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图12015～2016学年佛山市普通高中高一教学质量检测数 学本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}A x x Z =∈,{}03B x x =<<,则A B = ( )A . {}03x x <<B . {}1,2C . {}12x x ≤≤D . {}x x Z ∈ 2. 下列函数中，在其定义域内是偶函数为( )A . ()1f x x=B . ()2xf x = C . ()lg f x x = D . ()cos f x x = 3. 下列大小关系正确的是( )A . 113334> B . 0.40.30.30.3> C . 76log 6log7< D . sin 3sin 2>4. 下列计算正确的是( )A m n =-B . 222log 3log 5log 15⨯=C . 1099222-= D . 2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭5. 已知函数()y f x =的图像经过点()1,2P -,则函数()y f x =--的图像必过点( )A . ()1,2-B . ()1,2C . ()1,2--D . ()2,1- 6. 已知函数()tan 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,则256f π⎛⎫=⎪⎝⎭( ) AB. C .3 D . 3- 7. 已知函数221y x ax =-+(a ∈R )的图像如图1所示, A D .2016年1月8. 某同学在求函数lg y x =和1y x=的图像的交点时,计算出了下表所给出的函数值,则交点的横坐标在下列哪个区间内( )A . ()2.125,2,25B . ()2.75,2.875C . ()2.625,2.75D . ()2.5,2.625 9. 某地区今年1月,2月,3月,4月,5月患某种传染病的人数分别是52,61,68,74,78.若用下列四个函数模型预测以后各月的患该种传染病的人数,哪个最不合理？( )A . ()f x kx h =+B . ()2f x ax bx c =++C . ()xf x pq r =+ D . ()ln f x m x n =+10.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( ) A . 向左平移5π12个长度单位 B . 向右平移5π12个长度单位 C . 向左平移5π6个长度单位 D . 向右平移5π6个长度单位11.已知集合,A B ,定义{A B x x A -=∈且}x B ∉,{A B x x A +=∈或}x B ∈,则对于集合,M N 下列结论一定正确的是( )A . ()M M N N --=B . ()()M N N M -+-=∅C . ()M N M N +-=D . ()(M N - 12.已知函数()()ln 1f x x x a =--,下列说法正确的是( )A . 当0a >时,()f x 有零点0x ,且()01,2x ∈B . 当0a >时,()f xC . 当0a =时,()f x 没有零点D . 当0a <时,()f x 二、填空题:本大共4小题,每小题5分,满分20分．13.函数()y f x =与函数()xg x a =互为反函数,且()y f x =图像经过点(14.如图2是幂函数i y x α=(0,1,2,3,4,5i i α>=)在第一象限内的图像, 其中13α=,22α=,31α=,412α=,513α=,已知它们具有性质:① 都经过点()0,0和()1,1； ② 在第一象限都是增函数. 请你根据图像写出它们在()1,+∞上的另外一个共同性质: .15.设()222f x ax x a =+-在[)1,2-上是增函数,则a 的取值范围是 .16.已知偶函数()f x 满足()()2f x f x +=,当[0,1]x ∈时,()f x x =,则当[],1x k k ∈+()k Z ∈时,函数()f x 的解析式是_________________.三、解答题:本大题共6小题,满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分) 证明:函数()f x =()0,+∞上是减函数.18.(本小题满分12分)已知角α的终边落在第二象限,,将角α的终边逆时针旋转2π与角β的终边重合.(Ⅰ) 求cos α； (Ⅱ) 求()sin cos sin 2sin 2ααππββ--⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.19.(本小题满分12分)已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图像如图3所示. (Ⅰ) 求函数的解析式；(Ⅱ) 当[]5,2x ∈--时,求函数()f x 的最大值和最小值.20.(本小题满分12分)已知()()()ln 1ln 1f x x x =--+.(Ⅰ) 指出函数()f x 的定义域并求1111,,,3223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值； (Ⅱ) 观察(Ⅰ)中的函数值,请你猜想函数()f x 的一个性质,并证明你的猜想； (Ⅲ) 解不等式:()1ln30f x ++>.21.(本小题满分12分)已知()12,1211,01211,0x x x f x x x x m⎧--≥⎪⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+≤⎪-⎩.(Ⅰ) 若1m =,画出函数的简图,并指出函数的单调区间.(Ⅱ) 若函数()y f x =的图像与直线1y m =-(0m >)有两个不同的交点,求m 的取值范围22.(本小题满分12分)已知二次函数()f x 有两个零点3-和1,且有最小值4-. (Ⅰ) 求()f x 的解析式；(Ⅱ) 令()()1g x mf x =+(0m ≠).②若0m <,证明:()g x 在[)3,-+∞上有唯一零点；② 若0m >,求()y g x =在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.2015～2016学年佛山市普通高中高一教学质量检测数 学参考答案与评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 2 14.α越大函数增长越快 15. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16. ()(),1,k x k k f x x k -⎧⎪=⎨-+⎪⎩为偶数为奇数[说明]第14题的参考答案有:①α越大函数增长越快；②图像从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤1α>,图像下凸；⑥图像无上界；⑦当指数互为倒数时,图像关于直线y x =对称；⑧当1α>时,图像在直线y x =的上方；当01α<<时,图像在直线yx =的下方；(说明:答案不唯一,其他正确答案照样给5分)三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)证明:函数()f x =在区间()0,+∞上是减函数.【解析】任取()12,0,x x ∈+∞,且12x x <,则()()12f x f x -=…………………3分===分因为210x x ->0>,0>0>,……8分所以()()120f x f x ->,即函数()f x =在区间()0,+∞上是减函数.……………10分 18.(本小题满分12分)已知角α的终边落在第二象限,且与单位圆交点的纵坐标为5,将角α的终边逆时针旋转2π与角β的终边重合. (Ⅰ) 求cos α； (Ⅱ) 求()sin cos sin 2sin 2ααππββ--⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【解析】(Ⅰ)解法一:sin α=由题意得,…2分 又22sin cos 1αα+=,α是第二象限角…3分 所以cos 5α==-…………5分 解法二:因为角α的终边与单位圆交点P 的纵坐标为P y =,又221x y +=,α是第二象限角,所以P x ==-,…………3分 所以cos P x α==-…………5分(Ⅱ)依题意22k πβαπ=++,k Z ∈,……6分 所以sin sin 2cos 2k πβαπα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭…7分 ()sin sin 2sin 2k πβαπα⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭…8分 所以()sin cos sin cos cos 2sin sin 2sin 2ααπααπααββ--+=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭…9分 tan 121112tan 145αα+-+===--+…………12分 19.(本小题满分12分)已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,0πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝的图像如图3所示.(Ⅰ) 求函数的解析式；(Ⅱ) 当[]5,2x ∈--时,求函数()f x 的最大值和最小值. 【解析】(Ⅰ)由图像可知,函数的周期为6T =,263ππω==.…………………………………………2分又()f x 的图像过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以12sin 032πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭所以1232k πϕπ⨯+=,即2,6k k Z πϕπ=-∈,又因为02πϕ-<<,所以6ϕ=-,………4分故所求函数的解析式是()2sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.…………………………………………5分(Ⅱ) 因为函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期是6T =,所以求[]5,2x ∈--时函数()f x 的最大值和最小值就是转化为求函数在区间[]1,4上的最大值和最小值.……………………………8分 由图像可知,当2x =时,函数的最大值是()22sin 2236f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭；………………10分当4x =时,函数的最小值是()42sin 4136f ππ⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭.……………………………… 12分说明:本题也可以直接求函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]5,2--上的最大值和最小值.20.(本小题满分12分)已知()()()ln 1ln 1f x x x =--+.(Ⅰ) 指出函数()f x 的定义域并求1111,,,3223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值； (Ⅱ) 观察(Ⅰ)中的函数值,你猜想函数()f x 的一个什么性质,并证明你的猜想； (Ⅲ) 解不等式:()1ln30f x ++>.【解析】(Ⅰ)函数的定义域为()1,1-,…………………………… 1分 1ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 1ln 32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 1ln 32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1ln 23f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.…………… 3分 (Ⅱ) 以下两个性质之一均可得到满分方向一:由于1133f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,猜想函数()f x 为奇函数,……5分证明:设任意()()()()()1,1,ln 1ln 1x f x x x f x ∈--=+--=-,所以函数()f x 为奇函数.……7分 方向二:由于11113223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->->> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x 在定义域上单调递减,……5分 证明:设任意()1212,1,1,x x x x ∈-<且,则()()()()()()121211222111ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11x x f x f x x x x x x x ⎛⎫-+-=--+--++=⨯ ⎪-+⎝⎭,因为1211x x -<<<,所以12110x x ->->,2111x x +>+, 则122111111x x x x -+⨯>-+,122111ln 011x x x x ⎛⎫-+⨯> ⎪-+⎝⎭,所以()()120f x f x ->,即()()12f x f x >, 函数()f x 在定义域上单调递减.……………………7分(Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)可知,1ln 32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则()112f x f ⎛⎫+>-- ⎪⎝⎭,…………8分又()f x 为奇函数,则()112f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,又函数()f x 在定义域上单调递减,………………9分故原不等式可化为:111112x x -<+<⎧⎪⎨+<⎪⎩,………………10分 解得122x -<<-,即原不等式的解集为12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………………12分解法二:因为111x -<+<,所以20x -<<,………………8分 所以()()()1ln ln 2f x x x +=--+,…………9分原不等式可化为:()()ln ln 2ln30x x --++>………………10分即()()ln 3ln 2x x ->+,所以32x x ->+,解得12x <-,…………………………11分 又20x -<<,所以122x -<<-,即原不等式的解集为12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………………12分21.(本小题满分12分)已知()12,1211,01211,0x x x f x x x x m ⎧--≥⎪⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+≤⎪-⎩.(Ⅰ) 若1m =,画出函数的简图,并指出函数的单调区间.(Ⅱ) 若函数()y f x =的图像与直线1y m =-(0m >)有两个不同的交点,求m 的取值范围(Ⅱ) 由于()101f m=-,…………………………………………………7分 ()()221121110m m m m m m m --+⎛⎫---==≥ ⎪⎝⎭…………………………………8分 当且仅当1m =时,111m m-=-,此时,函数()y f x =的图像与直线1y m =-有两个交点.……9分当1m >时,函数()y f x =的图像与直线1y m =-没有交点…………10分当01m <<时,111m m->-,直线1y m =-与函数()()0y f x x =≤的图像有且只有一个交点,要保证函数()y f x =的图像与直线1y m =-(0)m >有两个交点,则112m -<-,即12m <.所以m 的取值范围为102m <<或1m =.…………12分22.(本小题满分12分)已知二次函数()f x 有两个零点3-和1,且有最小值4-.(Ⅰ) 求()f x 的解析式；(Ⅱ) 令()()1g x mf x =+(0m ≠).① 若0m <,证明:()g x 在[)3,-+∞上有唯一零点； ② 若0m >,求()y g x =在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.【解析】(Ⅰ)由题意可得()30f -=,()10f =,所以()f x 的图像关于直线1x =-对称设()()214f x a x =+-,令1x =,则()1440f a =-=,1a =,所以()223f x x x =+-.……2分 (Ⅱ)①由题意得()()2141g x m x m =+-+,0m <对称轴为13x =->-,所以()g x 在[]3,1--上单调递增,[)1,-+∞上单调递减.……3分 又()310g -=>,()1140g m -=->,所以函数()g x 在[]3,1--没有零点,在[)1,-+∞上有且只有一个零点,…………6分 所以()f x 在[)3,-+∞上有唯一零点.………………7分 ②()114g m -=-,()31g -=,39124g m ⎛⎫=+⎪⎝⎭,因为0m >,所以 ()332g g ⎛⎫>- ⎪⎝⎭,…………8分当140m -≥,即14m ≤时,()max max 39124y g x g m ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭,…………9分当140m -<,即14m >时,若94114m m -≤+,即1847m <≤,()max max 39124y g x g m ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭.……………10分 若94114m m ->+,即87m >,()()max max 141y g x g m ==-=-,………11分综上所述,当807m <≤时,max 914y m =+；当87m >时,max 41y m =-.……12分。
