实验1 二维离散小波变换

小波分析实验：实验2二维离散小波变换（Mallat快速算法）实验目的：在理解离散小波变换原理和Mallat快速算法的基础上，通过编程对图像进行二维离散小波变换，从而加深对二维小波分解和重构的理性和感性认识，并能提高编程能力，为今后的学习和工作奠定基础。

实验工具：计算机，matlab6.5分解算法:重构算法: “"二工必（刃- 2上*［十三g （刃- 2k ）d ［ *分解算法写成矩阵的形式！ （lb g 的长度为4）4[0]如]力⑵ h[3] 0 0 0 '［勺【0】• 记"h[0] h[\]h[2]山⑶ …• ••••・ • •C J=勺【1] • •申[2] h[3] 00 0-.^[0] ^[1]_.勺［乃-1】_>[0] g[l] g ⑵ g[3] 0 • • •e=• 0 •g[0] g[l]g ⑵ • • g[3]■ • •・■ 0• D J =<[i]■•目2] ■g[3]0 0…茎0] 畀］|g[0] g[l] g[2] g[3] 0 0 0 I0 0 g[0] g[l]g[2] S [3] - 0• ••••• • ••・•・・■ • • g[2] g[3] 0 00 ...g[0] g[l]J |_勺4-1[叨］I二・(2»于是Mallat分解公式为矩阵变换？丄Cj- = PC^................. ⑶卩D j = Q D J-L..... .......... ⑷重构算法写成矩阵变换：-C J_I =C$ + Dj------------------------------------ (5) 4M NPPq. 一片『峰值信噪比计算公式：P沁沁逻竺皿E卢H耿V 屈E M ｛皿，00分别表示原始图像和重建图像，且本实验采取的一些小技乐P (I)分SW法…编程时用如下思想：（h, g 的长度为4）“今［1］勺［刀-1］■ V■■丐⑼£［1］ 4刀-1】将数据。

《医学图像处理》实验报告实验十：小波变换日期： 2014年05月06日摘要本次实验的实验目的及主要内容是:一维小波变换和反变换二维小波变换和反变换二维小波细节置零、去噪一、技术讨论1.1实验原理小波变换的原理:是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。

小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。

不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。

它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。

小波去噪的原理：利用小波变换把含噪信号分解到多尺度中，小波变换多采用二进型，然后在每一尺度下把属于噪声的小波系数去除，保留并增强属于信号的小波系数，最后重构出小波消噪后的信号。

其中关键是用什么准则来去除属于噪声的小波系数，增强属于信号的部分。

1.2实验方法1）dwt函数（实现1-D离散小波变换）[cA,cD]=dwt(X,’wname’)使用指定的小波基函数‘wname’对信号X进行分解，cA和cD分别是近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)用指定的滤波器组Lo_D,Hi_D对信号进行分解2）idwt函数（实现1-D离散小波反变换）X=idwt(cA,cD,’wname’)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,cD,’wname’,L)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)由近似分量cA和细节分量cD经过小波反变换，选择某小波函数或滤波器组，L为信号X中心附近的几个点3）dwt2函数（实现2-D离散小波变换）[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’)[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’)cA近似分量，cH水平细节分量，cV垂直细节分量，cD对角细节分量4）idwt2函数（实现2-D离散反小波变换）X=idwt2(cA,cH,cV,cD,’wname’)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,’wname’,S)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S)二、结果与讨论2.1实验结果一维小波变换的结果图一（a）（b）（a）此时size值取4，f为{1,4，-3,0,}（b）此时size值取6，f为{1,4，-3,0,8,3} 二维小波变换的结果:图二、正变换结果（a ） （b ）反变换结果（利用正变换结果进行反变换）（c ） （d ）置零处理结果：（三个细节分别置零处理）图三 右下角置0（a ）original pic （b ）zero（c ） wave result （d ）change图四 左下角置0（a ）original pic （b ）zero（c ）wave result （d ）change图五右上角置0（a）original pic （b）zero（c）wave result （d）change 去噪结果：图六去噪结果（a）original pic （b）zero（c ）wave result （d ）change2.2实验讨论1）一维小波变换原理是将信号分解为高频和低频两列信号，对于实验中的一维信号，实验结果图一验证了这一结果，即将信号分解为高频和低频。

实验一图像的二维离散傅立叶变换一、实验目的掌握图像的二维离散傅立叶变换以及性质二、实验要求1) 建立输入图像，在6464的黑色图像矩阵的中心建立1616的白色矩形图像点阵，形成图像文件。

对输入图像进行二维傅立叶变换，将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上。

2) 调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换，将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。

3) 调整输入图像中白色矩形的尺寸（4040，44），再进行变换，将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。

三、实验仪器设备及软件HP D538、MATLAB四、实验原理在二维情况下，定义 f(x,y)的傅立叶变换Ｆ(u,v) ：2()2()(,)(,)(,)(,)j ux vy j ux vy F u v f x y e dxdy f x y F u v e dudv ππ∞∞-+-∞-∞∞∞+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰ 它表明了空间频率成分与二维图像信号之间的相互关系对于我们要处理的实际二维图像，其傅氏变换一般是在频率域上有界的，亦即有用成分总是落在一定的频率域范围之内上述的频率域性质的依据在于：一是图像中景物的复杂性具有一定的限度，其中大部分内容是变化不大的区域完全像“雪花”点似的图像没有任何实际意义。

二是人眼对空间复杂性（频率）的分辨率以及显示器的分辨能力都是具有一定限度。

若实变量函数f(x)是绝对可积的，即：且F(u)是可积的，则傅立叶变换对一定存在。

(){}()()[](){}()()[]du ux j u F x f u F dx ux j x f u F ππ2exp 2exp ⎰⎰∞∞-∞∞-==-==1-F xf F如果f(x)考虑为实函数，它的傅立叶变换通常是复数形式，即：()()()u jI u R u F +=也可表为：()()()u j e u F u F φ=若二变量函数f(x,y) 是绝对可积的，即：且F(u,v)是可积的，则傅立叶变换对一定存在。

小波变换相关实验实验目的1、通过观察小波变换系数建立对小波变换及其有关性质的感性认识。

2、掌握小波变换及重构方法；了解小波变换基本应用。

实验内容1、图像二维离散小波变换及其重构；2、小波变换在去噪、压缩、图像增强上的应用。

实验原理1、“小波”就是小区域、长度有限、均值为0的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

与 Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。

小波转换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。

两者的主要区别在于，连续转换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散转换采用所有缩放和平移值的特定子集。

小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的。

它要求的就是一个个小波分量的系数也就是“权”。

其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地“量”信号，也就是去比较信号与小波的相似程度。

信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小。

当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比较，从而得出一组组数据。

如此这般循环，最后得出的就是信号的小波分解（小波级数）。

当尺度及位移均作连续变化时，可以理解必将产生大量数据，作实际应用时并不需要这么多的数据，因此就产生了离散的思想。

将尺度作二进离散就得到二进小波变换，同时也将信号的频带作了二进离散。

当觉得二进离散数据量仍显大时，同时将位移也作离散就得到了离散小波变换。

2、二维离散小波变换常用函数3、小波图像去噪一般方法如下:1）图像的小波分解。

选择合适的小波函数以及适合的分解层次对图像进行分解。

二维haar小波变换二维Haar小波变换是一种常用的图像处理方法，它可以将图像分解为不同频率的子图像，从而实现图像的压缩和去噪等功能。

本文将介绍二维Haar小波变换的基本原理、算法实现和应用案例。

一、基本原理Haar小波变换是一种基于小波分析的信号处理方法，它利用小波函数的特性对信号进行分解和重构。

二维Haar小波变换将二维图像看作是一个矩阵，通过对矩阵的行和列进行小波分解，可以得到图像的不同频率分量。

具体而言，二维Haar小波变换的基本原理如下：1. 将二维图像分解为4个子图像，每个子图像的尺寸是原图像的一半。

2. 对每个子图像进行小波分解，得到近似系数和细节系数。

近似系数表示低频分量，细节系数表示高频分量。

3. 重复以上步骤，将近似系数作为输入，继续进行小波分解，直到达到指定的分解层数。

4. 最后，通过对各个子图像进行合并和重构，得到原图像的小波变换结果。

二、算法实现二维Haar小波变换的算法实现相对简单，可以用矩阵运算来实现。

具体步骤如下：1. 将二维图像转换为灰度图像，并将像素值归一化到[0,1]的范围。

2. 初始化变换矩阵，用于进行小波分解和重构。

3. 对图像的行进行小波变换，得到近似系数和细节系数。

4. 对近似系数和细节系数的列进行小波变换，得到最终的小波变换结果。

三、应用案例二维Haar小波变换在图像处理中有广泛的应用。

以下是几个典型的应用案例：1. 图像压缩：通过对图像进行小波分解，可以将图像的能量集中在少数的系数上，从而实现对图像的压缩。

通过保留较大的系数，可以实现有损压缩；而通过保留较小的系数，可以实现无损压缩。

2. 图像去噪：图像的细节系数通常包含了图像中的噪声信息。

通过对细节系数进行阈值处理，可以将噪声去除，从而实现图像的去噪功能。

3. 图像增强：通过对图像的近似系数进行增强处理，可以提高图像的对比度和清晰度。

通过调整不同频率分量的权重，可以实现不同的增强效果。

4. 特征提取：小波变换可以将图像分解为不同频率的子图像，每个子图像包含了图像的一部分特征信息。

二维离散小波变换滤波在医学图像去噪的应用研究医学图像降噪必须做到既降低图像噪声又保留图像细节。

通过对二维离散小波变换滤波去噪的研究以及实验表明。

采用硬阈值法时，在去噪过程中如果阈值选取太小，降噪后的图像仍然有噪声，如果阈值太大，重要图像特性被滤掉，会引起偏差。

因此对于不同尺度的小波系数应该选取不同的阈值进行医学图像处理。

Abstract：Medical image denoising must do both to reduce image noise and retain image details. Research based on the two-dimensional discrete wavelet transform denoising filter and experiment. The hard threshold method in denoising process，if the threshold is too small，the denoised image is still noise，if the threshold is too large，an important characteristic of image is filtered out，will cause the deviation. The wavelet coefficients of different scales should select different thresholds for medical image processing.Key words：Discrete wavelet；Transform filter；Denoising1 二维离散小波变换分解算法2 二维离散小波变换重构算法二维小波变换的重建算法的基本思想同一位小波变换的重建算法类似，唯一不同的是二维小波仔重构的过程中也要在两个维度进行。

静态二维离散小波变换
静态二维离散小波变换（2D-DWT）是一种信号处理技术，用于在图像和视频等多维数据上进行特征提取、降噪和压缩等任务。

通过将频率和空间信息分离，2D-DWT可以将图像分解成低频和高频子带，在不同频带内对图像进行不同程度的平滑和细节保留，从而实现信号的压缩和降噪。

2D-DWT通常采用多级分解的方式，即将原始图像重复进行分解，直到达到所需的分辨率或特定的应用要求。

每个分解级别包括一个水平低频分量（LL）、一个水平高频分量（LH）、一个垂直高频分量（HL）和一个对角线高频分量（HH）。

图像的2D-DWT过程如下：
对于二维图像，首先对每一行进行一维离散小波变换（DWT），得到该行的低频分量和高频分量。

将第一步得到的结果进行转置操作，然后再对每一行进行一维DWT，得到该列的低频分量和高频分量。

将第二步得到的结果再次转置，得到该图像对角线位置的高频分量。

将第二步得到的低频分量进行下采样，得到一半大小的低频分量。

将第二步得到的高频分量进行下采样，得到一半大小的高频分量。

重复以上步骤直到达到所需分解级别，最终得到原始图像在不同尺度下的低频和高频子带。

实验一图像的二维离散傅立叶变换一、实验目的掌握图像的二维离散傅立叶变换以及性质二、实验要求1) 建立输入图像,在6464的黑色图像矩阵的中心建立1616的白色矩形图像点阵,形成图像文件。

对输入图像进行二维傅立叶变换,将原始图像及变换图像(三维、中心化)都显示于屏幕上。

2) 调整输入图像中白色矩形的位置,再进行变换,将原始图像及变换图像(三维、中心化)都显示于屏幕上,比较变换结果。

3) 调整输入图像中白色矩形的尺寸(4040,44),再进行变换,将原始图像及变换图像(三维、中心化)都显示于屏幕上,比较变换结果。

三、 实验仪器设备及软件HP D538、MATLAB四、 实验原理在二维情况下,定义 f(x,y)的傅立叶变换Ｆ(u,v) :2()2()(,)(,)(,)(,)j ux vy j ux vy F u v f x y e dxdy f x y F u v e dudv ππ∞∞-+-∞-∞∞∞+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰它表明了空间频率成分与二维图像信号之间的相互关系对于我们要处理的实际二维图像,其傅氏变换一般就是在频率域上有界的,亦即有用成分总就是落在一定的频率域范围之内上述的频率域性质的依据在于:一就是图像中景物的复杂性具有一定的限度,其中大部分内容就是变化不大的区域完全像“雪花”点似的图像没有任何实际意义。

二就是人眼对空间复杂性(频率)的分辨率以及显示器的分辨能力都就是具有一定限度。

若实变量函数f(x)就是绝对可积的,即:且F(u)就是可积的,则傅立叶变换对一定存在。

(){}()()[](){}()()[]du ux j u F x f u F dx ux j x f u F ππ2exp 2exp ⎰⎰∞∞-∞∞-==-==1-F xf F如果f(x)考虑为实函数,它的傅立叶变换通常就是复数形式,即:()()()u jI u R u F +=也可表为:()()()u j e u F u F φ=若二变量函数f(x,y) 就是绝对可积的,即:且F(u,v)就是可积的,则傅立叶变换对一定存在。

图形信息科学与技术专业2D图像离散小波变换算法研究进入21世纪以来，图形信息科学与技术领域取得了巨大的发展。

其中，2D图像处理技术在数字图像处理、计算机视觉、模式识别等领域中得到广泛的应用。

为了提高图像处理的效果和效率，离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）成为了一种重要的图像处理方法。

本文将对2D图像离散小波变换算法进行研究，并探索其应用。

首先，我们需要了解小波变换的基本原理。

小波变换是一种基于函数的线性变换，它将原始信号分解为不同频率的子信号。

在图像处理中，小波变换可以将图像分解为低频部分和高频部分，分别对应图像的细节和纹理信息。

离散小波变换是对连续小波变换的离散化处理，通过采样获取离散信号的小波系数。

在2D图像离散小波变换算法的研究中，最常用的方法是基于Mallat算法的快速小波变换（Fast Wavelet Transform，FWT）。

FWT通过将图像分解为低频和高频部分，并进行多级分解，得到不同尺度和方向的小波系数。

另外，针对特定应用场景，研究者也提出了一些改进算法，如整数离散小波变换算法（Integer Wavelet Transform，IWT）和定向小波变换（Directional WaveletTransform，DWT），用于提高小波变换的计算效率和图像处理的准确性。

在实际应用中，2D图像离散小波变换算法具有广泛的应用前景。

首先，它可以用于图像压缩。

通过将图像分解为不同尺度和方向的小波系数，可以实现对图像的有损或无损压缩。

其次，离散小波变换可以用于图像增强。

通过对小波系数进行阈值处理，可以去除图像中的噪声和干扰，提高图像的质量和清晰度。

此外，离散小波变换还可以应用于图像融合、图像分割、目标识别等领域。

尽管2D图像离散小波变换算法在图像处理中具有广泛的应用，但仍存在一些待解决的问题。

首先，基于Mallat算法的FWT在多级分解时，需要大量的内存和计算资源。