下载文档原格式
1、1回归分析的基本思想及其初步应用8教学目标：通过典型案例，掌握回归分析的基本步骤。
教学重点：熟练掌握回归分析的步骤。
教学难点：求回归系数 a , b 教学方法：讲练。
教学过程：一、复习引入：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
二、新课:1、回归分析的基本步骤：(1) 画出两个变量的散点图。
(2) 求回归直线方程。
(3) 用回归直线方程进行预报。
2、举例：例1、题（略） 。
解：(1) 作散点图，由于问题是根据身高预报体重，因此要求身高与体重的回归直线方程，取身高为自变量x 。
体重为因变量 y ，作散点图（如图） （2）列表求,ˆ0.849ˆ85.712x yba≈≈-回归直线方程 y=0.849x-85.712对于身高172cm 女大学生，由回归方程可以预报体重为y=0.849*172-85.712=60.316(kg) 预测身高为172cm 的女大学生的体重为约60。
316kg问题：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60。
316kg 吗?（留下一节课学习） 例2：（提示后做练习、作业）研究某灌溉渠道水的流速y 与水深x 之间的关系，测得一组数据如下： 水深xm 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速ym/s 1.701.791.881.952.032.102.162.21（1）求y对x的回归直线方程；（2）预测水深为1。
95m 时水的流速是多少？解：（略）三、小结四、作业：例2、预习。
第一章统计案例1-2回归分析的基本思想及其初步应用（第二课时）教学目标：1、会建立回归模型，进而学习相关指数（相关系数r 、总偏差平方和、随机误差的效应即残差、残差平方和、回归平方和、相关指数R2、残差分析）2、会求上述的相关指数：3、从实际问题发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。
培养勇于求知的良好个性品质。
教学重点；各相关指数、建立回归模型的步骤。
高中数学第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教材解读素材新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教材解读素材新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教材解读素材新人教A 版选修1-2的全部内容。
回归分析的基本思想及其初步应用教材解读错误!通过实际操作进一步理解建立两相关变量的线性回归模型的思想，求线性回归方程，判断回归模型拟合的好坏．错误!残差变量的解释与分析及指标R2的理解．错误!(四)思维总结（1)求回归直线方程的一般方法．①作出散点图，将问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，这样表示出的具有相关关系的两个变量的一组数据的图形就是散点图，从散点图中我们可以看出样本点是否呈条状分布，从而判断两个变量是否线性相关．②求回归系数a，^，错误!,其中称为残差平方和，残差平方和在一定程度上反映了所选回归模型的拟合效果．残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好;残差平方和越大，说明拟合效果越差．③通过残差分析判断模型拟合效果：先计算出残差错误!i＝y i－错误!i＝y i－错误!x i－错误!,i ＝1，2，…,n，然后横坐标选取为样本编号、解释变量或预报变量，纵坐标为残差，作出残差图．通过图形分析，如果样本点的残差较大，就要分析样本数据的采集是否有错误；另一方面，可以通过残差点分布的水平带状区域的宽窄说明模型拟合效果，反映回归方程的预报精度．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．(3）相关指数R2.①相关指数的计算公式是R2＝其中为残差平方和．相关指数用来刻画回归模型拟合的效果，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好；R2的值越小，说明拟合效果越差．②如果某组样本数据可以采取几种不同的回归模型进行回归分析,则可以通过比较R2的值来作出选择,即选择R2值大的模型作为这组数据的回归模型．③在线性回归模型中R2是刻画回归效果的量，即表示回归模型的拟合效果，也表示解释变量和预报变量的线性相关关系．R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率．。
河北省沙河市二十冶综合学校高中分校2014年高中数学 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用导学案（2）新人教A 版选修1-2【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获。
●为必背知识【学习目标】：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.【学习重点】：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.【学习难点】：解回归模型与函数模型的区别，解释并分析残差变量，理解2R 的含义。
【教学过程】：一：回顾预习案 1、线性回归方程ax b y ˆ+= ，其中1221ˆn i i i n i i x y nx y b x nx ==-=-∑∑，x b y aˆˆ-= ●2、y 与x 之间的线性回归方程ax b y ˆ+= 必定过(x ，y )点 3、研究课本第2页的例1，回答下列问题：（1）________称为样本点的中心，b 是回归直线的_____的估计值。
（2）线性回归方程为：712.85849.0-=x y说明身高x 每增加1个单位，体重y 就增加_____个单位。
（3）女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画，可以用下面的线性回归模型y bx a e =++来表示 ，其中a 和b 为模型的未知参数，e 称为________（4）自变量x 称为________，变量y 称为________。
（5）残差： ，残差平方和________。
●（6）我们用2R 来刻画回归的效果： 2R 越 ，残差平方和越 ，模型的拟合效果越好，2R 越 ，残差平方和越 ，模型的拟合效果越差，2R 表示________对于________变化的贡献率，2R 越接近于 ，表示回归的效果越好。
二 讨论展示案 合作探究，展示点评例1、（1）散点图在回归分析过程中的作用是( )A ．查找个体个数B ．比较个体数据大小关系C ．探究个体分类D ．粗略判断变量是否线性相关（2）设有一个回归方程为2 2.5y x =-，变量x 增加一个单位时，则（ ）A ．y 平均增加2.5个单位B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少2.5个单位D ．y 平均减少2个单位（3）在一次实验中，测得(),x y 的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．1y x =-（4）在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的为（ ）（A ）模型①的相关指数为976.0 （B ）模型②的相关指数为776.0（C ）模型③的相关指数为076.0 （D ）模型④的相关指数为351.0。
1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程： 一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即µ21()ni i i SSE y y ==-∑. 回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即µ21()ni i SSR y y ==-∑. （2）学习要领：①注意i y 、µi y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即µµ222111()()()n n ni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数µ22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.2. 教学例题：例2 关于x 与Y 有如下数据：为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，$717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.（答案：µ52211521()155110.8451000()i i i ii y y R yy ==-=-=-=-∑∑，221R =-µ521521()18010.821000()ii i ii yy yy ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.第三课时。
第一章统计案例§1.1回归分析的基本思想及其初步应用（1）【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获。
●为必背知识【学习目标】：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 【学习重点】：利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系，求线性回归直线方程。
【学习难点】：求线性回归直线方程。
【教学过程】：一：回顾预习案1、线性回归方程ax b y ˆ+= ，其中1221ˆni i i n ii x y nx yb xnx==-=-∑∑，x b y aˆˆ-= ●2、y 与x 之间的线性回归方程ax b y ˆ+=必定过(x ，y )点 二 讨论展示案 合作探究，展示点评例1、（1）已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h )之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要__________h 。
A ．6.5B ．5.5C ．3.5D ．0.5（2）工人月工资y (元)依劳动生产率x (千元)变化的回归方程y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是( ) A ．劳动生产率为1000元时，工资为130元； B ．劳动生产率提高1000元时，则工资提高80元； C ．劳动生产率提高1000元，则工资提高130元； D ．当月工资为210元时，劳动生产率为2000元．（3）某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.y ^＝－10x ＋200B.y ^＝10x ＋200C.y ^＝－10x －200D.y ^＝10x －200 （4）已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y ＝b ^x ＋a ^必过( ) A ．(2,2)点 B ．(1.5,0)点 C ．(1,2)点 D ．(1.5,4)点例2、假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：（1（2）求出y 关于x 的线性回归方程；（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？例3、某种产品的广告费支出x和销售额y（单位：百万元）之间有如下一组数据;（2）求出线性回归方程；（3）预测若想要得到9千万的销售额，需投入广告费多少？。
1、1回归分析的基本思想及其初步应用教学目标：通过典型案例，掌握回归分析的基本步骤。
教学重点：熟练掌握回归分析的步骤。
教学难点：求回归系数 a , b 教学方法：讲练。
教学过程：一、复习引入：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
二、新课:1、回归分析的基本步骤：(1) 画出两个变量的散点图。
(2) 求回归直线方程。
(3) 用回归直线方程进行预报。
2、举例：例1、题（略） 用小黑板给出。
解：(1) 作散点图，由于问题是根据身高预报体重，因此要求身高与体重的回归直线方程，取身高为自变量x 。
体重为因变量 y ，作散点图（如图） （2）列表求,ˆ0.849ˆ85.712x yba≈≈-回归直线方程 y=0.849x-85.712对于身高172cm 女大学生，由回归方程可以预报体重为y=0.849*172-85.712=60.316(kg) 预测身高为172cm 的女大学生的体重为约60。
316kg问题：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60。
316kg 吗?（留下一节课学习） 例2：（提示后做练习、作业）研究某灌溉渠道水的流速y 与水深x 之间的关系，测得一组数据如下：水深xm 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速ym/s 1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21（1）求y 对x 的回归直线方程；（2）预测水深为1。
95m 时水的流速是多少？ 解：（略）三、小结四、作业： 例2、 预习。
1-1回归分析的基本思想及其初步应用（第二课时）教学目标：1、会建立回归模型，进而学习相关指数（相关系数r 、总偏差平方和、随机误差的效应即残差、残差平方和、回归平方和、相关指数R 2、残差分析） 2、会求上述的相关指数：3、从实际问题发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。
培养勇于求知的良好个性品质。
第一章 统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.教学过程：一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.二、讲授新课：1. 教学例题：的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算 ② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右.③ 解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.第二课时。
回归分析的基本思想及其初步应用
【教学目标】
1、知识与技能目标
认识随机误差；
2、过程与方法目标
（1）会使用函数计算器求回归方程；
（2）能正确理解回归方程的预报结果.
3、情感、态度、价值观
通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.
【教学重点】随机误差ｅ的认识
【教学难点】随机误差的来源和对预报变量的影响
【教学方法】启发式教学法
【教学手段】多媒体辅助教学
【教学过程设计】。
1．1回归分析的基本思想及其初步应用(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确解决回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析以解决实际应用问题．了解最小二乘法的推导，解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想，了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析．掌握利用计算器求线性回归直线方程参数及相关系数的方法．2．过程与方法通过收集数据作散点图，分析散点图，求回归直线方程，分析回归效果，利用方程进行预报．3．情感、态度与价值观培养学生利用整体的观点和互相联系的观点来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相互关系．●重点难点重点：回归分析的基本方法、随机误差e的认识、残差图的概念、用残差及R2来刻画线性回归模型的拟合效果．难点：回归分析的基本方法、残差概念的理解及拟合效果的判定、非线性回归向线性回归的转化．教学时要以残差分析为重点，突出残差表和R2的计算，通过举例说明相关关系与确定性关系的区别，说明回归分析的必要性及其方法．借助例题使学生掌握作散点图、求回归直线方程的方法，通过作残差图、计算R2让学生掌握拟合效果的判断方法．对于非线性回归问题重点在如何转换，引导学生分析总结转化方法和技巧，从而化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节课建议教师采取探究式教学，把“关注知识”转向“关注学生”，在教学过程中，把“给出知识”的过程转变为“引起活动，让学生探究知识的过程”，把“完成教学任务”转向“促进学生发展”，让学生成为课堂上的真正主人．在教学中，知识点可由学生通过探索“发现”，让学生充分经历探索与发现的过程，并引导学生积极解决探索过程中发现的问题．教学中不要以练习为主，而是定位在知识形成过程的探索，例题的解答也要由学生探讨、教师点拨，共同完成．要注重数学的思想性，如统计思想、随机观念、函数思想、数形结合的思想方法等，引导学生体验数学中的理性精神，加强数学形式下的思考和推理能力．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生探讨，从而引出回归分析、线性回归模型、刻画回归效果的有关概念及解决方法．利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上分析回答例题1的问题，并总结规律方法，完成变式训练．引导学生分析例题2，根据图中的数据计算系数，求出回归方程，列出残差表，求出R2并判断拟合效果，完成变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法，并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．通过老师启发引导，完成例题3，并要求学生借鉴例题3的解法完成变式训练．引导学生分析例题3，让学生作出散点图，观察相关性，引出问题，即如何使问题转化为相关关系并用线性回归分析二者关系．【问题导思】一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：1.【提示】2．从散点图中判断x 和y 之间是否具有相关关系？ 【提示】 有．3．若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？ 【提示】 可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测． (1)回归直线方程： y ^＝b ^x ＋a ^，其中：b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ^＝y －b ^x ，x ＝1n ∑i＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i . (2)变量样本点中心：(x ，y )，回归直线过样本点的中心．(3)线性回归模型：y ＝bx ＋a ＋e ，其中e 称为随机误差，a 和b 是模型的未知参数，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量．R 2＝1－∑i ＝1ny i －y ^i2∑i ＝1ny i －y2，R 2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R 2越接近于1，表示回归的效果越好①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【思路探究】 可借助于线性相关概念及性质逐一作出判断．【自主解答】 ①反映的正是最小二乘法思想，故正确．②反映的是画散点图的作用，也正确．③解释的是回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的作用，故也正确．④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系．【答案】 C1．解答例1中④时，必须明确具有线性相关关系的两个变量间才能求得一个线性回归方程，否则求得的方程无实际意义．因此必须先进行线性相关性判断，后求线性回归方程．2．回归分析的过程：(1)随机抽取样本，确定数据，形成样本点；(2)由样本点形成散点图，判断是否具有线性相关关系；(3)由最小二乘法确定线性回归方程； (4)由回归方程观察变量的取值及变化趋势．关于变量y 与x 之间的回归直线方程叙述正确的是( ) A ．表示y 与x 之间的一种确定性关系 B ．表示y 与x 之间的相关关系 C ．表示y 与x 之间的最真实的关系D ．表示y 与x 之间真实关系的一种效果最好的拟合【解析】 回归直线方程能最大可能地反映y 与x 之间的真实关系，故选项D 正确． 【答案】 D求y 关于x【思路探究】 回归模型拟合效果的好坏可以通过计算R 2来判断，其值越大，说明模型的拟合效果越好．【自主解答】 x ＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15，a ^＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求回归直线方程是y ^＝－1.15x ＋28.1.列出残差表：所以∑i ＝15(y i －y ^i )2＝0.3，∑i ＝15(y i －y )2＝53.2，R 2＝1－∑i ＝15y i －y ^i2∑i ＝15y i －y2≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好．1．回归直线方程能定量地描述两个变量的关系，系数a ^，b ^刻画了两个变量之间的变化趋势，其中b ^表示x 变化一个单位时，y 的平均变化量．利用回归直线可以对问题进行预测，由一个变量的变化去推测另一个变量的变化．2．线性回归分析中：(1)残差平方和越小，预报精确度越高．(2)相关指数R 2取值越大，说明模型的拟合效果越好．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：(1)(2)求出线性回归方程；(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果； (4)计算R 2，并说明其含义．【解】 (1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )之间的散点图，如图所示．(2)可求得x ＝39.25，y ＝40.875，∑i ＝18x 2i ＝12 656，∑i ＝18y 2i ＝13 731，∑i ＝18x i y i ＝13 180，∴b ^＝∑i ＝18x i －xy i －y∑i ＝18x i －x2＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x 2≈1.041 5，a ^＝y －b ^x ＝－0.003 875，∴线性回归方程为y ^＝1.041 5x －0.003 875. (3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适． (4)相关指数R 2＝0.985 5.说明了该运动员的成绩的差异有98.55%的可能性是由训练次数引起的.(1)作出x (2)建立x 与y 的关系，预报回归模型并计算残差； (3)利用所得模型，预报x ＝40时y 的值．【思路探究】 (1)画出散点图或进行相关性检验，确定两变量x 、y 是否线性相关．由散点图得x 、y 之间的回归模型．(2)进行拟合，预报回归模型，求回归方程．【自主解答】 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出x 与y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y ＝c 1e c 2x 的周围，其中c 1、c 2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z ＝ln y ，则有变换后的样本点应分布在直线z ＝bx ＋a ，a ＝ln c 1，b ＝c 2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y 与x 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：求得回归直线方程为z ＝0.272x －3.849， ∴y ^＝e 0.272x －3.849. 残差如下表：两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如y ＝c 1e c 2x ，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z ＝ln y ，则变换后样本点应该分布在直线z ＝bx ＋a (a ＝ln c 1，b ＝c 2)的周围．有一个测量水流量的实验装置，测得试验数据如下表：【解】 由表中测得的数据可以作出散点图，如图．观察散点图中样本点的分布规律，可以判断样本点分布在某一条曲线附近，表示该曲线的函数模型是Q ＝m ·h n(m ，n 是正的常数)．两边取常用对数，则lg Q ＝lg m ＋n ·lg h .令y ＝lg Q ，x ＝lg h ，那么y ＝nx ＋lg m ，即为线性函数模型y ＝bx ＋a 的形式(其中b ＝n ，a ＝lg m )．由下面的数据表，用最小二乘法可求得b ^≈2.509 7，a ^＝－0.707 7，所以n ≈2.51，m ≈0.196.没有理解相关指数R 2的意义而致误关于x 与y 有如下数据：为了对x 、y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲模型y ^＝6.5x ＋17.5，乙模型y ^＝7x ＋17，试比较哪一个模型拟合的效果更好．【错解】 ∵R 21＝1－∑i ＝15y i －y ^i2∑i ＝15y i －y2＝1－1551 000＝0.845.R 22＝1－∑i ＝15y i －y ^i2∑i ＝15y i －y2＝1－1801 000＝0.82.又∵84.5%>82%，∴乙选用的模型拟合的效果更好．【错因分析】 没有理解R 2的意义是致错的根源，用相关指数R 2来比较模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好，并不是R 2越小拟合效果更好．【防范措施】 R 2＝1－∑i ＝1ny i －y ^i2∑i ＝1ny i －y2，R 2越大，残差平方和越小，从而回归模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R 2越接近1，表示回归的效果越好(因为R 2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强)．从根本上理解R 2的意义和作用，就可防止此类错误的出现．【正解】 R 21＝1－∑i ＝15y i －y ^i2∑i ＝15y i －y2＝1－1551 000＝0.845，R 22＝1－∑i ＝15y i －y ^i2∑i ＝15y i －y2＝1－1801 000＝0.82，84．5%>82%，所以甲模型拟合效果更好．1．在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，可以通过残差e ^1，e ^2，…，e ^n 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．这方面的分析工作称为残差分析．2．我们还可以用相关指数R 2来反映回归的效果，其计算公式是：R 2＝1－∑i ＝1ny i －y ^i2∑i ＝1ny i －y2.显然，R 2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率.1．已知x 和y 之间的一组数据则y 与x 的线性回归方程y ^＝b x ＋a 必过点( ) A ．(2,2) B ．(32，0)C ．(1,2)D ．(32，4)【解析】 ∵x ＝14(0＋1＋2＋3)＝32，y ＝14(1＋3＋5＋7)＝4，∴回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点(32，4)．【答案】 D2．(2013·青岛高二检测)在下列各组量中：①正方体的体积与棱长；②一块农田的水稻产量与施肥量；③人的身高与年龄；④家庭的支出与收入；⑤某户家庭的用电量与电价．其中量与量之间的关系是相关关系的是( )A ．①②B ．②④C ．③④D ．②③④【解析】 ①是函数关系V ＝a 3；⑤电价是统一规定的，与用电量有一定的关系，但这种关系是确定的关系．②③④中的两个量之间的关系都是相关关系，因为水稻的产量与施肥量在一定范围内是正比、反比或其他关系，并不确定；人的身高一开始随着年龄的增加而增大，之后则不变化或降低，在身高增大时，也不是均匀增大的；家庭的支出与收入有一定的关系，在一开始，会随着收入的增加而支出也增加，而当收入增大到一定的值后，家庭支出趋向于一个常数值，也不是确定关系．【答案】 D3．下列命题正确的有________．①在线性回归模型中，e 是bx ＋a 预报真实值y 的随机误差，它是一个可观测的量； ②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好； ③用R 2来刻画回归方程，R 2越小，拟合的效果越好；④在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，若带状区域宽度越窄，说明拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．【解析】 对于①随机误差e 是一个不可观测的量，③R 2越趋于1，拟合效果越好，故①③错误．对于②残差平方和越小，拟合效果越好，同理当残差点比较均匀地落在水平的带状区域时，拟合效果越好，故②④正确．【答案】 ②④4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测技改后生产100吨甲产品比技改前少消耗多少吨标准煤．(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 【解】 (1)如下图．(2)∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， ∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86. b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7， a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，因此，所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤).一、选择题1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上【解析】 结合线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 可知，解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上，故选B.【答案】 B2．(2013·泰安高二检测)在回归分析中，相关指数R 2的值越大，说明残差平方和( ) A ．越大 B ．越小 C ．可能大也可能小D ．以上均错【解析】 ∵R 2＝1－∑i ＝1ny i －y ^i2∑i ＝1ny i －y2，∴当R 2越大时，∑i ＝1n(y i －y ^i )2越小，即残差平方和越小．【答案】 B3．设变量y 对x 的线性回归方程为y ^＝2－2.5x ，则变量x 每增加一个单位时，y 平均( )A ．增加2.5个单位B ．增加2个单位C ．减少2.5个单位D ．减少2个单位【解析】 回归直线的斜率b ^＝－2.5，表示x 每增加一个单位，y 平均减少2.5个单位． 【答案】 C4．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg【解析】 由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本中心点(x ，y )，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确．当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确．【答案】 D5．在判断两个变量y 与x 是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2分别为：模型1的相关指数R 2为0.98，模型2的相关指数R 2为0.80，模型3的相关指数R 2为0.50，模型4的相关指数R 2为0.25.其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1B ．模型2C ．模型3D ．模型4【解析】 相关指数R 2能够刻画用回归模型拟合数据的效果，相关指数R 2的值越接近于1，说明回归模型拟合数据的效果越好．【答案】 A 二、填空题6．在研究身高和体重的关系时，求得相关指数R 2≈________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多．【解析】 结合相关指数的计算公式R 2＝1－∑i ＝1ny i －y ^i2∑i ＝1ny i －y2可知，当R 2＝0.64时，身高解释了64%的体重变化．【答案】 0.647．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】 以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．【答案】 0.2548．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．【解析】 由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y ^－5＝1.23(x －4)，即y ^＝1.23x ＋0.08. 【答案】 y ^＝1.23x ＋0.08 三、解答题9．某省2013年的阅卷现场有一位质检老师随机抽取5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如下表所示：(1)(2)对x 与y 作回归分析；(3)求数学成绩y 对总成绩x 的回归直线方程；(4)如果一个学生的总成绩为500分，试预测这个学生的数学成绩． 【解】 (1)散点图如图所示：(2)x ＝2 0125，y ＝3395，∑5 i ＝1x 2i ＝819 794， ∑5i ＝1y 2i ＝23 167，∑5i ＝1x i y i ＝137 760. ∴r ＝错误! ·错误!)＝错误!≈0.989. 因此可以认为y 与x 有很强的线性相关关系．(3)回归系数b ^＝∑5i ＝1x i y i －5 x y∑5i ＝1x 2i －5x2＝0.132 452，a ^＝y －b ^x ＝14.501 315.∴回归方程为y ^＝0.132 452x ＋14.501 315.(4)当x ＝500时，y ^≈81.即当一个学生的总成绩为500分时，他的数学成绩约为81分． 10．(2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【解】 (1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又b ＝－20，所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －8.25)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．11．在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组数据如下表：(2)求相关指数R 2，并说明其含义； (3)给出37岁时人的脂肪含量的预测值．【解】 (1)散点图如图所示．由散点图可知样本点呈条状分布，脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则由计算器算得b ^≈0.576，a ^≈＝－0.448， 所以线性回归方程为y ^＝0.576x －0.448. (2)残差平方和： ∑i＝114e ^2i ＝∑i ＝114(y i －y ^i )2≈37.78.总偏差平方和：∑i ＝114(y i －y －)2≈644.99.R 2＝1－37.78644.99≈0.941. R 2≈0.941，表明年龄解释了94.1%的脂肪含量变化．(3)当x ＝37时，y ^＝0.576×37－0.448≈20.9，故37岁时人的脂肪含量约为20.9%.(教师用书独具)为研究重量x (单位：克)对弹簧长度y (单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：(1)(2)求出R 2； (3)进行残差分析．【思路探究】 (1)由表作出散点图，求出系数值，即可写出回归方程． (2)列出残差表，计算R 2，由R 2的值判断拟合效果． (3)由(2)中残差表中数值，进行回归分析． 【自主解答】 (1)散点图如图．x ＝16(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5， y ＝16(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，∑i ＝16x 2i ＝2 275，∑i ＝16x i y i ＝1 076.2.计算得，b ^≈0.183，a ^≈6.285， 所求线性回归方程为y ^＝6.285＋0.183x . (2)列表如下：所以∑i ＝16(y i －y ^i )2≈0.013 18，∑i ＝16(y i －y )2＝14.678 4.所以，R 2＝1－0.013 1814.678 4≈0.999 1，回归模型的拟合效果较好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．建立回归模型的基本步骤： (1)确定解释变量和预报变量；(2)画散点图，观察是否存在线性相关关系； (3)确定回归方程的类型，如y ＝bx ＋a ； (4)按最小二乘法估计回归方程中的参数；(5)得结果后分析残差图是否异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适．假设关于某设备的使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有关的统计资料如下表所示．若由资料知y (1)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的回归系数a ^、b ^； (2)求相关指数R 2；(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 【解】 (1)由已知数据制成下表．由此可得x ＝4，y ＝5，21 b ^＝∑i ＝15 x i －xy i －y∑i ＝15 x i －x 2＝1.23， a ^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08，∴y ^＝1.23x ＋0.08.(2)R 2＝1－∑i ＝15 y i －y ^i2∑i ＝15 y i －y 2＝1－0.65115.78≈0.958 7. (3)回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08，当x ＝10(年)时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时维修费用是12.38万元.。
高二数学1[1].1《回归分析的基本思想及其初步应用》第一章统计案例对比《数学》中“回归”增加的内容数学３统计画散点图了解最小二乘法的思想求回归直线方程y＝bx＋a用回归直线方程解决应用问题选修１２统计案例引入线性回归模型y＝bx＋a＋e了解模型中随机误差项e产生的原因了解相关指数R和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解分析方法与结果问题：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是问题：某水田水稻产量y与施肥量x 之间是否有一个确定性的关系？例如：在块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验得到如下所示的一组数据：复习:变量之间的两种关系自变量取值一定时因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
、定义：）：相关关系是一种不确定性关系注、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄产品的成本与生产数量商品的销售额与广告费家庭的支出与收入。
等等探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？·······发现：图中各点大致分布在某条直线附近。
探索：在这些点附近可画直线不止一条哪条直线最能代表x与y 之间的关系呢？施化肥量水稻产量散点图最小二乘法：称为样本点的中心、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
、回归直线方程：相应的直线叫做回归直线。
求出线性相关方程后如何描述斜率估计值与变化增量值之间相关关系的强弱？通过什么量来说明？用相关系数r来衡量性质：相关关系的测度（相关系数取值及其意义）r*练:某种产品的广告费支出x 与销售额y之间有如表所示数据:()求x,y之间的相关系数()求线性回归方程零件数X加工时间y(分钟)于是有b=探究P：身高为cm的女大学生的体重一定是kg吗？如果不是你能解析一下原因吗？例从某大学中随机选取名女大学生其身高和体重数据如表所示。
河北省沙河市二十冶综合学校高中分校2014年高中数学 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用导学案（1）新人教A 版选修1-2【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获。
●为必背知识 【学习目标】：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.【学习重点】：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.【学习难点】：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量2K 的含义.【教学过程】：一：回顾预习案 ●1、y 与x 之间的线性回归方程ax b y ˆ+=))必定过__________点. ●2、2R 越 ，残差平方和越 ，模型的拟合效果越好， 2R 越 ，残差平方和越 ，模型的拟合效果越差，2R 表示________对于________变化的贡献率，2R 越接近于 ，表示回归的效果越好。
请你快速阅读课本10-13页，独立完成下列问题。
3、分类变量： 。
4、（1）列联表： 。
（2）列联表的等高条形图的画法。
（1）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值0k（2）计算随机变量2K 的观测值))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n k ++++-=，其中d c b a n +++= （3）如果0k k ≥，就推断“在犯错误的概率不超过α的前提下认为X 与Y 有关系”；否则，就认为“在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断X 与Y 有关系”或者认为“没有足够证据支持结论X 与Y 有关系”。
二 讨论展示案 合作探究，展示点评20()P K k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 0.455 0.708 1.323 2.072 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828例1、课本15页练习。
河北省沙河市二十冶综合学校高中分校2014年高中数学 1.1 回归分析的基本思想
及其初步应用导学案（2）新人教A 版选修1-2
【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获。
●为必背知识 【学习目标】：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
【学习重点】：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.
【学习难点】：解回归模型与函数模型的区别，解释并分析残差变量，理解2
R 的含义。
【教学过程】：一：回顾预习案 1、线性回归方程a x b y ˆ+= ，其中1
221ˆn i i
i n i i x y nx y b x
nx ==-=-∑∑，x b y a
ˆˆ-= ●2、y 与x 之间的线性回归方程a
x b y ˆ+= 必定过(x ，y )点 3、研究课本第2页的例1，回答下列问题：
（1）________称为样本点的中心，b 是回归直线的_____的估计值。
（2）线性回归方程为：712.85849.0-=x y 说明身高x 每增加1个单位，体重y 就增加_____个单位。
（3）女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画，可以用下面的线性回归模型y bx a e =++来表示 ，其中a 和b 为模型的未知参数，e 称为________
（4）自变量x 称为________，变量y 称为________。
（5）残差： ，残差平方和________。
●（6）我们用2
R 来刻画回归的效果： 2R 越 ，残差平方和越 ，模型的拟合效果越好，
2R 越 ，残差平方和越 ，模型的拟合效果越差，
2R 表示________对于________变化的贡献率，2R 越接近于 ，表示回归的效果越好。
二 讨论展示案 合作探究，展示点评
例1、（1）散点图在回归分析过程中的作用是( )
A ．查找个体个数
B ．比较个体数据大小关系
C ．探究个体分类
D ．粗略判断变量是否线性相关
（2）设有一个回归方程为2 2.5y x =-，变量x 增加一个单位时，则（ ）
A ．y 平均增加2.5个单位
B ．y 平均增加2个单位
C ．y 平均减少2.5个单位
D ．y 平均减少2个单位
（3）在一次实验中，测得(),x y 的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）
A ．1y x =+
B ．2y x =+
C ．21y x =+
D ．1y x =-
（4）在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数2
R 如下，其中拟合效果最好的为（ ）
（A ）模型①的相关指数为976.0 （B ）模型②的相关指数为776.0
（C ）模型③的相关指数为076.0 （D ）模型④的相关指数为351.0。
