2015高考理科数学《空间几何体的表面积和体积》练习题

专题八立体几何8.1 空间几何体的表面积和体积基础篇考点一空间几何体的结构特征1.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( ) A.2 B.2√2 C.4 D.4√2答案B2.(2015山东,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D.2π答案C3.(多选)(2023届湖北摸底联考,10)折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧DE,AC所在圆的半径分别是3和9,且∠ABC=120°,则该圆台的( )图1图2A.高为4√2B.体积为50√23πC.表面积为34πD.上底面面积、下底面面积和侧面积之比为1∶9∶22答案AC4.(2020浙江,14,4分)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是.答案1考点二空间几何体的表面积与体积1.(2018课标Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为( ) A.8 B.6√2 C.8√2 D.8√3答案C2.(2022武汉部分重点中学联考,3)若一圆台的上底面半径为1,且上、下底面半径和高的比为1∶2∶√3,则圆台的体积为( )A.7√33B.7√3 C.7√3π3D.7√3π答案C3.(2023届浙南名校联盟联考,4)直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在同一球面上,若AB=3,AC=AA1=2,∠BAC=π3,则此球的表面积为( )A.40π9B.40π3C.32π3D.32π答案B4.(2021全国甲理,11,5分)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为( )A.√212B.√312C.√24D.√34答案A5.(2021全国甲文,14,5分)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为.答案39π6.(2020新高考Ⅱ,13,5分)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN的体积为.答案17.(2018天津文,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.答案13综合篇考法一空间几何体的表面积和体积考向一求空间几何体表面积的方法1.(2022广东中山模拟,6)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.现已知该四棱锥的高与斜高(棱锥侧面三角形底边上的高)的比值为45,则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是( )A.45B.35C.125D.512答案B2.(2023届广州8月阶段测,4)2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫,威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进,开尔文胞体是一种多面体,它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形),已知该多面体共有24个顶点,且棱长为1,则该多面体的表面积是( )A.9√3+6B.9√3+8C.12√3+6D.12√3+8答案C3.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π答案 C4.(2020课标Ⅰ,文12,理10,5分)已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个点,☉O 1为△ABC 的外接圆.若☉O 1的面积为4π,AB=BC=AC=OO 1,则球O 的表面积为 ( )A.64πB.48πC.36πD.32π 答案 A5.(2018课标Ⅱ理,16,5分)已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为 . 答案 40√2π考向二 求空间几何体体积的方法1.(2021新高考Ⅱ,5,5分)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为( )A.56B.28√2C.563D.28√23答案 D2.(2022新高考Ⅰ,4,5分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m 时,相应水面的面积为140.0 km 2;水位为海拔157.5 m 时,相应水面的面积为180.0 km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m 上升到157.5 m 时,增加的水量约为(√7≈2.65)( )A.1.0×109 m 3B.1.2×109 m 3C.1.4×109 m 3D.1.6×109 m 3 答案 C3.(2022全国甲,理9,文10,5分)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙.若S 甲S 乙=2,则V 甲V 乙= ( )A.√5B.2√2C.√10D.5√104答案 C4.(2022全国乙,理9,文12,5分)已知球O 的半径为1,四棱锥的顶点为O ,底面的四个顶点均在球O 的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为 ( )A.13 B.12 C.√33D.√22答案 C5.(2022新高考Ⅰ,8,5分)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3√3,则该正四棱锥体积的取值范围是( )A.[18,814] B.[274,814]C.[274,643] D.[18,27]答案C6.(多选)(2022新高考Ⅱ,11,5分)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则( )A.V3=2V2B.V3=V1C.V3=V1+V2D.2V3=3V1答案CD7.(多选)(2023届长沙长郡中学月考,10)正四棱锥P-ABCD的所有棱长为2,用垂直于侧棱PC的平面α截该四棱锥,则( )A.PC⊥BDB.四棱锥外接球的表面积为8πC.PA与底面ABCD所成的角为60°D.当平面α经过侧棱PC的中点时,截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3∶1答案ABD考法二与球有关的切、接问题考向一空间几何体的外接球问题1.(2020天津,5,5分)若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.12π B.24π C.36π D.144π答案C2.(2020课标Ⅱ理,10,5分)已知△ABC是面积为9√34的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为( )A.√3B.32 C.1 D.√32答案 C3.(2022江苏南通重点中学强基测试,8)三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上.PA =2,PB =3,PC =4,AB =√13,BC =5,AC =2√5,则球O 的表面积为 ( )A.28πB.29πC.30πD.31π 答案 B4.(2022新高考Ⅱ,7,5分)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3√3和4√3,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.100πB.128πC.144πD.192π 答案 A5.(2023届海南琼海嘉积中学月考,8)中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也,甍,屋盖也”.翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD 为正方形,四边形ABFE 、四边形DCFE 为两个全等的等腰梯形,EF ∥AB ,AB =BF =2EF =4,则此刍甍的外接球的表面积为 ( )A.4√1111π B.4√1313π C.36811π D.16013π 答案 C6.(2019课标Ⅰ理,12,5分)已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为( )A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6π 答案 D7.(2022山东青岛二中期末,15)已知A ,B ,C 是半径为2的球O 的球面上的三个点,且AC ⊥BC ,AC =BC =√2,则三棱锥O -ABC 的体积为 . 答案√33考向二空间几何体的内切球问题1.(2022辽宁鞍山月考,4)正方体的外接球体积与内切球体积的比为( )A.3B.3√3C.√3D.2答案B2.(2022辽宁大连模拟,6)现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥,其内部放有一个小球,当小球体积最大时,该圆锥与小球的体积之比是( ) A.9∶4 B.9∶5 C.3∶2 D.3∶1答案A3.(2022浙江丽水模拟)已知球O为正四面体ABCD的内切球,E为棱BD的中点,AB=2,则平面ACE截球O所得截面圆的直径为.答案√63。

1.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为2.【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π3.【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.4.【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π5.【2014高考北京理第8题】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体P—EFQ的体积()A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关6.【2014湖南7】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4π将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）同一个球面上，则该球的体积为（）9.【2014新课标，理6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）10.【2015高考新课标2，理9】已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π11.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

空间几何体的表面积与体积习题附答案1.圆柱的侧面积可以通过展开图计算，展开图是一个正方形，边长为2πr，所以侧面积为4πr^2，即4πS，因此选项为A。

2.根据三视图可以看出该几何体由两个同底的半圆锥组成，底面半径为1，高为3，因此体积为2×(1/3)πr^2h=π，因此选项为D。

3.根据三视图可以看出该几何体是一个组合体，由一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱和一个底面为等腰直角三角形的三棱锥组成。

直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，因此梯形的高为2，底边为2和4，面积为(2+4)×2/2=6，共有2个梯形，因此梯形的面积之和为12，因此选项为B。

4.根据三视图可以看出该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，圆锥的高为圆柱高的一半，因此圆锥的高为2，圆柱的底面积为π，侧面积为4π，圆锥的侧面积为2π×5/2=5π，因此表面积为π+4π+5π=9π+5π，因此选项为A。

5.根据三视图可以看出该几何体为一个直三棱柱削去一个同底的三棱锥，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面均为两直角边分别为3和4的直角三角形，因此三棱柱的体积为底面积×高=3×4×5=60，三棱锥的体积为1/3×底面积×高=1/3×3×4×3=4，因此该几何体的体积为60-4=56，因此选项为C。

C1F＝4，连接EF，交AD于点G，求三角形AEF和四边形ABCG的面积和长方体ABCD-A1B1C1D1的体积．解：首先可以求出AE＝BF＝6，EF＝8，再根据三角形相似可以求出AG＝12，GD＝4，因此AD＝16，AGD为等腰直角三角形，所以GD＝DG＝4，因此CG＝10，BG＝AB－AG ＝4，所以ABCG为梯形，其面积为(AB＋CG)×4＝56.三角形AEF的面积为1/2×AE×EF＝24.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为16×10×8＝1280.题目1：一长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。

考点34 空间几何体及其表面积与体积1.（2015.上海.理文，4）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16，则a= ．2.（2015.上海.理，6）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．3.（2015.上海.文，19）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧 CB 的中点. 已知2PO =，1OA =. 求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.4.（2015.湖南.理，19）如图所示，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上. （1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.5.（2015.湖北.文，20）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的 中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． PABEO C OQP B 1A 1C 1D 1BACD第20题图6.（2015.江苏，9）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ．7.（2015.四川.文，14）在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P 分别是AB,BC,B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______. 8.（2015.山东.理，7）在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A. 23πB. 43πC. 53π D. 2π9.（2015.山东.文，9）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A ）223π（B ）423π（C ）22π （D ）42π10.（2015.安徽.文，19）如图，三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =1，AB =1，AC =2，∠BAC =60°．（I ）求三棱锥P-ABC 的体积；（II ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求MCPM的值．11.（2015.全国I.理文，6）《九章算术》是我过古代内容极为丰富的数 学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角， 下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意 思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一 个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米 堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约 为3，估算出堆放的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 (C) 36斛 (D) 66斛 12.（2015.全国I.文，18）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ﹣ACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积．13.（2015.全国II.理文，6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61（D ）5114.（2015.全国II.文，19）如图,长方体1111ABCD A BC D -中AB=16,BC=10,18AA =,点E,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（Ⅱ）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.。

第八篇立体几何第1讲空间几何体及其表面积与体积基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数是________．解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．答案 ①③④⑤3．在三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是________． 解析 设侧棱长为a ，则2a ＝2，a ＝2，侧面积为3×12×a 2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3. 答案 3＋ 34．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________． 解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎨⎧πrl ＝2π，πr 2＝π，∴⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3. ∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝33π. 答案 33π5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________．解析 如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.答案 43π6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案 267．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析 设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝9π2，∴R 3＝278，而R ＝32. 由于3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，∴a ＝ 3.答案38.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.答案 23 二、解答题9.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .(1)求证：PC ⊥AB ；(2)求点C 到平面APB 的距离． (1)证明 取AB 中点D ，连接PD ，CD .因为AP ＝BP ，所以PD ⊥AB ，因为AC＝BC，所以CD⊥AB.因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥AB.(2)解设C到平面APB的距离为h，则由题意，得AP＝PB＝AB＝AC2＋BC2＝22，所以PC＝AP2－AC2＝2.因为CD＝12AB＝2，PD＝32PB＝6，所以PC2＋CD2＝PD2，所以PC⊥CD.由(1)得AB⊥平面PCD，于是由V C－APB ＝V A－PDC＋V B－PDC，得13·h·S△APB＝13AB·S△PDC，所以h＝AB·S△PDCS△APB＝22×12×2×234×(22)2＝233.故点C到平面APB的距离为23 3.10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝13π(3r)2·3r－43πr3＝53πr3，将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积为V′＝13π⎝⎛⎭⎪⎫33h2h＝19πh3，由V＝V′，得h＝315r.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC ＝30°，则棱锥S－ABC的体积为________．解析由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝3，SC＝4，所以SA＝SB＝23，AC ＝BC＝2，作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此V S－ABC＝13×34×(3)2×4＝ 3.答案 32.(2014·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1＝3，M为线段B1B上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．解析如图，当AM＋MC1最小时，BM＝1，所以AM2＝2，C1M2＝8，AC21＝14，于是由余弦定理，得cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC1＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32，＝12×2×22×32＝ 3.答案33.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm 、高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm.解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝ 13 cm.答案 13 二、解答题4．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2， ∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.。

空间几何体的表面积与体积达标练习新人教A版必修2
1 正方体的内切球和外接球的半径之比为（）
A B C D
2 棱长都是的三棱锥的表面积为（）
A B C D
3 在△ABC中，,若使绕直线旋转一周，
则所形成的几何体的体积是（）
A B C D
4 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为，它的对角线的长
分别是和，则这个棱柱的侧面积是（）
A B C D
5．已知正三棱锥的底面边长为a，高为a，则正三棱锥的侧面面积等于（用a的式子表示）________________ .
6 圆台的较小底面半径为，母线长为，一条母线和底面的一条半径有交点且成,则圆台的侧
面积为____________ .
7 一个直径为厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高厘米则此球
的半径为_________厘米
8 若三个球的表面积之比是，则它们的体积比是_____________
9 正方体中，是上底面中心，若正方体的棱长为，
则三棱锥的体积为_____________
10 如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积
11 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底
面直径为，高，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大（高不变）；二是高度增加 (底面直径不变) （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3）哪个方案更经济些？。

空间几何体的表面积和体积一•课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

二. 命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。

即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托•因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式•同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用"割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三. 要点精讲1.多面体的面积和体积公式棱长。

2 .旋转体的面积和体积公式i2下底面半径，R表示半径。

四. 典例解析题型1 :柱体的体积和表面积例1 •一个长方体全面积是20cm2,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长例2 .如图1所示，在平行六面体ABCD —A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA i=3, AB 丄AD，/ A1AB= / A1AD= —。

3(1)求证：顶点A1在底面ABCD上的射影0在/ BAD的平分线上；(2)求这个平行六面体的体积。

图1 图2题型2:柱体的表面积、体积综合问题例3 •一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 ,2, . 3, . 6，这个长方体对角线的长是( ) A • 2 . 3B • 3.2C . 6D •. 6例 6. (2015 北京，19) • (本小题满分12分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面PAD 平面ABCD , AB // DC , △ PAD 是等边三 角形，已知 BD 2AD 8，AB 2DC 4「5 •(I)设M 是PC 上的一点，证明：平面 MBD 平面PAD ; (n)求四棱锥 P ABCD 的体积.例4•如图，三棱柱 ABC-ABC 中，若E 、F 分别为 AB AC 的中点，平面 柱分成体积为 V 、V 2的两部分，那么 V : V 2= _______题型3:锥体的体积和表面积 (2015湖北卷3)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球 的体积为 A. 83C. 8,2D.32 3EBC i 将三棱PCPM C题型4:锥体体积、表面积综合问题例7. ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC= 2,求点B到平面EFG的距离?E7BC例8 （2015江西理，12）如图，在四面体 ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O, 且与BC, DC 分别截于E 、F ,如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 A- BEFD与三棱锥A - EFC 的表面积分别是 S i , S 2,则必有（）A. S i S 2 B . Si S 2C. S i =$D. S i , S 2的大小关系不能确定题型5:棱台的体积、面积及其综合问题例9. （2015四川理，19） （本小题满分12分）如图，面ABEFL 面ABCD 四边形ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，/ BAD / FAB=90 , BC L 丄AD, BE £-AF , G H 分别是FA 、FD 的中点。

第2节空间几何体的表面积和体积课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥体积是( B )(A)8 (B)(C)4 (D)解析:由题意可以得到原四棱锥的底面正方形的边长为2,四棱锥的高为2,体积为V=×4×2=,故选B.2.(2013陕西宝鸡市模拟)若一个底面是等腰直角三角形(C为直角顶点)的三棱柱的正视图如图所示,则该三棱柱的体积等于( A )(A)1 (B)(C)(D)解析:由正视图知,该三棱柱的底面两直角边的长为,高为1,所以该三棱柱的体积V=×××1=1.故选A.3.(2013西安联考)某个容器的三视图中正视图与侧视图相同,如图所示,则这个容器的容积(不计容器材料的厚度)为( B )(A)π(B)π(C)π(D)π解析:由三视图知,原几何体为圆锥和圆柱的组合体,其中圆锥和圆柱的底面半径为1,圆柱的高为2,圆锥的高为1,所以这个容器的容积为V=π×12×2+×π×12×1=,故选B.4.(2013兰州市诊断测试)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( C )(A) (B)8-(C)8-(D)8-2π解析:由三视图知,几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥,正方体的棱长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,所以该几何体的体积为V=23-×π×12×2=8-,故选C.5.(2012年高考广东卷)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π解析:由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体,球的半径为3,圆锥的底面半径为3、高为4,那么根据体积公式可得组合体的体积为30π,故选C.6.(2013梅州市高三质检)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球表面积为( A )(A)29π(B)30π(C)π(D)216π解析:如图,由题中三视图知三棱锥直观图为D1ACD.其中D1D,AD,DC两两垂直,则其外接球直径2R==.则外接球表面积为S=4π·2=29π,故选A.二、填空题7.(2013年高考江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥F ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1∶V2= .解析:==··=×××=.答案:1∶248.(2013天津市一中月考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.解析:由三视图可知几何体是一个圆柱体由平面截后剩余的一部分,并且可知该几何体是一个高为6,底面半径为1的圆柱体的一半,则知所求几何体体积为×π×12×6=3π.答案:3π9.(2013山西师大附中模拟)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为,一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为.解析:由三视图知,该几何体是由两个完全相同的正四棱锥组合在一起的.因为正视图、侧视图都是面积为,一个内角为60°的菱形,所以菱形的边长为1,即正四棱锥的底面边长为1,侧面的斜高为1. 因此,这个几何体的表面积为S=×1×1×8=4.答案:410.(2013广东六校第三次联考)有一个各棱长均为1的正四棱锥,想用一张正方形包装纸将其完全包住,不能剪裁,可以折叠,那么包装纸的最小面积为.解析:这是一个折叠与展开的问题,将展开平铺后的正四棱锥放在正方形的纸上,当正四棱锥的顶点和正方形的顶点重合(如图所示)时,纸的面积最小.此时,设正方形的边长为a,由余弦定理a2=12+12-2cos 150°=2+,2=2+.故S答案:2+三、解答题11.如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm):(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.解:(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q A1D1P的组合体.由PA=,A1D1=AD=2,可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×+2××()2=22+4(cm2),体积V=23+×()2×2=10(cm3).12.(2013山东潍坊期末)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,求该球的表面积.解:如图所示该几何体的直观图是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥C1ABCD.其中底面ABCD是边长为4的正方形,高为CC1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,=2R,则球的直径为AC所以球的半径为R=2,所以球的表面积是4πR2=4π×(2)2=48π.13.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O 为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,由已知条件解得r=,l=4,S=πrl+πr2=10π,h==,V=πr2h=.B组14.(2013大连市一模)一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92 m2,则h等于( C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱,几何体的表面积是2××4+(2+4+5+)h=92,即16h=64,解得h=4.故选C.15.(2013潍坊市一模)已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2,则球O的表面积为.解析:圆柱的底面直径与母线长均为2,所以球的直径===2,即球半径为,所以球的表面积为4π×()2=8π.答案:8π16.(2013安徽黄山三校联考)如图(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).(1)求证:EF⊥A′C;(2)求三棱锥F A′BC的体积.(1)证明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位线,∴EF⊥AC,在四棱锥A′BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,又EC∩A′E=E,∴EF⊥平面A′EC,又A′C⊂平面A′EC,∴EF⊥A′C.(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,∴S △FBC =BC ·EC=4,∵A ′O ⊥平面BCEF,∴A ′O ⊥EC,又∵O 为EC 的中点,∴△A ′EC 为正三角形,边长为2, ∴A ′O=, ∴==S △FBC ·A ′O=×4×=.。

课时限时检测(四十) 空间几何体的表面积与体积(时间：60分钟 满分：80分)命题报告1．如图7－2－12，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为( )图7－2－12A.π4B.π2C.2π2D.2π4【解析】 此几何体是底面半径为12，母线长为1的圆锥，其侧面积S ＝πrl ＝π×12×1＝π2.【答案】 B2．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )A.72π B ．56π C ．14π D ．64π【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎨⎧ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，令球的半径为R ，则(2R )2＝22＋12＋32＝14， ∴R 2＝72， ∴S 球＝4πR 2＝14π. 【答案】 C3．(2014·淄博一中期中)如图7－2－13，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯高图为一个等边三角形，该三棱柱的侧视图面积为( )图7－2－13A ．2 3 B. 3 C ．2 2 D ．4【解析】 观察三视图可知，该几何体是正三棱柱，底面边长、高均为2，所以，其侧视图是一个矩形，边长分别为2,2sin 60°＝3，其面积为23，选A.【答案】 A4．如图7－2－14所示，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1—ABC 1的体积为( )图7－2－14A.312B.34C.612D.64【解析】 在△ABC 中，BC 边长的高为32，即棱锥A —BB 1C 1上的高为32，又S △BB 1C 1＝12，∴VB 1—ABC 1＝VA —BB 1C 1＝13×32×12＝312. 【答案】 A5．点A 、B 、C 、D 在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝6，则该球的体积为( )A ．323πB ．48πC ．643πD ．163π【解析】 由题意知，球心O 到△ABC 的中心O ′的距离为3， 即OO ′＝12AD ＝3，AO ′＝23×32×3＝3，∴OA ＝32＋3＝23， ∴V 球＝43π×(23)3＝323π. 【答案】 A6．(2013·湖北高考)一个几何体的三视图如图7－2－15所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )图7－2－15A ．V 1<V 2<V 4<V 3B ．V 1<V 3<V 2<V 4C ．V 2<V 1<V 3<V 4D ．V 2<V 3<V 1<V 4【解析】 由三视图可知，四个几何体自上而下依次是：圆台、圆柱、正方体、棱台，其体积分别为V 1＝13×1×(π＋2π＋4π)＝73π，V 2＝π×12×2＝2π，V 3＝23＝8，V 4＝13×1×(4＋8＋16)＝283，于是有V 2<V 1<V 3<V 4.【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图7－2－16所示，则该几何体的表面积为________．图7－2－16【解析】 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S ＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.【答案】 38 8．(2013·福建高考)图7－2－17已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图7－2－17所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．【解析】 由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R ，则2R ＝23，∴R ＝ 3.∴S 球表＝4πR 2＝4π×3＝12π. 【答案】 12π9．圆锥的全面积为15π cm 2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为________cm 3.【解析】 设底面圆的半径为r ，母线长为a ，则侧面积为12×(2πr )a ＝πra .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧πra ＋πr 2＝15π，πra ＝16πa 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝157，a 2＝36×157，故圆锥的高h ＝a 2－r 2＝53，所以体积为V ＝13πr 2h＝13π×157×53＝2537π(cm 3)．【答案】 2573π三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．【解】 在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE 、AD 交于O ，连接BE 1， 则BE ＝2OE ＝2DE ，∴BE ＝6， 在Rt △BEE 1中， BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23， ∴2R ＝23，则R ＝3，∴球的体积V 球＝43πR 3＝43π，球的表面积S 球＝4πR 2＝12π.11．(12分)如图7－2－18，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．图7－2－18(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．【解】 (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．图7－2－1912．(13分)如图7－2－19，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F —ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．【解】 (1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD .∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x ， ∴F A ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)， ∴S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·F A ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)． (2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2 ＝23－(x 2－2)2＋4.∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.。