不等关系与不等式作业

不等关系与不等式【提出新问】怎样比较两个实数的大小？理论依据：如果b a -是正数，则b a >，如果b a -是负数，则b a <，如果b a -是零，则b a = 反之也对例1．比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小 练习：（1）比较2)6()7)(5(+++x x x 与 的大小；（2）如果0x >,比较22)1()1(+-x x 与 的大小说明： 1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；不等式的性质思路1：(可选)性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性） 性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 性质5：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则） 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则） 性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < （乘法单调性）性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）推论1’（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么dbc a >（相除法则） 性质7 如果0>>b a , 那么nn b a > )1(>∈n N n 且性质8：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且 证：（反证法）假设n n b a ≤则：若ba b a ba b a nnn n=⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴n n b a >二、不等式的运算性质：1．不等式的加法运算性质：①c b c a b a +>+⇔> )(R c ∈ ②d b c a d c b a +>+⇒>>, （3）]4,2(-∈a ，]4,2[∈b ，求b a +，b a -2的范围。

第六篇不等式（必修5）第1节不等关系与不等式课时训练练题感提知能【选题明细表】一、选择题1.(2013四川遂宁模拟)如果a>b,则下列各式正确的是( D )(A)a·lg x>b·lg x (B)ax2>bx2(C)a2>b2 (D)a·2x>b·2x解析:∵a>b,2x>0,∴a·2x>b·2x.故选D.2.(2014华中师大一附中模拟)若a、b为实数,则“0<ab<1”是“b<”的( D )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若0<ab<1,当a<0时,b>,反之,若b<,当a<0时,ab>1.故选D.3.(2013成都外国语学校高三月考)把下列各题中的“=”全部改成“<”,结论仍然成立的是( D )(A)如果a=b,c=d,那么a-c=b-d(B)如果a=b,c=d,那么ac=bd(C)如果a=b,c=d,且cd≠0,那么=(D)如果a=b,那么a3=b3解析:a<b⇒a3<b3,选项D正确,故选D.4.(2013潍坊模拟)若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是( B )(A)(-,) (B)(-,0)(C)(0,) (D)(-,0)解析:∵-<α<β<π,∴-<α<π,-π<-β<,∴-<α-β<,又α-β<0,∴-<α-β<0.故选B.5.若a<b<0,则以下结论正确的是( C )(A)a2<ab<b2(B)a2<b2<ab(C)a2>ab>b2(D)a2>b2>ab解析:法一由a<b<0得即所以a2>ab>b2.故选C.法二由a<b<0得a-b<0,则a2-ab=a(a-b)>0,即a2>ab,ab-b2=b(a-b)>0,即ab>b2,因此a2>ab>b2.故选C.6.(2014四川雅安模拟)如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( C )(A)ab>ac (B)c(b-a)>0(C)cb2<ab2(D)ac(a-c)<0解析:由条件知a>0,c<0,则选项A、B、D一定正确,当b=0时,选项C 不正确.故选C.7.(2013浙江龙泉市模拟)如果a<b<0,那么,下列不等式中正确的是( D )(A)< (B)a2<b2(C)>(D)<解析:法一由a<b<0,所以>0,a<b两边同乘以得:<,故选项A错;由a<b<0,得-a>-b>0,两边平方得:a2>b2,故选项B错;由a<b<0,得a-b<0,所以a(a-b)>0,若>成立,则>成立,即a>a-b成立,也就是b>0成立,与已知矛盾,故选项C错;由a<b<0得<<0,所以->->0,则=(-)2<(-)2=,故选项D正确.法二∵a<b<0,故可取a=-3,b=-2,∴=->-=,故选项A错;a2=9,b2=4,∴a2>b2,故选项B错;a-b=-1,∴=-1<-=,故选项C错;=,=,∴<,故选项D正确.故选D. 8.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则( D )(A)c>b>a (B)b>c>a(C)a>c>b (D)a>b>c解析:∵1<log23<log25<log27,∴>>>0,即log32>log52>log72,a=log3(3×2)=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,∴a>b>c.故选D.二、填空题9.已知a+b>0,则+与+的大小关系是.解析:+-=+=(a-b)=.∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0.∴+≥+.答案:+≥+10.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是. 解析:∵ab2>a>ab,∴a≠0,当a>0时,b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,b2<1<b,即无解.综上可得b<-1.答案:(-∞,-1)11.(2013四川绵阳模拟)现给出三个不等式:①a2+1>2a;②a2+b2>2(a-b-);③+>+.其中恒成立的不等式共有个.解析:①∵a2+1-2a=(a-1)2≥0,故①不恒成立;②∵a2+b2-2a+2b+3=(a-1)2+(b+1)2+1>0,∴a2+b2>2(a-b-)恒成立.③∵(+)2=17+2,(+)2=17+2,又∵>,∴17+2>17+2,∴+>+,成立.答案:212.如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a,b(a≠b)的不等式表示为.解析:图(1)所示广告牌的面积为(a2+b2),图(2)所示广告牌的面积为ab,显然图(1)的面积大于图(2)的面积,故用不等式表示为(a2+b2)>ab(a≠b).答案:(a2+b2)>ab(a≠b)13.(2013南京一模)给出下列四个命题:①若a>b>0,则>;②若a>b>0,则a->b-;③若a>b>0,则>;④设a,b是互不相等的正数,则|a-b|+≥2.其中正确命题的序号是(把你认为正确命题的序号都填上).解析:①作差可得-=,而a>b>0,则<0,①是假命题;②a>b>0,则<,进而可得->-,所以可得a->b-,②是真命题;③-===<0,③是假命题;④当a-b<0时不成立,④是假命题.答案:②三、解答题14.已知某学生共有10元钱,打算购买单价分别为0.6元和 0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7枝,练习本至少买6本.写出满足条件的不等式.解:设铅笔买x枝,练习本买y本(x,y∈N*),总钱数为0.6x+0.7y,且不大于10,∴15.若α,β满足试求α+3β的取值范围.解:设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.由解得∴α+3β=-(α+β)+2(α+2β),∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,∴两式相加,得1≤α+3β≤7.16.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.解:设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,则y1=x+x·(n-1)=x+xn,y2=nx.所以y1-y2=x+xn-nx=x-nx=x.当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当n<5时,y1>y2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,甲车队更优惠;少于5人时,乙车队更优惠.。

课时提升作业(三十二)不等关系与不等式一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·成都模拟)已知a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式一定成立的是( )A.a2<b2B.ab2>a2bC.<D.<【解析】选C.若a<b<0,则a2>b2,故A错;若0<a<b,则>,故D错;若ab<0,即a<0,b>0,则a2b>ab2,故B错.2.(2015·嘉兴模拟)设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )A.M>NB.M=NC.M<ND.与x有关【解析】选A.M-N=x2+x+1=+>0,所以M>N.3.(2015·广东实验中学模拟)已知0<a<b<1,则( )A.>B.<C.<D.>【解题提示】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出.【解析】选D.因为0<a<b<1,所以-=<0,可得<;>;(lga)2>(lgb)2;lga<lgb<0,可得>.综上可知,只有D正确.【加固训练】(2015·富阳模拟)如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( )A.ab>acB.bc>acC.cb2<ab2D.ac(a-c)<0【解析】选C.因为c<b<a,且ac<0,所以a>0,c<0.所以ab-ac=a(b-c)>0,bc-ac=(b-a)c>0,ac(a-c)<0,所以A,B,D均正确.因为b可能等于0,也可能不等于0.所以cb2<ab2不一定成立.4.某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,则买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为( )A. B.C. D.0.8×5x+2×4y≤50【解析】选A.根据题意直接列出相应的不等式,组成不等式组即可.5.若a>b>c,a+b+c=0,下列不等式恒成立的是( )A.ac>bcB.ab>acC.a|b|>c|b|D.a2>b2>c2【解析】选B.由a>b>c,a+b+c=0,得a>0,c<0,因为b>c,所以ab>ac.6.若-<α<β<,则α-β一定不属于的区间是( )A.(-π,π)B.C.(0,π)D.(-π,0)【解题提示】由-<α<β<可得-<-β<,从而有-π<α-β<0.【解析】选C.因为-<α<β<,所以-<-β<,所以-π<α-β<0,结合选项可知选项C一定不可能,故选C.7.(2015·上海模拟)若a,b为实数,则a>b>0是“a2>b2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件【解题提示】当a,b>0时,由题意解出a2>b2为a>b或a<-b,然后再判断命题的关系.【解析】选A.若a>0,b>0,因为a2>b2,所以a2-b2>0,所以a>b或a<-b,所以a>b>0⇒a2>b2,反之则不成立,所以a>b>0是a2>b2的充分不必要条件,故选A.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·北京模拟)已知a+b>0,则+与+的大小关系是.【解析】+-=+=(a-b)=.因为a+b>0,(a-b)2≥0,所以≥0,所以+≥+.答案:+≥+9.(2015·临沂模拟)用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于216m2,靠墙的一边长为xm,其中的不等关系可用不等式(组)表示为. 【解析】矩形的另一边长为(30-x)=15-x,矩形面积为x且0<x<18,则不等式组为答案:10.已知f(x)=ax2+b,若1≤f(1)≤2,2≤f(2)≤3,则f(3)的范围为.【解析】令f(3)=9a+b=m(a+b)+n(4a+b)=(m+4n)a+(m+n)b,则解得即f(3)=-(a+b)+(4a+b).因为1≤a+b≤2,2≤4a+b≤3,所以2≤f(3)≤,即f(3)的范围是.答案:【一题多解】本题还可有以下解法:巧妙换元:令a+b=x,4a+b=y,则a=,b=,1≤x≤2,2≤y≤3.因为f(3)=9a+b=,6≤8y-5x≤19,所以2≤f(3)≤,即f(3)的范围是.【加固训练】(2015·盐城模拟)若-1<a+b<3,2<a-b<4,则2a+3b的取值范围为.【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则解得又因为-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1,所以-<(a+b)-(a-b)<,即-<2a+3b<答案:(20分钟40分)1.(5分)(2015·资阳模拟)已知a,b为实数,则“a>b>1”是“<”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a>b>1⇒a-1>b-1>0⇒<,当a=0,b=2时,<,但a>b>1不成立,所以< a>b>1,故选A.2.(5分)(2015·烟台模拟)已知-1<a<0,A=1+a2,B=1-a2,C=,比较A,B,C的大小结果为( )A.A<B<CB.B<A<CC.A<C<BD.B<C<A【解析】选B.方法一:不妨设a=-,则A=,B=,C=2,由此得B<A<C,选B.方法二:由-1<a<0得1+a>0,A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0得A>B,C-A=-(1+a2)=-=->0,得C>A,所以B<A<C.3.(5分)(2015·遵义模拟)已知下列结论:①若a>|b|,则a2>b2;②若a>b,则<;③若a>b,则a3>b3;④若a<0,-1<b<0,则ab2>a.其中正确的是(只填序号即可).【解析】对于①,因为a>|b|≥0,所以a2>b2,即①正确;对于②,当a=2,b=-1时,显然不正确;对于③,显然正确;对于④,因为a<0,-1<b<0,ab2-a=a(b2-1)>0,所以ab2>a,即④正确.答案:①③④4.(12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0,且a>b>c,求的取值范围.【解题提示】用a+c把b表示出来代入a>b>c,利用放缩法求解.【解析】因为f(1)=0,所以a+b+c=0,所以b=-(a+c).又a>b>c,所以a>-(a+c)>c,且a>0,c<0,所以1>->,即1>-1->,所以解得-2<<-.5.(13分)(能力挑战题)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”,乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠”.这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.【解析】设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,则y1=x+x·(n-1)=x+nx,y2=nx.因为y1-y2=x+nx-nx=x-nx=x,当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当n<5时,y1>y2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.。

不等关系与不等式班级___________ 姓名_____________ 学号__________层级一 学业水平达标1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤4002．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜03．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，56π B.⎝⎛⎭⎫－π6，56π C.()0，πD.⎝⎛⎭⎫－π6，π 5．已知M ＝2x ＋1，N ＝11＋x 2，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M >N B ．M <N C ．M ＝ND ．不确定6．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的x 辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．则题目中所包含的不等关系为________．7．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4.8．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．9．(1)若a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ； (2)已知a ＞b ，1a ＜1b ，求证：ab ＞0.层级二 应试能力达标1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2>2xy －1 B ．x 2＋y 2＝2xy －1 C ．x 2＋y 2<2xy －1D ．x 2＋y 2≤2xy －12．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．M ≥N3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<14．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x ，y ，z ，则下列选项中能反映x ，y ，z 关系的是( )A ．x ＋y ＋z ＝65B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >y >z ，x ，y ，z ∈N *C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >z >0，y >z >0，x ，y ，z ∈N*D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x <65，y <65，z <65，x ，y ，z ∈N*5．已知|a |＜1，则11＋a与1－a 的大小关系为________． 6．设a ，b 为正实数，有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)． 7．比较a 2＋b 2与2(2a －b )－5的大小；答案解析1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤400解析：选B x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400. 2．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0， 又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.3．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bd D ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，56π B.⎝⎛⎭⎫－π6，56π C.()0，πD.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D 0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π.5．已知M ＝2x ＋1，N ＝11＋x 2，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M >N B ．M <N C ．M ＝ND ．不确定 解析：选A ∵2x >0，∴M ＝2x ＋1>1，而x 2＋1≥1， ∴11＋x 2≤1，∴M >N ，故选A. 6．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的x 辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．则题目中所包含的不等关系为________．解析：根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30(x －1)<213，30x >213.答案：⎩⎪⎨⎪⎧30(x －1)<213，30x >2137．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4. 解析：a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4] ＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0， 故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4. 答案：＞8．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．解析：∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z 的取值范围是[3,8]． 答案：[3,8]9．(1)若a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b ，求证：ab ＞0. 证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab ， ∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0， ∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，故b a ＜ab .(2)∵1a ＜1b ，∴1a －1b＜0，即b －aab ＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.层级二 应试能力达标1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2>2xy －1 B ．x 2＋y 2＝2xy －1 C ．x 2＋y 2<2xy －1D ．x 2＋y 2≤2xy －1解析：选A 因为x 2＋y 2－(2xy －1)＝x 2－2xy ＋y 2＋1＝(x －y )2＋1>0，所以x 2＋y 2>2xy－1，故选A.2．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．M ≥N解析：选B ∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选B.3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：选A 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.4．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x ，y ，z ，则下列选项中能反映x ，y ，z 关系的是( )A ．x ＋y ＋z ＝65B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >y >z ，x ，y ，z ∈N *C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >z >0，y >z >0，x ，y ，z ∈N*D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x <65，y <65，z <65，x ，y ，z ∈N*解析：选C 由题意得x ＋y ＋z ＝65，x >z >0，y >z >0，x ，y ，z ∈N *.故选C. 5．已知|a |＜1，则11＋a与1－a 的大小关系为________． 解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1. ∴1＋a ＞0,1－a ＞0. 即11＋a 1－a ＝11－a 2∵0＜1－a 2≤1，∴11－a 2≥1，∴11＋a≥1－a . 答案：11＋a≥1－a 6．设a ，b 为正实数，有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．解析：对于①，由题意a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b ⇒a －b >0⇒a >b >0，故a ＋b >a －b >0.若a －b ≥1，则1a ＋b ≥1⇒a ＋b ≤1≤a －b ，这与a ＋b >a －b >0矛盾，故a－b <1成立．对于②，取特殊值，a ＝3，b ＝34，则a －b >1.对于③，取特殊值，a ＝9，b ＝4时，|a －b |>1. 对于④，∵|a 3－b 3|＝1，a >0，b >0， ∴a ≠b ，不妨设a >b >0. ∴a 2＋ab ＋b 2>a 2－2ab ＋b 2>0， ∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>(a －b )(a －b )2. 即a 3－b 3>(a －b )3>0， ∴1＝|a 3－b 3|>(a －b )3>0， ∴0<a －b <1， 即|a －b |<1.因此正确． 答案：①④7．(1)比较a 2＋b 2与2(2a －b )－5的大小； (2)已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：a a b b ≥(ab )2+a b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．解：(1)∵a 2＋b 2－[2(2a －b )－5]＝(a －2)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥2(2a －b )－5，当且仅当a ＝2，b ＝－1时，等号成立．。

不等式性质练习一、选择题1、与a b >等价的不等式是 （ ）A 、a b >B 、1a b> C 、lg lg a b > D 、22a b > 2、已知()f x 是R 上的增函数，且0a b +>，则 （ ）A 、()()()()f a f b f a f b +>-+-B 、()()()()f a f b f a f b +<-+-C 、()()()()f a f a f b f b -+>-+D 、()()()()f a f a f b f b -+<-+3、若,x y m n >>，则下列不等式正确的是 （ ）A 、x m y n ->-B 、mx ny >C 、x y n m> D 、m y n x ->- 4、若0,0n m ><且0m n +<，则下列不等式成立的是 （ ）A 、n m n m -<<<-B 、n m m n -<<-<C 、m n n m <-<<-D 、m n m n <-<-<5、若0,10a b <-<<，则2,,a ab ab 之间的大小关系是 （ ）A 、2a ab ab >>B 、2ab ab a >>C 、2ab a ab >>D 、2ab ab a >>二、填空题6、用不等号“,><”填空（1）、,a b c d a c b d ><⇒--（2）、0,0a b c d a c b d >><<⇒（3）、0a b >>⇒ （4）、22110a b a b >>⇒ 7、在等比数列{}n a 和等差数列{}n b 中，1133130,0,a b a b a a =>=>≠，则55a b 与的大小关系是 。

§7.1 不等关系与不等式题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ )(2)若a b>1，则a >b .( × ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × )(4)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.( √ ) (5)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( √ ) 题组二 教材改编2．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b 解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12， a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0，∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 题组三 易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a c －b d >0B.a c －b d <0C.a d >b cD.a d <b c答案 D解析 ∵c <d <0，∴0<－d <－c ，又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ，又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >a d. 5．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________． 答案 (－π，0)解析 由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β， 得－π<α－β<0.题型一 比较两个数(式)的大小1．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是() A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >a D ．a >c >b答案 A解析 ∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b .又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .2．若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 B解析 方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln x x ，y ′＝1－ln xx 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．题型二 不等式的性质典例 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )<0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0.由b >c ，得ab >ac 一定成立．(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③答案 D解析 由不等式性质及a >b >1，知1a <1b， 又c <0，∴c a >c b，①正确； 构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是单调递减的，又a >b >1，∴a c <b c ，②正确；∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练 若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2. 其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④答案 C解析 方法一 因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2. 显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误．综上所述，可排除A ，B ，D.方法二 由1a <1b<0，可知b <a <0. ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b<0，1ab >0. 故有1a ＋b <1ab，即①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b>0， 所以a －1a >b －1b，故③正确； ④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立典例 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ； ④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数，∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ，∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．故选A.方法二 令a ＝3，b ＝2，可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A. 命题点2 求代数式的取值范围典例 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．②在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．跟踪训练 (1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a －b >1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n 答案 C解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C.(2)已知－1<x <y <3，则x －y 的取值范围是________．答案 (－4,0)解析 ∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4.又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0)．利用不等式变形求范围典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 错解展示：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，①2≤a ＋b ≤4. ② ①＋②得32≤a ≤3，②－①得12≤b ≤1. 由此得4≤f (－2)＝4a －2b ≤11.所以f (－2)的取值范围是[4,11]．错误答案 [4,11]现场纠错解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， 得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5， 当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10.答案 [5,10]纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．1．(2018·济宁模拟)若a<0，ay>0，且x＋y>0，则x与y之间的不等关系是()A．x＝y B．x>y C．x<y D．x≥y答案B解析由a<0，ay>0，可知y<0，又由x＋y>0，可知x>0，所以x>y.2．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是()A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(x) C．f(x)<g(x) D．随x值的变化而变化答案B解析f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，则f(x)>g(x)．3．若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( )A ．a －b >0B ．a 3＋b 3>0C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b <0答案 D解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |，当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．故选D.4．(2018·乐山调研)若6<a <10，a 2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( ) A ．9≤c ≤18 B ．15<c <30 C ．9≤c ≤30 D ．9<c <30答案 D解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a 2， ∴9<3a 2≤a ＋b ≤3a <30. 5．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π) D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析 令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3.A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14；B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.7．(2018·济南调研)若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.8．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__________________． 答案 a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －db >0；②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0.其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0， ∴c a －d b ＝bc －adab >0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．10．(2018·青岛调研)设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接) 答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x . 同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20， z ＝26，故z >y >x .11．已知－1<x ＋y <4,2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－32，232 解析 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232.12．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( ) A ．x >2且y >2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2 D ．x >2且0<y <2 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2.13．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________． 答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2. 符合题设条件x >y ，a >b .∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5. ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③不成立． ∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝bx ，因此⑤不成立． 由不等式的性质可推出②④成立．14．(2018·江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4答案 A解析 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p q ≤2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2， 所以p ＋q ≤4.15．(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3) 答案 B解析 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a，∴⎩⎨⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加，得0<2×ca <4，∴ca的取值范围为(0,2)． 16.(2018·天一测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则a b 的取值范围是________.解析：依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab <24.17.已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A.log 2a >0 B.2a －b <12 C.log 2a ＋log 2b <－2 D.2a b ＋b a <12解析 由题意知0<a <1，此时log 2a <0，A 错误；由已知得0<a <1，0<b <1，所以－1<－b <0，又a <b ，所以－1<a －b <0，所以12<2a －b <1，B 错误；因为0<a <b ，所以a b ＋b a >2a b ·b a ＝2，所以2a b ＋b a >22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，得ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2，C 正确. 答案 C18.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 因为f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎨⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2). 答案 A19.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x .若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围. 解析： 因为函数f (x )是偶函数，故函数图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增. 所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立， 从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立， 化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立， 设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎨⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.。

活页作业(三) 绝对值不等式的解法一、选择题1．如果1x ＜2和|x |＞13同时成立，那么实数x 的取值范围是( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13＜x ＜12B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜－13C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－13，或x ＞13解析：解不等式1x ＜2，得x ＜0或x ＞12.解不等式|x |＞13，得x ＞13或x ＜－13.∴实数x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜－13.答案：B2．不等式2＜|2x ＋3|≤4的解集为( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72＜x ＜－52或－12＜x ≤12B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72＜x ＜－52或－12＜x ＜12C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72≤x ＜－52或－12＜x ≤12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72≤x ≤－52或－12＜x ≤12解析：由2＜|2x ＋3|≤4，可得2＜2x ＋3≤4或 －4≤2x ＋3＜－2.解得－12＜x ≤12或－72≤x ＜－52.答案：C3．关于x 的不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax －1x ＞a 的解集为集合M ，且2∉M ，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析：因为2∉M ，所以2∈∁R M .所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即－a ≤2a －12≤a .解得a ≥14.答案：B4．不等式|3－x |＋|x ＋4|＞8的解集是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－92 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞72 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－92或x ＞72 D ．R解析：|3－x |＋|x ＋4|＞8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，3－x －x －4＞8或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜x ＜3，3－x ＋x ＋4＞8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x －3＋x ＋4＞8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，－1－2x ＞8或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜x ＜3，7＞8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，2x ＞7.∴x ＜－92或x ＞72.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－92或x ＞72.答案：C 二、填空题5．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13，则a ＝________. 解析：由原不等式的解集，可知－53，13为原不等式对应的方程|ax －2|＝3的根，即⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53a －2＝3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a －2＝3.解得a ＝－3. 答案：－36．已知函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，若f (x )≤5，则实数x 的取值范围是________. 解析：由已知，有|2x －1|＋x ＋3≤5，即|2x －1|≤2－x .所以x －2≤2x －1≤2－x ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≤2－x ，2x －1≥x －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≥－1.所以－1≤x ≤1.答案：[－1,1]三、解答题7．已知一次函数f (x )＝ax －2. (1)当a ＝3时，解不等式|f (x )|＜4； (2)解关于x 的不等式|f (x )|＜4；(3)若关于x 的不等式|f (x )|≤3对任意x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝3x －2，所以|f (x )|＜4⇔|3x －2|＜4⇔－4＜3x －2＜4⇔ －2＜3x ＜6⇔－23＜x ＜2.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23＜x ＜2. (2)|f (x )|＜4⇔|ax －2|＜4⇔－4＜ax －2＜4⇔－2＜ax ＜6.当a ＞0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2a ＜x ＜6a ； 当a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪6a ＜x ＜－2a . (3)|f (x )|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax －2≤3⇔－1≤ax ≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ax ≤5，ax ≥－1.因为x ∈[0,1]， 所以－1≤a ≤5.所以实数a 的取值范围为[－1,5]．8．已知对区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，54内的一切实数a ，满足关于x 的不等式|x －a |＜b 的x 也满足不等式|x －a 2|＜12，试求实数b 的取值范围．解：设A ＝{x ||x －a |＜b }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪|x －a 2|＜12， 则A ＝{x |a －b ＜x ＜a ＋b ，b ＞0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a 2－12＜x ＜a 2＋12. 由题意，知当0＜a ≤54时，A ⊆B ．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≥a 2－12，a ＋b ≤a 2＋12，0＜a ≤54.所以b ≤－a 2＋a ＋12且b ≤a 2－a ＋12.因为0＜a ≤54，所以－a 2＋a ＋12＝－a －122＋34∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，34，a 2－a ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1316.所以b ≤316且b ≤14.从而b ≤316.故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，316.一、选择题1．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3解析：由|x －a |＜1，得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2，得x ＜b －2或x ＞b ＋2. ∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2. ∴a －b ≥3或a －b ≤－3.∴|a －b |≥3. 答案：D2．若关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －4|≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－92 D ．(－∞，－5] 解析：设F (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4.如图所示，F (x )min ＝－32－3＝－92.故m ≤F (x )min ＝－92.答案：C二、填空题3．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则实数a 的取值范围是________.解析：∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14.根据绝对值的几何意义，知0≤a ≤14.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 4．若函数f (x )是R 上的减函数，且函数f (x )的图像经过点A (0,3)和B (3，－1)，则不等式|f (x ＋1)－1|＜2的解集是________.解析：∵|f (x ＋1)－1|＜2，∴－2＜f (x ＋1)－1＜2，即－1＜f (x ＋1)＜3.∴f (3)＜f (x ＋1)＜f (0)．∵函数f (x )在R 上是减函数， ∴0＜x ＋1＜3.解得－1＜x ＜2. 答案：{x |－1＜x ＜2} 三、解答题5．如图所示，点O 为数轴的原点，A ，B ，M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点．设x 表示点C 与原点的距离，y 表示点C 到点A 的距离的4倍与点C 到点B 的距离的6倍之和．(1)将y 表示为x 的函数；(2)要使y 的值不超过70，实数x 应该在什么范围内取值？ 解：(1)依题意，得y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x ≤30. (2)由题意，得x 满足⎩⎪⎨⎪⎧4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x ≤30.(*)当0≤x ≤10时，不等式组(*)化为 4(10－x )＋6(20－x )≤70，解得9≤x ≤10. 当10＜x ＜20时，不等式组(*)化为 4(x －10)＋6(20－x )≤70，解得10＜x ＜20. 当20≤x ≤30时，不等式组(*)化为 4(x －10)＋6(x －20)≤70，解得20≤x ≤23. 综上，实数x 的取值范围是[9,23]． 6．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：法一 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3. 解得a －3≤x ≤a ＋3.又关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5.解得a ＝2.(2)由(1)，得a ＝2，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x ＞2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上，函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．法二(1)同法一．(2)由(1)，得a＝2，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．。

2.1 等式性质与不等式性质第一课时 不等关系与不等式基础达标一、选择题1.下面能表示“a 与b 的和是非正数”的不等式为( ) A.a ＋b <0 B.a ＋b >0 C.a ＋b ≤0D.a ＋b ≥0解析 a 与b 的和是非正数，即a ＋b ≤0. 答案 C2.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T 满足关系为( ) A.T <40 B.T >40 C.T ≤40D.T ≥40解析 “限重40吨”用不等式表示为T ≤40. 答案 C3.设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M >N B.M ＝N C.M <ND.与x 有关解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴M >N .答案 A4.下列不等式，正确的个数为( )①x 2＋3>2x (x ∈R )；②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2；③a 2＋b 2≥2(a －b －1). A.0 B.1 C.2D.3解析 ①x 2＋3－2x ＝(x －1)2＋2>0，∴x 2＋3>2x ；②a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－ab (a ＋b )＝(a ＋b )(a 2－2ab ＋b 2)＝(a ＋b )(a －b )2，(a －b )2≥0，但a ＋b 的符号不能确定，∴②不一定正确；③a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1).故①③正确，选C. 答案 C5.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是( )A.h 2>h 1>h 4B.h 1>h 2>h 3C.h 3>h 2>h 4D.h 2>h 4>h 1解析 根据四个杯的形状分析易知h 2>h 1>h 4或h 2>h 3>h 4. 答案 A 二、填空题6.不等式a 2＋4≥4a 中，等号成立的条件为________. 解析 令a 2＋4＝4a ，则a 2－4a ＋4＝0，∴a ＝2. 答案 a ＝27.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则ab －a 2________b 2(填“<”，“>”，“＝”). 解析 两式作差得，ab －a 2－b 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22－34b 2<0，所以，ab －a 2<b 2.答案 <8.(多空题)一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为____________.解析 由题意知，汽车原来每天行驶x km ，8天内它的行程超过2 200 km ，则8(x ＋19)>2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km ，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即8xx －12>9.答案 8(x ＋19)>2 200 8xx －12>9 三、解答题9.一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来. 解 据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N ). 10.设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小. 解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号.能力提升11.已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M <N B.M >N C.M ＝ND.无法确定解析 ∵0<a 1<1，0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选B. 答案 B12.有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数. 解 设宿舍有x 间，则学生有(4x ＋19)人，依题意， ⎩⎨⎧4x ＋19<6x ，4x ＋19>6（x －1）.解得192<x <252. ∵x ∈N *，∴x ＝10，11或12.学生人数分别为59，63，67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.创新猜想13.(多选题)下列说法错误的是()A.某人月收入x元不高于2 000元可表示为“x<2 000”B.小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y”C.变量x不小于a可表示为“x≥a”D.变量y不超过a可表示为“y≥a”解析对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；对于B，x，y应满足x<y，故B错误；C正确；对于D，y和a的大小关系可表示为“y≤a”，故D错误.答案ABD14.(多空题)已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a ＝b＝________，取得最小值.解析根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立.答案2±1。

不等关系与不等式A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由同向不等式的可加性知“a >b 且c >d ”⇒“a ＋c >b ＋d ”，反之不对．2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 答案 D解析 ∵1a <1b<0，∴b <a <0. ∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y | 答案 C解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 4．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π) D ．(－π6，π)答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 5．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析 因为a >1，所以a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，又2a >a －1，所以由对数函数的单调性可知log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即m >p >n .6．已知a <0，－1<b <0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是__________．(用“>”连接) 答案 ab >ab 2>a解析 由－1<b <0，可得b <b 2<1.又a <0，∴ab >ab 2>a .7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确；∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．9．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a的大小． 解 ∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1， ∴当a >1时，a ＋2>31－a； 当a <1时，a ＋2<31－a. 10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a ，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.12．已知a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝512-，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“<”连接) 答案 c <a <b解析 a ＝log 32＝ln 2ln 3， ∵0<ln 2<1，ln 3>1，∴a <ln 2＝b ，即a <b ，a ＝1log 23，c ＝15， ∵0<log 23<2而5>2， ∴0<log 23<5，∴a >c ，∴c <a <b .13．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________． 答案 27 解析 由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y2≤81. 又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13， ∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y4＝27. ∴x 3y4的最大值是27. 14．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 C >A >B >D 解析 －12<a <0，不妨取a ＝－14， 这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45. 由此猜测：C >A >B >D .C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a [(a ＋12)2＋34]1＋a. ∵1＋a >0，－a >0，(a ＋12)2＋34>0，∴C >A .∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0，∴A >B .B －D ＝1－a 2－11－a ＝a (a 2－a －1)1－a ＝a [(a －12)2－54]1－a. ∵－12<a <0，∴1－a >0. 又∵(a －12)2－54<(－12－12)2－54<0， ∴B >D .综上所述，C >A >B >D .15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。

§3.1 不等关系与不等式1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是12厘米/秒，人跑开的速度是4米/秒，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x (厘米)应该满足的不等式为( )A ．4×2x ≥100B ．4×2x ≤100C ．4×2x >100D ．4×2x <100答案 C解析 当导火索的长度为x 厘米时，燃烧的时间为2x 秒，人跑开的距离为(4×2x )米，为了保证安全，有4×2x >100.2．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关 答案 A解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0. ∴M >N .3．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( )A ．x 2<ax <a 2B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<axD ．x 2>a 2>ax答案 B解析 ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax .又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2，∴x 2>ax >a 2.4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2 答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >c ，则ab >ac . 5．(多选)已知a <b <0，c <d <0，那么下列判断中正确的是( )A ．b －c >a －dB ．ac >bd C.a d <b cD ．ad >bc答案 AB解析 ∵a <b <0，c <d <0，∴0<－d <－c ，∴a －d <b －c ，故A 项正确；∵a <b <0，c <d <0，∴－a >－b >0，－c >－d >0，∴(－a )(－c )>(－b )(－d )，即ac >bd ，故B 项正确．6．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 答案 x 1＋x 2≤12 解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0. ∴x 1＋x 2≤12. 7．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：当b >a >0且m >0时，____________.答案 a ＋m b ＋m >a b解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．8．给出下列命题，其中正确的是________．(填序号)①若a >b ，则a 2>b 2；②若a －d >b －c ，则a >b ，c <d ；③若a ，b 为非零实数，且a <b ，则1ab 2<1a 2b ； ④若－2<a <3，则4<a 2<9； ⑤若a >b ，则1a ＋1<1b ＋1. 答案 ③⑤解析 ①错误，例如a ＝1，b ＝－3；②错误，例如a ＝1，b ＝3，c ＝2，d ＝－1；③正确，因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b；④错误，由－2<a <3应得0≤a 2<9；⑤正确，由于a >b ，所以a >b ≥0，于是a ＋1>b ＋1>0，故1a ＋1<1b ＋1. 9．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解 设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧ 40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.10．已知a >0，试比较a 与1a的大小． 解 因为a －1a ＝a 2－1a ＝(a －1)(a ＋1)a，a >0， 所以当a >1时，(a －1)(a ＋1)a >0，即a >1a； 当a ＝1时，(a －1)(a ＋1)a ＝0，即a ＝1a； 当0<a <1时，(a －1)(a ＋1)a <0，即a <1a. 综上所述，当a >1时，a >1a； 当a ＝1时，a ＝1a； 当0<a <1时，a <1a.11．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 答案 D解析 由a >b >1，得0<1a <1b ，又c <0，所以c a >c b，①正确；幂函数y ＝x c (c <0)在(0，＋∞)上是减函数，所以a c <b c ，②正确；因为a －c >b －c >0，且a ＞b ＞1，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．故①②③均正确．12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9 答案 C解析 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b －7＝0，4a －b －13＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11， 所以f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c .由0<f (－1)≤3，得0<－1＋6－11＋c ≤3，解得6<c ≤9.13．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( )A ．M <NB ．M ≤NC ．M >ND ．M ≥N答案 C解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即M >N ；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即M >N ；∴当a >0且a ≠1时，总有M >N .14．已知函数f (x )＝ax ＋b ,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－32，52 解析 由函数的解析式可知0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1，且2a －b ＝12(a ＋b )－32(－a ＋b )， 结合不等式的性质可得，2a －b ∈⎝⎛⎭⎫－32，52.15．若x >0，y >0，M ＝x ＋y 1＋x ＋y ，N ＝x 1＋x ＋y 1＋y ，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M ＝NB ．M <NC ．M ≤ND ．M >N答案 B解析 ∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＋1>1＋x >0,1＋x ＋y >1＋y >0，∴x 1＋x ＋y <x 1＋x ，y 1＋x ＋y <y 1＋y ， 故M ＝x ＋y 1＋x ＋y ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y 1＋y＝N ，即M <N . 16．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x >0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小． 解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4， (1)当0<x <1时，0<3x 4<34<1， 则log x 3x 4>0， ∴f (x )>g (x )；(2)当1<x <43时，34<3x 4<1，则log x 3x 4<0，∴f (x )<g (x )；(3)当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4＝0， ∴f (x )＝g (x )；(4)当x >43时，3x 4>1，则log x 3x 4>0， ∴f (x )>g (x )．综上所述，当1<x <43时，f (x )<g (x )； 当x ＝43时，f (x )＝g (x )； 当0<x <1，或x >43时，f (x )>g (x )．。

不等关系与不等式基础巩固一、选择题1．已知a 、b 、c 、d 均为实数，有下列命题 ①若ab ＜0，bc －ad ＞0，则c a －d b＞0； ②若ab ＞0，c a －d b＞0，则bc －ad ＞0； ③若bc －ad ＞0，c a －d b＞0，则ab ＞0. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] ①∵ab ＜0，∴1ab＜0，又∵bc －ad ＞0∴1ab ·(bc －ad )＜0即c a －db＜0，∴①错；②∵ab ＞0，c a －d b＞0， ∴ab (c a －d b)＞0， 即：bc －ad ＞0， ∴②正确； ③∵c a －d b ＞0∴bc －adab＞0， 又∵bc －ad ＞0∴ab ＞0∴③正确．2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A ．1a >1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |D ．(12)a >(12)b[答案] B[解析] ∵a <b ，∴2a<2b， 故选B ．3．设a ＋b <0，且a >0，则( )A ．a 2<－ab <b 2B ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<b 2<－ab D ．ab <b 2<a 2[答案] A[解析] ∵a ＋b <0，且a >0，∴0<a <－b ， ∴a 2<－ab <b 2.4．已知a 2＋a ＜0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞a ＞－a 2＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 2＞a C ．－a ＞a 2＞a ＞－a 2D ．a 2＞－a ＞a ＞－a 2[答案] B[解析] ∵a 2＋a <0，∴0<a 2<－a ，∴0>－a 2>a ， ∴a <－a 2<a 2<－a ，故选B ．[点评] 可取特值检验，∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0，令a ＝－12，则a 2＝14，－a 2＝－14，－a ＝12，∴12>14>－14>－12，即－a >a 2>－a 2>a ，排除A 、C 、D ，选B ．5．已知|a |<1，则1a ＋1与1－a 的大小关系为( ) A ．1a ＋1<1－a B ．1a ＋1>1－a C ．1a ＋1≥1－a D ．1a ＋1≤1－a [答案] C[解析] 解法一：检验法：令a ＝0，则1a ＋1＝1－a ，排除A 、B ； 令a ＝12，则1a ＋1>1－a ，排除D ，故选C ．解法二：∵|a |<1，∴1＋a >0， ∴11＋a －(1－a )＝a 21＋a ≥0， ∴1a ＋1≥1－a . 6．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b>b ＋1aD ．2a ＋b a ＋2b >a b[答案] C[解析] 解法一：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C ．解法二：(特值法)令a ＝2，b ＝1，排除A 、D ，再令a ＝12，b ＝13，排除B ．二、填空题7．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db；③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题________．[答案]⎭⎪⎬⎪⎫①②⇒③，⎭⎪⎬⎪⎫①③⇒②，⎭⎪⎬⎪⎫②③⇒①中任选两个即可． [解析]c a >db⇒bc －adab＞0.若③成立，则①成立∴②③⇒①；若③成立即bc ＞ad ，若①成立，则bc ab ＞ad ab ，∴c a ＞db∴①③⇒②；若①与②成立显然有③成立．8．实数a 、b 、c 、d 满足下列两个条件：①d >c ；②a ＋d <b ＋c .则a 、b 的大小关系为________． [答案] a <b[解析] ∵d >c ，∴d －c >0， 又∵a ＋d <b ＋c ， ∴b －a >d －c >0， ∴b >a . 三、解答题9．(1)已知c ＞a ＞b ＞0.求证：ac －a ＞bc －b.(2)已知a 、b 、m 均为正数，且a ＜b ，求证：a ＋mb ＋m ＞ab. [解析] (1)∵c ＞a ＞b ＞0∴c －a ＞0，c －b ＞0，⎭⎪⎬⎪⎫由a ＞b ＞0⇒1a ＜1b c ＞0⇒c a ＜c b⎭⎪⎬⎪⎫⇒c －a a ＜c －bbc －a ＞0 c －b ＞0⇒a c －a ＞b c －b.(2)证法一：a ＋mb ＋m －a b ＝m b －ab b ＋m，∵0＜a ＜b ，m ＞0，∴m b －a b b ＋m ＞0，∴a ＋m b ＋m ＞ab.证法二：a ＋m b ＋m ＝a ＋b ＋m －b b ＋m ＝1＋a －b b ＋m ＝1－b －ab ＋m＞ 1－b －a b ＝a b. 证法三：∵a 、b 、m 均为正数，∴要证a ＋m b ＋m ＞ab， 只需证(a ＋m )b ＞a (b ＋m )， 只需证ab ＋bm ＞ab ＋am ， 只要证bm ＞am ，要证bm ＞am ，只需证b ＞a ，又已知b ＞a ， ∴原不等式成立．10．已知2<m <4,3<n <5，求下列各式的取值范围． (1)m ＋2n ； (2)m －n ； (3)mn ； (4)m n.[解析] (1)∵3<n <5，∴6<2n <10. 又∵2<m <4，∴8<m ＋2n <14. (2)∵3<n <5，∴－5<－n <－3. 又∵2<m <4，∴－3<m －n <1. (3)∵2<m <4,3<n <5， ∴6<mn <20.(4)∵3<n <5，∴15<1n <13.由2<m <4，可得25<m n <43.一、选择题1．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b[答案] C[解析] 对于A 可举反例，如－2<1，可得(－2)2>12故A 错，对于B 要使ab 2<a 2b 成立，即ab (b －a )<0成立，而此时ab 的符号不确定，故B 错．对于D 要使b a <a b 成立，即b 2－a 2ab<0成立，ab 的符号也不确定．故D 错．2．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是( )A ．(－π，π)B ．(0，π)C ．(－π，0)D ．{0}[答案] C[解析] ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，又－π2<α<π2，∴－π<α－β<π，又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.3．已知函数f (x )＝x 3，x 1、x 2、x 3∈R ，x 1＋x 2<0，x 2＋x 3<0，x 3＋x 1<0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3是单调递增函数，x 1<－x 2，x 2<－x 3，x 3<－x 1，∴f (x 1)<f (－x 2)，f (x 2)<f (－x 3)，f (x 3)<f (－x 1)，又∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)<－f (x 2)，f (x 2)<－f (x 3)，f (x 3)<－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)<0，f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 3)＋f (x 1)<0 ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0.4．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] ∵1a ＜1b＜0，∴a ＜0，b ＜0，a ＞b ，故③错；∴ab ＞0，∴a ＋b <0<ab ，故①成立； 又0＞a ＞b ，∴|a |＜|b |.∴②错；∵b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ＝a －b 2＋2ab ab ＝a －b 2ab＋2且a －b ＜0，ab ＞0，∴b a ＋ab＞2，∴④成立． ∴①④正确．选B ． 二、填空题5．若a >0，b >0则a ＋b ________a ＋b (填上适当的等号或不等号)． [答案] >[解析] ∵a >0，b >0，∴(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2>(a ＋b )2，即a ＋b >a ＋b . 6．设a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则p ＝b a ，q ＝a b ，r ＝b ＋m a ＋m ，s ＝a ＋nb ＋n的大小顺序是________________．[答案] p ＜r ＜s ＜q[解析] 取a ＝4，b ＝2，m ＝3，n ＝1，则p ＝12，q ＝2，r ＝57，s ＝53则p ＜r ＜s ＜q (特值探路)．具体比较如下：p －r ＝b a －b ＋m a ＋m ＝b －a ma a ＋m＜0，∴p ＜r .∵a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0， ∴a ＋m ＞b ＋m ＞0.a ＋n ＞b ＋n ＞0， ∴b ＋m a ＋m ＜1，a ＋nb ＋n＞1，∴r ＜s . 或r －s ＝b ＋m a ＋m －a ＋n b ＋n ＝b －a b ＋a ＋m ＋na ＋mb ＋n＜0. ∴r ＜s .s －q ＝a ＋nb ＋n －a b ＝b －a ·nb b ＋n＜0， ∴s ＜q .∴p ＜r ＜s ＜q . 三、解答题7．如果30＜x ＜42,16＜y ＜24.分别求x ＋y 、x －2y 及xy的取值范围． [解析] 46＜x ＋y ＜66；－48＜－2y ＜－32； ∴－18＜x －2y ＜10；∵30<x <42，124＜1y ＜116，∴3024＜x y ＜4216，即54＜x y ＜218. 8．已知a ＞0，b ＞0，a ≠b ，n ∈N 且n ≥2，比较a n＋b n与a n －1b ＋ab n －1的大小．[解析] (a n＋b n)－(a n －1b ＋ab n －1)＝a n －1(a －b )＋b n －1(b －a )＝(a －b )(a n －1－b n －1)，(1)当a ＞b ＞0时，a n －1＞b n －1，∴(a －b )(a n －1－b n －1)＞0， (2)当0＜a ＜b 时，an －1＜bn －1，∴(a －b )(an －1－bn －1)＞0，∴对任意a ＞0，b ＞0，a ≠b ，总有(a －b )(an －1－bn －1)＞0.∴a n＋b n＞an －1b ＋ab n －1.9. 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解析] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45xn ，y 1－y 2＝14x ＋34xn －45xn＝14x －120xn ＝14x (1－n5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．。

3.1 不等关系与不等式1. 设f（x）=l nx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q2. 已知a＞b＞0，则下列不等关系式中正确的是（）A．si na＞si nb B．log2a＜log2b C．a＜b D．（）a＜（）b3. 已知log a＞1，（）b＞1，2c=，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a4. 下列结论成立的是（）A．若a c＞b c，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c5. 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．﹣＞0B．﹣＜0C．＞D．＜6. 已知实数a i，b i（i=1，2，3）满足a1＜a2＜a3，b1＜b2＜b3，且（a i﹣b1）（a i﹣b2）（a i﹣b3）=﹣1（i=1，2，3），则下列结论正确的是（）A．b1＜a1＜a2＜b2＜b3＜a3B．a1＜b1＜b2＜a2＜a3＜b3C．a1＜a2＜b1＜b2＜a3＜b3D．b1＜b2＜a1＜a2＜b3＜a37设a＞b＞0，m=，n=﹣，则m，n的大小关系是m n．（选＞，=，＜）8. 若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（把你认为正确的答案的序号都填上）①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④．9. 如下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则x1，x2，x3的大小关系为．（按由小到大的顺序排列）．10. 已知f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x，又a是g（x）=l n（x+1）﹣的零点，比较f（a），f（﹣2），f（1.5）的大小，用小于符号连接为．参考答案1.【解析】由题意可得若p=f（）=l n（）=l nab=（l na+l nb），q=f（）=l n（）≥l n（）=p，r=（f（a）+f（b））=（l na+l nb），∴p=r＜q，故选：B2．【解析】选项A错误，比如取a=π，b=，显然满足a＞b＞0，但不满足si na＞si nb；选项B错误，由函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增可得log2a＞log2b；选项C错误，由函数y==在[0，+∞）上单调递增可得＞；选项D正确，由函数y=在R上单调递减可得（）a＜（）b；故选：D．3【解析】∵，∴；∵，∴b＜0；∵，∴．∴c＞a＞b．故选：B．4. 【解析】对于A．当c＜0时，不成立；对于B．取a=﹣1，b=﹣2，不成立；对于C．∵a＞b，c＜d，∴a﹣c＞b﹣d，因此不成立；对于D．∵c＞d，∴﹣d＞﹣c，又a＞b，∴a﹣d＞b﹣c，因此成立．故选：D．5. 【解析】∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣a c＞﹣b d，∴，∴．故选：D．6. 【解析】构造函数f（x）=（x﹣b1）（x﹣b2）（x﹣b3），则函数f（x）=（x﹣b1）（x﹣b2）（x﹣b3）的大致形状如下，则a1，a2，a3分别是点A1，A2，A3对应的x值；故a1＜b1＜b2＜a2＜a3＜b3；故选：B．7. 【解析】∵a＞b＞0，∴＞，＞0．∴m2﹣n2=a﹣b﹣（a+b﹣2）=2﹣2b＞2﹣2b=0，∴m2＞n2，又m＞0，n＞0，∴m＞n．故答案为：＞．8. 【解析】对于命题①ab≤1：由，则ab≤1，命题①正确；对于命题②：令a=1，b=1时候不成立，所以命题②错误；对于命题③a2+b2≥2：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=4﹣2ab≥2，命题③正确；对于命题④：，由①知，ab≤1，故，则命题④正确．故答案为：①③④9. 【解析】依题意，有x1=50+x3﹣55=x3﹣5，∴x1＜x3，同理，x2=30+x1﹣20=x1+10∴x1＜x2，同理，x3=30+x2﹣35=x2﹣5∴x3＜x2即x1＜x3＜x2故答案为：x1＜x3＜x210．【解析】∵f（x）是R上的偶函数，∴f（﹣2）=f（2）．∵g（1.5）=l n2.5﹣＜0，g（2）=l n3﹣1＞0，且函数g（x）在x＞0时单调递增，∴函数g（x）的零点a∈（1.5，2）．∵当x≥0时，f（x）=2x单调递增，∴f（2）＞f（a）＞f（1.5）．故答案为f（1.5）＜f（a）＜f（﹣2）．。

§7.1 不等关系与不等式A 级 基础达标一、选择题1．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a >b ，c >d ，则ac >bd ； ④若a >b ，则1a >1b .其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．设a ，b ∈R ，若p ：a <b ，q ：1b <1a <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |4．设a >b >0，下列各数小于1的是( ) A ．2a －b B. ⎝⎛⎭⎫a b 12 C. ⎝⎛⎭⎫a b a －bD. ⎝⎛⎭⎫b a a －b5．已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，下列不等式成立的是( ) A ．log 2a >0 B ．2a －b >1 C ．2ab >2D ．log 2(ab )<－26．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )>0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (c －a )>07．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．12log b <12log a <0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab <18．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________. 10．若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是________.11．若－1＜a ＋b ＜3,2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围为________. 12．已知下列结论：①若a ＞|b |，则a 2＞b 2；②若a ＞b ，则1a ＜1b；③若a ＞b ，则a 3＞b 3；④若a ＜0，－1＜b ＜0，则ab 2＞a . 其中正确的是________(只填序号即可).B 级 能力提升1．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2D ．a ≥22．若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A. 1a －b >1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n 3．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c ). 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③4．已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，若a ＝12f ⎝⎛⎭⎫12，b＝－2f (－2)，c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12f ⎝⎛⎭⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <cD ．c <a <b参考答案A 级 基础达标一、选择题 1．【答案】 B【解析】 ①ac 2>bc 2，则c ≠0，则a >b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B. 2．【答案】 B【解析】 若1b <1a <0，则a <b <0；而当a <0<b 时，1a <0<1b ，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.3．【答案】 D【解析】 ∵1a <1b <0，∴b <a <0，则a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，故A ，B ，C 正确；而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，故选D. 4．【答案】 D【解析】 解法一：(特殊值法) 取a ＝2，b ＝1，代入验证.故选D. 解法二：y ＝a x (a >0且a ≠1).当a >1，x >0时，y >1；当0<a <1，x >0时，0<y <1. ∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,0<b a <1.由指数函数性质知，D 成立. 5．【答案】 D【解析】 由已知，0<a <1,0<b <1，a －b <0,0<ab ＝a (1－a )<14，log 2(ab )<－2，故选D.6．【答案】 C【解析】 由题意知c <0，a >0，则A ，B ，D 一定正确，若b ＝0，则cb 2＝ab 2.故选C. 7．【答案】 C【解析】 解法一：特值法.取b ＝14，a ＝12，代入验证.故选C.解法二：0<b <a ⇒b 2<ab ，A 不对； y ＝12log x 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log b >12log a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C. 8．【答案】 D【解析】 一方面，若0<ab <1，则当a <0时，0>b >1a .∴b <1a 不成立；另一方面，若b <1a ，则当a <0时，ab >1，∴0<ab <1不成立，故选D. 二、填空题9．【答案】 (－3,3)【解析】 －4<β<2⇒－4<－|β|≤0，－3<α－|β|<3. 10．【答案】 ⎝⎛⎭⎫12，1【解析】 ∵a 2＋1>2a ，log a (a 2＋1)<log a 2a ， ∴0<a <1.∵log a (2a )<log a 1，∴2a >1，∴a >12，∴12<a <1.11．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－92，132 【解析】 设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12。

§1.4 不等关系与不等式课时精练1．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a －b >0⇒a >b ≥0⇒a >b ≥0⇒a 2>b 2， 但a 2－b 2>0⇏a －b >0，所以“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的充分不必要条件．2．已知非零实数a ，b 满足a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b 答案 C解析 若a <b <0，则a 2>b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b ，则a 2b <ab 2，故B 不成立； 若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，b a >a b，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确． 3．如果x ＋y <0，且y >0，那么下列不等式成立的是( )A ．y 2>x 2>－xyB ．x 2>y 2>－xyC ．x 2<－xy <y 2D ．x 2>－xy >y 2答案 D解析 x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y )，∵x ＋y <0且y >0，∴x <0，∴x －y <0，∴x 2－y 2>0，∴x 2>y 2，又xy ＋y 2＝y (x ＋y )，∵x ＋y <0，y >0，∴y (x ＋y )<0，∴y 2<－xy .又x2＋xy＝x(x＋y)>0，∴x2>－xy，综上，x2>－xy>y2.4．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是() A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定答案 B解析M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.5．(多选)已知c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中，一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2D．ac(a－c)<0答案ABD解析由c<b<a且ac<0知a>0且c<0，b的正负不确定，由b>c且a>0知ba>ca，故A一定成立；∵b－a<0且c<0，∴c(b－a)>0，故B一定成立；当b＝0时，cb2＝ab2＝0，故C不一定成立；又a－c>0且ac<0，∴ac(a－c)<0，故D一定成立．6．(多选)有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，e，f，已知a ＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，a＋b＋f<c＋d＋e，a＋e<b.则下列判断正确的有() A．b>c>f B．b>e>fC．c>e>f D．b>e>c答案ABD解析因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，所以e－c>c－e，所以e>c，又因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋f<c＋d＋e，所以c－f>f－c，所以c>f，所以e>c>f，所以C错误；又因为a＋e<b，所以a<b，e<b，所以b>e>c，b>e>f，b>c>f均成立，所以ABD正确.7．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)答案>解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .8．已知非零实数a ，b 满足a >b ，则下列结论正确的是________(填序号)．①1a <1b；②a 3>b 3；③2a >2b ；④ln a 2>ln b 2. 答案 ②③解析 当a >0，b <0时，1a >0>1b，故①不正确； 由函数y ＝x 3，y ＝2x 的单调性可知，②③正确；当a ＝1，b ＝－1时，ln a 2＝ln b 2＝ln 1＝0，故④不正确．9．近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a 元/斤、b 元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠)________．(在横线上填甲或乙即可)答案 乙解析 由题意得甲购买产品的平均单价为3a ＋3b 6＝a ＋b 2，乙购买产品的平均单价为2010a ＋10b＝2ab a ＋b，由条件得a ≠b . ∵a ＋b 2－2ab a ＋b ＝(a －b )22(a ＋b )>0， ∴a ＋b 2>2ab a ＋b， 即乙的购买方式更优惠．10．(2021·浙江宁海中学月考)已知等比数列{a 1，a 2，a 3，a 4}满足a 1∈(0,1)，a 2∈(1,2)，a 3∈(2,3)，则a 4的取值范围是________．答案 (22，9)解析 设等比数列{a 1，a 2，a 3，a 4}的公比为q ，由a 1∈(0,1)，a 2∈(1,2)，a 3∈(2,3)可知，0<a 1<1①，1<a 1q <2②，2<a 1q 2<3③，由③÷②可得1<q <3，③÷①可得q 2>2，即q >2或q <－2，②÷①可得q >1， 所以2<q <3，所以a 4＝a 3q ∈(22，9)．11．已知a ＋b >0，试比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小． 解 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 12．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d； (2)已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b. 证明 (1)∵bc ≥ad ，1bd >0，∴c d ≥a b， ∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d. (2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.∵a >b >0，∴1a <1b， 又∵c >0，∴c a <c b ，∴c －a a <c －b b， 又c －a >0，c －b >0，∴a c －a >b c －b.13．(多选)若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a >1B.c －a b －a >c b C ．c a －1<b a －1D ．log c a <log b a答案 AD解析 对于A ，∵b >c >1，∴b c>1.∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故正确． 对于B ，若c －a b －a >c b，则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故错误． 对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故错误．对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故正确．14．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.15．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b ≤cB ．b ≤c <aC ．b <c <aD ．b <a <c答案 A解析 c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，两式相减得2b ＝2＋2a 2即b ＝1＋a 2，∴b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴a <b ≤c .16．观察以下运算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.(1)若两组数a 1，a 2与b 1，b 2，且a 1≤a 2，b 1≤b 2，则a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 1是否成立，试证明．(2)若两组数a 1，a 2，a 3与b 1，b 2，b 3且a 1≤a 2≤a 3，b 1≤b 2≤b 3，对a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1，a 1b 2＋a 2b 1＋a 3b 3，a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3进行大小顺序(不需要说明理由)．解 (1)成立，证明如下：∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.(2)a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3.。