9年级培优专题07 一元二次方程的应用.docx

《一元二次方程的应用》一、学习目标1.能体验用一元二次方程解决实际问题的过程，体会现实世界的数量关系可以用数学模型进行刻画. 2。

能根据问题中的数量关系列出一元二次方程并求解、检验，规范写出解答过程．3。

有意识．．．的注意自己分析和解决问题的方法并提高自身探究的能力．二、学习重点与难点从(实际或数学的）问题情景中建立一元二次方程的数学模型,并掌握解决问题的全过程是重点;其中从问题情景中建立一元二次方程是学习的难点．．;突破难点的关键．．是体会分析问题的方法，找到题目中的基本关系．．．．（它决定题目的性质．．．．．．．．）以及相等关系．．．．．三、学习过程1、传播问题（树枝开叉）例1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？2、循环问题又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题例2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？例3、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有多少个队参加比赛？3、平均率问题例4、某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40％,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？推广：（2010年山东聊城)2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元．（1)求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到1％）（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到1亿元）4、商品销售问题常用关系式：售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额）（a）给出关系式例5、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件）与每件的销售价X （元）满足关系：P=100—2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件?（b）一个“+”一个“—"例6某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

一元二次方程的应用(优秀5篇)元二次方程篇一教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学难点和难点：重点：1.一元二次方程的有关概念2.会把一元二次方程化成一般形式难点：一元二次方程的含义。

教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是壹五0cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。

2.这个问题用什么数学方法解决？(间接计算即列方程解应用题。

3.让学生自己列出方程( x（x十5）＝壹五0 )深入引导：方程x(x十5)＝壹五0有人会解吗？你能叫出这个方程的名字吗？二、新课1.从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。

事实上初中代数研究的主要对象是方程。

这部分内容从初一一直贯穿到初三。

到目前为止我们对方程研究的还很不够，从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)2.什么是—元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程：它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的最高次数是几。

如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程。

(板书一元二次方程的定义)3.强化一元二次方程的概念下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？(1)3x十2＝5x—3：(2)x2＝4(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；(4)(x—1)(x—2)＝x2十8从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。

九年级数学一元二次方程实际应用大家好！今天咱们来聊聊一个看似有点神秘的数学概念——一元二次方程。

不过别担心，咱们不是要搞什么复杂的公式，而是要看看这些方程是怎么在我们生活中派上用场的。

你可能会问，这玩意儿跟咱们的日常生活有什么关系呢？其实，关系大着呢！一起来瞧瞧吧！1. 一元二次方程的基础知识首先，咱们得了解一下什么是一元二次方程。

简单来说，一元二次方程就是形如( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a )、( b )、和 ( c ) 是常数，( x ) 是我们要找的变量。

听起来有点儿抽象？别急，我们用实际的例子来解释一下。

1.1. 生活中的例子举个简单的例子吧。

如果你家有一个小花园，你想种一排花。

假设你种的花每行需要的空间是固定的，而且你还希望每行的花之间有一定的间隔。

假设花间距是2米，而你想要种6排花。

你想知道需要多长的空间？这时候，一元二次方程就可以帮你计算出这个长度了。

1.2. 小故事比如说，小明决定在他家花园里种花。

他量了一下花园的长度和宽度，然后想要把花园分成几个小区域，每个区域种一种花。

经过一番计算，他发现这个问题可以用一元二次方程来解决。

经过几次试错和计算，小明终于找到了一种合适的种植方案，这样既美观又实用。

2. 一元二次方程在实际生活中的应用一元二次方程不仅仅是在数学课上出现，它们其实在很多实际问题中都能找到身影。

下面我们来看几个实际应用的例子。

2.1. 解决问题想象一下，你有一个游泳池，你想在池子里放一个大的浮排。

如果浮排的面积是固定的，你又想知道池子里最大能放多大的浮排。

这里的“浮排面积”就是我们的一元二次方程中的一个参数，通过计算，你就能得到浮排的最大尺寸了。

2.2. 购物打折还有一个常见的应用场景，就是购物打折。

比如说，你要买一件原价200元的衣服，现在商店搞了一个“买一送一”的活动，但你只想买一件。

假设你能用一元二次方程计算打折后的实际花费，那么你就能准确知道自己能省多少钱。

专题07 一元二次方程的应用阅读与思考一元二次方程是解数学问题的有力工具，许多数学问题都可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质等而获解. 现阶段，一元二次方程的应用主要有以下两方面： 1. 求代数式的值；2. 列二次方程解应用题.从本质上讲，列二次方程解应用题与前面我们已经学过的列一元二次方程解应用题没有区别，通常都要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是寻找实际问题中的等量关系. 特别需要注意的是，列出的一元二次方程一般会有两个不同的实数根，所以在检验时应特别注意，很可能其中有不符合实际问题的根，必须舍去.例题与求解【例1】 甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度ν千米/时数值的平方，则ν的值为___________.（安徽省竞赛试题）解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.【例2】 自然数n 满足()()1616247222222-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 （江苏省竞赛试题） 解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程.【例3】 如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点. （1） 求点A ，B ，C 的坐标；（2） 当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标.（太原市中考试题） 解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论.yx BCAO【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在直角边AC上（点E与A，C 两点均不重合）.；（1）若点F在斜边AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE＝x，试用x的代数式表示SAEF（2）若点F在折线ABC上移动，试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在直线EF，请说明理由. （常州市中考试题）解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF，将线段的计算转化为解方程.【例5】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出. 每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？（绍兴市中考试题）解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关系.【例6】 已知：如图1，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2 cm /s .连结PQ .若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图2，连结PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ´C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ´C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由. （青岛市中考试题） 解题思路：对于（3），先求出PQ 平分Rt △ACB 周长时t 的值，再看求出t 的值是否满足由面积关系建立的方程.图2图1P'ACB B CAQ PQ P能力训练A 级1. 某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为x ，那么所列方程为_______________. （济南市中考试题）2. 如图，在长为10cm 、宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积是原矩形面积的80%，则所截去的小正方形的边长是_________. （广东省中考试题）3. 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津. 按民航规定，旅客最多可免费携带飞机票价格应是________. 4. 已知实数x 、y 满足3,3243424=+=+y y xx ，则444y x +的值为（ ） A.7 B.2131+ C.2137+ D. 5 5. 一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是()()125+--=t t h ，则运动员起跳到入水所用的时间是（ ）A. －5秒B. 1秒 C . －1秒 D. 2秒6. 某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（ ） A. 11 B. 8 C . 7 D.57. 如图，菱形ABCD 的边长为a ，O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a ＝（ ） A .215+ B . 215- C . 1 D .2DCABO第2题图 第7题图8. 我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运. 经与某物流公司联系，得知用A 型汽车若干辆刚好装完；用B 型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.（1）已知B 型汽车比A 型汽车每辆车可多装15台，则A ，B 两种型号的汽车各能装计算机多少台？ （2）已知A 型汽车的运费是每辆350元，B 型汽车的运费是每辆400元。

辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型 一元一次方程解法 一元二次方程应用一元一次方程中考衔接授课日期及时段教学内容一元二次方程的解法一、同步知识梳理知识点1：一元二次方程定义：)0a (0c bx ax 2≠=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

0ax 0c ax 0bx ax 222==+=+；；这三个方程都是一元二次方程。

知识点2：一元二次方程四种解法：（1）直接开方法：形如()002≥=-k k x 和)0,0()(2≥≠=-ab a b k x a 的方程（2）配方法：一元二次方程转化为()k h x =+2 )0a (0c bx ax 2≠=++一般形式配方例如：如何解方程0462=++x x ？ 点拨：如果能化成()k h x =+2的形式就可以求解了解： 步骤：（1）移项 （2）配方．．（方法：方程两边同时加上_________________） （3）将方程写成()k h x =+2的形式（4）用直接开平方法解方程小结：由此可见，只要把一个一元二次方程变形为()k h x =+2的形式（其中h 、k 都是常数）如果k ______0，可通过直接开平方法求方程的解；如果k ______0，则原方程无解。

这种解一元二次方程的方法叫配方法．．．。

（3）公式法：一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax（1） 当_____________时，它的根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。

（2） 根据判别式，怎样判断一元二次方程ax 2+bx+c=0根的情况：当b 2-4ac ＞0,方程_____________________.当b 2-4ac=0, 方程________________________. 当b 2-4ac ＜0, 方程_______________________.（4）因式分解法：若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，092=-x ＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．直接开方法： (1) x 2＝169 (2) 4（2－x ）2－9＝0 (3) (1－3x)2＝1 (4) 22)23()12(+=-x x配方法：（1）0322=-+x x （2）020102=++x x （3）12=-x x （4）04222=-+x x公式法：（1）0432=--x x （2）322=-x x （3）055.02.12.02=+-x x （4）0122=-+x x因式分解法：（1）0)1)(2(=-+x x （2）x x =23 （3）)12(3)12(4-=-x x x （4）22)23()12(+=-x x课堂达标测试一：填空题1．下列方程是一元二次方程的是_________________________．（只填序号）． （1）x 2=5；（2）x 2+xy+3=0；（3）x+1x =2；（4）mx 2+x+1=0（m ≠0）；（5）ax 2+bx+c=0；（6）23x 2+3x+1=0；（7）x 2+1=0；（8）24x +x=0．2．试写出一个含有未知数x 的一元二次方程________． 3．若关于x 的方程x21a -+3x+5=0是一元二次方程，则a 应满足________．4．若（k+1）x 2+（k －1）x+2=0是关于x 的一元二次方程，则k________．5．若关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m+1）x+3=0是一元二次方程，则m______；•若是一元一次方程，则m_______． 6．一元二次方程（2x+1）（x －1）=3x+1化为一般形式是________，二次项是______，一次项是_______，常数项是_________． 二：计算（1） 015)13(412=-+x （2）22)2(25)3(4-=+x x（3）6)6(=-x x （4）04322=-+-x x一元二次方程应用题应用一元二次方程解决有关面积、体积问题！教学重点：在实际问题中寻找等量关系，建立方程。

第4讲 一元二次方程的应用在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要,这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者,而在青少年的精神世界中，这种需要特别强烈.——苏霍姆林斯基知识纵横方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表。

许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。

一元二次方程的应用有以下几个方面: （1) 求代数式的值； （2）列二次方程解应用题； (3)解相关几何问题。

例题求解【例1】 在平面直角坐标系中有点)2,2(-A 、)2,3(B ,C 是坐标轴上一点。

若ABC ∆是直角三角形，则满足条件的点C 的坐标是_________.（山东省竞赛题）思路点拨 C 点可在x 轴也可能在y 轴，又ABC Rt ∆直角顶点未确定，故解本例的关键是分类讨论。

【例2】 已知实数x 、y 满足32424=-xx ，324=+yy ,则y x444+的值为（ )。

A ．7B ．2131+ C ．2137+ D ．5 (全国初中数学竞赛题）思路点拨 分别解关于x22、y 2的方程。

【例3】 在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块高墙(墙长15cm)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围城(如图所示)。

若花园的BC 边长为x(m ）,花园的面积为y(m 2)．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2）满足条件的花园面积能达到200m 2吗?若能，求出此时x 的值，若不能，说明理由; （3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？（青岛市中考题）【例4】已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度2m/s，连接PQ。

一元二次方程的实际应用一.传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（设每轮传染中平均一个人传染了x个人）突破题1.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？那第三轮又将有多少人繁殖？二.增长率问题例题1. 某商场于第一年年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营。

（1）如果第一年的年获利率为P，那么第一年年终的总资金是多少万元?（年获利率=年利润/年初投入资金X100%）（2）如果第二年的年获利率多10个百分点，第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率。

突破题1.某种商品的进价为a元，商店将价格提高20%销售，经过一段时间，又以九折的价格促销，这时这种商品的价格是？突破题2.某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额比九月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。

例题2.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10㎡提高到12.1㎡，若每年的年增长率相同，则年增长率为？例题3.受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、第四季度的销售额平均下降的百分率为？例题4.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件。

后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元。

若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？例题5.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

一元二次方程的热门应用题一、面积问题例1张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？解：设这种运输箱底部宽为x米，则长为（x+2）米．依题意，得x（x+2）×1=15．化简，得x2+2x-15=0．解之，得x1=3，x2=-5（不合题意，舍去）．所以这种运输箱底部长为5米，宽为3米．由长方体展开图知，购买的矩形铁皮面积为（5+2）×（3+2）=35（米2）．故购回这张矩形铁皮要花35×20＝700元钱．点评：本题要深刻理解题意中的已知条件，弄清各数据的相互关系，布列方程，并正确决定一元二次方程根的取舍问题．解决此类问题要善于运用转化的思想方法，将实际问题转化为数学问题．二、数字问题两个数的和等于6,积等于8,求这两个数.三、销售利润问题例2某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：（1）请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销量减少的数量（件）之间的关系．（2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1 600元？解：（1）由表格中数量关系可知：该产品每件售价上涨1元，其日销量就减少1件．（2）设每件产品涨价x元，则销售价为（130+x）元，日销量为（70-x）件．由题意，得［（130+x）-120］（70-x）=1 600，解得x1=x2=30，130+30=160（元）．答：每件商品定价为160元时，每日盈利达到1 600元．点评：随着市场经济的日益繁荣，市场竞争更是激烈．因此，“销售问题”还将是人们关注的焦点，还会被搬上中考试卷．这不仅较好地锻炼了学生分析问题、解决问题的能力，而且让同学们真正体会到数学的宝贵价值．值得说明的是，第（2）小题还可以用表格中其它两组数据列出方程，结果相同，同学们不妨试一试．四、旅游消费问题例3（南通市）据2005年5月8日《南通日报》报道：今年“五一”黄金周期间，我市实现旅游收入再创历史新高，旅游消费呈现多样化，各项消费所占比例如下图所示，其中住宿消费为3 438.24万元．（1）求我市今年“五一”黄金周期间旅游消费共多少亿元？旅游消费中各项消费的中位数是多少万元？（2）对于“五一”黄金周期间的旅游消费，如果我市2007年要达到3.42亿元的目标，那么，2005年到2007年的平均增长率是多少？解：（1）由图知，住宿消费为3 438.24万元，占旅游消费的22.62％，所以消费共3 438.24÷22.62％＝15 200（万元）=1.52（亿元）．所以交通消费为15 200×17.56％＝2 669.12（万元）．所以我市今年“五一”黄金周期间旅游消费中各项消费的中位数是（3 438.24＋2 669.12）÷2＝3 053.68（万元）．（2）设2005年到2007年旅游消费的年均增长率为x，则1.52（1+x）2=3.42．得x1=0.5=50％，x2=-2.5（舍去）．所以2005年到2007年旅游消费的平均增长率为50％．点评：本题考查通过统计图获取信息的能力及用方程的思想解决实际问题的能力．第（2）小题求年平均增长率，因此属增长率问题．在解答这类题时应该掌握其基本关系式：结果量＝（１＋增长率）n×基础量；结果量＝（1-降低率）n×基础量（其中n为增长或降低次数）．五、节约与环保问题例4（宜昌课改实验区）我国人均用纸为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出来的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．（1）若我市2005年初中毕业生中环保意识较强的5万人，能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）宜昌市从2001年初开始实施天然林保护工程，到2003年初成效显著，森林面积大约由1 374.094万亩增加到1 500.545万亩．假设该地区年用纸量的15%可以作为废纸回收利用，并且森林面积年均增长率保持不变，请你按宜昌市总人口为415万人计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市新增加的森林面积与因废纸回收利用所能保护的森林面积之和最多可能达到多少亩（精确到1亩）？解：（1）5万名初中毕业生废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数为5×104×10÷1 000×18÷80=112.5（亩）．（2）设2001年到2003年初我市森林面积年均增长率为x，则1 374.094（1+x）2=1 500.５45．故x1=0.045=4.5%，x2=-2.045（舍去）．所以2005年初到2006年初全年新增森林面积：1500.545×104×（1+4.5％）2×4.5％≈737 385（亩）． 又全市回收废纸所能保护的森林面积最多为 415×104×28×１5％÷1 000×18÷50≈6 275（亩）． 新增森林面积和保护森林面积之和为：737 385+6 275=743 660（亩）．点评：此例不仅考查了同学们解答实际应用问题的能力，还对同学们发扬节约精神、增强环保意识起到潜移默化的作用．六、航海问题某军舰以20节的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行,它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标.如图,当该军舰行至A 处时,电子侦察船正位于A 处的正南方向的B 处,瓶AB=90海里.如果军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰 ?如果能,最早何时能侦察到?如果不能,请说明理由.七、图表信息应用问题单一图象信息的应用问题：A 北 东 ●例1．美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某市城区近几年来通过拆旧房，植草、栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，如图1，（1）根据图中提供的信息，回答下列问题：2005年底的绿地面积为 公顷；比2004年底增加了 公顷；在2003年、2004年、2005年这三年中绿地面各增加最多的一年是 。

初中数学试卷桑水出品小专题一元二次方程的实际应用题组1 增降率问题1.(广东中考)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？2.某公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8%.该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万元.若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数.3.某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2 000 kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000 kg，求南瓜亩产量的增长率.4.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同.(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房.5.脐橙是赣南的大产业，也是农民致富的大产业.“赣南脐橙”已成为中央电视台上榜品牌.我市近几年，通过各种途径，大力发展脐橙果业，脐橙总产量每年也在不断增加(如图所示).(1)根据图中所提供的信息回答下列问题：2011年底脐橙的总产量为____万吨，比2010年底增加了____；在所统计的这几年中，增长速度最快的是____；(2)为满足市场发展的需要，计划到2015年底使脐橙总产量要达到121万吨，试计算2014、2015两年脐橙的年平均增长率.题组2 几何图形问题1.为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)2.如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地.(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2？(2)能否使所围矩形场地的面积为810 m2，为什么？3.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P 以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动.(1)P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2？(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？4.在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由.(2)你还有其他的设计方案吗？请你设计出草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.参考答案题组1 增降率问题1.(1)设捐款的增长率为x ，根据题意，得10 000(1+x)2=12 100.解得x 1=0.1=10%，x 2=-2.1(舍去).答：捐款的增长率为10%.(2)12 100×(1+0.1)=13 310(元).答：第四天该单位能收到13 310元捐款.2.设每年增长的百分数为x ，200（1+x ）2=200×（1+8%）+72，解得x 1=0.2=20%,x 2=-2.2（不合题意，舍去）.答：每年增长的百分数为20%.3.设南瓜亩产量的增长率为x ，则种植面积的增长率为2x.根据题意，得10(1+2x)·2 000(1+x)=60 000.解得x 1=0.5，x 2=-2(不合题意，舍去).答：南瓜亩产量的增长率为50%.4.(1)设每年市政府投资的增长率为x ，根据题意，得2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5，解得x=275.1493⨯+±-， ∴x 1=0.5，x 2=-0.35(舍去).答：每年市政府投资的增长率为50%.(2)到2012年底共建廉租房面积=9.5÷82=38(万平方米). 5(1)76，52%，2011年；(2)设年平均增长率为x ，依题意得100(1+x)2=121，解得x 1=0.1,x 2=-2.1(舍去).答：年平均增长率为10%.题组2 几何图形问题1.设小道进出口的宽度应为x 米，根据题意，得(30-2x)(20-x)=532.解得x 1=1，x 2=34.∵34>30(不合题意，舍去)，∴x=1.答：小道进出口的宽度应为1米.2.(1)设所围矩形ABCD 的长AB 为x 米，则宽AD 为12(80-x)米.依题意，得x ·12（80-x ）=750.解得x 1=30，x 2=50.∵墙的长度不超过45 m ，∴x2=50不合题意，应舍去.当x=30时，21（80-x ）=21×（80-30）=25， 所以，当所围矩形的长为30 m 、宽为25 m 时，能使矩形的面积为750 m 2.(2)不能.因为由x ·21（80-x ）=810得x 2-80x+1 620=0. 又∵b 2-4ac=(-80)2-4×1×1 620=-80＜0，∴上述方程没有实数根.因此，不能使所围矩形场地的面积为810 m 2.3.(1)设P 、Q 两点从出发开始到x 秒时四边形PBCQ 的面积为33 cm 2，则AP=3x cm,CQ=2x cm, ∴PB=16-3x(cm).∵(PB+CQ)×BC ×21=33， ∴(16-3x+2x)×6×21=33，解得x=5. ∴P 、Q 两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ 的面积为33 cm 2.(2)设P 、Q 两点从出发开始t 秒时，点P 和点Q 的距离是10 cm.过点Q 作QE ⊥AB 于E ，得EB=QC ，EQ=BC=6 cm ，∴PE=PB-BE=PB-QC=16-3t-2t=16-5t(cm).在直角三角形PEQ 中，PE 2+EQ 2=PQ 2，即(16-5t)2+62=102，解得t 1=58,t 2=524. ∴P 、Q 两点从出发开始到58或524秒时，点P 和点Q 的距离是10 cm. 4.(1)不符合.设小路宽度均为x m ，根据题意，得(16-2x)(12-2x)=21×16×12. 解得x 1=2，x 2=12.但x 2=12不符合题意，应舍去.∴x=2.答：小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m.(2)答案不唯一.。

一元二次方程的实际应用类型1 增长率问题1．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了( )A．2x% B．1＋2x%C．(1＋x%)·x% D．(2＋x%)·x%2．为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是( )A．10% B．11.5% C．12% D．21%3．随着国家抑制房价政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米5 000元降至每平方米4 050元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为________．4．(珠海中考)白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．(1)求该镇2012年至2014年绿地面积的年平均增长率；(2)若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？类型2 几何问题5．如图，矩形ABCD的周长是20 cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68 cm2，那么矩形ABCD的面积是( )A．21 cm2 B．16 cm2C．24 cm2 D．9 cm26．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为( ) A．5米 B．3米C．2米 D．2米或5米7．如图是我市将要开发的一块长方形的土地，长为x km，宽为3 km，建筑开发商将这块土地分为甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园，若已知丙地的面积为2 km2，则x的值为________．8．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙保留1 m宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2?类型3 营销问题9．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1 200元，设每件衬衫应降价x元，则所列方程为____________________．10．(东海县校级月考)某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入广告费为x(万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y＝－x210＋710x＋710，如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，那么当年利润为16万元时，广告费x为________万元．11．(淮安中考)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是________斤(用含x的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至多少元？12．毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．(1)请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？(2)如果商店购进1 200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2 500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？类型4 动点问题13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B 同时开始移动，点P的速度为1 cm/秒，点Q的速度为2 cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15 cm2的是( )A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟14．在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：BQ＝________，PB＝________(用含t的代数式表示)；(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．D 2.A 3.10%4.(1)设2012年至2014年绿地面积的年平均增长率为x，依题意有57.5(x＋1)2＝82.8.解得x1＝－2.2(舍去)，x2＝0.2＝20%.答：2012年至2014年绿地面积的年平均增长率为20%.(2)2015年的绿地面积为82.8×(0.2＋1)＝99.36＜100，所以2015年的绿地面积不能达到100公顷．5.B6.C7.4或58.设矩形温室的宽为x m ，则长为2x m ，根据题意，得(x －2)(2x －4)＝288，解得x 1＝－10(不合题意，舍去)，x 2＝14.∴2x＝2×14＝28.答：当矩形温室的长为28 m ，宽为14 m 时，蔬菜种植区域的面积为288 m 2.9.(40－x)(20＋2x)＝1 20010.311.(1)(100＋200x)(2)设这种水果每斤的售价降价x 元，则(2－x)(100＋200x)＝300，解得x 1＝1，x 2＝12. 当x ＝1时，每天的销量为300斤；当x ＝12时，每天的销量为200斤． 因为为保证每天至少售出260斤，所以x 2＝12不合题意，应舍去．此时每斤的售价为4－1＝3(元)．答：销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至3元．12.(1)设学生纪念品的成本为x 元，根据题意，得50x ＋10(x ＋8)＝440.解得x ＝6.∴x＋8＝6＋8＝14.答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元．(2)第二周单价降低x 元后，这周销售的销量为(400＋100x)个，由题意得400×(10－6)＋(10－x －6)(400＋100x)＋(4－6)＝2 500，整理，得x 2－2x ＋1＝0.解得x 1＝x 2＝1.则10－1＝9(元)．答：第二周每个纪念品的销售价格为9元．13.B14.(1)2t cm (5－t)cm(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t 1＝0(不合题意，舍去)，t 2＝2.当t ＝2秒时，PQ 的长度等于5 cm.(3)存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2.理由如下：矩形ABCD 的面积是5×6＝30(cm 2)，使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2，则△PBQ 的面积为30－26＝4(cm 2)，即(5－t)·2t·12＝4.解得t 1＝4(不合题意，舍去)，t 2＝1.即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2.。

一元二次方程的实际应用一.传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（设每轮传染中平均一个人传染了x个人）突破题1.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？那第三轮又将有多少人繁殖？二.增长率问题例题1. 某商场于第一年年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营。

（1）如果第一年的年获利率为P，那么第一年年终的总资金是多少万元?（年获利率=年利润/年初投入资金X100%）（2）如果第二年的年获利率多10个百分点，第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率。

突破题1.某种商品的进价为a元，商店将价格提高20%销售，经过一段时间，又以九折的价格促销，这时这种商品的价格是？突破题2.某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额比九月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。

例题 2.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10㎡提高到12.1㎡，若每年的年增长率相同，则年增长率为？例题3.受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、第四季度的销售额平均下降的百分率为？例题4.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件。

后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元。

若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？例题5.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

九年级数学一元二次方程的应用一、引言数学作为一门基础学科，一直以来都是人们学习的重点和难点。

其中，一元二次方程作为数学中的一种重要内容，更是被广泛应用于生活中的各个领域。

本文将结合数学知识和实际案例，探讨一元二次方程在各个领域中的应用。

二、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指一个未知数的二次方程，它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数且a≠0。

解一元二次方程可以通过配方法、公式法等多种方法进行求解。

而一元二次方程的根可以通过判别式Δ=b²-4ac的符号来判断方程有一个实根、两个实根或者无实根。

三、一元二次方程在日常生活中的应用1.物体自由落体运动物体自由落体运动的位移s与时间t之间的关系可以用一元二次方程来表示，即s=gt²/2，其中g为重力加速度。

通过一元二次方程的求解，可以计算出物体自由落体运动的最大高度、最大速度等重要参数。

2.抛物线的建筑在建筑学中，抛物线形状的拱形结构被广泛应用。

而抛物线就是一元二次方程的图像，因此在设计拱形结构时，需要利用一元二次方程来计算出拱形结构的高度、宽度等重要尺寸参数。

3.金融领域中的应用在金融领域中，一元二次方程也被广泛应用。

例如，通过一元二次方程可以计算出一笔投资的未来价值、资金的回报率等关键指标。

同时，一元二次方程也可以用于研究货币的通胀率、利率等关键宏观经济指标。

4.自然界中的应用在自然界中，一元二次方程也有着广泛的应用。

例如，植物的生长、动物的繁殖等现象都可以通过一元二次方程来描述和分析。

通过一元二次方程的求解，可以得到一些重要的生物学参数，如生长速率、繁殖率等。

四、案例分析1.汽车刹车距离的计算假设一辆汽车以初始速度v0匀速行驶，当刹车后的减速度为a时，汽车的刹车距离可以用一元二次方程来描述。

刹车距离s与刹车时间t 之间的关系可以表示为s=v0t+1/2at²。

通过求解一元二次方程，可以计算出汽车的刹车距离，并根据计算结果来制定行车安全规范。

一元二次方程的应用—数字与图文问题（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度:较难试卷说明：本套试卷结合人教版数学九年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。

一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题2分）（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（）A．35B．53C．62D．35或53【答案】D【分析】设十位数字为x，则个位数字为()8x−，根据新数与原数之积为1855，列出方程，解方程即可．【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为()8x−，根据题意得：()() 1081081855x x x x+−−+=⎡⎤⎣⎦，解得：13x=或25x=，∴这个两位数为35或53，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系列出方程．2．（本题2分）（2022秋·湖北·九年级统考期中）对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”．例如：四位数2156，因为2×6=2×（1+5），所以2156是“共生数”．有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字多3，十位上的数字比个位上数字的一半少1，则这个“共生数”四位数的个位数字为（）A．2B．4C．5D．6【答案】B【分析】设个位上的数字为a，由题意可分别表示出十位、百位及千位上的数字，再由“共生数”可得到方程，解方程即可．【详解】设个位上的数字为a，由题意得：十位上的数字为112a−、百位及千位上的数字分别为3a+与a，由此数是“共生数”，则得方程：12312a a a a⎛⎫⋅=++−⎪⎝⎭，解方程得：4a=或1a=−（舍去），即这个“共生数”四位数的个位数字为4．故选：B．【点睛】本题是新定义问题，考查了一元二次方程的应用，理解新定义的含义并正确列出方程是关键．3．（本题2分）（2023·广东广州·模拟预测）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x=（）A．15B．18C．21D．35【答案】C【分析】共x人，每2人一班，轮流值班，则有()12x x−种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以8=每天3个班，所以总组合数除以3可得出最长需要的天数，解方程即可得出答案．【详解】解：由已知护士x人，每2人一班，轮流值班，可得共有()12x x−种组合，又已知每8小时换班一次，每天3个班次，所以由题意得：()12x x−÷(24÷8)=70解得：x=21，即有21名护士．故选C．【点睛】本题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出x人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．【答案】D【分析】本题首先用含x的式子表示某数的一半，继而表示某数的平方的3倍，最后按数量关系列方程即可．【详解】由已知得：x 的一半为12x ，x 的平方的3倍为23x ， 则有：211324x x −=．故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理清题意，按数量关系列式即可． 5．（本题2分）（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）修建一个面积为 100 平方米的矩形花园，它的长比宽多 10 米，设宽为 x 米，可列方程为 （ ） A ．()10100x x −=B ．()2210100x x +−=C ．()2210100x x ++=D ．()10100x x += 【答案】D【分析】设宽为x 米，则长为()10x +米，根据矩形花园的面积为100平方米，即可由矩形面积公式得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设宽为x 米，则长为()10x +米， 依题意得：()10100x x +=．故选：D ．键． 6．（本题2分）（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x ，原正方形铁皮的面积为224x x +，则无盖箱子的外表面积为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．9【答案】D 【分析】根据题意，得出原正方形铁皮的边长为4x +，从而得到原正方形铁皮的面积为()24x +，即()22424x x x =++，解得1x =，从而得到无盖箱子的外表面积为142189x +⨯=+=，即可得到答案． 【详解】解：正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x ，∴原正方形铁皮的边长为4x +，∴原正方形铁皮的面积为()24x +， 又正方形铁皮的面积为224x x +，∴()22424x x x =++， 解得1x =，∴无盖箱子的外表面积为142189x +⨯=+=，故选：D ．【点睛】本题考查方程的实际应用，读懂题意，准确表示出各个边长，根据等量关系列出方程求解是解决问题的关键．A ．有一种围法B ．有两种围法C ．不能围成菜园D ．无法确定有几种围法【答案】A 【分析】设矩形ABCD 的边AC 为x 米，则宽DC 为()402x −米，根据面积建立一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设矩形ABCD 的边AC 为x 米，则宽DC 为()402x −米，根据题意得：()402194x x −=，即：2240194x x −+=，解得：110x =，210x =而40218x −≤，∴11x ≥，∴10x =∴只有一种围法，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程．A ．()2120080604816x x x −+−=B ．()()4030816x x −−=C ．()()402302816x x −−=D ．()8023021200816x x x +−=− 【答案】B【分析】根据要使草坪的面积为2816m ，列一元二次方程，进一步判断即可．【详解】解：可列方程()()402302816x x −−=， 故C 选项不符合题意，变形后，可得()2120080604816x x x −+−=或()8023021200816x x x +−=−，故A 选项不符合题意，D 选项不符合题意，()()4030816x x −−=不能得到，故B 选项符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键． 9．（本题2分）（2022秋·四川遂宁·九年级统考期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想设矩形门宽为x 尺，则依题意所列方程为（ ）（1丈10==10尺，1尺10==10寸）A ．222( 6.8)10x x ++=B ．()2226.8100x x +−= C ．()2226.810x x +−=D ．2226.8100x += 【答案】A 【分析】设门宽为x 尺，则门的高度为(8)6.x +尺，利用勾股定理及门的对角线长1丈，即可得出关于x 的方程，此题得解．【详解】解：设门宽为x 尺，则门的高度为(8)6.x +尺，依题意得：222( 6.8)10x x ++=，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．10．（本题2分）（2020秋·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）一个矩形内放入两个边长分别为3cm 和4cm 的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm 2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm 2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）A．6cm2B．7 cm2C．12cm2D．19 cm2【答案】B【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于x、y的方程组，利用(②-①)÷3可得出x=y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y值，进而得出x的值，再利用矩形面积公式得出图③摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案．【详解】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：()()16348163411xy xxy y⎧=+−+⎪⎨=+−+⎪⎩①②，（②-①）÷3，得：y-x+1=0，∴x=y+1③．将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，整理，得：y2-2y-15=0，解得：y1=5，y2=-3（舍去），∴x=6．∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：（x-4）（y-3）+（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.11．（本题2分）（2023·全国·九年级假期作业）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为2551m．则道路的宽为是．【答案】1米【分析】设道路的宽为x ．由题意可得：()()2030551x x −−=，解方程即可求解． 【详解】解：设道路的宽为x ．由题意可得：()()2030551x x −−=，整理得：250490x x −+=，解得：11x =，249x =（不符合题意，舍去）．∴道路的宽为1米．故答案为：1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．【答案】8m /8米【分析】设所围矩形与墙垂直的一边长为m x 时，羊圈面积为280m ，此时所围矩形与墙平行的一边长为()2512x +−米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合住房墙的长度为12m ，即可确定所围矩形与墙垂直的一边长的长度．【详解】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为m x 时，羊圈面积为280m ，此时所围矩形与墙平行的一边长为()2512x +−米，由题意得：()251280x x +−=，整理得：213400x x −+=，解得：5x =或8x =，当5x =时，2512251251612x +−=+−⨯=>，不符合题意，舍去；当8x =时，2512251281012x +−=+−⨯=<，符合题意，∴当所围矩形与墙垂直的一边长为8m 时，羊圈面积为280m ， 故答案为：8m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（本题2分）（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，则道路的宽为 米．【答案】2【分析】将同样宽的两条互相垂直的道路平移至矩形地面的最右边与最下面，然后直接列出面积方程求解即可．【详解】设修建的道路宽为x ，则(22)(17)300x x −−=，239374300x x −+=(2)(34)0x x −−=解得2x =或37因为17x <，所以2x =故答案为：2【点睛】此题考查一元二次方程的图形面积问题，解题关键是设出未知数，根据数量关系式直接列方程． 14．（本题2分）（2022秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，是由三个边长分别为6，9，x 的正方形所组成的图形，若直线AB 将它分成面积相等的两部分，则x 的值是 ．【答案】3或6【分析】延长AE BG ，交于点C ，延长AN BH ，交于点D ，可得四边形ADBC 是矩形，依据ABD △与ABC 面积相等，线段AB 将三个正方形分成面积相等的两部分，即可得到四边形CEFG 与四边形DHMN 的面积相等，进而得到x 的值．【详解】解：如图所示，延长AE BG ，交于点C ，延长AN BH ，交于点D ，则四边形ADBC 是矩形，∴ABD △与ABC 面积相等，又∵线段AB 将三个正方形分成面积相等的两部分，∴四边形CEFG 与四边形DHMN 的面积相等，∴6(96)(9)x x ⨯−=−，解得3x =或6，故答案为：3或6．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，矩形的性质，正方形的性质，题中的辅助线的引入是难点． 15．（本题2分）（2022秋·九年级单元测试）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，则原数为 ．【答案】23或32【分析】可以设原来两位数的十位数字为x ，则个位数字为()5x −，然后可表示出两个两位数，然后根据它们的乘积为736列一元二次方程，然后解方程即可．【详解】解：设原两位数的十位数字为x ，则个位数字为()5x −，依题意得：[][]10(5)10(5)736x x x x +−−+=，整理得：2560x x −+=，解得：12x =，2=3x ，当=2x 时，10(5)102(52)23x x +−=⨯+−=，当=3x 时，10(5)103(53)32x x +−=⨯+−=，∴原两位数为23或32，故答案为：23或32．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意设出合适的未知数列出方程并能够准确解出方程． 16．（本题2分）（2022秋·九年级课时练习）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为x ，列出关于x 的方程： .【答案】223200x x −−=【分析】用x 表示出十位上数，即可表示出这个两位数，再根据题目条件列出方程化简即可.【详解】∵个位上的数字为x ，个位上的数字比十位上的数字小4∴十位上的数字为4x +所以这个两位数为()1041140++=+x x x∵个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4∴()22411404++=+−x x x化简得223200x x −−=故答案为223200x x −−=.【点睛】本题考查一元二次方程的应用——数字问题，解题的关键是正确的表示出这个两位数，从而建立方程. 17．（本题2分）（2021·全国·九年级专题练习）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出33⨯个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为 ．【答案】144【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．【详解】根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x ，则最大数为x+16，根据题意得出：x （x+16）=192，解得：x1=8，x2=-24（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故答案为144.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．18．（本题2分）（2022秋·全国·九年级专题练习）有一个两位数，个位数字比十位数字大2，且个位数字与十位数字的平方和等于20，这个两位数是 ．【答案】24【分析】由个位上的数字与十位上的数字的平方和等于20，设未知数代入求得整数解即可．【详解】解：设十位上的数字为x ，的个位上的数字为()2x +，可列方程为()22220x x ++=， 解得12x =，24x =−（舍去），24x \+=，10424x ∴+=，故答案为24．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握题中的等量关系列出方程是本题的解题关键． 19．（本题2分）（2023·全国·九年级专题练习）如图是一块矩形菜地()(),m ,m ABCD AB a AD b ==，面积为()2m s ．现将边AB 增加1m ．（1）如图1，若5a =，边AD 减少1m ，得到的矩形面积不变，则b 的值是 ．（2）如图2，若边AD 增加2m ，有且只有一个a 的值，使得到的矩形面积为()22m s ，则s 的值是 ．【答案】 6 6+6【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．（2）根据面积，建立分式方程，转化为a 一元二次方程，判别式为零计算即可．【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为()2m s ab =，变化后长方形的面积为()()()211m a b +−， ∵5a =，边AD 减少1m ，得到的矩形面积不变，∴()()5115b b +−=，解得6b =，故答案为：6．（2）根据题意，得，起始长方形的面积为()2m s ab =，变化后长方形的面积为()()()212m a b ++， ∴()()212s a b =++，s b a =，∴()212s s a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴221s s a a =++，∴()2220a s a s +−+=，∵有且只有一个a 的值，∴()22Δ4280b ac s s =−=−−=，∴21240s s −+=，解得1266s s =+=−故答案为：6+【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键． 将BCP 沿BP 【答案】125或245AD ＞DC 和AD ＜DC 两种情况讨论，当AD ＞DC 时，点F 落在AD 边上，则设CD 的长度为x ．根据翻折的性质，有58PC PF x ==，38DP x =．即在Rt PDF 中，用勾股定理表示出DF ，再在Rt ABF 中，利用勾股定理得2221(3)32x x +−=，解方程即可得解；当AD ＜DC 时，由翻折变换可知四边形BCPF 是正方形，即有PC=BC ，则CD 易求．【详解】解：如图1所示，AD ＞DC 时，当点F 落在AD 边上，则设CD 的长度为x ．由翻折变化可知，58PC PF x ==，5388DP x x x =−=．在Rt PDF 中，由勾股定理得，4182DF x x ===， ∴132AF x =−． 根据翻折可知BF=BC ，在Rt ABF 中，由勾股定理得，222AB AF BF +=，即2221(3)32x x +−=， 解得125x =，或0x =（舍去）； 如图2所示，AD ＜DC 时，当点F 落在AB 边上，由翻折变换可知，四边形BCPF 是正方形， ∴538x =， 解得245x =．故CD 的长度为：125或245． 故答案为：125或245．【点睛】本题考查了几何图形的翻折、勾股定理、正方形的判定与性质以及一元二次方程的应用等知识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键．三、解答题：本大题共8小题，21-22题每小题6分，23-28题每小题8分，共60分．21．（本题6分）（2022秋·江西景德镇·九年级统考期中）有一块长32cm 、宽14cm 的矩形铁皮．(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为2280cm 的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长；(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为2180cm 的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．【答案】(1)2cm(2)能，3180cm【分析】（1）设截去的小正方形的边长为cm x ，则长方体盒子的底的长为()322cm x −，宽为()142cm x −．根据题意列出方程就可以求出其解．（2）设左边的小正方形的边长为cm x ，根据其底面积为180列出方程，若有解即可能剪裁，否则不能．【详解】（1）设小正方形的边长为x cm ．得： ()()322142280x x −−=，解得：121x =（舍去），22x =．答：裁去的正方形的边长为2cm ．（2）能；设小正方形的边长为y cm ．得：()3221421802y y −⨯−=，解得：122y =（舍去），21y =． 体积为()31801180cm ⨯=【点睛】本题是一道几何图形问题，考查了利用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用．在解答中注意要检验方程的根是否使实际问题有意义．这是在解答时学生容易忽略的问题．22．（本题6分）（2022秋·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？【答案】鸡舍的边长AB 、BC 分别是9米，10米．【分析】设AB 的长度为x 米，则CD 的长度为()1x −米，BC 的长度为()282x −米，根据矩形的面积公式列方程求解，即可得到答案．【详解】解：设AB 的长度为x 米，则CD 的长度为()1x −米，BC 的长度为()()271282x x x −−−=−米， 根据题意得：()28290x x −=，解得：15=x ，29x =，当5x =时，2821812x −=>，不合题意，舍去；当9x =时，28210x −=，即9AB =，10BC =，答：鸡舍的边长AB 、BC 分别是9米，10米．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积公式，一元二次方程的解法，根据题目的等量关系正确列方程是解题关键．23．（本题8分）（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD ，墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求BC 的长；(2)围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求BC 的长；如果不能，请说明理由．【答案】(1)BC 的长为4米(2)不能围成面积为75平方米的花圃．理由见解析【分析】（1）设BC 的长度为x 米，根据矩形的面积公式，列出方程进行求解即可；（2）根据题意，列出方程，利用判别式进行判断即可．【详解】（1）解：设BC 的长度为x 米，则AB 的长度为242x−米， 根据题意得：24402x x −⋅=，整理得：224800x x −+=，解得：124,20x x ==．∵2015>，∴220x =舍去．答：BC 的长为4米．（2）不能围成，理由如下： 当24752x x −⋅=时，整理得，2241500x x −+=()22441150240∆=−−⨯⨯=−<∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为75平方米的花圃．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 24．（本题8分）（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料，回答下列问题：反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21，456的反序数是654．用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为1300，求这个两位数．【答案】52【分析】设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为()3x +，根据这个两位数与其反序数之积为1300，可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为()3x +，根据题意得：()()1031031300x x x x ++++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∴()()10301031300x x x x ++++=，即()()11301131300x x ++=，∴212133033901300x x x +++=，∴23100x x +−=解得2x =或5x =−（舍去），∴()()1031023252x x ++=⨯++=，∴这个两位数为52．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【答案】(1)240b ac −=，不是(2)1mn =(3)121，242，363，484【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；（3）求出m 、n 互为倒数，又2m n +=−得出1m =−，1n =−，求出b a c =+，a c =，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【详解】（1）解：∵10010k a b c =++是喜鹊数，∴24b ac =，即240b ac −=；∵2416=，4218⨯⨯=，168≠，∴241不是喜鹊数；故答案为：240b ac −=；不是；（2）∵x m =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，x n =是一元二次方程20cx bx a ++=的一个根，∴20am bm c ++=，20cn bn a ++=，将20cn bn a ++=两边同除以2n 得：2110a b c n n ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴将m 、1n 看成是方程20ax bx c ++=的两个根，∵240b ac −=，∴方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根， ∴1m n =，即1mn =；故答案为：1mn =；（3）∵2m n +=−，1mn =，∴1m =−，1n =−，∴0a b c −+=，∴b a c =+，∵24b ac =，∴()24+=a c ac ，解得：a c =，∴满足条件的所有k 的值为121，242，363，484；故答案为：121，242，363，484．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义． 26．（本题8分）（2021秋·江苏苏州·九年级统考期中）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：（1）第5个图案中黑色三角形的个数有 个．（2）第n 个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n 的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．【答案】（1）15；（2）不能，理由见详解．【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个；（2）根据图形的变化规律总结出第n 个图形黑色三角的个数为1+12n n （），即可求解．【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15，故答案是：15；（2）不能，理由如下：第n 个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n=1+12n n （），根据题意，得1+1=502n n （），解得：n =不是整数，不合题意，所以第n 个图案中黑色三角形的个数不能是50个．【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第n 个图形黑色三角的个数为是1+12n n （）解题的关键．27．（本题8分）（2022秋·全国·九年级专题练习）发现：四个连续的整数的积加上1是一个整数的平方． 验证：(1)34561⨯⨯⨯+的结果是哪个数的平方？(2)设四个连续的整数分别为1,,1,2n n n n −++，试证明他们的积加上1是一个整数的平方；延伸：(3)有三个连续的整数，前两个整数的平方和等于第三个数的平方，试求出这三个整数分别是多少．【答案】(1)3×4×5×6＋1的结果是19的平方；(2)见解析；(3)这三个连续的整数分别是3、4、5或-1、0、1【分析】(1)按照有理数的乘法计算出结果，即可判断是19的平方；(2)设出四个连续整数，根据题意得到式子，对式子进行转化，利用完全平方公式得到一个整数的平方；(3)设中间的整数是x ，则另外两个整数分别为x -1、x+1，根据“前两个整数的平方和等于第三个数的平方”，列出方程求解即可．【详解】(1)3×4×5×6＋1=361=192，即3×4×5×6＋1的结果是19的平方；(2)设这四个连续整数依次为：n -1，n ，n+1，n+2，则(n -1)n(n+1)(n+2)+1，=[(n -1)(n+2)][n(n+1)]+1=(n2+n -2)(n2+n)+1=(n2+n)2-2(n2+n)+1=(n2+n -1)2．故四个连续整数的积加上1是一个整数的平方；(3)设中间的整数是x ，则第一个是x -1，第三个是x+1，根据题意得(x -1)2+x2=(x+1)2解之得x1=4，x2=0，则x -1=3，x+1=5，或x -1=-1，x+1=1，x=0，答：这三个整数分别是3、4、5、0、1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，因式分解的应用；利用完全平方公式得到一个整数的平方是正确解答本题的关键． 28．（本题8分）（2022秋·福建三明·九年级统考期中）有一块长为a 米，宽为b 米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．(1)如图1，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．①请写出两条小路的面积之和S =______（用含a 、b 的代数式表示）；②若:2:1a b =，且草坪的总面积为2312m ，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？(2)如图2，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中m 条水平方向的小路，n 条竖直方向的小路（m n ，为常数），若2814a b ==，，且草坪的总面积为120平方米，求m n +的值．【答案】(1)①224a b +−②长为28米，宽为14米(2)8m n +=或10【分析】（1）①②根据两条小路的面积之和=两个长方形的面积−重叠的正方形的面积表示即可；②根据草坪的总面积为2312m ，列一元二次方程，求解即可；（2）根据草坪的总面积为120平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的m 和n 的值，即可求出m n +的值．【详解】（1）解：①根据题意，两条小路的面积之和()224S a b =+−平方米， 故答案为：()224a b +−平方米；②根据题意，得()()22312a b −−=，又∵:2:1a b =， 2a b ∴=，∴原方程化为()()222312b b −−=，解得111b =−（不符合题意，舍去），214=b ，228a b ∴==（米），答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米；（2）解：根据题意，得()()282142120n m −−=，整理得()()14730n m −−=， m ，n 为正整数，14n ∴−是正整数且是30的约数，7m −是正整数且是30的约数，当145n −=时，76m −=，9n ∴=，1m =，10m n ∴+=；当146n −=时，75m −=，8n ∴=，2m =，10m n ∴+=；当1410n −=时，73m −=，4n ∴=，4m =，8m n ∴+=，综上所述，8m n +=或10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．。

初三数学一元二次方程的应用一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，其应用广泛地涉及到许多实际问题，例如物体自由落体、弹性问题、图形的绘制以及经济学中的成本函数等等。

本文将会介绍一些关于初三数学一元二次方程应用的案例，以及如何解决这些问题。

1. 物体自由落体问题考虑这样一个问题：某物体从高度为h的地方自由落下，落地后的反弹高度为原高度的一半，求该物体在第n次落地后的总位移。

我们可以设物体在第n次落地后的总位移为S_n，在第n-1次落地后的反弹高度为h_n-1。

根据物体自由落体运动的规律，第n-1次落地后的总位移为S_n-1 = 2h_n-1。

第n次落地后的总位移为S_n = S_n-1 + h_n。

根据题目条件，h_n = h_n-1 / 2，代入上述公式可得到S_n = 2h_n-1 + h_n。

将h_1代入，得到h_1 = h，再将h_2代入可得到h_2 = h/2，以此类推，我们可以得到一个递归公式：h_n = h/2^n。

因此，S_n = 2h + h/2 + h/2^2 + ... + h/2^n。

这是一个等比数列，可以利用数列公式求和公式来求得。

2. 弹性问题某商店举办特惠促销活动，原价为P元的商品以每件打八折出售，朋友A购买了X件商品，朋友B购买了Y件商品，两人一共花费了264元，求X和Y的值。

设朋友A购买的商品原价为P元，则朋友A付出的金额为0.8PX元；朋友B购买的商品原价为P元，则朋友B付出的金额为0.8PY元。

根据题目条件，我们得到方程0.8PX + 0.8PY = 264。

进一步化简可得到0.8(PX + PY) = 264，即PX + PY = 330。

根据一元二次方程的定义，我们可以归纳出该问题可以用一元二次方程来解决。

3. 图形的绘制在平面直角坐标系内绘制抛物线y = ax^2 + bx + c，已知该抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，求抛物线的方程以及点A、B、C的坐标。