山东省青岛即墨区高三上学期期中考试(教学质量检测)数学(理)试题(含答案)

2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,52. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 13. 已知．若，则（ ）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b=A.B.D. 4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C .充要条件D. 既不充分也不必要条件5.此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C.D.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A. B. C. 1D. 11e+e 1-e二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C 17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE V AE BD CD 4BD=（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,5【正确答案】B【分析】首先把集合用列举法表示出来，再运用交集的运算进行求解即可.P 【详解】若，，则是的正因数，而的正因数有，，，，61y x =+y ∈N 1x +661236所以，{}6,0,1,2,51P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N 因为，{}15Q x x =-≤<所以，{}0,1,2P Q ⋂=故选：B.2. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 1【正确答案】C【分析】根据复数的运算法则计算出复数，再计算复数的模.z 【详解】由题意知，()()()i 22i i 22i 22i 22i z +==--+2i 28-=11i 44=-+所以，z ==故选：C.3. 已知．若，则（）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b =A.B.D. 【正确答案】B【分析】根据向量垂直可得，代入向量夹角公式即可得结果.32a b ⋅=-【详解】因为，且，()2a b a+⊥1a = 则，可得，()2220a a a ab b +⋅=+⋅= 21322a b a⋅=-=-rr r 所以.cos ,a b a b a b⋅===⋅r r r r r r 故选：B.4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用等比数列的性质，分别判断充分性与必要性即可.【详解】设等比数列的公比为，{}n a q 由，得，()223123111111S a a a a a q a q a q q ma =++=++=++=21q q m ++=当时，，解得或，充分性不成立；7m =217q q ++=2q =3q =-当时，，必要性成立.2q =217q q m ++==所以“”是“的公比为2” 的必要不充分条件.7m ={}n a 故选：A5. 此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【正确答案】B【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.【详解】如图所示，正四棱柱为，正四棱锥，1111ABCD A B C D -1O ABCD -设底边边长，高AB a =1OO =则，1O E ==又正四棱柱的侧面积，114S AB OO =⋅=正四棱锥的侧面积，21142S AB O E a=⋅⋅=则，解得，a=a =所以正四棱锥体积，2113ABCD V S OO =⋅==故选：B.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对 B. 2对C. 3对D. 4对【正确答案】C【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭合判断即可.【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭22,0,y x x x =-+<图象上关于原点对称的点有3对.()fx故选：C7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π【正确答案】A【分析】先化简，根据图象变换求出，将方程转化为()f x ()g x ()21g x m -=，由函数图象的对称性求出答案.()12m g x +=()g x 【详解】根据题意可得，()1πcos sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，，7π012x ≤≤ππ3π2332x ∴≤+≤所以在上单调递增，在上单调递减，关于对称，()g x π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x π12x =且，，()π06g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭方程等价于有两个不同的解，()21g x m -=()12m g x +=12,x x .12ππ2126x x ∴+=⨯=故选：A.8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A.B. C. 1D. 11e +e 1-e【正确答案】C【分析】构建，分析可知的定义域为，且在()()ln f x ax x b=--()f x (0,+∞)()0f x ≤内恒成立，利用导数可得，整理可得，构建(0,+∞)ln 1a b ≤+1e ln ln b a a a +-≥-，利用导数求其最值即可.()1ln ,ee g a a a a =-≤≤【详解】设，()()ln f x ax x b=--因为，可知的定义域为，所以在内恒成立，1e e a ≤≤()f x (0,+∞)()0f x ≤(0,+∞)又因为，()111xf x x x -=-='令，解得；令，解得；f ′(x )>001x <<f ′(x )<01x >可知在内单调递增，在内单调递减，()f x (0,1)(1,+∞)则，可得，则，()()1ln 10f x f a b ≤=--≤ln 1a b ≤+1ln e e b aa +≥=可得，当且仅当时，等号成立，1e ln ln b a a a +-≥-ln 1a b =+令，则，()1ln ,e e g a a a a =-≤≤()111a g a a a '-=-=令，解得；令，解得；()0g a '>1e a <≤()0g a '<11e a <≤可知在内单调递增，在内单调递减，则，()g a (]1,e 1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()11g a g ≥=即，当且仅当时，等号成立，1eln ln 1b a a a +-≥-≥1,1a b ==-所以的最小值为1.1eln b a +-故选：C.方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>【正确答案】ABD【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题可得，，33log 15log 310a =>=>55log 15log 510b =>=>，即，所以，1515110log 3log 5a b ∴<=<=110a b <<0a b >>对于A ，因为，所以，故A 正确；0a b >>lg lg a b >对于B ，，，故B 正确；15151511log 3log 5log 151a b +=+== a b ab ∴+=对于C ，因为，所以，故C 错误；0a b >>1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，因为，，0a b >>111a b +=所以，()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立，这与已知矛盾，所以，故D 正4b aa b =2a b =35a b =49a b +>确.故选：ABD.10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 【正确答案】AC【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，由题可得，，，，，故A 正确；32a =43a =55a =68a =713a =对于B ，因为，又，21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+12n n n a a a --=+所以，即，故B 错误；21213n n n n n a a a a a +---++=+223n n n a a a +-=+对于C ，2024202320222023202120202023202132a a a a a a a a a a =+=++==++++ ，故C 正确；2023202131a a a a =++++ 对于D ，2025202420232024202220212024202243a a a a a a a a a a =+=++=++++ ，故D 错误.20242022421a a a a a =+++++ 故选：AC.11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π【正确答案】ACD【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，//BDNM CEF 求出长度即可判断；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断，A B 将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到CEF 1111D C B A PC EF Q PQ CQ +最小值，利用勾股定理求出即可判断，先找到球心，利用勾股定理得出半径，求,PQ CQ C 出外接球的表面积即可判断.D 【详解】如图，取，的中点为，连接，，11A D 11A B ,N M ,,,,MN DN BD BM NE 11B D所以，又E ，F 分别是棱，的中点，11//MN B D 11B C 11C D 所以，所以，11//EF B D //MN EF 平面，平面，MN ⊄CEF EF ⊂CEF 平面，//MN ∴CEF 因为分别是棱，的中点，所以，且，,N E 11A D 11B C //NE CD NE CD =所以四边形为平行四边形，CDNE 所以，又平面，平面，//ND CE ND ⊄CEF CE ⊂CEF 平面，//ND ∴CEF 又，平面，MN ND N = ,MN ND ⊂BDNM 所以平面平面，//BDNM CEF点P 是正方形内的动点，且平面，1111D C B A //DP CEF 所以点P 的轨迹为线段，由勾股定理得，故正确；MN MN ==A 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，A 1,,AB AD AA x y z 由题意得，设，(0,0,0)A (,,4)P x y，AP ==所以，所以点的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，221x y +=P 1A 14所以点P 的轨迹长度为.故错误；1π2π42⋅=B 如图，将平面翻折到与平面共面，CEF 1111DC B A 连接，与交于点，此时取到最小值，PC EF Q PQ CQ+，且，CE CF === 2PE PF ==所以点为的中点，所以Q EFPQ EQ ===所以，CQ ===即的最小值为，故正确；PQ CQ +C如图，连接，交于点，连接，PF 11B D 1O PE 若P 是棱的中点，则，11A B 90FEP ∠= 所以是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，FP PEF !1O PEF !过点作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心一定在该垂线上，1O ABCD P CEF -O 连接，设，则，OP 1OO t =2222t R +=连接，，所以，OC 12AC ==()(2224t R -+=所以，解得，()(222224t t +=-+52=t 所以，222541244R =+=所以三棱锥的外接球的表面积为，故正确.P CEF -24π41πS R ==D 故选.ACD方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法：（1）先找两个面的外心；（2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；（3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径.有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上.第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++【正确答案】.430x y -+=【分析】首先求函数的导数，再根据二次函数求最小值，即可求切线的斜率，以及代入切线方程，即可求解.【详解】由题意，223673(1)4y x x x '=++=++所以时，，又时，，1x =-min4y '=1x =-1y =-所以所求切线的方程为，即．14(1)y x +=+430x y -+=故．430x y -+=13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =【正确答案】【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求PO h =Rt POA △Rt POB △Rt POC △出，最后利用余弦定理进行求解即可.,,OA OB OC 【详解】设塔的高，PO h =在中，，同理可得，，Rt POA △otan 30OP OA ==OB =OC h =在中，，则，OAC πOBA OBC ∠+∠=cos cos OBA OBC ∠=-∠，22222222OB AB OA OB BC OC OB AB OB BC +-+-∴=-⋅⋅.=h =所以塔的高度为米.故答案为.14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ【正确答案】23【分析】根据中点坐标公式可得，进而可得为等比数列，()*122n n n a a a n +++=∈N {}1n n a a +-即可利用累加法求解,由极限即可求解.121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详解】不妨设点、，设点，()10,0A ()21,0A ()(),0n n A a n *∈N 则数列满足，，，{a n }10a =21a =()*122n n n a a a n +++=∈N 所以，，1212n nn n a a a a +++--=-所以，数列是首项为，公比为的等比数列，{}1n n a a +-211a a -=12-所以，，11111122n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当时，2n ≥()()()2121321110122n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=++-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，1111212113212n n --⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+也满足，故对任意的，.10a =121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n *∈N 121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，，故11212lim 1323n n A P ∞-→+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=--=⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭23λ≥故答案为.23四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d 数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【正确答案】（1），，24a =2n n a =*N n ∈（2）332n nn T +=-【分析】（1）先将代入题干表达式计算出，再将代入题干表达式即可计算1n =12a =2n =出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可2a 2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=发现数列是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；{}n a 22{}n a （2）先根据第题的结果写出与的表达式，再根据题意可得，()1n a 1n a +()11n n n a a n d +-=+通过计算出的表达式即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出n d 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前项和．n n T 【小问1详解】由题意，当时，，解得，1n =111222S a a +=+=12a =当时，，即，解得，2n =2222S a +=12222a a a ++=24a =当时，由，可得，两式相减，可得，2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=122n n n a a a -=-整理，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a a -={}n a ∴，.1222n n n a -=⋅=*N n ∈【小问2详解】由（1）可得，，，2nn a =112n n a ++=在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，n a 1n a +n ()2+n n d 则有，()11n n na a n d +-=+∴，∴，1211nn n n a a d n n +-==++112n n n d +=∴，1231211123412222n n n n T d d d +=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，()2311111123122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得，2112311111121111133221122222222212n n n n n n n n n T ++++-+++=+++⋅⋅⋅+-=+-=--∴.332n n n T +=-16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C【正确答案】（1）π3B =（2）18-【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角的大小;B （2）由等面积法可得，再由正弦定理可得的值，再由22b ac =sin sin A C ，可得的值.cos cos()B A C =-+cos cos A C 【小问1详解】因为，π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭由正弦定理可得，12sin cos sin sin 2B A A A C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭即sin cos sin sin sin()B A A B A A B +=++即，sin cos sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A B +=++，sin sin sin cos B A A A B =+在三角形中，，sin 0A >，cos 1B B -=即，因为，则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,)B π∈ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可得，则.ππ66B -=π3B =【小问2详解】因为边上的高，AC h =所以①21122ABC S b h b =⋅==又②11sin 22ABC S ac B ac === 由①②可得，22b ac =由正弦定理可得，2sin 2sin sin B A C =结合（1）中可得，π3B =3sin sin 8A C =因为，()1cos cos cos cos sin sin 2B A C A C A C =-+=-+=所以.1311cos cos sin sin 2828A C A C =-=-=-17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE VAE BD CD 4BD =（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定BE ,BE DE BE AE ⊥⊥理证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；BE ⊥ADE （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.E【小问1详解】连接，BE 由题意，2,60,120AD DE ADE BCE ==∠=︒∠=︒则为等边三角形，ADE V 由余弦定理得，所以2144222122BE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BE =则，222222,DE BE BD AE BE BD +=+=所以，,BE DE BE AE ⊥⊥又平面，,,AE DE E AE DE ⋂=⊂ADE 所以平面，BE ⊥ADE 又平面，所以平面平面；BE ⊂ABCE ADE ⊥ABCE 【小问2详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，E 则，()()()(()2,0,0,0,,,,0,0,0A B CD E -设，()01DF DB λλ=≤≤故，()((,,1,EC ED DB=-==-，((()1,1,AD AD DF λλ=+=-+-=--因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，z ABCE ABCE ()0,0,1m =所以，cos ,m AF m AF m AF⋅===化简得，解得或（舍去），23830λλ+-=13λ=3λ=-所以，1133DF DB ⎛==- ⎝ 设平面的法向量为，DEC (),,n x y z =则有，可取，00n EC x n ED x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩)1n =- 所以点到平面FDEC18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=【正确答案】（1），最大值为0 2a =（2）证明见解析（3）2个，证明见解析【分析】（1）由求出的值，即可得到解析式，再利用导数求出函数的单调(0)0f '=a ()f x 区间，从而求出函数的最大值；（2）依题意即证当时，记，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin ln(1)2x x ++>1()sin ln(1)2m x x x =++-，当时直接说明即可，当，利用导数说明函数的单调π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦性，即可得证；（3）设，，当时，由（1）知，()()h x f x x =+()1,x ∞∈-+(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=则，当时，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断函()0f x x +<π()0,x ∈数的零点，当时，，令，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥利用导数说明在区间上单调递减，即可得到，从而说明函数在()l x [π,)+∞()0l x <无零点，即可得解.[π,)+∞【小问1详解】由题意知，且，(0)0f =(0)0f '=，1()cos 1f x x a x '=+-+ ，解得，(0)20f a '∴=-=2a =，，()sin ln(1)2f x x x x ∴=++-()1,x ∞∈-+则，1()cos 21f x x x '=+-+当时，，．故，0x ≥cos 1≤x 111x ≤+()0f x '≤所以在区间上单调递减，所以．()f x [0,)+∞()(0)0f x f £=当时，令，10x -<<1()cos 21g x x x =+-+则，21()sin (1)g x x x '=--+，，，sin (0,1)x -∈ 211(1)x >+()0g x '∴<在区间上单调递减，则，()f x '∴(1,0)-()(0)0f x f ''>=在区间上单调递增，则，则．()f x ∴(1,0)-()(0)0f x f <=()()max 00f x f ==综上所述，，的最大值为．2a =()f x 0【小问2详解】因为，()sin ln(1)2f x x x x =++-要证当时，即证，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>1sin ln(1)2x x ++>记，，1()sin ln(1)2m x x x =++-π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，，，π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin 12x ≤≤ln(1)0x +>；1()sin ln(1)02m x x x ∴=++->当时，，5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1()cos 1m x x x '=++记，则，1()()cos 1n x m x x x '==++21()sin 0(1)n x x x '=--<+在区间上单调递减，则，()m x '∴5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦5π6()065π6m x m ⎛⎫<=+< '+⎝'⎪⎭则在区间上单调递减，()m x 5π,π6⎛⎤⎥⎝⎦，()11()(π)sin πln(π1)ln π1022m x m ∴≥=++-=+->综上所述，当时，．π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>【小问3详解】设，，()()sin ln(1)h x f x x x x x =+=++-()1,x ∞∈-+，1()cos 11h x x x '∴=+-+当时，由（1）知，(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=故，()()0f x x f x +<<故在区间上无实数根．()0f x x +=(1,0)-当时，，因此为的一个实数根．0x =(0)0h =0()0f x x +=当时，单调递减，π()0,x ∈1()cos 11h x x x '=+-+又，，(0)10h '=>1(π)20π1h '=-<+存在，使得，∴0(0,π)x ∈()00h x '=所以当时，当时，00x x <<ℎ′(x )>00πx x <<ℎ′(x )<0在区间上单调递增，在区间上单调递减，()h x ∴()00,x ()0,πx ，又，()0(0)0h x h ∴>=(π)ln(π1)π2π0h =+-<-<在区间上有且只有一个实数根，在区间上无实数根．()0f x x ∴+=()0,πx (]00,x 当时，，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-令，()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，1()1011x l x x x -'∴=-=<++故在区间上单调递减，，()l x [π,)+∞()(π)ln(1π)π13π0l x l ≤=+-+<-<于是恒成立．故在区间上无实数根，()0f x x +<()0f x x +=[π,)+∞综上所述，有2个不相等的实数根．()0f x x +=方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈【正确答案】（1）2和5为两个质数“理想数” （2）的值为12或18m（3）证明见解析【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；9m a m =-m （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】以内的质数为，202,3,5,7,11,13,17,19，故，所以为“理想数”；212=21a =2，而，故不是“理想数”；33110⨯+=1052=3，而，故是“理想数”；35116⨯+=41612=5，而，故不是“理想数”；37122⨯+=22112=7，而，故不是“理想数”；311134⨯+=34172=11，而，故不是“理想数”；313140⨯+=4058=13，而，故不是“理想数”；317152⨯+=52134=17，而，故不是“理想数”；319158⨯+=58292=19和5为两个质数“理想数”；2∴【小问2详解】由题设可知必为奇数，必为偶数，9m a m =-m ∴存在正整数，使得，即：∴p 92p m m =-9921p m =+-，且，921p ∈-Z211p-≥，或，或，解得，或，211p ∴-=213p -=219p-=1p =2p =，或，即的值为12或18．1991821m ∴=+=-2991221m =+=-m 【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如的整数，()*2k k ∈N 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，((((0224462222,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦若奇数，不妨设，1m >(2222,2k k m -⎤∈⎦若为"理想数"，则，且，即，且，m (*3112s m s +=∈N )2s >(*213s m s -=∈N )2s >①当，且时，；(*2s t t =∈N )1t >41(31)133t t m -+-==∈Z ②当时，；()*21s t t =+∈N 2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==∉Z ，且，(*413t m t -∴=∈N )1t >又，即，22241223t k k--<<1344134k t k-⨯<-≤⨯易知为上述不等式的唯一整数解，t k =区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，(2222,2k k -(*413k m k -=∈N )1k >显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，()*413k m k -=∈N 所有的奇数"理想数"的倒数为，∴()*341kk ∈-N 1133134144441k k k ++<=⨯---1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即．21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯=⎪⎝⎭-- ()*73n S n <∈N 知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。

山东省青岛市2024届高三上学期期初调研检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________五、解答题(1)求证：⊥AE平面1A BC；AA C的夹角的余弦值(2)求平面AEF与平面1A，19．已知O为坐标原点，(1,0)参考答案：设O 为底面正方形ABCD 的中心，所以PO ⊥对于A 选项：由棱锥体积公式13V Sh =可知，只需求出棱锥的高已知底面正方形ABCD 的边长为4且侧棱PA 理有22211144222AO AC AB BC ==+=⨯+()()22224222h PO PA AO ==-=-=设点E 为外接球球心，()(2262R -+对于D 选项：由以上分析注意到一方面有设F 为AB 中点，所以股定理可得PF =12PAB S PF AB =⋅⋅V S S S ++16．237 6【分析】根据椭圆的性质以及离心率即可求解空的坐标运算即可求解空2.)50+= 17．(1)30A=︒(2)31 4 +【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式等知识化简已知条件，由此求得则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()10,0,2A ()1,0,1AE =u u u r，()2,2,0AF = ，1AA = 设平面AEF 的法向量为(11,,n x y z =110n AE x z ⎧⋅=+=⎪设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线PQ 3y kx =-与2214y x -=联立得：(由()22365240k k ∆=+->且4-由韦达定理得1226413k x x k x x ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=，。

高三教学质量检测数学试题2019.11本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分。

注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共52分)一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量()()1,3,,1a b m =-=，若向量,a b 夹角为3π，则m =ABC ．0D ．2．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =A ．3144AB AD + B ．1142AB AD -+C ．12AB AD +D ．3144AB AD +3．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin 2α=A.2425B.65C. 35-D.4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何?”意思是：“现有一根金杖，长6尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重5斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问金杖重多少斤?”(设该金杖由粗到细是均匀变化的) A ．21B ．18C ．15D ．125．已知4sin cos ,,,sin cos 342ππθθθθθ⎛⎫+=∈-= ⎪⎝⎭则A.B. 3-C.13D. 13-6．在ABC ∆中，6012A AB AC ∠===，，，若3,BD DC AE AC AB R λλ==-∈，， 且1AD AE λ⋅=，则的值为 A ．213B ．1C ．311D ．8137．对于任意向量,a b ，下列关系中恒成立的是 A ．a b a b ⋅<⋅B. a b a b -≤-C. ()()22a ba b ab -+=-D. ()()22a ba b +=-8．在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则EF AP ⋅= A.32B. 94-C. 52-D. 3-9．22cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．1B ．1sin 2x -C ．1cos2x -D ．1-10．已知,αβ为锐角，()4tan ,cos tan 35ααββ=+=-=A ．2 BC ．23D ．79二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。

2020届山东省青岛即墨区高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知向量()1,3a =-，(),1b m =，若向量a ，b 夹角为3π，则m =（ ） A ．33B ．3C ．0D ．3-【答案】A【解析】利用数量积的定义和数量积的坐标运算可构造方程求得结果. 【详解】cos ,3a b a b a b m ⋅=⋅<>=-+，2=a ，21b m =+，1cos ,cos32a b π<>==213m m ∴+=-+，解得：33m =故选：A 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，涉及到数量积的定义和数量积的坐标运算，属于基础题.2．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =（ ）A ．3144AB AD + B ．1142AB AD -+ C ．12AB AD + D ．3144AB AD + 【答案】B【解析】根据平面向量的加减法运算和数乘运算即可表示出结果. 【详解】()111111222224BF BC CF BC CE BC BE BC BC BE BC BA=+=+=+-=+=+1124AD AB =-【点睛】本题考查平面向量的线性运算，涉及到平面向量的加减法运算和数乘运算. 3．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．2425B ．65C ．35D 【答案】A【解析】由任意角三角函数值的定义可求得sin ,cos αα，利用二倍角的正弦公式求得结果. 【详解】α终边与单位圆交于34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭ 4sin 5α∴=，3cos 5α=4324sin 22sin cos 25525ααα∴==⨯⨯=故选：A 【点睛】本题考查任意角三角函数值的定义、二倍角正弦公式的应用，属于基础题.4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何？”意思是:“现有一根金杖，长6尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重5斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问金杖重多少斤？”（设该金杖由粗到细是均匀变化的）（ ） A ．21 B ．18C ．15D ．12【答案】A【解析】根据金杖均匀变化可将问题转化为等差数列前6项和的求解问题，根据等差数列求和公式可计算得到结果. 【详解】设最细的一端截下的一尺重量为12a =斤，最粗的一端截下的一尺重量为65a =斤 金杖由粗到细是均匀变化 ∴每一尺的重量成等差数列∴金杖的重量为()166637212a a S +==⨯=斤 故选：A本题考查等差数列的实际应用问题，涉及到等差数列前n 项和公式的应用；关键是能够将问题转化为等差数列前n 项和的求解问题. 5．已知4sin cos 3θθ+=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=（ ）A ．B ．C ．13D ．13-【答案】A【解析】将已知等式平方后，结合同角三角函数的平方关系可求得2sin cos θθ，进而得到()2sin cos θθ-；根据角的范围可确定sin cos θθ>，由此得到结果. 【详解】4sin cos 3θθ+=()216sin cos 12sin cos 9θθθθ∴+=+=，解得：72sin cos 9θθ=()272sin cos 12sin cos 199θθθθ∴-=-=-=,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos θθ∴> sin cos 3θθ∴-=故选：A 【点睛】本题考查利用同角三角函数平方关系求值的问题，易错点是忽略角所处的范围，造成符号求解错误.6．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1AB =，2AC =，若3BD DC =，AE AC AB λ=-，R λ∈，且1AD AE ⋅=，则λ的值为（ ）A ．213B ．1C ．311D ．813【答案】D【解析】由余弦定理可求得2BC ，根据勾股定理可知AB BC ⊥；利用平面向量的线性运算可将AD AE ⋅化为()22314AB BC λλ-+，从而构造出关于λ的方程，解方程求得结果. 【详解】由余弦定理得：2222cos 144cos603BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-=222AB BC AC ∴+= AB BC ∴⊥ 0AB BC ∴⋅=()()()34AD AE AB BD AC AB AB BC AB BC ABλλλ⎛⎫∴⋅=+⋅-=+⋅+- ⎪⎝⎭()()()223391111444AB BC AB BC AB BC λλλλλλ⎛⎫⎡⎤=+⋅-+=-+=-+= ⎪⎣⎦⎝⎭813λ∴=故选：D 【点睛】本题考查根据平面向量数量积求解参数值的问题，涉及到余弦定理解三角形、向量垂直关系的向量表示、平面向量的线性运算和数量积的运算性质；关键是能够利用平面向量的线性运算，将已知数量积表示为已知模长和夹角的两向量的形式，进而构造方程求得结果.7．对于任意向量,a b ，下列关系中恒成立的是（ ） A ．a b a b ⋅<⋅B ．a b a b -≤-C ．()()22a b a b a b -⋅+=- D ．()()22a ba b +=-【答案】C【解析】根据向量数量积的定义和运算性质可判断出A 、D 错误、C 正确；根据向量减法的三角形法则可知B 错误. 【详解】A 中，当,a b 夹角为0或π时，a b a b ⋅=⋅，A 错误；B 中，当,a b 不共线时，由向量减法的三角形法则可知,,a b a b -构成三角形三边，此时a b a b -<-，B 错误；C 中，由数量积的运算性质知()()2222a b a b a b a b -⋅+=-=-，C 正确；D 中，()2222222cos ,a ba ab b a b a b a b +=+⋅+=++<>；成立D 错误.故选：C 【点睛】本题考查与平面向量相关的命题的辨析，涉及到平面向量数量积的定义及运算性质、向量减法的三角形法则等知识.8．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上.若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则EF AP ⋅=（ ）A ．32B ．94-C ．52-D ．-3【答案】B【解析】以A 为原点建立平面直角坐标系，设DF x =，可根据平面向量的坐标运算表示出,AP AC ；由//AP AC 可构造方程求得x ，从而得到F 点坐标；根据平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】以A 为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系设DF x =，则()0,0A ，12,2E ⎛⎫⎪⎝⎭，(),1F x ，()2,1C 32,2AP AE AF x ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，()2,1AC =//AP AC 23x ∴+=，解得：1x = 33,2AP ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又()1,1F 11,2EF ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 39344AP EF ∴⋅=-+=- 故选：B立平面直角坐标系的方式，利用平面向量的坐标运算来进行求解. 9．22cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1B ．1sin 2x -C ．1cos2x -D ．-1【答案】B【解析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果. 【详解】221cos 21cos 222cos sin 4422x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111sin 2sin 21sin 22222x x x =-+-=- 故选：B 【点睛】本题考查利用降幂升角公式和诱导公式化简的问题，考查基础公式的应用. 10．已知α，β为锐角，4tan 3α=，()cos αβ+=tan β=（ ） A ．2 BC ．23D ．79【答案】A【解析】根据同角三角函数关系可求得()tan αβ+，利用两角和差正切公式可求得结果. 【详解】,αβ均为锐角 ()0,αβπ∴+∈ ()sin αβ∴+==()()()sin tan 2cos αβαβαβ+∴+==-+()()()42tan tan 3tan tan 241tan tan 123αβαβαβααβα--+-∴=+-===⎡⎤⎣⎦++-⨯故选：A 【点睛】围，造成同角三角函数值求解时出现符号错误.二、多选题11．函数()()222cos sin f x x x x =--的图象为C ，如下结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．对任意的x ∈R ，都有01212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 在,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 D ．由2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到图象C 【答案】ABC【解析】利用二倍角和辅助角公式化简函数为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；根据正弦型函数的最小正周期的求法可知A 正确；利用代入检验验证对称中心和单调区间的方法可知,B C 正确；由三角函数左右平移的原则可知D 错误.【详解】()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()f x 最小正周期22T ππ==，A 正确； 当12x π=时，()0f x = ()f x ∴关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 01212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∴++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；当,123x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，20,62x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ()f x ∴在,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，C 正确；将2sin 2y x =向右平移6π个单位长度得到2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查正弦型函数性质的相关命题的辨析，涉及到二倍角和辅助角公式化简三角函关键是能够熟练掌握整体对应的方法，通过代入检验，结合正弦函数图象可确定正弦型函数的性质.12．已知平面向量,,a b c 满足1a b c ===，若12a b ⋅=，则()()2a b b c -⋅-的值可能为（ ）A ．2-B ．3C ．0D ．【答案】ACD【解析】根据平面向量数量积的运算律可将所求数量积化为cos ,cos ,1b c a c <>-<>-，根据余弦函数的值域可求得()()[]23,1a b b c -⋅-∈-，依次判断各个选项是否在区间[]3,1-内，由此得到结果. 【详解】()()22221cos ,2cos ,a b b c a b a c bb c a c b c -⋅-=⋅-⋅-+⋅=-<>-+<>cos ,cos ,1b c a c =<>-<>-[]cos ,1,1b c <>∈-，[]cos ,1,1a c <>∈- ()()[]23,1a b b c ∴-⋅-∈-[]23,1-∈-，[]33,1-，[]03,1∈-，[]3,1- ()()2a b b c ∴-⋅-的值可能为2,0,-故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，关键是熟练应用平面向量数量积的运算律将所求数量积进行化简.13．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =.现有ABC ∆满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC ∆的面积ABC S ∆=，请运用上述公式判断A ．ABC ∆周长为10+B ．ABC ∆三个内角A ，C ，B 成等差数列 C ．ABC ∆外接圆直径为3D ．ABC ∆中线CD的长为【答案】ABC【解析】利用正弦定理角化边可得三边比例关系，代入三角形面积公式可求得三边长，由此得到三角形周长，知A 正确；利用余弦定理求得3C π=，知B 正确；由正弦定理可求得外接圆直径长，知C 正确；利用中线定理求得中线长，知D 错误. 【详解】由正弦定理可得：::2:a b c =设2a m =，3b m =，c =()0m >2S ∴===2m = ABC ∆∴的周长为4610a b c ++=++=+，A 正确；由余弦定理得：2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯ 3C π∴=A B C π++= 23A B π∴+=，即2C A B =+ ,,A C B ∴成等差数列，B 正确；由正弦定理知外接圆直径为2sin 3sin 3c R C ===，C 正确； 由中线定理得：2222122a b c CD +=+，即2111636281922CD ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭CD ∴=D 错误.故选：ABC 【点睛】角形三边长；涉及到正弦定理角化边和解三角形的应用、余弦定理和中线定理的应用等知识.三、填空题14．已知向量()cos ,1a x =-，13sin ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎭，若//a b ，则a =__________.【答案】13【解析】根据向量平行的坐标表示可构造方程求得tan x ，利用同角三角函数关系可求得2cos x ，代入向量模长的公式可求得结果. 【详解】//a b 1cos 2x x ∴-=，即tan 6x =212cos 13x ∴=2cos a x ∴===【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及到向量平行关系的坐标表示、同角三角函数值的求解；关键是明确两向量平行，则1221x y x y =.15．已知函数()21sin 2f x x ω=-，（0>ω）的最小正周期为2π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位0a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为___________；【答案】8π【解析】利用二倍角公式可整理得()1cos 22f x x ω=-，根据余弦型函数的最小正周期可求得函数解析式，根据三角函数平移变换可得到()()1cos 442f x a x a -=--，根据()f x a -图象关于原点对称可知42a k ππ=+，由此可求得a 的最小值.【详解】()211cos 211sin cos 22222x f x x x ωωω-=-=-=-()()1cos 442f x a x a ∴-=--()f x a -图象关于原点对称，即()f x a -为奇函数 42a k ππ∴=+，k Z ∈8a k ππ∴=+，k Z ∈，又0a > a ∴的最小值为8π 故答案为：8π 【点睛】本题考查根据三角函数部分知识的综合应用问题，涉及到二倍角公式化简三角函数、余弦型函数的周期性、三角函数平移变换和奇偶性的综合应用等知识；关键是明确当函数图象关于原点对称时，函数为奇函数，根据奇偶性可确定初相的值. 16．已知,a b 为单位向量，且12a b ⋅=，若2c a b =-，则cos ,a c <>=___________；【解析】由222c a b =-可求得c ，根据数量积的运算律可求得a c ⋅，代入向量的夹角公式可求得结果. 【详解】22222444213c a b a a b b =-=-⋅+=-+= 3c ∴=又()21322222a c a ab a a b ⋅=⋅-=-⋅=-= 32cos ,13a c a c a c ⋅∴<>===⋅⨯故答案为：2【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，涉及到平面向量数量积和模长的求解问题；关键是能够应用平面向量数量积的运算律求得向量模长的平方，进而得到向量的模长.17．已知函数()()2cos210,f x x x x R ωωω=-->∈，若()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()y f x =的图象关于(),1ω-对称，则函数()y f x =的最大值为__________，ω=___________.【答案】16【解析】利用辅助角公式化简函数为()2sin 216f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；由正弦型函数值域可确定()f x 值域，进而得到最大值；根据正弦型函数对称中心可构造方程求得2212k ππω=+；利用单调性可构造不等式组求得2ω的范围，进而确定2ω的值，从而得到结果. 【详解】()2cos 212sin 216f x x x x πωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭x R ∈ []sin 21,16x πω⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭ ()[]3,1f x ∴∈-，即()max 1f x =()f x 关于(),1ω-对称 226k πωπ∴-=，k Z ∈ 2212k ππω∴=+，k Z ∈ ()f x 在(),ωω-内单调递增 2222622262k k ππωπππωπ⎧--≥-+⎪⎪∴⎨⎪-≤+⎪⎩，k Z ∈解得：26k πωπ≤-，k Z ∈且23k πωπ≤+，k Z ∈212πω∴=6ω∴=故答案为：1【点睛】本题考查正弦型函数的值域的求解、根据正弦型函数的单调性和对称中心求解参数值的问题；关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的性质，确定参数所满足的方程或不等关系，进而确定参数的值.四、解答题18．已知数列{}n a 为等比数列，且1112n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.（1）求公比q 和3a 的值；（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，求证:121,1,n n a S a --+成等比数列. 【答案】（1）12，18（2）证明见解析【解析】（1）由已知等式可得22112n n n a a +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，两式作比可求得公比q ；令1n =得到2114a a -=-，从而求得1a ；根据等比数列通项公式求得3a ； （2）利用等比数列求和公式求得n S ，等比数列通项公式求得21n a -，从而可得到()21211n n S a a --+=，进而证得结论.【详解】（1）1112n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭22112n n n a a +++⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭21211111122n n n n n n n n n n a a a q a q q a a a a +--+++++--⎛⎫∴====⎪--⎝⎭又211111124a a a q a a -=-=-=- 112a ∴= 23118a a q ∴==（2）由（1）得：11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭- 1111122n n n S ⎛⎫⎛⎫∴-+=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又112a =，212221112n n n a a q ---⎛⎫== ⎪⎝⎭21211124n nn a a -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()2114nn S ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()21211n n S a a -∴-+= 121,1,n n a S a -∴-+成等比数列【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等比数列的证明问题，涉及到等比数列通项公式和前n 项和公式的应用；证明数列是等比数列的关键是能够证得中间数是前后两个数的等比中项.19．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积与ADC ∆面积比为35.（1）求sin sin CB；（2）若三边,,c b a 成等差数列，求角A . 【答案】（1）35（2）23π【解析】（1）利用三角形面积公式可表示出35ABD ADC S c S b ∆∆==，利用正弦定理边化角可得结果；（2）根据等差数列定义可得2b a c =+，由此可得到三边的比例关系；利用余弦定理可求得cos A ，进而求得角A . 【详解】（1）由三角形面积公式得：1sin 22ABD A S c AD ∆=⋅，1sin 22ADC A S b AD ∆=⋅ 1sin32215sin 22ABD ADC Ac AD S c A S b b AD ∆∆⋅∴===⋅ 由正弦定理得：sin 3sin 5C c B b == （2）,,c b a 成等差数列 2b a c ∴=+由（1）知：35c b =75a b ∴= ::7:5:3a b c ∴= 设7a m =，5b m =，()30c m m =>由余弦定理得：222222259491cos 22532b c a m m m A bc m m +-+-===-⨯⨯()0,A π∈ 23A π∴=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到三角形面积公式的应用、正弦定理边角转化、余弦定理解三角形等知识；关键是能够通过三边成等差数列得到三边的比例关系，进而利用余弦定理求得角的余弦值.20．在锐角三角形ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin sin cos sin cos C B a BB b A-=.（1）求A ； （2）求b c的取值范围.【答案】（1）3π（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式和诱导公式可整理求得cos A ，进而得到角A ；（2）利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可将b c整理为12tan 2C +，根据角C 的范围可求得tan C 的范围，进而得到b c的取值范围.【详解】（1）由正弦定理得：2sin sin sin cos sin sin cos C B A BB B A -=sin cos 2sin sin cos A BC B A∴-=()()2sin cos sin cos sin cos sin sin sin C A A B B A A B C C π∴=+=+=-= ()0,C π∈ sin 0C ∴≠ 1cos 2A ∴= ()0,A π∈ 3A π∴=（2）由正弦定理得：()sin sin sin cos cos sin 1sin sin sin 2tan 2A C bB AC A C c C C C C ++====+ABC ∆为锐角三角形且3A π= ,62C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ tan C ⎫∴∈+∞⎪⎪⎝⎭(1tan C ∴∈ 11,222⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边角互化、两角和差公式和诱导公式化简、正切函数值域问题的求解等知识；求解边长比例关系问题的关键是能够利用正弦定理将问题转化为三角函数值域问题的求解；易错点是忽略角所处的范围，造成三角函数值域求解错误.21．设()()2sin sin cos 12f x x x x x π⎛⎫=+++-⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期及()y f x =图象的对称轴方程； （2）讨论()f x 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性及最值. 【答案】（1）最小正周期为π；对称轴方程为122k x ππ=+，k Z ∈；（2）()f x 在7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；()min 2f x =-()max 0f x =【解析】利用二倍角和辅助角公式整理函数为()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）根据正弦型函数2T ωπ=求得最小正周期；令232x k πππ+=+，解得x 即为所求对称轴方程；（2）由x 的范围得到22,233x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，求得3232x ππ+=时x 的值，结合正弦函数的性质可得到函数的单调性；根据单调性和正弦函数图象和确定最大值和最小值. 【详解】()22sin cos 2sin 22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=+- ⎪⎝⎭（1）()f x 最小正周期22T ππ== 令232x k πππ+=+，k Z ∈，解得：122k x ππ=+，k Z ∈ ()f x ∴对称轴方程为122k x ππ=+，k Z ∈ （2）5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 22,233x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦令3232x ππ+=，解得：712x π=()f x ∴在7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增()min 7212f x f π⎛⎫∴==-⎪⎝⎭()max 22sin 03f x π== 【点睛】本题考查正弦函数最小正周期、对称轴、单调性和最值的求解问题，涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数的问题；关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的性质来求解正弦型函数的性质.22．已知{}n a 是各项为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n *∈N ，n b 是n a 和1n a +的等比中项．（1）设221n n n c b b +=-，n *∈N ，求证：{}n c 是等差数列；（2）若112a =，1d =，()211n n d n c *=∈-N ， （Ⅰ）求数列(){}21nnb -的前2n 项和2nS；（Ⅱ）求数列{}n d 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析(2) （Ⅰ）22n n +（Ⅱ）()41nn + 【解析】(1)根据等差数列定义即可证明；(2)(Ⅰ)求出数列{}n c 的通项，再利用并项求和即可得出2n S ；（Ⅱ）求出数列{}n d 的通项，再利用裂项求和即可得出n T . 【详解】（1）证明：∵n b 是n a 和1n a +的等比中项，∴21n n n b a a +=⋅，()2211211212n n n n n n n n n n n c b b a a a a a a a d a +++++++=-=⋅-⋅=⋅-=⋅，122n n c da ++=，()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，n *∈N ，所以{}n c 是等差数列．（2）由（1）可得22222221234212n n n S b b b b b b -=-+-++-+()()()2222222143221n n b b b b b b -=-+-++-1321n c c c -=+++，（Ⅰ）知21n c n =+，数列(){}21nnb -的前2n 项和2nS；()22132134122n n n S c c c n n n -+-=+++=⋅=+．（Ⅱ）因为21n c n =+，()211n n d n c *=∈-N ， ∴()()221111111444141211n d n n n n n n n ⎛⎫===⋅=- ⎪+++⎝⎭+-，()11111111111142233414141n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查等差定义的应用，等差数列通项公式，数列求和的并项求和、裂项求和的应用，考查学生的计算能力，是中档题.23．平面内的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”；平面内的“向量列”{}n b ，如果10b ≠且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅，0q ≠，则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）若“向量列”{}n a 是“等比向量列”，用1b 和“公比”q 表示12n b b b ++⋅⋅⋅+；（2）若{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”()1,0d =，110,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),n n n a x y =；{}n b 是“等比向量列”，“公比”2q，11,12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),n n n b m k =.求1122n n b a b a b a ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.【答案】（1）11,11,11n nb q q b q q ⎧=⎪⎨-⋅≠⎪-⎩（2）()11122n n --⋅+【解析】（1）利用等比数列求和公式整理可得结果；（2）利用“等差向量列”定义可求得n a ，利用“等比向量列” 定义可求得n b ，由此得到n n a b ⋅，利用错位相减法可求得n S .【详解】（1）()111211,11+1,11n n n nb q b b b b q q qq b q q -⎧=⎪++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⎨-⋅≠⎪-⎩（2）1(1)n a a n d =+-⋅ 1n x n ∴=-，12n y =，即()1,1,2n n n a x y n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭11n n b q b -=⋅，1122n n m -=⋅，12n n k -=，即()111,2,22n n n n n b m k --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭1112112222222n n n n n n n n a b n -----∴⋅=⋅+⋅=⋅=⋅令1122n n n S a b a b a b =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅10121222322n n --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅012121222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式相减得:1012122222n n n S n ----=+++⋅⋅⋅+-⋅()()1111212212122n n n n n ---=-⋅=-⋅-- ()11122n n S n -∴=-⋅+【点睛】本题考查数列中的新定义问题的求解，关键是明确所给新定义的本质是等差和等比数列的应用问题；涉及到等差和等比数列通项公式、等比数列求和公式的应用、错位相减法求解数列的前n 项和的问题.。

山东省青岛市2021-2022学年高三上学期期初教学质量检测数学试题一、单选题1．已知复数1i z =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则zz=（ ） A ．1i - B ．1i + C ．i -D ．i2．已知集合{}123,,A a a a =的所有非空真子集的元素之和等于9，则123a a a ++=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．63．已知双曲正弦函数()2x xe ef x --=，则（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减C ．()f x 没有零点D ．()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增4．《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（ ） A ．8B ．11C ．14D ．165．已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据15，此时样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．15x >，23s < B ．15x <，23s > C ．15x =，23s > D ．15x =，23s <6．已知2214a x x=+，0.1b π-=，3log [(2)]c t t =-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．a c b >>7．为调查新冠疫苗接种情况，需从5名志愿者中选取3人到3个社区进行走访调查，每个社区1人，若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．36种D ．54种8．将函数2([3,3])y x =∈-的图象绕点(3,0)-逆时针旋转(0)ααθ≤≤，得到曲线C ，对于每一个旋转角α，曲线C 都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为（ ）A ．32B ．23C ．1 D二、多选题9．已知平面向量(1,2)a =，(2,1)b =-，(2,)c t =，下列说法正确的是（ ） A ．若()//a b c +，则6t = B ．若()a b c +⊥，则23t = C ．若1t =，则4cos ,5a c 〈〉=D ．3a c +<10．在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 、G 、H 分别为线段1AA 、11A C 、11C B 、1BB 的中点，下列说法正确的是（ ）A ．E 、F 、G 、H 四点共面B ．平面//EGH 平面1ABC C ．直线1AA 与FH 异面D ．直线BC 与平面AFH 平行11．已知椭圆221:14x C y +=过双曲线22222:1(,0)x y C a b a b -=>的焦点，1C 的焦点恰为2C 的顶点，1C 与2C 的交点按逆时针方向分别为A ，B ，C ，D ，O 为坐标原点，则（ ）A ．2CB ．1C 的右焦点到2C C ．点A 到2C 的两顶点的距离之和等于4D ．四边形ABCD 12．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若(0)02f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有三个极值点，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为3π B ．()f x 在区间,()31839k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最小值等于12-D ．将()sin 2g x x =的图象向右平移12π个单位可得到3x y f ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象三、填空题13．已知tanα＝3，π＜α32＜π，则cosα﹣sinα＝_____．14．函数y =(1,1)处的切线方程为___________.15．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==，PA =则三棱锥P ABC -的外接球的体积为___________.16．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为___________.四、解答题17．在①2sin tan b A a B =，②222a b ac c -=-，cos 1B B =+这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为α，b ，c ，且___________. (1)求角B 的大小；(2)若2b =，ABC ABC 的周长. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，60ABC ∠=︒，E 为BC 的中点，F 为PC 的中点.（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（2）求平面AEF 与平面PCD 的夹角的余弦值.19．已知等差数列{}n A 的首项1A 为4，公差为6，在{}n A 中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1k a ，2k a ，…，n k a ，…是从{}n a 中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，11k =，25k =，令22n n b nk n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．北京时间2021年8月8日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以38金､32银､18铜､打破4项世界纪录､创造21项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官.作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获4金3银的好成绩，参赛的7名选手全部登上领奖台.我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占60%，次品率为6%；第二批占40%，次品率为5%.为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查· （1）从混合的乒乓球中任取1个. （i ）求这个乒乓球是合格品的概率；（ii ）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率.（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.21．已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与圆22:5O x y +=交于M ，N 两点，抛物线C 与圆O 交于M '，N '两点，且MN M N ''=. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）动点G 在抛物线C 的准线上，直线AB 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线A B ''与抛物线C 交于A '，B '两点，AB 与A B ''的交点为G ，且2GA GB GA GB =⋅'⋅'.设直线AB ，A B ''的斜率分别为1k ，2k ，证明：221212k k -为定值. 22．已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =--+，R a ∈. （1）若0a ≤，求证：()0f x ≥； （2）若()f x 有且只有两个零点1x ，2x （i ）求a 的取值范围；（ii ）求证：12110ln ln x a x a+>--.参考答案：1．C先根据共轭复数的概念写出z ，然后根据复数的除法运算求解出结果. 解：因为1i z =+，所以1i z =-， 所以()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z z ----====-++-， 故选：C. 2．C写出集合{}123,,A a a a =的所有非空真子集，然后相加即可得出答案. 解：解：集合{}123,,A a a a =的所有非空真子集为：{}{}{}{}{}{}123121323,,,,,,,,a a a a a a a a a ，则所有非空真子集的元素之和为：()12312132312339a a a a a a a a a a a a ++++++++=++=，所以1233a a a .故选：C. 3．DA. 利用奇偶性的定义判断；BD.利用导数法判断； C. 令()02x xe ef x --==求解判断.解：A. 因为()()22x x x xe e e ef x f x -----==-=-，所以()f x 为奇函数，故错误；B.因为 ()022x x x xe e e ef x ---+'==>，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，故错误；D 正确；C. 令()02x xe ef x --==，解得0x =，所以()f x 有零点，故错误；故选：D 4．B由题意可知，数列{}n a 是以3-为公差的等差数列，然后结合等差数列的求和公式可求1a ，然后代入可求．解：解：由题意可知，数列{}n a 是以3-为公差的等差数列， 因为91989(3)2072S a ⨯=+⨯-=， 解可得，135a =，所以338n a n =-+， 则911a =，所以这位公公最年幼的儿子的岁数为11岁. 故选：B ． 5．C根据平均数和方差的计算公式分别进行分析即可. 解：设10个数据为129,,...,,15x x x ， 因为151015159x ⨯-==，所以15x =； 又因为()()()22212921515 (159)x x x s -+-++-=，且()()()()22221291515...15+1515310x x x -+-++--=，所以23039s =>， 故选：C. 6．A利用基本不等式得到1a ≥，再根据指数函数、对数函数的性质判断可得；解：解：因为20x >所以22114a x x =+≥，当且仅当2214x x =时取等号，100.10ππ-<<=，即01b <<，()2333log [(2)]log 11log 10c t t t ⎡⎤=-=--+≤=⎣⎦， 所以a b c >>， 故选：A 7．D分①甲乙两人去一人，②甲乙两人都去两种情况讨论，再按照分类、分步计数原理计算可得；解：解：①甲乙两人去一人，则有12323336C C A =种；②甲乙两人都去，则有21323318C C A =种，综上一共有361854+=种， 故选：D 8．B先画出函数2([3,3])y x ∈-的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕点(3,0)-逆时针方向旋转角大于MAB ∠时，曲线C 都不是一个函数的图象，求出此角即可．解：解：由2([3,3])y x ∈-，得0y ≥，()22213x y ++=，则函数的图像是以(0,2)M -为圆心的圆的一部分，先画出函数2([3,3])y x ∈-的图象, 这是一个圆弧AB ，圆心为(0,2)M -,如图所示，由图可知当此圆弧绕点(3,0)-逆时针方向旋转角大于MAB ∠时， 曲线C 都不是一个函数的图象， 即当圆心(0,2)M -在x 轴上时， 所以θ最大值即为MAB ∠， 3t n 2a MAB ∠=，所以θ最大时的正切值为23.故选：B.9．BC根据向量共线的坐标表示即可判断A ； 根据向量垂直的坐标表示即可判断B ； 根据向量的坐标求出夹角的余弦值即可判断C ；根据向量的模的坐标表示结合二次函数的最值即可判断D. 解：解：()1,3a b +=-，若()//a b c +，则60t --=，所以6t =-，故A 错误； 若()a b c +⊥，则230t -+=，所以23t =，故B 正确； 若1t =，则44cos ,55a c a c a c⋅〈〉===⨯⋅，故C 正确； ()3,2a c t +=+，则(93a c +=+，故D 错误.故选：BC. 10．ABC证明出//FG EH ，可判断A 选项；利用面面平行的判定定理可判断B 选项；利用线线的位置关系可判断C 选项；利用线面平行的性质可判断D 选项.解：对于A 选项，因为11//AA BB 且11AA BB =，E 、H 分别为1AA 、1BB 的中点， 则11//A E B H 且11A E B H =，所以，四边形11A B HE 为平行四边形，则11//A B EH ， 因为F 、G 分别为11A C 、11B C 的中点，所以，11//FG A B ，//FG EH ∴， 故E 、F 、G 、H 四点共面，A 对； 对于B 选项，连接1AC 、1BC ，E 、F 分别为1AA 、11A C 的中点，则1//EF AC ，EF ⊄平面1ABC ，1AC ⊂平面1ABC ，//EF ∴平面1ABC ，因为四边形11AA B B 为平行四边形，则11//A B AB ，11//EH A B ，则//EH AB ， EH ⊄平面1ABC ，AB平面1ABC ，//EH ∴平面1ABC ，EF EH E =，∴平面//EGH 平面1ABC ，B 对；对于C 选项，由图可知FH 不与1AA 相交， 若1//FH AA ，又因为11//BB AA ，则1//FH BB ，这与1FH BB H =矛盾，故FH 与1AA 异面，C 对；对于D 选项，延长AH 、11A B 交于点N ，连接FN 交11B C 于点P ，连接PH ，若//BC 平面AFH ，BC ⊂平面11BB C C ，平面11BB C C 平面AFH PH =，//PH BC ∴，事实上，PH 与BC 相交，故假设不成立，D 错. 故选：ABC.11．ACD根据条件先求解出双曲线方程中,,a b c 的值，由此可求双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式即可判断选项A 和选项B ；根据椭圆的定义判断选项C ；计算出椭圆和双曲线的交点坐标，由此可求四边形ABCD 的面积.解：如下图所示，设双曲线的焦距为2c ，由题意可知：2c =，a ==2C的离心率为c e a ===，故A 正确； 1C的右焦点)，2C方程中1,b a ==2C的渐近线方程为y x =，不妨取渐近线y x =，所以)到y=B 错误；根据椭圆定义可知：214AF AF +=，故C 正确；联立22221413x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以2224717x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以22ABCD S ⎛== ⎝四边形D 正确； 故选：ACD. 12．ABD先根据条件等式以及极值点个数列出关于ω的等式与不等式，由此确定出ω的取值，从而()f x 的解析式可求，然后逐项分析最小正周期、单调增区间、在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最小值、图象的变换.解：因为(0)02f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1sin 262ππω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2,266k k Z πππωπ-=+∈或52,266k k Z πππωπ-=+∈， 所以24,3k k Z ω=+∈或24,k k Z ω=+∈； 因为()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有三个极值点，且,6626x ππππωω⎛⎫⎛⎫-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以572262ππππω<-≤，所以162233ω<≤， 所以24,k k Z ω=+∈时，1k =满足条件，所以6ω=，()sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；A.23T ππω==，故正确； B.令262,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，所以,31839k k x k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 在区间,()31839k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，故正确； C.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以46,663x πππ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()min 4sin 3f x π== D. ()sin 2g x x =图象向右平移12π个单位得到sin 2sin 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为sin 236x y f x π⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；故选：ABD.【点睛】思路点睛：求解形如()()()sin 0f x A x B A ωϕ=++>的函数的单调递增区间的步骤如下：（1）先令2,2+,22x k k k Z ππππωϕ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦+∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递增区间.13 根据tan 3α=，求cos ,sin αα的值，由此求得cos sin αα-的值.解：∵tanα＝3，π＜α32＜π，∴cosα=sinα==则cosα﹣sinα=+=【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 14．210x y --=先求解出函数的导函数y '，然后计算出1x =处的导数值，再根据直线的点斜式方程求解出切线方程.解：因为()4y x '==12x y ='=，所以切线方程为：()121y x -=-，即为210x y --=， 故答案为：210x y --=. 15．43π取PB 中点O ，作出图示，根据垂直关系得到OA OB OC OP ===，由此确定出球心位置，先求解出外接球的半径，则外接球的体积可求. 解：如图所示，取PC 中点O ，连接,OA OB ，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，所以OP OA OB ==， 又因为,PA BC AC BC ⊥⊥，PAAC A =，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，所以OP OC OB ==， 所以OA OB OC OP ===，所以三棱锥P ABC -的外接球的球心为O 点，所以外接球的半径112r OA PB ===， 所以外接球的体积为24433V r ππ==， 故答案为：43π.16．7分析()|cos |,y x f x y π==的对称性，将问题转化为()|cos |,y x f x y π==图象交点横坐标之和，采用数形结合法求解出结果.解：因为()()2f x f x =-，所以()()()2f x f x f x +=-=， 所以()f x 是一个周期为2的周期函数，且关于直线1x =对称，令()|cos |h x x π=，所以()()()()2cos 2cos 2cos h x x x x h x ππππ-=-=-==， 所以()h x 关于直线1x =对称，在同一平面直角坐标系中作出()|cos |,y x f x y π==的图象，如下图所示：由图象可知：()|cos |,y x f x y π==的图象共有7个交点， 其中6个点关于1x =对称，还有一个点横坐标为1， 所以交点的横坐标之和为62172⨯+=，所以()g x 在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为7，故答案为：7.【点睛】思路点睛：求解函数零点之和的问题，可以转化为求解函数图象交点的横坐标之和，利用数形结合的思想能高效解答问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质. 17．(1)3B π=(2)2（1）选条件① ：由正弦定理化边为角，可得1cos 2B =，即得解； 选条件② ：由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，结合题干条件，即得解；选条件③ ：利用正弦、余弦的二倍角公式展开可得tan 2B =（2）利用面积公式1sin 2ABC S ac B =△，可得2ac =，结合余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得a c +=，即得解（1）选条件① ：2sin tan b A a B =，由正弦定理可得 2sin sin sin tan B A A B =，由(0,)sin 0A A π∈∴≠整理可得：1cos 2B =，由(0,)B π∈ 3B π∴=选条件② ：222a b ac c -=-，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==，由(0,)B π∈3B π∴=选条件③ cos 1B B =+22sincos 2cos 222B B B =，由于(0,)B π∈，(0,)cos 0222B Bπ∈∴≠tan 2∴=B (0,)2226B B ππ∈∴=3B π∴=（2）由（1），选择三个条件中任何一个都可得3B π=由2b =，3B π=，ABC故1sin 22ABCSac B ac === 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+- 22224()3()6a c ac a c ac a c ∴=+-=+-=+-a c ∴+=故三角形的周长2l a b c =++=18．（1）证明见解析；（2（1）通过AE AD ⊥、PA AE ⊥证明AE ⊥平面PAD ，结合面面垂直的判定定理可证明平面AEF ⊥平面PAD ；（2）建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面AEF 与平面PCD 的一个法向量，然后根据法向量夹角的余弦值求解出平面AEF 与平面PCD 的夹角的余弦值.解：（1）因为底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC 为等边三角形， 所以AE 平分BAC ∠，所以()6018060902EAD ︒∠=︒-︒-=︒，所以AE AD ⊥， 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AE ⊥，且PA AD A ⋂=， 所以AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面PAD ；（2）据题意，建立空间直角坐标系如图所示：因为2PA AB ==，所以())())()0,0,0,,0,0,2,,0,2,0A E P CD ，所以1,12⎫⎪⎪⎝⎭F ，设平面AEF 一个法向量为()1111,,x n y z =，平面PCD 一个法向量为()2222,,n x y z =， 因为()31AE 3,0,0,AF ,,122⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，1100AE n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 所以111020y z =+=⎪⎩，取12y =，所以11z =-，所以()10,2,1n =-，又因为()()0,2,2,3,1,0PD CD =-=-，2200PD n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以222200y z y -=⎧⎪-=，取21x =，所以22y z =(2n=，所以121212cos ,5nn n n n n ⋅<>=== 所以平面AEF 与平面PCD 19．（1）22n a n =+；（2）()2131nn T n=-⋅+.（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据在{}n A 中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ，求得首项和公差，即可得解；（2）根据题意可求得等比数列{}n k a 的公比，从而得到143n n k a -=⋅，又22n k n a k =+，即可求得1231n n k -=⋅-，从而可求得数列{}n b 的通项，再利用错位相减法即可得出答案.解：解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则11244,10a A A a ====， 所以41241a a d -==-， 所以22n a n =+；（2）由11k =，25k =，则114k a a ==，2512k a a ==， 所以等比数列{}n k a 的公比为3，所以143n n k a -=⋅，又因n k a 是等差数列{}n a 的第n k 项， 所以22n k n a k =+， 所以14322n n k -⋅=+，所以1231n n k -=⋅-，所以12243n n n b nk n n -=+=⋅，则()214123333n n T n -=+⨯+⋅++⋅，()23134********n n n T n n -⎡⎤=+⨯+⋅++-⋅+⋅⎣⎦，两式相减得()211324133334313n n nn n T n n -⎛⎫--=++++-⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭所以()2131nn T n =-⋅+.20．（1）（i ）0.944；（ii ）141236；（2）分布列见解析，()0.8E X =. （1）（i ）利用全概率公式计算“取出的1个乒乓球是合格品”的概率；（ii ）利用贝叶斯公式计算“在取到合格品的前提下，它取自第一批乒乓球”的概率；（2）先分析X 的取值，然后计算出X 的不同取值对应概率，由此得到X 的分布列并计算出数学期望.解：设事件B =“任取一个乒乓球是合格品”，事件1A =“产品取自第一批”，事件2A =“产品取自第二批”，则12A A Ω=且12,A A 互斥；（1）（i ）由全概率公式可知：()()()()()1122||P B P A P B A P A P B A =+， 所以()()()0.610.060.410.050.944P B =⨯-+-=； （ii ）由贝叶斯公式可知：()()()()()111|0.610.06141|0.944236P A P B A P A B P B ⨯-===；（2）由条件可知：X 的可取值为0,1,2，()00.60.60.36P X ==⨯=，()1210.60.40.48P X C ==⨯⨯=，()20.40.40.16P X ==⨯=，所以X 的分布列为：所以()00.3610.4820.160.8E X =⨯+⨯+⨯=. 21．（1）24y x =；（2）证明见解析.（1）计算出圆与抛物线交点的横坐标，然后根据MN M N ''=得到p 的等量关系，由此求解出p 的值，则抛物线方程可求；（2）设出G 点坐标，分别写出,AB A B ''的方程，联立直线与抛物线得到对应韦达定理形式，结合点到点的距离公式表示出2GA GB GAGB =⋅'⋅'，由此通过化简证明出221212k k -为定值. 解：（1）因为22225y pxx y ⎧=⎨+=⎩，所以x p =-或x p =-舍)， 又因为MN M N ''=，所以2pp -=，所以2p =， 所以抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）设()1,G m -，()1:1AB y k x m =++，()2:1A B y k x m ''=++， 设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y A x y B x y ''，联立()1214y k x m y x⎧=++⎨=⎩，2114440k y y m k -++=，所以()112121144=,m k y y y y k k ++=，所以12,GA m GB m --， 所以()212122111GA GB y y m y y m k ⎛⎫⋅=+-++ ⎪⎝⎭， 所以()()1222211114141114m k GA GB m m m k k k k +⎛⎫⎛⎫⋅=+-⋅+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 联立()2214y k x m y x⎧=++⎨=⎩，2224440k y y m k -++=，所以()234342244=,m k y y y y k k ++=，所以34,GA m GB m ''=-=-， 所以()222114GA GB m k ⎛⎫''⋅=++ ⎪⎝⎭，因为2GA GB GA GB =⋅'⋅'，所以()()2222121114214m m k k ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又240m +>，所以221211121k k ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2212121k k -=，所以221212k k -为定值1. 22．（1）证明见解析；（2）（i ）0a >；（ii ）证明见解析； （1）对a 分类讨论，即可求解；（2）（i ）先通过导函数，得到原函数的单调性，再证明函数最小值小于0，以及零点两侧异号即可.（ii ）利用基本不等式，即可证明. 解：解：（1）当0a =时，()(1)ln f x x x =- 若()0,1x ∈，则10x -<，ln 0x <，()0f x >； 若1,(1)0x f ==；若()1,x ∈+∞，则10x ->，ln 0x >，()0f x >； 所以当0a =时，()0f x ≥， 当0a <时，()(1)ln 0f x x x >-≥， 所以当 0a <时，()0f x ≥， （2）（i ）由（1）知0a ≤不合题意，当0a >时，1'()ln 1f x x a x=-+-，令()'()g x f x =，所以21'()0x g x x+=>恒成立，所以()g x 在()0,∞+单调递增，且(1)0<g ，()0a g e >， 所以存在()01,ax e ∈使得00()'()0g x f x ==，所以当()00,x x ∈时，0'()0f x <，()f x 在()00,x 上单调递减； 所以当()0,x x ∈+∞时，0'()0f x >，()f x 在()0,x +∞上单调递增； 因为0()()0f x f x <<，31313131()3(1)(1)2(2)0a a a a f e a e a e a e ++++>--+=->,()31111()31(1)(1)2(12)0a f e a e a e a e ----->+--+=->,所以，()f x 在310(,)a ex --和310(,)a x e +各恰有一个零点， 所以a 的取值范围是0a >，（ii ）因为1()()f x f x x =，所以，若()0f x =，则1()0f x =，所以121x x =，即121=x x ，又因为111222(1)ln (1)0,(1)ln (1)0,x x a x x x a x --+=--+=， 所以1212221,1ln ln a ax x x a x a=+=+--，所以121222112ln ln a ax x x a x a+++=+>--，所以12110ln ln x a x a+>--.。

山东省青岛市即墨区2021届高三数学上学期11月期中检测试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,将第I 卷选择题的正确答案选项涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回。

考试时间120分钟，满分150分. 注意事项：1。

答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2。

第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答案不能答在试题卷上。

3。

第II 卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要深圳市作答的答案无效。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：(本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1.设集合{}{}1,31xA x xB x =<=<，则下列集合运算正确的是A. A B R ⋃=B.{}0A B x x ⋂=<C.{}1A B x x ⋃=>D 。

A B ⋂=∅2.复数()()122z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 A 。

4 B 。

4i C.3 D. 3i 3。

“()13log 20x +<”是“1x >”的A 。

充要条件 B.充分不必要条件C 。

必要不充分条件D 。

既不充分也不必要 4.已知实数,x y 满足33x y >，则下列关系恒成立的是A.cos cos y >B.11x y> C. ln ln x y >D.x y e e >5.下列函数为奇函数，且定义域为R 的函数是 A 。

1y x =+B 。

cos y x =C 。

(ln y x =D.tan y x =6。

若α是第三象限角，3tan ,cos 346ππαα⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 A. 35 B 。

2022-2023学年山东省青岛市即墨区高三（上）期中数学试卷1. 若复数为纯虚数，则实数m的值为( )A. 1B.C. 2D.2. 已知向量，，，若，则( )A. 3B.C. 2D.3. 如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为( )A.B.C.D.4. 若，且为第四象限角，则( )A. B. C. D.5. 要得到函数的图像，只需要将函数的图像( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度6. 在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值为( )A. 16B. 8C. 4D. 27.已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D.8. 已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为，则该正四棱锥的体积最大值为( )A. 18B.C.D. 279. 下列关于平面向量的命题正确的是( )A. 若，，则B. 两个非零向量垂直的充要条件是：C. 若向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上D.向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使10. 设函数，则下列结论正确的是( )A. 的周期是B. 的图像关于直线对称C. 在单调递减D. 在上的最小值为11. 已知正方体，则下列结论正确的是( )A. 平面与直线平行B. 平面与直线垂直C.平面与平面平行 D. 平面与平面垂直12. 数列依次为1，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第一项为1，接下来三项为，再五项为，依次类推，记的前n项和为，则下列说法正确的是( )A.B. 为等差数列C.D. 对于任意正整数n都成立13. 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是______.14. 已知非零单位向量，满足，则与的夹角余弦值为______.15. 公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．某人在点A处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为45，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为，则______.16. 已知四边形ABCD，为边BC边上上一点，连接交BD于，点满足，其中是首项为1的正项数列，，则的前n项______.17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，求的值；求的值．18. 已知数列，为的前n项和，，，证明：是等比数列；设，求数列的前n项和为19. 如图，四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面PAB，，E 是AD的中点，M是PB的中点．证明：平面PCD；若，，求平面PCE与平面PBC夹角的余弦值．20. 已知函数，的图象经过点，周期为求的解析式；在中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，的角平分线交AB于若恰为的最大值，且此时，求的最小值．21. 如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，面底面ABCD，E为AD的中点．求证：；在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为①确定点F的位置；②求点C到平面PEF的距离．22.求数列的前2023项和答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数为纯虚数，则，解得故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：向量，，，，，，则故选：利用向量坐标运算法则和向量垂直的性质直接求解．本题考查向量坐标运算法则和向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：设，则，，，，，解得故选：根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，即可求解．本题主要考查平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：因为，且为第四象限角，所以，则故选：由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：，所以只需将函数的图像向左平移个单位长度，即可得到函数的图像．故选：利用诱导公式化简，再根据函数图象的平移法则，得解．本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的平移法则，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：在各项均为正数的等比数列中，，则，等比数列各项均为正数，，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为故选：根据等比数列的性质，推得，再结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由，可得O为线段BC的中点，又O为的外接圆的圆心，则，设外接圆的半径为r，则，，，，则向量在向量上的投影向量为故选：由三点共线的向量表示可得O为线段BC的中点，推得为直角三角形，再由直角三角形的性质和一个向量在另一个向量上的投影向量的定义可得所求．本题考查直角三角形的判断和性质，以及一个向量在另一个向量上的投影向量的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，设正四棱锥的底面边长，高PO为h，外接球的球心为M，则，球的体积为，所以球的半径，在中，，所以正四棱锥的体积，整理为，，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，故选：根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可得，进而由体积公式转化为关于h的函数，利用导数求函数的最值．本题主要考查几何体的体积，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：对于A，当时，有，且，但不一定成立，错误；对于B，两个非零向量，当向量垂直可得，反之也一定有向量垂直，正确；对于C，若向量，与方向和大小都相同，但A，B，C，D四点不一定在一条直线上，错误；对于D，由向量共线定理可得向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使，正确．故选：根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析与判断即可．本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．10.【答案】ACD【解析】解：函数，故的最小正周期为，故A正确；令，求得，不是最值，可得的图像不关于直线对称，在上，，函数单调递减，故C正确；在上，，故当时，函数取得最小值为，故D正确，故选：由题意，利用两角和的余弦公式化简函数的解析形式，再根据余弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的图象和性质，属于基础题．11.【答案】AC【解析】解：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，，，，，，对于A，，平面，平面，平面，故正确；对于B，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，又，与不平行，则平面与直线不垂直，故错误；对于C，在正方体中，可得，，因为AC，平面，，平面，所以平面，平面，又因为，，平面，所以平面平面，故正确；对于D，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，平面与平面不垂直，故错误．故选：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，，，，，，对于A，利用线面平行的判定定理，即可判断；对于B，根据平面的法向量为与不平行，即可判断；对于C，利用面面平行的判定定理，即可判断；对于D，根据平面与平面的法向量不垂直，即可判断．本题考查了直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题．12.【答案】CD【解析】解：设分母为1的数为第一组，分母为3的数为第二组，…，分母为的数为第n 组，则前n组数共有个数，对A选项，令，可得，为第8组最后一个数，，选项正确；对B选项，显然依次为1，3，3，3，5，5，5，5，5，7，7，7，7，7，7，7，…，显然不为等差数列，选项错误；对C选项，前项共有n组数，又每组数的和为1，前n组数的和为n，即，选项正确；对D选项，又A选项分析可知：，，选项正确．故选：根据归纳推理思想，等差数列的定义与通项公式，不等式思想，即可分别求解．本题考查归纳推理思想，等差数列的定义与通项公式，不等式思想，属中档题．13.【答案】【解析】解：因为在复平面内对应的点在第四象限，则，，解得故答案为：由已知结合复数的几何意义即可求解．本题主要考查了复数的几何意义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设与的夹角为，，非零单位向量，满足，，，，，，故答案为：根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，以及平面向量的夹角公式，即可求解．本题主要考查平面向量的数量积公式，以及平面向量的夹角公式，属于基础题．15.【答案】【解析】解：作出图形，如图所示：由题意得米，米，米，，，，在中，米，在中，米，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，两式相加得，即，在中，，，故答案为：作出图形，由题意得米，米，米，，，，利用余弦定理，即可得出答案．本题考查解三角形和余弦定理，考查数形结合思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：，，又B，，C三点共线，，，又，是以首项为4，公比为2的等比数列，，，又，，，又，，又，，故答案为：根据向量共线定理的推论，向量的线性运算，等比数列的定义与通项公式，分组求和法，等比数列的求和公式，即可求解．本题考查向量共线定理的推论，向量的线性运算，等比数列的定义与通项公式的应用，分组求和法的应用，等比数列的求和公式的应用，属中档题．17.【答案】解：因为，由正弦定理可得：，即，又因为，可得，，在三角形中，由余弦定理可得；在中，由可得，所以【解析】由题意和正弦定理可得a，c与b的关系，再由余弦定理可得B角的余弦值；由可得B的正弦值，再由两角差的正弦公式可得的正弦值．本题考查正余弦定理的应用及两角差的正弦公式的应用，属于基础题．18.【答案】解：证明：为的前n项和，又，，，，，，又，，，，，又，是以2为首项，2为公比的等比数列；由可得，又，，，，，，【解析】根据化归转化思想，等比数列的定义，即可证明；先根据求出，从而可得，进而可得，最后再利用错位相减法，即可求解．本题考查化归转化思想，等比数列的定义，错位相减法求和，属中档题．19.【答案】解：证明：取PC的中点N，连接MN，DN，因为M，N分别为各边的中点，所以且，且，所以且，所以四边形DEMN为平行四边形，所以，所以面PCD，面PCD，所以面设，则，，因为，，因为面PAB，以AB中点O为原点，过点O和AD平行的直线为z轴，如图建立空间直角坐标系：，，，所以，，设是面PCE的一个法向量，则有，解得，是平面PBC的法向量，，，由图可知面PCE与面PBC夹角为锐角，所以面PCE与面PBC夹角的余弦值为【解析】取PC的中点N，连接MN，DN，由中位线定理可得且，进而可得，由线面平行的判定定理，即可得出答案．根据题意可得面PAB，以AB中点O为原点，过点O和AD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设是面PCE的一个法向量，则有，解得，是平面PBC的法向量，再计算，，即可得出答案．本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中需要理清思路，属于中档题．20.【答案】解：由函数的周期为，知，因为函数图象经过点，所以，所以，，又，所以，故因为恰为的最大值，且，所以，所以，即，，因为，所以，因为的角平分线交AB于D，所以，因为，所以，即，化简得，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为【解析】由，可得的值，再由，求得的值，即可；由，可得，再结合角分线的性质定理与三角形面积公式，推出，即，然后利用“乘1法”，得解．本题考查解三角形与三角函数的综合，理解中，的几何意义，熟练掌握三角形面积公式与基本不等式中的“乘1法”是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】证明：取AB的中点O，连结PO，因为，所以，又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，所以底面ABCD，取CD的中点G，连结OG，则OB，OP，OG两两垂直，分别以OB，OG，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设，则，，，，所以，则，故，所以解：①由可知，，，，，，所以，，设，则，所以，设平面PEF的法向量为，则，令，则，故，所以，整理可得，解得，所以在BD上存在点F，使得直线AP与平面PEF所成角的正弦值为，此时点F为靠近点B 的三等分点，即；②由①知，，点C到平面PEF的距离【解析】取AB的中点O，连结PO，取CD的中点G，连结OG，利用面面垂直的性质定理证明OB，OP，OG两两垂直，然后建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，由向量垂直的坐标表示进行分析证明即可；①设，则，即可得到的坐标，表示出平面PEF 的法向量，利用空间向量方程得到方程，解得即可；②根据点到平面的距离公式求解即可．本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．22.【答案】解：，又，，，，，又，是以首项为1，公比为2的等比数列，；由可得，，又，，，，，又，，，，，是周期为2的周期数列，，【解析】根据对数的运算，等比数列的定义与通项公式，即可求解；将的奇数项和转化为的和，再利用已知的递推关系，可得是周期为2的周期数列，从而利用等比数列求和公式及数列的周期性，即可求解．本题考查对数的运算，等比数列的定义与通项公式，化归转化思想，数列的周期，属中档题．。

山东省青岛市即墨区2024-2025学年高三上学期11月期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________即123456b b b b b b m +++++=，且对于16i j £<£，使得i j b b <的正整数对(,)i j 恰有8个.所以数列{}n b 各项中必有不同的项，所以7m ³且*N m Î.若7m =，则满足要求的数列中有五项为1，一项为2，所以5k £，不符合题意，所以7m >；若8m =，则满足要求的数列中有四项为1，两项为2，此时数列为{1,1,1,1,2,2}，满足要求的整数对(,)i j 分别为(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)，符合m 的8增数列，所以当8m =时，存在m 的8增数列，故m 的最小值为8.（3）由题意得，若数列{}na 中的每个项都相等，则0k =，若0k ¹，则数列中存在大于1的项，若首项11a ¹，则将1a 拆分成1a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，故11a =.当2,3,...,i n =时，若1i i a a +>，则交换i a 和1i a +顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +£.若1{0,1}i i a a +-Ï，则12i i a a +³+，此时将1i a +变为11i a +-，并在数列首位添加一项1，则k 值变大，所以此时k 不是最大值，所以1{0,1}i i a a +-Î.若数列{}na 中存在相邻的两项12,3i i a a +=³，设此时{}na 中有x 项为2，将1i a +改为2，并在数列首位前添加12i a +-个1后，k 的值至少变为1k +，所以此时k 也不是最大值.综上，若k 为最大值，则数列{}na 中的各项只能为1或2，所以数列为1,1,...,1,2,2,...,2的形式.设其中有x 项为1，y 项为2，因为存在60的k 增数列，所以260x y +=，所以22(602)2602(15)450k xy y y y y y ==-=-+=--+，所以当且仅当30,15x y ==时，k 取最大值450.【点睛】本题是数列有关的新定义问题，这类问题的关键是要准确理解题中对于“m 的k 增数列”的定义，特别是条件②中的正整数对(,)i j 指的是数列下标而非数列项本身；其次在最后一问的证明过程中，需要把多种情况都考虑到，只有全面分析数列满足的条件才能准确得出项的特征，而考虑的方面其实从前两问中可以分析出来.。

2024年高三年级期初调研检测数学试题2024.09本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){}ln 4Ax y x ==−，{}1,2,3,4,5B =，则A B = （ ）A. {5}B. {1,2,3}C. {1,2,3,4}D. {1,2,3,4,5}【答案】B 【解析】【分析】根据对数中真数大于0解出集合A ，再利用交集含义即可得到答案. 【详解】(){}{}ln 44A x y x x x ==−=<，则{1,2,3}A B ∩=. 故选：B.2. 已知复数z 满足()12i 43i z +=+，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 1−C. iD. i −【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法的计算公式得2i z =−，再根据共轭复数和复数虚部的概念即可.【详解】()()()()43i 12i 43i105i2i 12i12i 12i 5z +−+−====−++−， 则2i z =+，则其虚部为1.故选：A.3. 已知命题p ：R α∀∈，sin cos 44ππαα −=+，则p ¬为（ ） A. R α∀∈，sin cos 44ππαα−≠+B. R α∃∈，sin cos 44ππαα−≠+C. R α∀∉，sin cos 44ππαα−=+ D. R α∃∉，sin cos 44ππαα−=+【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称即可.【详解】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称,则p ¬为“R α∃∈，sin cos 44ππαα−≠+”. 故选：B.4. 等差数列{aa nn }的首项为1−，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{aa nn }的前6项和为（ ） A. 1−B. 3C. 24−D. 24【答案】D 【解析】2=d ，后根据等差数列求和公式计算即可.【详解】236,,a a a 成等比数列,则2326a a a =⋅，即21112()(5)()a d a d a d +=+⋅+， 11a =−代入.得到212)1)15)(((d d d −+−+−+⋅=，0d ≠，解得2=d .则{}n a 的前6项和6656(1)2242S ×=×−+×=. 故选：D.5. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1cos 3α=−，则()cos αβ−=（ ）A.19B. 79−C. 1D.79【答案】B 【解析】【分析】运用角的终边对称性，得到正弦余弦值之间的关系，再用两角差的余弦值计算即可. 【详解】角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称. 则1cos cos 3αβ==−，sin sin αβ=−，且228sin 1cos 9αα=−=，28sin sin sin 9αβα⋅=−=−， 故()187cos cos cos sin sin 999αβαβαβ−=⋅+⋅=−=−. 故选：B6. 两个粒子A ，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(1,2)A S = ，(4,3)B S =．粒子B 相对粒子A 的位移为S ，则S 在A S上的投影向量为（ ）A.B.C. (1,2)D. (2,1)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得(3,1)B A S S S=-=，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式，准确计算，即可求解.【详解】由向量(1,2)A S =，(4,3)B S = ，可得粒子B 相对粒子A 的位移为(3,1)B A S S S =-=，可得13215A S S =××=⋅+， 所以S在A S上的投影向量为(1,2)(1,2)A A AAS S S S S ⋅⋅==.故选：C.7. 设()()2,01,0x a x f x x a x x +≤= ++>，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A. []1,0− B. []1,2−C. []2,1−−D. []2,0−【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式,二次不等式求解.【详解】由于()()2,01,0x a x f x x a x x +≤ = ++>，则当0x =，()20f a =.由于()0f 是()f x 的最小值，则(,0]−∞为减区间，即有0a ≤.则21,0a x a x x≤++>恒成立.由12x x +≥=，当且仅当1x =取最值.则 22a a ≤+，解得12a −≤≤。

高三教学质量检测数学试题
第Ⅰ卷
一､选择题
1.已知向量()1,3a =
-，(),1b m =，若向量a ，b 夹角为
3π，则m =（ ） A. 33 B. 3 C. 0 D. 3- 2.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =（ ）
A. 3144AB AD +
B. 1142AB AD -+
C. 12AB AD +
D. 3144
AB AD + 3.在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则sin2α=（ ） A. 2425
B. 65
C. 35
D. 62+4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何？”意思是:“现有一根金杖，长6尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重5斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问金杖重多少斤？”（设该金杖由粗到细是均匀变化的）（ ）
A. 21
B. 18
C. 15
D. 12
5.已知4sin cos 3θθ+=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=（ ） A . 23
B. 23-
C. 13
D. 13- 6.在ABC ∆中，60A ∠=︒，1AB =，2AC =，
若3BD DC =，AE AC AB λ=-，R λ∈，且1AD AE ⋅=，则λ的值为（ ）
A. 213
B. 1
C. 311
D. 813 7.对于任意向量,a b ，下列关系中恒成立的是（ ）。

山东省青岛市即墨实验高级中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数 (i为虚数单位)的虚部是( )A． B． C． D．参考答案：B略2. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有个面是矩形，体积为，则（）A．B． C. D．参考答案：D3. 若集合，，则=（）A．B．C．D．参考答案：C略4. 用表示不超过的最大整数（如）．数列满足，若，则的所有可能值的个数为（）A．４B．３ C. ２D．１参考答案：B5. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A BC D参考答案：C6. 若cosα＞0，则( )A．tanαsinα≥0B．sin2α≤0 C．sinα≤0D．cos2α＜0参考答案：A【考点】三角函数值的符号．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】直接判断角所在象限，然后判断表达式的符号即可．【解答】解：由cosα＞0知α的终边在Ⅰ或Ⅳ象限，或x正半轴上，于是，故选：A．【点评】本题考查角所在象限，三角函数的值的符号，是基础题．7. 已知集合，则A∩B= ( )A. [0,2]B.[－1,2]C. [－1,+∞)D. (－∞,2]参考答案：B【分析】利用指数函数的单调性求出集合B，再利用集合的交运算即可求解.【详解】由，则.故选：B【点睛】本题考查了集合的角运算，同时考查了利用指数函数的单调性解不等式，属于基础题.8.设集合则实数m的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：答案： B9. 下列函数：（1）y=sin3x+3sinx；（2）y=﹣；（3）y=lg；（4）y=；其中是奇函数且在（0，1）上是减函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）容易判断该函数在（0，1）上为增函数，不满足（0，1）上为减函数；（2）通分得出，从而判断出该函数为奇函数，根据指数函数y=e x的单调性及减函数的定义即可判断该函数在（0，1）上为减函数，从而该函数满足条件；（3）容易判断该函数为奇函数，分离常数得到，这样根据复合函数和反比例函数的单调性即可判断出该函数在（0，1）上的单调性；（4）可以说明该函数不是奇函数，这样便可最后得出满足是奇函数且在（0，1）上是减函数的个数．【解答】解：（1）y=sinx和y=sin3x在（0，1）上都是增函数；∴y=sin3x+sinx在（0，1）上是增函数；（2），；∴该函数为奇函数；y=e x在（0，1）上为增函数；∴在（0，1）上为减函数；（3）解得，﹣1＜x＜1；且；∴为奇函数；设，y=lgt为增函数，t=在（0，1）上为减函数；∴在（0，1）上为减函数；（4）根据解析式知，x=0时，y=1≠0；∴该函数不是奇函数；∴是奇函数且在（0，1）上是减函数的个数为2．故选B．10. 设全集U是实数集R，，则(A) (B) (C)(D)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 以角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则．参考答案：-3本题考查三角函数的定义、和角公式.由题意知,所以.12. 如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且，若，其中，则_________.参考答案：略13. 在中，，，已知点是内一点，且满足，则 .参考答案：4014. 已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程为．参考答案：略15. 已知定义在R上的函数f（x）=（x2﹣3x+2）?g（x）+3x﹣4，其中函数y=g（x）的图象是一条连续曲线．已知函数f（x）有一个零点所在区间为（k，k+1）（k∈N），则k的值为．参考答案：1【考点】函数零点的判定定理．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由已知可得f（1）=﹣1＜0，f（2）=2＞0，故函数f（x）有一个零点所在区间为（1，2），进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=（x2﹣3x+2）?g（x）+3x﹣4，f（1）=﹣1＜0，f（2）=2＞0，故函数f（x）有一个零点所在区间为（1，2），故k=1，故答案为：1．【点评】本题考查的知识点是函数零点的判定定理，熟练掌握函数零点的判定定理，是解答的关键．16. 已知，，，则a，b，c的大小关系为▲．（用“<”连接）参考答案：c＜b＜a∵a=21.2＞20=1，=20.8，由指数函数y=2x是增函数，∴21.2＞20.8＞20=1，∴a＞b＞1．又＜=1，∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．17. 在平面直角坐标系中，对于函数y=f（x）的图象上不重合的两点A，B，若A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一组“奇点对”（规定（A，B）与（B，A）是相同的“奇点对”），函数的“奇点对”的组数是．参考答案：3考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据“奇点对”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f（x）=﹣x+4，x＞0关于原点对称的图象，利用对称图象在x＜0上两个图象的交点个数，即为“奇点对”的个数．解答：解：由题意知函数f（x）=sin x，x＜0关于原点对称的图象为﹣y=﹣sin x，即y=sin x，x＞0在x＞0上作出两个函数的图象如图，由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有3个，∴函数f（x）的“奇点对”有3组，故答案为：3．点评：本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高 三 教 学 质 量 检 测数学（理倾）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡上交。

考试时间90分钟，满分100分。

注意事项：1.答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试题卷上。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用涂改液、胶带、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分。

1.已知),(2R b a i b iia ∈+=+，其中i 为虚数单位，则=-ab A.-1 B.1 C.2 D.32.设全集，}6,5,4,3,2,1{=U 集合=⋂==)(}5,4,3{},4,3,2,1{Q C P Q P U ，则， A.｛1，2，3，4，6｝ B.｛1，2，3，4，5｝ C.｛1，2，5｝ D.｛1，2｝3.设)sin()(2φπφφ+===x x f R ”是“，则“为偶函数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是乙甲、x x ，则下列说法正确的是 A.乙甲x x >，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B.乙甲x x >，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C.乙甲x x <，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D.乙甲x x <，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛5.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x ，则目标函数y x z 34-=的最小值和最大值分别为A.-6，11B.2，11C.-11，6D.-11，26.已知53)4sin(=+x π，则x 2sin 的值为A.2524-B.2524C.257- D.2577.设a,b 是不同的直线，βα、是不同的平面，则下列命题：①若βα//,//,b a b a 则⊥ ②若ββαα⊥⊥a a 则,,// ③若αβαβ//,,a a 则⊥⊥ ④若βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,b a b a 其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.38.已知偶函数)(x f 在R 上的任一取值都有导数，且),2()2(,1)1('-=+=x f x f f 则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为A.2B.-2C.1D.-1 9.如果执行下面的程序框图，输出的S=110，则判断框处为 A.10<k ? B.11≥k ？ C.10≤k ？ D.11>k ?10.函数x xy sin 3+=的图象大致是11.把5张座位编号为1，2，3，4，5的电影票发给3个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 A.360 B.60 C.54 D.1812.过双曲线)0(12222>>=-a b by a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点O P ,为坐标原点，若1OE (OF OP)2=+u u u r u u u r u u u r,则双曲线的离心率为 A.233+ B.231+ C.25 D.251+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题4分，满分16分。

2020-2021学年山东省青岛市即墨区高三（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）设集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则下列集合运算正确的是（）A．A∪B＝R B．A∩B＝{x|x＜0}C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅2．（5分）复数z＝（1+2i）（2﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是（）A．4B．4i C．3D．3i3．（5分）“”是“x＞1”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要4．（5分）已知实数x，y满足x3＞y3，则下列关系恒成立的是（）A．cos x＞cos y B．C．lnx＞lny D．e x＞e y5．（5分）下列函数为奇函数，且定义域为R的函数是（）A．y＝|x|+1B．y＝cos xC．D．y＝tan x6．（5分）若α是第三象限角，tan（+α）＝﹣（﹣α）＝（）A．B．C．D．7．（5分）若函数f（x）＝lnx+2x2+ax的图象上存在与直线x﹣y＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．[2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 8．（5分）若，下列正确的是（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．（5分）给出下列四个命题，正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知为非零向量，若，，则C．若＝，则＝D．若A，B，C，D是不共线四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件10．（5分）正项等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a4＝3．下列说法正确的是（）A．a1＝9B．{a n}是递增数列C．为等比数列D．{log3a n}是等比数列11．（5分）在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，ac＝，则下列选项正确的是（）A．a＝2b B．C．D．ΔABC为钝角三角形12．（5分）如图，一张长方形纸，长宽分别为2，A，B，C，D分别是四边的中点，现将其沿图中虚线折起1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题正确的是（）A．该多面体为四棱锥B．该多面体的体积为C．面ABD⊥面BCDD．该多面体的外接球的表面积为5π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）等比数列{a n}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝．14．（5分）在ΔABC中，B＝＝tan B．15．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ΔABC边长为2的等边三角形，AA1＝4，则此三棱柱的外接球体积为；若M为底边BC的中点，动点P在三角形ACB1内部运动，并且始终有MP∥面ACC1A1，则动点P的轨迹长度为．16．（5分）已知x1，x2分别是函数f（x）＝xa x﹣1和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中0＜a＜1），则2x1+x2的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分。

山东省青岛市即墨实验高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. tan 150°的值为( )A. B．－ C. D．－参考答案：B略2. 把函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）为( )A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数参考答案：A考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，得出结论．解答：解：把函数y=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）的图象向右平移，得到函数f（x）=cos=cos （2x﹣）=sin2x 的图象，由于f（x）是周期为π的奇函数，故选：A．点评：本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，属于基础题．3. 设直线l与平面α相交但不垂直，则下列命题错误的是（）A．在平面α内存在直线a与直线l平行B．在平面α内存在直线a与直线l垂直C．在平面α内存在直线a与直线l相交D．在平面α内存在直线a与直线l异面参考答案：A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：由直线l与平面α相交但不垂直，知：根据线面平行的判定定理，可得α内不存在直线与l平行，故A错误；α内存在与l垂直的直线，如图，作P作PO⊥α于O，则AO是a在α内的射影，若b⊥AO，则b⊥平面PAO，b⊥a，故满足b⊥AO的直线b有无数条，即在平面α，内有无数条直线与直线a垂直，故B正确；由图可知，C，D正确．故选：A．4. 已知点, 为抛物线的焦点, 点在抛物线上, 使取得最小值, 则最小值为（）A． B． C． D．参考答案：D5. 若(1-2x)9展开式的第3项为288，则()的值是（A）2 （B）1 （C）（D）参考答案：答案：A6. 复数（i为虚数单位）的虚部是( )A．B．C．D．参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求出复数z，即可得复数z的虚部．解答：解：===﹣故复数（i为虚数单位）的虚部是故选B点评：本题主要考查了复数的基本概念，以及复数代数形式的乘除运算，同时考查了计算能力，属于基础题．7. 直线与圆相交所得弦长为（）A． 6 B． 3 C. D．参考答案：A圆心到直线距离为，所以弦长为，选A.8. 已知双曲线的两条渐近线与以椭圆的左焦点为圆心、半径为的圆相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 设是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过一定存在平面,使得 B．过一定不存在平面,使得C．在平面内一定存在直线，使得 D．在平面内一定不存在直线，使得参考答案：C10. 已知且,函数在区间(－∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数的图象是( D )A B C D参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出以下三个命题：①函数为奇函数的充要条件是；②若函数的值域是R，则；③若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称．其中正确的命题序号是________．参考答案：略12. 若点在函数的图像上，则的值为 。

山东省青岛市即墨华山中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设,则（）A．c﹤b﹤a B．a﹤c﹤b C. c﹤a﹤b．D．b﹤c﹤a参考答案：C略2. 函数的值域为A. B. C. D.参考答案：A略3. 在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D略4. 设函数，则满足的的取值范围是A. B. C. D. 参考答案：C5. 设a=2, b=In2, c=,则( )Aa<b<c Bb<c<aC c<a<bD c<b<a参考答案：C6. 已知集合，则（）A．(0,3] B．[3,π) C．[－1,π) D．[－1,0)参考答案：A7. 若关于x的方程有解，则m的取值范围是（）A． B． C． D．）参考答案：C8. 已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为( )A. B. C. D.参考答案：D9. 已知双曲线的离心率，则它的渐近线方程为A. B. C. D.参考答案：C略10. 如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（n>l，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为a n，则=（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：由已知，数列是首项为，公差为的等差数列，通项为；所以，则=．故答案为．考点：1．归纳推理；2．等差数列的通项公式；3．“裂项相消法”．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，向量，，，且，，则=_____________.参考答案：12. 如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，=，=，=，则?（﹣）= ．参考答案：﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用正六边形的性质和数量积的性质即可得出．【解答】解：由正六边形的性质和数量积的性质可得=1×1×cos60°=，==．∴?（﹣）===﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了正六边形的性质和数量积的性质，属于基础题．13. 右图是一程序框图，则输出结果为。