2013第4章刚体力学

xC
rC
r dm m

r dv

dv
yC
• 注意质心位置的计算
zC
xdm xdv m dv ydm ydv m dv zdm zdv m dv
8
• 说明： ① 刚体的质心相对于刚体，位置不变。只 与刚体的形状、大小、质量分布有关。 ② 质量均匀分布的对称形状的刚体，其质 心在几何中心。 ③ 不太大的物体，质心与重心重合。 ④ 质心可能不在刚体上。
• 与牛二定律的形式比较 • 质点所受的力矩等于它的角动量对时间的变化率 —质点角动量定理。(也适合于对点的角动量) • 显然，如果 0 则 l 是一常量。即如果质点所 受的力矩等于零，则角动量保持不变。 —质点的角动量守恒定律。(也适合于对点的角动量)
18
dl dt
13
•
2、如果 F 不在xy平面内，可将其分解为两个
分量，一个平行于转动轴线，另一个在垂直于 转轴的平面xy 内。平行转轴的分量对转动不起 作用，也就是对力矩没有贡献，xy平面内的分 量就是刚才讨论的 F
r Fxy

力矩单位：牛顿· 米，与功的量纲相同。 但不能写成焦耳，它们是完全不同的物理量， 力矩是矢量，功是标量。
2

m iai i
m
10
maC

• 刚体质心的运动等同于全部质量集中于质心， 所受合外力全部作用于质心的质点运动。 • 注意：质心运动定律描述的只是质心运动，并 不是刚体运动的全部。也就是说，描述的只是 刚体上一个特殊点的运动。 • 刚体动量：
dri miv i m i dt i i d drC m ( m ivri / m ) m mv C dt i dt
m
重物：mg-T=ma ——(1)
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• 滑轮的合外力矩：
RT
1 m R2 — —（2） 2 由与a的关系：a R — —（ ） 3 RT 由（ ）（2）消去t , 结合（ ）得到： 1 3 mg R( M m) 2 a mg M 2 m
注意：1）刚体合力矩为各力的力矩的矢量和 2）不要忘了考虑重力产生的力矩
i i
即：刚体所受的合外力矩等于刚 体的角动量对时间的变化率。
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注意：计算刚体合外力矩时，必须先计算每个外 力的力矩，然后进行矢量合成，不能先计算合 外力，再计算合外力的力矩。
我们知道，质点的角动量与质点绕定轴的转动状 态有关：
l r P r mv
那么刚体的角动量必然与刚体的转动状态有关， 而描述刚体转动状态最简单的方法是用角速度来 描述，因为各点的角速度相等，故我们设法将 L 与角速度 联系起来。
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§6.转动惯量的计算
• 对于质量连续分布的刚体：
I r dm
2
• 实际上，除了简单的几何形状物体外，这样的 积分是不易计算的。 • 强调：r是质元dm到转轴的距离，所以同一刚 体，对于不同的转轴其转动惯量不同。故提到 转动惯量，一定指出是对于哪一转轴的转动惯 量。
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一、举例： 例2： 半径为R，质量为m的均匀物体，求其对任一直 径轴线的转动惯量。
14
二、质点的角动量 • 1、假定质点A在xy平面上运动，其动量为P • 定义：质点绕轴线OZ的角动量为：
l r P mr v
z
• 角动量也叫动量矩。 x • 角动量是一矢量，方向由 r 和 P 的矢量积决定，平行于转轴。 大小为：
o
A
r

P
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刚体的角动量： li mi ri 2 mi ri 2 L
• 这里的 ri 可认为是质点i到轴线的垂直距离。
i
i
i
• 则 L I
令I mi ri
i
2
• I叫做刚体的转动惯量，是标量。SI单位： 千克· 2 米 • 与刚体的运动状态无关，是刚体本身的属性，是 刚体转动惯性的量度。与刚体的几何形状、质量 分布、转动轴线位置有关。
x
r r A
F
F
y
12
• 是一矢量，其方向遵守矢量积规定，平行于
OZ轴。其大小：
rF sin rF (r sin )F rF r 为矢径 r 在垂直于 F 方向上的分量——力
矩的臂，即力臂。
•
F 为 F
在垂直于r 方向的分量。
r dm
2
L I ——刚体绕定轴转动的转动定律
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• 即刚体所受的合外力矩等于刚体转动惯量与角 加速度的乘积。（与牛二定律相当） 例1：一圆柱形滑轮，可在一通过质心的水平 I 1 MR2 一质量m 轴上自由转动，转动惯量为 2 的物体挂在细线上，细线绕在轮上，求重物m 的加速度及滑轮转动的角加速度。 解：因轴线过质心，故滑轮 M 重力和轴对其支持力的 力矩为零。 R 设线上的张力为T，则
假定 F 和 P 都在 xy 平面内（如不在，只考虑
二者在xy平面内的分量）
力矩： l r F 角动量： l r P
由牛二定律知：
dP F dt


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dr dl dr dP d r ( r P) ( P) ( P ) dt dt dt dt dt dr 而 P v P mv v 0 dt
9
二、质心定理 对于平动：
mi a F i即F ma i i 对于复杂的运动： m iai F
rC
2

m i ri i
m

i
d rC 2 dt F 即aC 即即F m

i
d ri m i dt 2 m
对刚体上任一点A，作 OA y OA——A点的半径 r OA绕过的角度 叫刚体的角位移。
因为刚体没有形变，故在同一时间内，各点角 位移大小相等，且有相同的角速度 及角加 速度 ，但各点到轴线距离不同，故线速度、 线加速度各不同。因此，描述刚体转动时，多 采用角量。 自由度:确定一个刚体的位置所需的独立坐标数 称为这个刚体的自由度，一般有6个。
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I mi ri
i
2
适合于质量离散分布的情况
• 对刚体（质量连续分布），可表示： I
对整个刚体积分，r表示质元到轴线的距离。 • 由 L I 看出： 刚体绕定轴转动的角动量等于刚体的转动惯量与角 速度的乘积。 d d dL ( I ) I I dt dt dt
四、刚体绕固定轴的转动
因刚体中各质点的相对位置不变，也就是各质点是 刚性连接的。那么作用于各质点上的外力矩就可看 做是作用于整个刚体的。 • 那么刚体所受的总力矩就是各质点所受外力矩的矢 量和。 • 即 i外 ri Fi 内力产生的力矩互相抵消。
i i
• 另一方面：刚体总的角动量应等于各质点角动量的 矢量和。
• 即 L li
i
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dli 而于每一个质点有： i内 i外 dt ( i内 i外 ) i外 dL dli d ( ) li dt dt i dt i dL ——刚体的角动量定理 dt
5
§3.刚体平动的动力学
刚体可看做质点组，或分成很多小的质量单元。 • 而对于平动，由于无形变，每个质点具有相同的 加速度，由牛二定律可知：
mia F i 'fij
j



对于整个刚体各单元的动力学方程求和：
mia i
ma F



Fi i


'fij i j
6

R2 z2
这时dm上各点的 r相等。
2 [
R
0
r dr]dz
R2 z2 0
3

R2 z2
0
1 4 r dr r 4
3
1 ( R 2 z 2 )2 4
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R R 1 1 2 2 2 I ( R z ) dz ( R 4 2 R 2 z 2 z 4 )dz R R 2 2 1 1 5 R 4 2 3 [ R z 2 R z z ] R 2 5 1 4 5 2 5 5 (2 R R R ) 2 3 5 8 R 5 15 4 3 而m R 3 2 2 I mR 30 5
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• 对第i个质点：li ri P ri mi vi i
而 vi i ri li mi ri (i ri )
这里 ri 是质点相对于轴线的矢径，不是相对 于质点的矢径 z i ri 且ri vi i ri y o li的大小：li mi ri 2 x ri vi A 其方向同 2 故li mi ri
3
§2.刚体运动学
刚体运动 = 平动 + 转动 一、平动 刚体中任一直线在各时刻的位置始终保持彼此平 行的运动叫平动。 平动的刚体各点的运动规律相同，所以刚体平动 可看做是质点运动。所有关于质点运动学及动力 学规律是适用的。 A 二、刚体绕固定轴的转动 r 刚体上的每一点都绕一直线在垂直 于直线的平面内作圆周运动——刚体绕 4 固定轴的转动。
y
l rP sin
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• 2、如果质点运动不足xy平面上，则可将 P 分解为
两个分量：一个平行于z轴，对角动量无贡献，另 一个在xy平面上，就是前面讨论的 P （xy平面内）