初中奥数系列：.实数与二次根式B级.第01讲.学生版

此文档下载后即可编辑奥数专题讲座实数【知识概要】实数包括有理数与无理数，有理数的所有运算性质和运算律都适用于实数。

开不尽方的算数平方根是一类重要的无理数，实数运算的关键是算数平方根的化简和运算，其中以下三点必须引起注意：⑴多重根式的化简和计算：。

⑵分母有理化：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是。

⑶实数的整数部分和小数部分；先通过估算已知无理数，确定其整数部分a的值，再用已知无理数与a的差表示小数部分。

【赛题精析】例1化简 (第三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题)〔分析〕解本题的关键是将化成一个平方数，这里3＝2＋1＝，所以利用完全平方公式就可以得到。

例2化简 (1993年北京市初二数学竞赛初赛试题) 〔分析〕解本题可以将与分别化成一个平方数进行化简；另外由于与是互为有理化因式，并且（）（）＝4，因此原式平方后是一个正整数，我们也可以利用这一特点求解。

例3求的值。

(第三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题)〔分析〕不是的形式，不能直接配方，所以要把化成后，分子再配方；也可以将原式配方后再求值。

例4已知，求xy的值。

(1998年北京市初二竞赛复赛试题)〔分析〕∵，∴例5计算。

(第七届美国数学邀请赛试题)〔分析〕可以利用“四个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数”来求解。

例6计算：⑴。

(北京市竞赛题)⑵。

(1997年陕西省竞赛题)〔分析〕若一开始就把分母有理化，则计算必定繁难；仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分拆等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解。

例7设，求的整数部分。

(1998年全国初中数学竞赛试题) 〔分析〕先将已知代入原式中求出该式的值再来估算整数部分。

【考点1】实数的概念与正负数的意义1．实数：有理数与无理数统称为实数。

实数与数轴上的点一一对应。

实数的分类如下：① 按定义分：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数② 按大小分：实数可分为正实数、零、负实数.2．正负数的意义：表示具有相反意义的量【例1】纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京时间1月7日8时时，纽约的时间是（ ）专题01 实数与二次根式A．1月6日21时B．1月7日21时C．1月6日19时D．1月6日20时【分析】纽约与北京的时差为﹣13小时，表示纽约的时间比北京时间晚13个小时，比得北京时间1月7日8时晚13个小时的时间为1月6日19时，从而得出答案．【解答】解：24﹣[8+（﹣13）]＝19故选：C．【例2】下列实数中是无理数的是（）A．3.14BCD．17【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得．【解答】A、3.14是有限小数，属于有理数，此项不符题意；B3=，是有理数，此项不符题意；C是无理数，此项符合题意；D、17是分数，属于有理数，此项不符题意；故选：C．1．（2021·山东济宁市）若盈余2万元记作2+万元，则2-万元表示（）A．盈余2万元B．亏损2万元C．亏损2-万元D．不盈余也不亏损【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量解答．【解答】解：∵盈余2万元记作+2 万元，∴-2万元表示亏损2万元，故选：B．2．（2021·广西来宾市）下列各数是有理数的是（）A．p BCD．0【分析】利用有理数和无理数的定义判断即可．【解答】解：四个选项的数中：p 0是有理数，故选项D 符合题意．故选：D ．【考点2】相反数、倒数1．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数.（1）若a,b 互为相反数,则a +b =0;（2）0的相反数是0;（3）在数轴上,互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等. 2．倒数：乘积为1的两个数互为倒数.（1）ab =1⇔a,b 互为倒数;（2）0没有倒数;（3）倒数等于它本身的数是1和-1.【例3】-2021的相反数是（ ）A ．2021B ．-2021C ．12020D ．12020-【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：-2021的相反数是：2021．故选：A ．【例4】﹣211的相反数是，倒数是 ．【分析】根据相反数与倒数的概念解答即可．【解答】解：∵﹣211的相反数是 211，∵﹣1＝﹣，∴﹣1倒数是﹣． 故答案为：1，﹣．【考点3】数轴【例5】（2021·青海）若123a =-，则实数a 在数轴上对应的点的位置是（ ）．A ．B ．C ．D ．【分析】首先根据a 的值确定a 的范围，再根据a 的范围确定a 在数轴上的位置．【解答】解：∵123a =-∴ 2.3a »，∴ 2.52a -<<-，∴点A 在数轴上的可能位置是：，故选：A ．【例6】（2021·湖南）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（）A ．a b>B ．||||a b >C ．0ab >D ．0a b +>【分析】由数轴易得21,01a b -<<-<<，然后问题可求解．【解答】解：由数轴可得：21,01a b -<<-<<，∴,,0,0a b a b ab a b <><+<，∴正确的是B 选项；故选B．注:实数与数轴上的点是一一对应的.1．（2021·北京）实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．2a >-B ．a b >C ．0a b +>D ．0b a -<【分析】由数轴及题意可得32,01a b -<<-<<，依此可排除选项．【解答】解：由数轴及题意可得：32,01a b -<<-<<，∴,0,0a b a b b a >+<->，∴只有B 选项正确，故选B ．2．如图，数轴上点A ，B ，C 对应的有理数分别为a ，b ，c ，则下列结论中，正确的有（ ）①a +b +c ＞0 ②a •b •c ＞0 ③a +b ﹣c ＜0 ④10<<ab A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据数轴可知a ＜﹣1，0＜b ＜1，从而可以判断题目中的结论哪些是正确的，哪些是错误的，从而解答本题．【解答】解：∵由数轴可知，a ＜﹣1，0＜b ＜1，∴ab ＜0，a ﹣b ＜0，a +b ＜0，|a |﹣|b |＞0，故①②③错误，④正确．故选：A ．3．有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，把a 、b 、﹣a 、﹣b 、0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）A ．﹣a ＜a ＜0＜﹣b ＜bB ．a ＜﹣a ＜0＜﹣b ＜bC ．﹣b ＜a ＜0＜﹣a ＜bD ．a ＜0＜﹣a ＜b ＜﹣b【分析】根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：根据数轴可得：a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则﹣b ＜a ＜0＜﹣a ＜b ．故选：C ．【考点4】绝对值1．绝对值：在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做a 的绝对值，记为|a |.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.2．绝对值具有非负性：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 【例7】已知（x ﹣3）2+|2x ﹣3y ﹣3|＝0，则y ＝ ．【分析】根据非负数的性质列出二元一次方程组，求解得到x 、y 的值，再代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x ―3=0①2x ―3y ―3=0②，由①得，x ＝3，把x ＝3代入②得，6﹣3y ﹣3＝0，解得y ＝1．故答案为：1．【例8】9-的绝对值是（ ）A ．9B ．9-C ．19D ．19-【分析】利用绝对值的定义直接得出结果即可【解答】解：9-的绝对值是：9故选:A1．（2021·四川雅安市）-2021的绝对值等于（ ）A ．2021B ．-2021C ．12021D ．12021-【分析】根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数即可求出答案．【解答】解：﹣2021的绝对值即为：|﹣2021|＝2021．故选：A ．2．已知|x ﹣y +3|与（x ﹣2）2互为相反数，则yx yx -+2= ．【分析】根据绝对值非负数，偶次方非负数的性质列出二元一次方程组，然后再利用加减消元法求出y 的值，再代入其中一方程求出x 的值，进一步计算即可．【解答】解：∵|x ﹣y +3|与（x ﹣2）2互为相反数，∴|x ﹣y +3|+（x ﹣2）2＝0，∴x ―y +3=0x ―2=0，解得：x ＝2，y ＝5，x 2y x y =21025=―4．故答案为：﹣4．【考点5】科学计数法科学记数法：把一个数写成a ×10n （其中1≤|a |＜10，n 为整数）的形式，这种记数法叫做科学记数法.【例9】（2021·广东）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（ ）A ．90.51085810´B ．751.085810´C ．45.1085810´D ．85.1085810´【分析】根据科学记数法的表示形式10n a ´，其中1||10a £<，n 为整数，一定要将题目中的“51085.8万”转化为数字510858000，即可将题目中的数据用科学记数法表示出来．【解答】51085.8万=51085800085.1085810=´ ，故选：D ．1．（2021·内蒙古）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一．将46.61万用科学记数法表示为4.66110n ´，则n 等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【分析】把46.61万表示成科学记数法的形式10n a ´，即可确定n ．【解答】46.61万=466100=4.661510´ ，故n =5故选：C ．2．（2021·湖南张家界市）我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至2021年6月5日，免费接种数量已超过700000000剂次，将700000000用科学计数法表示为（ ）A ．90.710´B ．80.710´C ．8710´D ．9710´【分析】将700000000写成a×10n （1＜|a|＜10，n 为正整数）的形式即可．【详解答】解：700000000=8710´．故选C ．3．（2021·贵州铜仁市）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在京举行，习近平总书记在大会上庄严宣告：“我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．这是中国人民的伟大光荣，是中国共产党的伟大光荣，是中华民族的伟大光荣!”现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．98990000用科学记数法表示为（ ）．A ．69.89910´B ．798.9910´C ．89.89910´D ．79.89910´【分析】根据科学记数法的性质分析，即可得到答案．【解答】98990000用科学记数法表示为：79.89910´ 故选：D ．科学记数法的表示方法：一般形式:a ×10n .1．a 值的确定:1≤|a |<10.2．n 值的确定:① 当原数的绝对值大于或等于10时,n 等于原数的整数位数减1;② 当原数的绝对值小于1时,n 是负整数,它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零).注意:若含有计数单位,则先把计数单位转化为数字，再用科学记数法表示.【考点6】实数的大小比较【例10】（2021·__________12（填写“＞”或“＜”或“＝”）．12，结果大于0大；结果小于0，则12大．【解答】102-，12＞，故答案为：＞．【例11】若0＜m ＜1，m 、m 2、m1的大小关系是（ ）A ．m ＜m 2m1<B ．m 2＜m m 1<C ．<m1m ＜m 2D ．<m1m 2＜m 【分析】利用特殊值法进行判断．【解答】解：当m =12时，m 2=14，1m =2，所以m 2＜m ＜1m．故选：B ．1．（2021·广西柳州市）在实数3，12，0，2-中，最大的数为（ ）A ．3B ．12C ．0D ．2-【分析】根据正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，两个正数比较大小，绝对值大数就大，据此判断即可．【解答】根据有理数的比较大小方法，可得：12032-<<< ，因此最大的数是：3,故选：A ．2．（2021·湖北襄阳市）下列各数中最大的是（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【分析】把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．【解答】由于－3<－2<0<1，则最大的数是1故选：D ．比较实数大小的5种方法1．数轴比较法:将两个数表示在同一条数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.2．类别比较法:正数大于零;负数小于零;正数大于一切负数;两个负数比较大小,绝对值大的反而小.3．差值比较法:若a,b 是任意两个实数,则a -b >0⇔a >b ;a -b =0⇔a =b ;a -b <0⇔a <b .4．倒数比较法:若a 1>b1，ab >0，则a <b .5．平方比较法:由a >b >0,可得b a >,故可以把比较与的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题.【考点7】二次根式的估算【例12】（2021·1+在数轴上的对应点可能是（）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点1+的近似值，再判定它位于哪两个整数之间即可找出其对应点．【解答】解：1.414»，1 2.414+»，∴它表示的点应位于2和3之间，所以对应点是点D ，故选：D ．1．（2021·湖北随州市·中考真题）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率p 精确到小数点后第七位的人，他给出p 的两个分数形式：227（约率）和355113（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （即有bd x a c <<，其中a ，b ，c ，d 为正整数），则b d a c++是x 的更为精确的近似值．例如：已知15722507p <<，则利用一次“调日法”后可得到p 的一个更为精确的近似分数为：1572217950757+=+；由于179 3.140457p »<，再由17922577p <<，可以再次使用“调日法”得到p 的更为精确的近似分数……现已知7352<<，则使用两次“调日法”的近似分数为______．【答案】1712【分析】根据“调日法”的定义，第一次结果为：107，所以，根据第二次“调日法”进行计算即可.【详解】解：∵∴第一次“调日法”，结果为： ∵∴ ∴第二次“调日法”，结果为： 故答案为：2．（2020•黔东南州）实数A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间71057<<7352<<7+310=5+2710 1.42867»>71057<<7+1017=5+7121712【分析】首先化简【解析】∵67，∴6＜7．故选：C．求二次根式离哪个整数较近时,先确定这个二次根式在哪两个连续整数之间,再求这两个整数的平均数,用平方法比较这个二次根式和平均数的大小.若二次根式的平方大于平均数的平方,则离较大的整数近;若二次根式的平方小于平均数的平方,则离较小的整数近.【考点8】平方根与算术平方根1．平方根与算术平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作a±；如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的算术平方根,记作a.2．平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方根.【例13】（2020•湖州）数4的算术平方根是（ ）A．2B．﹣2C．±2D【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．【解析】∵2的平方为4，∴4的算术平方根为2．故选：A．1．（2020•泰州）9的平方根等于 ．【分析】直接根据平方根的定义进行解答即可．【解析】∵（±3）2＝9，∴9的平方根是±3．故答案为：±3．2．（2021·=________【分析】先算4(2)-，再开根即可．==4=故答案是：4．【考点9】立方根1．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，记作3a .2．立方根的性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根.【例14】（2020•宁波）实数8的立方根是 ．【分析】根据立方根的性质和求法，求出实数8的立方根是多少即可．【解析】实数8的立方根是：2．故答案为：2．【考点10】二次根式1．二次根式：式子)0(≥a a 叫做二次根式.注意被开方数a 只能是非负数.2．最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.3．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.【例15】（2020苏州）使31-x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解析】由题意得，x ﹣1≥0，解得，x ≥1，故答案为：x ≥1．【例16】下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ）A ．6B ．9C ．12D ．18【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解析】A .6与3的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B .39=，与3不是同类二次根式；C .3212=，与3被开方数相同，故是同类二次根式；D .2312=，与3被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C ．【例17】（2020济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ）A ．13B ．12C ．3aD ．35【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【解析】A 、13是最简二次根式，符合题意；B 、2312=，不是最简二次根式，不符合题意；C 、a a a =3，不是最简二次根式，不符合题意；D 、31535=，不是最简二次根式，不符合题意．故选：A ．1．（2021·化为最简二次根式，其结果是（ ）ABCD【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式=，=故选：D ．2．（2021·湖南娄底市）2,5,m 等于（）A ．210m -B ．102m -C ．10D ．4【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m Q 是三角形的三边，5252m \-<<+，解得：37x <<，374m m =-+-=，故选：D ．3．（2020苏州）使31-x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解析】由题意得，x ﹣1≥0，解得，x ≥1，故答案为：x ≥1．【考点11】实数与二次根式运算1．实数运算：在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算都可以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方.2．二次根式的运算法则：（1）());0(2≥=a a a （2）;)0()0(2⎩⎨⎧£-≥=a a a a a a （3）);0,0(≥≥⋅=b a b a ab（4）);0,0(>≥=b a bb 操作方法示例（1）分段:以加、减号为界,把式子分成几段(有括号的,先算括号内的,再分段);（2）先计算每一小段中每一小项的值(如零次幂、负整数指数幂、开方、绝对值、乘方等);（3）进行每段中的乘除运算;（4）进行段与段之间的加减运算.注意:同级运算按照从左到右的顺序进行.二次根式运算的注意事项1．在进行二次根式的运算时,一般先把二次根式化为最简二次根式,再利用二次根式的乘除法法则进行乘除运算,同类二次根式之间可以进行加减运算(类似于合并同类项).2．运算结果要化成最简形式.3．在二次根式的运算中,要注意2a 与次()2a 的区别.①取值不同:前者的a 为任意实数,后者的a 为非负数;② 化简结果不同:2a =|a |,2a =a .【例18】（2021·广西来宾市）计算：．【分析】先分别计算出有理数的乘方及括号内的有理数加减，再计算乘除，即可求得结果．【解答】3121(13)2öæ´-+¸-ç÷èø解：．【例19】下列等式成立的是（ ）A ．27243=+B ．532=´C ．32613=¸D ．()332=-【分析】根据二次根式的加、乘、除法法则及二次根式的性质逐一判断即可得．【解析】A ．3与24不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B ．632=´，此选项计算错误；C ．2363613=´=¸，此选项计算错误；D ．()332=-，此选项计算正确；故选：D ．1．计算533345´¸的结果正确的是（ ）A ．1B ．35C ．5D ．9【分析】根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可．【解析】原式51593535153353´´=´¸= 11515151535==´´=故选：A ．321(13)2´-+¸-ç÷èø18(2)2=´¸-4(2)=¸-2=-2．（2021·()0130p+-+°．【分析】根据算术平方根的定义、零指数幂的意义、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、实数的运算等知识即可完成本题的计算．【解答】原式212p=++--p=3．（2021·江苏盐城市）计算：．【分析】根据负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义计算即可得答案．【解答】．4．（2021·【分析】先运用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂以及平方根的知识化简，然后再计算即可．．5．（2021·湖南娄底市）计算：11)2cos452p-æö-+-°ç÷èø．【分析】直接利用零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：11)2cos452p-æö-+-°ç÷èø111)3-æö+--ç÷èø111)3-æö+-ç÷èø312=+-2=21cos45--+°-+21cos45--+°-112-+32122 =++-112=+-+-=．2。

八年级奥数 第一讲 二次根式知识要点： 式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (c ≥0)； (2)ab b a =⋅ (0,0≥≥b a )； (3)b a b a=(0,0>≥b a )； (4)22)(a a =(≥a 0)． 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等．典型例题：一、双重非负性例1、已知254245222+-----=x x x x y ，则22y x += ．练习：已知实数x,y 满足1(x y +=-()2013x y +=二、二次根式的化简例2、②如果式子aa ---11)1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1--a D ．a --1例3、(1)化简324324-++； (2)计算223810++(3) 计算1212--+-+a a a a练习：1、若 ab ≠0，则等式ab b b a -=--351飞成立的条件是 ．2、如果式子2)1(2-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是( )A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x >03、已知3=xy ，那么yx y x y x+的值为 ．三、二次根式的运算例4、若13+=x ，则53)321()32(23+-+++-x x x 的值是( ) (河南省竞赛题)A ．2B ．4C ．6D ．8例5、计算201420132012222011--+1）1）1）练习：1、已知a 是34-的小数部分，那么代数式)4()2442(222a a a a aa a a a -⋅++++-+的值为 ．2、已知514=-++a a ，则a 26-= ．四、二次根式的巧算例6、化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（ ） A ．1111+++n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1111+--n n例7、)23)(36(23346++++；例8、已知21=+x x ，那么191322++-++x x x x x x 的值等于 ．练习：1、已知2323-+=x ，2323+-=y ，那么代数式22)()(y x xy y x xy +-++值为 ．2、已知123123++=++x x ，则)225(423---÷--x x x x 的值．五、二次根式的大小比较例9、练习：已知12-=a ，622-=b ，26-=c ，那么a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<a c<a<b(全国初中数学联赛题)六、构造法求最值例10、已知9)12(42+-++x a 的最小值为= ．（“希望杯”邀请赛试题）练习：已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求U=1422+++b a 的最小值．课后拓展：1．如果22332+-+-=x x y ，那么y x 2+= ．2、已知321+=a ，那么a a a a a a -+--+-2221211的值等于（ ） A ．)321(+- B ．1- C ．32- D ．33、若41=+a a (0<a<1)，则a a 1-= ．4、已知)0,0(02>>=+-y x y xy x ，则y xy x y xy x 4353-++-的值为。

七年级奥数 第一讲 实数知识要点典型例题一、 平方根、算数平方根、立方根的概念例1、25的算术平方根是______；______是9的平方根；16的平方根是______；=±212______例2、已知A ＝x 3x y ++的算术平方根，B ＝2x y -2x y +的立方根，试求B －A 的立方根.二、 平方根的性质例3、已知51｜3a-b-7|+32-+b a =0求(b+a)a 的平方根例4、已知a 、b 满足5-a +2a -5=b+4,求ab 的值例5、已知一个正数的平方根是2a-1和a-5,求这个数例6 1.732≈ 5.477≈≈ ，≈≈三、 无理数的大小例7、把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为例8的大小四、运算（3）已知9a ，b 求348a b -+的值五、实数的概念例9、设边长为3的正方形的对角线长为a ，下列关于a 的四种说法：① a 是无理数；② a 可以用数轴上的一个点来表示；③ 3<a <4； ④ a 是18的算术平方根。

其中，所有正确说法的序号是 （ ）A ．①④ B. ②③ C .①②④ D.①③④例10、－1、3、π、－3.14、9、26-、22-、7.0 ． （1）有理数集合｛ ｝；（2）无理数集合｛ ｝；（3）正实数集合｛ ｝；（4）负实数集合｛ ｝．六、根式的化简探究（1）2=2)=2=2= 结论：探究（2====== 结论：如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │的结果等于（ ）A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a实数a在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -=．课后延伸：1、下列计算正确的是（ ） A 、231-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝9 B 、()22-＝－2 C 、3－8＝2 D 、35--＝22、下列各式中，不正确的是（ ）>< >5=-3、－27的立方根与81的算术平方根的和是（ ）A ．0B ．6C ．6或－12D ．0或64、估计76的大小应在（ ）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间5、实数76.2、和22的大小关系是（ ）A ．7226.2<<B ．226.27<<C ．2276.2<<D ．76.222<<6、若,2||=x 则x ＝______． ｜3.14－π｜＝______；=-|2332|______．若,5||=x 则x ＝____；若;12||+=x 则x ＝_____． 当a ______时，｜a －2 |＝a －2．若实数a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，则式子3cd b a ++-＝______．2ob a 07、计算（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅（4）3231)3(27---+- （5）10033)1(412)2(-+÷--(6)32716949+- (7)2336)48(1÷--- (8)381264273292531+-+8、已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数．求M ＋N 的平方根．9、已知a<02a │可化简为（ ）A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a10、若23a ）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -。

（1）平方：两个相同因数相乘，即a a a ·2=；如：93)3)(3()3(22==--=- （2）立方：三个相同因数连乘，即a a a a ··3=；如：9)3)(3)(3()3(3-=---=- （3）零次幂：任何非零实数的零次幂都得1，即)0(10≠=a a ；如：1)14.3(0=-π （4）负指幂：任何非零实数的负整数指数幂是它指数次幂的倒数，即),0(1为整数p a aa p p ≠=-； 特别地，当1=p 时，表示a 的倒数；如，2)21(1=-；27)31(3-=-- （5）奇偶幂：1-的奇次幂为1-；1-的偶次幂为1；如：1)1(2015-=-；1)1(2016=- 第一讲 实数、根式一、考点概述二、要点梳理1. 实数2. 幂（乘方）（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧（无限不循环小数）负无理数正无理数无理数小数）（有限小数或无限循环负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数0 （2）常见的无理数形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ 1010010001.031-7如③不循环的无限小数，；的数，如②化简后含；，如①含根号且开不尽的数ππ （3）常见非负数形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---42)3(2c b a ③算数平方根，如②偶次幂，如①绝对值，如 本讲内容是初中数学代数部分最最基础的内容——数的运算，包括幂、根式、绝对值、三角函数值几块内容，概念繁多，识记性强。

其复习应贯穿中考总复习的始终。

千万不能眼高手低，一定要动笔练习。

多练，纠错，总结是熟练掌握本讲内容的不二法门。

实数（根式）运算在兰州中考试卷中属于必考内容，每年都以一道计算题（21题）的身份出现，分值5-8分，应作重点训练，力争做到志在必得，万无一失！3. 根式（1）算数平方根：若)0(2≥=a a b ，则a b =叫做a 的算数平方根；如：2224=⨯= （2）立方根：若a b =3，则3a b =叫a 的立方根；如：2)2)(2)(2(83-=---=- （3）最简二次根式：被开方数不含分母且不含开得尽方的因数或因式的根式；如：3，a 2 （4）同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式；如：2和8，a 2和2ab （5）二次根式性质： i. );0()(2≥=a a a 如2)2(2= ii. ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0();0(0);0(2a a a a a a a 如3332==；33)3(2=-=- （6）二次根式运算法则： i. 乘法：)0,0(·≥≥=b a ab b a ；如：6323·2=⨯= ii. 除法：)0,0(>≥=b a b a b a ；如：3232= iii. 加、减法：实质是最简二次根式的合并（类似合并同类项）；如：22232182-=-=- （7）二次根式大小比较： ①：根外因数移到根内；（见附注） ②：比较被开方数； ③：依据：b a b a b a >>>>则时，若,0,022 如，计算37-，9332== ，又97< ，37<∴，7337-=-∴ i. 外移：被开方数中的平方，移到根外，取其算术平方根；如;323234122=⨯=⨯= ii. 内移：根外因式，化作平方，放到根下与原被开方数相乘；如 ;123432322=⨯=⨯= （8）分母有理化： i. )0(·1>==a a a a a a a ；如：333·3331== ii. )0,0(··≥>==b a a ab a a a b a b ；如：363323·33·232=⨯== iii. b a b a b a b a b a b a -+=+-+=-))((1；4. 绝对值5. 三角函数值︒30 ︒45 ︒60 αsin 2122 23 αcos 2322 21 αtan 331 3三、例题精讲 【例1】（2015·兰州·21（1）·5分）计算：21)2015(60tan 3201-+-+︒--π； 【解】：原式2113·321++-=…………………………………………（4分）211321++-= 1-= ……………………………………………（5分）【例2】（2014·兰州·21（1）·5分）计算：02)2014(330cos 2)1(-++︒--【解】：原式132321++⨯-= ………………………………………（3分） 2= …………………………………………………（5分)【例3】（2013·兰州·21（1）·5分）计算：012013)14.3(30sin 2)1(-+︒+---π（1）绝对值概念、性质：数轴上某个数与原点之间的距离叫做该数的绝对值；0≥a （非负数）（2）去绝对值的方法：i. 正数的绝对值是它本身；如：22=；ii. 负数的绝对值等于它的相反数；如：9932==；iii. 绝对值中含有运算式，先借助（7）中例题的方法判断运算式的正负，再脱去绝对值，如223322-=-；如：23)23)(23(23231+=+-+=-。

第1讲 实数与二次根式音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。

——克莱因知识方法扫描1. 有理数和无理数统称为实数。

有理数包括整数和分数，无限不循环小数是无理数。

两个有理数的和差积商都是有理数，一个无理数与一个非零有理数的积是无理数。

有理数能够写成两个整数之商的形式，而无理数不能够写成两个整数之商的形式。

2. 一个实数a 的整数部分n 是指不超过a 的最大整数，a 的小数部分是b=a-n, (0≤b<1)。

3. 要掌握二次根式的四则运算法则，特别是分母有理化的方法及复合二次根式b a ±的化简；4．要注意运用整式，分式的恒等变形技巧，如因式分解，运用公式，通分和约分，拆项，换元，配方等。

经典例题解析例1．（1997年某某省初中数学竞赛试题）。

解 原式==。

例2．（2004年某某省八年级北师大版数学竞赛试题）计算：211++321++431++…+200420031+.解 原式=1）+-++ …+1=1例3．(1991年市初中数学竞赛试题)若a,b,c 为两两不等的有理数，求证为有理数。

证明 因222111()()()a b b c c a ++---=2111a b b c c a ⎡⎤++⎢⎥---⎣⎦- 2111()()()()()()a b b c b c c a c a a b ⎡⎤++⎢⎥------⎣⎦=2111a b b c c a ⎡⎤++⎢⎥---⎣⎦-2•()()()()()()c a a b b c a b b c c a -+-+---- =2111a b b c c a ⎡⎤++⎢⎥---⎣⎦=111a b b c c a ++---是一个有理数。

例4．(1994年某某市初中数学竞赛试题)若x =， 求4322621823815x x x x x x --++-+的值。

解 因为x =， 于是,(x-4)2=3,x 2-8x+13=0。

知识点睛.实数的基本概念1.无理数的概念:(1) 定义：无限不循环小数叫做无理数. (2) 解读:1) 无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环 2) 无理数的常见类型:① 具有特定意义的数。

如 n 等;② ……(每相邻两个1之间依次多一个2)等;③ 开方开不尽的数，如72, V 4等.那么，是否所有带根号的数都是无理数呢3) 有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数 和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理2.实数的概念及分类:(1) 定义：有理数和无理数统称为实数. (2) 分类:①按定义分：实数有理数整数---有限小数或无限循环小数无理数——无限不循环小数oC n 匚k 、/ri fi n次根式的基本概念(3) 实数的性质:(4) 实数和数轴上的点是——对应的.n 是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是 n 因为直径为1的圆的周长为n(5) 实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。

(6) 实数中非负数的四种形式及其性质:形式：①a 0 :②a 20 :③需0 ( a 0「④掐中a 0.性质：①非负数有最小值0;②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于 0,则每个非负数都等于0.(7) 实数中无理数的常见类型:①所有开丕尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数; ②圆周率n 及含有n 的数是无理数，例如：2 n 1等; ③ ... .(一)根据实数的定义解题:【例1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数哪些是正实数131 …，n —廂,23,呵,…(相邻两个2之间0的个数逐次加1), 循,旷05.【例2】在实数0,1,血，0.1235中无理数的个数是(正实数正有理数 正无理数②按性质分：实数0负实数负有理数 负无理数①相反数：a 与b 互为相反数b 0. ②绝对值:a, a 00,a 0 或|a a,a 0a,a a,aa, a 0 a,a 0C. 242,79,3.14,0.61414,0.1001000100001L 这 7 个实数中，无理数的个数A . 0【拓展】n,227是(C. 2A . 0B . 1 【例3】下面有四个命题：① 有理数与无理数之和是无理数. ② 有理数与无理数之积是无理数.③ 无理数与无理数之和是无理数. ④ 无理数与无理数之积是无理数. 请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的， 【例4】判断正误，在后面的括号里对的用(1) 无理数都是开方开不尽的数.() (2) 无理数都是无限小数.((3) 无限小数都是无理数.( (4) 无理数包括正无理数、零、(5) 不带根号的数都是有理数 (6) 带根号的数都是无理数.( (7) 有理数都是有限小数.( ) ) 负无理数 .( 并说明理由。

内容基本要求略高要求较高要求平方根、算术平方根 了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 会用平方运算求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根 会用立方根运算求某些数的立方根实数 了解实数的概念会进行简单的实数运算二次根式及其性质 了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件 会运用二次根式的性质进行化简，能根据二次根式的性质对代数式做简单变型，在给定条件下，确定字母的值二次根式的化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.能进行实数的运算3.二次根式a (0)a ≥的内涵，a (0)a ≥是一个非负数；2()a a =(0)a ≥；2a a =(0)a ≥•及其运用．4.二次根式乘除法的规定及其运用．5.二次根式的加减运算．模块一 实数的概念及分类1．实数的概念例题精讲中考要求重难点实数与二次根式的基本概念实数：有理数和无理数的统称． 2．实数的分类0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：（1）实数还可按正数，零，负数分类．（2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n （n 为整数)表示；奇数一般用2n 1- 或2n 1+（n 为整数）表示． （3）正数和零常称为非负数．（4）带根号的数不一定是无理数，如9．【例1】 下列实数317，π-，3.1415921中无理数有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【巩固】有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中正确的说法的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ．4模块二 数轴、相反数、倒数、绝对值数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.（1）实数a 的相反数是a -.（2）实数a 和b 互为相反数，则a+b =0.（3）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数. 倒数等于它本身的数是±1.（1）实数a (a ≠0)的倒数是1a.（2）a 和b 互为倒数，则ab =1. 绝对值：（1）绝对值的含义与性质：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）几何意义：实数的绝对值是一个非负数，在数轴上，表示数的点到原点的距离.注意：实数和数轴上的点一一对应，平面直角坐标系内的点与一对有序实数一一对应，对二者要加以区分，不能混淆.【例2】 若直径为2个单位长度的圆上的点A 点B ，则B 点表示的实数是（ ）A 2πB ．4πC 2πD 4π【例3】 2的相反数是 ．【例4】的倒数是 ．【例5】 2的绝对值是 ．【巩固】的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 ．模块三 实数的大小比较1 利用数轴比较大小因为数轴上右边的点表示的数，总是比左边的点表示的数大，所以负数小于0，0小于正数，负数小于正数.2 利用绝对值比较大小两个正数比较大小，绝对值大的较大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.3 利用作差法比较大小设a 、b 是任意两实数，若0a b ->,则a b >;若0a b -=,则a b =;若0a b -<,则a b <. 4 利用作商法比较大小设a 、b 是任意两同号实数，当a ，b 都为负数时，若1a b >,则a b <；若1ab<,则a b >.【例6】 如果a b a b -= ．）A ．在4.5和5.0之间B ．在5.0和5.5之间C ．在5.5和6.0之间D ．在6.0和6.5之间【巩固】已知a b ，为两个连续整数，且a b <，则a b +=_______．【例7】 若01b <<则2b ，b ，1b这四个数有下列关系（ ）A. 2b <b <<1bB. 2b <<1b<bC.1b<<b <2b D. <1b<2b <b【巩固】15三个数的大小关系是（ ）A. <15<B.<15<C. <<15 D.<<15模块四 实数的运算1.运算律加法交换律 a+b=b+a加法结合律 ()()a b c a b c ++=++ 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律 ()()ab c a bc = 分配律 a （b+c ）=ab+ac注意：关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立.2. 混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.【例8】 化简：（1）21 （2）34+（3）1+L【例9】 已知等腰三角形一边长为a ，一边长b ，且22(2)90a b b -+-=．求它的周长．模块五 近似数、有效数字和科学记数法1. 近似数：将一个数四舍五入所得到的数．2. 有效数字：一个近似数从左边第一个不是零的数字起，到精确的数位为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．3. 科学记数法：把一个数表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<,n 为整数．注意：用科学计数法表示的数10n a ⨯，其有效数字只与a 有关，就是a 的有效数字；精确度却和a 、10n有关，是a 的精确度乘10n 所得的结果.如54.3010⨯有三个有效数字，分别是4,3,0；4.30精确到0.01，60.011010000⨯=，故54.3010⨯精确到千位.【例10】 我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人，将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ） A ．766.610⨯ B ．80.66610⨯ C ．86.6610⨯D ．76.6610⨯【例11】 指出下列各近似值精确到哪一位：（1）56.3；（2）5.630；（3） 65.6310⨯；（4） 5.630万【例12】 指出下列近似数有几个有效数字：（1）0.319；（2）0.0170；（3） 4.46万；（4） 85.2910⨯模块六 平方根、算术平方根、立方根平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，记作有平方根，0的平方根是0.算术平方根：正数a 的算术平方根为0.立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.注意：（1）当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． （2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2a =；②不管a (0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩（3）若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也之间，即：0≤<算术平方根的大致范围．【例13】 ）A ．81B ．3±C ．3D ．3-【例14】 若24m -与31m -是同一个正数的平方根，则m 为（ ）A ．3-B ．1C ．-1D ．3-或12=，则(25)x +的平方根是 ；若5，则x = .【例15】 一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）．A ．1a +B ． 21a +C ． 22a + D【巩固】设a a 的值是 ．【例16】 1.22== _____.【例17】 已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的算数平方根．【巩固】已知A =是3n m -+的算术平方根，2m B -=7m n +的立方根，求B +A 的平方根．a =，2yb =(0y <)8=(4b a >)18=，求xy 的值.【例18】 若11a b ++=，求23a b c +-的值．【例19】 已b ，求4321237620b b b b +++-．模块七 二次根式的基本概念及化简一、二次根式概念0a ≥）的式子叫做二次根式．二次根式的基本性质：0（0a ≥）双重非负性；⑵2a =（0a ≥）； (0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩【例20】 设y =，求使y 有意义的x 的取值范围.【巩固】当x 时，．【例21】在实数范围成立，那么x y z +的值是多少？【巩固】若m =m 的值.【例22】化112a≤≤）【巩固】设012x y<<<<二、二次根式的乘除最简二次根式：a≥）中的a称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．a≥，0b≥）=0a≥，0b>）利用这两个法则时注意a、b a、b都非负，否则不成立，≠【例23】已知0xy>，化简二次根式）A B C．D．【巩固】化简二次根式的结果是．【例24】）A．1111n n+++B．1111n n-++C．1111n n+-+D．1111n n--+22010的结果是．【例25】 计算（1）023212(3)()(1)()2π------ （2）(2332)(2332)-+（3）2(435)+ （4）22(52)(52)-⨯+同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．a b +与a b -互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．【例26】 若最简根式212527m n m n -++-和26m n +-是同类二次根式，则m ＝ ，n ＝ ．.【例27】 方程2012x y +=的整数解有 组.【例28】 当32m =-时，代数式2422m m m +--的值是 ．【练习1】若404m =-，则估计m 的取值范围 ．【练习2】阅读下面数学领域的滑稽短剧,你觉得结果2=3荒谬吗?找出它们错误的根源吗?第一幕：410915-=-第二幕：等式两边同时加164，1410691564-+=-+14第三幕：上式变形，得22225555222()323()2222-⨯⨯+=-⨯⨯+第四幕：利用2222()a ab b a b -+=-，得到：2255(2)(3)22-=-课堂检测第五幕：两边开平方，得552322-=- 第六幕：两边加上52，得到等式23=！【练习3】22111a ab -+-+=，求a ，b 的值.【练习4】阅读下列解题过程：（1）221(54)545454(54)(54)(5)(4)⨯++===---⨯+-； （2）1(65)6565(65)(65)⨯-==-++⨯-； 请回答下列问题：（1）观察上面解题过程,请直接写出1n n ++的结果为__________________．（2）利用上面所提供的解法，请化简：122320102011++++++L ．【练习5】当n 为整数时，证明(1)(2)(3)1n n n n ++++是一个整数．1.通过本堂课你学会了 ．2.掌握的不太好的部分 ．3.老师点评：① ．② ．③ ．1.把1a a-根号外的因式移到根号内得 （ ） A ．a B ．a - C ． a -- D ．a -总结复习课后作业2.已知整数x 、y x ，y ）的个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 33.设a b ，都是实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=，那么化简b a c -为（ ）A ．2c b -B ．22b a -C ．b - D.b4.设a 、b 0a =，求222a b -++的值5.化简下列各式（10x >，0y >） （2（0a >，0b >）6.请你观察、思考下列计算过程2211121,11;11112321,111;===Q QL L．7.计算：+。

1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件3.能进行实数的运算第一次数学危机之无理数的发现大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机．到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处． 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！中考要求重难点课前预习实数模块一 平方根、算术平方根平方根:如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示为“．算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥0． 平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根． 一、对定义和性质的考察 【例1】 判断题：（1( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( ) （36，则6a =-．( )（4）若264x =，则8x =±． ( ) （58±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( )【巩固】若A A 的算术平方根是_________．【巩固】设a a 的值是________．【例2】 x 为何值时，下列各式有意义？（1；（2 （3（4）； （5）； （6二、对计算的考察【例3】 求下列等式中的x ：例题精讲。