第43课时 数列的综合运用

高考数学一轮复习考点知识专题讲解数列中的构造问题题型一形如a n＋1＝pa n＋f(n)型命题点1a n＋1＝pa n＋q(p≠0,1，q≠0，其中a1＝a)例1(2022·九江模拟)在数列{a n}中，a1＝5，a n＋1＝3a n－4，求数列{a n}的通项公式．解由a n＋1＝3a n－4，可得a n＋1－2＝3(a n－2)，所以an＋1－2an－2＝3.又a1＝5，所以{a n－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以a n－2＝3n，所以a n＝3n＋2.命题点2a n＋1＝pa n＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例2已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{a n}的通项公式．解∵a n＋1＝2a n－n＋1，∴a n＋1－(n＋1)＝2(a n－n)，∴an＋1－(n＋1)an－n＝2，∴数列{a n－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴a n－n＝2·2n－1＝2n，∴a n＝2n＋n.命题点3a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)例3在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n －1，求数列{a n }的通项公式． 解方法一原递推式可化为a n ＋1＋λ·3n ＝2(a n ＋λ·3n －1)．① 比较系数得λ＝－4，①式即是a n ＋1－4·3n ＝2(a n －4·3n －1)．则数列{a n －4·3n －1}是首项为a 1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列， ∴a n －4·3n －1＝－5·2n －1， 即a n ＝4·3n －1－5·2n －1.方法二将a n ＋1＝2a n ＋4·3n －1的两边同除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝23·a n 3n ＋432， 令b n ＝a n3n ，则b n ＋1＝23b n ＋49，设b n ＋1＋k ＝23(b n ＋k )，比较系数得k ＝－43，则b n ＋1－43b n －43＝23，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n －43是以－53为首项，23为公比的等比数列．∴b n －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，则b n ＝43－53·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，∴a n ＝3n ·b n ＝4·3n －1－5·2n －1.思维升华(1)形如a n ＋1＝αa n ＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列．(2)递推公式a n ＋1＝αa n ＋β的推广式a n ＋1＝αa n ＋β×γn (α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn ＋1后得到a n ＋1γn ＋1＝αγ·a n γn ＋βγ，转化为b n ＋1＝kb n ＋βγ(k ≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n －βγ(1－k )求解． 跟踪训练1(1)(2022·武汉二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项公式为() A ．a n ＝－3×2n －1B ．a n ＝3×2n －1 C ．a n ＝5n ＋3×2n －1D ．a n ＝5n －3×2n －1 答案D解析方法一将递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n 的两边同时除以5n ＋1， 得a n ＋15n ＋1＝25·a n 5n ＋35，①令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35， 即b n ＋1－1＝25(b n －1)，所以数列{b n －1}是首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为25的等比数列，所以b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，即b n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝1－3×2n －15n ，故a n ＝5n －3×2n －1.方法二设a n ＋1＋k ×5n ＋1＝2(a n ＋k ×5n )， 则a n ＋1＝2a n －3k ×5n ，与题中递推公式比较得k ＝－1， 即a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n )，所以数列{a n －5n}是首项为a 1－5＝－3， 公比为2的等比数列，则a n －5n ＝－3×2n －1， 故a n ＝5n －3×2n －1.(2)(2022·衡水质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为________． 答案a n ＝2n －1，n ∈N * 解析因为S n ＋1－2S n ＝1， 所以S n ＋1＝2S n ＋1. 因此S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)， 因为a 1＝S 1＝1，S 1＋1＝2，所以{S n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以S n ＋1＝2n ，S n ＝2n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，a 1＝1也满足此式， 所以a n ＝2n －1，n ∈N *.题型二 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型)例4已知在数列{a n }中，a 1＝5，a 2＝2，a n ＝2a n －1＋3a n －2(n ≥3)，求这个数列的通项公式． 解∵a n ＝2a n －1＋3a n －2， ∴a n ＋a n －1＝3(a n －1＋a n －2)， 又a 1＋a 2＝7，∴{a n ＋a n －1}是首项为7，公比为3的等比数列， 则a n ＋a n －1＝7×3n －2，① 又a n －3a n －1＝－(a n －1－3a n －2)，a 2－3a 1＝－13，∴{a n －3a n －1}是首项为－13，公比为－1的等比数列， 则a n －3a n －1＝(－13)·(－1)n －2，② ①×3＋②得，4a n ＝7×3n －1＋13·(－1)n －1， ∴a n ＝74×3n －1＋134(－1)n －1.思维升华可以化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a n －a n －1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a n }．跟踪训练2(1)数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为__________． 答案a n ＝10－2n (n ∈N *)解析由题意知，a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 所以{a n }为等差数列．设公差为d ，由题意得2＝8＋3d ⇒d ＝－2， 得a n ＝8－2(n －1)＝10－2n .(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，则a n ＝________. 答案2n －1解析由题意知，a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∵a 2－a 1＝2，∴{a n －a n －1}是首项为2，公比为2的等比数列，a n －a n －1＝2n －1(n ≥2)， 当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝1－2n 1－2＝2n －1. 显然n ＝1时满足上式， ∴a n ＝2n －1.题型三 倒数为特殊数列⎝ ⎛⎭⎪⎫形如a n ＋1＝pa n ra n ＋s 型 例5(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则a n ＝________. 答案2n ＋1解析∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1， ∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． (2)已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，则a n ＝________.答案22×3n －1－1解析∵1a n ＋1＝3·1a n＋1，∴1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，1a 1＋12＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋12是以1为首项，3为公比的等比数列，∴1a n ＋12＝3n －1， ∴1a n＝3n －1－12， ∴a n ＝22×3n －1－1(n ∈N *)． 思维升华两边同时取倒数转化为1a n ＋1＝s p ·1a n ＋r p的形式，化归为b n ＋1＝pb n ＋q 型，求出1a n的表达式，再求a n .跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝x 3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为____________． 答案a n ＝13n －2(n ∈N *) 解析由已知得，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，∴1a n ＋1＝1a n＋3，即1a n ＋1－1a n＝3，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2.故a n ＝13n －2(n ∈N *)．(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n2na n ＋1，则a n ＝__________.答案1n 2－n ＋1解析对递推关系两边取倒数， 得1a n ＋1＝2na n ＋1a n ＝1a n＋2n .即1a n ＋1－1a n＝2n ，分别用1,2,3，…，n －1替换n ，有 1a 2－1a 1＝2×1， 1a 3－1a 2＝2×2，1 a4－1a3＝2×3，…，1 an －1an－1＝2(n－1)，以上n－1个式子相加，得1an－1a1＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，所以1an＝n2－n＋1.所以a n＝1n2－n＋1.课时精练1．数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3(n≥2)且a1＝0，则此数列第5项是()A．15B．255C．16D．63答案B解析∵a n＝4a n－1＋3(n≥2)，∴a n＋1＝4(a n－1＋1)(n≥2)，∴{a n＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则a n＋1＝4n－1.∴a n＝4n－1－1，∴a5＝44－1＝255.2．(2022·许昌模拟)数列{a n}的首项a1＝2，且a n＋1＝4a n＋6(n∈N*)，令b n＝log2(a n＋2)，则b1＋b2＋…＋b20222022等于()A．2020B．2021C．2022D．2023答案D解析∵a n＋1＝4a n＋6(n∈N*)，∴a n＋1＋2＝4a n＋6＋2＝4(a n＋2)>0，即an＋1＋2an＋2＝4且a1＝2，∴数列{a n＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列，故a n＋2＝4n，由b n＝log2(a n＋2)得，b n ＝log24n＝2n，设数列{b n}的前n项和为S n，则S2022＝2(1＋2＋3＋…＋2021＋2022) ＝2022×2023，∴b1＋b2＋…＋b20222022＝2022×20232022＝2023.3．(2022·绵阳模拟)已知数列{a n}满足：a1＝a2＝2，a n＝3a n－1＋4a n－2(n≥3)，则a9＋a10等于()A．47B．48C．49D．410答案C解析由题意得a1＋a2＝4，由a n ＝3a n －1＋4a n －2(n ≥3)， 得a n ＋a n －1＝4(a n －1＋a n －2)，即a n ＋a n －1a n －1＋a n －2＝4(n ≥3)， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是首项为4，公比为4的等比数列， 所以a 9＋a 10＝49.4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，n ∈N *，则a 4等于() A ．64B ．56 C ．32D ．24 答案C解析由a n ＋1＝2a n ＋2n得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12， 而a 12＝12， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n 是首项为12，公差为12的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n2， ∴a n ＝n ·2n －1，∴a 4＝4×24－1＝32. 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，则数列{b n }的通项公式b n 等于() A.12n B ．n －1 C ．n D ．2n 答案C解析由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝1＋2a n，所以1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1， 又1a 1＋1＝2，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1是首项为2，公比为2的等比数列，所以1a n＋1＝2·2n －1＝2n，所以b n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1＝log 22n ＝n .6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2＋3a n(n ∈N *)，则下列结论正确的是()A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3为等比数列 B ．{a n }的通项公式为a n ＝12n －1－3C ．{a n }为递增数列D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝2n ＋2－3n ＋4答案A 解析因为a n ＋1＝a n 2＋3a n，所以1a n ＋1＝2＋3a na n＝2a n＋3，所以1a n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋3， 且1a 1＋3＝4≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3是以4为首项，2为公比的等比数列，即1a n＋3＝4×2n －1，所以1a n＝2n ＋1－3，可得a n ＝12n ＋1－3， 故选项A 正确，选项B 不正确； 因为1a n＝2n ＋1－3单调递增，所以a n ＝12n ＋1－3单调递减，即{a n }为递减数列，故选项C 不正确；⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n ＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－3n＝22×1－2n 1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4.故选项D 不正确．7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋3n ，则a 5等于() A ．405B ．300C ．450D ．500 答案A解析∵a n ＋1＝3a n ＋3n ， ∴a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 3n 是等差数列，公差为13，又a 13＝13， ∴a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n 3， ∴a n ＝n ·3n －1，a 5＝5×34＝405.8．(2022·甘肃西北师大附中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝110，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)，则n ＋2na n的最小值为() A.252B ．12C ．24D.392答案D 解析∵a 1＝110，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)， ∴1a 1＝10，1a n ＋1－1a n＝1， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以10为首项，1为公差的等差数列，∴1a n＝n ＋9，∴n ＋2na n ＝(n ＋2)(n ＋9)n ＝n ＋18n＋11. ∵y ＝n ＋18n在(0,32)上单调递减，在(32，＋∞)上单调递增，∴当n ＝4时，n ＋2na n 取得最小值为392. 9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a n ＝________. 答案12n －1解析因为a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1， 所以等式两边同除以a n a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝2，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝12n －1. 10．已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，则a n ＝__________.答案3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n解析由a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，两边同除以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，即两边同乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1，令b n ＝2n ·a n ， 则b n ＋1＝23b n ＋1，b n ＋1－3＝23(b n －3)，所以{b n －3}是以b 1－3＝－43为首项，23为公比的等比数列，即b n －3＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，所以b n ＝3－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，所以a n ＝b n 2n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .11．已知首项为1的数列{a n }各项均为正数，且na 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＝a n a n ＋1，则a n ＝________. 答案n解析因为na 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＝a n a n ＋1，所以n (a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )＝a n (a n ＋1＋a n )， 因为数列{a n }各项均为正数， 所以a n ＋1＋a n >0， 所以n (a n ＋1－a n )＝a n ， 所以a n ＋1n ＋1＝a nn， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 为常数列，由a 1＝1，所以a n n ＝a 11＝1，所以a n ＝n .12．已知数列{a n }满足递推公式a n ＋1＝2a n ＋1，a 1＝1.设S n 为数列{a n }的前n 项和，则a n ＝______，4n ＋7－n －S na n ＋1的最小值是________．答案2n－117 4解析因为a n＋1＝2a n＋1，所以a n＋1＋1＝2(a n＋1)，所以数列{a n＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以a n＋1＝2n，所以a n＝2n－1；所以S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝2(1－2n)1－2－n＝2n＋1－2－n，所以4n＋7－n－S nan＋1＝4n＋7－n－(2n＋1－2－n)2n＝2n＋92n－2，由对勾函数的性质可得，当n＝1时，21＝2,21＋921－2＝2＋92－2＝92；当n≥2时，2n≥4，所以y＝2n＋92n－2单调递增，当n＝2时，22＋922－2＝4＋94－2＝174<92，所以4n＋7－n－S nan＋1的最小值是174.。

《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。

2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。

3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。

二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。

2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。

3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。

4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。

5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。

2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。

2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。

3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。

五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。

2. 第二课时：等比数列的应用举例。

3. 第三课时：数列的求和公式及应用。

4. 第四课时：数列的通项公式的应用。

5. 第五课时：数列在函数中的应用。

6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。

六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。

2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。

3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。

七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。

2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。

3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。

八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。

数列的综合运用考纲要求能运用数列的等差关系式或等比关系解决实际问题.考情分析1.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式．2.常与其他知识的交汇命题，考查学生的转化化归能力如与函数、不等式、解析几何等交汇考查．3.各种题型都有可能出现.教学过程基础梳理1．等比数列与等差数列比较表2.(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n＋1的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系．双基自测1．某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是 ( ) A．800 B．820C．840 D．8602．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( ) A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟3．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数为 ( )A．0 B．1C．2 D．不能确定4．5·12汶川大地震后，山东天成书业公司于2008年8月向北川中学捐赠《三维设计》系列丛书三万册，计划以后每年比上一年多捐5 000册，则截至到2012年，这5年共捐________万册．5．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π3，公差为π36，则这个多边形的边数为________．典例分析考点一、等差数列与等比数列的综合应用[例1] (2010·福建高考)数列{an }中，a1＝13，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝⎝⎛⎭⎪⎫13n+1(n∈N*)(1)求数列{an }的通项公式an以及前n项和Sn；(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．变式1．(2012·北京东城区综合练习)在等比数列{a n}中，a n>0(n∈N*)，公比q ∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，当S11＋S22＋S33＋…＋Snn最大时，求n的值．对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．考点二数列在实际问题中的应用【例2】在一次人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司许诺第一年月工资数为1 500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司许诺第一年月工资数为2 000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么？(3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确到1元)？并说明理由．(参考数据log1.052.3＝17.1)变式2. 银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元．两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多． (计算结果精确到千元，参考数据：1.110≈2.594,1.310≈13.786)．在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题．银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？答案：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋r)n，属于等比模型．考点三、数列与函数、不等式、解析几何的交汇问题【例3】►(2012·南昌模拟)等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n.变式3.(2011·福建)已知等比数列{a n}的公比q＝3，前3项和S3＝13 3 .(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若函数f(x)＝A sin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x＝π6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．【例4】(2011·陕西)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x 轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n.记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(2≤k≤n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.【例5】(2011·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.数列与其它知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的解析式构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题．函数与数列的综合问题主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图象研究数列问题．如恒成立，最值问题等．二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题．考题范例(12分)(2012·青岛月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)．求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.规范解答：∵a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，(2分)∴数列{1S n }是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列，∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n.(4分)将S n ＝12n 代入a n ＝－2S n ·S n －1，得a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12 n ＝1，12n －2n 2n ≥2.(7分)∵S 2n ＝14n 2<14n n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n (n ≥2)，S 21＝14， ∴当n ≥2时，S 21＋S 22＋…＋S 2n ＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋ (14)⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝12－14n ；(10分) 当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1. 综上，S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.(12分)一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解．两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注． 三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)． (2)数列与不等式结合时需注意放缩． (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．本节检测1．(2012·长沙模拟)设{a n }、{b n }分别为等差数列与等比数列，a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则下列结论正确的是( )A ．a 2>b 2B ．a 3<b 32．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，则b 6的值为( )A ．±4 2B ．－42C ．4 2D ．无法确定3．(2012·青岛模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A ．(2,4)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1D ．(－1，－1)4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b10等于( )A．24 B．32C．48 D．645．(2011·上海高考)设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件为( )A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同6．(2011·江苏高考)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．7．(2011·浙江高考)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)，且1 a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对n∈N*，试比较1a2＋1a22＋1a23＋…＋1a2n与1a1的大小．自我反思. .。

《数列综合应用举例》教案一、教学目标1. 理解数列的概念及其性质2. 掌握数列的通项公式和求和公式3. 能够运用数列解决实际问题二、教学内容1. 数列的概念及其性质2. 数列的通项公式和求和公式3. 数列在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念、性质、通项公式和求和公式2. 教学难点：数列在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解数列的概念和性质2. 采用示例法，教授数列的通项公式和求和公式3. 采用案例分析法，让学生学会运用数列解决实际问题五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如等差数列“每月工资”、“每分钟心跳次数”等，引导学生认识数列的概念和性质。

2. 讲解：讲解数列的概念、性质、通项公式和求和公式，通过示例让学生理解并掌握这些知识点。

3. 练习：布置一些练习题，让学生运用所学的数列知识解决问题，巩固所学内容。

4. 案例分析：选取一些实际问题，如“等差数列投资”、“数列在数据处理中的应用”等，让学生学会运用数列知识解决实际问题。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调数列在实际中的应用价值。

六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生对数列概念和性质的理解程度。

2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，检查学生对数列通项公式和求和公式的掌握情况。

3. 案例分析评价：评估学生在案例分析中的表现，判断其能否将数列知识应用于实际问题中。

七、教学拓展1. 数列在数学其他领域的应用：介绍数列在代数、几何、概率等领域中的应用，激发学生的学习兴趣。

2. 数列与其他学科的交叉：探讨数列在其他学科如物理、化学、生物等方面的应用，拓宽学生的知识视野。

八、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的学习兴趣、教学方法的适用性、学生对数列知识的掌握程度等，以便对后续教学进行调整和改进。

九、课后作业布置一些有关数列的练习题，包括填空题、选择题和解答题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

《数列综合应用举例》教案一、教学目标1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。

2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。

3. 通过对数列综合应用的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的综合素质。

二、教学内容1. 等差数列的应用：等差数列的求和公式、等差数列的通项公式等。

2. 等比数列的应用：等比数列的求和公式、等比数列的通项公式等。

3. 数列的极限：数列极限的定义、数列极限的性质等。

4. 数列的收敛性：收敛数列的定义、收敛数列的性质等。

5. 数列的应用举例：如数列在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的基本概念、性质和应用。

2. 运用案例分析法，分析数列在实际问题中的应用。

3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。

4. 设置课后习题，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

四、教学步骤1. 引入数列的基本概念，讲解等差数列和等比数列的定义和性质。

2. 引导学生运用数列知识解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。

3. 讲解数列的极限和收敛性，分析数列在实际中的应用。

4. 组织学生进行小组讨论，分享数列在实际问题中的应用案例。

5. 通过课后习题，检查学生对数列知识的掌握程度。

五、教学评价1. 课后习题的完成情况，检验学生对数列知识的掌握。

2. 课堂讨论的参与度，评估学生的团队协作能力和思维水平。

3. 学生对数列应用案例的分析，评估学生的实际应用能力。

4. 定期进行教学质量调查，了解学生的学习需求，调整教学方法。

六、教学资源1. 教学PPT：制作数列综合应用的教学PPT，包含数列的基本概念、性质、应用案例等内容。

2. 案例素材：收集数列在实际问题中的应用案例，如人口增长、放射性衰变等。

3. 课后习题：编写具有代表性的课后习题，检验学生对数列知识的掌握。

4. 教学视频：寻找相关的教学视频，如数列的极限、收敛性的讲解等，辅助学生理解难点内容。

专 题 训 练第十讲: 数列的综合运用学校 学号 班级 姓名知能目标1. 进一步理解等差数列和等比数列的概念和性质.2. 能熟练应用等差数列与等比数列的通项公式, 中项公式,前n 项和公式, 强化综合运用这些公式解题的能力.3. 在解数列综合题的实际中加深对基础知识, 基本技能和基本数学思想方法的认识, 沟通各类知识的联系, 形成完整的知识网络, 提高分析问题和解决问题的能力.综合脉络1. 揭示数列本质数列与函数的关系 数列是一类特殊的函数. 从函数的观点看, 对于一个定义域为正整 数集*N (或它的有限子集}n ,,4,3,2,1{Λ )的函数来说, 数列就是这个函数当自变量从小到 大依次取值时对应的一列函数值.等差数列与函数的关系 公差0d ≠时, n n S ,a 分别是n 的一次函数和二次函数. 反过来, 如果n a 是n 的一次函数, 那么}a {n 一定是公差不为0的等差数列; 如果n S 是n 的二次函数且 常数项为0, 那么}a {n 一定是公差不为0的等差数列.通项n a 与前n 项和n S 之间的关系: .)2n (S S )1n (S a 1n n 1n ⎩⎨⎧≥-==-2. 分析高考趋势数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一, 是进一步学习高等数学的基础, 数列的题目形态多变, 蕴含丰富的数学思想和数学方法, 是高考的热点之一. 在近几年新教材的高考试题中, 对数列的考查多以解答题的形式出现, 数列与函数, 数列与不等式等的综合知识, 在知识的交汇点处设计题目, 成为高考对能力和素质考查的重要方面. 在数列方面的考查, 对能力方面的要求, 呈现越来越高的趋势, 对知识考查的同时, 伴随着对数学思想方法的考查. 在近几年新教材的高考试题中, 数列约占9％左右, 考查的内容主要有: ①等差数列、等比数列的基本知识 (定义、通项公式、前n 项和公式); ②等差数列、等比数列与其他知识点的综合运用, 及应用数列知识解决实际问题; ③ 函数和方程的思想, 化归思想, 分类讨论思想, 待定系数法等. (一) 典型例题讲解:例1. 已知2)1(f =, 21)n (f 2)1n (f +=+)N n (*∈, 求)101(f 的值.例2. 已知数列1a }a {1n =中，且,)1(a a k1k 2k 2-+=- ,3a a kk 21k 2+=+其中Λ,3,2,1k =(1) 求53a ,a ; (2) 求}a {n 的通项公式.例3. 在公差不为零的等差数列}a {n 及等比数列}b {n 中, 已知a 1＝1, 且a 1＝b 1, a 2＝b 2, a 8＝b 3.(1)求数列}a {n 的公差d 和}b {n 的公比q ;(2)是否存在常数a 、b 使得对于一切自然数n, 都有b b log a n a n +=成立, 若存在, 求 出a 、b 的值, 若不存在, 说明理由.(二) 专题测试与练习: 一. 选择题1. 数列}a {n 的通项公式为1n n 1a n ++=, 若}a {n 前n 项和为24, 则n 为 ( )A. 25B. 576C. 624D. 6252. 设数列}a {n 是递增等差数列, 前三项的和为12, 前三项的积为48, 则它的首项是 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 63. 设)N n (n 213n 12n 11n 1)n (f *∈+++++++=Λ, 那么)n (f )1n (f -+等于 ( ) A. 1n 21+ B. 2n 21+C. 2n 211n 21+++D. 2n 211n 21+-+4. 若数列}a {n 前8项的值各异, 且n 8n a a =+对任意*∈N n 都成立, 则下列数列中可取遍}a {n 前8项值的数列为 ( ) A. }a {1k 3+ B. }a {1k 2+ C. }a {1k 4+ D. }a {1k 6+5. 已知数列}a {n , 那么“对任意的*∈N n , 点)a ,n (P n n 都在直线1x 2y +=上”是“}a {n 为等差数列”的 ( ) A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S (万件)近似 地满足)12,,2,1n )(5n n 21(90nS 2n Λ=--=. 按此预测, 在本年度内, 需求量超过1.5 万件的月份是 ( ) A. 5月、6月 B. 6月、7月 C. 7月、8月 D. 8月、9月二. 填空题7. 数列)21(1++)421(+++++Λ)221(1n -+++Λ前n 项和为______ ____.8. 设}a {n 是首项为1的正项数列, 且0a a na a )1n (n 1n 2n 21n =+-+++),3,2,1n (Λ=, 则它的 通项公式是=n a ____ _____ .9. 已知一个等比数列首项为1, 项数是偶数, 其奇数项之和为85, 偶数项之和为170, 求这个 数列的公比 , 项数为 .10. 在各项均为正数的等比数列}a {n 中, 若,9a a 65=则1032313a log a log a log +++Λ= .三. 解答题11. 数列}a {n 的前n 项和为n S , 且1a 1=, ,S 31a n 1n =+,,3,2,1n Λ=求 (1) 2a ,3a ,4a 的值及数列}a {n 的通项公式; (2) n 242a a a +++Λ的值.12. 有穷数列}a {n 的前n 项和S n ＝2n 2＋n, 现从中抽取某一项(不是首项和末项)后, 余下项的平均值是79. (1)求数列}a {n 的通项; (2)求数列}a {n 的项数及抽取的项数.13. 已知等比数列}a {n 共有m 项)3m (≥, 且各项均为正数, 1a 1=, 1a ＋2a ＋7a 3=. (1) 求数列}a {n 的通项n a ;(2) 若数列}b {n 是等差数列, 且11a b =, m m a b =, 判断数列}a {n 前m 项的和m S 与数列}21b {n -的前m 项和m T 的大小并加以证明.数列的综合运用解答(一) 典型例题例1. 解：,21)1n (2)n (f ,21)n (f )1n (f 2)1(f ⨯-+=+=+=故.52)101(f = 例2. 解：(1) 0)1(a a 12=-+=, ,33a a 23=+=,4)1(a a 234=-+=,133a a 245=+=所以, .13a ,3a 53==(2) ,3)1(a 3a a k k 1k 2k k 21k 2+-+=+=-+ 所以,)1(3a a kk 1k 21k 2-+=--+同理,)1(3a a 1k k 3k 21k 2----+=-……,).1(3a a 13-+=-所以+--+)a a (1k 21k 2++---Λ)a a (3k 21k 2=-)a a (13)],1()1()1[()333(1k k 1k k -++-+-++++--ΛΛ由此得],1)1[(21)13(23a a kk 11k 2--+-=-+ 于是.1)1(2123a k 1k 1k 2--+=++ 1)1(2123)1(1)1(2123)1(a a k k k1k k k 1k 2k 2=-+=-+--+=-+=--}a {n 的通项公式为:当n 为奇数时, ;121)1(23a 21n 21n n -⨯-+=-+ 当n 为偶数时, .121)1(23a 2n2n n -⨯-+= 例3. 解：(1) ⎩⎨⎧==⇒=+=+==0d 1q q b d 7a ,q b d a .1a b 2111111 或⎩⎨⎧==5d 6q .∴≠∴≠ .1q .0d Θ取⎩⎨⎧==5d 6q . (2) .6b ,4n 5a 1n n n -=-=假设存在, 则有b 6log )1n (4n 5b 6log 4n 5a 1n a +-=-⇒+=--.1b 6a 46log b 56log 6log b 6log n 4n 55a a a a ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=-=⇒-+=-⇒∴存在⎩⎨⎧==1b 6a 5, 使b b log a n a n +=成立.(二) 专题测试与练习 一.二. 填空题 7. 2n 2S 1n n --=+; 8. ;n19. 2 , 8 ; 10. 10 .三. 解答题11. 解: (1) 由,S 31a ,1a n 1n 1==+,,3,2,1n ΛΛ =得 ,31a 31S 31a 112===,94)a a (31S 31a 2123=+==,2716)a a a (31S 31a 32134=++==由)2n (a 31)S S (31a a n 1n n n 1n ≥=-=--+, 得),2n (a 34a n 1n ≥=+又31a 2=, 所以),2n ()34(31a 2n n ≥=-∴ 数列}a {n 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧≥==-)2n (,)34(31)1n (,1a 2n n ;(2)由(1)可知n 242a ,,a ,a Λ是首项为31, 公比为2)34(项数为n 的等比数列, ∴].1)34[(73)34(1)34(131a a a n 22n 2n242-=--⋅=+++Λ12. (1) .3S a ,1a 4a S S a 11n 1n n n ==-=⇒-=-.1n 4a n -=∴(2) 设抽去是第k 项则有:791n a a a a a n1k 1k 21=-+++++++-ΛΛ,79n 79a a a a a n 1k 1k 21-=++++++∴+-ΛΛ移项得: 79na a 79a a a n1k 1k 21=++++++++-ΛΛ,所以抽去的是79, .20k 791k 479a k =⇒=-⇒=13. 解: (1) 设等比数列}a {n 的公比为q, 则,7q q 12=++ ∴2q =或3q -=, ∵}a {n 的各项均为正数, ∴2q =. 所以n a 1n 2-=.(2) 由n a 1n 2-=得12S mm -=. 数列}b {n 是等差数列, ,1a b 11==1m m m 2a b -==,而=m T )21b ()21b ()21b ()21b (n 321-++-+-+-Λ ,2m m 222m m 22122m )b b b b (2m 1m 1m n 321---⋅==-+=-++++=Λ∵.12)4m ()12(2m S T 2m m 2m m m +⋅-=--⋅=--- ∴当3m =时, 3333S T ,1S T <∴-=- . ∴当4m ≥时, m m S T >.。

第43课时数列的综合运用Gothedistance不会学会，会的做对.游手好闲会使人心智生锈.309课题：数列的综合运用考纲要求：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用.教材复习1.解决数列应用问题的步骤：2.数列应用题的常见模型：等差模型、等比模型、混合模型、生长模型（如分期付款）、递推模型.基本知识方法1.解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a和()dq的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2.深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．3.解题时，还要注重数学思想方法的应用，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“化归转化”.典例分析：考点一等差数列、等比数列的综合应用问题1．(07全国Ⅰ文)设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab??，3521ab??，5313ab??1求{}na，{}nb的通项公式；??2求数列n nab的前n项和nS．审题、找出题意实际应用题构建数列模型与结论间的数学关系与数列有关的数学问题分析转化数学问题的解运用数列知识求解作答翻译Gothedistance不会学会，会的做对.游手好闲会使人心智生锈.310考点二数列与函数、方程、不等式的综合应用问题2．（08江西）等差数列{}na各项均为正整数，13a?，前n 项和为nS，等比数列{}nb中，11b?，且2264bS?，{}nab是公比为64的等比数列．1求na与nb；??2求证1211134nSSS.问题3．（2012安徽文）设函数()sin2xfxx??的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{}nx.（Ⅰ）求数列{}nx；（Ⅱ）设{}nx的前n项和为nS，求sinmS.Gothedistance不会学会，会的做对.游手好闲会使人心智生锈.311考点三数列的实际应用问题4．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为na万元.（Ⅰ）用d表示1a，2a，并写出1na?与na的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.Gothedistance不会学会，会的做对.游手好闲会使人心智生锈.312考点四数列与其他知识综合问题5．（2011陕西）如图，从点??10,0P作x轴的垂线交曲线xye?于点1(0,1)Q，曲线在1Q点处的切线与x轴交于点2P．再从2P做x轴的垂线交曲线于点2Q，依次重复上述过程得到一系列点：11,PQ；22,PQ；…；,nnPQ，记kP点的坐标为(,0)kx（0,1,2,,kn?）．（1）试求kx与1kx?的关系（2kn）；（2）求112233||||||||nnPQPQPQPQ．Gothedistance不会学会，会的做对.游手好闲会使人心智生锈.313课后作业：1.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．2.（08届东北师大附中高三月考）数列}{na的前n项和记作nS，满足1232naSnn，)(Nn?．??1证明数列}3{?na为等比数列；并求出数列}{na的通项公式．??2记nnnab?，数列}{nb的前n项和为nT，求nT．Gothedistance不会学会，会的做对.游手好闲会使人心智生锈.314走向高考：1.（06湖北）若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b 成等比数列，且103cba，则a?.A4.B2.C2?.D4?2.(07天津)设等差数列??na的公差d不为0，19ad?．若ka是1a 与2ka的等比中项，则k?.A2.B4.C6.D83.（07海南）已知0x?，0y?，xaby，，，成等差数列，xcdy，，，成等比数列，则2()abcd?的最小值是.A0.B1.C2.D44.已知等差数列{}na的公差0d?，且139,,aaa成等比数列，则1392410aaaaaaGothedistance不会学会，会的做对.游手好闲会使人心智生锈.3155.(07全国Ⅰ)等比数列??na的前n项和为nS，已知1S，22S，33S成等差数列，则??na的公比为6.（04北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}an是等和数列，且a12?，公和为5，那么a18的值为，这个数列的前n项和Sn的计算公式为7.（2012四川）设函数()2cosfxxx??，{}na是公差为8?的等差数列，125()()()5fafafa，则2313[()]faaa??.A0.B2116?.C218?.D21316?8.（2013安徽）如图，互不-相同的点12,,,nAAX和12,,,nBBB分别在角O的两条边上，所有nnAB相互平行，且所有梯形11nnnnABBA??的面积均相等.设.nnOAa?若121,2,aa??则数列??na的通项公式是9.(06浙江文）若nS是公差不为0的等差数列??na的前n项和，且124,,SSS成等比数列.??1求数列124,,SSS的公比;??2若24S?，求??na的通项公式.Gothedistance不会学会，会的做对.游手好闲会使人心智生锈.31610.（2012四川文）已知数列{}na的前n项和为nS，且22nnaaSS??对一切正整数n都成立.（Ⅰ）求1a，2a的值；（Ⅱ）设10a?，数列110{lg}naa的前n项和为nT，当n为何值时，nT最大？并求出nT的最大值.11.(08陕西文)已知实数列??na是等比数列，其中71a?，且451aa?，，6a成等差数列．（Ⅰ）求数列??na的通项公式；（Ⅱ）数列??na的前n项和记为nS，证明：128nS?(123)n?，，，．Gothedistance不会学会，会的做对.游手好闲会使人心智生锈.317。