2018届高考数学(理)二轮专题复习： 专题六 解析几何 1-6-2 Word版含答案

2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题六 解析几何1.练高考1.【2017课标3，理5】已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B故选B.2.【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .【答案】22(1)(1x y ++-=【解析】3.【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±4.【2017课标1，理】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN=60°，则C 的离心率为________.【答案】3【解析】试题分析：5.【2017天津，理19】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62AP 的方程. 【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=. 【解析】（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m m B m m -+-++.由2(1,)Q m-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.又因为APD△6221626232||m m m ⨯⨯=+，整理得23|20m m -+=，解得6||3m =，所以63m =±. 所以，直线AP 的方程为3630x -=，或3630x -=.6.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>2，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【答案】（I ）2212x y +=.（Ⅱ）SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为12k =.（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2211,23x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得()22114210k x x +--=，由题意知0∆>，且()1121222111,21221x x x x k k +==-++，所以121AB x =-=.由题意可知圆M 的半径r为1r =由题设知122k k =，所以212k =因此直线OC 的方程为12y =.联立方程2211,22,4x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此 2221211814k OC x y k +=++2.练模拟1.直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为 ） A ．566ππ或B ．33ππ-或C ．66ππ-或D ．6π 【答案】A【解析】圆()()22234x y -+-=的圆心()3,2，半径2=r ，圆心()3,2到直线y kx =+直线3y kx =+被圆()()2223x y -+-=2.【2018届湖北省稳派教育高三上第二次联考】 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的半焦距为c ，且满足220c b ac -+<，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵220c b ac -+<，∴()2220c a c ac --+<，即2220c a ac -+<，∴22210c c a a -+<，即2210e e +-<，解得112e -<<。

6．解析几何1．【2018年浙江卷】双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2) 2．【2018年理数天津卷】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A. B. C. D.3．【2018年理北京卷】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 44．【2018年理新课标I卷】已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 45．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 86．【2018年全国卷Ⅲ理】设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A. B. 2 C. D.7．【2018年全国卷Ⅲ理】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.8．【2018年理数全国卷II】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.9．【2018年理数全国卷II】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.10．【2018年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．11．【2018年理数天津卷】已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.12．【2018年理北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．13．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．14．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．15．【2018年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．16．【2018年理数天津卷】设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.17．【2018年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．18．【2018年江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O 的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．19．【2018年理新课标I卷】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.20．【2018年全国卷Ⅲ理】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．21．【2018年理数全国卷II】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．优质模拟试题22．【江西省南昌市2018届三模】“在两条相交直线的一对对顶角内，到这两条直线的距离的积为正常数的点的轨迹是双曲线，其中这两条直线称之为双曲线的渐近线”．已知对勾函数是双曲线，它到两渐近线距离的积是,根据此判定定理，可推断此双曲线的渐近线方程是（）A. 与B. 与C. 与D. 与23．【江西省重点中学协作体2018届二模】设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.24．【山东省济南市2018届二模】已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（）A. B. C. D.25．【山东省济南市2018届二模】设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.26．【南省郑州市2018届三模】已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为（）A. B. C. D.27．【河北省唐山市2018届三模】已知是抛物线上任意一点，是圆上任意一点，则的最小值为（）A. B. 3 C. D.28．【福建省厦门市2018届三模】若双曲线的渐近线与圆无交点，则的离心率的取值范围为__________．29．【河南省洛阳市2018届三模】已知抛物线，点，在抛物线上，且横坐标分别为，，抛物线上的点在，之间（不包括点，点），过点作直线的垂线，垂足为.（1）求直线斜率的取值范围；（2）求的最大值.30．【湖南省益阳市2018届5月统考】已知直线经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，，直线与抛物线交于，两点在轴的两侧.（1）证明：为定值；（2）求直线的斜率的取值范围；（3）已知函数在（）处取得最小值，求线段的中点到点的距离的最小值（用表示）.6．解析几何答案1．【2018年浙江卷】双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.2．【2018年理数天津卷】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择C选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.3．【2018年理北京卷】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．4．【2018年理新课标I卷】已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.5．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.6．【2018年全国卷Ⅲ理】设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A. B. 2 C. D.【答案】C点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题。

A 级1．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析： 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.答案： C2．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B ．213C.253D ．43解析： 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.答案： B3．过点P (－2,2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条解析： 由题意可知直线l 方程为x a ＋yb ＝1(a <0，b >0)，于是⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12(－a )·b ＝8，解得－a＝b ＝4，故满足条件的直线l 一共有1条，故选C.答案： C4．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A.102B ．10C ．5D ．10解析： 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.答案： D5．已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B ，交C 1的准线于C ，D ，若四边形ABCD 为矩形，则圆C 2的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝3 B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝12D ．x 2＋(y －1)2＝16解析： 如图，连接AC ，BD ，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，12， 而|F A |＝|AD |＝|FB |为圆的半径r ， 于是A ⎝⎛⎭⎫32r ，12＋12r ，而A 在抛物线上，故⎝⎛⎭⎫32r 2＝2⎝⎛⎭⎫12＋12r ， ∴r ＝2，故选B. 答案： B6．已知点A (－1,0)，过点A 可作圆x 2＋y 2－mx ＋1＝0的两条切线，则m 的取值范围是________．解析： 由题意得点A (－1,0)在圆外，所以1＋m ＋1>0，所以m >－2，又⎝⎛⎭⎫x －m22＋y 2＝m 24－1表示圆，所以m 24－1>0⇒m >2或m <－2，所以m >2. 答案： (2，＋∞)7．(2017·惠州市第三次调研考试)已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0交于两点A ，B ，且△CAB 为等边三角形，则圆C 的面积为________．解析： x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0⇒(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，因此圆心C 到直线y ＝ax的距离为32a 2－1＝|a 2－1|a 2＋1，所以a 2＝7，圆C 的面积为π(a 2－1)2＝6π.答案： 6π8．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析： 过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA ，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|12＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |min ＝|OP |2－|OA |2＝2. 答案： 29．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解析： (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②得，a ＝2，b ＝2.(2)由题意知当a ＝0或b ＝0时不成立． ∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a 1－a ，故l 1和l 2的方程可分别表示为(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等， ∴4⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解析： (1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2， 将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2， 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，则PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2. 所以PQ →·MQ →的最小值为－4.B 级1．(2017·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )，且f (y 2－2y ＋3)＋f (x 2－4x ＋1)≤0，则当y ≥1时，yx ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤14，34 B ．⎣⎡⎦⎤14，1 C ．[1,32－3]D ．⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 解析： 函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )为奇函数，又f ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在实数范围内单调递增，则f (x 2－4x ＋1)≤f (－y 2＋2y －3)，即(x －2)2＋(y －1)2≤1，当y ≥1时表示的区域为半圆及其内部，令k ＝y x ＋1＝yx －(－1)，其几何意义为过点(－1,0)与半圆相交或相切的直线的斜率，斜率最小时直线过点(3,1)，此时k min ＝13－(－1)＝14，斜率最大时直线刚好与半圆相切，圆心到直线的距离d ＝|2k －1＋k |k 2＋1＝1(k >0)，解得k max ＝34，故选A. 答案： A2．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，若等边△P AB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC |的最大值为________．解析： 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为C (1,2)，半径r ＝2，若等边△P AB的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC ⊥AB .在△P AC 中，∠APC ＝30°，由正弦定理得|AC |sin 30°＝|PC |sin ∠P AC，所以|PC |＝22sin ∠P AC ≤22，故|PC |的最大值为2 2.答案： 2 23．已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解析： (1)(坐标法)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意得(x ＋1)2＋y 2＝3·(x －1)2＋y 2， 整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0， 即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)(参数法)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1,0)． 设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，设线段CD 的中点为P ， 连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2. 设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝⎛⎭⎫t ＋22，t －22. 由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝⎛⎭⎫t ＋22－12＋⎝⎛⎭⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解析： (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上． (2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4， 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4， 所以2m 2－m －1＝0， 解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10， 圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854， 圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516.。

2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题六 解析几何考向一 直线与圆【高考改编☆回顾基础】2x ＋y ＝0垂直的直线方程为________． 【答案】y＝12x【解析】因为直线2x ＋y ＝0的斜率为－2，所以所求直线的斜率为12，所以所求直线方程为y ＝12x.2.【弦长问题】【2016·全国卷Ⅰ改编】设直线y ＝x ＋22与圆C ：x 2＋y 2－22y －2＝0相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 【答案】2 33.【直线与圆，圆与圆的位置关系】【2016·山东卷改编】已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． 【答案】相交 【解析】由垂径定理得a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4，∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝（0－1）2＋（2－1）2＝2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交．4.【椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系】【2017课标3，改编】已知椭圆C：22221x y a b+=，（a>b>0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 .【解析】【命题预测☆看准方向】从近五年的高考试题来看,高考的重点是求圆的方程、求与圆有关的轨迹方程、直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系,圆与圆锥曲线的交汇问题是高考的热点,经常以选择题、解答题的形式出现.另外，从高考试题看，涉及直线、圆的问题有与圆锥曲线等综合命题趋势.复习中应注意围绕圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等,其中经常考查的是圆与圆位置关系中的动点轨迹,直线与圆的位置关系中的弦长问题、切线问题、参数的取值范围等.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届北京丰台二中高三上学期期中】已知点()2,0P 及圆22:6440C x y x y +-++=．（Ⅰ）设过P 的直线1l 与圆C 交于M ， N 两点，当4MN =时，求以MN 为直径的圆Q 的方程．（Ⅱ）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ， B 两点，是否存在实数a ，使得过点P 的直线l ，垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ()2224x y -+= (2) 不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ．【解析】试题分析：（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C 到P 的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d ，发现|CP|与d 相等，所以得到P 为MN 的中点，所以以MN 为直径的圆的圆心坐标即为P 的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y 得到关于x 的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的取值范围，利用反证法证明证明即可．（Ⅱ）把直线10ax y -+=及1y ax =+代入圆C 的方程，消去y ，整理得：()()2216190ax a x ++-+=，由于直线10ax y -+=交圆C 于A ， B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(),0-∞． 设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在直线2l 上， 所以2l 的斜率2PC k =，所以12AB k a ==， 由于()1,02∉-∞， 故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ．【趁热打铁】【2018届江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校高三12月联考】经过点()2,0且圆心是直线2x =与直线4x y +=的交点的圆的标准方程为__________． 【答案】()()22224x y -+-=【解析】直线2x =与直线4x y +=的交点为()2,2 即圆心为()2,2，因为圆经过点()2,0所以半径为2，故圆的标准方程为()()22224x y -+-= 故答案为()()22224x y -+-=【例2】已知圆C 经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N. (1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1→·BA 2→； (3)求证：|AN|·|BM|为定值．【答案】(1)x 2＋y 2＝4.(2)3.(3)证明：见解析.(2)将y ＝x ＋1代入x 2＋y 2＝4得2x 2＋2x －3＝0. 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－32.∴BA 1→·BA 2→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝－3＋1＋5＝3. (3)证明：当直线PA 的斜率不存在时，|AN|·|BM|＝8. 当直线PA 与直线PB 的斜率都存在时，设P(x 0，y 0)， 直线PA 的方程为y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 02－y 0，0.直线PB 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 02－x 0.∴|AN|·|BM|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2y 02－x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2x 02－y 0＝4＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0x 0－2＋x 0y 0－2＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2） ＝ 4 ＋ 4·y 20 －2y 0 ＋ x 20 －2x 0 ＋ x 0 y 0 （x 0 －2）（y 0 －2） ＝ 4 ＋ 4·4－2y 0 －2x 0 ＋ x 0 y 0（x 0 －2）（y 0 －2） ＝ 4 ＋4×4－2y 0 －2x 0 ＋ x 0 y 04－2y 0 －2x 0 ＋ x 0 y 0 ＝ 8， 故|AN|·|BM|为定值8.【趁热打铁】(1)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围为________________．(2)已知圆C ：x 2＋y 2－ax ＋2y －a ＋4＝0关于直线l 1：ax ＋3y －5＝0对称，过点P(3，－2)的直线l 2与圆C 交于A ，B 两点，则弦长|AB|的最小值为________________． 【答案】(1)－43≤k≤0 (2)2 3.(2)圆C ：x 2＋y 2－ax ＋2y －a ＋4＝0，其圆心C 为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－1，半径r ＝12a 2＋4a －12.∵圆C 关于直线l 1：ax ＋3y －5＝0对称，∴a22－3－5＝0，解得a ＝±4.当a ＝－4时，半径小于0，不合题意，舍去． ∴a ＝4，则圆心C 为(2，－1)，半径r ＝ 5.由|PC|＝2<5，可知点P 在圆内，则当弦长|AB|最小时，直线l 2与PC 所在直线垂直． 此时圆心C 到直线l 2的距离d ＝|PC|＝2， 弦长|AB|＝2r 2－d 2＝23， 即所求最小值为2 3.【方法总结☆全面提升】1.要注意几种直线方程的局限性,点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直,两点式方程要求直线不能与坐标轴垂直,而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.2.求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件,即若斜率存在时,“斜率相等”或“互为负倒数”;若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去研究.3.求圆的方程一般有两类方法:(1)几何法,通过圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,求得圆的基本量和方程; (2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.4.直线与圆的位置关系: (1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离；(2)几何法．把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔相离． 优先选用几何法.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A,B.①求圆1C 的圆心坐标.②求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程.③是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 【规范解答】: ①由22650x y x +-+=,得(x-3)2+y 2=4, 从而可知圆C 1的圆心坐标为(3,0).②设线段AB 的中点M(x,y), 由弦的性质可知C 1M ⊥AB,即C 1M ⊥OM.故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C ,半径r=|OC 1|=3=,其方程为+y 2=,即x 2+y 2-3x=0. 又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内,所以<2.又x 2+y 2-3x=0,所以x> 易知x≤3,所以<x≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0【反思提高】处理有关圆的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如经常用到弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形,利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化. 【误区警示】1.求轨迹方程常用的方法有直接法、定义法、相关点法(坐标代入法)等,解决此类问题时要读懂题目给出的条件,进行合理转化,准确得出结论.本题确定轨迹方程，易于忽视横坐标的限制范围.2.涉及直线与圆的位置关系时,应多考虑圆的几何性质,利用几何法进行运算求解往往会减少运算量.考向二 椭圆、双曲线、抛物线【高考改编☆回顾基础】1.【椭圆的方程及其几何性质】【2017·江苏卷改编】椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，椭圆的半焦距为c 且a 2＝4c ，则椭圆E 的标准方程为____________． 【答案】x 24＋y23＝1【解析】因为椭圆E 的离心率为12，所以e ＝c a ＝12，又a 2＝4c,所以a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3，因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y23＝1.2．【双曲线的方程及其几何性质】【2017·全国卷Ⅲ】双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________. 【答案】5【解析】令x 2a 2－y 29＝0，得双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x ，∵双曲线x 2a 2－y 29＝1(a>0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.3. 【抛物线方程及其几何性质】【2017课标1，改编】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 . 【答案】16【命题预测☆看准方向】从近五年的高考试题来看,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是高考考查的重点,也是高考命题的基本元素.考查的角度有:对圆锥曲线的定义的理解及定义的应用,求圆锥曲线的标准方程,求圆锥曲线的离心率以及向量、直线、圆锥曲线的小综合. 考查的重点是依据圆锥曲线的几何性质求离心率;根据圆锥曲线的定义求标准方程；圆锥曲线与向量的小综合;两种圆锥曲线间的小综合;直线与圆锥曲线的小综合;圆锥曲线的综合应用等.【典例分析☆提升能力】【例1】【2017课标II ，理9】若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2B 32 D ．233【答案】A 【解析】【趁热打铁】【2018届吉林省实验中学高三上第五次月考（一模）】F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为357 【答案】D【解析】设AB m =，则112212,24AF BF BF a AF AF a m a =-==+∴=，由余弦定理得()()222022464264cos60287,7c a a a a a e e =+-⨯⨯⨯=∴== 选D.【例2】【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

限时规范训练十六 圆锥曲线的定义、性质，直线与圆锥曲线限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等解析：选A.由25＋(9－k )＝(25－k )＋9，知两曲线的焦距相等．2．(2017·宁夏银川质检)抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3解析：选D.由抛物线y 2＝8x ，有2p ＝8⇒p ＝4，焦点坐标为(2,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，有d ＝|3×2－0|3＋1＝3，故选D.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点．则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B.∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，则b a ＝52，①又∵椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9， ②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.4．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选D.因为抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点(4,0)重合，所以p ＝8.设A (m ，n )，又|AK |＝2|AF |，所以m ＋4＝|n |， 又n 2＝16m ，解得m ＝4，|n |＝8， 所以△AFK 的面积为S ＝12×8×8＝32.5．(2017·安徽合肥模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：选A.设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x2－1)，PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2，选A.6．(2017·浙江宁波模拟)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：选C.取双曲线的一条渐近线为y ＝bax ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝bax ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pa 2b2，y ＝2pab ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pa 2b2，2pa b .因为点A 到抛物线C 1的准线的距离为p .所以p 2＋2pa 2b 2＝p ，所以a 2b 2＝14.所以双曲线C 2的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5. 7．(2017·山东德州一模)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选A.抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，由n 2＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)，可得9a 2－24＝1(a ＞0)，解得a ＝35，故双曲线的渐近线方程为y ＝±53x ，即5x ±3y＝0.故选A.8．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.由题意可知直线AE 的斜率存在，设为k ，直线AE 的方程为y ＝k (x ＋a )，令x ＝0可得点E 坐标为(0，ka )，所以OE 的中点H 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，ka 2，又右顶点B (a,0)，所以可得直线BM 的斜率为－k 2，可设其方程为y ＝－k 2x ＋k2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋a ，y ＝－k 2x ＋k 2a ，可得点M 横坐标为－a3，又点M 的横坐标和左焦点相同，所以－a 3＝－c ，所以e ＝13.9．已知双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，F 为其右焦点，A 1，A 2分别是实轴的左、右端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x ＝a 分别交于M ，N 两点，若FM →·FN→＝0，则a 的值为( )A.169B.95C.259D.165解析：选B.∵双曲线x 29－y 216＝1，右焦点F (5,0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设P (x ，y )，M (a ，m )，N (a ，n )，∵P ，A 1，M 三点共线，∴m a ＋3＝y x ＋3，m ＝y a ＋x ＋3， ∵P ，A 2，N 三点共线，∴na －3＝yx －3，∴n ＝y a －x －3.∵x 29－y 216＝1，∴x 2－99＝y 216，∴y 2x 2－9＝169.又FM →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y a ＋x ＋3，FN →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y a －x －3，∴FM →·FN →＝(a －5)2＋y 2a 2－x 2－9＝(a －5)2＋a 2－9，∵FM →·FN →＝0，∴(a －5)2＋a 2－9＝0，∴25a 2－90a ＋81＝0，∴a ＝95.故选B.10．(2017·山东东营模拟)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率为( )A.2＋12 B.2＋1C.3＋12D.3＋1解析：选C.因为双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→， 因为|PF 1|＝3|PF 2|，所以|F 1F 2|＝2|PF 2|＝4c ，即|PF 2|＝2c ， 所以|PF 1|－|PF 2|＝3|PF 2|－|PF 2| ＝(3－1)|PF 2|＝2a ，因为|PF 2|＝2c ，所以2c (3－1)＝2a ，e ＝c a ＝13－1＝3＋12. 11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.12．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：选A.设AB 倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ，又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2＋θ，|DE |＝2p sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝2p cos 2θ而y 2＝4x ，即p ＝2. ∴|AB |＋|DE |＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋1cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16，当θ＝π4时取等号， 即|AB |＋|DE |最小值为16，故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为________．解析：因为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12×m ×2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋m2＝25，又c a ＝52，所以a ＝ 4.答案：414．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2， 则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得(－2c ，－b 2)＝3(x 0＋c ，y 0)，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得－b29＋19b 2＝1， 解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.答案：x 2＋3y22＝115．(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)， ∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0， 即c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.答案：6316．(2017·山东潍坊模拟)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为________．解析：设AF ＝a ，BF ＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2，因为a ＋b 2＝AF ＋BF2＝MN ，所以|AB |2≥34|2MN |2，所以|AB ||MN |≥3，所以最小值为 3.答案： 3。

A 级1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，2 B ．(1，＋∞) C ．(1,2)D ．⎝⎛⎭⎫12，1解析： 由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C. 答案： C2．一个焦点为(26，0)且与双曲线y 24－x 29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 218－x 28＝1 B ．x 218－y 28＝1C.x 216－y 210＝1 D ．y 216－x 210＝1解析： 设所求双曲线方程为y 24－x 29＝t (t ≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t |＝26，又焦点在x 轴上，所以t ＝－2，即双曲线方程为x 218－y 28＝1.选B.答案： B3．(2017·长沙市统一模拟考试)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2解析： 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.选A.答案： A4．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )。

限时规范训练十七 圆锥曲线的综合问题限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分解答题(本题共5小题，每小题12分，共60分)1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q ＝(－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .2．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，点P 在椭圆C 上，满足|PF 1|＝7|PF 2|，tan∠F 1PF 2＝4 3.(1)求椭圆C 的方程．(2)已知点A (1,0)，试探究是否存在直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于D ，E 两点，且使得|AD |＝|AE |？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由|PF 1|＝7|PF 2|，PF 1＋PF 2＝2a 得PF 1＝7a 4，PF 2＝a 4，由cos 2∠F 1PF 2＝11＋tan 2∠F 1PF 2＝11＋32＝149，又由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝17＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42－322×7a 4×a 4，所以a ＝2，故所求C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 满足题设，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝－16(m 2－4k 2－1)＞0，得4k 2＋1＞m 2①，又x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2设D ，E 中点为M (x 0，y 0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，k AM ·k ＝－1，得m ＝－1＋4k 23k ②，将②代入①得4k 2＋1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k 23k 2，化简得20k 4＋k 2－1＞0⇒(4k 2＋1)(5k 2－1)＞0，解得k ＞55或k ＜－55，所以存在直线l ，使得|AD |＝|AE |，此时k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－55∪⎝ ⎛⎭⎪⎫55，＋∞.3．(2017·广州五校联考)已知双曲线M ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的上焦点为F ，上顶点为A ，B 为虚轴的端点，离心率e ＝233，且S △ABF ＝1－32.抛物线N 的顶点在坐标原点，焦点为F . (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程．(2)设动直线l 与抛物线N 相切于点P ，与抛物线的准线相交于点Q ，则以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如要不经过，试说明理由．解：(1)在双曲线M 中，c ＝a 2＋b 2，由e ＝233，得a 2＋b 2a ＝233，解得a ＝3b ，故c ＝2b .所以S △ABF ＝12(c －a )×b ＝12(2b －3b )×b ＝1－32，解得b ＝1. 所以a ＝3，c ＝2.所以双曲线M 的方程为y 23－x 2＝1，其上焦点为F (0,2)，所以抛物线N 的方程为x 2＝8y .(2)由(1)知y ＝18x 2，故y ′＝14x ，抛物线的准线方程为y ＝－2.设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且直线l 的方程为y －y 0＝14x 0(x －x 0)，即y ＝14x 0x －18x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 0x －18x 20，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－162x 0，y ＝－2，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2.假设存在点R (0，y 1)，使得以PQ 为直径的圆恒过该点，也就是RP →·RQ →＝0对任意的x 0，y 0恒成立．又RP →＝(x 0，y 0－y 1)，RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－162x 0，－2－y 1，由RP →·RQ →＝0，得x 0×x 20－162x 0＋(y 0－y 1)(－2－y 1)＝0，整理得x 20－162－2y 0－y 0y 1＋2y 1＋y 21＝0，即(y 21＋2y 1－8)＋(2－y 1)y 0＝0.(☆)由于(☆)式对满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的任意x 0，y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－y 1＝0，y 21＋2y 1－8＝0，解得y 1＝2.故存在y 轴上的定点R (0,2)，使得以PQ 为直径的圆恒过该点．4．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，F 2的坐标满足圆Q 方程(x －2)2＋(y －1)2＝1，且圆心Q 满足|QF 1|＋|QF 2|＝2a .(1)求椭圆C 1的方程．(2)过点P (0,1)的直线l 1交椭圆C 1于A ，B 两点，过P 与l 1垂直的直线l 2交圆Q 于C ，D 两点，M 为线段CD 中点，求△MAB 面积的取值范围．解：(1)方程(x －2)2＋(y －1)2＝1为圆，此圆与x 轴相切，切点为F 2(2，0)，所以c ＝2，即a 2－b 2＝2，且F 2(2，0)，F 1(－2，0)，|QF 1|＝|F 1F 2|2＋|QF 2|2＝22＋12＝3，又|QF 1|＋|QF 2|＝3＋1＝2a .所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当l 1平行x 轴时，l 2与圆Q 无公共点，从而△MAB 不存在； 所以设l 1：x ＝t (y －1)，则l 2：tx ＋y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，x ＝t y －消去x 得(t 2＋2)y 2－2t 2y ＋t 2－4＝0，则|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝2＋t22t 2＋t 2＋2.又圆心Q (2，1)到l 2的距离d 1＝|2t |1＋t2＜1得t 2＜1.又MP ⊥AB ，QM ⊥CD ，所以M 到AB 的距离即Q 到AB 的距离，设为d 2，即d 2＝|2－t ＋t |1＋t 2＝21＋t 2. 所以△MAB 面积S ＝12|AB |·d 2＝2t 2＋4t 2＋2，令u ＝t 2＋4∈[2，5)，则S ＝f (u )＝2u u 2－2＝2u －2u∈⎝ ⎛⎦⎥⎤253，2. 所以△MAB 面积的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤253，2. 5．(2017·山东潍坊模拟)如图，点O 为坐标原点，点F 为抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：x 2＋y 2＝1相切于点Q .(1)当直线PQ 的方程为x －y －2＝0时，求抛物线C 1的方程；(2)当正数p 变化时，记S 1，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求S 1S 2的最小值．解：(1)设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 202p ，由x 2＝2py (p ＞0)得，y ＝x 22p ，求导得y ′＝x p .因为直线PQ 的斜率为1，所以x 0p ＝1且x 0－x 202p－2＝0，解得p ＝22，所以抛物线C 1的方程为x 2＝42y .(2)因为点P 处的切线方程为：y －x 202p ＝x 0p(x －x 0)，即2x 0x －2py －x 20＝0，根据切线又与圆相切，得|－x 20|4x 20＋4p2＝1，化简得x 40＝4x 20＋4p 2，由4p 2＝x 40－4x 20＞0，得|x 0|＞2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0x －2py －x 20＝0，x 2＋y 2＝1，解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0，4－x 202p ，所以|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |＝1＋x 20p 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－2x 0＝ p 2＋x 20p ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0＝14x 40－x 20＋x 20p ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0＝|x 0|2p(x 20－2)． 点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到切线PQ 的距离是d ＝|－p 2－x 20|4x 20＋4p 2＝ 12x 20＋p 2＝12x 20＋14x 40－x 20＝x 204，所以S 1＝12|PQ |·d ＝|x 30|16p(x 20－2)，S 2＝12|OF ||x Q |＝p2|x 0|， 所以S 1S 2＝x 40x 20－8p 2＝x 40x 20－x 40－4x 20＝x 20x 20－x 20－＝x 20－42＋4x 20－4＋3≥22＋3， 当且仅当x 20－42＝4x 20－4时取“＝”号， 即x 20＝4＋22，此时，p ＝2＋22，所以S 1S 2的最小值为3＋2 2.。

限时规范训练十五 圆锥曲线的定义、性质，直线与圆锥曲线限时40分钟，实际用时________ 分值80分，实际得分________一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等解析：选A.由25＋(9－k )＝(25－k )＋9，知两曲线的焦距相等．2．(2017·宁夏银川质检)抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3解析：选D.由抛物线y 2＝8x ，有2p ＝8⇒p ＝4，焦点坐标为(2,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，有d ＝|3×2－0|3＋1＝3，故选D.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点．则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B.∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，则b a ＝52，① 又∵椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.4．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选D.因为抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点(4,0)重合，所以p ＝8.设A (m ，n )，又|AK |＝2|AF |，所以m ＋4＝|n |， 又n 2＝16m ，解得m ＝4，|n |＝8， 所以△AFK 的面积为S ＝12×8×8＝32.5．(2017·安徽合肥模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：选A.设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x2－1)，PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2，选A.6．(2017·浙江宁波模拟)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：选C.取双曲线的一条渐近线为y ＝bax ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝bax ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pa 2b2，y ＝2pab ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pa 2b2，2pa b .因为点A 到抛物线C 1的准线的距离为p .所以p 2＋2pa 2b 2＝p ，所以a 2b 2＝14.所以双曲线C 2的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5. 7．(2017·山东德州一模)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选A.抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，由n 2＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)，可得9a 2－24＝1(a ＞0)，解得a ＝35，故双曲线的渐近线方程为y ＝±53x ，即5x ±3y＝0.故选A.8．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.由题意可知直线AE 的斜率存在，设为k ，直线AE 的方程为y ＝k (x ＋a )，令x ＝0可得点E 坐标为(0，ka )，所以OE 的中点H 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，ka 2，又右顶点B (a,0)，所以可得直线BM 的斜率为－k 2，可设其方程为y ＝－k 2x ＋k2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋a ，y ＝－k 2x ＋k 2a ，可得点M 横坐标为－a3，又点M 的横坐标和左焦点相同，所以－a 3＝－c ，所以e ＝13.9．已知双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，F 为其右焦点，A 1，A 2分别是实轴的左、右端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x ＝a 分别交于M ，N 两点，若FM →·FN→＝0，则a 的值为( )A.169B.95C.259D.165解析：选B.∵双曲线x 29－y 216＝1，右焦点F (5,0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设P (x ，y )，M (a ，m )，N (a ，n )，∵P ，A 1，M 三点共线，∴m a ＋3＝y x ＋3，m ＝y a ＋x ＋3， ∵P ，A 2，N 三点共线，∴na －3＝yx －3，∴n ＝y a －x －3.∵x 29－y 216＝1，∴x 2－99＝y 216，∴y 2x 2－9＝169.又FM →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y a ＋x ＋3，FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －5，y a －x －3，∴FM →·FN →＝(a －5)2＋y 2a 2－x 2－9＝(a －5)2＋a 2－9，∵FM →·FN →＝0，∴(a －5)2＋a 2－9＝0，∴25a 2－90a ＋81＝0，∴a ＝95.故选B.10．(2017·山东东营模拟)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率为( )A.2＋12 B.2＋1C.3＋12D.3＋1解析：选C.因为双曲线右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→， 因为|PF 1|＝3|PF 2|，所以|F 1F 2|＝2|PF 2|＝4c ，即|PF 2|＝2c ， 所以|PF 1|－|PF 2|＝3|PF 2|－|PF 2| ＝(3－1)|PF 2|＝2a ，因为|PF 2|＝2c ，所以2c (3－1)＝2a ，e ＝c a ＝13－1＝3＋12. 11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.12．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：选A.设AB 倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ，又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2＋θ，|DE |＝2p sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝2p cos 2θ而y 2＝4x ，即p ＝2. ∴|AB |＋|DE |＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋1cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16，当θ＝π4时取等号， 即|AB |＋|DE |最小值为16，故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为________．解析：因为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12×m ×2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋m2＝25，又c a ＝52，所以a ＝4. 答案：414．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2， 则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得(－2c ，－b 2)＝3(x 0＋c ，y 0)，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得－b29＋19b 2＝1， 解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.答案：x 2＋3y22＝115．(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)， ∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0， 即c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.答案：6316．(2017·山东潍坊模拟)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为________．解析：设AF ＝a ，BF ＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2，因为a ＋b 2＝AF ＋BF2＝MN ，所以|AB |2≥34|2MN |2，所以|AB ||MN |≥3，所以最小值为 3.答案： 3。

专题06 平面解析几何（四）平面解析几何初步1.直线与方程(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.2.圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3.空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式.（十五）圆锥曲线与方程1.圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的简单应用.(5)理解数形结合的思想.2.曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.对于直线与圆的考查：1．从考查题型来看，涉及本专题的题目一般在选择题、填空题中出现，考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系等.2．从考查内容来看，主要考查直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系，及直线、圆与其他知识点相结合.3．从考查热点来看，直线与圆的位置关系是高考命题的热点，通过几何图形判断直线与圆的位置关系，利用代数方程的形式进行代数化推理判断，是对直线与圆位置关系的最好的判断，体现了数形结合的思想. 对于圆锥曲线的考查：1．从考查题型来看，涉及本专题的选择题、填空题常结合圆锥曲线的定义及其简单几何性质，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过建立代数方程求解.解答题中则常综合考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系等.2．从考查内容来看，主要考查圆锥曲线的方程，以及根据方程及其相应图形考查简单几何性质，重点是椭圆及抛物线的简单几何性质的综合应用，注重运算求解能力的考查. 3．从考查热点来看，直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的热点，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过直线方程与圆锥曲线方程的联立，结合椭圆、双曲线、抛物线的定义考查与之有关的问题，重点突出考查运算的能力，体现了数形结合的思想.考向一 圆与方程样题1 （2016新课标II 理）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A样题2 （2017新课标III 理）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程. 【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+. 由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --=，则124y y =-. 又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x ==. 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -⋅==-，所以OA OB ⊥. 故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+.故圆心M 的坐标为()22,m m +，圆M 的半径r =.由于圆M 过点()4,2P -，因此0AP BP ⋅=，故()()()()121244220x x y y --+++=，即()()1212121242200x x x x y y y y -+++++=， 由（1）可得12124,4y y x x =-=.所以2210m m --=，解得1m =或12m =-. 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为()3,1，圆M 圆M 的方程为()()223110x y -+-=.当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆M 的半M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0∆>或说明中点在曲线内部.考向二 圆锥曲线的简单几何性质样题3 （2017新课标III 理）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A BC ．3D ．13【答案】A样题4 （2017新课标全国II 理科）若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2BCD【答案】A样题5 （2017新课标III 理科）已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为by x a =±，在椭圆中：2212,3a b ==，2229,3c a b c ∴=-==，故双曲线C 的焦点坐标为(3,0)±，据此可得双曲线中的方程组：2223,b c c a b a ===+，解得224,5a b ==， 则双曲线C 的方程为2145x y 2-=．故选B ． 【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()2220x y a bλλ2-=≠，再由条件求出λ的值即可.样题6 （2017新课标I 理科）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．10【答案】A考向三 直线与圆锥曲线样题7 （2017浙江）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24，-，39()24，B ，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PA PQ ⋅的最大值．样题8 （2017天津理科）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △AP 的方程．坐标，写出直线的方程，利用面积求直线方程，利用代数的方法解决几何问题，即坐标化、方程化、代数化，这是解题的关键．考向四 曲线方程的求解样题9 已知抛物线C ：22y x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．考向五 圆锥曲线的其他综合问题样题10 （2017新课标全国I 理科）已知椭圆C ：22221()0x y a ba b +=>>，四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t），（t，）．则121k k +==-，得2t =，不符合题设，从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）．将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+． 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-， 当且仅当1m >-时0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中11 未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．样题11 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为1F ，离心率为2，过点1F 且与x 轴（1）求椭圆C 的方程；（2）若24y x =上存在两点M N 、，椭圆C 上存在两个点P Q 、满足： 1P Q F 、、三点共线， 1M N F 、、三点共线且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.。

2018高三二轮复习之讲练测之测案【新课标版理科数学】专题六 解析几何总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）1．“直线1y kx =+与圆()2221x y -+=相切”是“43k =-”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C2．【2018届安徽省六安市第一中学高三上学期第五次月考】设m R ∈，则“0m = ”是“直线()()1:1110l m x m y ++--=与直线()()2:12140l m x m y -+++=垂直”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由直线12l l 与垂直可得()()()()111210m m m m +-+-+=，解得01m m ==或．所以“0m = ”是“直线()()1:1110l m x m y ++--=与直线()()2:12140l m x m y -+++=垂直”的充分不必要条件．选A ．3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则该双曲线的离心率等于A.2【答案】C【解析】∵双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为by x a ==±∴由题意得ba=b = ∵22223c a b a =+=∴c =∴离心率ce a==故选C.4．已知双曲线C ： 2219x y a -= (a>0)与双曲线221412x y -=有相同的离心率，则实数a 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C2=，解得a ＝3.5．已知圆22:20M x y ay +-=（0a >）截直线0x y +=所得弦长是a 的值为23 【答案】B【解析】圆M ： ()222x y a a +-= ，圆心为()0,a ，半径为a ，圆心到直线0x y +==，2221242a a a +=⇒=， 0,2a a >∴= ，选B. 6．已知点M 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点， F 为C 的焦点， MF 的中点坐标是()2,2，则p 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又中点()2,2，所以4,42p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以16242p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得4p =.故选D. 7．【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为A. 2 【答案】D点睛：双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a ＝－和e=ca转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．8l 与椭圆22221x y a b +=（0a b >>）交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）12C. 2D. 13【答案】C【解析】由题意，2b ac =，得)22ac a c =-20e +=，所以e =故选C.9．【2018届吉林省普通中学高三第二次调研】已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且·6OAOB =（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是6 C. 132D. 【答案】B【解析】设直线AB 的方程为x ty m =+，点()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 与x 轴交点为()0,M m ∴联立2{x ty m y x=+=，可得2y ty m =+，根据韦达定理得12y y m ⋅=-。

A 级1．(2017·湖北省七市(州)联考)双曲线－＝1(a ，b >0)的离心率为，左、右焦点分x 2a 2y 2b 23别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( )A.－y 2＝1B ．x 2－＝1x 22y 22C ．x 2－＝1D ．－y 2＝1y 23x 23解析：　∵∠F 1PF 2的平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，∴|PF 1|＝|PQ |，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PQ |－|PF 2|＝2a ，即|F 2Q |＝2＝2a ，解得a ＝1.又e ＝＝⇒c ＝⇒b 2＝c 2－a 2＝2，∴双曲线的方程为x 2－＝1.故选B.ca 33y 22答案：　B2．(2017·云南省第一次统一检测)抛物线M 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，准线与曲线E ：x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上一点，若·＝－4，则点A 的坐标是( )OA→ AF → A ．(－1,2)或(－1，－2) B ．(1,2)或(1，－2)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：　设抛物线M 的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线方程为x ＝－.曲线E 的方程p2可化为(x －3)2＋(y ＋2)2＝16，则有3＋＝4，解得p ＝2，所以抛物线M 的方程为p2y 2＝4x ，F (1,0)．设A ，则＝，＝，所以·＝(y 204，y 0)OA → (y 204，y 0)AF → (1－y 204，－y 0)OA → AF → y 204－y ＝－4，解得y 0＝±2，所以x 0＝1，所以点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)，故选B.(1－y 204)20答案：　B3．(2017·成都市第二次诊断性检测)如图，抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使|OA |＝|AC |，过点C ，D 作y 轴的垂线，垂足分别为点E ，G ，则|EG |的最小值为________．解析：　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|EG |＝y 4－y 3＝y 2－2y 1.因12为AB 为抛物线y 2＝4x 的焦点弦，所以y 1y 2＝－4，所以|EG |＝y 2－2×＝y 2＋≥212(－4y 2)128y 2＝4，当且仅当y 2＝，即y 2＝4时取等号，所以|EG |的最小值为4.12y 2×8y 2128y 2答案：　44．(2017·郑州市第二次质量预测)已知双曲线C 2与椭圆C 1：＋＝1具有相同的焦x 24y 23点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为________．解析：　设双曲线C 2的方程为－＝1(a >0，b >0)，由题意知a 2＋b 2＝4－3＝1，由x 2a 2y 2b 2Error!，解得交点的坐标满足Error!，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S ＝4|xy |＝4·＝8··≤8·4a 23(1－a 2)3a 21－a 23＝4，当且仅当a 2＝1－a 2，即a 2＝时，取等号，此时双曲线的方程为a 2＋1－a 22312－＝1，离心率e ＝.x 212y 2122答案：　25．(2017·郑州市第二次质量预测)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切．(1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．解析：　(1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则＝1，p ＝2.p2∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，联立得Error!⇒x 2－4kx ＋8＝0，∴Error!k AC ＝＝＝，直线AC 的方程为y －y 1＝(x －x 1)．y 1－y 2x 1＋x 2x 214－x 24x 1＋x 2x 1－x 24x 1－x 24即y ＝y 1＋(x －x 1)＝x －＋＝x ＋，x 1－x 24x 1－x 24x 1(x 1－x 2)4x 214x 1－x 24x 1x 24∵x 1x 2＝8，∴y ＝x ＋＝x ＋2，即直线AC 恒过点(0,2)．x 1－x 24x 1x 24x 1－x 246．(2017·惠州市第三次调研考试)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为x 2a 2y 2b 2F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A在椭圆C 上．(1，22)(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足＝？若存在，求出直线的方程；53PM→ NQ → 若不存在，说明理由．解析：　(1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝2，(1，22)2因此a ＝，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为＋y 2＝1.2x 22(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)，(x 3，53)由Error!消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，2t9故y 0＝＝，且－3<t <3.y 1＋y 22t9由＝得＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，PM → NQ → (x 1－x 3，y 1－53)所以有y 1－＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－＝t －.53532953(也可由＝知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，DPM→ NQ →也为线段PQ 的中点，所以y 0＝＝，可得y 4＝)53＋y 42t 92t －159又－3<t <3，所以－<y 4<－1，73与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾．因此不存在满足条件的直线．B 级1．(2017·新疆第二次适应性检测)已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且·＝·.QP→ QF → FP → FQ → (1)求动点P 的轨迹G 的方程；(2)点F 关于原点的对称点为M ，过点F 的直线与G 交于A ，B 两点，且AB 不垂直于x 轴，直线AM 交曲线G 于点C ，直线BM 交曲线G 于点D .①证明直线AB 与直线CD 的倾斜角互补；②直线CD 是否经过定点？若经过定点，求出这个定点，否则，说明理由．解析：　(1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由F (1,0)及·＝·，得QP→ QF → FP → FQ → (x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ，所以动点P 的轨迹G 的方程为y 2＝4x .(2)由题易知点F 关于原点的对称点为M (－1,0)，设过点F 的直线AB 的方程为x ＝ny ＋1(n ≠0)，联立方程得Error!消去x ，得y 2－4ny －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－4.设直线AM 的方程为x ＝my －1，联立方程得Error!消去x ，得y 2－4my ＋4＝0，设C (x 3，y 3)，则y 1y 3＝4，即y 3＝，4y 1易得A ，C ，同理可得B ，D .(y 214，y 1)(4y 21，4y 1)(y 24，y 2)(4y 2，4y 2)①∵k AB ＝＝，k CD ＝＝＝，y 1－y 2y 214－y 244y 1＋y 24y 1－4y 24y 21－4y 2y 1y 2y 1＋y 2－4y 1＋y 2∴k AB ＋k CD ＝0，设直线AB ，CD 的倾斜角分别为α，β，则tan α＝tan (π－β)，又0<α<π，0<β<π，且α，β≠，π2∴α＝π－β，即α＋β＝π.∴直线AB 与直线CD 的倾斜角互补．②易知直线CD 的方程y ＝－＋，4y 1＋y 2(x －4y 21)4y 1令y ＝0，得x ＝＋＝＝＝1，y 1＋y 2y 14y 21y 21＋y 1y 2＋4y 21y 21y 21∴直线CD 过定点(1,0)．2．(2017·东北四市高考模拟)椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的长轴长为2，P 为椭圆C x 2a 2y 2b 22上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，A 2为椭圆C 的右顶点，点M 为线段PA 2的中点，且直线PA 2与直线OM 的斜率之积恒为－.12(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，点N 的横坐标的取值范围是，求|AB |的取值范围．(－14，0)解析：　(1)由已知得2a ＝2，a ＝，22设点P (x 0，y 0)，x 0≠±a 且x 0≠0，点A 1为椭圆C 的左顶点，∵k OM ＝kPA 1，∴kPA 2×k OM ＝kPA 2×kPA 1＝×＝，y 0x 0－a y 0x 0＋a y 20x 20－a 2又P (x 0，y 0)在椭圆上，∴＋＝1，x 20a 2y 20b 2∴kPA 2×k OM ＝－＝－，∴＝，∴b 2＝1，b 2a 212b 2a 212∴椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 22(2)设直线l ：y ＝k (x ＋1)，联立直线与椭圆方程，得Error!，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Error!∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝.2k2k 2＋1记AB 的中点为Q ，则Q，(－2k 22k 2＋1，k2k 2＋1)∴直线QN 的方程为y －＝－＝－x －，k 2k 2＋11k(x ＋2k 22k 2＋1)1k 2k2k 2＋1∴N，由已知得－<－<0，(－k 22k 2＋1，0)14k 22k 2＋1∴0<2k 2<1，∴|AB |＝|x 1－x 2|＝×＝×＝1＋k 21＋k 2(－4k 22k 2＋1)2－4×2k 2－22k 2＋11＋k 2221＋k 22k 2＋1，2(1＋12k 2＋1)∵<<1，∴|AB |∈.1212k 2＋1(322，22)。