，()221xf x x ---=-()()221x f x f x x -=--=-++故选：B【点睛】本题考查了通过函数的奇偶性计算函数表达式，通过(0)0f =解得1b =-是解题的关键.6.设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A. B. C. D.【答案】B 【分析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选：B【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 7.下列关于,x y 的关系式中，y 可以表示为x 的函数关系式的是（ ）A. 221x y +=B. ||||1x y +=C. 321x y +=D.231x y +=【答案】D 【分析】依次判断每个选项是否满足函数关系式得到答案.【详解】A. 221x y +=，当0x =时，1y =±，不满足函数关系式； B. ||||1x y +=，当0x =时，1y =±，不满足函数关系式； C. 321x y +=，当0x =时，1y =±，不满足函数关系式；D. 231x y +=，y =. 故选：D【点睛】本题考查了函数关系式，通过特殊值排除选项可以快速得到答案.8.设I 为全集，123,,S S S 是I 的三个非空子集，且123S S S I ⋃⋃=，则下面论断正确的是 （ ）A. ()123I C S S S ⋂⋃=∅B. ()123I I S C S C S ⊆⋂C. 123I I I C S C S C S ⋂⋂=∅D. ()123I I S C S C S ⊆⋃【答案】C 【分析】根据集合间的基本关系，即可求解.【详解】()1212I I I C S C S C S S ⋂⋃＝，而123S S S I ⋃⋃＝，则123I S S C S ⋃＝，∴()123I C S S S ⋃＝，33I S C S ⋂∅＝，因此C 正确，选C 。

杭州市数学高一上学期理数期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·桂林模拟) 设集合为全集，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·吉林月考) 设，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一上·滁州月考) 设偶函数的定义域为，且，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高三上·长春期中) 已知a= ，b= ，c= 则（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . a＞c＞bD . c＞a＞b5. （2分）关于x的方程ex－1－|kx|=0（其中e=2.71828…是自然对数的底数）的有三个不同实根，则k 的取值范围是A . {-2，0，2}B . （1，+∞）C . {k|k>e}D . {k|k2＞1}6. （2分）若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·上饶期中) 幂函数的图象过点（2，），则它的单调递增区间是（）A . （0，+∞）B . [0，+∞）C . （﹣∞，0）D . （﹣∞，+∞）8. （2分）已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增．若实数a满足,则a的取值范围是（）A .B . (0,2]C . [1,2]D .9. （2分） (2019高一上·赣榆期中) 方程的解为，若，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·庄河期末) 定义运算：，则函数的图象大致为（）A .B .C .D .11. （2分）已知f(x)在R上是减函数，则满足＞f(1)的实数x的取值范围是（）．A . (－∞，1)B . (2，＋∞)C . (－∞，1)∪(2，＋∞)D . (1，2)12. （2分）若的图像是中心对称图形,则（）A . 4B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·丰台期中) 已知函数，则f（f（﹣1））=________．14. （1分） (2019高一上·汤原月考) 已知，，计算： ________.15. （1分） (2017高一上·青浦期末) 若函数f（x）= ，则f（）=________．16. （1分）若f（x）=x2+（a2﹣1）x+6是偶函数，则a=________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一上·葫芦岛月考) 设集合 .（1）求；（2）用列举法表示集合，并求 .18. （10分） (2016高一上·包头期中) 求lg ﹣lg25+ln +21+log23的值．19. （10分） (2018高一上·汉中期中) 设函数是定义域为R的奇函数．（1）求值；（2）若，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围；（3）若，且在上的最小值为，求的值.20. （10分） (2019高一上·永嘉月考) 已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性并加以证明;（3）若在上恒成立，求实数的范围.21. （10分） (2016高一上·襄阳期中) 已知函数f（x）=xln（x+ ）（a＞0）为偶函数．（1）求a的值；（2）求g（x）=ax2+2x+1在区间[﹣6，3]上的值域．22. （10分）(2020·海南模拟) 已知函数 .（1）当时，求函数的值域.（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2019-2020学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|2x <1}，B ={x|x 2<3}，则A ∩B =( )A. {x|−√3<x <12}B. {x|x <√3}C. {x|−3<x <12}D. {x|x <3} 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是( )A. y =1xB. y =e −xC. y =−x 2+1D.3. 已知log 12x >0，那么x 的取值范围是( )． A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1)D. (−∞,1) 4. 函数f(x)=3x +2x −7的零点所在区间为( ) A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3) 5. 若2x 2+1≤(14)x−2，则函数y =2x 的值域是( ) A. [18,2)B. [18,2]C. (−∞,18]D. [2,+∞) 6. 函数f(x)=2x 1−x 2的图象大致是( )A. B.C. D.7. lg(−1100)2=( ) A. −4B. 4C. 10D. −10 8. 已知函数f(x)=log a [(a +1)x 2−x −7]在[2,3]上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (54,+∞)B. (19,1)∪(54,+∞)C. (2,+∞)D. (12,1)∪[2，+∞) 9. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=3−2x ，则不等式f(x)>0的解集为 A. (−32,32) B. (−∞,−32)⋃(0,32)C. (−∞,−32)⋃(32,+∞)D. (−32,0)⋃(32,+∞) 10. 二次函数f(x)=ax 2+bx +1的最小值为f(1)=0，则a −b =( )A. −2B. −1C. 1D. 3二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.集合M={y|y=x2−1,x∈R}，集合N={x|y=√3−x2}，则(∁R M)∩N=______．)=__________．12.已知幂函数的图象过点(2,√2)，则f(1413.已知函数f(x)满足f(x−1)=x2−x+1，则f(2)=__________．14.计算：log832−7log73=________．15.已知函数f(x)=1+log a(2x−3)(a>0且a≠0)恒过定点(m,n)，则m+n=______．16.已知f(x)=|x2−1|+x2+kx在(0,2)上有两个零点，则实数k的取值范围是______．17.已知f(x+7)是定义在R上的奇函数，当x<7时，f(x)=−x2，则当x>7时，f(x)=__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）<0}，U=R．18.已知集合A={x|x2−2x−8≤0}，B={x|x−6x+1(1)求A∪B；(2)求(∁U A)∩B；(3)如果非空集合C={x|m−1<x<2m+1}，且A∩C=⌀，求m的取值范围．19.某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资成正比，其关系如图1，乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资的单位：万元)．(Ⅰ)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(Ⅱ)该企业筹集了100万元资金投入生产甲、乙两种产品，问：怎样分配这100万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？(a>0)在(0,+∞)上的单调性，并给出证明．20.判断函数f(x)=x+ax21.已知函数g(x)=4x−a是奇函数，f(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数．2x(1)求a+b的值．(2)若对任意的t∈[0,+∞)，不等式g(t2−2t)+g(2t2−k)>0恒成立，求实数k的取值范围．22.设函数f(x)的定义域为I，对于区间D⊆I，若∃x1，x2∈D(x1<x2)满足f(x1)+f(x2)=1，则称区间D为函数f(x)的V区间．+lgx的V区间；(1)证明：区间(0,2)是函数f(x)=12)x的V区间，求实数a的取值范围；(2)若区间[0,a](a>0)是函数f(x)=(12(3)已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)在区间[0,+∞)上的图象连续不断，且在[0,+∞)上仅有2个零点，e x证明：区间[π,+∞)不是函数f(x)的V区间．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于简单题．根据交集的定义求解．【解答】}，B={x|−√3<x<√3}，解：集合A={x|x<12}，则A∩B={x|−√3<x<12故选A．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，属于中档题．根据偶函数的定义判断各个选项中的函数是否为偶函数，再看函数是否在区间(0,+∞)上单调递减，从而得出结论．【解答】为奇函数；解：y=1xy=e−x为非奇非偶函数；y=−x2+1符合条件，y=lg|x|在定义域(0,+∞)上为增函数．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的性质，属基础题．依题意，根据对数函数的性质求解即可．【解答】解：因为，根据对数函数的性质得0<x<1，故选C．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数零点存在性定理，属于基础题．由f(1)<0，f(2)>0，结合零点存在性定理可得．【解答】解：∵函数f(x)=3x+2x−7，∴f(1)=3+2−7<0，f(2)=9+4−7>0，满足f(2)×f(1)<0，又因为f(x)是递增的连续函数，∴f(x)的零点在区间(1,2)内，故选C．5.答案：B)x−2，解析：解：∵2x2+1≤(14∴2x2+1≤2−2x+4，∴x2+1≤−2x+4，解得−3≤x≤1，,2]，∴函数y=2x的值域为：[2−3,2]即[18故选B．)x−2，求出x的取值范围，再根据x的取值范围求出指数函数y=2x的值域即先由不等式2x2+1≤(14可得出答案．本题考查了函数的值域，属于基础题，关键是先由指数不等式正确求出函数x的取值范围．6.答案：A解析：【分析】本题考查函数图象的应用，难度较易．可采用特殊值代入排除得答案．解：取x =12，f(12)=11−14=43，排除D ，x =5时，f(x)<0，排除B ，C ．故选A ．7.答案：A解析：解：lg(−1100)2=lg10−4=−4．故选：A ．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的性质，不等式的求解，属于中档题．先考虑函数t(x)=(a +1)x 2−x −7，在[2,3]上是增函数，再利用复合函数的单调性得出{a >1(a +1)22−2−7>0求解即可． 【解答】解：设函数t(x)=(a +1)x 2−x −7，∵a >0，∴x 0=12(a+1)<2，∴t(x)=(a +1)x 2−x −7，在[2,3]上是增函数，∵函数f(x)=log a [(a +1)x 2−x −7]在[2,3]上是增函数，∴{a >1(a +1)22−2−7>0a >54， 故选：A 9.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性．作出f(x)的图象，由图可得不等式f(x)>0的解集．解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以它的图象关于原点对称，且f(0)=0，作出函数图象如图所示，从图象知不等式f(x)>0的解集为．故选B．10.答案：D解析：解：二次函数f(x)=ax2+bx+1的最小值为f(1)=0，=1，且a>0，∴b−2a∴b=−2a，∴f(1)=a+b+1=0，解得a=1，b=−2，∴a−b=3，故选：D根据二次函数的性质即可求出a，b的值，问题得以解决．本题考查了二次函数的性质，属于基础题．11.答案：[−√3,−1)解析：解：M={y|y=x2−1,x∈R}={y|y≥−1}，故∁R M={y|y<−1}，集合N={x|y=√3−x2}={x|−√3≤x≤√3}，则(∁R M)∩N=[−√3,−1)，故答案为：[−√3,−1)．求出M的补集，从而求出其和N的交集即可．本题考查了集合的运算，考查补集，交集的定义，考查二次函数、二次根式的性质，是一道基础题． 12.答案：12解析：【分析】本题考查幂函数，设幂函数的解析式，根据幂函数的图象过点(2,√2)，求出解析式，然后将14代入求解即可．【解答】解：设幂函数为f(x)=x α，因为图象过点(2,√2)，所以√2=2a ，解得α=12，所以f(x)=x 12，则f(14)=(14)12=12． 故答案为12． 13.答案：7解析：∵f(x −1)=x 2−x +1，∴令x −1=2，解得x =3，∴f(2)=32−3+1=7.故答案为：7． 14.答案：−43解析：【分析】此题重点考查了对数的运算性质和对数恒等式，是一个基础题，难度不大．【解答】解：由对数的运算法则有：log 832−7log 73=log 2325−7log 73=53−3=−43，故答案为−43． 15.答案：3解析：【分析】本题主要考查函数的图象经过定点问题，对数函数的图象过定点问题，属于基础题．由条件利用log a 1+1=1为定值，求出n 的值，可得2x −3=1，求得m 的值，从而求得m +n 的值．【解答】解：令2x −3=1，解得：x =2，故f(2)=1+0=1，故m =2，n =1，故m +n =3，故答案为：3．16.答案：(−72,−1)解析：【分析】本题考查函数零点的转化问题，带绝对值的函数化简，考查数形结合思想，构造函数与转化问题的能力，综合性强．由题意设g(x)=|x 2−1|+x 2，ℎ(x)=−kx ，由x 的范围化简g(x)，在同一个直角坐标系中画出函数g(x)和ℎ(x)的图象，由图求出两个函数图象有两个交点时，实数k 的取值范围即可．【解答】解：由题意设g(x)=|x 2−1|+x 2，ℎ(x)=−kx ，则g(x)=|x 2−1|+x 2={1,0<x ≤12x 2−1,1<x <2, 在同一个直角坐标系中画出函数g(x)和ℎ(x)的图象如图，当直线ℎ(x)处在两条虚线之间时，函数g(x)和ℎ(x)的图象由两个交点， 把点(2,7)和(1,1)代入求出k =−72、k =−1，所以f(x)=|x 2−1|+x 2+kx 在(0,2)上有两个零点时，实数k 的取值范围是(−72,−1)，故答案为：(−72,−1)． 17.答案：−(x −14)2解析：【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x +7)是定义在R 上的奇函数，∴f(x +7)=−f(−x +7)，∴f(x)=−f(−x +14)， ∴当x >7时，−x +14<7，故f(x)=−f(−x +14)=−(−x +14)2=−(x −14)2， 故答案为−(x −14)2．18.答案：解：(1)集合A={x|x2−2x−8≤0}={x|−2≤x≤4}，<0}={x|−1<x<6}；B={x|x−6x+1∴A∪B={x|−2≤x<6}；(2)全集U=R，∴∁U A={x|x<−2或x>4}，∴(∁U A)∩B={x|4<x<6}；(3)非空集合C={x|m−1<x<2m+1}，∴2m+1>m−1，解得m>−2；又A∩C=⌀，∴m−1≥4或2m+1≤−2，；解得m≥5或m≤−32∴m的取值范围是−2<m≤−3或m≥5.2解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．(1)化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B；(2)根据补集与交集的定义写出(∁U A)∩B；(3)根据非空集合C与A∩C=⌀，得关于m的不等式，求出解集即可．19.答案：解：(1)设投资x万元，利润y万元，则甲产品的利润与投资成正比，过(1.8,0.45)，故甲x；的函数关系式为y=14乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，设方程为y=k√x，因为过点(4,6)，所以k=3，故乙的函数关系式为y=3√x；(2)设应给乙投资x万元，则给甲投资(100−x)万元(100−x)+3√x(0≤x≤100)故y=14=0，∴x=36求导函数，y′=−142√x∴函数在(0,36)上，y′>0，函数单调增，(36,100)上，y′<0，函数单调减，∴x=36时，函数取得极大值，且为最大值，y max=34答：应投资36万元，最大利润34万元．解析：(1)根据甲产品的利润与投资成正比，过(1.8,0.45)，可得甲的函数关系式；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，过点(4,6)，可得乙的函数关系式；(2)设应给乙投资x万元，则给甲投资(100−x)万元，从而可得函数关系式，求导函数，确定函数的单调性，即可求得最大利润．本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数极值就是最值，属于中档题． 20.答案：解：结论：f(x)在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=(x 1+a x 1)−(x 2+a x 2)=x 1−x 2x 1x 2(x 1x 2−a )，当0<x 1<x 2≤√a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1−x 2<0，所以f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f(x)在(0,√a]上是减函数，当√a ≤x 1≤x 2时，x 1x 2>a ，又x 1−x 2<0，∴f (x 1)−f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f(x)在[√a,+∞)上是增函数，综上可知，函数f(x)在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．解析：本题考查函数的单调性和判断，考查运用定义证明单调性的方法，考查运算能力，属于基础题．运用单调性定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤．21.答案：解：(1)∵g(x)=4x −a 2x 是定义在R 上的奇函数， ∴由g(0)=0得1−a =0，得a =1， 则g(x)=4x −12x ，经检验g(x)是奇函数，由f(−1)=f(1)得lg(10−1+1)−b =lg(10+1)+b ，即2b =lg(1110×111)=lg(110)=−1，即b =−12，则f(x)=lg(10x +1)−12x ，经检验f(x)是偶函数∴a +b =12(2)∵g(x)=4x −12x =2x −12x ，且g(x)在(−∞,+∞)单调递增，且g(x)为奇函数．∴由g(t 2−2t)+g(2t 2−k)>0恒成立，得g(t 2−2t)>−g(2t 2−k)=g(−2t 2+k)，∴t 2−2t >−2t 2+k ，在t ∈[0,+∞)上恒成立即3t 2−2t >k ，在t ∈[0,+∞)上恒成立令F(x)=3t 2−2t ，在[0,+∞)的最小值为F(13)=−13∴k <−13∴k 的取值范围是(−∞,−13)．解析：(1)根据函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．(2)根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，根据条件建立方程求出a ，b 的值以及利用函数单调性之间的关系是解决本题的关键．22.答案：解：(1)设x 1，x 2∈(0,2)(x 1<x 2)，若f(x 1)+f(x 2)=1，则12+lg x 1+12+lg x 2=1，所以lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2=0，x 1x 2=1，取x 1=45，x 2=54，满足定义，所以区间(0,2)是函数f(x)=12+lg x 的V 区间；(2)因为区间[0,a]是函数f(x)=(12)x 的V 区间， 所以，x 2∈[0,a](x 1<x 2)使得(12)x 1+(12)x 2=1，因为f(x)=(12)x 在[0,a]上单调递减，所以(12)x 1>(12)a ，(12)x 2⩾(12)a ，(12)x 1+(12)x 2>2(12)a =(12)a−1，所以(12)a−1<1，a −1>0，a >1，故所求实数a 的取值范围为a >1；(3)因为f(π2)=1−ln(1+π2)e π2>0，f(π)=−ln(1+π)e π<0，所以f(x)在(π2,π)上存在零点，又因为f(0)=0，所以函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点，因为函数f(x)=sin x−ln (1+x)e x 在区间[0,+∞)上仅有2个零点，所以f(x)在[π,+∞)上不存在零点，又因为f(π)<0，所以所以∀x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1<x 2)，f(x 1)+f(x 2)<0， 即因此不存在∀x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1<x 2)满足f(x 1)+f(x 2)=1， 所以区间[π,+∞)不是函数f(x)的V 区间．解析：本题主要考查了函数单调性以及新定义，属于较难题．(1)根据题意设x 1，x 2∈(0,2)(x 1<x 2)，得到lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2=0，x 1x 2=1，即可得解；(2)根据题意得到，x 2∈[0,a](x 1<x 2)使得(12)x 1+(12)x 2=1，得到(12)a−1<1，a −1>0，a >1，即可得解；(3)根据题意得到f(x)在(π2,π)上存在零点，函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点，以f(x)在[π,+∞)上不存在零点，即可得解．。

2019-2020学年浙江省杭州二中高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1.的内角的对边分别为若成等比数列，且，则()A. B. C. D.2.设a=sin(−810°)，b=tan(33π8)，c=lg15，则它们的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. c<a<b3.函数y=sin(2x+π6)图象的一个对称中心为()A. (π2,0) B. (−π12,0) C. (π12,0) D. (π6,0)4.已知等差数列{a n}中，a2+a4=16，则a3的值等于()A. 4B. 8C. ±4D. ±85.设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为()A. B. C. D.6.已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是()A. B. C. D.8.海上两个小岛A、B到海洋观察站C的距离都是a km，小岛A在观察站C北偏东20°，小岛B在观察站C南偏东40°，则A与B的距离是()A. a kmB. √3akmC. √2akmD. 2akm9.在等比数列{a n}中，a5−a1=15，a4−a2=6，则a3=()A. −4B. 4C. −4或4D. −8或810.下列说法正确的是()A. 命题“若x2>1，则x>1”否命题为“若x2>1，则x≤1”B. 命题“若x0∈R，x02>1”的否定是“∀x∈R，x02>1”C. 命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D. 命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题二、单空题（本大题共7小题，共28.0分）11.函数f(x)=log2(1+x)√1−x的定义域是______ ．12.若两个相似三角形的对应高的比为2∶3，且周长的和为50cm，则这两个相似三角形的周长分别为________．13.若函数f(x)={(14)x, −1≤x<04x, 0≤x≤1则f(12)=______ ．14.已知下面各数列{a n}的前n项和S n的公式，且S n=3n−2.则数列{a n}的通项公式是______ ．15.设a，b∈R，关于x的方程(x2−ax+1)(x2−bx+1)=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[12,√2]，则ab的取值范围为______．16.已知a，b∈[0,1]，则S(a,b)=a1+b +b1+a+(1−a)(1−b)的最小值为______．17.已知函数f(x)={xx+2,x∈(12,1]−12x+14,x∈[0,12],g(x)=asin(π3x+3π2)−2a+2(a>0)，给出下列结论：①函数f(x)的值域为[0,13]；②函数g(x)在[0,1]上是增函数；③对任意a>0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围是59≤a≤45．其中所有正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共42.0分）18.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(−1,0)，点C(0,5)，另抛物线经过点(1,8)，M为它的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB的面积S△MCB．19.已知数列{a n}为等差数列，a2=2，a6=6，数列{b n}为等比数列，b2=a4，公比q=2．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)求数列{a n−b n}的前n项和S n．20.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?21.已知等差数列{a n}满足：a3=9，a5+a7=30，{a n}的前n项和为S n．(1)求a n及S n；(2)已知数列{b n}的第n项为b n，若b n，12b n+1，a n(n∈N∗)成等差数列，且b1=3，设数列{1b n}的前n项和T n.求数列{1bn}的前n项和T n．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．解：△ABC中，a、b、c成等比数列，且c=2a，则b=a，则由余弦定理可知有cosB=，故答案为B．考点：余弦定理点评：本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．2.答案：B解析：解：a=sin(−810°)=−sin(720°+90°)=−1，b=tan(33π8)=tanπ8=sinπ41+cosπ4=√221+√22=√2−1．c=lg15=−lg5∈(−1,0)．∴a<c<b．故选：B．利用诱导公式化简三个数值，然后比较大小．本题考查诱导公式的应用，函数值的大小比较，基本知识的考查．3.答案：B解析：本题考查正弦函数的对称性，求得其对称中心为(12kπ−π12,0)是关键，考查赋值法的应用，属于基础题．利用正弦函数的对称性质可知，2x+π6=kπ，从而可得函数f(x)的图象的对称中心为(12kπ−π12,0)，再赋值即可得答案．解：由2x+π6=kπ，得：x=12kπ−π12，k∈Z．所以函数f(x)的图象的对称中心为(12kπ−π12,0)，k∈Z．当k=0时，(−π12,0)就是函数的图象的一个对称中心，故选：B．4.答案：B解析：解：由等差数列的性质可得2a3=a2+a4，又∵a2+a4=16，∴2a3=16解得a3=8故选：B由等差数列的性质可得2a3=a2+a4，代入已知数据计算可得．本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题．5.答案：A解析：主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类讨论．解：根据题意，等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则可知，故选A．6.答案：D解析：试题分析：对函数f(x)判断△=m2−16<0时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和−4进行讨论可得答案．解：当△=m2−16<0时，即−4<m<4，显然成立，排除C当m=4，f(0)=g(0)=0时，显然不成立，排除A；当m=−4，f(x)=2(x+2)2，g(x)=−4x显然成立，排除B；故选D考点：一元二次函数、不等式点评：本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．7.答案：A解析：试题分析：∵运算，∴(x−a)⊗x≤a+2转化为(x−a)(1−x)≤a+2，∴−x2+x+ax−a≤a+2，a(x−2)≤x2−x+2，∵任意x>2，不等式(x−a)⊗x≤a+2都成立，∴a≤.令f(x)=，x>2，则a≤[f(x)]min，x<2，而f(x)=，当且仅当x=4时，取最小值．∴a≤7.选A．考点：1.不等式的解法及应用；2.函数恒成立问题的应用8.答案：B解析：解：根据题意画出图形，得出∠ACB=120°，AC=BC=akm，在△ABC中，利用余弦定理得：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cos∠ACB=a2+a2+a2=3a2，则AB=√3akm．故选B根据题意画出图形，找出∠ACB的度数，以及AC与BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理即可求出AB的长．此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．9.答案：C解析：解：设等比数列的公比为q，则∵a5−a1=15，a4−a2=6，∴a1q4−a1=15，a1q3−a1q=6，∴q 2+1=52q∴q =2或q =12， ∴a 1=1或a 1=−16∴a 3=±4故选：C ．先假设公比，根据条件，列出方程，求得等比数列的首项与公比，再利用等比数列的通项求a 3的值． 本题重点考查等比数列的通项，解题的关键是构建方程组，求出等比数列的首项与公比．10.答案：D解析：解：A.命题“若x 2>1，则x >1”否命题为“若x 2≤1，则x ≤1”，∴A 错误．B .命题“若x 0∈R ，x 02>1”的否定是“∃x ∈R ，x 2≤1”，∴B 错误．C .“若x =y ，则cosx =cosy ”正确，即原命题正确，则逆否命题也正确，∴C 错误．D .命题“若x =y ，则cosx =cosy ”的逆命题为命题“若cosx =cosy ，则x =y ”，为假命题，当x =−y 时，结论满足cosx =cosy ，∴D 正确． 故选：D ．根据四种命题的定义以及命题真假之间的关系即可得到结论．本题主要考查四种命题之间的关系以及命题真假之间的关系，比较基础．11.答案：(−1,1)解析：解：根据题意，得{1+x >01−x >0，解得−1<x <1， 故答案为：(−1,1)．通过分析，解{1+x >01−x >0即可．本题考查函数的定义域，注意解题方法的积累，属于基础题．12.答案：20 cm ，30 cm解析：设较大的三角形的周长为x cm ，则较小的三角形的周长为(50−x)cm.由题意得=，解得x =30，50−x =50−30=20．13.答案：2解析：解：∵f(x)={(14)x , −1≤x <04x, 0≤x ≤1，∴f(12)=412=2．故答案为：2． 由f(x)={(14)x , −1≤x <04x , 0≤x ≤1，知f(12)=412，由此能求出结果．本题考查分段函数的函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答． 14.答案：a n ={1,n =123⋅3n ,n ≥2解析：解：∵S n =3n −2， ∴n =1时，a 1=S 1=3−2=1，n ≥2时，a n =S n −S n−1=(3n −2)−(3n−1)+2=23⋅3n ， ∴a n ={1,n =123⋅3n ,n ≥2．故答案为：a n ={1,n =123⋅3n ,n ≥2．由已知条件，利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2能求出结果．本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2的合理运用．15.答案：[4,274]解析：解：设方程(x 2−ax +1)(x 2−bx +1)=0的4个实数根依次为m ，mq ，mq 2，mq 3， 由等比数列性质，不妨设m ，mq 3为x 2−ax +1=0的两个实数根，则mq ，mq 2为方程x 2−bx +1=0的两个根，由韦达定理得，m 2q 3=1，m +mq 3=a ，mq +mq 2=b ，则m 2=1q 3，故ab=(m+mq3)(mq+mq2)=m2(1+q3)(q+q2)，=1q3(1+q3)(q+q2)=q+1q+q2+1q2，设t=q+1q，则q2+1q2=t2−2，因为q∈[12,√2]，且t=q+1q在[12,1]上递减，在(1,√2]上递增，当q=12时，t=52，当t=√2时，t=3√22所以t∈[2,52]，则ab=t2+t−2=(t+12)2−94，所以当t=2时，ab取到最小值是4，当t=52时，ab取到最大值是274，所以ab的取值范围是：[4,274].故答案为：[4,274].利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab，再利用换元法转化为二次函数，根据q 的范围和二次函数的性质，确定ab的最值即可求出ab的取值范围．本题考查等比数列的性质，韦达定理，以及利用换元法转化为二次函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键．16.答案：13−5√52解析：解：∵a，b∈[0,1]，∴S(a,b)=a1+b +b1+a+(1−a)(1−b)=1−ab(1−ab)(1+a)(1+b)，令T=ab(1−ab)(1+a)(1+b)，X=√ab，则T=ab(1−ab)(1+a)(1+b)=ab(1−ab)1+a+b+ab<1+2ab+ab=X2(1−X2)(1+X)2=x2(1−X)1+x，令f(X)=x2(1−X)1+x，X∈[0,1]，可得：f′(X)=−2X(X 2+X−1)(1+X)2，X∈[0,1]，X∈[0,√5−12)时，f′(X)>0，X ∈(√5−12,1]时，f′(X)<0， 故当X =√5−12时，f(X)取最大值5√5−112， 故S(a,b)=a 1+b +b 1+a +(1−a)(1−b)的最小值为1−5√5−112=13−5√52， 故答案为：13−5√52 S(a,b)=1−ab(1−ab)(1+a)(1+b)，令T =ab(1−ab)(1+a)(1+b)，X =√ab ，则T =f(X)=x 2(1−X)1+x ，X ∈[0,1]，利用导数法，求出函数的最值，可得答案．本题考查的知识点是导数在求函数最值中的应用，构造法，转化思想，函数的最值及其几何意义，难度较大．17.答案：①②④解析：解：①当x ∈(12,1]时，f(x)=x x+2=1−2x+2单调递增，∴f(12)<f(x)≤f(1)，即15<f(x)≤13． 当x ∈[0,12]时，由函数f(x)=−12x +14单调递减，∴f(12)≤f(x)≤f(0)，即0≤f(x)≤14． ∴函数f(x)的值域为[0,13].因此①正确．②g(x)=−acos π3x −2a +2，∵x ∈[0,1]，∴0≤πx 3≤π3，因此cos πx 3在[0,1]上单调递减， 又a >0，∴g(x)在[0,1]上单调递增，因此正确．③由②可知：g(0)≤g(x)≤g(1)，∴−3a +2≤g(x)≤−52a +2．若任意a >0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解，则必须满足f(x)的值域[0,13]⊆{g(x)|x ∈[0,1]}．∴−3a +2≤0，−52a +2≥13，解得a =23，因此③不正确；④存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则{g(x)min ≤f(x)max g(x)max ≥f(x)min由③可知：g(x)max =g(1)=−52a +2，g(x)min =g(0)=−3a +2，∴−3a +2≤13，−52a +2≥0，解得59≤a ≤45， ∴实数a 的取值范围是59≤a ≤45.正确．综上可知：只有①②④正确．故答案为：①②④．①当x ∈(12,1]时，利用f(x)=x x+2=1−2x+2单调递增，可得f(12)<f(x)≤f(1)．当x ∈[0,12]时，函数f(x)=−12x +14，利用一次函数的单调性可得f(12)≤f(x)≤f(0)． 即可得到函数f(x)的值域．②利用诱导公式可得g(x)=−acos π3x −2a +2，利用余弦函数的单调性，进而得出g(x)在[0,1]上单调性．③由②可知：g(0)≤g(x)≤g(1)，若任意a >0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解， 则必须满足f(x)的值域[0,13]⊆{g(x)|x ∈[0,1]}.解出判定即可．④存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则{g(x)min ≤f(x)max g(x)max ≥f(x)min解出即可． 本题综合考查了分段函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题． 18.答案：解：(1)∵A(−1,0)，C(0,5)，D(1,8)在二次函数y =ax 2+bx +c 的图象上，∴{a −b +c =0c =5a +b +c =8，解得：{a =−1b =4c =5，∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5，(2)过点M 作平行与y 轴的直线交BC 于N ，∵B 点的坐标为：(5,0)，∴BC 的方程为：x 5+y 5=1，当x =2，y =3，故N 点的坐标为(2,3)，函数y =−x 2+4x +5的顶点为(2,9)，则MN =6，∴△MCB 的面积=△MCN 的面积+△MNB 的面积=12MN ⋅OB =15．解析：(1)由A ，C ，D 三点在抛物线上，代入函数y =ax 2+bx +c 的解析式，构造方程组，解得抛物线的解析式；(2)过点M 作平行与y 轴的直线交BC 于N ，则△MCB 的面积=△MCN 的面积+△MNB 的面积=12MN ⋅OB．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，三角形的面积，是二次函数图象与性质比较综合的应用，难度中档．19.答案：解：(1)设数列{a n}为等差数列，公差为d，由a2=2，a6=6，可得a1+d=2，a1+5d=6，解得a1=d=1，可得a n=n，n∈N∗；数列{b n}为等比数列，b2=a4，公比q=2，可得2b1=4，解得b1=2，则b n=2n，n∈N∗；(2)a n−b n=n−2n，前n项和S n=(1+2+3+⋯+n)−(2+4+⋯+2n)=12n(n+1)−2(1−2n)1−2=12n(n+1)−2n+1+2．解析：(1)设数列{a n}为等差数列，公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、首项和公比，可得所求通项公式；(2)可得a n−b n=n−2n，运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.答案：解：如图，由题意知，在三角形BCD中，所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距海里；因为所以设追击时间为t，则所以即巡逻艇被骗东15º方向才能最快追上走私船．解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，(1)先在三角形ABC中根据余弦定理求出BC的长，然后在三角形BCD中利用余弦定理求出CD的长；(2)先求出，然后在三角形CDE中利用正弦定理求出，即可求解．21.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，因为a5+a7=30，又∵a5+a7=2a6，∴a6=15；∴d=a6−a36−3=2，又a3=9，∴a n=a3+(n−3)d=9+(n−3)×2=2n+3，∴a1=5，∴S n=n(a1+a n)2=n(5+2n+3)2=n2+4n．(2)由(1)知b1=3，∵b n，12b n+1，a n成等差数列，∴a n+b n=2×12b n+1(n∈N∗)，∴b n+1−b n=a n，∴b n−b n−1=a n−1(n≥2,n∈N∗)，故b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b2−b1)+b1=(a n−1+a n−2+⋯+a1)+b1=(n−1)[2(n−1)+3+3]2+3=(n−1)(n+3)+3=n2+2n=n(n+2)(n≥2,n∈N∗).又因为b1=3满足上式，∴b n=n(n+2)(n∈N∗).∴1b n=1n(n+2)=12(1n−1n+2).故T n=12(1−13+12−14+⋯+1n−1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)=3n2+5n4(n+1)(n+2)．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，依题意，可求得d及a1，从而可求a n及S n；(2)依题意，可求得b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b2−b1)+b1=n(n+2)，利用裂项法可得1b n =12(1n−1n+2)，从而可得数列{1b n}的前n项和T n．本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，(2)中求得b n=n(n+2)是关键，考查裂项法求和，属于难题．。

杭州二中第二学期高一年级期中考试数学试卷注意：本试卷不得使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某扇形的半径为r ，圆心角α所对的弧长为2r ，则α的大小是A.30B.60C. 1弧度D.2弧度 2.要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需将函数cos2y x =的图象A. 向左平移6π个单位B. 向右平移6π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位3.若非零平面向量 a b c ，，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，则 A.,a c 一定共线 B. ,a b 一定共线 C. ,b c 一定共线 D. ,,a b c 无确定位置关系4.在同一直角坐标系中，作出sin ,,tan y x y x y x ===在区间(,)22x ππ∈-的图象,正确的是5.已知(0,)απ∈，17cos()cos()225παπα---=，则tan α的值为A.247-B.247-或724-C. 724-D. 2476.lnsin(2)3y x π=-+的单调递减区间为A. 52(,],123k k k Z ππππ++∈ B. 5(,],612k k k Z ππππ++∈ C. 5(,],1212k k k Z ππππ++∈ D. [,),126k k k Z ππππ-+∈7.设a ，b 是一组非正交的基底，为得到正交基底，可在集合{|}a tb t R +∈中找一个向量与a 组成一组正交基底，根据上述要求，若(1,2)a =，(2,3)b =，则t 的值为A. 38-B.511-C.58- D.79-A. D.C.B.8.已知函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如下，则它的解析式为 A.52sin()126y x ππ=+B.2sin()66y x ππ=+ C.2sin()126y x ππ=+ D.2sin()66y x ππ=+或52sin()126y x ππ=+9.若关于x的方程2sin210x x m -++=在区间[0,]2π上有两个不同的解，则实数m 的取值范围是A.(1,1--B.(0,1-C.(-D.(0,1+10.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，其图象关于点6(,0)7M π对称，且在区间[0,]2π是单调函数，则ω的值为A.74 B. 78 C.74或712 D. 712二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.若角θ的终边经过点(1,1)P -，则cos2θ的值 . 12.已知α的结果为 .13.设()sin f x x =，()cos g x a x =+，[0,2]x π∈，若()f x 的图象与()g x 的图象交点的个数有且仅有一个，则a 的值为 . 14.设函数()cos2sin2f x x a x =+，若55()()88f x f x ππ-=+，那么a 等于 . 15.在ABC ∆中，D 是BC 上一点，2DC DB =-， 若||2,||3AB AC ==，则||AD 的取值范围为 . 16.给出下列4个命题： ①保持函数sin(2)3y x π=+图象的纵坐标不变，将横坐标扩大为原来的2倍，得到的图象的解析式为sin()6y x π=+.②在区间[0,)2π上，0x 是tan y x =的图象与cos y x =的图象的交点的横坐标，则064x ππ<<.第15题第8题③在平面直角坐标系中，取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i ,j 作为基底，则四个向量 2i j + 3j + 2j -，2 i j -的坐标表示的点共圆. ④方程33cos sin 1x x -=的解集为{|2,}2x x k k Z ππ=-∈.其中正确的命题的序号为 .杭州二中第二学期高一年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上．11． 12．13． 14．15. 16.三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60. （1）求a b +与a 的夹角的余弦值；（2）当||a tb +取得最小值时，试判断a tb +与b 的位置关系，并说明理由.18.（本小题满分10分）设()sin(2)2sin cos 6f x x m x x x R π=++∈，.（1）当0m =时，求()f x 在[0,]3π内的最小值及相应的x 的值；（2）若()f x 的最大值为12，求m 的值.19.（本小题满足12分）已知定义在R 上的函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数sin(2)3y x π=+图象所有的对称中心都在()y f x =图象的对称轴上. （1）求()f x 的表达式； （2）若003()([,])2222x f x ππ=∈-，求0cos()3x π-的值； （3）设((),1)6a f x π=-，(1,cos )b m x =，(0,)2x π∈，若30a b ⋅+≥恒成立，求实数m 的取值范围.本小题满分14分）已知()(|sin ||cos |)4sin29f x a x x x =+++，若9()134f π=-（1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期（不需证明）； （3）是否存在正整数n ，使得方程()0f x =在区间[0,]n π内恰有个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.杭州二中第二学期高一年级期中考试数学参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有11． 0 12． αtan 2-13 14． 115. )37,31( 16. ○2○3 三．解答题:本大题共4小题，共46分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知1||=，2||=，与的夹角为60. （1）求b a +与a 的夹角的余弦.（2）当||t +取得最小值时，试判断b t a +与b 的位置关系，说明理由. 解：（1）设b a +与a 的夹角为θ，于是160cos ||||=⋅=⋅ b a b a ，7||===+，于是77272||||cos ==⋅+=a b a θ. （2）令43)41(4124||22++=++=+t t t t ，当且仅当41-=t 时，取得最小值，此时04)(=+⋅=⋅+t b a b b t a ，所以b b t a ⊥+)(. 18.（本小题满分10分）设R x x x m x x f ∈++=，cos sin 2)62sin()(π.（1）当0=m 时，求)(x f 在]3,0[π内的最小值及相应的x 的值；（2）若)(x f 的最大值为21，求m 的值. 解：（1）因为]3,0[π∈x ，则]65,61[62πππ∈+x ，所以 21min =f ，此时30π或=x .（2）令)2sin(41)23(2cos 212sin )23(cos sin 2)62sin()(2ϕπ+++=++=++=x m x x m x x m x x f ，其中 2321tan +=m ϕ，于是41)23()(2max ++=m x f ，令2141)23(2=++m ，得：23-=m . 19．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数)2||,0,0)(cos()(πϕωϕω≤>>+=A x A x f ，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数)32sin(π+=x y 图象所有对称中心都在)(x f 图象的对称轴上.（1）求)(x f 的表达式；（2）若])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，求)3cos(0π-x 的值； （3）设)1),6((π-=x f ，)cos ,1(x m =，)2,0(π∈x ，若03≥+⋅恒成立，求实数m 的取值范围.解；(1)依题意可知：π==T A ,2，)32sin(π+=x y 与f(x)相差Z k kT T∈+,4，即相差Z k k ∈+,4ππ，所以)32cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=+++=x A k x A x f 或)342cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=++-=x A k x A x f （舍），故)32cos(2)(π+=x x f . （2）因为])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，即43)3cos(0=+πx ，因为]65,6[30πππ-∈+x ，又4323)6cos(>=-π，y=cosx 在]0,6[π-单调递增，所以]2,0[30ππ∈+x ，所以47)43(1)3s i n (20=-=+πx ，于是 83212347214332sin )3sin(32cos )3cos()323cos()3cos(0000-=⋅+⋅-=+++=-+=-πππππππx x x x（3）因为)1),6((π-=x f a ，)cos ,1(x m =，)2,0(π∈x 1cos cos 43cos 2cos 23cos )6(32++=++=++-=+⋅x m x x m x x m x f b a π，于是 01cos cos 42≥++x m x ，得x x m cos 1cos 4--≥对于)2,0(π∈x 恒成立， 因为4)cos 1cos 4(max -=--xx ，故4-≥m .本小题满分14分）已知函数92sin 4|)cos ||sin (|)(+++=x x x a x f ，若2913)49(-=πf . （1）求a 的值； （2）求)(x f 的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n ，使得0)(=x f ，在区间],0[πn 内恰有个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）令49π=x ，得2913942-=++a ，得9-=a . （2）解：)(92sin 4|)cos ||sin (|99)(2sin 4|))cos(||sin((|9)(x f x x x x x x x f =+++-=++++++-=+ππππ所以)(x f 的最小正周期为π. （3）不存在n 满足题意. 当]2,0[π∈x 时，92s i n 4)c o s (s i n 9)(+++-=x x x x f .设]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=t x x x t ，π，则1cos sin 22sin 2-==t x x x ，于是59492sin 4)cos (sin 9)(2+-=+++-=t t x x x x f ，令05942=+-t t ，得451==t t 或]2,1[∈，于是2,0π=x 或)40(00π<<=x x x 或02x x -=π，其中825)4s i n (0=+πx 当),2(ππ∈x 时，92s i n 4)c o s (s i n 9)(++--=x x x x f .设]2,1()4sin(2cos sin ∈-=-=t x x x t ，π，则21cos sin 22sin t x x x -==，于是1394-92sin 4)cos (sin 9)(2+-=++--=t t x x x x f ，令01394-2=+-t t ，解得1=t或413-=t ]2,1(∉，故)(x f 在),2(ππ∈x 没有实根.综上讨论可得0)(=x f 在),0[π上有4根，而350242011+⨯=，而在]502,0[π有个根，]503,0[π有个根，在故不存在n ，使得0)(=x f 在区间],0[πn 内恰有个根.。

2019-2020学年浙江省杭州市第二中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{A =，{1,}B m =，若集合A B 有4个子集，则实数m =（）A ．0、1或3B ．1或3C ．1D ．0或3【答案】D【解析】集合A B 有4个子集，则3m =或m =【详解】由题集合A B 有4个子集，所以A 与B 的交集有两个元素，则3m =或m =当m =0m =或1，当1m =时，集合{1,3,1}A =，{1,1}B =，不满足集合的互异性，故0m =或3． 【点睛】本题主要考查集合中元素的关系，属于简单题．2．下列函数中,既是偶函数,又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．y x x = B ．1y x x=-C ．2xy =D ．2lg y x =-【答案】C【解析】先根据偶函数的定义进行判断,然后判断在()0,∞+时函数的单调性即可. 【详解】选项A ：函数的定义域为全体实数集.((()))f x x x f x f x x x x x ⇒-==-=--=,所以函数是奇函数,不符合题意； 选项B ：函数的定义域为全体非零实数集.111()()()()f x x f x x x f x x x x=-⇒-=--=--=--,所以函数是奇函数,不符合题意；选项C ：函数的定义域为全体实数集. 222()()()x xxy f x f x f x -=⇒-====,所以函数是偶函数,当0x >时, 2()2xx f x ==,因为底数大于1,故该函数是增函数,符合题意；选项D ：函数的定义域为全体非零实数集.222()lg ()lg()lg ()f x x f x x x f x =-⇒-=--=-=,所以函数是偶函数,当0x >时, 2()lg 2lg f x x x -=-=,该函数是减函数,不符合题意. 故选：C 【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性,掌握偶函数的定义和基本函数的单调性是解题的关键.3．设3log 2a =，5log 2a =，2log πc =，则（ ）． A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C 【解析】【详解】 因为321log 2log 3a ==，521log 2log 5b ==， 而22log 3log 21c =>=，2log 51>， 所以01a <<，01b <<， 又22log 5log 31>>， 所以2211log 5log 3<， 即01b a <<<， 所以有c a b >>． 故选D ．4．设函数f （x ）=log 2x +2x -3，则函数f （x ）的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】因为函数()2log 23xf x x =+-，所以f （1）=12log 123+-=﹣1＜0，f （2）=22log 223+-=2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．故选：B ．点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f (x )在[a ，b ]上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在[a ，b ]上只有一个零点.5．如果1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【答案】C【解析】 根据函数()1()2x f x =在R 是减函数，且1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以10b a >>>，所以a a b a b a <<，故选C. 6．函数()()212x f x e --=（其中常数e=……是一个无理数）的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数()()212x f x e --=的函数值符号及单调性即可作出判断.【详解】 ∵()()212x f x e --=∴()f x 关于直线x=1轴对称，y ＞0，在()1∞+，上单调递减， 故选：A 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7．设函数()()log 0,1a f x x a a =>≠,若()1220194f x x x =,则()()()222122019f x f x f x +++的值等于（ ）A ．4B ．8C ．16D ．2019【答案】B【解析】根据函数的解析式,由()1220194f x x x =,得到等式,再把()()()222122019f x f x f x +++化简,运用对数的运算公式结合上个等式,可以求出所求代数式的值. 【详解】 由()1220194f x x x =可得：122019log ()4a x x x =.()()()222222122019122019log log log a a a f x f x f x x x x +++=+++222122019log ()a x x x =⋅⋅1220192log ()8a x x x ==。

2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{﹣1，0，1}2．已知函数f （2x +1）＝x 2+1，则f （3）＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．63．“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)5．若函数f （x ）是R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A ．f （﹣3）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣3）＞f （1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣3）D ．f （1）＞f （﹣3）＞f （0）6．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−235，+∞)B ．(−235，1)C ．（1，+∞）D ．(−∞，−235)7．已知m +e m ＝e ，n +5n ＝e ，则下列选项正确的是（ ） A ．0＜m ＜n ＜1B ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜n ＜eD ．1＜n ＜m ＜e8．设函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ，对于任意m ，n ∈D ，若所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 最大值为14B ．4x 2+y 2的最小值为12C ．x （x +y ）最大值为14D ．1x+1y最小值为3+2√210．已知a ＞0，函数f （x ）＝x a ﹣a x （x ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设函数f(x)=10x10x +1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[f(x)−12]的函数值可能是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．212．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如√(x −a)2+(y −b)2的代数式，可以转化为平面上点M （x ，y ）与N （a ，b ）的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|，下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象是轴对称图形B ．y ＝f （x ）的值域是[0，4]C ．f （x ）先减小后增大D ．方程f(f(x))=√13−√5有且仅有一个解三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数，则实数m 的值为 ．14．已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则实数a 的取值范围是 ．15．f(x)=log 24x ⋅log 14x 2，x ∈[12，4]的最大值为 ．16．已知函数f （x ）＝x 2+mx +n （m ，n ∈R ），记集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若A ＝B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣ax +a 2﹣19＝0}，B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}． （1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若∅⫋（A ∩B ）且A ∩C ＝∅，求实数a 的值． 18．（12分）计算：（1）(14)−12√(4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3⋅b−3)12；（2）log √39+12lg25+lg2−log 49×log 38+2log 23+ln √e ． 19．（12分）已知函数f(x)=2x −12x ． （1）用定义法证明：f （x ）在R 上单调递增；（2）若对任意x ∈[﹣1，1]，不等式f （3x 2+1）+f （k ﹣x 2）≥0恒成立，求实数k 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0有解，求m 的取值范围．21．（12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一．在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR 智能巴士．某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ，经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜1060，10≤t ≤20，其中t ∈N ．（1）求p （5），并说明p （5）的实际意义； （2）若该路公交车每分钟的净收益y =6p(t)+24t−10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．22．（12分）已知函数f(x)=|tx 2−5x+4tx|，其中常数t ＞0．（1）若函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，求t 的取值范围；（2）当t ＝1时，是否存在实数a 和b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且此时f （x ）的取值范围是[ma ，mb ]．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{﹣1，0，1}解：A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{﹣1，0}． 故选：B ．2．已知函数f （2x +1）＝x 2+1，则f （3）＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6解：因为f （2x +1）＝x 2+1， 令t =2x +1，x =t−12，f(t)=(t−12)2+1， 即f(x)=(x−12)2+1，所以f （3）＝2． 故选：B ．3．“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若x 2+y 2＝0，则x ＝0，y ＝0，所以可得xy ＝0， 即由“x 2+y 2＝0”可以推出“xy ＝0”，若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0，得不到x 2+y 2＝0，例如x ＝0，y ＝2， 即由“xy ＝0”推不出“x 2+y 2＝0”，所以“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的充分不必要条件． 故选：A ．4．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)解：函数f （x ）的定义域为（0，1），令0＜2x ﹣1＜1，解得12＜x ＜1． 故选：D ．5．若函数f （x ）是R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A ．f （﹣3）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣3）＞f （1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣3）D ．f （1）＞f （﹣3）＞f （0）解：根据题意，函数f （x ）为R 上的偶函数，则f （﹣3）＝f （3）， 又由函数在[0，+∞）上是增函数，f （0）＜f （1）＜f （3）， 则有f （﹣3）＞f （1）＞f （0）． 故选：B ．6．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−235，+∞) B ．(−235，1) C ．（1，+∞） D ．(−∞，−235) 解：令函数f （x ）＝x 2+ax ﹣2，若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上无解， 则{f(1)≤0f(5)≤0，即{a −1≤052+5a −2≤0，解得a ≤−235．所以使得关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解的a 的范围是（−235，+∞）． 故选：A ．7．已知m +e m ＝e ，n +5n ＝e ，则下列选项正确的是（ ） A ．0＜m ＜n ＜1B ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜n ＜eD ．1＜n ＜m ＜e解：构造函数f （x ）＝x +e x ，g （x ）＝x +5x ，f （m ）＝m +e m ＝e ，g （n ）＝n +5n ＝e ， 易知函数f （x ），g （x ）为增函数．函数f （x ），g （x ）与函数y ＝e 的图象，如下图所示： 由图可知，0＜n ＜m ．又f （1）＝1+e ＞f （m ），g （1）＝1+5＞g （n ）， 所以m ＜1，n ＜1． 综上，0＜n ＜m ＜1． 故选：B ．8．设函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ，对于任意m ，n ∈D ，若所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4解：函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ＝{x |ax 2﹣2ax ≥0}＝{x |0≤x ≤2}， 因为对于任意m ，n ∈D ，所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域， 所以正方形的边长为2， 又因为f （0）＝f （2）＝0， 所以函数f （x ）的最大值为2， 即ax （x ﹣2）的最大值为4，所以x ＝1时，f （1）=√a ⋅(−1)=2，解得a ＝﹣4． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 最大值为14B ．4x 2+y 2的最小值为12C ．x （x +y ）最大值为14D ．1x+1y最小值为3+2√2解：因为x ，y 是正数，且2x +y ＝1， 所以2xy ≤(2x+y 2)2=14，当且仅当2x ＝y =12时取等号，A 正确； 4x 2+y 2＝（2x +y ）2﹣4xy ＝1﹣4xy ≥1−12=12，当且仅当2x ＝y =12时取等号，此时4x 2+y 2取得最小值12，B 正确； x （x +y ）≤(x+x+y 2)2=14，当且仅当x ＝x +y ，即y ＝0时取等号，根据题意显然y ＝0不成立，即等号不能取得，x （x +y ）没有最大值，C 错误；1x+1y=2x+y x+2x+y y =3+yx+2xy ≥3+2√2，当且仅当y x =2x y且2x +y ＝1，即x ＝1−√22，y =√2−1时取等号，此时1x+1y取得最小值3+2√2，D 正确．故选：ABD ．10．已知a ＞0，函数f （x ）＝x a ﹣a x （x ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝x a 在（0，+∞）上单调递增，函数y ＝a x 在（0，+∞）上单调递减， 因此函数f （x ）＝x a ﹣a x 在（0，+∞）上单调递增，而f （0）＝﹣1，f （a ）＝0，函数图象为曲线，A 可能；当a ＝1时，函数f （x ）＝x ﹣1在（0，+∞）上的图象是不含端点（0，﹣1）的射线，B 可能； 当a ＞1时，取a ＝2，有f （2）＝f （4）＝0，即函数f （x ）＝x 2﹣2x ，x ＞0图象与x 轴有两个公共点， 又x ∈（0，+∞），随着x 的无限增大，函数y ＝a x 呈爆炸式增长，其增长速度比y ＝x a 的大，因此存在正数x 0，当x ＞x 0时，x 02＜a x 0恒成立，即f （x ）＜0，C 可能，D 不可能．故选：ABC ．11．设函数f(x)=10x10x +1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[f(x)−12]的函数值可能是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．2解：因为0＜10x ，则110x+1＞1，所以函数f(x)=10x10x +1=11+110x的值域是（0，1），则f(x)−12的范围是(−12，12)，于是y =[f(x)−12]的函数值可能是﹣1或0． 故选：AB ．12．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如√(x −a)2+(y −b)2的代数式，可以转化为平面上点M （x ，y ）与N （a ，b ）的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|，下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象是轴对称图形B ．y ＝f （x ）的值域是[0，4]C ．f （x ）先减小后增大D ．方程f(f(x))=√13−√5有且仅有一个解解：f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|=|√(x +1)2+22−√(x −3)2+22|． 此函数即为x 轴上的点P （x ，0）到A （﹣1，2）与B （3，2）两点距离之差的绝对值， 故其图象关于x ＝1轴对称，A 正确；当x ＝1时，函数最小值为0，当x 趋近于无限大时，函数值无限接近4，其值域为[0，4），故B 错误； 由f （x ）＝||P A |﹣|PB ||，可得当x ∈（1，+∞）时，|P A |﹣|PB |随x 的增大而增大，故当f （x ）在（1，+∞）上为增函数， 由A 可得f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，故C 正确；令t ＝f （x ），当t ＝0或2时，f(t)=√13−√5，当f （x ）＝0时，x ＝1； 当f （x ）＝2时，由图象可知，f （x ）有两个实根，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数，则实数m 的值为 ﹣1或2 ． 解：要使函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数， 则 m 2﹣m ﹣1＝1 解得：m ＝﹣1或2． 故答案为：﹣1或2．14．已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则实数a 的取值范围是 [13，23） ．解：根据题意，已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则有{3a −2＜00＜a ＜1(3a −2)+3a ≥0，解可得13≤a ＜23，即a 的取值范围为[13，23）．故答案为：[13，23）．15．f(x)=log 24x ⋅log 14x2，x ∈[12，4]的最大值为 98．解：当12≤x ≤4时，f （x ）＝log 24x •lo g 14x 2=（2+log 2x ）（−12log 2x +12），令t ＝log 2x ，﹣1≤t ≤2，则原函数可化为g （t ）=−12（2+t ）（t ﹣1）=−12（t 2+t ﹣2）， 根据二次函数的性质可知，当t =−12时，函数取得最大值98．故答案为：98．16．已知函数f （x ）＝x 2+mx +n （m ，n ∈R ），记集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若A ＝B ≠∅，则实数m 的取值范围是 [﹣4，0] ． 解：因为A ＝B ≠∅，所以m 2﹣4n ≥0， 设x 2+mx +n ＝0的两个根为x 1，x 2（设x 1≤x 2），x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝n ，A ＝{x |f （x ）≤0}＝{x |x 1≤x ≤x 2}，由f （f （x ）+2）≤0，得x 1≤f （x ）+2≤x 2，即x 1﹣2≤f （x ）≤x 2﹣2， 由于A ＝B ，则x 2﹣2＝0，且x 1−2≤4n−m 24（二次函数最小值）， x 2﹣2＝0⇒x 2＝2，因此有x 1+2＝﹣m ，2x 1＝n ，所以n ＝﹣2m ﹣4， 代入m 2﹣4n ≥0，得m 2+8m +16≥0，此式恒成立，代入x 1−2≤4n−m 24，得−m −4≤−8m−16−m 24，解得﹣4≤m ≤0， 所以m 的取值范围为[﹣4，0]． 故答案为：[﹣4，0]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣ax +a 2﹣19＝0}，B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}． （1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若∅⫋（A ∩B ）且A ∩C ＝∅，求实数a 的值．解：（1）由题可得B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}＝{2，3}，由A ∩B ＝A ∪B ，得A ＝B ． 从而2，3是方程x 2﹣ax +a 2﹣19＝0的两个根，即{2+3=a 2×3=a 2−19，解得a ＝5．（2）因为B ＝{2，3}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}＝{﹣1，3}． 因为∅⫋（A ∩B ），所以A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，所以2∈A ， 即4﹣2a +a 2﹣19＝0，a 2﹣2a ﹣15＝0，解得a ＝5或a ＝﹣3． 当a ＝5时，A ＝{2，3}，则A ∩C ≠∅，不符合题意；当a ＝﹣3时，A ＝{﹣5，2}，则∅⫋A ∩B ＝{2}且A ∩C ＝∅，故a ＝﹣3符合题意， 综上，实数a 的值为﹣3． 18．（12分）计算：（1）(14)−12√(4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3⋅b−3)12； （2）log √39+12lg25+lg2−log 49×log 38+2log 23+ln √e ． 解：（1）原式=412×432a 32b −3210⋅a 32⋅b −32=2×810×1=85；（2）原式=log 31232+lg 5+lg 2﹣log 23×3log 32+3+lne 12=4+1﹣3+3+12=112．19．（12分）已知函数f(x)=2x −12x ． （1）用定义法证明：f （x ）在R 上单调递增；（2）若对任意x ∈[﹣1，1]，不等式f （3x 2+1）+f （k ﹣x 2）≥0恒成立，求实数k 的取值范围． 证明：（1）设任意两个实数x 1，x 2满足x 1＜x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−12x 1−2x 2+12x 2=(2x 1−2x 2)(1+12x 1⋅2x 2)， ∵x 1＜x 2，∴2x 1＜2x 2，1+12x 1⋅2x 2＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在R 上为单调递增；解：（2）原不等式化为f （3x 2+1）⩾﹣f （k ﹣x 2）， ∵f （﹣x ）＝2﹣x ﹣2x ＝﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数，∴不等式化为f （3x 2+1）⩾f （x 2﹣k ）， 又f （x ）是增函数，所以3x 2+1⩾x 2﹣k ， ∴问题转化为∀x ∈[﹣1，1]，2x 2+1⩾﹣k 恒成立， ∴k ⩾﹣1，则实数k 的取值范围为[﹣1，+∞）．20．（12分）已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0有解，求m 的取值范围． 解：（1）由函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． 可知f （x ）＝f （﹣x ）∴log 4（4x +1）+kx ＝log 4（4﹣x +1）﹣kx （（2分）即log 44x+14−x +1=−2kx∴log 44x ＝﹣2kx （4分）∴x ＝﹣2kx 对x ∈R 恒成立．（6分）∴k =−12．（7分）（2）由m =f(x)=log 4(4x +1)−12x ，∴m =log 44x +12x =log 4(2x +12x )．（9分）∵2x +12x ≥2（11分） ∴m ≥12（13分）故要使方程f （x ）﹣m ＝0有解，m 的取值范围：m ≥12．（14分）21．（12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一．在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR 智能巴士．某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ，经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜1060，10≤t ≤20，其中t ∈N ．（1）求p （5），并说明p （5）的实际意义；（2）若该路公交车每分钟的净收益y =6p(t)+24t −10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．解：（1）p （5）＝60﹣（5﹣10）2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）∵y =6p(t)+24t−10， ∴当5≤t ＜10时，y =360−6(t−10)2+24t −10=110−(6t +216t)， 任取5≤t 1＜t 2≤6，则y 1−y 2=[110−(6t 1+216t 1)]−[110− (6t 2+216t 2)]=6(t 2−t 1)+216t 2−216t 1=6(t 2−t 1)+ 216(t 1−t 2)t 1t 2=6(t 2−t 1)(t 1t 2−36)t 1t 2，∵5≤t 1＜t 2≤6，∴t 2﹣t 1＞0，25＜t 1t 2＜36，∴y 1﹣y 2＜0，∴函数y =110−(6t +216t )在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间[6，10）上单调递减， ∴当t ＝6时，y 取得最大值38；当10≤t ≤20时，y =6×60+24t −10=384t −10， 该函数在区间[10，20]上单调递减，则当t ＝10时，y 取得最大值28.4，综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．22．（12分）已知函数f(x)=|tx 2−5x+4t x|，其中常数t ＞0． （1）若函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，求t 的取值范围；（2）当t ＝1时，是否存在实数a 和b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且此时f （x ）的取值范围是[ma ，mb ]．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）根据题意，由f(x)=|tx 2−5x+4t x |，得f(x)=|t(x +4x)−5|， 设ℎ(x)=t(x +4x )，由于t ＞0，则h （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调且h （x ）≥4t ，要使函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，只需4t ﹣5≥0，解可得t ≥54；所以t 的取值范围为[54，+∞）； （2）根据题意，当t ＝1时，f （x ）＝|x 2−5x+4x |＝|x +4x−5|， 其草图如图：易得f （x ）在（0，1）、（1，2）、（2，4）、（4，+∞）均为单调函数．分4种情况处理：①当[a ，b ]⊆（0，1]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理，得（a ﹣b ）（a +b ﹣5）＝0． ∵a ，b ∈（0，1]，∴上式不成立，即a ，b 无解，m ∈∅；②当[a ，b ]⊆（1，2]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递增，则{f(a)=ma f(b)=mb ，即m =−4a 2+5a −1，在a ∈（1，2]有两个不等实根， 令1a =t ∈[12，1)，则−4a 2+5a −1=φ(t)=−4(t −58)2+916，作φ（t ）在[12，1)的图像可知，12≤m ＜916；③当[a ，b ]⊆（2，4]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理，得（a ﹣b ）（a +b ﹣5）＝0， ∴a +b =5∴b =5−a ＞a ∴2＜a ＜52，由−a −4a +5=mb ，得m =5−a−4a 5−a =1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254， 则m 关于a 的函数是单调的，而m =5−a−4a 5−a应有两个不同的解，∴此种情况无解； ④当[a ，b ]⊆[4，+∞）时，同（I ）可以解得m ∈∅，综上，m 的取值范围为[12，916)．。

2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．． 1．设集合}3,1,0{=A ，}4,3,1{=B ,则=B A ____________．2．已知指数函数xa x f )1()(-=在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是____________．3．已知函数],1,1[,12)(2-∈--=x x x x f 则函数)(x f 的值域是____________． 4．已知23.0=a ,3.0log2=b ,3.02=c ，则c b a ,,三个数的大小关系是____________．(按从小到大的顺序排列)5．定义在R 上的函数y=f （x ）的图象经过点(1,1)，则函数y=f （x+2）的图象必过定点______．6．已知函数,0,00,30,)(2⎪⎩⎪⎨⎧<=>=x x x x x f 则))2((-f f ＝____________．7．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8，则满足()f x ＝-27的x 的值是____________．8．若关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则实数m 的值为____________． 9．计算()3232ln 2lg 25lg 21-+++e ＝____________．10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且(3)0f -=，则使得[()()]x f x f x +-＜0的x 的取值范围是____________．11．函数)4lg()(2x x x f -=的单调递增区间是____________．12．用min{,}a b 表示,a b 两数中的最小值．若函数()min{||,||}f x x x t =+的图像关于直线2x =-对称，则t =____________．13．直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点，则实数a 的取值范围是____________．14．已知函数4)3(2)(2+-+=x m mx x f ，,)(mx x g =若对任意实数x ，)(),(x g x f 的值至少有一个是正数，则实数m 的取值范围是____________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知全集U R =，函数)2(log )(22-+=x x x f 的定义域为集合A ，关于x 的不等式()212(2xa x a -->∈R )的解集为B ．(1)若A B B =，求实数a 的取值范围； (2)若A B U =，求实数a 的取值范围．16．(本小题满分14分)已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，)0(12)(23>++-=a bx ax ax x f (1)求函数)(x f y =的解析式； (2)若函数xx f x g 1)()(-=在区间[]3,2上有最大值4，最小值1，求b a ,的值．17．(本小题满分15分)已知函数xxx f 42)(-⋅=λ,定义域为[]3,1．(1)若,6=λ求函数)(x f 的值域；(2)若函数)(x f 在区间[]3,1上是增函数，求实数λ的取值范围；18．(本小题满分15分)(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当120=a 时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由；(3)当a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？19．(本小题满分16分)已知函数,11log )(2-+=x x x f )1(log )(2-=x x g (1)判断)(x f 在区间),1(+∞上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)记函数kx g x h x++=)22()(，问：是否存在实数k 使得函数)(x h 为偶函数？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由；(3)记函数)(log )()()(2x p x g x f x F -++=，其中,1>p 试求)(x F 的值域．20．(本小题满分16分)已知函数()||f x x m =-，函数2()()7g x x f x m m =⋅+-． (1)若,1=m 求不等式0)(≥x g 的解集； (2)求函数)(x g 在),3[+∞上的最小值；(3)若对任意1(,4]x ∈-∞,均存在2[3,)x ∈+∞,使得12()()f x g x >成立，求实数m 的取值范围．2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案（满分100分， 考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题（每小题3分，共36分。

2015-2016学年浙江省杭州市第二中学高一下学期期中考试数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分,满分100 分,考试时间 100分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.ABC ∆中，3=AB ，1=AC ，6π=B ，则ABC ∆的面积等于（ ）A.23 B.43 C.23或3 D.23或43 2.已知P 是边长为2的正ABC ∆的边BC 上的动点，则)(→→→+⋅AC AB AP （ ）A.有最大值8B.是定值6C.有最小值2D.是定值2 3.数列}{n a 满足21=a ，)(11*1N n a a nn ∈-=+，则2016a =（ ） A.2- B.1- C.2 D.21 4.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin,cos )88P ππ，则)122sin(πα-的值为（ ）A.23 B.23- C.21 D. 21-5.若10,0,cos ,cos 224342ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）B. D.6.在ABC ∆中，B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状是（ ）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.以上都可能 7.已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a ，b 为常数，R x ∈）在3π=x 处取得最小值，则函数)32(x f y -=π的图像关于（ ）中心对称. A.)0,65(π B. )0,32(π C.)0,2(π D.)0,3(π8.若B A ,是锐角三角形ABC 的两个内角，则以下选项中正确的是（ ）A.B A sin sin <B.B A cos sin <C.1tan tan >B AD.1tan tan <B A9.已知两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且5546++=n n B A n n ，则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是（ ）A.5B.4C.3D.210.扇形OAB 中，90=∠AOB ,2=OA ，其中C 是OA 的中点，P 是AB 弧上的动点（含端点），若实数μλ,满足→→→+=OB OC OP μλ，则μλ+的取值范围是（ ） A.]2,1[ B.]3,1[ C.]2,1[ D.]5,1[ 二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11.2sin 12sin 1++-=_________.12.已知数列}{n a 是等差数列，1272=+a a ，3554=a a ，则n a =_______. 13.已知),0(,πβα∈，且71cos =α，1435)sin(=+βα，则βcos =_________. 14.在ABC ∆中，O 为ABC ∆的外心，满足→→→→=++017815CO BO AO ，则C ∠=___________. 15.已知ABC R ∆t 中，两直角边分别为a 、b ，斜边和斜边上的高分别为c 、h ，则ba hc ++2的取值范围是_________.16.若正实数x ，y ，z 满足922=+y x ，1622=++xz z x ，25322=++yz z y ，则yz xz xy ++32=__________.杭州二中2015学年第二学期高一年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．_____ ______12．___________ 13．___________14．___________ 15．___________ 16．___________三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为a ，b ，c cos Ccos =A ． （1）求角A 的值； （2）若6π=∠B ，BC 边上中线7=AM ，求ABC ∆的面积．18.（本小题满分10分）已知数列}{n a ，设其前n 项和为n S ，满足205=S ，48-=S . （1）求n a 与n S ；（2）设21++=n n n n a a a c ，n T 是数列}{n c 的前n 项和，若对任意+∈N n ，不等式3466-≤m T n 恒成立，求实数m的取值范围.19.（本小题满分12分）如图，某房产开发商计划在一正方形土地ABCD 内建造一个三角形住宅区，在其余土地种植绿化，住宅区形状为三角形APQ ，其中P 位于边CB 上，Q 位于边CD 上. 已知，4π=∠PAQ ，设θPAB =∠，记绿化率面积正方形面积ABCD PAQ L ∆-=1，若L越大，则住宅区绿化越好. (1)求)(θL 关于θ的函数解析式；(2)问当θ取何值时，L 有最大值？并求出L 的最大值.20.（本小题满分14分）已知(sin ,cos ),(sin ,),(2cos ,sin )a x x b x k c x x k ===--. （1）当[0,]4x π∈时，求b c +的取值范围；（2）若()()g x a b c =+⋅，求当k 为何值时，()g x 的最小值为32-.杭州二中2015学年第二学期高一年级期中考试数学答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分．11． 2sin1 12．2n-3或15-2n 13．21 14．4π15．]2,1(16．24 三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(1)6π.解析：（1）cosCcos =A ，∴cosC cos =A ，化简得cos A =∴6πA =． （2）6π∠B =，∴2C 3ππ=-A -B =， 可知C ∆AB 为等腰三角形． 在C ∆AM 中，由余弦定理，得222C C 2C Ccos120AM =A +M -A ⋅M ，即2272cos12022b b b b ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得2b =．∴C ∆AB 的面积2211sin C 2222S b ==⨯⨯= 解析：（1）n a n 313-=.22332nn S n +-=.(2)⋅⋅⋅>>>>>>>6543210a a a a a a ，0,0,0,0,076556544543343223211<=>=<=>=>=∴a a a c a a a c a a a c a a a c a a a c ，且当5>n 时，都有0<n c ，所以当4=n 时，n T 的值最大，此时310=n T ， 由5466310-≤m ，得2016≥m18.解析：（1）,4,πθ=∠=∠PAQ BAP θπ-=∠∴4DAQ ，]4,0[πθ∈ ），θπθ-==∴4cos(100cos 100AQ AP ， )4cos(cos 1211100)4cos(100cos 10021-1)(2θπθθπθθ-⋅-=-⋅⋅=∴L θθθθθθsin cos cos 1221)sin 22cos 22(cos 121-12+⋅-=+⋅= 1)42sin(111)42sin(212122sin 212cos 1221++-=++⋅-=++⋅-=πθπθθθ （2），，]1,22[)42sin(],43,4[42]4,0[∈+∴∈+∴∈πθπππθπθ 12)22(122211221-11)42sin(11)(-=--=+-=+≤++-=∴πθθL ∴当40πθ或=时，L 有最大值1-2.20.1．（1）[1,2]；（2）0．解析：（1）(sin 2cos ,sin ),b c x x x +=-2222||(sin 2cos ,sin )2sin 4sin cos 4cos b c x x x x x x x+=-=-+2=2cos 4sin cos 2cos 22sin 23)2x x x x x x ϕ-+=-+=+=，其中，2tan =ϕ，又]4,0[π∈x ，]4,[2ϕπϕϕ+∈+∴x ，)2cos(5ϕ+∴x 在]4,[ϕπϕ+上单调递减，]4,1[||2∈+∴→→c b ，]2,1[||∈+∴→→c b（2）(2sin ,cos ),()()4sin cos (cos )(sin )a b x x k g x a b c x x x k x k +=+=+⋅=-++-23sin cos (sin cos )x x k x x k =-+--令sin cos 2sin()4t x x x π=-=-，则t ⎡∈⎣，且222sin cos 2sin cos 12sin cos t x x x x x x =+-=-，所以21sin cos 2t x x -=．所以()g x可化为2222133()(3),222t h t kt t t kt k t -⎡=-⋅+-=+--∈⎣，对称轴3322kkt =-=-⨯．①当3k-<k >222min 333()(((222g x h k k k ==⨯+--=-+，由23322k -+=-，得230k -=，所以2k =k >解．②当3k≤-≤，即k -≤≤ 222min 3373()()()()3233262k k k g x h k k k =-=-+---=--．由2733622k --=-，得0k ⎡=∈-⎣．③当3k->k <-222min 333()222g x h k k ==--=-+．高中数学-打印版校对打印版由23322k -+=-，得230k -=，所以k =因为k <-综上所述，当0k =时，()g x 的最小值为32-．。

浙江省2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷及答案 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.满足条件{}{}121,2,3M =，的集合M 的个数是A. 1B. 2C. 3D. 42.已知函数()f x =1()()y f x f x=+的定义域为A. 1[,2]2 B . 1[,2)2 C. [2,)+∞ D.1(0,]23.下列各组函数中表示同一函数的是 A. x x f =)(与2)()(x x g = B. ||)(x x f =与33)(x x g =C.2()(2)x f x =与()4xg x = D.11)(2--=x x x f 与()1g x x =+4.函数y =A.(,3)-∞- B.(,1)-∞- C. (1,)-+∞D.(1,)+∞ 5.已知函数()()()2212(3)x x f x x f x ≥⎧+⎪=⎨<+⎪⎩，则()()13f f -= A.7 B.12 C.18 D.276.已知,,a b c R ∈则下列命题成立的是 A.22a b ac bc >⇒>B.2211,0a b ab ab>>⇒<C.32a b a b >⇒>D.3311,0a b ab ab>>⇒<7. 若函数()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，则 在区间(0,)+∞上A.()f x 与()g x 都是递增函数B.()f x 与()g x 都是递减函数C.()f x 是递增函数，()g x 是递减函数D.()f x 是递减函数，()g x 是递增函数 8.若函数(1)()(4)2(1)2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+⎪⎩≤是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为A ．(1,)+∞B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递减. 若实数x 满足22(1)(1)2(3)2121x x f f f -+++≤--，则x 的取值范围是A ．[1,1]-B ．[1,0)(0,1]- C ．(0,1]D ．(,1][1,)-∞-+∞10.已知函数2()2(4)4,()f x x m x m g x mx =+-+-=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，共24分.11. 13103211()()4(0.064)32--+-+= ▲ ．12. 若xx x f 2)1(+=-，则(3)f =▲ ；()f x =▲ ． 13. 已知3()2(,)f x ax bx a b R =++∈，若(2019)3f =，则(2019)f -=▲ ；14. 已知函数1()1f x x=-，把()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的解析式为 ▲ ；()y g x =的递减区间为 ▲ . 15. 已知函数1,01()41,02xxx x x f x x +⎧≤⎪⎪-=⎨+⎪>⎪⎩，则()f x 的值域为▲ ．16. 已知函数()11f x x x x =-+++，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则()f x的最小值为 ▲ ；满足条件的所有a 的值为 ▲ ．17. 已知函数()f x x =，2()252g x x mx m =-+-()m R ∈，对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共46分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18. 已知,x y 为正数.（1）当1x y +=时，求xy 的最大值； （2）当0x y xy +-=时，求2x y +的最小值.19.已知集合{}{}2230,26A x x x B x x x =--≥=-<.（1）求,()R AB C A B ；（2）已知集合13a C x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，若B C C =，求实数a 的取值范围.20.已知二次函数()f x 满足(0)(2)1f f ==-且(1)4f =-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若()(01)x y f a a a =>≠且在[1,1]x ∈-上的最大值为8，求实数a的值.21.已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x <时，()1xf x x =-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 在R 上的图象； （3）解关于x 的不等式2()(1)f ax x f ax ->-（其中a R ∈）.22.已知函数()()f x x x a a a R =--∈.（1）讨论()f x 的奇偶性；（2）当4a =时，求()f x 在[1,5]x ∈的值域；（3）若对任意[3,5]x ∈，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 答案 一、选择题1.D2.A3.C4.D5.A6.D7.A8. D9.B 10.C二、填空题11.12. 24；13. 1 14.；15. 16. 2；1或317.三、解答题18.（1），当时取到最大值；（2），，当时取到最小值. 19.（1），，；（2）.20.（1）；（2）.21.（1）；（2）图略；（3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，或.22.（1）当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数；（2）；（3）或.。

2018-2019学年浙江省杭州市第二中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合M={x|x ＞x 2}，N={y|y=，x ∈M}，则M∩N=（ ）A ．{x|0＜x ＜}B ．{x|＜x ＜1}C ．{x|0＜x ＜1}D ．{x|1＜x ＜2}【答案】B【解析】试题分析：利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合M ，N ．再利用交集的运算即可得出．解：对于集合：M ：由x ＞x 2，解得0＜x ＜1，∴M={x|0＜x ＜1}． ∵0＜x ＜1，∴1＜4x ＜4∴.．∴N={y|}．∴M∩N={x|}．故选B ．点评：熟练掌握一元二次不等式的解法和指数函数的性质、交集的运算等是解题的关键．2．下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（ ）A ．1y x -= B ．2log y x = C ．||y x = D ．2y x =- 【答案】C【解析】试题分析：A 是奇函数，B 既不是奇函数，也不是偶函数，所以，A 、B 都排除；D 是二次函数，函数图象的开口向下，在0,+∞（）单调递减，不符合，只有C 符合.【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性以及基本初等函数的图象. 3．设248log 3,log 6,log 9a b c ===，则下列关系中正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a c b >>【答案】A【解析】试题分析：248lg3lg 2lg32lg3log 3,log 6,log 9lg 22lg 23lg 2a b c +======⇒ 2lg3lg3lg3lg 2lg32lg 22lg 22lg 2a b ++==>=⇒3lg 23lg 3lg 33lg 34lg 36lg 26lg 26lg 2b c ++=>==⇒a b c >>,故选A ．【考点】1、对数的大小比较；2、对数的基本运算．4．若()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(1)(21)f x f x ++-的定义域是（ ）． A ．[1,1]- B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】根据函数()y f x =的定义域为[]0,2可得012x ≤+≤且0212x ≤-≤，解得x 的取值范围即为所求函数的定义域．【详解】由函数()f x 的定义域为[0,2]得0120212x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，解得112x ≤≤， 所以函数()()121f x f x ++-的定义域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选B ． 【点睛】求该类问题的定义域时注意以下结论：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．5．已知函数()2102204xa x f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+≤≤⎩，＜，的值域是[]8,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞- B ．[)3,0- C ．[]3,1--D ．{}3-【答案】B【解析】分析：由二次函数的性质可得当0≤x≤4时，函数的值域刚好为[﹣8，1]，故只需y=﹣1()2x，a≤x ＜0的值域为[﹣8，1]的子集，可得a 的不等式，结合指数函数的单调性可得．详解：当0≤x≤4时，f （x ）=﹣x 2+2x=﹣（x ﹣1）2+1， 图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=1，故函数在[0，1]单调递增，[1，4]单调递减， 此时函数的取值范围是[﹣8，1]，又函数f （x ）的值域为[﹣8，1]，∴y=﹣1()2x，a≤x ＜0的值域为[﹣8，1]的子集， ∵y=﹣1()2x ，a≤x ＜0单调递增， ∴只需011()8()122a-≥--≤，， 解得﹣3≤a ＜0 故选B ．点睛：本题考查函数的值域，涉及分段函数、指数函数与二次函数的图象与性质及集合间的包含关系，属于中档题6．已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先由函数()f x 的图象判断a ，b 的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案． 【详解】解：由函数的图象可知，10b -<<，1a >，则()xg x a b =+为增函数， (0)10g b =+>，()g x 过定点(0,1)b +，【点睛】本题考查了指数函数和二次函数的图象和性质，属于基础题．7．已知,,a b c ∈R ，函数2()f x ax bx c =++，若(0)(2)(3)f f f =>，则（ ）A ．0a >，40a b +=B ．0a <，40a b +=C ．0a >，20a b +=D ．0a <，20a b +=【答案】D【解析】根据函数值(0)(2)(3)f f f =>得()f x 的对称轴是1x =且在1x >时递减，从而得开口方向． 【详解】由(0)(2)f f =知函数的对称轴是1x =，又(2)(3)f f >，∴1x >时，()f x 是减函数． ∴12ba-=且0a <，即20,0a b a +=<． 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题．8．设0c <，()f x 是区间[,]a b 上的减函数，下列命题中正确的是（ ）． A ．()f x 在区间[,]a b 上有最小值()f a B ．1()f x 在[,]a b 上有最小值()f aC ．()f x c -在[,]a b 上有最小值()f a c -D ．()cf x 在[,]a b 上有最小值()cf a【答案】D【解析】分析：根据单调性确定函数最值，()f x 是区间[],a b 上的减函数，()f x c -是区间[],a b 上的减函数，()cf x 0c （<）是区间[],a b 上的增函数，()1f x 单调性与函数值正负有关.详解：A 项错误，()f x 在[,]a b 上最小值为()f b ，B 项错误，当()()0f a f b >时，1()f x 在[,]a b 上最小值为1()f a ， C 项错误，()f x c -在[,]a b 上有最小值()f b c -， D 项正确．点睛：求函数最值往往利用函数单调性，而函数单调性的判断式解题得关键，若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．9．在平面直角坐标系中，若P ，Q 满足条件：（1）P,Q 都在函数f （x ）的图象上；（2）P,Q 两点关于直线y=x 对称，则称点对{P,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数2232(0)(){log (0)x x x f x x x ++≤=>的“可交换点对有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【答案】C【解析】试题分析：设p （x ，y ）是满足条件的“可交换点”,则对应的关于直线y=x 的对称点Q 是（y ，x ），所以232x x ++=2x ,由于函数y=232x x ++和y=2x 的图象由两个交点，因此满足条件的“可交换点对”有两个，故选C. 【考点】函数的性质10．设22222(0)(){(4)(3)(0)k x a k x f x x a a x a x +-≥=+++-<，其中R a ∈．若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则k 的取值范围为 A ．R B ．[4,0]- C ．[9,33] D ．[33,9]--【答案】D 【解析】【详解】设22()g x k x a k =+-，222()(4)(3)h x x a a x a =+++-，因为设22222(0)(){(4)(3)(0)k x a k x f x x a a x a x +-≥=+++-<，对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立， ∴函数必须为连续函数，即在x =0时，两段的函数值相等， ∴(3−a )2=a 2−k ，即−6a +9+k =0，即k =6a −9， 且函数在y 轴两侧必须是单调的，由条件知二次函数的对称轴不能在y 轴的左侧即240a a +≤，且两个函数的图象在y 轴上交于同一点，即(0)(0)g h =，()223a k a -=-， 所以，69k a =-在[4,0]-上有解，从而[33,9]k ∈--，故答案为D.【考点】二次函数的图象和性质.二、填空题11．已知log 2,log 3a a x y ==，则2x y a += ． 【答案】12【解析】解：因为log 2,log 3a a x y ==，则log 12222log 2log 3log 12,12a x y a a a x y a a ++=+===12．若函数2()log ()f x x x k k z =+-∈在区间(2,3)上有零点，则k = ． 【答案】4【解析】【详解】试题分析：显然()f x 是单调递增函数，又它在区间(2,3)上有零点，所以(2)0f <且(3)0f >，即30k -<且2log 330k +->，得23log 33k <<+，而21log 32<<，又k z ∈，所以4k =.【考点】函数的零点.13．已知函数log (3)a y ax =-在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为___________.【答案】3(1,]2【解析】由复合函数的单调性：同增异减，由于3u ax =-递减，因此log a y u =必须递增，即有1a >，还要考虑函数定义域，即在(1,2)x ∈时，30ax ->恒成立． 【详解】∵0a >，∴3u ax =-是减函数，又log (3)a y ax =-在(1,2)上是减函数，所以1a >， 且320a -≥，∴312a <≤． 故答案为：3(1,]2．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域．14．函数2()lg(31)f x x =++的定义域是__________．【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】要使函数()f x ()2lg 31x +有意义,则10310x x ->⎧⎨+>⎩,解得113x -<<,即函数()f x ()2lg 31x +的定义域为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．15．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是单调增函数.如果实数t满足1(ln )ln 2(1)f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭时，那么t 的取值范围是__________．【答案】1.t e e<< 【解析】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以1(ln )(ln )(ln )(ln ),f f t f t f t t=-==由11(ln )(ln )2(1)2(ln )2(1)(ln )(1)ln 11ln 1.f t f f f t f f t f t t t e t e+<⇒<⇒<⇒<⇒-<<⇒<<【考点】奇偶性与单调性的综合应用16．已知2()2f x x x a =++，若函数[()]()y f f x f x =-有且只有三个零点，则实数a 的取值集合为________.【答案】{}0【解析】2()(1)1f x x a =++-最小值为1a -，函数[()]()y f f x f x =-有三个零点，即[()]()f f x f x =有三个解．设()f x t =，即()f t t =，方程()f x t =最多有两解，因此()f t t =也必须有两解才可满足题意，设()f t t =的两解为12,t t ，当121,1t a t a =->-可保证[()]()f f x f x =有三个解．【详解】2()2f x x x a =++2(1)1x a =++-，设()f x t =，显然()f x t =最多有2个不等实解，也可能是2个相等实根或无解．[()]()0f f x f x -=为()0f t t -=，函数[()]()y f f x f x =-有且只有三个零点，则方程()0f t t -=一定有两实根12,t t ，其中一根11t a =-，另一根21t a >-．由2(1)(1)2(1)1f a a a a a -=-+-+=-，得0a =，此时2()2f x x x =+，2()2f x x x x =+=的两根为1-和0，满足题意．∴0a =． 故答案为：{0}． 【点睛】本题考查函数的零点的概念，解题时由零点定义转化为方程的根，通过二次方程根的分布知识求解．17．已知()y f x =是定义在R 上的函数，对任意的x ∈R ，恒有2()()f x f x x +-=成立.，若()y f x =在(,0]-∞上单调递增，且(2)()22f a f a a --≥-，则a 的取值范围为__________. 【答案】(,1]-∞【解析】由已知令2()()2x g x f x =-，可确定()g x 的奇偶性与单调性，而题设不等式可化为(2)()g a g a -≥，由()g x 的单调性可解． 【详解】令2()()2x g x f x =-，则22()()()()022x x g x g x f x f x +-=-+--=，则()g x 是奇函数，又()y f x =在(,0]-∞上单调递增，∴()y g x =在(,0]-∞上也单调递增，从而()g x 在R 上单调递增，(2)()22f a f a a --≥-22(2)(2)()022a a f a f a -⇒---+≥，即(2)()0g a g a --≥，∴(2)()g a g a -≥，∴2a a -≥，所以1a ≤． 故答案为：(,1]-∞． 【点睛】本题考查函数的性质和运用，主要考查运用函数的奇偶性与单调性解不等式，解题关键是构造函数2()()2x g x f x =-，确定单调性．三、解答题18．已知全集U =R ，若集合2{|13300}A x x x =-+≤，2{|9140}B x x x =-+≤，{|26}C x a x a =<<+.（1）求A B I ，A B U ； （2）若U UC A ⊆痧，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[]3,7A B ⋂=，[]2,10A B ⋃=；（2）()2,3. 【解析】（1）先求出集合,A B ，然后由交、并运算计算；（2）已知等价于A C ⊆，根据子集的概念可得不等关系，从而可求得a 的范围． 【详解】（1）∵{}310|A x x =≤≤，{}|27B x x =≤≤， ∴[]3,7A B ⋂=，[]2,10A B ⋃=； （2）∵U UC A ⊆痧，∴A C ⊆，且{|26}C x a x a =<<+，∴32610a a <⎧⎨+>⎩，解得23a <<，∴实数a 的取值范围为()2,3.【点睛】本题考查集合的交、并集运算，考查集合的包含关系．属于基础题．19．已函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，在[0,1]上()()2ln 11xf x x =++-.（1）求函数()f x 的解析式；并判断()f x 在[]1,1-上的单调性(不要求证明)； （2）解不等式()()22110f x f x-+-≥．【答案】（1），()f x 是[1,1]-上增函数；（2）不等式的解集为[]0,1.【解析】【详解】试题分析：{设10x -≤≤，则01x ≤-≤}是求函数解析式问题的重要方法,即求那个区间的解析式设自变量在那个区间,然后运用奇函数的性质进行转化;注意运用{在相同定义域内,增+增=增; 减+减=减}判断函数的单调性.（2）利用函数的单调性解不等式,同时注意函数的定义域. 试题解析：（1）设10x -≤≤，则01x ≤-≤1()2ln(1)1ln(1)12x xf x x x -∴-=+--=+-- 又()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，()()f x f x =--=1ln(1)12x x ---+()f x 是[-1，1]上增函数 .（2）()f x Q 是[-1，1]上增函数，由已知得:2(21)(1)f x f x -≥-.等价于2202211{1211{2211101x x x x x x x ≤≤-≥--≤-≤⇔-≤-≤-≤≤≤01x ∴≤≤∴不等式的解集为[]0,1【考点】求函数解析式,函数的单调性,函数的奇偶性,解不等式.20．已知函数()()4log 41xf x kx =++为偶函数，()()4log 32xg x a =⨯+．（1）求实数k 的值；（2）若[]1,2x ∈时，函数()f x 的图像恒在()g x 图像的下方，求实数a 的取值范围；（3）当3a >-时，求函数()()416f x kx g xy -=-+在[]0,1x ∈上的最小值()h a ．【答案】（1）12-（2）72a ≥-（3）()22867,3181,383a a a h a a a ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩ 【解析】（1）利用函数是偶函数，建立方程进行求解即可（2）将不等式转化为()()f x g x ≤恒成立，利用参数分离法进行求解即可（3）利用换元法结合指数的性质，转化为一元二次函数，结合函数单调区间和对称轴的关系进行求解即可．【详解】（1）Q 函数()()4log 41x f x kx =++为偶函数， ()()f x f x ∴-=，()()44log 41log 41x x kx kx -∴+-=++， 得()444412log log 41log 44x x x x kx x -+=-⎛⎫ ⎪⎭=⎝+=-， 解得21k =-，即12k =-. （2）若[]1,2x ∈时，函数()f x 的图像恒在()g x 图像的下方，则()()f x g x ≤恒成立，即()()441log 41log 322x x x a +-⨯+…， 即()4441log log 322x x x a ⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭…， 化简得12322xx x a +⨯+…， 即1222x x a -⨯+…恒成立， 1222x x y =-⨯+Q 在[]1,2上单调递减， ∴当1x =时，函数取得最大值17422y =-+=-， 72a ∴≥-， （3）当3a >-时，函数()()()()244log 41log 3241644x x f x kx g x a y ⨯+-+-+=-+= ()()222413282621x x x x aa a =--+⨯+=⨯+⨯+-，设2x t =， [0,1]x ∈Q ，12t ∴剟，则设22()861m t t at a =++-，函数的对称轴为63288a a t =-=-⨯， 3a >-Q ，3988a ∴-<， 若318a -…，即83a -…时，则函数在[1,2]上的最小值2()(1)67h a m a a ==++， 若39188a <-<，即833a -<<-时，则函数在[1,2]上的最小值231()()188a h a m a =-=--， 综上函数在[]0,1x ∈上的最小值()22867,3181,383a a a h a a a ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. 【点睛】本题主要了考查函数与方程的综合应用，结合函数奇偶性求出k 的值，以及利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题． 21．定义函数1,0,()1,0,x x x ϕ≥⎧=⎨-<⎩222()2()()f x x x x a x a ϕ=---. （1）解关于a 的不等式：(1)(0)f f ≤；（2）已知函数()f x 在[0,1]x ∈的最小值为(1)f ，求正实数a 的取值范围.【答案】（1）13,,22U ⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）[)70,4,16⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U . 【解析】（1）分类，分1a >和1a ≤两类讨论；（2）分类，1a >容易求解，01a <≤时，还要对x1x ≤≤和0x ≤<，这时又要考虑二次函数的对称轴．需要用分离参数法．【详解】（1）由()()10f f ≤，得()()12110a a ϕ---≤， 当1a >时，()11a ϕ-=-，所以()1210a +-≤，∴32a ≥； 当1a ≤时，()11a ϕ-=，所以()1210a --≤，∴12a ≤， 综上，不等式的解集为：13,,22U ⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； （2）当1x =时，)(()1f x f =，根据题意，对于任意的[)()()0,1,1x f x f ∈≥恒成立，当1a >时，由()()1f x f ≥，得()22232x x x a a +-≥-， 即()322123a x x x -≤+-，① ∵[)0,1x ∈，①等价于322321x x a x +-≥-， ∴22233a x x ≥++，∴2233a ≥++，∴4a ≥；当01a <≤时，由()()1f x f ≥，得()()222221x x x a x a a ϕ---≥-.1x ≤≤时，∴()322121a x x x -≥--，② ∵[)0,1x ∈，②成立，等价于322212211x x a x x x --≤=++-，221a a ≤，恒成立；当0x ≤<时，222()21x x x a a +-≥-，∴322(1)21a x x x +≤++，∵[)0,1x ∈，∴322212211x x a x x x ++≤=-++2172()48x =-+，14≤，即1016a <≤时，22a 1≤-，成立，所以1016a <≤符合；14>即 1 116a <≤时，728a ≤，716a ≤，结合条件，得171616a <≤. 综上，7016a <≤或4a ≥. 【点睛】本题考查分段函数性质、函数的单调性，考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，属于难题．。