与二次函数有关的恒成立问题

二次函数恒成立问题的方法二次函数恒成立问题是指对于任意实数x,都存在一个正实数a和正整数b,使得以下的二次函数f(x)满足以下条件:1. f(a) = 02. f(b) = 03. f(x)在区间[a,b]上连续。

下面介绍几种解决二次函数恒成立问题的方法:方法一:利用函数图像如果我们能够画出二次函数f(x)的图像,那么我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x 取何值时,函数f(x)恒成立。

具体而言,我们可以通过观察图像来确定二次函数f(x)在区间[a,b]上的取值,并检查是否满足条件1、2、3。

方法二:利用配方和边界条件我们可以使用二次函数的配方来解决这个问题。

设二次函数f(x)的顶点坐标为c(c<0),则有f(x) = (x-c)(x-c-1)。

我们可以使用这个配方来检查当x取何值时,函数f(x)是否恒成立。

具体而言,我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

方法三:利用函数性质我们还可以通过函数的性质来解决这个问题。

例如,我们可以利用二次函数的对称性来检查当x取何值时,函数f(x)是否恒成立。

具体而言,我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。

方法四:利用数学软件如果我们想要更加高效地解决二次函数恒成立问题,可以使用数学软件。

例如,我们可以使用MATLAB或其他数学软件来检查二次函数f(x)是否满足条件1、2、3。

通过使用软件,我们可以快速地画出函数图像,并检查函数的取值是否满足条件。

以上就是几种解决二次函数恒成立问题的方法,这些方法各有优缺点,我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决该问题。

恒成立问题与有解问题的区别恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。

它是函数、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的试题中，越来越受到命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。

1、恒成立问题1.1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0)，若y=f(x)在[m，n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线)可得上述结论等价于ⅰ) 或ⅱ)，亦可合并定成，同理，若在[m，n]内恒有f(x)<0，则有【例1】对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x 的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x及P，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。

解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0，设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1，则f(p)在[-2，2]上恒大于0，故有：即，解得：∴x<-1或x>3.1.2恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

【例2】 设f(x)=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞)时，都有f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。

分析：题目中要证明f(x)≥a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1，+∞)时恒大于0的问题。

解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当△=4(a-1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x∈[-1，+∞)，F(x)≥0恒成立；ⅱ)当△=4(a-1)(a+2)≥0时，则由图可得：即，得-3≤a≤-2-1o综合可得a的取值范围为[-3，1]。

二次函数恒成立问题洋葱数学摘要：I.二次函数的定义和性质- 二次函数的定义- 二次函数的图象和性质II.二次函数恒成立问题的类型- 二次函数恒成立问题的定义- 常见二次函数恒成立问题的类型III.解决二次函数恒成立问题的方法- 判别式法- 韦达定理法- 完全平方公式法IV.二次函数恒成立问题的应用- 二次函数恒成立问题在实际生活中的应用- 二次函数恒成立问题在考试中的常见题型和解题技巧正文：二次函数是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

洋葱数学为我们提供了一种解决二次函数恒成立问题的方法。

首先，我们需要了解二次函数的定义和性质。

二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c 是常数，且a 不等于0。

二次函数的图象是一个抛物线，其性质包括开口方向、对称轴、顶点等。

其次，我们需要了解二次函数恒成立问题的类型。

二次函数恒成立问题是指在一定的条件下，二次函数的值恒为某个常数。

常见的问题类型包括二次函数的值恒为正、恒为负、恒为零等。

解决二次函数恒成立问题的方法有多种，其中最常用的方法是判别式法。

判别式法是根据二次函数的判别式Δ= b^2 - 4ac 来判断二次函数的值是否恒为某个常数。

当Δ > 0 时，二次函数的值恒为正；当Δ < 0 时，二次函数的值恒为负；当Δ = 0 时，二次函数的值恒为零。

另外，韦达定理法和完全平方公式法也是解决二次函数恒成立问题的常用方法。

韦达定理法是利用二次函数的韦达定理来求解二次函数的值；完全平方公式法是将二次函数化为完全平方的形式，从而求解二次函数的值。

二次函数恒成立问题在实际生活中有着广泛的应用，如物理、化学、工程等领域。

在考试中，二次函数恒成立问题也是常见题型，掌握解决二次函数恒成立问题的方法和技巧，对于提高数学成绩具有重要意义。

恒成立问题基本题型一 转化为二次函数，利用分类讨论思想解题例1． 已知函数f(x)=x 2-2ax+4在区间[-1，2] 上都不小于2，求a 的值。

解：由函数f(x)=x 2-2ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a 与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论1．当a ≥2时f(x)在[-1，2]上是减函数此时m in )(x f = f(2)=4-4a+42≥ 即a 23≤ 结合a ≥2，所以a 的解集为φ 2．当a 1-≤ 时 f(x)在[-1，2]上是增函数， m in )(x f = f(-1)=1+2a+42≥结合a 1-≤ 即123-≤≤-a 3．当-1<a<2时 m in )(x f = f(a)=a 2-2a 2+4 2≥ 即≤-2a 2≤ 所以21≤<-a综上1，2，3满足条件的a 的范围为：223≤≤-a 二 确定主元，构造函数，利用单调性解题例2．对于满足0≤a ≤4的所有实数a 求使不等式x 2+ax>4x+a-3都成立的x 的取值范围。

解：不等式变形为x 2+(x-1)a-4x+3>0设f(a)= (x-1)a+x 2-4x+3，则其是关于a 的一个一次函数：是单调函数结合题意有⎩⎨⎧>>0)0(0)4(f f 即 得1-<x 或3>x 三 利用不等式性质解题例3．若关于x 的不等式|x-2|+|x+3|≥a 恒成立，试求a 的范围 解：由题意知只须min )32(++-≤x x a 由5)3(232=+--≥++-x x x x 所以 5≤a四 构造新函数，利用导数求最值：例4．已知)1lg(21)(+=x x f )2lg()(t x x g +=若当]1,0[∈x 时)()(x g x f ≤在[0，1]恒成立，求实数t 的取值范围。

解：)()(x g x f ≤在[0，1] 上恒成立，即021≤--+t x x 在[0，1]上恒成立 令t x x x F --+=21)( 则须F(x)在[0，1]上的最大值小于或等于0所以 121412121)('++-=-+=x x x x F 又]1,0[∈x 所以0)('<x F 即)(x F 在[0，1]上单调递减所以)0(max )(F x F = 即01)0()(≤-=≤t F x F 得 1≥t{0340122>+->-x x x（说明：若将恒成立改成有解，即)()(x g x f ≤在[0，1]上有解，则应F(x)min 0≤。

ʏ张亮昌解决不等式恒成立问题常见的方法有:判别式法,分离参数法,主参换位法等㊂下面举例分析这类问题的求解策略㊂方法一:判别式法例1 已知不等式(m 2+4m -5)x 2+4(1-m )x +3>0对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是㊂①当m 2+4m -5=0时,可得m =-5或m =1㊂若m =-5,则不等式化为24x +3>0,这时对任意实数x 不可能恒大于0㊂若m =1,则3>0恒成立㊂②当m 2+4m -5ʂ0时,根据题意可得m 2+4m -5>0,Δ=16(1-m )2-12(m 2+4m -5)<0,解得m <-5或m >1,1<m <19,所以1<m <19㊂综上可知,所求实数m 的取值范围是{m |1ɤm <19}㊂评注:对于一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a >0)在R 上恒成立,则Δ=b 2-4a c <0;一元二次不等式a x 2+b x +c <0(a <0)在R 上恒成立,则Δ=b 2-4a c <0㊂方法二:分离参数法例2 不等式x y ɤa x 2+2y 2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立,则实数a 的取值范围是㊂不等式x y ɤa x 2+2y 2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立,等价于a ȡyx -2yx2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立㊂令t =y x ,则1ɤt ɤ3,所以a ȡt -2t 2在1ɤt ɤ3上恒成立㊂令函数y =-2t 2+t =-2t -142+18,当t =1时,y m a x =-1,则a ȡ-1㊂故实数a 的取值范围是{a |a ȡ-1}㊂评注:若a ȡf (x )恒成立,则a ȡf (x )m a x ;若a ɤf (x )恒成立,则a ɤf (x )m i n ㊂方法三:主参换位法例3 已知函数y =a x 2-2a x +8+3a ,若对于1ɤa ɤ3,y <0恒成立,则实数x 的取值范围为㊂已知函数可化为关于a 的函数y =a x 2-2a x +8+3a =(x 2-2x +3)a +8㊂由题意知,y <0对于1ɤa ɤ3恒成立㊂因为x 2-2x +3>0恒成立,且y 是关于a 的一次函数,在1ɤa ɤ3上随x 的增大而增大,所以y <0对1ɤa ɤ3恒成立等价于y 的最大值小于0,即3(x 2-2x +3)-8<0,也即3x 2-6x +1<0,解得3-63<x <3+63,所以实数x 的取值范围为x 3-63<x <3+63㊂评注:在一个函数式中,有两个自变量,其中给出一个自变量的范围,这时可把问题转化为关于已知范围的那个自变量的函数(本题是一次函数)㊂在R 上定义运算⊗:A ⊗B =A (1-B ),若不等式(x -a )⊗(x +a )<4对x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围为㊂提示:(x -a )⊗(x +a )=(x -a )[1-(x +a )]=-x 2+x +a 2-a <4对x ɪR 恒成立,即x 2-x -a 2+a +4>0对x ɪR 恒成立,所以Δ=4-4(-a 2+a +1)=4a 2-4a <0,所以0<a <1,即实数a ɪ(0,1)㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

二次函数恒成立问题的方法二次函数恒成立问题是指在抛物线或二次函数的图像上,要求其对应的二次函数在该点处必须恒成立。

这个问题的解决方法有很多,下面我们将介绍其中两种常用的方法。

方法一:利用配方求解当要求二次函数在点P处恒成立时,我们可以将抛物线或二次函数进行配方,从而将其转化为一次函数的形式。

具体来说,我们可以将二次函数写成以下形式: f(x) = ax^2 + bx + c将点P的坐标代入该式中,得到:ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 + k(x-g)其中,a、b、c、h、g、k都是已知常数,而a、b、c、h、g、k中的任意一个都可以作为点P的坐标。

然后,我们只需要要求出k(x-g)的值即可。

由于k(x-g)是一个二次函数,因此我们可以将其进行配方,得到:k(x-g) = k[(x-h)^2 - 4gh]将k(x-g)代入上式中,得到:k[(x-h)^2 - 4gh] = k[(x-h)^2 - (x-g)^2 + 2gh]化简后得到:k[(x-h)^2 - (x-g)^2] = -2gh因此,如果二次函数在点P处恒成立,则-2gh必须在点P处成立。

我们可以通过对-2gh求导,得到:f"(x) = 2ax + 2b当-2gh在点P处成立时,即f"(x) = 2ax + 2b = 0时,我们才能要求出k(x-g)的值,从而使得二次函数在点P处恒成立。

方法二:利用图像法求解当要求二次函数在点P处恒成立时,我们可以通过图像法求解。

具体来说,我们可以将抛物线或二次函数绘制在平面直角坐标系中,然后找到点P和该函数的图像之间的交点,该交点的横坐标就是要求出的k(x-g)的值。

假设我们已经找到了与二次函数在点P处的交点C,该交点的横坐标为c。

那么,我们可以将点P的坐标代入一次函数f(x) = ax^2 + bx + c中,得到:ax^2 + bx + c = ax^2 + bx + c - 2gh将ax^2 + bx + c - 2gh代入上式中,得到:ax^2 + bx + c = ax^2 + bx + c + 2gh化简后得到:2a = 0因此,a = 0。

二次函数恒创造问题之阳早格格创做2016年8月东莞莞好书院一、恒创造问题的基础典型：典型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒创造00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒创造00<∆<⇔且a .典型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒创造⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒创造⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒创造⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒创造⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 典型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切. 典型4：二、恒创造问题罕睹的解题战术：战术一：利用二次函数的判别式对付于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒创造00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒创造00<∆<⇔且a02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，供m 的范畴.剖析：要念应用上头的论断，便得包管是二次的，才有判别式，然而二次项系数含有参数m ，所以要计划m-1是可是0.（1）当m-1=0时，不等式化为2>0恒创造，谦脚题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m .战术二:利用函数的最值（或者值域）（1）m x f ≥)(对付任性x 皆创造m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对付任性x 皆创造max )(x f m ≥⇔.简朴计做：“大的大于最大的，小的小于最小的”.由此瞅出，本类问题真量上是一类供函数的最值问题.例2.已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒创造，供a 的与值范畴. 剖析 本题不妨化归为供函数f (x )正在关区间上的最值问题,只消对付于任性2)(],2,2[min ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒创造⇔2)(],2,2[min ≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-237)2()(22min a f x f a 或者⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222min a a a f x f a 或者⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22min a f x f a ，即a 的与值范畴为]222,5[+--.战术三：利用整面分散例3.已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒创造，供a 的与值范畴.剖析 本题不妨思量f (x )的整面分散情况举止分类计划，分无整面、整面正在区间的左侧、整面正在区间的左侧三种情况，即Δ≤0或者⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0)2(0)2(220f f a 或者⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0)2(0)2(220f f a ，即a 的与值范畴为[-7，2].面评 对付于含参数的函数正在关区间上函数值恒大于等于整的问题,不妨思量函数的整面分散情况,央供对付应关区间上函数图象正在x 轴的上圆或者正在x 轴上便止了.变式：设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒创造，供真数m 的与值范畴. 解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，(x F 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒创造的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m .综上可得真数m 的与值范畴为)1,3[-. 战术四：分散参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分散于不等式二端，从而问题转移为供主元函数的最值，从而供出参数范畴.那种要领真量也仍旧供最值，然而它思路更浑晰，支配性更强.普遍天有：1）为参数）a a g x f )(()(<恒创造max )()(x f a g >⇔ 2）为参数）a a g x f )(()(>恒创造max )()(x f a g <⇔),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f ，若对付任性),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒创造，供真数a 的与值范畴.解：若对付任性),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒创造，即对付),1[+∞∈x ，02)(2>++=xa x x x f 恒创造， 思量到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 正在),1[+∞∈x 时恒创造而得022>++a x x 正在),1[+∞∈x 时恒创造，只消x x a 22-->正在),1[+∞∈x 时恒创造.而易供得二次函数x x x h 2)(2--=正在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a . 变式：已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒创造，供真数a 的与值范畴.解： 将问题转移为x x x a 24-<对付]4,0(∈x 恒创造. 令x x x x g 24)(-=，则min )(x g a < 由144)(2-=-=x xx x x g 可知)(x g 正在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g∴0<a 即a 的与值范畴为)0,(-∞.注：分散参数后，目标精确，思路浑晰能使问题成功得到办理. 战术五：决定主元正在给出的含有二个变量的不等式中，教死习惯把变量x 瞅成是主元（已知数），而把另一个变量a 瞅成参数，正在有些问题中那样的解题历程烦琐.如果把已知与值范畴的变量动做主元，把央供与值范畴的变量瞅做参数，则可简弥合题历程.)1(122->-x m x 对付谦脚22≤≤-m 的所有m 皆创造，供x 的范畴.剖析：咱们不妨用改变主元的办法，将m 视为主变元，将要元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒创造，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范畴是)231,271(++-∈x 归纳：利用了一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：变式：对付任性]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒创造，供x 的与值范畴.分解：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，然而若把a 瞅成主元，则问题可转移为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 正在]1,1[-∈a 上恒创造的问题.解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则本问题转移为0)(>a f 恒创造（]1,1[-∈a ）.当2=x 时，可得0)(=a f ，分歧题意.当2≠x 时，应有⎩⎨⎧>->0)1(0)1(f f 解之得31><x x 或.故x 的与值范畴为),3()1,(+∞-∞ .战术六：消元转移例6.已知f (x )是定义正在[-1,1]上的偶函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对付于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒创造，供真数t 的与值范畴.剖析 本题不等式中有三个变量，果此不妨通过消元转移的战术，先消来一个变量，简单说明f (x )是定义正在[-1,1]上的删函数,故 f (x )正在[-1,1]上的最大值为f (1)=1,则12)(2+-≤at t x f 对付于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒创造⇔1212+-≤at t 对付于所有的]1,1[-∈a 恒创造，即022≤-t ta 对付于所有的]1,1[-∈a 恒创造，令22)(t ta a g -=，只消⎩⎨⎧≤≤-0)1(0)1(g g ，022=≥-≤∴t t t 或或． 面评 对付于含有二个以上变量的不等式恒创造问题,不妨根据题意依次举止消元转移,从而转移为只含有二变量的不等式问题,使问题得到办理.以上介绍的几种罕睹不等式恒创造问题的供解战术，不过分别从某个正里进脚来探讨不等式中参数的与值范畴.究竟上，那些战术不是孤坐的，正在简直的解题试验中，往往需要概括思量，机动使用，才搞使问题得以成功办理.三、坚韧训练1.（1）若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，供真数a 的与值范畴；（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，供真数a 的与值范畴．解：（1）设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 正在()+∞∞-,上恒创造()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a（2）设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 正在()+∞∞-,上能创造()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或者2a ≥. 2. 若函数y =R 上恒创造，供m 的与值范畴. 分解：该题便转移为被启圆数2680mx mx m +++≥正在R 上恒创造问题，而且注意对付二次项系数的计划. 略解：要使y =R 上恒创造，即2680mx mx m +++≥正在R 上恒创造. 10m =时，80≥0m ∴=创造 20m ≠时，()()2036483210m m m m m >⎧⎪⎨∆=-+=-≤⎪⎩，01m ∴<≤ 由1，2可知，01m ≤≤3. 已知背量2(,1),(1,),a x x b x t =+=-若函数()b a x f ⋅=正在区间()1,1-上是删函数，供t 的与值范畴.解：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-= .23)(2t x x x f ++-='则()x f 正在区间()1,1-上是删函数等价于()0>'x f 正在区间()1,1-上恒创造;而()0>'x f 正在区间()1,1-上恒创造又等价于x x t 232->正在区间()1,1-上恒创造;设()()1,1,232-∈-=x x x x g 从而()x g t >正在区间()1,1-上恒创造等价于()()1,1,max -∈≥x x g t思量到()()1,1,232-∈-=x x x x g 正在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1上是减函数,正在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31上是删函数,则()()51max =-=g x g .于是, t 的与值范畴是5≥t .4. 已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax '=+-=--，其中()'f x 是()f x 的导函数.对付谦脚11a -≤≤的十足a 的值，皆有()0g x <，供真数x 的与值范畴； 解法1.由题意()2335g x x ax a =-+-，那一问表面上是一个给出参数a 的范畴，解不等式()0g x <的问题，本量上，把以x 为变量的函数()g x ，改为以a 为变量的函数，便转移为不等式的恒创造的问题，即 令()()2335a x a x ϕ=-+-，()11a -≤≤，则对付11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，从而转移为对付11a -≤≤，()0a ϕ<恒创造，又由()a ϕ是a 的一次函数，只需()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320,380.x x x x ⎧--<⎨+-<⎩解得213x -<<.故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对付谦脚11a -≤≤的十足a 的值，皆有()0g x <. ()23350g x x ax a =-+-<.由11a -≤≤知,236600a a ∆=-+>,于是,不等式的解为 223660366066a a a a a a x -+-+<<. 然而是,那个截止是不精确的,果为不思量a 的条件,还应进一步完备.为此,设()()2236603660a a a a a a g a h a --++-+==. 不等式化为()(),11g a x h a a <<-≤≤恒创造,即()()max min ,11g a x h a a <<-≤≤.由于()23660a a a g a --+=正在11a -≤≤上是删函数,则()()max 213g a g ==-,()6a h a +=正在11a -≤≤上是减函数,则()()min 1 1.h a h ==所以, 213x -<<. 故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对付谦脚11a -≤≤的十足a 的值，皆有()0g x <. 5. 若对付任性的真数x ，2sin 2cos 220x k x k +--<恒创造，供k 的与值范畴. 解法一：本不等式化为2cos 2cos 210x k x k -++> 令cos t x =，则1t≤，即()222()22121f t t kt k t k k k =-++=--++正在[]1,1t ∈-上恒大于0.⑴若1k <-，要使()0f t >，即(1)0f ->，12k >-k ∴不存留 ⑵若11k -≤≤，若使()0f t >，即2()210f k k k =-++>11k ∴<<11k <≤ ⑶若1k >，要使()0f t >，即(1)0f >，1k >由⑴，⑵，⑶可知，1k ∴> 解法二：2()2210f t t kt k =-++>，正在[]1,1-上恒创造.⑴221011k k k ∆=--<∴<<⑵2210(1)0(1)011k k f f k k ⎧∆=--≥⎪>⎪⎨-<⎪⎪><-⎩或1k ∴≥由⑴，⑵可知，1k >6. 已知函数2()10f x x ax =++≥对付于十足1(0,]2x ∈创造，供a 的与值范畴.7. 已知函数2()4f x x x m =-≥对付于(0,1]x ∈恒创造，，供m 的与值范畴.8. 若不等式2296260x ax a a -+--≥正在1133x -≤≤内恒创造，供a 的与值范畴.])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，供真数a 的与值范畴. 解：由题设可将问题转移为不等式0)1(22>+-+a x a x 对付R x ∈恒创造，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或.所以真数a 的与值范畴为),31()1,(+∞--∞ . ()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对付任性[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试决定a 的与值范畴. 解：根据题意得：21a x x+->正在[)2,x ∈+∞上恒创造，即：23a x x >-+正在[)2,x ∈+∞上恒创造，设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > (],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒创造，供a 的与值范畴. 解：令2x t =，(],1x ∈-∞(]0,2t ∴∈ 所以本不等式可化为：221t a a t +-<， 要使上式正在(]0,2t ∈上恒创造，只须供出()21t f t t +=正在(]0,2t ∈上的最小值即可.。

二次函数的恒成立问题例 (1)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解 由题意知2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，符合题意，a ∈R ；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16， 因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 所以当x ＝1时，不等号右边式子取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. (2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则实数a 的最大值为．答案 2解 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2， 又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.(3)(2019·九江调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是． 答案 (－∞，－2)解 由题意知f (x )在R 上是增函数，结合f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，知－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立，∴mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒ m ∈(－∞，－2)．素养提升逻辑推理是指从一些事实命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的思维过程，逻辑推理也是我们解决数学问题最常用、最重要的手段．二次函数的恒成立问题的求解中处处渗透了逻辑推理，此类题目可帮助我们养成严谨、缜密的思维习惯.。

高一数学恒成立问题方法题型1. 证明：对于任意实数x，恒有x^2 ≥ 0。

证明方法：- 方法一：利用二次函数的性质。

二次函数的图像是一个开口朝上的抛物线，因此对于任意实数x，x^2 的值都大于等于0。

- 方法二：利用乘法的性质。

对于任意实数x，x^2 = x * x。

根据乘法的性质，两个非负数的乘积仍然是非负数，因此x^2 ≥ 0。

2. 证明：对于任意正实数a，b，恒有(a + b)^2 ≥ 4ab。

证明方法：- 方法一：利用二次函数的性质。

展开(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，根据二次函数的性质，二次项系数2是正数，因此(a + b)^2 ≥ a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab。

- 方法二：利用乘法的性质。

展开(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，根据乘法的性质，两个非负数的乘积仍然是非负数，因此2ab ≥ 0，所以(a + b)^2 ≥ a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab。

3. 证明：对于任意正实数a，b，恒有(a + b)^3 ≥ 8ab(a + b)。

证明方法：- 方法一：利用立方函数的性质。

展开(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，根据立方函数的性质，三次项系数3是正数，因此(a + b)^3 ≥ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ≥ 8ab(a + b)。

- 方法二：利用乘法的性质。

展开(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，根据乘法的性质，两个非负数的乘积仍然是非负数，因此3a^2b + 3ab^2 ≥ 0，所以(a + b)^3 ≥ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ≥8ab(a + b)。

以上是几个常见的高一数学恒成立问题的证明方法题型，希望对你有帮助！。

汤氏数学二次函数恒成立问题
首先，我们先来回顾一下什么是二次函数。

二次函数是指函数的形式
可以写成f(x) = ax^2 + bx + c的一类函数，其中a、b、c为实数且
a≠0。

二次函数是代数学中最常见的一种函数类型，其在不同的学科领域
具有广泛的应用，如物理、工程、经济等。

接下来，我们考虑一个问题：在何种情况下，一个二次函数恒成立？
也就是说，对于任意的x，函数f(x) = ax^2 + bx + c的值都相等。

为了解决这个问题，我们需要考虑二次函数图像的性质。

首先，二次
函数的图像是一个抛物线。

具体而言，当a>0时，抛物线开口向上；当
a<0时，抛物线开口向下。

而且，抛物线的开口方向是唯一确定的，所以
我们只需要考虑a的取值即可。

情况1：当a ≠ 0时，函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像是一个抛
物线。

对于一个抛物线来说，它的值是有上限或下限的，即存在一个最大
值或最小值。

因此，这种情况下二次函数不能恒成立。

情况2：当a = 0时，二次函数退化为一次函数f(x) = bx + c。

在
这种情况下，我们可以看出，对于任意的b和c，函数f(x)都是恒成立的。

因为一次函数的图像是一条直线，不管x取什么值，直线的斜率和截距都
是固定的。

综上所述，只有当二次函数退化为一次函数时，它才能恒成立。

在一
般情况下，二次函数是不能恒成立的。

值得注意的是，在具体问题中，我们还可以通过其他方式来得到题目
中二次函数恒成立的特殊条件。

ʏ谭先美数学中的恒成立问题,在近几年的高考试题中频频出现,几乎覆盖了函数㊁不等式㊁三角函数㊁数列㊁几何等高中数学的所有知识点,涉及一些重要的数学思想方法㊂这类问题具有许多特殊性,解题时应根据题目的实际情况,寻求合理有效的求解方法㊂一㊁在R 上的恒成立问题例1 设集合P ={m |-1<m <0},Q ={m ɪR |m x 2+4m x -4<0对任意实数x 恒成立},则下列关系式中成立的是( )㊂A .P ⊆Q B .Q ⊆PC .P =QD .P ɘQ =⌀解:对于集合Q ,当m =0时,-4<0对任意实数x ɪR 恒成立;当m ʂ0时,由m x 2+4m x -4<0对任意实数x ɪR 恒成立,可得m <0,Δ=16m 2+16m <0,{解得-1<m <0㊂综上可得Q ={m |-1<m ɤ0},所以P ⊆Q ㊂应选A ㊂评注:一元二次不等式a x 2+b x +c >0(或ȡ0)对于一切x ɪR 恒成立的条件是a >0,Δ=b 2-4a c <0(或ɤ0)㊂{一元二次不等式a x 2+b x +c <0(或ɤ0)对于一切x ɪR 恒成立的条件是a <0,Δ=b 2-4a c <0(或ɤ0)㊂{二㊁在给定区间上的恒成立问题例2 设函数f (x )=m x 2-m x -1,若对于x ɪ[1,3],f (x )<-m +5恒成立,则实数m 的取值范围为㊂解:要使f (x )<-m +5在x ɪ[1,3]上恒成立,即m x 2-m x -1<-m +5在x ɪ[1,3]上恒成立,也即m x -12()2+34m -6<0在x ɪ[1,3]上恒成立㊂令g (x )=m x -12()2+34m -6,x ɪ[1,3]㊂当m >0时,g (x )在[1,3]上是增函数,所以g (x )m a x =g (3)=7m -6<0,所以m <67,可得0<m <67;当m =0时,-6<0恒成立;当m <0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )m a x =g (1)=m -6<0,所以m <6,可得m <0㊂综上所述,实数m 的取值范围是m m <67{}㊂评注:当x ɪ[m ,n ],f (x )=a x 2+b x +c ȡ0恒成立,结合函数的图像,只需f (x )m i n ȡ0即可;当x ɪ[m ,n ],f (x )=a x 2+b x +c ɤ0恒成立,只需f (x )m a x ɤ0即可㊂三㊁给定参数范围的恒成立问题例3 若|a |ɤ1,则不等式x 2+(a -6)x +9-3a >0恒成立的x 取值范围为㊂解:将原不等式化为关于a 的不等式,即(x -3)a +x 2-6x +9>0㊂令f (a )=(x -3)a +x 2-6x +9,则f (a )>0在|a |ɤ1时恒成立㊂当x =3时,则f (a )=0,不合题意,舍去;当x ʂ3时,由一次函数的单调性,可得f (-1)>0,f (1)>0,{即x 2-7x +12>0,x 2-5x +6>0,{解得x <2或x >4㊂故所求实数x 的取值范围为(-ɕ,2)ɣ(4,+ɕ)㊂评注:解答给定参数范围的恒成立问题的关键是要注意变换主元㊂一般地,将所求参数设为主元,再利用已知参数的范围求解㊂作者单位:重庆市巫山中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。