双重逆极限空间上移位映射的动力性质

拓扑空间中的连续映射的8个等价命题引言在拓扑空间中，连续映射是一种非常重要的概念。

连续映射的性质和等价命题可以帮助我们理解拓扑空间的结构和性质。

本文将探讨拓扑空间中连续映射的8个等价命题，并对每个命题进行详细的解释和证明。

一、定义在开始讨论连续映射的等价命题之前，我们先来回顾一下连续映射的定义。

定义：设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个函数。

如果对于Y中的每个开集V，f-1(V)是X中的开集，则称f是从X到Y的连续映射。

二、等价命题下面是拓扑空间中连续映射的8个等价命题：1. 逆映射的原像是开集如果f:X→Y是一个连续映射，那么对于Y中的每个开集V，f-1(V)是X中的开集。

证明：对于Y中的每个开集V，根据连续映射的定义，f-1(V)是X中的开集。

2. 逆映射的原像是闭集如果f:X→Y是一个连续映射，那么对于Y中的每个闭集W，f-1(W)是X中的闭集。

证明：根据连续映射的定义，f-1(Y-W) = X-f-1(W)，由此可知f-1(W)是闭集。

3. 逆映射的连续性如果f:X→Y是一个连续映射，并且f是双射，则f-1:Y→X也是连续映射。

证明：对于Y中的每个开集V，我们需要证明(f-1)-1(V) = f(V)是X中的开集。

由于f是连续映射，f-1(f(V)) = V是Y中的开集。

因此，f(V)是X中的开集，即f-1是连续映射。

4. 连续映射的复合映射是连续的如果f:X→Y和g:Y→Z是连续映射，则复合映射g∘f:X→Z也是连续映射。

证明：对于Z中的每个开集W，我们需要证明(g∘f)-1(W) = f-1(g-1(W))是X中的开集。

由于g是连续映射，g-1(W)是Y中的开集；由于f是连续映射，f-1(g-1(W))是X中的开集。

因此，复合映射g∘f是连续映射。

5. 连续映射保持连通性如果f:X→Y是一个连续映射，并且X是连通的，则f(X)是Y中的连通子集。

证明：假设f(X)在Y中不是连通的，即存在开集U和V，满足f(X)∩U ≠ ∅，f(X)∩V ≠ ∅，f(X)∩(U∩V) = ∅，并且U∩f(X)和V∩f(X)是f(X)的分离集。

量子力学知识：量子力学中的双重性质——粒子还是波量子力学是一种基本粒子和力的运动学描述的理论。

在这个理论中，微观粒子的行为很大程度上是由概率而不是因果关系所确定的，这是因为它们具有双重性质，即它们既可以表现出粒子的特性，又可以表现出波动的特性。

在经典物理学中，我们认为粒子是实体物体，而波动则只是能量传播的方式。

但在量子力学中，情况相当不同。

在这个理论中，物质不仅可以表现为粒子，而且可以表现为波。

这是由薛定谔方程所描述的，它是量子力学的核心方程之一。

薛定谔方程让我们能够计算一个粒子可能会发生的一切事情，但它并没有解释粒子为何会展现出既像粒子又像波的双重性质。

事实上，这个双重性质是由薛定谔不等式所描述的。

薛定谔不等式将粒子的位置和动量之间的相对不确定度联系起来，这意味着我们无法精确地知道粒子的位置和动量。

这就是为什么粒子可以表现为波和粒子的原因。

当我们观察它们的位置时，它们的波特性会受到干扰，同时它们也会表现出粒子的特性。

而当我们观察它们的波特性时，它们的位置和速度就变得不明确了。

双重性质的另一个重要方面是波的干涉。

当两波相遇时，它们会相互干涉，这可能会导致干涉峰和波浪相消。

在量子力学中，一个粒子的波特性可以与另一个粒子的波特性产生干涉。

这就是为什么两个粒子可以同时出现在一个位置，或者为什么它们可能会产生互相抵消或增强的效果。

这种干涉现象的出现使得物理学家们困惑不解。

在粒子级别，我们认为物理量的值是确定的，而不是遵循概率法则。

但是，根据双重性质的观察结果，这些粒子的运动似乎遵循概率法则。

为了解决这个问题，爱因斯坦提出了著名的“隐含变量”假设，这是一种试图削弱量子力学的独特性的理论。

随着时间的推移，这个假设被证明是错误的。

双重性质也表明物质可以在特定的条件下发生自发干涉。

这种自发干涉的结果是物质的不同区域之间出现了非常复杂的联系。

这种联系被称为量子纠缠，这是量子力学中最神秘的现象之一。

量子纠缠使得两个粒子之间的相互作用与它们之间的距离相对无关。

逆映射和复合映射讲解逆映射和复合映射是数学中常见的概念，它们在代数、几何和函数论等领域被广泛应用。

本文将从基本概念、性质和应用等方面详细讲解逆映射和复合映射。

一、逆映射的基本概念逆映射是指对于一个给定的映射，存在一个与之相对应的映射，使得它们互为逆映射。

具体而言，对于给定的映射 f：A→B，如果存在另一个映射 g：B→A，使得 g(f(a))=a 对于任意a∈A 都成立，且 f(g(b))=b 对于任意b∈B 也成立，则称 g 是 f 的逆映射，记作 f^(-1)。

逆映射的存在与否取决于原映射的性质。

如果映射 f 是双射（既是满射又是单射），则其逆映射存在且唯一。

双射的逆映射可以看作是将映射 f 的输入和输出对调的映射。

二、逆映射的性质1. 逆映射是唯一的。

如果逆映射存在，则它是唯一的，即对于同一个映射 f，只能存在一个逆映射 g。

2. 逆映射的逆映射仍然是原映射。

如果 f 的逆映射存在，则其逆映射的逆映射仍然是 f 本身，即 (f^(-1))^(-1)=f。

3. 逆映射的复合映射是恒等映射。

对于映射 f 和其逆映射 g，它们的复合映射 f(g(x)) 和 g(f(x)) 都等于 x，即 f(g(x))=x 和g(f(x))=x 成立。

三、复合映射的基本概念复合映射是指将一个映射的输出作为另一个映射的输入，从而得到一个新的映射。

具体而言，对于给定的两个映射 f：A→B 和 g：B→C，它们的复合映射定义为 h：A→C，其中 h(x)=g(f(x))。

复合映射的定义要求 f 的输出和 g 的输入具有相同的集合，这样才能进行复合。

复合映射的结果是一个新的映射，它将输入从 A 映射到 C。

四、复合映射的性质1. 复合映射是结合的。

对于给定的三个映射 f：A→B、g：B→C 和h：C→D，它们的复合映射可以按照顺序进行复合，即(h∘g)∘f=h∘(g∘f)。

2. 复合映射满足分配律。

对于给定的两个映射 f：A→B 和 g1、g2：B→C，如果 g1 和 g2 相等，则它们与 f 的复合映射也相等，即f∘g1=f∘g2。

量子力学中的双重性原理解读量子力学是描述微观世界行为的物理理论，它导致了许多令人困惑的现象和理论。

其中一个最重要的概念是双重性原理，也被称为波粒二象性。

这一原理表明，微观粒子既有波动性，又有粒子性，具有双重本质。

双重性原理首次由德国物理学家德布罗意在1924年提出，他认为微观粒子，如电子和光子，既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。

波动性体现在粒子的概率分布上，而粒子性则体现在能量和动量的离散性上。

这一概念的产生颠覆了人们对物质的认知，它挑战了经典物理学的基本原理，如牛顿力学和电磁学。

双重性原理的解释需要借助波函数和量子力学的数学工具。

波函数描述了粒子的行为，并通过波函数的平方模来计算粒子在不同位置上的概率分布。

波函数的特殊性质使得微观粒子在实验中呈现出奇异的行为。

在干涉实验中，双缝干涉实验是双重性原理的经典示例。

在该实验中，光子或电子通过具有两个狭缝的物体时，会在背后的屏幕上形成干涉条纹，就像光波一样。

这表明微观粒子具有波动性质，它们会相互干涉形成明暗条纹。

然而，当我们尝试追踪粒子的路径时，比如在屏幕上放置探测器，粒子的干涉行为会消失，而呈现出粒子的行为。

这就是双重性原理的关键所在，即当我们试图确定粒子的路径时，就会干扰粒子的波动性质。

对双重性原理的解读引发了无数的哲学和物理学讨论。

这个原理表明，观测者的存在和观测方式会对观察对象产生影响，因此，观测者本身不可避免地参与到了实验过程中。

这种现象被称为“测量崩溃”，它意味着我们无法同时获取粒子的位置和动量的准确信息，因为测量的过程会干扰粒子的状态。

双重性原理的出现彻底改变了我们对物质性质的认知，且其应用范围不仅限于微观领域。

例如，在纳米尺度的系统中，双重性原理扮演着重要的角色。

纳米尺度材料的波粒二象性可以通过控制材料的几何结构来实现，这一特性可以应用于新型传感器和光电器件的设计中。

双重性原理的理解和应用也对科学哲学产生了深远的影响。

它提醒我们，观察和实验是科学研究的基石，而人类的认知和观测方式决定了我们对现象的理解。

banach空间的四个基本定理
巴拿赫空间是函数空间中一个重要的概念，并且有四个基本定理与之相关。

这四个定理被称为巴拿赫空间的基本定理，它们分别是完备性定理、闭图像定理、开映射定理和逆定理。

1. 完备性定理：巴拿赫空间是一个完备的度量空间。

也就是说，任何一个柯西序列（Cauchy sequence）在巴拿赫空间中都有一个极限点。

这个定理保证了巴拿赫空间的内部结构是完整的，没有任何缺陷。

2. 闭图像定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个闭集。

这个定理说明了有界线性算子在巴拿赫空间中的性质，它保证了算子的连续性和稳定性。

3. 开映射定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个开集。

这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的映射性质，即保持开集的映射。

4. 逆定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的逆算子也是有界的。

这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的可逆性，即存在一个有界逆算子。

这四个基本定理是巴拿赫空间理论的基础，它们描述了巴拿赫空间的
一些重要性质。

这些定理不仅在函数空间中有广泛的应用，还在数学分析的其他领域中起到了重要的作用。

它们为我们研究函数空间中的问题提供了有力的工具和方法。

逆极限空间上的移位映射的（几乎）等度连续性和刚性
牛应轩
【期刊名称】《六安师专学报》
【年(卷),期】2000(016)002
【摘要】设Ｘ为昆致度量空间，ｆ：Ｘ→Ｘ为连续映射，σ：ｌｉｍ（Ｘ，ｆ）→ｌｉｍ（Ｘ，ｆ）为移位映射。

本文证明了：（１）如果ｆ为拓扑传递的，即么σ为几乎等度连续的（等度连续的）当且仅当ｆ为几乎等度连续的（等度连续的）。

（２）如果ｆ为满射，那么σ为弱刚笥的（一致刚性的）当且仅当ｆ为弱刚性的（一致刚性的）。

【总页数】3页(P11-13)
【作者】牛应轩
【作者单位】六安师范专科学校数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O189.1
【相关文献】
1.双重逆极限空间上移位映射的Li-Yorkeτ混沌 [J], 罗飞
2.双重逆极限空间上移位映射的等度连续性 [J], 刘会彩;谢凤艳
3.双重逆极限空间上移位映射的刚性和几乎等度连续性 [J], 张洁;金渝光
4.逆极限空间上诱导映射的等度连续性与完全混沌 [J], 陈玉;曾凡平;罗智明
5.群作用下逆极限空间上移位映射的G非游荡点与G链回归点 [J], 冀占江
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量子力学中的双重性质解析量子力学是现代物理学中的一门重要学科，研究微观粒子的行为和性质。

在量子力学中，存在着一种神秘而令人困惑的现象，即双重性质。

本文将对量子力学中的双重性质进行解析。

首先，我们需要了解双重性质的概念。

在经典物理学中，我们通常认为物质具有确定的位置和动量。

然而，在量子力学中，粒子的位置和动量并不具有确定性，而是以概率的形式存在。

这意味着，同一个粒子在不同的实验中可能具有不同的位置和动量。

双重性质的一个重要表现形式是波粒二象性。

根据量子力学的波粒二象性理论，微观粒子既可以表现为粒子的性质，也可以表现为波的性质。

这种双重性质使得我们无法准确地描述粒子的位置和动量，而只能通过概率来描述。

双重性质的另一个重要表现形式是量子叠加态。

在量子力学中，粒子可以处于多个状态的叠加态中。

例如，一个电子可以同时处于自旋向上和自旋向下的状态中。

这种叠加态的存在使得量子系统的行为更加复杂和难以理解。

双重性质的解析需要借助于量子力学中的数学工具，特别是波函数和算符。

波函数是描述量子系统的数学函数，它包含了对粒子位置和动量的概率分布信息。

算符则用于描述物理量的测量和演化过程。

通过对波函数和算符的运算，我们可以得到粒子的双重性质的具体信息。

双重性质的实验验证是量子力学研究中的重要课题之一。

著名的双缝实验就是验证双重性质的经典实验之一。

在这个实验中，光或电子通过一个有两个狭缝的屏幕后，形成干涉条纹的图案。

这表明光或电子既可以表现为粒子，也可以表现为波，具有双重性质。

双重性质的解析对于量子计算和量子通信等领域的发展具有重要意义。

量子计算利用了量子叠加态和量子纠缠等特性，可以在某些情况下实现比经典计算更高效的计算。

量子通信则利用了量子纠缠的特性，可以实现更加安全和高效的通信。

总之，量子力学中的双重性质是一种神秘而令人困惑的现象，它使得微观粒子的行为和性质与我们熟悉的经典物理学有所不同。

通过对波粒二象性和量子叠加态的研究，我们可以更好地理解和描述量子系统的行为。

第16卷第3期数学研究与评论V o l.16N o .31996年8月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ONA ug .1996逆极限空间上的Ε2紊动Ξ李　明　军(广西工学院基础部,柳州545005)摘　要　设f是紧致度量空间上的满映射,Ρf 为f 的逆极限空间上的移位映射.本文证明,存在Ε,Ε′>0,f 是Ε2紊动的当且仅当Ρf 是Ε′2紊动的.此外,本文还讨论了f 是非满映射和线段自映射的情形.关键词　逆极限空间,移位映射,Ε2紊动.分类号　AM S (1991)54H 20,34C 35 CCL O 189.1§1　引　言设(X ,d )为紧致度量空间,f ∈C 0(X ),f 的逆向极限空间(inverse li m it sp ace )定义为: li m ←〈X ,f 〉={x ∈X ←fX ←f…,x =(x i )∞i =0,f (x i +1)=x i ,其中x i ∈X ,i ≥0}.在li m ←〈X ,f 〉上引进如下度量:d (x ,y )=∑∞i =0d (x i,y i)2i,对任x ,y ∈li m ←〈X ,f 〉.移位映射Ρf :li m ←〈X ,f 〉→li m ←〈X ,f 〉定义为Ρf ((x 0,x 1,…))=(f (x 0),x 0,x 1,…),第i 次投影定义为Πi (x )=x i ,对任x =(x i )∞i =0∈li m ←〈X ,f 〉.设f ∈C 0(X ).若存在Ε>0及集合S <X 满足:对任x ,y ∈S ,x ≠y ,任p ∈P (f ),有(1)　li m n →∞sup d (f n(x ),f (n )(y ))>Ε;(2)　li m n →∞inf d (f n (x ),f(n )(y ))=0;(3)　li m n →∞sup d (f n(x )・f(n )(p ))>Ε,则称S 为f 的Ε2紊动集.若Ε2紊动集S 是不可数集,则称f 为Ε2紊动的.本文将证明定理1　设f ∈C 0(X )为满映射,存在Ε>0,f 为Ε2紊动的当且仅当存在Ε′>0,Ρf 为Ε′2紊动的.对于线段连续自映射,有:定理2　设f ∈C 0(I ),那么,存在Ε>0,f 为Ε2紊动的当且仅当存在Ε′>0,Ρf 为Ε′2紊动的.Ξ1993年6月21日收到.本文将在第4节给出一个紧致度量空间上的非满映射f ,f 为Ε2紊动的,但不存在Ε′>0,使得Ρf 为Ε′2紊动的.§2　Ρf 是Ε2紊动的一个充要条件设X 为紧致度量空间,f ∈C 0(X ),li m ←〈X ,f 〉为f 的逆向极限空间,Π0为li m ←〈X ,f 〉到X 的第0次投影.引理1　设x 0∈X ,那么,Π-10(x 0)≠ 当且仅当x 0∈X 0=∩∞n =0f n(X ).证明　设Π-10(x 0)≠ ,则有x =(x i )∞i =0∈Π-10(x 0).于是,对任意n ≥0,有x 0=f n(x n ),从而x 0∈f n(X ),故x 0∈X 0.反之,假设x 0∈X 0.首先,注意到f n(X 0)=X 0,故存在x 1∈X 0,使f (x 1)=x 0;对x 1,同样可得x 2∈X 0,使f (x 2)=x 1.归纳地,得到一点(x i )∞i =0∈li m ←〈X ,f 〉,故Π-10(x 0)≠ .定理1的证明　首先,设Ρf 是Ε2紊动的,T 是Ρf 的不可数Ε2紊动集.对T 中任意两点x ,y ,有li m n →∞sup d (Ρn f (x ),Ρnf (y ))>Ε,故Π0(x )≠Π0(y ).令S ={x 0:对任x∈T ,取x 0=Π0(x )},则S 为不可数集.下证S 是f 的Ε42紊动集.任取x 0,y 0∈S ,有d (Ρn f (x ),Ρn f (y ))≥d (f n (x 0),f n (y 0)),又因为li m n →∞inf d (Ρn f (x ),Ρn f (y ))=0,故li m n →∞inf d (f n (x 0),f n(y 0))=0.假设x 0≠y 0,且li m n →∞sup d (f n (x 0),f n (y 0))<Ε4,那么,必存在N >0,当n ≥N 时,有d (f n (x 0),f n(y 0))<Ε4.X 为紧致度量空间,故存在M >0,对任z ,w ∈li m ←〈X ,f 〉,有∑∞i =Md (z i ,w i )2i <Ε4.于是,对任n ≥N +M ,有d (Ρn f (x ),Ρn f (y ))=∑M -1i =0d (f n -i (x 0),f n -i (y 0)) 2i +12M d (Ρn -M f (x ),Ρn -M f (y ))<Ε4×2+Ε4=3Ε4.因而,有li m n →∞sup d (Ρn f (x ),Ρnf (y ))≤3Ε4,此与Ρf 为Ε2紊动矛盾.故当x 0≠y 0时,必有li m n →∞sup d (f n (x 0),f n (y 0))≥Ε4.类似可得,对任x 0∈S ,p 0∈p (f ),有li m n →∞sup d (f n (x 0),f n (p 0))≥Ε4.故此可知,S 是f 的不可数Ε42紊动集,f 是Ε42紊动的.反过来,假设f 是Ε2紊动的,S 是f 的不可数Ε2紊动集.f 为满映射,根据引理3,可令T ={x ,对任x 0∈S ,选定一个x ∈Π-10(x 0)}.显然,由S 为不可数集知T 也是不可数集.下证T 为Ρf 的Ε2紊动集.对任x ,y ∈T ,x ≠y ,必有li m n →∞sup d (f n (x 0),f n (y 0))>Ε,又因为d (Ρnf (x ),Ρn f (y ))≥d (f n (x 0),f n(y 0)),故li m n →∞sup d (Ρn f (x ),Ρn f (y ))>Ε.类似地,对任x ∈T ,p ∈p (Ρf ),有li m n →∞sup d (Ρnf(x ),Ρn f(p ))>Ε.X 为紧致度量空间,故对任∆>0,存在N >0,对任z ,w ∈li m ←〈X ,f 〉,有∑∞i =Nd (z i ,w i )2i<∆4.对N >0,存在0<Θ<∆4,对任s ,t ∈X ,当d (s ,t )<Θ时,有m ax{d (f i (s ),f i (t )),1≤i ≤N }<∆2.由li m n →∞inf d (f n (x 0),f n (y 0))=0知,存在M >0,使得d (f M (x 0),f M (y 0))<Θ.从而　d (ΡN +M f(x ),ΡN +Mf (y ))=∑N -1i =0d (fN +M -i(x 0),f N +M -i (y 0)) 2i +12N d (ΡM +1f(x ),ΡM +1f (y ))=∆2∑N -1i =012i+∆4<∆,由∆的任意性,有li m n →∞inf d (Ρn f (x ),Ρnf (y ))=0.故T 是Ρf 的Ε2紊动集,Ρf 是Ε2紊动的.§3　线段连续自映射的情形设I =[0,1],f ∈C 0(I ),I 0=∩∞n =0f n (I ).引理2　I 0为f 的紧致连通不变集,对I 0的任一邻域U ,均存在m ≥0,当n ≥m 时,有f n(I )<U ,f 的w 2极限集w (f )<I 0.称满足Ε2紊动定义中条件(1)—(3)的两点x 及y 为Ε2紊动点偶.据文献[3],有引理3　设f ∈C 0(I ),则f 为Ε2紊动的当且仅当f 有Ε2紊动点偶.命题1　设f ∈C 0(I ),则f 为Ε2紊动的当且仅当f I 0为Ε2紊动的.证明　充分性显然.下证必要性.设f 是Ε2紊动的,T 是f 的不可数Ε2紊动集,那么,对任x ,y ∈T ,有(a )　li m n →∞sup f n (x )-f n (y ) >Ε;(b )　li m n →∞inf f n (x )-f n (y ) =0.先假设对T 中任一点,它的轨道都不与I 0相交.由(a )知,存在(n i )∞i =0及x 0,y 0∈I ,x 0≠y 0,使得f n i (x )→x 0,f ni (y )→y 0(n i →∞).由w (f )<I 0知x 0,y 0∈I 0.x 及y 的轨道均与I 0不相交,故可设x 0=a ,y 0=b .对b -a =∆>0,必存在Ε>0,当 x -y <Ε时,有f (x )-f (y ) <∆.(3)取I 0的邻域(c ,d ),满足m ax{a -c ,d -b }<Ε.据引理4知,存在M >0,当n ≥M 时,有f n (x ),f n (y )∈(c ,a ).若存在M ≤s ,使得f s(x ),fs +1(x )∈(c ,a ),则 f s (x )-f s +1(x ) <Ε.再由(3)知 f s +1(x )-f s +2(x ) <∆,故f s +2(x )∈(c ,a ).所以,对n ≥s ,有f n (x )∈(c ,a ).由f ni (x )→a 知(i )　存在k ≥M ,当n ≥k 时,f n (x )∈(c ,a );(ii )　对任i ≥0,f M +2i (x )∈(c ,a ),f M +2i +1(x )∈(b ,d ).同样,对y 也有(i ′)　存在k ′≥M ,当n ≥k ′时,f n (y )∈(b ,d );(ii ′)　f M +2i (y )∈(b ,d ),f M +2i +1(y )∈(c ,a ),对任i ≥0.据(a )式,S 中至多一点满足上述(i )或(i ′),设为点x p ,完全可重新考虑S -{x p }.故可设仅有情形(ii )与(ii ′).显然,情形(ii )与(ii ′)同时成立时,与(b )式相矛盾.综上所述,至少存在一点x ∈T ,x 的轨道与I 0相交.重述上法,可从T -{x }中选取一点y ,y 的轨道与I 0相交.I 0为f 的不变集,故存在充分大的N >0,使f N (x )及f N (y )为f I 0的紊动点偶.由引理3知,f 是Ε2紊动的.定理2的证明　设f 是Ε2紊动的,由命题1知f I 0是Ε2紊动的.这时f I 0是满映射,由定理1知Ρf 是Ε2紊动的.充分性由定理1可直接推得.§4　非满映射的例子本节给出一个三维欧氏空间的紧致子集上的非满映射f ,f 是Ε2紊动的,但不存在Ε′>0,使Ρf 是Ε′2紊动的.显然,类似的例子可以在欧氏平面上实现.设三维欧氏空间R 3中点列A ={a n :a n =(0,0,1n),n ≥1};B ={b n :b n =(1,0,1n),n ≥1};C ={c n :c n =(0,1,1n),n ≥1}.连结a n 与b n ,b n 与c n 及c n 与a n +1(n ≥1),得一连通曲丝L .设直线{(0,1n,z ):z ∈R }与c i a i +1(i ≥n )的全部交点为Q n ,直线{(1n,0,z ):z ∈R }与a i b i (i ≥n )的全部交点为R n ,令W=∪∞n =2(Q n ∪R n )∪A ∪B ∪C ,则W 为可数集.以a 1为始点沿L 的逆时针方向将W 中的点重新编号,得到一个点列{A n }∞n =0.设B n =(0,1n ,0)(n ≥1),B-n=(1n +1,0,0)(n ≥1);B 0=(1,0,0),原点O =(0,0,0).取b n c n 的三等分点为t n ,s n (n ≥1),B 0B 1的三等分点为t 0,s 0.定义映射h 为:h (A n )=An +1(n ≥1),h (B n )=B n +1(n ∈Z ),h (0)=0,h 在[A n ,An +1](n ≥1)及[B n ,B n +1](n ∈Z )上是线性的.定义映射g 为:(a )　g (b n )=g (s n )=b n ,g (t n )=g (c n )=c n ,g 在[b n ,t n ],[t n ,s n ]及[s n ,c n ]上是线性的;(b )　g (B 0)=g (s 0)=B 0,g (t 0)=g (B 1)=B 1,g 在[B 0,t 0],[t 0,s 0]及[s 0,B 1]上是线性的;(c )　当x ∈(L ∪G )-(∪∞n =0b nc n ∪B 0B 1)时,g (x )=x ,其中G 表示三角形OB 0B 1.显然,有h ,g ∈C 0(L ∪G ).g 在[b n ,c n ]上的限制g [b n ,c n ]有周期3,故存在Ε>0,使g 是Ε2紊动的.令S 为g [b 1,c 1]的不可数Ε2紊动集.记f =h g ,则f 是非满映射.容易看出,S 也是f 的不可数Ε2紊动集,f 是Ε2紊动的.显然,∩∞n =0f n (L ∪G )=G ,不存在Ε′>0,使f G 是Ε′2紊动的.由引理1知,也不存在Ε′>0,使Ρf 是Ε′2紊动的.本文是在麦结华教授的精心指导下完成的,写作过程中与曾凡平同志进行了有益探讨,在此表示衷心感谢.参　考　文　献[1]　G .W .H enderson ,T he p seud o 2a rc as an inverse li m it w ith one bind ing m ap ,D uke M ath .J .,31(1964),421-425.[2]　麦结华,一类描述非混沌映射的符号动力系统,科学通报,待发表.[3]　M .Kuch ta and J .Sm ital ,Tw o p oin t scram bled set i m p lies chaos ,Eu ropean Conference on Iterati onT heo ry ,1989,427-430.[4]　麦结华,中国科学,A 辑,12(1989),1233—1241.[5]　L .Snoha ,Generic chaos ,Eu ropean Conference on iterati on theo ry ,1989,347-351.[6]　李明军,由回归点构成的不可数紊动集的存在性,广西大学学报,4(1992),85—88.Ε2Chaos on I nverse L i m it SpaceL i M ingjun(Guangxi Institute of T echno logy,L iuzhou 545005)AbstractL et f be a su rjective to m ap of a com p act m etric sp ace and deno te by Ρf the sh ift m ap ofthe inverse li m it sp ace .W e p rove that there ex ist Εand Ε′>0,f is Ε2chao s iff Ρf is Ε′2chao s ;O n the o ther hand ,w e also con sider the conditi on as f is no t on to o r f is in terval m ap .Keywords inverse li m it sp ace ,sh ift m ap ,Ε2chao s .。

电磁感应中的双重变化问题华兴恒在电磁感应现象中，导体做切割磁感线或回路中磁通量发生变化，都将会产生感应电动势，此时的导体或回路就相当于电源。

在一些电磁感应问题中，这样的电源常常有两个，同学们在求解此类问题时，有些同学常常感到无从先手，还有些同学常因考虑不周，顾此失彼，导致解题错误。

为了提高同学们求解此类问题的能力，下面举例分析。

一 两导体棒同时切割磁感线问题1. 两导体棒反向运动例1 两根相距d = 0.20 m 的平行金属导轨固定在水平面内，并处于竖直方向的运强磁场中，磁场的磁感应强度B = 0.20 T 。

导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路。

每条金属细杆的电阻r = 0.15 Ω，回路中其余部分的电阻不计。

已知两金属杆在平行于导轨的拉力作用下，沿导轨向相反的方向匀速平移，速度大小都是v = 5.0 m/s ，如图1所示，不计导轨上的摩擦。

(1) 求作用于每条细杆上的拉力的大小；(2) 求两金属细杆在间距增加0.40 m 滑动过程中共产生的热量。

解析 (1) 由于两杆均做切割磁感线运动，可等效为两个电源。

虽然题目中的磁场方向未知，但不论磁场方向向上还是向下，此二电源都构成顺向串联关系。

两金属杆各自产生的电动势为：E 1 = E 2 = Bdv ，则回路中的总感应电动势为：E = E 1 + E 2 = 2Bdv ，故回路中的电流为：rE I 2=。

由于拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力大小为：F 1 = F 2 = BId ，将上述二式代入可得：F 1 = F 2 =rv d B 22。

代入已知数据得：F 1 = F 2 = 3.2 × 10 – 2 N 。

(2) 设两金属杆之间增加的距离为△L ，则两金属杆共产生的热量为：Q = I 2Rt = I 2 · 2r ·vL 2∆，代入已知数据可得：Q = 1.28 × 10- 2 J 。

1线性算子、非线性算子的连续性和有界性（p.86+p.250）#82赋范线性空间和Banach 空间的定义，并证空间的完备性（p.71+p.58）#3，2完备的赋范线性空间称为Banach 空间。

3紧算子（p139）#4注：恒等算子不是紧算子。

如其把无穷维的单位球映到它本身，单位球是有界的（球面是界），但不是紧的（球面不属于单位球，不是闭集）。

定理（p65）#25赋范线性空间的Hahn-Banach 定理（p109）#46 Banach压缩映像原理及证明（p157）#57线性泛函的计算（p88）#3 8 Heine定理及证明（p55）#29全变差的概念及应用（p112）#410判断是否为内积空间（p189）#611内积和相应的范数不等式证明（p187）#6 12算子全连续性（紧性）的证明（p141）#4全连续算子用有限维连续有界算子一致逼近13变分引理及证明（p190）#614 Frechet-Riesz泛函表示定理（p204）#6度量空间（p45）#216闭集与序列收敛之间的关系（p54）#217Hausdorff定理（p63）#218赋范线性空间的一个重要引理（p76）#319弱收敛（p131）#420直和（p192）#621紧性（p62）#2补：①若M是度量空间X的一个子集，M的闭包M是X中的一个紧集，则M称为X的相对紧集。

即：紧集一定是闭集，一定是相对紧集；相对紧集不是闭集时，不是紧集。

②定理：n为欧几里德空间n R中的有界集必是相对紧的。

③定理：设X是度量空间，若在X中的每个完全有界集都是相对紧的，则X是完备的。

④度量空间中的相对紧集且是闭集，称为紧集。

⑤定理：有限维赋范线性空间中任何有界集是相对紧的。

⑥定理：有限维赋范线性空间X中，任意一个子集M是紧的 M是有界闭的。

⑦定理：若赋范线性空间X是无限维的，则X必有不相对紧的有界集。

⑧定理：赋范线性空间是有限维的它的任一有界闭子集都是紧集。

如何解释量子力学中的双重性？量子力学中的双重性是一种独特的现象，它可以引起很多人的兴趣和好奇心。

本文将探讨量子力学中双重性的一些基本概念，并给出几个简单易懂的例子来帮助解释这种现象。

1. 双重性的基本概念双重性是指在某些情况下，物质的本质是不确定的，它既可以表现为波动，也可以表现为粒子。

这种现象的起源可以追溯到早期的量子力学的理论中。

在双重性中，物质的本质可以用波函数来表示。

而波函数是一个重要的概念，它描述了不同物质在空间中存在的可能性，包括位置、动量等。

在一些情况下，波函数可以表示出物质同时存在波动和粒子的性质。

2. 双重性的具体案例一个经典的双重性案例是双缝干涉实验，它可以帮助我们理解双重性的基本概念。

在这个实验中，一个光源照射到一个带有两个小孔的屏幕上，形成两个光束，这些光束最终通过一个屏幕打在另一面墙上。

在理论中，我们知道光可以表现为电磁波或粒子的形式，但是我们难以准确地描述光在屏幕上究竟能否表现为粒子或波动的形式。

实际上，我们观察到光在墙上的模式一方面展现了光波的波纹模式，另一方面也呈现出光子规律的分布模式。

3. 双重性的重要性双重性在量子力学中具有深远的意义，因为它揭示了物质在极域环境下是如何行为的。

量子力学中的双重性现象已经被证明具有广泛的应用，例如在研究材料的电子结构、光的传输等方面都有应用。

双重性也是现代物理学研究目标的重要方向之一，在探索微观世界的过程中双重性提供了另一种了解微观世界物质行为的途径，使我们能够更深入地了解宇宙的奥秘。

4. 双重性对人类认知的挑战双重性是一种朦胧的现象，常常被认为是人类认知的挑战。

在传统的物理学理论下，物质要么是粒子，要么是波动，而在量子力学的视角下，物质同时拥有这两种性质，这实际上挑战了人类直觉的理解。

这种挑战与我们今天所面临的科技迅速发展的全球化、多元复杂的政治经济环境不谋而合。

而理解双重性的过程不光是解决物质的本质问题，它同样也是我们对于认知方式的一种探索。