江苏省南京市江宁高级中学高二数学下学期期末模拟试卷 理(含解析)

2020-2021学年江苏省南京市中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（）A．种B．种C．种D．种参考答案：A略2. 已知则复数z=A. B. C. D.参考答案：A分析：利用复数的乘法法则化简复数，再利用共轭复数的定义求解即.详解：因为，所以，，故选A.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、共轭复数的定义，属于中档题．解答复数运算问题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.3. 计算机执行如图的程序，输出的结果是（）A．3，4 B．7，3 C．21，3 D．28，4参考答案：C【考点】顺序结构．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟计算机执行的程序，按顺序执行，即可得出输出的a与b的值．【解答】解：模拟计算机执行的程序，如图所示；a=3，b=4；a=3+4=7，b=7﹣4=3，a=3×7=21；输出a=21，b=3．故选：C．【点评】本题考查了算法的顺序结构的应用问题，是基础题目．4. 如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则俯视图可以是（）参考答案：C5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为（）附：若，则，.A. 1193B. 1359C. 2718D. 3413参考答案：B由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为.本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.6. （）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形参考答案：D略7. 对于任意实数a、b、c、d，命题①；②③；④；⑤．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A略8. 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为：A．B．C．D．参考答案：B9. 过点且垂直于直线的直线方程为（）A． B．C． D．参考答案：A略10. 椭圆的焦点坐标为（）A. B. C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图：以等边三角形两顶点为焦点且过另两腰中点的椭圆的离心率e=；参考答案：12. 已知函数f （x ）=|x ﹣2|，g （x ）=﹣|x+3|+m ，若函数f （x ）的图象恒在函数g （x ）图象上，则实数m 的取值范围是 ．参考答案：（﹣∞，5）考点： 函数恒成立问题． 专题： 函数的性质及应用．分析： 函数f （x ）的图象恒在函数g （x ）图象的上方，可转化为不等式|x ﹣2|+|x+3|＞m 恒成立，利用不等式的性质求出|x ﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m 的范围．解答： 解：f （x ）的图象恒在函数g （x ）图象的上方，即为|x ﹣2|＞﹣|x+3|+m 对任意实数x 恒成立，即|x ﹣2|+|x+3|＞m 恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x 恒有|x ﹣2|+|x+3|≥|（x ﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m ＜5， ∴m 的取值范围是（﹣∞，5）． 故答案为：（﹣∞，5）．点评： 本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，是中档题．13. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为________________.参考答案：14. 函数在处的切线与直线平行，则= .参考答案：e略15. 正六棱锥的高为3，底面最长的对角线为，则其外接球的体积是__________ ;参考答案：略16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），直线l ：y=2x ﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使|MA|=2|MO|，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为 ．参考答案：[0，]【考点】直线与圆相交的性质．【分析】设M （x ，y ），由MA=2MO ，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M 的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ，由M 在圆C 上，得到圆C 与圆D 相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．【解答】解：设点M （x ，y ），由MA=2MO ，知： =2，化简得：x 2+（y+1）2=4，∴点M 的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ， 又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切， ∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3， 化简可得 0≤a≤， 故答案为：[0，]．【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于基础题．17. 某企业在2017年2月份引入高新技术，预计“用10个月的时间实现产量比2017年1月的产量翻一番”的指标．按照这一目标，甲乙丙三人分别写出在这十个月间平均增长率满足的关系式，依次为甲：；乙：；丙：，其中关系式正确的是 .参考答案：丙三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省南京市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·曲周期末) 某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较，提出假设：“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，并计算出，则下列说法正确的是（）A . 这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%B . 若某人未使用该疫苗，则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1C . 有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”D . 有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”2. （2分） (2016高二下·天津期末) 设一随机试验的结果只有A和，P（A）=P，令随机变量X= ，则X的方差为（）A . PB . 2p（1﹣p）C . 1﹣pD . p（1﹣p）3. （2分） (2018高二上·长安期末) 根据如下样本数据：x345678y 4.0 2.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为，则（）A . ,B . ,C . ,D . ,4. （2分） (2019高二下·宁德期末) 某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）下列命题中，假命题的个数为（）．①对所有正数p，；②不存在实数x，使x<4且；③存在实数x，使得且；④3>3，A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2018高二下·通许期末) 口袋中放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列，如果为数列前项和，则的概率等于（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数的极大值点和极小值点都在区间内，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·辽宁模拟) 将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）A . 240B . 480C . 720D . 9609. （2分）(2018·河北模拟) 袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（）A .B .C .D .10. （2分）将“丹、东、市”填入如图所示的4×4小方格内，每格内只填入一个汉字，且任意两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有（）A . 288B . 144C . 576D . 9611. （2分） (2018高二下·通许期末) 若，则的值为（）A . 1B . －1C . 0D . 212. （2分） (2015高三上·太原期末) 已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜2f′（x）恒成立，且f（ln4）=2，则不等式f（x）＞的解集是（）A . （ln2，+∞）B . （2ln2，+∞）C . （﹣∞，ln2）D . （﹣∞，2ln2）二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2017高二下·运城期末) 已知离散型随机变量X 的分布列如下：X 0 1 2 Px4x5x由此可以得到期望E （X ）=________，方差D （X ）________．14. （1分） 用数学归纳法证明“ 5n -2n 能被3整除”的第二步中,当 n=k+1 时,为了使用归纳假设,应将5k+1-2k+1 变形为________15. （1分） (2020·许昌模拟) 在我市的高二期末考试中，理科学生的数学成绩 ，已知，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为________．16. （1分） (2018高二下·通许期末) 将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个小球，则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是________.三、 解答题 (共7题；共55分)17. （5分） (2018高二下·聊城期中) 设复数 的共轭复数为 ，且 ，，复数对应复平面的向量，求 的值和的取值范围.18. （10分） (2017·扶沟模拟) 为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z 的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果： 学生编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10（x ，y ，z ）（2，2，3）（3，2，3）（3，3，3）（1，2，2）（2，3，2）（2，3，3）（2，2，2）（2，3，3）（2，1，1）（2，2，2）（1） 在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2） 从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X 的分布列及其数学期望．19. （10分） (2017高二下·蕲春期中) 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评，某校高二年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频率统计表如表：表一：男生测评结果统计等级优秀合格尚待改进频数15x5表二：女生测评结果统计等级优秀合格尚待改进频数153y参考数据：P（K2≥k0）0.100.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828（参考公式：，其中n=a+b+c+d）．（1）计算x，y的值；（2）由表一表二中统计数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计20. （5分） (2015高二下·河南期中) 已知的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求展开式中的常数项．21. （5分）求抛物线y2=2x与直线2x+y﹣2=0围成的平面图形的面积．22. （10分）已知直线l1：（t为参数）和直线l2：x﹣y﹣2 =0的交于点P．（1）求P点的坐标；（2）求点P与Q（1，﹣5）的距离．23. （10分） (2019高一上·鸡泽月考) 已知函数（1）求方程f（x）＝3f（2）的解集；（2）讨论函数g（x）＝f（x）－a（a∈R）的零点的个数．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、第11 页共11 页。

2023-2024学年江苏省南京市江宁区高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ={−2,−1,0,1,2}，N ={x|x 2−x−2≤0}，则M ∩N =( )A. {−1,0}B. {0,1}C. {−1,0,1,2}D. {−2,−1,0,1}2.样本数据36，27，25，22，20，16，13，12，11的第60百分位数为( )A. 16B. 21C. 22D. 23.53.若(x−ax 2)6展开式中的常数项为60，则a =( )A. 2B. ±2C. 4D. ±44.“m =12”是“两条直线x +2my−1=0，(3m−2)x−my−1=0”平行的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知单位向量a ，b 满足|a−b |=3，则a 与b 的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π66.某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球，连续摸两次.记R 1=“第一次摸球时摸到红球”，G 1=“第一次摸球时摸到绿球”，R 2=“第二次摸球时摸到红球”，G 2=“第二次摸球时摸到绿球”，R =“两次都摸到红球”，G =“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是( )A. R 1与R 2为互斥事件B. P(G)=P(G 1)+P(G 2)C. P(R)=1649D. P(R 1|R 2)=127.已知△ABC 中AB = 2，BC =5，cosB =−1010，则将△ABC 以AC 为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积为( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π8.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别F 1，F 2.A 是C 上一点(在第一象限)，直线AF 2与y 轴交于点B ，若AF 1⊥BF 1，且3|AF 2|=2|F 2B|，则C 的渐近线方程为( )A. y=±2 55xB. y =±52x C. y =±55x D. y =±5x二、多选题：本题共3小题，共18分。

江苏省南京市2022届数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设向量()1,1a =-与()22πsin ,cos ,0,2b ααα⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，且12a b ⋅=，则α=（） A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 2．已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为511，则输入n 的值是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．44．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c 被圆221x y +=所截得的弦长为（ ）A ．23B ．1C ．12D ．345．已知函数()23x f x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是A ．3+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ）A ．2[1,]3-B ．1[1,]3-C ．[1,1]-D ．1[,1]37．小明、小红、小单三户人家，每户3人，共9个人相约去影院看《老师好》，9个人的座位在同一排且连在一起，若每户人家坐在一起，则不同的坐法总数为（ ） A ．33!⨯B ．33(3!)⨯C ．4(3!)D ．9!8．4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．89．在区间[]1,1-上随机选取一个实数x ，则事件"210"x -< 的概率为（ ）A ．12B ．34C ．23D ．1410．用反证法证明命题“已知,,a b c 为非零实数，且0a b c ++>，0ab bc ac ++>，求证,,a b c 中至少有两个为正数”时，要做的假设是（ ） A ．,,a b c 中至少有两个为负数 B ．,,a b c 中至多有一个为负数 C ．,,a b c 中至多有两个为正数D ．,,a b c 中至多有两个为负数11．命题2:,0p x R x ∀∈≥的否定是（ ） A ．2,0x R x ∃∈≥ B ．2,0x R x ∃∈< C ．2,0x R x ∀∈<D ．2,0x R x ∀∈>12．过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且| |3A F =，O 为坐标原点，则AOF 的面积与BOF 的面积之比为 A ．12B ．3 C ．3D ．2二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．计算123452!3!4!5!6!++++=____． 14．从集合2，，中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是______．15．已知集合{1,2,3}A =-，{|23}B x x =-<<，则AB =__________.16．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在正项等比数列{n a }中，11a =且3542,,3a a a 成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列{n b }满足n nnb a =，求数列{n b }的前n 项和n S ． 18．三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD ⊥，E ，F 分别为BD ，AD 的中点.（1）求证：EF 平面ABC ；（2）若CB CD =，求证：AD ⊥平面CEF .19．（6分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值． （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．20．（6分）如图在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC BB ==，D 为AC 中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ．（Ⅱ）若1AB =，且1AC AD ⋅=，求二面角11B A D B --的余弦值．21．（6分）每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共3000名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共1000名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出（单位：百元）频率分布方图如图.（I ）求实数a 的值；（Ⅱ）在[)45,50，[)50,55，[)55,60三组中利用分层抽样抽取10人，并从抽取的10人中随机选出3人，对其消费情况进行进一步分析. （i ）求每组恰好各被选出1人的概率；（ii ）设ξ为选出的3人中[)45,50这一组的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.22．（8分）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l ：12x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）点P 是曲线C 上的一个动点，求P 到直线l 的距离的最大值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】 利用12a b ⋅=列方程，解方程求得cos2α的值，进而求得α的值. 【详解】 由于12a b ⋅=，所以221sin cos 2αα-=，即1cos 22α=-，而(]20,πα∈，故2ππ2,33αα==，故选B. 【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查二倍角公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数12z i =-，再利用复数的表示，即可判定，得到答案. 【详解】 由题意，复数()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-， 所以复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】将所有的算法循环步骤列举出来，得出5i =不满足条件，6i =满足条件，可得出n 的取值范围，从而可得出正确的选项. 【详解】110133S =+=⨯，112i =+=； 2i n =>不满足，执行第二次循环，1123355S =+=⨯，213i =+=； 3i n=>不满足，执行第三次循环，2135577S =+=⨯，314i =+=； 4i n =>不满足，执行第四次循环，3147799S =+=⨯，415i =+=； 5i n =>不满足，执行第五次循环，415991111S =+=⨯，516i =+=； 6i n =>满足，跳出循环体，输出S 的值为511，所以，n 的取值范围是56n ≤<.因此，输入的n 的值为5，故选C.【点睛】本题考查循环结构框图的条件的求法，解题时要将算法的每一步列举出来，结合算法循环求出输入值的取值范围，考查分析问题和推理能力，属于中等题. 4．B 【解析】因为22243a b c +=，所以圆心(0,0)O 到直线0ax by c 的距离2d ==，所以1212l ==⨯=，应选答案B 。

南京市高二下学期数学期末考试试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·南阳期末) 虚数的平方是（）A . 正实数B . 虚数C . 负实数D . 虚数或负实数2. （2分） (2017高二上·孝感期末) 代数式的展开式中，常数项是（）A . ﹣7B . ﹣3C . 3D . 73. （2分） (2018高二下·遂溪月考) 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（）A .B .C .D .4. （2分）一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机器零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，如表是抽样试验结果：转速x/（rad/s）1614128每小时生产有缺点的零件数y/件11985若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的转速应该控制所在的范围是（）A . 10转/s以下B . 15转/s以下C . 20转/s以下D . 25转/s以下5. （2分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；④对分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 16. （2分） (2017高二上·伊春月考) 四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着. 那么,没有相邻的两个人站起来的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A . 若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nB . 若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC . 若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD . 若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β8. （2分）函数f（x）=ax+ （1﹣x），其中a＞0，记f（x）在区间[0，1]上的最大值为g（a），则函数g （a）的最小值为（）A .B . 0C . 1D . 29. （2分）已知正项等比数列满足。

江苏省南京市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）复数（是虚数单位）在复平面内对应的点是位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）设随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），函数f（x）=x2+8x+ξ没有零点的概率是，则μ=（）A . 2B . 4C . 16D . 83. （2分）的展开式中，二次项系数最大的项是（）A .B .C .D .4. （2分）已知，则f'(0)等于（）A . 2B . 0C . -2D . -45. （2分） (2019高二下·汕头月考) 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

A . 假设三内角都不大于60度；B . 假设三内角至多有两个大于60度；C . 假设三内角至多有一个大于60度；D . 假设三内角都大于60度。

6. （2分） (2020高二下·内蒙古月考) 甲、乙两工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列：工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20则有结论（）A . 甲的产品质量比乙的产品质量好一些B . 乙的产品质量比甲的产品质量好一些C . 两人的产品质量一样好D . 无法判断谁的质量好一些7. （2分）已知函数满足，则函数在处的切线是（）A .B .C .D .8. （2分）现需编制一个八位的序号，规定如下：序号由4个数字和2个x、1个y、1个z组成；2个x不能连续出现，且y在z的前面；数字在1、2、4、8之间选取，可重复选取，且四个数字之积为8．则符合条件的不同的序号种数有（）A . 12600B . 6300C . 5040D . 25209. （2分） (2019高二下·东莞期中) 过坐标原点作曲线的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·广东月考) 已知展开式中项的系数为112，其中，则此二项式展开式中各项系数之和是（）A .B . 或C .D . 或11. （2分） (2019高三上·雷州期末) 已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在使成立，则实数的值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高二下·宁波期末) 函数的导函数的图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·成都月考) 复数 , 在复平面内分别对应点 , , ,将点绕原点逆时针旋转得到点 ,则 ________．14. （1分）将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为aij ，则数表中的2015应记为________ ．15. （1分）(2017·杨浦模拟) 从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有________个．16. （1分） (2019高二下·宁波期中) 函数，当时，的最小值为________，若不存在最小值，则的取值范围为________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分）已知函数f（x）=x+ ．（Ⅰ）求证：f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）通过研究f（x）的性质，作出函数f（x）的大致图象．18. （10分）(2019·南开模拟) 某教研部门对本地区甲、乙、丙三所学校高三年级进行教学质量抽样调查，甲、乙、丙三所学校高三年级班级数量（单位：个）如下表所示。

江苏省南京市2023-2024学年高二下学期期末测试模拟卷（一）数学试卷考查范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、平面向量、数列、函数与导数、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、平面解析几何、三角函数与解三角形一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2A =，集合{}2,4B =，则集合()U B A ⋂=ð（）A ．{}4B ．{}2,3,4,5C ．{}3,5D ．{}2,3,52．已知两不共线向量,a b ，若ma nb +与2a b - 共线，则m n等于（）A ．2-；B ．2C ．12-D ．123．已知数列{}n a 满足0n a ≠，则“1423a a a a =”是“{}n a 为等比数列”的（）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若函数()()20.3log 54f x x x =+-在区间()1,1a a -+上单调递减，且2log 0.1b =，0.22c =.则A ．c b a <<B ．b<c<aC ．a b c <<D ．b a c<<5．五张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这五张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为A ．35B ．25C ．34D ．236．故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶.如图所示的五面体EF ABCD -的底面ABCD 为一个矩形，28AB EF ==，6AD =，//EF AB ，棱5,,EA ED FB FC M N ====分别是,AD BC 的中点.求直线BF 与平面EFCD 所成角的正弦值（）A ．23B C D 7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，过双曲线右焦点F 且与渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若1PF =，则双曲线的虚轴长为（）A ．32B ．3C ．98D ．948．已知函数()1e xx f x +=，若过()1,P t -可做两条直线与函数()f x 的图象相切，则t 的取值范围为（）A ．4,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．4e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．{}40,0e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列选项中,正确的是（）A ．若2:N,2n p n n ∃∈>,则2:N,2np n n ⌝∀∈≤B ．若不等式230ax bx ++>的解集为{}13x x -<<,则2a b +=C ．函数()11x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点()1,1D ．若0,0a b >>,且41a b +=,则11a b+的最小值为910．设()()1122,,,A x y B x y 是抛物线24x y =上的两点，O 是坐标原点，下列结论正确的是（）A ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，则4AB OF >B ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，则124x x =-C ．若OA OB ⊥，则32OA OB ⋅≥D ．若OA OB ⊥，则O 到直线AB 的距离不大于411．已知复数z 满足()1z =，则下列说法正确的是（）A ．复数z 的共轭复数为12B ．复数z 在复平面内对应的点位于第四象限C ．复数z 是方程210x x ++=的解D ．若复数1z 满足13z z -=，则1z 的最大值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

江苏省南京市江宁区周岗中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（）A． B． C． D．参考答案：D2. 设椭圆的左、右焦点分别为是上的点，，则椭圆的离心率为（）A． B． C．D．参考答案：C3. 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值是（）A． B． C． D．参考答案：A4. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．14参考答案：C【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．5. 算法的三种基本结构是 ( )A、顺序结构、选择结构、循环结构B、顺序结构、流程结构、循环结构C、顺序结构、分支结构、流程结构、D、流程结构、循环结构、分支结构参考答案：A6. 已知命题p：存在实数x使sinx=成立，命题q：x2﹣3x+2＜0的解集为（1，2）．给出下列四个结论：①“p且q”真，②“p且非q”假，③“非p且q”真，④“非p或非q”假，其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②④C．②③D．②④参考答案：C【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p为假，命题q为真，再利用命题之间的关系判断复合命题即可．【解答】解：∵sinx=＞1∴命题p为假命题，非p为真命题又命题q：x2﹣3x+2＜0的解集为（1，2）是真命题，非q为假命题根据复合命题的真值表：∴p且q为假命题故①不正确p且非q为假命题故②正确非p且q为真命题故③正确非p或非q为假命题故④不正确故选C7. 已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C略8. “”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件参考答案：A略9. 在空间中，已知是直线，是平面，且，则的位置关系是(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或异面参考答案：D10. 已知等差数列共有10项、其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是（）A.5B.4C. 3D.2参考答案：Ｃ二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，折后连结BD，构成三棱锥D-ABC,若棱BD的长为a．则此时三棱锥D-ABC 的体积是参考答案：12. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y 万元与营运年数x（x∈N）的关系为y=－x2+12x－25，则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大.A.2B.4C.5D.6参考答案：C13. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（为参数），过点且倾斜角为的直线l与⊙O交于A，B两点．则的取值范围为_________参考答案：【分析】先将圆化为普通方程，直线与⊙O交于，两点，转化为圆心到直线的距离小于半径，求得的取值即可.【详解】因为⊙O的参数方程为，（为参数），可得是以（0,0）为圆心，半径r=1的圆当时，直线l与圆有2个交点；当，设直线l：要使直线l与圆有2个交点，即圆心到直线的距离小于半径，即解得或所以的取值范围为综上所述，的取值范围【点睛】本题考查了参数方程和直线与圆的位置关系，解题的关键在于转化，易错点是没有考虑直线斜率不存在的情况，属于中档题型.14. 观察（1）（2）由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论是。

南京市江宁高级中学2010-2011学年第二学期 高二年级期末考试数学试卷 命题人葛寄宇2011年7月2日（满分160分 时间 120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 ▲2．已知复数1z i =-，则122--z zz 的模为 ▲3.已知4cos()25πθ+=，则cos2θ= ▲ 4.样本容量为200的频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 ▲ 5.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于 ▲6. “直线：01)1(=+-+y a x 与直线：022=++y ax 平行”的充要条件是 ▲7.若双曲线()22221,0x y a b a b -=>的离心率为2，则ba= ▲ .8.函数()()[)()sin 0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈ 的图象如图所示，则ϕ= ▲ .9．设变量x ,y 满足约束条件1,1,2,x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值为 ▲10.右图是讨论三角函数某个性质的程序框图， 若输入)( 11sin +∈=N i ia i π，则输出的i11.给定下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两直线一定是异面直线； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。

12.由“直角三角形两直角边的长分别为a,b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线可求得该直角三角形外接圆的半径222b a r +=”。

对于“若三棱锥三条侧棱两两互相垂直，侧棱长分别为a,b,c”，类比上述的处理方法，可得三棱锥的外接球半径为R= ▲ .13.△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0， ||||OA AB =，则CA CB ⋅等于 ▲ 14.直线y kx =与曲线|ln ||2|x y ex =--有3个公共点时，实数k 的取值范围是 ▲二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c .且222()tan b c a A +-=.（1）求角A的大小;（2）求sin(10)[110)]A A +︒⋅-︒的值.16.（本小题14分）在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点，1BC BB =．（1）求证：1A C ∥平面1AB D ；（2）试在棱1CC 上找一点M ，使1MB AB ⊥．C 11C17. （本小题满分14分）如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。

江苏省南京市江宁区高二数学下学期期末学情调研卷（含解析）一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设集合{1,3,5}A =，{3,4,5}B =，则集合AB =______. 【答案】{}3,5【解析】【分析】根据集合A ,B ，求出两集合的交集即可【详解】{}1,3,5A =,{}3,4,5B ={}35A B ，∴⋂=故答案为{}35，【点睛】本题主要考查了集合交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题。

2.已知i 为虚数单位，则复数(1)(3)i i -+=_______.【答案】42i -【解析】【分析】由复数乘法法则即可计算出结果【详解】(1)(3)i i -+()23(13)42i i i =-+-=-.【点睛】本题考查了复数的乘法计算，只需按照计算法则即可得到结果，较为简单3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.【答案】7【解析】第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =考点：循环结构流程图4.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．【答案】56【解析】试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，则一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种，其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种；所以所求的概率是56P =． 考点：古典概型概率5.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取300辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km / h 以下的汽车有_____辆.【答案】150【解析】【分析】先计算出速度在70km /h 以下的频率，然后再计算出车辆的数量【详解】因为速度在70km /h 以下的频率为(0.020.03)100.5+⨯=，所以速度在70km /h 以下的汽车有0.5300150⨯=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用求解实际问题，先计算出频率，然后再计算出结果，较为简单6.函数()2()lg 76f x x x=+-的定义域是_____.【答案】(1,7)-【解析】【分析】对数函数的定义域满足真数要大于零【详解】由2760x x +->，解得17x -<<，故定义域为(1,7)-.【点睛】本题考查了对数的定义域，只需满足真数大于零即可，然后解不等式，较为简单7.设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则(0)f =_____.【答案】32【解析】【分析】由图像可以计算出A ，ω，ϕ的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果 【详解】由图可知：3A =由741234T πππ=-=，得T π=，从而22T πω==. 将点7,312π⎛⎝732312πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭ 即7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又0ϕπ<<，所以7362ππϕ+=，得3πϕ=. 所以33(0)332f ϕ===. 【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式，熟练掌握图像是解题关键，较为基础8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =____．【答案】14【解析】【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a 1=﹣4，d=2，由此能求出S 7．【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=0，a 6+a 7=14，∴111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩， 解得a 1=﹣4，d=2，∴S 7=7a 1+762d ⨯=﹣28+42=14． 故答案为：14．【点睛】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x =的焦点恰好是双曲线2221x y a -=的一个焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为_____.【答案】4y x =±【解析】【分析】由题意计算出抛物线焦点坐标，即可得到双曲线焦点坐标，运用双曲线知识求出a 的值，即可得到渐近线方程【详解】因为抛物线的焦点为(3,0)，所以双曲线的半焦距3c ==，解得a =故其渐近线方程为y x =，即4y x =±. 【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，结合题意分别计算出焦点坐标和a 的值，然后可得渐近线方程，较为基础10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.【答案】112 【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 详解：由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为2的正方形，其面积22122EFGH S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为12d =， 由四棱锥的体积公式可得：111132212M EFGH V -=⨯⨯=. 点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，4AB =，3AD =，2CD =，2AM MD =，如果3AC BM ⋅=-，则AB AD ⋅=________.【答案】32【解析】 试题分析：因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-，所以3.2AB AD ⋅=考点：向量数量积 12.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()31(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩则函数1()()2g x f x =-的所有零点之和为______. 【答案】21-【解析】 【分析】画出奇函数()f x 的图像，将题意转化为函数()f x 的图象与直线12y =的交点的横坐标的和 【详解】由1()()02g x f x =-=，得1()2f x =， 则1()()2g x f x =-的零点就是()f x 的图象与直线12y =的交点的横坐标. 由已知，可画出()f x 的图象与直线12y =（如下图），根据3(1)=x f x --的对称性可知：6E D x x +=，同理可得6A B x x +=-，则0A B D E x x x x +++=从而A B C D E C x x x x x x ++++=，即12y =与2log (1)(01)y x x =+<的交点的横坐标. 由21log (1)2x +=，解得21C x ， 即1()()2g x f x =-21. 【点睛】本题考查了函数零点和问题，解题关键是转化为两个函数交点问题，需要画出函数的图像并结合函数的性质来解答，本题需要掌握解题方法，掌握数形结合思想解题13.在平面直角坐标系xOy 中，曲线(0)1m y m x =>+在1x =处的切线为l ，则以点(2,1)-为圆心且与直线l 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______.【答案】22(2)(1)2x y -++=【解析】【分析】由题意先求出切线为l 的直线方程，可得直线恒过定点，在满足题意与直线l 相切的所有圆中计算出圆半径，即得圆的标准方程 【详解】因为1m y x =+，所以2(1)m y x '=-+， 当1x =时，2m y =，4m y '=-，即切点为1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，切线斜率4m k =-， 则l 的方程为(1)24m m y x -=--，即(3)4m y x =--， 所以直线l 恒过定点(3,0)A .又直线l 与以点(2,1)C -为圆心的圆相切，则圆的半径r 等于圆心C 到直线l 的距离d ，又当AC l ⊥时，d 最大，所以max max r d AC ===故所求圆的标准方程为22(2)(1)2x y -++=.【点睛】本题考查了求与直线相切的圆的标准方程，需先求出切线方程，解题关键是理解题意中半径最大的圆，即圆心与定点之间的距离，需要具有转化的能力14.设,0a b >，关于x 的不等式3232x x x x a N M b ⋅-<<⋅+在区间(0,1)上恒成立，其中M ，N 是与x 无关的实数，且M N >，M N -的最小值为1.则a b的最小值______.【答案】4【解析】【分析】化简3232x xx xa b ⋅-⋅+，结合单调性及题意计算出M ，N 的表达式，由M N -的最小值为1计算出结果【详解】因为,0a b >， 所以()3212323232x x x x x x x x x a a b a b b y b b ⎛⎫⋅+-+⋅ ⎪⋅-⎝⎭==⋅+⋅+1232x x xa ab b b ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=-⋅+ 1312x a a b b b +=-⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭在(0,1)上单调递增， 又关于x 的不等式3232x x x x a N M b ⋅-<<⋅+在(0,1)上恒成立， 所以11a a b N b b +=-+，1312a ab M b b +=-+， 因为M N -的最小为1， 所以113112a ab b M N b b ++-=-++11113112a b b b ⎛⎫ ⎪⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪+⎝⎭， 即23(1)113522213526511131212b b a b b b b b b b b b ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭+===+++-++， 所以264a b +，当且仅当23b b =，即b ==”， 即a b的最小值为4. 【点睛】本题考查了计算最值问题，题目较为复杂，理清题意，结合函数的单调性求出最值，运用基本不等式计算出结果，紧扣题意是解题关键，考查了学生转化能力二、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =. （1）求b 的值；（2）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）b =（2）26【解析】【分析】 (1)运用余弦定理计算出b 的值(2)由正弦定理计算出sin A 的值，运用两角和的正弦公式计算出结果【详解】（1）解：在ABC ∆中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得cos 45B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.（2）解：由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin a B A b ==.因为a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-故sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 2cos cos 2sin 4426A A ππ=+= 【点睛】本题考查了运用正弦定理、余弦定理解三角形，熟练运用公式来解题，较为简单16.三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD ⊥，E ，F 分别为BD ，AD 的中点.（1）求证：EF平面ABC；=，求证：AD⊥平面CEF.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：(1)利用题意证得//EF AB，由线面平行的结论有//EF平面ABC；(2)利用题意可得：CE AD⊥，AD EF⊥，结合线面垂直的结论则有AD⊥平面CEF．试题解析：（1）∵E，F分别为BD，AD的中点∴//EF AB∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC∴//EF平面ABC（2）∵CB CD=，E为BD的中点∴CE BD⊥∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD⋂平面BCD BD=，CE⊂平面BCD∴CE⊥平面ABD AD⊂平面ABD∴CE AD⊥∵//EF AB，AB AD⊥∴AD EF⊥∵CE⊂平面CEF，EF⊂平面CEF，CE EF E⋂=∴AD⊥平面CEF．（2）若CB CD点睛：注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”17.为迎接新中国成立70周年，学校布置一椭圆形花坛，如图所示，O 是其中心，AB 是椭圆的长轴，C 是短轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道，拟在AB 上选两点E ，F ，使OE OF =，沿CE 、CF 、FA 铺设管道，设CFO θ∠=，若20m OA =，10m OC =，（1）求管道长度u 关于角的函数及cos θ的取值范围；（2）求管道长度u 的最小值.【答案】（1）2010cos 20sin u θθ-=+，50cos 5θ<<（2）(203)m + 【解析】【分析】(1)由三角函数值分别计算出CE 、CF 、FA 的长度，即可求出管道长度u 的表达式，求出cos θ的取值范围(2)由(1)得管道长度u 的表达式，运用导数，求导后判断其单调性求出最小值【详解】解：（1）因为10sin CF θ=，10tan OF θ=，1020tan AF θ=-， 所以u CE CF AF =++20102010cos 2020sin tan sin θθθθ-=+-=+，其中，0cos θ<<. （2）由2010cos 20sin u θθ-=+，得21020cos sin u θθ-'=， 令0u '=，1cos 2θ=， 当10cos 2θ<<时，0u '>，函数()u θ增函数；当1cos 2θ<<0u '<，函数()u θ为减函数. 所以，当1cos 2θ=，即3πθ=时，min 1201022020sin 3u π-⨯=+=+ 答：管道长度u的最小值为(20+.【点睛】本题考查了运用三角函数求解实际问题，在求最值时可以采用求导的方法判断其单调性，然后求出最值，需要掌握解题方法18.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12⎫⎪⎭在椭圆C 上.椭圆C 的左顶点为A . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作直线l 与椭圆C 交于另一点B .若直线l 交y 轴于点C ，且OC BC =，求直线l 的斜率.【答案】（1）2214x y +=（2）4± 【解析】【分析】(1)由题意中椭圆离心率和点在椭圆上得到方程组即可求出椭圆方程(2)由题意设直线斜率，分别求出OC 、BC 的表达式，令其相等计算出直线斜率【详解】解：（1）由题意知：2222212121b a b ⎧⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭+=解得：2241a b ⎧=⎨=⎩， 所以，所求椭圆C 方程为2214x y +=. （2）由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，l 过点(2,0)A -，则l 的方程为：(2)y k x =+， 联立方程组2214(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()222214161640k x k x k +++-=，令(),B B B x y ，()0,C C y 由22164214B k x k --=+，得222814B k x k -=+， 将0x =代入(2)y k x =+中，得到2C y k =，所以|2|OC k =，||0B BC =-=，由OC BC =，得：|2|k = 解得：218k =，∴4k =±.所以直线l的斜率为4±. 【点睛】本题考查了求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系，在解答过程中运用设而不求的方法，设出点坐标和斜率，联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式计算出长度，从而计算出结果，需要掌握解题方法19.若各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S，且()*1n a n =+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若正项等比数列{}n b ，满足22b =，7892b b b +=，求1122n n n T a b a b a b =++⋯+；（3）对于（2）中的n T ，若对任意的*N n ∈，不等式()11(1)212n n n T λ+⋅-<+恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）21n a n =-（2）见解析；（3）133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)先计算出1a 的值，由11n n n a S S ++=-，推出数列为等差数列，继而得到数列通项公式(2)先求出等比数列{}n b 的通项公式，运用错位相减法计算出n T 的值(3)讨论n 为偶数和奇数时两种情况，分别求出满足要求的实数λ的取值范围，即可得到结果【详解】解：（1）因为()241n n S a =+，且0n a >，由()21141a a =+得11a =，又()21141n n S a ++=+，所以11444n n n a S S ++=-()()22111n n a a +=+-+， ()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=，因为0n a >，所以10n n a a ++≠，所以12n n a a +-=，所以{}n a 是公差为2的等差数列，又11a =，所以21n a n =-.（2）设{}n b 的公比为q ，因为7892b b b +=，22q q +=，所以1q =-（舍）或2q ，11b =，12n n b -=.记1122n n A a b a b a b =++⋅⋅⋅+21113252(21)2n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，232123252(21)2n A n =⨯+⨯+⨯++-⋅，()2112222(21)2n n A n --=+++⋅⋅⋅+--⋅，()21(21)212222n n A n -=-⋅--+++()(21)21222(23)23n n n n n =-⋅---=-⋅+所以1122(23)23n n n n T a b a b a b n =++⋅⋅⋅+=-⋅+.（3）不等式()11(1)212n n n T λ+⋅-<+可化为136(1)22n n n λ-⎛⎫-⋅<-+ ⎪⎝⎭. 当n 为偶数时，13622n n λ-⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，记136()22n g n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以min [()]g n λ<. 11669(2)()22222n n ng n g n +-+-=+-=-， 2n =时，(2)()g n g n +<，4n 时，(2)()g n g n +>，即(4)(2)g g <，4n 时，()g n 递增，min 13[()](4)4g n g ==，即134λ<， 当n 为奇数时，13622n n λ-⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，记136()22n h n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以max [()]h n λ>. (2)()h n h n +-1166922222n n n+-=--+=-+， 1n =时，(2)()h n h n +>，3n 时，(1)()h n h n +<，即(3)(1)h h >，3n 时，()h n 递减，max [()](3)3h n h ==-，所以3λ>-综上所述，实数λ的取值范围为133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了求数列的通项公式，运用错位相减法求数列的和以及恒成立问题，在求解通项公式时可以运用1112n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 的方法，需要掌握错位相减法等求数列的和，在解答恒成立问题时将其转化为函数问题，注意分类讨论20.已知函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++. （1）当1a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式2()(1)12a x f x a x x e ++≥++-对于任意1,x e e -⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求正实数a 的取值范围.【答案】(1) 当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增. (2) (]0,1【解析】【分析】(1)对函数求导得到()()()1x a x f x x--'=，讨论a 和0和1的大小关系，从而得到单调区间；（2）原题等价于对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有ln e 1a a x x -+≤-成立，设()ln ,0a g x a x x a =-+>，所以()max e 1g x ≤-，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，进而求得结果.【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()()2111x a x a x a x a f x x a x x x-++-=='-=-++． ① 若01a <<，则当0x a <<或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1a x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；②若0a ≤，则当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增． （Ⅱ）原题等价于对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有ln e 1a a x x -+≤-成立， 设()ln ,0ag x a x x a =-+>，所以()max e 1g x ≤-． ()()11'a a a x a g x ax x x ---=+=． 令()'0g x <，得01x <<；令()'0g x >，得1x >．∴ 函数()g x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()max g x 为1e ea g a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e g = ()e e a f a =-+中的较大者． 设()h a = ()()1e e e 2e a a g a g g a -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()0a >，则()e e 220a a h a -=+->='，∴ ()h a ()0,+∞上单调递增，故()()00h a h >=，所以()1e e g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而()max g x ⎡⎤=⎣⎦ ()e e ag a =-+． ∴ e e 1a a -+≤-，即e e 10a a --+≤．设()=e e 1a a a ϕ--+ ()0a >，则()=e 10aa ϕ'->． 所以()a ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10a a --+≤的解为1a ≤．∵0a >，∴ a 的取值范围为(]0,1．【点睛】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.21.已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值24λ=的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求矩阵A .【答案】21A =⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【详解】由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=，即11111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1,1.a b c d -=-⎧⎨-=⎩ 同理可得3212,328.a b c d +=⎧⎨+=⎩解得2a =，3b =，2c =，1d =.因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 44πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大 【答案】max 5d =【解析】【分析】将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，运用点到直线的距离公式计算出最大值【详解】cos 44πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简为cos sin ρθρθ+=则直线l 的直角坐标方程为x y +=.设点P 的坐标为(cos ,sin )αα，得P 到直线l 的距离d =，即2sin 4242d α+- ⎪⎝⎭=， 所以：max 5d =.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，运用点到直线的距离公式计算出最值问题，较为基础，需要掌握解题方法23.已知a ，b 是正数，求证：22144a b ab ++. 【答案】见证明【解析】【分析】运用基本不等式即可证明【详解】证明：因为a ，b 是正数，所以2244a b ab +.所以221144244a b ab ab ab +++=. 即22144a b ab++. 当且仅当1a =，12b =时取等号 【点睛】本题考查了基本不等式，较为简单，注意需要满足“一正二定三相等”的条件24.如图，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC PA ===，3AD =，E 是PB 的中点.（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】【分析】 可以以AB 为x 轴、AD 为Y 轴、AP 为Z 轴构建空间直角坐标系，写出AE BC BP→→→、、的空间坐标，通过证明AE BC AE BP ⊥⊥，得证AE ⊥平面PBC 。

江苏省南京市最新度高二下期末考试数学试卷一、填空题：（5分*14=70分）1、学校高二足球队有男运动员16人，女运动员8人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为9的样本，则抽取男运动员的人数是 .2、在1,2,3,4这四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是 .3、已知i 是虚数单位，则复数11ii+-的实部为 . 4、若向量,a b r r 满足1,2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r .5、设,A B 两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50m ,45ACB ∠=o ,105CAB ∠=o ,则,A B 两点的距离为 .6、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，有如下命题： ①,,αγβγαβ⊥⊥若则‖②,,m n m n αα⊥⊥若则‖③,,m n m n αα若则‖‖‖④,,m m αβαβ若则‖‖‖则正确的命题序号是 ．★7、已知ABC V 的三个内角,,A B C 成等差数列,且1,4AB BC ==,则边BC 上的中线AD 的长为 . ★8、函数2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间是 . 9、在ABC V 中,2,6,60a b B ===o ，则c = .10、在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若)cos cos c A a C -=,则tan 4A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .11、函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0>mn ，则nm 21+的最小值为 . ★12、已知数列{}{} n n a b ，的通项公式分别是()20161n n a a +=-⋅，()201712n n b n+-=+，若n n a b <，对任意N n +∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．★13、在ABC V 中,已知9AB AC =u u u r u u u rg ,sin cos sin B A C =,6ABC S =V ,P 为线段AB 上的点,且C 1ABCDEF A 1B 1APQBCCA CB CP x y CA CB=+u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ,则xy 的最大值为 .★14、已知12(1)()32(1)x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩，若不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则整数λ的最小值为 ． 二、简答题：（14分*3+16分*3=90分）15、ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =u r 与()cos ,sin n A B =r平行．（1）求A ；（2）若2a b ==，求ABC V 的面积．16、在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点, D 为棱CC 1上任一点． （1）求证：直线EF ∥平面ABD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面BCC 1B 1．17、如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120,,AB AC︒的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．（1）若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，AP 段围墙造价为每平方米150元，AQ 段围墙造价为每平方米100元．若围围墙用了30000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？18、在锐角三角形ABC 中,已知角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且tan tan tan tan )3A B A B -=+． (1)若222c a b ab =+-,求角,,A B C 的大小；(2)已知向量()()sin ,cos ,cos ,sin m A A n B B ==u r r，求32m n -u r r 的取值范围．19、设函数()ln ,f x x ax a R =-∈．（1）当1x =时，函数()f x 取得极值，求a 的值； （2）当102a <<时，求函数()f x 在区间[]1,2的最大值； （3）当1a =-时，关于x 的方程()22(0)mf x x m =>有唯一实数解，求实数m 的值．20、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()*221n n S n a n N =+-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设132********n n n T a a a a a a a a +=++++L ，求证：53n T <．一、填空题：（5分*14=70分）1、学校高二足球队有男运动员16人，女运动员8人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为9的样本，则抽取男运动员的人数是 . 答案：62、在1,2,3,4这四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是 . 答案：123、已知i 是虚数单位，则复数11ii+-的实部为 . 答案：04、若向量,a b r r 满足1,2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r .5、设,A B 两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50m ,45ACB ∠=o ,105CAB ∠=o ,则,A B 两点的距离为 .答案：6、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，有如下命题： ①,,αγβγαβ⊥⊥若则‖②,,m n m n αα⊥⊥若则‖③,,m n m n αα若则‖‖‖④,,m m αβαβ若则‖‖‖则正确的命题序号是 ． 答案：②7、已知ABC V 的三个内角,,A B C 成等差数列,且1,4AB BC ==,则边BC 上的中线AD 的长为 .8、函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间是 . 答案：()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦9、在ABC V 中,2,6,60a b B ===o ，则c = .答案：1+10、在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若)cos cos c A a C -=,则tan 4A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .答案：3-11、函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0>mn ，则nm 21+的最小值为 . 答案：412、已知数列{}{} n n a b ，的通项公式分别是()20161n n a a +=-⋅，()201712n n b n+-=+，若n n a b <，对任意N n +∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：32 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，13、在ABC V 中,已知9AB AC =u u u r u u u rg ,sin cos sin B A C =,6ABC S =V ,P 为线段AB 上的点,且CA CB CP x y CA CB=+u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ,则xy 的最大值为 .答案：314、已知12(1)()32(1)x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩，若不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则整数λ的最小值为 ． 答案：1二、简答题：（14分*3+16分*3=90分）15、ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =u r 与()cos ,sin n A B =r平行．（1）求A ；（2）若2a b ==，求ABC V 的面积．C 1ABCDEF A 1B 1APQB C答案：;3,32A c S π===16、在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点, D 为棱CC 1上任一点． （1）求证：直线EF ∥平面ABD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面BCC 1B 1．17、如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120,,AB AC ︒的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．（1）若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，AP 段围墙造价为每平方米150元，AQ 段围墙造价为每平方米100元．若围围墙用了30000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？答案： （1）S 2()42x y +≤=． 当且仅当100x y ==时取“=”． （注：不写“＝”成立条件扣2分）（2）2222cos120PQ x y xy =+-︒22x y xy =++=40000-xy ≥30000.即PQ ≥100√3. 当且仅当100x y ==时取“=”。

2022-2023学年江苏省南京市江宁区高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，{}4B x x =<，则B A =R ð（）A ．{}14x x -<<B ．{}4x x <C ．{}14x x -≤<D ．{}1x x ≤-【答案】C【分析】求出集合A ，利用补集和交集的定义可求得集合B A ⋂R ð.【详解】因为{1015x A xx x x ⎧⎫+=>=<-⎨⎬-⎩⎭或}5x >，故{}15A x x =-≤≤R ð，又因为{}4B x x =<，则{}14B A x x ⋂=-≤<R ð.故选：C.2．已知1i 1i 1iz +=+-（i 为虚数单位），则复数z 的模为（）A ．1B ．2C ．2D ．3【答案】B【分析】先计算z ，然后利用模的公式进行求解即可【详解】因为1i 1i 1iz +=+-所以()()()()()2i 1i 212111i11i i ii i i i i 1z ++====+=-+---+，所以2z =故选：B3．已知1e ，2e 是平面中两个不共线的向量，若12a e e λ=+ ，12b e e μ=+ ，且//a b r r，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】C【分析】利用两向量共线的基本定理，得到相应的关系式．【详解】12a e e λ=+ ，12b e e μ=+ ，若//a b r r，则R t ∃∈，使a tb =，即()1212e e t e e λμ+=+ ，由1e ，2e是平面中两个不共线的向量，则有1t t λμ=⎧⎨=⎩，即1λμ=.故选：C4．各项均为正数的等比数列{}n a ，公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】先根据1q >，得到{}n a 递增，充分性成立，再推导出必要性成立.【详解】因为{}n a 各项为正数，且1q >，所以11n na q a +=>，即1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列，充分性成立，若{}n a 为递增数列，则1n n a a +>，因为{}n a 各项为正数，所以11n na q a +=>，必要性成立.故选：C5．已知函数()()2log f x x a x =-⎡⎤⎣⎦在区间()0,1上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【分析】利用对数型复合函数单调性判断方法，结合条件列式计算作答.【详解】函数()()2log f x x a x =-⎡⎤⎣⎦可看作函数2log y t =，()t x a x =-的复合函数，又函数2log y t =在()0,∞+上单调递增，而函数()()2log f x x a x =-⎡⎤⎣⎦在区间()0,1上单调递增，则有函数()2224a a t x a x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭在区间()0,1上单调递增，且()0x a x ->在区间()0,1恒成立，因此12a≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D.6．五张卡片上分别写有1、2、3、4、5五个数字，则这五张卡片组成的五位数是偶数的概率（）A ．25B ．12C ．35D ．47【答案】A【分析】利用排列计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】若这五张卡片组成的五位数是偶数，则个位数为偶数，其余各数位无限制，因此所求概率为44552A 2A 5P ==.故选：A.7．故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF 有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD 为矩形，EF ∥底面ABCD ，224AB BC EF ===，ADE V 与BCF △是全等的等边三角形，则该五面体ABCDEF 的体积为（）A ．23B ．1023C ．723D ．33【答案】B【分析】将该五面体分割为四棱锥和三棱柱，结合棱柱和棱锥的体积公式求其体积.【详解】过点E 作,EG EF EH EF ⊥⊥，又EG EH E ⋂=，,EG EH ⊂平面EGH ，所以EF ⊥平面EGH ，过点F 作,FM EF FN EF ⊥⊥，又FM FN F = ，,FM FN ⊂平面FMN ，所以EF ⊥平面FMN ，因为//EF 底面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABFE 平面ABCD AB =，所以//AB EF ，同理//CD EF ，所以,AB EG CD EH ⊥⊥，,AB FM CD FN ⊥⊥，AB ⊥平面EGH ，AB ⊥平面FMN ，GH Ì平面EGH ，MN ⊂平面FMN ，所以,AB GH AB MN ⊥⊥，因为224AB BC EF ===，ADE V 与BCF △是全等的等边三角形，由对称性可得，1AG DH BM CN ====，所以3EG EH ==，2GH MN ==，连接点E 与GH 的中点P ，则2EP =，所以12222EGH S =⨯⨯= ，又2GM =，所以三棱柱EGH FMN -的体积为22，因为AB ⊥平面EGH ，EP ⊂平面EGH ，所以AB EP ⊥，又EP GH ⊥，,AB GH ⊂平面ABCD ，AB GH G ⋂=，所以EP ⊥平面ABCD ，又矩形AGHD 的面积为2，所以四棱锥E AGHD -的体积为1222233⨯⨯=，由对称性可得四棱锥F MBCN -的体积为223，所以五面体ABCDEF 的体积为2210222233+⨯=，故选：B.8．直线l 过圆()22:51M x y -+=的圆心，且与圆相交于A ，B 两点，P 为双曲线221916x y -=右支上一个动点，则PA PB ⋅的最小值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】求出圆的圆心()5,0M ，根据题意可得MB MA =-、PM c a ≥- ，利用平面向量的线性运算可得21PA PB PM ⋅=- ，即可求解.【详解】圆()2251x y -+=，圆心()5,0M ，半径1r =，因为直线l 过圆()2251x y -+=的圆心，且与圆相交于A ，B 两点，所以MB MA =- ，又双曲线221916x y -=，则3a =，5c =，右焦点为()5,0，所以()()PA PB PM MA PM MB ⋅=+⋅+ ()()2221PM MA PM MA PM MA PM =+⋅-=-=- ，又PM c a ≥- ，即2PM ≥ ，所以213PM -≥ ，当点P 在右顶点时取等号，即3PA PB ⋅≥，所以PA PB ⋅的最小值为3，故选：D.二、多选题9．某班50名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．a 的值为0.015B ．这50名同学成绩的平均数在60与70之间C ．这50名同学成绩的众数是75D ．估计这50名同学成绩的75百分位数为85【答案】ACD【分析】利用频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，求出a 的值，可判断A 选项；求出这50名同学成绩的平均数，可判断B 选项；利用最高矩形底边的中点值为众数可判断C 选项；利用百分位数的定义求出这50名同学成绩的75百分位数，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，所以，()0.0120.030.035101a ⨯+++⨯=，解得0.015a =，A 对；对于B 选项，这50名同学成绩的平均数为550.1650.15750.35850.3950.176.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，B 错；对于C 选项，这50名同学成绩的众数是7080752+=，C 对；对于D 选项，前三个矩形的面积之和为0.10.150.350.6++=，前四个矩形的面积之和为0.60.30.9+=，设这50名同学成绩的75百分位数为m ，则()80,90m ∈，由百分位数的定义可得()0.6800.030.75m +-⨯=，解得85m =，D 对.故选：ACD.10．下列说法正确的是（）A ．已知命题P ：任意x ∈R ，x x ≥，则命题P 的否定为：存在x ∈R ，x x <B ．若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则0a b c -+>C ．如果0x >，0y >，39x y xy ++=，那么3x y +的最小值为6D ．函数()2254x f x x +=+的最小值为2【答案】AC【分析】A 选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B 选项，根据不等式的解集得到方程的两根，利用韦达定理求出,,a b c 的关系，从而求出0a b c -+=；C 选项，变形后利用基本不等式求出最小值；D 选项，变形后利用基本不等式进行求解，但等号取不到.【详解】A 选项，命题P ：任意x ∈R ，x x ≥的否定为：存在x ∈R ，x x <，A 正确；B 选项，关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则2,3为20ax bx c ++=的两根，故23,23b ca a+=-⨯=，所以5,6b a c a =-=，故560a b c a a a -+=+-=，B 错误；C 选项，0x >，0y >，()93xy x y =-+，由基本不等式得到()2334x y xy +≤，即()()2327334x y x y +-+≤，解得36x y +≥或318x y +≤-，当且仅当33x y ==时，等号成立.由于0x >，0y >，故30x y +>，318x y +≤-舍去，3x y +的最小值为6，C 正确；D 选项，()222222225411142424444x x f x x x x x x x +++===++≥+⋅=++++，当且仅当22144x x +=+时，等号成立，但22144x x +=+无解，故最小值取不到，D 错误.故选：AC11．设函数()()()πsin cos 0,2⎛⎫=+++>≤ ⎪⎝⎭f x x x ωϕωϕωϕ的最小正周期为π，且过点()0,2，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 的一条对称轴为π2x =C ．把()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x ，则()π2cos 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()f x 在()0,a 上单调递减，则a 的取值范围为π0,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】ABD【分析】利用辅助角公式将函数化简，利用周期及特殊点求出函数解析式，然后利用余弦函数性质一一判断即可.【详解】()()()πsin cos 2sin 4⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭f x x x x ωϕωϕωϕ，因为函数()f x 最小正周期为π，0ω>，所以2π2π2πT ω===，则()π2sin 24f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又函数()f x 过点()0,2，所以()π02sin 24f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 42k k ϕ+=+∈，所以π2π,Z 4k k ϕ=+∈，又π2ϕ≤，所以π4ϕ=，所以()π2sin 22cos 22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭f x x x ，易知函数()f x 的定义域为R ，且()2cos(2)2cos 2()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，故A 正确；令2π,Z x k k =∈，则π,Z 2k x k =∈，当1k =时，()f x 的一条对称轴为π2x =，故B 正确；令2(2π,2ππ),Z x k k k ∈+∈，则π(π,π),Z 2x k k k ∈+∈，当0k =时，()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，若()f x 在()0,a 上单调递减，则a 的取值范围为π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故D正确；把()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x ，则()ππ2cos[2()]2cos 263g x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故C 错误.故选：ABD12．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则（）A ．抛物线C 的准线方程为2x =-B ．若4AF =，则AOF 的面积为3C ．若直线AB 过焦点F ，且163AB =，则O 到直线AB 的距离为12D ．若OA OB ⊥，则32OA OB ⋅≥【答案】BD【分析】根据抛物线的几何性质，可判定A 错误，结合抛物线的定义，可判定B 正确；结合抛物线的焦点弦的性质和点到直线的距离公式，可判定C 错误；设直线OA 的方程为y kx =（不妨设0k >）求得42114OA k k=+和424OB k k =+，结合基本不等式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，抛物线2:4C y x =可得其准线方程为=1x -，所以A 错误；对于B 中，设(),A x y ，因为4AF =，可得14x +=，解得3x =，可得23y =，所以11123322AOF S OF y =⨯⨯=⨯⨯= ，所以B 正确；对于C 中，抛物线2:4C y x =，可得其焦点坐标为(1,0)F ，当直线AB 的斜率不存在时，可得AB 4=，不符合题意；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，联立方程组2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，整理得2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得212224k x x k ++=，根据抛物线的定义，可得21222416223k AB x x k +=++=+=，解得3k =±，所以直线AB 的方程为3(1)y x =±-，不妨取330x y --=，所以O 到直线AB 的距离为22332(3)(1)-=+-，所以C 错误；对于D 中，设直线OA 的方程为y kx =（不妨设0k >）由24y kx y x=⎧⎨=⎩，可得244(,)A k k ，则222424411()()4OA k k k k =+=+，因为OA OB ⊥，此时直线OB 的方程为1=-y x k，可得424OB k k =+，所以4222422216163211111611112k k k k k k O k kOA B +⨯+=+++⋅≥++=⋅=，当且仅当221k k =时，即1k =时，等号成立，所以D 正确.故选：BD.三、填空题13．已知tan 2α=，则1sin 2α+=．【答案】95【分析】利用二倍角的正弦公式结合弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为tan 2α=，则222sin cos 1sin 212sin cos 1sin cos ααααααα+=+=++222tan 22911tan 1215αα⨯=+=+=++.故答案为：95.14．()()621x x -+展开式中，3x 的系数为．（以数字形式作答）．【答案】25-【分析】由()()()()66621121x x x x x -+=+-+，结合二项式展开式求3x 的系数.【详解】因为()61x +的展开式的通项为66166C 1C k kk k kk T x x --+=⨯=，0,1,2,3,4,5,6k =，又()()()()66621121x x x x x -+=+-+，所以()()621x x -+展开式中，3x 的项为4333366C 2C 25x x x -=-，所以()()621x x -+展开式中，3x 的系数为25-.故答案为：25-.15．曲线()2ln f x x x x =-在点()1,1-处的切线方程为.【答案】0x y +=【分析】利用导数的几何意义求解即可【详解】由()2ln f x x x x =-，得()ln 12f x x x '=+-，所以切线的斜率为(1)ln1121f '=+-=-，所以所求切线方程为(1)(1)y x --=--，得y x =-，即0x y +=，故答案为：0x y +=16．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥面ABC ，ABC 为等边三角形，且3PA AB ==，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为．【答案】7π【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以ABC 为底面以PA 为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r 和球心距d ，可得球的半径R ，即可求出三棱锥-P ABC 外接球的表面积．【详解】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示，此三棱锥外接球，即为以ABC 为底面以PA 为高的正三棱柱的外接球，设球心为O ，作OO '⊥平面ABC ，则O '为ABC 的外接圆圆心，连接AO AO ',，则1322OO PA '==，设ABC 的外接圆半径为r ，三棱锥-P ABC 外接球半径为R ，由正弦定理，得322sin 6032ABr ===，所以1r =，Rt OO A ' 中，222O A OO OA ''+=，所以222312R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得72R =，所以24π7πS R ==．故答案为：7π．四、解答题17．袋子中有6个大小相同的小球，其中4个白球、2个黑球.(1)每次从袋子中随机摸出1个球，摸完不放回，共摸2次，求第二次摸到的球是白球的概率；(2)一次完整的试验要求：从袋子中随机摸出1个球，记录小球的颜色后再把小球放回袋中.试验终止的条件是黑色小球出现两次，或者试验进行了4次.设试验终止时试验的次数为X ，求随机变量X 的数学期望.【答案】(1)23(2)9827【分析】（1）利用全概率公式计算即可；（2）求出X 的所有可能取值，求出对应的概率，代入数学期望公式计算即可.【详解】（1）设1A ：第一次摸到的球是白球，2A ：第一次摸到的球是黑球，B ：第二次摸到的球是白球，()()()124324265653P B P A B P A B =+=⨯+⨯=；（2）X 的可能取值为2，3，4，()2212669P X ==⨯=，()1221143C 33327P X ==⨯⨯⨯=，()()()20412327P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为：X234P 194272027所以数学期望()1420982349272727E X =⨯+⨯+⨯=.18．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足：()222cos cos 1ac A a C b c +-=-，(1)求角C ；(2)若2c =，求a b -的取值范围．【答案】(1)π3C =(2)()2,2-【分析】（1）根据余弦定理与正弦定理求得1cos 2C =，从而求得角C ；（2）由正弦定理得用A 表示,a b ，用三角恒等变换化简得43πsin 33a b A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，用三角函数求得范围.【详解】（1）由已知得，2222cos cos b a c ac A a C +-=+，由余弦定理，得2222cos b a c ab C +-=，∴22cos cos cos ab C ac A a C =+，∵0a >，∴2cos cos cos b C c A a C =+，由正弦定理，有()2sin cos sin cos sin cos sin sin B C C A A C A C B =+=+=，∵sin 0B ≠，∴1cos 2C =，又()0,πC ∈，∴π3C =．（2）在三角形ABC 中，2π3B A =-，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==得：sin 43sin sin 3c A a A C ==，sin 43432πsin sin sin 333c B b B A C ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，∴43432πsin sin 333a b A A ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭431343πsin cos sin 32233A A A ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵在三角形ABC 中π3C =，0πA <<，2π0π3B A <=-<，∴2π03A <<，显然πππ333A -<-<，即3π3sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，则有43π2sin 233A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，所以a b -的取值范围是()2,2-．19．已知函数()2e x f x ax =-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()244f x a a ≤-．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间确定导数值的正负，由此确定函数的单调性；（2）结合（1）由分析可得要证明原结论只需证明ln 221a a ≤-，设()ln 221g a a a =-+，利用导数求其最大值即可.【详解】（1）由()2e x f x ax =-，得()2e x f x a '=-，①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减；②当0a >时，令()0f x '=，得ln 2x a =，当(),ln 2x a ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；()ln 2,x a ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减；（2）由（1）知，当0a >时，()()max ln 22ln 22f x f a a a a ==-，要证：当0a >时，()244f x a a ≤-，可证：22ln 2244a a a a a -≤-，因为0a >，即证：ln 221a a ≤-，设()ln 221g a a a =-+，()12g a a'=-，令()0g a '=，则12a =，所以当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g a '>，()g a 单调递增；当1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g a '<，()g a 单调递减，()max 102g a g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()0g a ≤，即ln 221a a ≤-，所以当0a >时，()244f x a a ≤-．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()122n n n b b a n --=≥，且13b =，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．【答案】(1)42n a n =-(2)21n nT n =+【分析】（1）根据等差数列的通项公式求得22n S n =，再根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用累加法求出数列{}n b 的通项公式，然后利用裂项求和法可求得n T .【详解】（1）解：因为n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，11211S a ==，所以()2122n S n n n=+-⨯=，得22n S n =，当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-；1n =时，12a =符合42n a n =-，所以n *∀∈N ，42n a n =-．（2）解：由()12284n n n b a n b n -=--=≥，且13b =，当2n ≥时，则有()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++- ()()()28412131220843412n n n n -+-=++++-=+=- ，又13b =也满足241n b n =-，故对任意的n *∈N ，241n b n =-，()()211111141212122121n b n n n n n ⎛⎫===- ⎪--+-+⎝⎭，则11111111112335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．21．如图所示，在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC．(1)证明：BC ⊥平面PAB ；(2)若6PA AB ==，3BC =，在线段PC 上（不含端点），是否存在点D ，使得二面角B AD C --的余弦值为105，若存在，确定点D 的位置；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；D 是PC 上靠近C 的三等分点【分析】（1）过点A 作AE PB ⊥于点E ，由面面垂直性质定理可得⊥AE 平面PBC ，由此证明AE BC ⊥，再证明PA BC ⊥，根据线面垂直判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求平面ACD ，平面ABD 的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点D 的位置；【详解】（1）过点A 作AE PB ⊥于点E ，因为平面PAB ⊥平面PBC ，且平面PAB ⋂平面PBC PB =，AE ⊂平面PAB ，所以⊥AE 平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，所以AE BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面PBC ，所以PA BC ⊥，又因为AE PA A = ，AE ，PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB．（2）假设在线段PC 上（不含端点），存在点D ，使得二面角B AD C --的余弦值为105，以B 为原点，分别以BC 、BA 为x 轴，y 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,6,0A ，()0,0,0B ，()3,0,0C ，()0,6,6P ，()3,6,0AC =- ，()0,0,6AP = ，()3,6,6PC =-- ，()0,6,0BA = ，设平面ACD 的一个法向量为(),,m x y z = ，0,0,m AC m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即360,60,x y z -=⎧⎨=⎩取2x =，1y =，0z =，所以()2,1,0m = 为平面ACD 的一个法向量，因为D 在线段PC 上（不含端点），所以可设()3,6,6PD PC λλλλ==-- ，01λ<<，所以()3,6,66AD AP PD λλλ=+=-- ，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z = ，0,0,n BA n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()60,36660,y x y z λλλ=⎧⎨-+-=⎩，取22x λ=-，0y =，z λ=，所以()22,0,n λλ=- 为平面ABD 的一个法向量，()()22222100cos ,522m n λλλλ⨯-+⨯+⨯=⨯-+ ，又01λ<<，由已知可得()()22222105522λλλ⨯-=-⨯-+解得23λ=或2λ=（舍去），所以，存在点D ，使得二面角B AD C --的余弦值为105，此时D 是PC 上靠近C 的三等分点．22．已知椭圆()222:102x y C b b +=>的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，且212OM AB b ⋅=- ．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆22:3O x y +=，P 为圆O 上任意一点，过点P 作椭圆C 的切线，交圆O 于点Q ，若OP 与OQ 斜率都存在，求证：OP OQ k k ⋅为定值．【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由条件结合向量的坐标运算列方程求b ，可得椭圆方程；（2）在PQ 的斜率不存在时求OP OQ k k ⋅的值，当PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，联立直线与圆的方程结合设而不求法求OP OQ k k ⋅，由直线与椭圆相切求,k m 的关系，由此证明结论.【详解】（1）依题意可得()2,0A ，()0,B b ，()2,AB b =- ，2,22b M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2211122OM AB b b ⋅=-+=- ，所以21b =，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=．（2）若PQ 的斜率不存在，则()2,1P ，()2,1Q -或()2,1P -，()2,1Q --，此时12OP OQ k k ⋅=-；若PQ 的斜率存在时，可设直线PQ 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22,3,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩联立消去y 可得，()2221230k x kmx m +++-=，方程()2221230k x kmx m +++-=的判别式()()2222224413124120k m k m k m ∆=-+-=-+>，12221km x x k +=-+，212231m x x k -=+，()()221212231m k y y kx m kx m k -=++=+，所以221221233OP OQ y y m k k k x x m -⋅==-，当直线PQ 与椭圆相切时，由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消去y 可得，()222214220k x kmx m +++-=，()()222216421220k m k m ∆=-+-=，化简得2221k m +=，所以12OP OQ k k ⋅=-，综上可得OP OQ k k ⋅为定值12-．【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

2022-2023学年江苏省南京市高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =--<，{}230B x x =+>，则A B = （）A ．32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】解出集合,A B ，根据交集含义即可得到答案.【详解】由题意得()2,3A =-，3,2B ⎛⎫=-+∞ ⎪⎝⎭，则3,32A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：C ．2．设,a b R ∈，则“0ab=”是“复数a bi +为纯虚数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据复数的概念和充分必要条件的概念可得选项.【详解】当0ab=时，0a =且0b ≠，所以复数a bi +为纯虚数；当复数a bi +为纯虚数时，0a =且0b ≠，所以0ab=，所以“0ab=”是“复数a bi +为纯虚数”的充分必要条件，故选：C.3．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈，若1a b -≤，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A ．19B ．29C ．718D ．49【答案】D【分析】由题意，样本点总数为36，可列举出满足条件的样本点共16个，由古典概型的概率公式，即得解【详解】记“|a －b |≤1”为事件A ，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则事件A 包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因此他们“心有灵犀”的概率P ＝1636＝49.故选：D4．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 满足11a =，且2a ，42a -，6a 成等比数列，若正整数m ，n 满足10m n -=，则m n a a -=（）A ．10B ．20C ．30D ．5或40【答案】C【分析】由已知利用等差数列的通项公式结合等比数列的性质列式求解d ，再由等差数列的通项公式求解得选项.【详解】由题知()24262a a a -=，因为{}n a 为等差数列，所以()()()231115d d d -=++，又0d ≠，则3d =，从而()30m n a a m n d -=-=.故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的性质，属于基础题.5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A ．8π3B ．12πC ．8πD ．82π3【答案】B【分析】设MC 的中点为O ，由题意可得MC 为Rt MAC 和Rt MBC 的斜边，从而可得点O 为鳖臑的外接球的球心，即可求得鳖臑的外接球的半径，从而可求表面积.【详解】设MC 的中点为O ，如图所示，由2AB BC ==，且ABC 为直角三角形，可得90ABC ∠=︒，由MA ，AB ，BC 两两垂直，可知MC 为Rt MAC 和Rt MBC 的斜边，故点O 到点M ，A ，B ，C 的距离相等，故点O 为鳖臑的外接球的球心，设鳖臑的外接球的半径为R ，由2222(2)MA AB BC R ++=，可得24444R ++=，解得3R =，故该鳖臑的外接球的表面积为24π12πR =．故选：B ．6．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，3OA OB OA OB +=-，则实数a 的值为（）A ．2±B ．2±C ．3±D ．6±【答案】D【分析】根据向量关系可得2OA OB ⋅=uur uuu r，即AOB 为等边三角形，由此可得圆心到直线距离为3，建立方程求得结果.【详解】由3OA OB OA OB +=- 得：()()223OA OBOA OB +=- ，又O 为圆224x y +=的圆心，则2OA OB == ，所以2OA OB ⋅=uur uuu r，所以cos 2OA OB AOB ⋅⋅∠= ，即1cos 2AOB ∠=，所以3AOB π∠=，所以AOB 为等边三角形，则O 到直线x y a +=的距离为：3d =，即22311a d -==+6a ⇒=±，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的相关问题，关键是能够利用向量的关系得到向量间的夹角，从而能将问题转化为点到直线的距离问题.7．已知P 为矩形ABCD 所在平面内一点，4,3,5,25AB AD PA PC ====，则PB PD =（）A ．0B ．-5或0C ．5D ．-5【答案】A【分析】根据给定条件，确定,PA PC的关系，再借助向量的线性运算及数量积运算律计算作答.【详解】在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，则2222225AC AB BC PA PC =+==+，即有90APC ∠= ，0PC PA ⋅=uur uuu r，又AB AD AC +=，所以2()()()PB PD PA AB PA AD PA PA AB AD AB AD ⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 25)(055PA AC PA AP AP PC AP PC =++==-+⋅=+⋅⋅.故选：A8．已知函数()()sin 3cos 033f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】化简函数()y f x =的解析式为()2sin f x x ω=，结合函数()y f x =的单调性与最值可得出关于实数ω的不等式组，进而可求得实数ω的取值范围.【详解】()sin 3cos 2sin 2sin 3333f x x x x x ππππωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，由于函数()y f x =在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，当3,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，342x πωπωω-≤≤，30,42πωπω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且正弦函数sin y x =在0x =附近单调递增，所以，函数()y f x =在3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则3,,4222πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，342220πωππωπω⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得203ω<≤.当[]0,2x π∈时，02x ωπω≤≤，由于函数()y f x =在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，所以，5222πππω≤<，解得1544ω≤<.综上所述，实数ω的取值范围是12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性与最值求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、多选题9．在研究某品牌汽车的使用年限x （单位：年）与残值y （单位：万元）之间的关系时，根据调研数据得到如下的对应值表：x 246810y1716141311利用最小二乘法，得到回归直线方程为=18ˆ.ˆ7ybx +，下列说法正确的是（）A ．x 与y 的样本相关系数0r >B ．回归直线必过点(6,14.2)C ．ˆ0b<D ．预测该品牌汽车使用20年后，残值约为2万元【答案】BC【分析】由数据知y 随x 的增大呈递减的趋势，结合相关系数的性质及回归直线的性质依次判断即可.【详解】y 随x 的增大呈递减的趋势，所以x 与y 为负相关关系，所以x 与y 的样本相关系数0r <，回归直线方程为ˆˆ18.7ybx =+的ˆ0b <，因为24681065x ++++==，171614131114.25y ++++==，回归直线ˆˆ18.7y bx =+必过点(6,14.2)，所以ˆ14.2618.7b=+，得ˆ0.75b =-，当20x =时，ˆ0.752018.7 3.7y =-⨯+=（万元），综上，正确答案为B ，C.故选：BC.10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用(,)x y 表示一次试验的结果.定义事件A 为“7x y +=”，事件B 为“xy 为奇数”，事件C 为“3x >”，则下列结论正确的是（）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 对立C ．()13P B C =D ．A 与C 相互独立【答案】AD【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义直接求解．【详解】解：定义事件：A =“7x y +=”，事件B =“xy 为奇数”，事件C =“3x >”，对于A ，事件：A =“7x y +=”包含的基本事件有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，事件B =“xy 为奇数”，包含的基本事件有：(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，A 与B 不能同时发生，是互斥事件，故A 正确；对于B ，A 与B 不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故B 错误；对于C ，(,)x y 的所有可能结果如下表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4.3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)P （C ）181362==，31()3612P BC ==，()1(|)()6P BC P B C P C ==，故C 错误；对于D ，P （A ）61366==，P （C ）181362==，31()3612P AC ==，()P AC P =（A ）P （C ），A 与C 相互独立，故D 正确．故选：AD ．11．已知0,0,1a b a b >>+=，则下列结论正确的是（）A ．22a b ab +的最大值为14B ．+a b 的最大值为1C ．22a b ab ++的最小值为743+D ．1422a b a b+++的最小值为3【答案】AC【分析】根据均值不等式及不等式等号成立的条件判断ACD ，取特例判断B 即可得解.【详解】0,0,1a b a b >>+= .对于()2221A,24a b a b ab ab a b ab +⎛⎫+=+=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，当12a b ==时，21a b +=>，故B 错误；对于()()222234343434C,7743a b a b a b a b a b a b ab ab ab b a b a b a ++++++⎛⎫⎛⎫===+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当34a b b a=时取等号，故C 正确；对于D ，()()()421414112225322223322a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎡⎤+=+⋅+++=++≥⎢⎥⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，但是当()42222a b a b a b a b++=++时，0a =不符合题意，故等号不成立，故D 错误.故选：AC.12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，(1)f x +是奇函数，且(1)()2f x g x -+=，()(3)2f x g x +-=，则（）A ．()f x 为奇函数B ．(0)2g =C ．201()40k f k ==∑D ．201()40k g k ==∑【答案】BD【分析】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数(),()f x g x 均是周期为4的周期函数，利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案.【详解】因为()(3)2f x g x +-=，所以(3)()2f x g x ++=，又(1)()2f x g x -+=，则有(3)(1)f x f x +=-；因为(1)f x +是奇函数，所以(1)(1)f x f x -+=-+，可得()1(3)f x f x +=-+，即有(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数，故()g x 也是周期为4的周期函数，因为()(2)f x f x --=+，所以()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故A 错误；由(1)f x +是奇函数，则(1)f 0=，所以(3)f 0=，又(2)f (4)f +(2)f =(0)0f +=，所以[]201()5(1)(2)(3)(4)0k f k f f f f ==+++=∑，所以C 选项错误；由f (1)0=，得(0)2g =，所以B 选项正确；因为(2)2(5)2(1)2g f f =-=-=，[][][](1)(3)2(4)2(6)4(4)(2)4g g f f f f +=-+-=-+=，所以(0)(1)(2)(3)g g g g +++8=，所以[]201()5(0)(1)(2)(3)5840k g k g g g g ==+++=⨯=∑，所以D 选项正确．故选：BD ．三、填空题13．61(3)x x-的展开式中的常数项为___．【答案】-540【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x 的指数为0,求出r 的值,将r 的值代入通项,求出常数项.【详解】:613x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6316(1)3r r r rr T C x --+=-令30r -=得3r =所以展开式的常数项为3363540C -=-故答案为540-【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn rr r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．幂函数()()R af x x a =∈满足：任意x ∈R 有()()f x f x -=，且()()122f f -<<，请写出符合上述条件的一个函数()f x =．【答案】23x （答案不唯一）【分析】取()23f x x =，再验证奇偶性和函数值即可.【详解】取()23f x x =，则定义域为R ，且()()()2233f x x x f x =-=-=，()11f -=，()233224f ==，满足()()122f f -<<.故答案为：23x .15．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，A 为双曲线C 的右支上一点，点A 关于原点O 的对称点为B ，满足1260F AF ∠=︒，且222BF AF =，则双曲线C 的离心率为.【答案】3【分析】由对称性和双曲线定义得到14AF a =，22AF a =，122F F c =，在12AF F △中，1260F AF ∠=︒，由余弦定理列出方程，求出3c a =，得到离心率.【详解】由对称性可知：21BF AF =，故122AF AF =，由双曲线定义可知：122AF AF a -=，即22222AF AF AF a -==，所以14AF a =，又因为122F F c =，在12AF F △中，由余弦定理得：222121212121cos 22F A F A F F F AF F A F A+-∠==⋅，即22222216442041242162a a c a c a a a +--==⨯⨯，解得：3c a =，故离心率为3ca=.故答案为：316．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin sin αβ，则tan α的最大值是．【答案】24【详解】由已知得sin α＝cos(α＋β)sin β＝cos αcos βsin β－sin αsin βsin β，两边同除以cosα，并整理得tan α＝＝＝，∵α，β均为锐角，∴可以看成是单位圆的下半圆上的动点(cos 2β，－sin 2β)与定点(3，0)连线的斜率，其最大斜率为＝.四、解答题17．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥.(1)求()()πsin πcos 23πcos πsin 2αββα⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值；(2)若点A 的横坐标为13，求()sin 2αβ+的值.【答案】(1)1-；(2)2327-.【分析】(1)根据给定条件可得2πβα=+，再利用诱导公式化简计算作答.(2)由给定条件求出sin ,cos αα，再利用和角公式、倍角公式计算作答.【详解】（1）依题意，(0)22ππβαα=+<<，所以πsin(π)cos()sin cos()sin (cos )213πsin (cos )cos(π)sin()cos()(cos )22αβαπαααπααβααα++-+--===---+--.（2）因点A 的横坐标为13，而点A 在第一象限，则点122(,)33A ，即有221sin ,cos 33αα==，于是得42sin 22sin cos 9ααα==，227cos2cos sin 9ααα=-=-，1sin sin()cos 23πβαα=+==，22cos cos()sin 23πβαα=+=-=-，所以()42227123sin 2sin 2cos cos 2sin ()()939327αβαβαβ+=+=⨯-+-⨯=-.18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列{}n a 是等差数列；①数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②()()*12n n n a S n +=∈N (2)若数列{}n a 为等差数列，且11a =，35a =，求数列(2)n nn S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析(2)()()3234212n n T n n +=-++【分析】（1）选择条件①，利用n a 与n S 的关系式和等差中项的性质即可得证；选择条件②，设数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为1b ，公差为p ，求出n S ，表示出n a ，即可得证.（2）由（1）根据已知得出()111222n n n S n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，然后利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）选择条件①：()()*12n n n a S n +=∈N ，()112,211n n n n S na n S n a n ++∴=+=+++，两式相减可得()11211n n n a n a na ++=+-+，即()111n n na n a +-=-，()1211n n n a na ++∴+-=，两式相减可得()()12111n n n n n a na na n a ++++-=--，化简可得()122n n n na n a a ++=+，122n n n a a a ++∴=+，∴数列{}n a 是等差数列．选择条件②：设数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为1b ，公差为p ，则11(1)n S b n p np b p n=+-=+-，故()21n S pn b p n =+-，当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()()()221111pn b p n p n b p n =+------()121b n p =+-，当1n =时，111a S b ==，()121n a b n p ∴=+-，又11122(1)2n n a a b np b n p p +-=+---=．∴数列{}n a 是等差数列．（2） 数列{}n a 是等差数列，且公差3122a a d -==，∴21(1)(1)222n n n n n S na d n n --=+=+⨯=．()()11112222n n n S n n n n ⎛⎫∴==- ⎪+++⎝⎭，故1111111111112322423522n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭ 1111(1)2212n n =+--++3111323()421242(1)(2)n n n n n +=-+=-++++．19．为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：成绩（分）[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数242240284(1)求抽取的100名学生竞赛成绩的方差2s （同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均分x ，2σ近似为样本方差2s ，若2μσμσ-<≤+X ，参赛学生可获得“参赛纪念证书？”；若2μσ>+X ，参赛学生可获得“参赛先锋证书”.①若我校有3000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）；②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”.附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈；抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分75x =.【答案】(1)100(2)①2456②能获得“参赛先峰证书”【分析】（1）利用公式直接求出方差即可；（2）①结合给的概率和正态分布的性质，确定获得“参赛纪念证书”，进而计算可得人数；②利用正态分布的知识求出2μσ>+X ，即95>X ，进而可得结果.【详解】（1）由题意，抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分75x =，所以100名学生本次竞赛成绩方差22222422(4575)(5575)(6575)100100100=-⨯+-⨯+-⨯s 22240284(7575)(8575)(9575)100100100100+-⨯+-⨯+-⨯=；（2）①由于μ近似为样本成绩平均分x ，2σ近似为样本成绩方差2s ，所以275,100μσ==，可知，10010σ==，由于竞赛成绩X 近似地服从正态分布()2,N μσ，因此竞赛学生可获得“参赛纪念证书”的概率(2)P X μσμσ-<≤+11()(22)22μσμσμσμσ=-<≤++-<≤+P X P X 110.68270.95450.818622≈⨯+⨯=，所以30000.81862455.82456⨯=≈，故估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为2456，②当2μσ>+X 时，即95>X 时，参赛学生可获得“参赛先锋证书”，所以竞赛成绩为96分的学生能获得“参赛先峰证书”.20．如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，12PM PC AC BC ====，，又120ACB ∠=︒，AB PC ⊥．(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)求二面角M AC B --的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)217【分析】（1）根据两平面垂直的判定定理证明即可；（2）解法一：（几何法）作辅助线MN 和NH ，根据三垂线定理判断出MHN ∠为二面角M AC B --的平面角，然后计算；解法二：（向量法）建立空间直角坐标系C xyz -，写出各点的坐标，分别求出两个平面的法向量，进而求出二面角M AC B --的平面角的余弦值.【详解】（1）PC AB ⊥ ，PC BC ⊥，AB BC B = ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PC ∴⊥平面ABC ，又PC ⊂ 平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ．（2）解法一：（几何法）取BC 的中点N ，则1CN =，连接AN ，MN ，//PM CN ，PM CN=//MN PC ∴，MN PC =，从而MN ⊥平面ABC .作NH AC ⊥，交AC 的延长线于H ，连接MH ，因为AC ⊂平面ABC ，所以MN AC ⊥.又NH MN N = ，NH ⊂平面MNH ，MN ⊂平面MNH ，所以AC ⊥平面MNH ，又MH ⊂平面MNH ，所以AC MH ⊥，MHN ∴∠为二面角M AC B --的平面角.在CNH △中，33·sin 122NH CN NCH =∠=⨯=，在MNH △中，222237122MH NH MN ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，则21cos 7NH MHN MH ∠==．二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的平面角的余弦值为217.解法二：（向量法）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有31(,,0)22A -，(0,1,1)M ，()310,1,1,,,022CM CA ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为111(,,)n x y z = ，则·0n CM = ，·0n CA = ，∴1111031022y z x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取11x =，得()1,3,3n =- .平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = .设m 与n 所成的角为θ，则321cos 717θ-==-⨯.又二面角M AC B --的平面角为锐角，故二面角M AC B --的平面角的余弦值为217．21．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X ，求X 的分布列；(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n 次传球后球在甲手中的概率为,1,2,3,n p n = ，①直接写出123p p p ，，的值；②求1n p +与n p 的关系式*()n N ∈，并求n p *()n N ∈.【答案】(1)分布列见解析(2)①10p =，212p =，314p =；②111,1,2,322n n p p n +=-+=；11(1)132n n -⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由离散型随机变量的分布列可解；（2）记n A 表示事件“经过n 次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求111,22n n p p +=-+再由数列知识，由递推公式求得通项公式.【详解】（1）X 可能取值为1,2,3，()1232353110C C p X C ===；()213235325C C p X C ===；()3032351310C C p X C ===所以随机变量X 的分布列为X123P 31035110（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且n 次传球后球在甲手中的概率为,1,2,3,n p n = ，则有10,p =2221,22p ==3321,24p ==记n A 表示事件“经过n 次传球后，球在甲手中”，111n n n n n A A A A A +++=⋅+⋅所以()()()11111n n n n n n n n n p P A A A A P A A PA A +++++=⋅+⋅=⋅+⋅()()()()()()111110122n n n n n n n n n P A P A A P A P A A p p p ++=⋅+⋅=-⋅+⋅=-∣∣即111,1,2,322n n p p n +=-+=，所以1111323n n p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且11133p -=-所以数列13n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭表示以13-为首项，12-为公比的等比数列，所以1111332n n p -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭所以1111111132332n n n p --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即n 次传球后球在甲手中的概率是11(1)132n n -⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.22．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为223，x 轴被抛物线22:4x C y b =-截得的线段长与1C 长轴长的比为2:3.(1)求1C ､2C 的方程；(2)设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ､B ，直线MA ､MB 分别与1C 相交与D ､E .（i ）设直线MD ､ME 的斜率分别为1k ､2k ，求12k k 的值；（ii ）记MAB △､MDE 的面积分别是1S ､2S ，求12S S 的最小值.【答案】(1)221:19x C y +=，221:14C y x =-；(2)（i ）1214k k =-；（ii ）169324.【分析】（1）解204x b -=，即可得出x 轴被抛物线截得的线段长，进而列出方程组，求解即可得出答案；（2）联立直线l 与抛物线的方程，得到2440x kx --=，根据韦达定理，即可得出斜率之间的关系，求出12k k 的值；联立方程组，表示出各个点的坐标.结合图象，将三角形的面积之比转化为坐标关系，即可得出表达式211221481919811616S k S k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，然后根据基本不等式即可得出最小值.【详解】（1）解204x b -=，可得2x b =±，所以，x 轴被抛物线22:4x C y b =-截得的线段长为4b .由已知可得，2222234223a b c c a b a⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，1322b a c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.所以，椭圆的方程为221:19x C y +=，抛物线的方程为221:14C y x =-.（2）（i ）由（1）知，()0,1M -.设直线l 的方程为y kx =，()11,A x y ，()22,B x y .联立直线l 与抛物线的方程2114y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，可得2440x kx --=，则121244x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩.又111114y x k x +==，222214y x k x +==，所以12121164x x k k ==-.（ii ）联立直线MA 与抛物线的方程12114y k x x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，可得2140x k x -=，则114x k =.同理：224x k =.设()33,D x y ，()44,E x y .联立直线MA 与椭圆的方程1221990y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，可得()221191180k x k x +-=，则13211891k x k =+，同理可得，24221891k x k =+.由图象知，13MA x MD x =，24MB x ME x =，AMB DME ∠=∠，所以，121sin 21sin 2MA MB AMB S S MD ME DME ∠=∠121234341sin 21sin 2x x AMB x x x x x x AMB ∠==∠()()12221221222121649191811819191k k k k k k k k ==++⋅++2121481916919811616324k k ⎛⎫=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当112k =±时，取等号所以，12S S 的最小值为169324.【点睛】方法点睛：联立方程组，表示出各个点的坐标.结合图象，将三角形的面积之比转化为坐标关系，即可得出表达式.。

南京市高二下学期数学期末考试试卷（理科）（a卷）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若复数z满足(1+i)z=2-i,则|z+i|=（）A .B .C . 2D .2. （2分）函数是（）A . 周期为的偶函数B . 周期为的奇函数C . 周期为的偶函数D . 周期为的奇函数3. （2分）某单位为了了解用电量y（度）与气温X（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并作了如下的对照表：由表中数据，得回归直线方程 = + ，若 =﹣2，则 =（）气温X（℃）181310﹣1用电量y24343864A . 60B . 58C . 62D . 644. （2分） (2019高三上·承德月考) 在等差数列中，公差，为的前项和，且，则当为何值时，达到最大值.（）A .B .C .D .5. （2分）设（1+i）x=1+yi，x，y∈R，则|x+yi|=（）A . 1B .C .D . 26. （2分） (2017高二下·临川期末) 高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表，则随机变量的观测值为（）班组与成绩统计表优秀不优秀总计甲班113445乙班83745总计197190A . 0.600B . 0.828C . 2.712D . 6.0047. （2分）在ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c,且则a：b：c为（）A . 1：：2B . 1：1：C . 2：1：D . 2：1：或1：1：8. （2分）已知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A . 2B . 3C .D .9. （2分）等比数列中，，则“”是“” 的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分）已知集合P={x，y，z}，Q={1，2，3}，映射f：P→Q中满足f（y）=2的映射的个数共有（）A . 2B . 4C . 6D . 911. （2分）(2012·四川理) 下列命题正确的是（）A . 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B . 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C . 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D . 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行12. （2分） (2017高三下·深圳模拟) 已知函数为自然对数的底数，关于的方程有四个相异实根，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共18分)13. （1分）(2017·西宁模拟) 设a= dx，则二项式的展开式的常数项是________．14. （1分）(2014·陕西理) 观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．15. （1分）在某项测量中，测量结果ξ～N(1，σ2)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(－∞，2]内取值的概率为________．16. （15分） (2016高一下·河源期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=2an﹣2（n∈N*），数列{bn}满足b1=1，且点P（bn ， bn+1）（n∈N*）在直线y=x+2上．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求数列{an•bn}的前n项和Dn；（3）设cn=an•sin2 ，求数列{cn}的前2n项和T2n．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2015高二下·徐州期中) （Ⅰ）求证：当a＞2时， + ＜2 ；（Ⅱ）证明：2，，5不可能是同一个等差数列中的三项．18. （10分） (2017高二上·新余期末) 某市为响应国家节能减排建设的号召，唤起人们从自己身边的小事做起，开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动，其中有两则公益广告：①80部手机，一年就会增加一吨二氧化氮的排放．②人们在享受汽车带了的便捷舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气．活动组织者为了解是市民对这两则广告的宣传效果，随机对10﹣60岁的人群抽查了n人，并就两个问题对选取的市民进行提问，其抽样人数频率分布直方图如图所示，宣传效果调查结果如表所示．宣传效果调查表广告一广告二回答正确人数占本组人数频率回答正确人数占本组人数频率[10，20）900.545a[20，30）2250.75k0.8[30，40）b0.92520.6[40，50）160c120d[50，60]10e f g（1）分别写出n，a，b，c，d的值．（2）若将表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率，规定正确回答广告一的内容得30元，广告二的内容得60元．组织者随机请一家庭的两成员（大人45岁，孩子17岁），指定大人回答广告一的内容，孩子回答广告二的内容，求该家庭获得奖金数ξ的分布列及期望．19. （10分） (2017高二上·中山月考) 设数列的前项和为，，数列的通项公式为．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，①求；②若，求数列的最小项的值．20. （5分）(2018·杭州模拟) 如图,在等腰三角形中,，M为线段的中点，为线段上一点,且 ,沿直线将翻折至 ,使 .(I)证明;平面⊥平面 ;(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值.21. （15分）(2018·六安模拟) 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点 .（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.22. （15分） (2018高一上·海珠期末) 已知函数 .（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；（3）已知 R且，，求证：方程在区间上有实数根.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共18分)13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、16-3、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。