九年级数学上册 第六章 6.1 反比例函数 北师大版

北师大版数学九年级上册的第六章第一节《反比例函数》教案一. 教材分析北师大版数学九年级上册的第六章第一节《反比例函数》是本章的第一节内容，也是学生继学习正比例函数后的又一函数类型。

本节课主要让学生了解反比例函数的概念、性质及其图象，培养学生运用函数观点解决实际问题的能力。

教材通过引入反比例函数的概念，让学生在已有的正比例函数知识基础上，进一步拓展对函数的理解。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了正比例函数的相关知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。

但九年级学生的抽象思维能力仍需培养，对于反比例函数的理解可能仍存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过合适的教学方法，帮助学生更好地理解和掌握反比例函数。

三. 教学目标1.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。

2.能够绘制反比例函数的图象，并能分析实际问题中的反比例关系。

3.培养学生的抽象思维能力，提高学生运用函数观点解决问题的能力。

四. 教学重难点1.反比例函数的概念及其性质。

2.反比例函数图象的特点。

3.运用反比例函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生运用函数观点解决问题的能力。

2.启发式教学法：教师引导学生思考，通过提问、讨论等方式，帮助学生自主探索反比例函数的知识。

3.直观教学法：利用多媒体课件、板书等手段，展示反比例函数的图象和性质，增强学生的直观感受。

六. 教学准备1.多媒体课件：制作反比例函数的图象、性质等相关内容的多媒体课件。

2.教学板书：准备反比例函数的定义、性质等相关内容的板书。

3.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示反比例函数在实际生活中的应用，如商场打折、比例尺等，引导学生关注反比例关系。

提问：这些实际问题中是否存在某种数学规律？2.呈现（10分钟）教师引导学生回顾正比例函数的知识，然后给出反比例函数的定义。

第01讲_反比例函数图象和性质知识图谱反比例函数的概念知识精讲一．反比例函数反比例函数的概念：形如函数kyx=(k为常数，0k≠)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二．成反比例关系两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系．三点剖析一．反比例函数反比例函数的概念：形如函数kyx=(k为常数，0k≠)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二．成反比例关系两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系．三．易错点1.注意自变量的取值范围2.注意区分反比例函数与成反比例关系北师大版本数学九年级上册第六章反比例函数反比例函数例题1、下列函数中，能表示y 是x 的反比例函数的是（）A.y=12x B.y=11x - C.y=2xD.【答案】A【解析】根据反比例函数的定义判断即可．y=12x 表示y 是x 的反比例函数，A 正确；y=11x -不能表示y 是x 的反比例函数，C 错误；y=2x 是正比例函数，C 错误；不能表示y 是x 的反比例函数，D 错误，故选：A ．例题2、若2(1)zay a x -=+是反比例函数，则a 的取值为（）A.1B.﹣1C.±lD.任意实数【答案】A【解析】∵此函数是反比例函数，∴21021a a +≠⎧⎨-=-⎩，解得a=1．随练1、已知函数y 与1x +成反比例，且当2x =-时，3y =-．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当12x =时，求y 的值．【答案】（1）31y x =+（2）2【解析】该题考查的是反比例函数．（1）设1k y x =+，把()2,3--代入得，3k =，∴31y x =+．（2）把12x =，代入解析式得：2y =．随练2、下面的函数是反比例函数的是（）A.31y x =+B.22y x x=+ C.2xy = D.2y x=【答案】D 【解析】该题考查的是反比例函数定义．反比例函数形如()0ky k x=≠，本题中，A 为一次函数；B 为二次函数；C 为一次函数；D 为反比例函数，故本题选D ．随练3、若函数11m y x -=(m 是常数)是反比例函数，则m =____________，解析式为_____________．【答案】2；1y x=【解析】由反比例函数的定义可知11m -=，所以2m =，1y x=．随练4、某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为___________，是___________函数．【答案】wy x=；反比例【解析】由题意可得wy x=，是反比例函数．成反比例关系例题1、已知y 与x 成反比例，当3x =时，4y =，那么3y =时，x 的值等于（）A.4B.4- C.3D.3-【答案】A【解析】因为y 与x 成反比例，所以可设k y x =（0k ≠），因为当3x =时，4y =，所以43k =，即12k =，所以12y x =，当3y =时，4x =，故答案为A 选项．例题2、下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（）A.小明完成100m 赛跑时，时间t （s ）与他跑步的平均速度v （m ／s ）之间的关系B.菱形的面积为48cm 2，它的两条对角线的长为y （cm ）与x （cm ）的关系C.一个玻璃容器的体积为30L 时，所盛液体的质量m 与所盛液体的密度ρ之间的关系D.压力为600N 时，压强P 与受力面积S 之间的关系【答案】C【解析】暂无解析反比例函数的图象和性质知识精讲一．反比例函数的图像和性质反比例函数的图像：反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数k y x =与ky x=-(0k ≠)的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．反比例函数的性质：反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象是双曲线；当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数的对称性：反比例函数关于坐标原点中心对称，关于y x =±这两条直线轴对称．二．反比例函数k 的几何意义反比例函数k y x =(k 为常数，0k ≠)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线ky x=上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为k ．三点剖析一．考点：反比例函数的图像和性质，反比例函数k 的几何意义．二．重难点：反比例函数k 的几何意义．三．易错点：1．k 的几何意义求出面积时注意k 的正负；2．反比例函数图像隐藏的对称性．反比例函数的图象和性质例题1、关于反比例函数y=﹣2x，下列说法正确的是（）A.图象过（1，2）点B.图象在第一、三象限C.当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D.当x ＜0时，y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】∵k=﹣2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，图象是轴对称图象，故A 、B 、C 错误．例题2、己知k ＞0，则函数y ＝kx ，ky x=-的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】暂无解析例题3、已知（﹣1，y 1）（﹣2，y 2）（12，y 3）都在反比例函数y=﹣2x的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是_________．【答案】y 3＜y 2＜y 1【解析】∵反比例函数y=﹣2x中，k=﹣2＜0，∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．∵﹣2＜﹣1＜0，12＞0，∴点A （﹣2，y 2），B （﹣1，y 1）在第二象限，点C （12，y 3）在第四象限，∴y 3＜y 2＜y 1．例题4、点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在反比例函数y=kx（k ＞0）的图象上，若y 1＜y 2，则a 的范围是____________．【答案】﹣1＜a ＜1【解析】∵k ＞0，∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，①当点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在图象的同一支上，∵y 1＜y 2，∴a ﹣1＞a+1，解得：无解；②当点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在图象的两支上，∵y 1＜y 2，∴a ﹣1＜0，a+1＞0，解得：﹣1＜a ＜1．随练1、对于反比例函数y=kx（k≠0），下列说法正确的是（）A.当k＞0时，y随x增大而增大B.当k＜0时，y随x增大而减小C.当k＞0时，该函数图象在二、四象限D.若点（1，2）在该函数图象上，则点（2，1）也必在该函数图象上【答案】D【解析】A、当k＞0时，在每个单调区间内，y随x增大而减小，∴A不正确；B、当k＜0时，在每个单调区间内，y随x增大而增大，∴B不正确；C、当k＞0时，该函数图象在第一、三象限，∴C不正确；D、∵1×2=2=2×1，∴若点（1，2）在该函数图象上，则点（2，1）也必在该函数图象上，即D正确．随练2、反比例函数y=1mx-的图象如图所示，以下结论正确的是（）①常数m＜1；②y随x的增大而减小；③若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则S△ABC=12m-；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．A.①②③B.①③④C.①②③④D.①④【答案】D【解析】由图象可知，反比例函数1myx-=在一、三象限，则1﹣m＞0，得m＜1，故①正确；由图象可知，反比例函数1myx-=在每个象限内y随x的增大而减小，故②错误；求不出三角形的面积，故③错误；因为反比例函数的图象关于原点对称，故若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上，故④正确；由上可得，结论正确的是①④，故选D．反比例函数k的几何意义例题1、如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（）A.3B.﹣3C.32D.﹣32【答案】A【解析】∵点P 是反比例函数y=kx（x ＞0）图象上的一点，分别过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．若四边形OAPB 的面积为3，∴矩形OAPB 的面积S=|k|=3，解得k=±3．又∵反比例函数的图象在第一象限，∴k=3．例题2、如图，已知反比例函数ky x=（k 为常数，k≠0）的图象经过点A ，过A 点作AB ⊥x 轴，垂足为B ．若△AOB的面积为1，则k ＝________．【答案】－2【解析】依据比例系数k 的几何意义可得两个三角形的面积都等于1||12k =，解得k ＝－2．例题3、如图，点A 、B 是双曲线y=2x上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若S 阴影=1，则S 1+S 2=（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】∵点A 、B 是双曲线y=2x上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S 1+S 2=2+2﹣1×2=2．随练1、如图，在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1+S 2+S 3=．【答案】．【解析】由题意，可知点P 1、P 2、P 3、P 4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．解法一：∵S 1=1×（2﹣1）=1，S 2=1×（1﹣）=，S 3=1×（﹣）=，∴S 1+S 2+S 3=1++=．解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P 1向x 轴、y 轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，∴1×2﹣×1=．随练2、如图，点A 、B 在反比例函数y=kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM=MN=NC ，△AOC 的面积为6，则k 的值为_________．【答案】4【解析】设OM=a ，∵点A 在反比例函数y=k x，∴AM=k a，∵OM=MN=NC ，∴OC=3a ，∴S △AOC =12•OC •AM=12×3a ×k a =32k=6，解得k=4．随练3、如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．【答案】（1）4;y x yx=-=-；（2）6【解析】（1）根据题意，将点A（2，﹣2）代入y=kx，得：﹣2=2k，解得：k=﹣1，∴正比例函数的解析式为：y=﹣x，将点A（2，﹣2）代入y=，得：﹣2=，解得：m=﹣4；∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）直线OA：y=﹣x向上平移3个单位后解析式为：y=﹣x+3，则点B的坐标为（0，3），联立两函数解析式，解得：或，∴第四象限内的交点C的坐标为（4，﹣1），∵OA∥BC，∴S△ABC=S△OBC=×BO×x C=×3×4=6．反比例函数的应用知识精讲一．利用反比例函数解决实际生活问题用反比例函数来解决实际问题的步骤：由实验获得数据用描点法画出图象根据所画图象判断函数类型用待定系数法求出函数解析式用实验数据验证三点剖析一．考点：反比例函数的应用．二．重难点：反比例函数的应用．三．易错点：注意自变量取值范围要符合实际意义．利用反比例函数解决实际生活问题例题1、某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例C.若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人D.当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷【答案】D【解析】如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，∴y随x的增大而减小，∴A，B错误，设y=kx（k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50，∴y=50 x，把y=2代入上式得：x=25，∴C错误，把x=50代入上式得：y=1，∴D正确．例题2、已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是____．【答案】R≥3.6【解析】设反比例函数关系式为：I=k R，把（9，4）代入得：k=4×9=36，∴反比例函数关系式为：I=36 R，当I≤10时，则36R≤10，R≥3.6．例题3、环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y （mg/L ）与时间x （天）的变化规律如图所示，其中线段AB 表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间x 成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ？为什么？【答案】（1）当0≤x ≤3时，y=﹣2x +10；当x ＞3时，y=12x；（2）能；理由如下：令y=12x=1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ．【解析】（1）分情况讨论：①当0≤x ≤3时，设线段AB 对应的函数表达式为y=kx +b ；把A （0，10），B （3，4）代入得b=103k+b=4⎧⎨⎩，解得：k=-2b=10⎧⎨⎩，∴y=﹣2x +10；②当x ＞3时，设y=m x，把（3，4）代入得：m=3×4=12，∴y=12x；综上所述：当0≤x ≤3时，y=﹣2x +10；当x ＞3时，y=12x；（2）能；理由如下：令y=12x=1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ．随练1、某工厂现有材料100吨，若平均每天用去x 吨，这批原材料能用y 天，则y 与x 之间的函数关系式为（）A.100y x =B.100y x=C.100100y x=-D.100y x=-【答案】B【解析】由题意可得100y x =，故答案为B 选项．随练2、家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC 发热材料，它的电阻R （k Ω）随温度t （℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加k Ω．（1）求当10≤t ≤30时，R 和t 之间的关系式；（2）求温度在30℃时电阻R 的值；并求出t ≥30时，R 和t 之间的关系式；（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6k Ω？【答案】（1）10≤t≤30时，R=；（2）当温度为30℃时，R=2；R=t ﹣6；（3）温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ【解析】（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，∴可设R 和t 之间的关系式为R=，将（10，6）代入上式中得：6=，k=60．故当10≤t ≤30时，R=；（2）将t=30℃代入上式中得：R=，R=2．∴温度在30℃时，电阻R=2（k Ω）．∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加k Ω，∴当t ≥30时，R=2+（t ﹣30）=t ﹣6；（3）把R=6（k Ω），代入R=t ﹣6得，t=45（℃），所以，温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ．拓展1、下列函数关系式中，一定是反比例函数的是（）A.32+2y x = B.27y x=-+ C.1k y x += D.2y x =-【答案】D【解析】该题考查的是反比例函数的概念．只有形如()0k y k x=≠的才是反比例函数，故答案选D ．2、函数y=k x的图象经过点（2，3），则k=（）A.2B.3C.6D.﹣6【答案】C【解析】∵函数y=k x 的图象经过点（2，3），∴2k =3，解得k=6．3、当m ＝________时，函数y ＝（m －2）x |m|－3是反比例函数．【答案】－2【解析】暂无解析4、若函数25(2)k y k x -=-（k 为常数）是反比例函数，则k 的值是______，解析式为_______________．【答案】2-；14y x -=-【解析】由反比例函数定义可知251k -=-且20k -≠，所以2k =-，14y x -=-．5、某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为___________，是___________函数．【答案】w y x =；反比例【解析】由题意可得w y x=，是反比例函数．6、如图，已知直线y ＝k 1x （k 1≠0）与反比例函数2k y x=（k 2≠0）的图象交于M ，N 两点．若点M 的坐标是（1，2），则点N 的坐标是（） A.（－1，－2）B.（－1，2）C.（1，－2）D.（－2，－1）【答案】A【解析】∵直线y ＝k 1x （k 1≠0）与反比例函数2k y x=（k 2≠0）的图象交于M ，N 两点，∴M ，N 两点关于原点对称，∵点M 的坐标是（1，2），∴点N 的坐标是（－1，－2）．7、函数y=k x 与y=﹣kx 2+k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.【解析】由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y 轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．8、函数y=ax（a≠0）与y=ax在同一坐标系中的大致图像是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知a＜0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者相矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；D、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者一致，故本选项正确．9、如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y=6x（x＞0）的图像上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段OB的中点C，连结PC并延长交x轴于点D．则△APD的面积为______．【解析】∵PB ⊥y 轴，PA ⊥x 轴，∴S 矩形APBO =|k|=6，在△PBC 与△DOC 中，90PBC COD BC OC PCB OCD ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PBC ≌△DOC ，∴S △APD =S 矩形APBO =6．10、如图，点A 是反比例函数图象上y=K X一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C 、D 在x 轴上，且BC ∥AD ，四边形ABCD 的面积为3，则k=__________．【答案】﹣3【解析】设点A 的坐标为（m ，n ），∵AB ⊥y 轴，CD ⊥y 轴，∴AB ∥CD ，又∵BC ∥AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．S 平行四边形ABCD =AB •OB=﹣m •n=3，∴k=mn=﹣3．11、如图，点A 是反比例函数y 1=1x （x ＞0）图象上一点，过点A 作x 轴的平行线，交反比例函数y 2=k x（x ＞0）的图象于点B ，连接OA 、OB ，若△OAB 的面积为2，则k 的值为___________．【答案】5【解析】延长BA ，与y 轴交于点C ，∵AB ∥x 轴，∴BC ⊥y 轴，∵A 是反比例函数y 1=1x （x ＞0）图象上一点，B 为反比例函数y 2=k x （x ＞0）的图象上的点，∴S △AOC =12，S △BOC =2k ，∵S △AOB =2，即2k ﹣12=2，解得：k=5．12、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=______．【答案】3【解析】连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，∵D、E在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∴△OAD的面积=△OCE的面积，∴△OBD的面积=△OBE的面积=12四边形ODBE的面积=3，∵BE=2EC，∴△OCE的面积=12△OBE的面积=32，∴k=313、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数myx的图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．【答案】（1）y=x+1；y=6x；（2）OP=1．【解析】（1）∵反比例函数y=mx的图象经过点A（2，3），∴m=6．∴反比例函数的解析式是y=6 x，∵B点（﹣3，n）在反比例函数y=6x的图象上，∴n=﹣2，∴B（﹣3，﹣2），∵一次函数y=kx+b的图象经过A（2，3）、B（﹣3，﹣2）两点，∴23 32k bk b+=⎧⎨-+=-⎩，解得：11 kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式是y=x+1；（2）对于一次函数y=x+1，令x=0求出y=1，即C（0，1），OC=1，根据题意得：S△ABP=12PC×2+12PC×3=5，解得：PC=2，则OP=OC+CP=1+2=3或OP=CP﹣OC=2﹣1=1．14、甲、乙两地间的公路长为300km，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为(/)v km h，到达时所用的时间为()t h，那么t是v的______函数，v关于t的函数关系式为_____________．【答案】反比例；300 tv =【解析】由题意得300tv=，是反比例函数．15、如图，点A在反比例函数6yx=图象第一象限的分支上，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点D，若△OAD与△BCD的面积相等，则点A的横坐标是（）B.2 D.【答案】A【解析】连接OC，分别过点A、C作x、y轴的平行线交于E点，CE交x轴于F点，如图：由反比例的性质可知，A 、B 两点关于中心O 对称，即OA ＝OB ，又∵△ACB 为等腰直角三角形，∴CO ⊥AB ，且OC ＝OA ．设直线AB 的解析式为y ＝ax （a ＞0），则OC 的解析式为1y x a=-，设点A （m ，am ），点C （an ，﹣n ），∵OA ＝OC ，即m 2＋（am ）2＝（an ）2＋n 2，解得n ＝±m ，∵A 在第一象限，C 在第三象限，∴n ＝m ＞0，即C （am ，﹣m ）．∵AE ∥x 轴，CE ∥y 轴，∴∠CDF ＝∠CAE ，∠CFD ＝∠CEA ＝90°，∴△CDF ∽△CAE ，∴CF CD CE CA=，又∵△OAD 与△BCD 的面积相等，△OAD 与△BOD 的面积相等，∴S △ABD ＝2S △BCD ，∴2AD CD=，∵AC ＝AD ＋CD ，∴13CF CD CE CA ==，∵点A （m ，am ），点C （am ，﹣m ），∴点E （am ，am ），点F （am ，0），∴0()11()13CF m CE am m a --===--+即a ＝2．∵点A （m ，am ）在反比例函数6y x=的图象上，且a ＝2，∴2m 2＝6，解得m =，∵m ＞0，∴m =，∴点A 所以选A ．16、如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为y ℃，从加热开始计算的时间为x 分钟，据了解，该材料在加热过程中温度y 与时间x 成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为15℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热．停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y 与时间x 成反比例函数关系．（1）分别求出该材料加热过程中和停止加热后y 与x 之间的函数表达式，并写出x 的取值范围；（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？【答案】（1）y=9x+15（05x ≤≤），y=（x≥5）；（2）对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟．【解析】（1）设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b （k ≠0），∵该函数图象经过点（0，15），（5，60），∴，解得，∴一次函数的表达式为y=9x+15（0≤x ≤5），设加热停止后反比例函数表达式为y=（a ≠0），∵该函数图象经过点（5，60），∴=60，解得：a=300，∴反比例函数表达式为y=（x ≥5）；（2）∵y=9x+15，∴当y=30时，9x+15=30，解得x=，∵y=，∴当y=30时，=30，解得x=10，10﹣=，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟．第02讲_反比例函数的代几综合知识图谱反比例函数的代数综合知识精讲一．反比例函数与方程和不等式如图，双曲线与直线相交，则方程12k k x b x =+的解为交点的横坐标12x x 、；不等式12k k x b x+>的解为120x x x x ><<或．二．反比例函数与一次函数已知反比例函数与一次函数的一个交点，求函数解析式，只要把交点坐标分别代入到两个解析式即可．当反比例函数与正比例函数相交时，交点关于原点对称，即1212,x x y y =-=-．三点剖析一．考点：反比例函数与代数综合二．重难点：反比例函数与代数综合三．易错点：1．注意反比例函数解析式中0k ≠；2．反比例函数与一次函数结合经常会出现要解分式方程的情况，注意分式方程增根的情况；3．利用图像解反比例函数与不等式的问题．与方程，不等式综合例题1、如图，反比例函数y 1=的图象与正比例函数y 2=k 2x 的图象交于点（2，1），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（）A.0＜x ＜2B.x ＞2C.x ＞2或﹣2＜x ＜0D.x ＜﹣2或0＜x ＜2【答案】D 【解析】∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A 、B 两点关于原点对称，∵A （2，1），∴B （﹣2，﹣1），∵由函数图象可知，当0＜x ＜2或x ＜﹣2时函数y 1的图象在y 2的上方，∴使y 1＞y 2的x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜2．故选D ．例题2、已知直线y=x ﹣3与函数2y x =的图象相交于点（a ，b ），则代数式a 2+b 2的值是（）A.13B.11C.7D.5【答案】A【解析】根据题意得b=a ﹣3，b=2a，所以a ﹣b=3，ab=2，所以a 2+b 2=（a ﹣b ）2+2ab=32+2×2=13．故选A ．例题3、求一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x 3﹣x ﹣1=0的解的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】由x 3﹣x ﹣1=0得：x 3﹣x=1方程两边同时除以x 得：x 2﹣1=，在同一坐标系中作出y=x 2﹣1和y=的图象为：观察图象有一个交点，∴可以判断方程x 3﹣x ﹣1=0的解的个数有1个，随练1、小兰画了一个函数y=1a x -的图像如图，那么关于x 的分式方程1a x -=2的解是（）A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4【答案】A【解析】由图可知当x=3时，y=0，即13a -=0，解得a=3，当31x-=2时，解得x=1．随练2、如图所示，已知A （12，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y=1x图象上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A.（12，0） B.（1，0） C.（32，0） D.（52，0）【答案】D 【解析】∵把A （12，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y=1x 得：y 1=2，y 2=12，∴A （12，2），B （2，12），∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP ﹣BP|＜AB ，∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA ﹣PB=AB ，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入得：122122k b k b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：k=﹣1，b=52，∴直线AB 的解析式是y=﹣x+52，当y=0时，x=52，即P （52，0），1、反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（）A.t＜B ．t＞C ．t≤D ．t≥【答案】【解析】将y=﹣x+2代入到反比例函数y=中，得：﹣x+2=，整理，得：x 2﹣2x+1﹣6t=0．∵反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴，解得：t ＞．与一次函数综合例题1、已知反比例函数k y x=（k≠0）和一次函数y ＝x －6．（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P （2，m ），求m 和k 的值；（2）当k 满足什么条件时，两函数的图象没有交点．【答案】（1）m ＝－4；k ＝－8（2）k ＜－9【解析】（1）把点P （2，m ）代入y ＝x －6，得m ＝－4，所以P （2，－4）．将点P （2，－4）代入反比例函数k y x =，得k ＝－8；（2）根据,6,k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得6k x x =-，∴260x x k --=，∵两图象没有交点，∴()()26410k --⨯⨯-<，即k ＜－9．例题2、如图，在直角坐标系中，直线y ＝mx 与曲线n y x =相交于A （－1，a ），B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1．（1）求m，n的值；（2）求直线AC的解析式．【答案】（1）m＝－2；n＝－2（2）y＝－x＋1【解析】（1）∵直线y＝mx与曲线nyx=相交于A（－1，a）、B两点，∴B点横坐标为1，即C（1，0），∵△AOC的面积为1，∴A（－1，2），将A（－1，2）代入y＝mx，nyx=可得m＝－2，n＝－2；（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵y＝kx＋b经过点A（－1，2）、C（1，0）∴2k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得k＝－1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝－x＋1．例题3、已知反比例函数5myx-=（m为常数，且m≠5）．（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若其图象与一次函数y＝－x＋1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．【答案】（1）m＜5（2）－1【解析】（1）∵在反比例函数5myx-=图象的每个分支上，y随x的增大而增大，∴m－5＜0，解得：m＜5；（2）将y＝3代入y＝－x＋1中，得x＝－2，∴反比例函数5myx-=图象与一次函数y＝－x＋1图象的交点坐标为（－2，3），将（－2，3）代入5myx-=得532m-=-，解得1m=-．随练1、已知点A（﹣2，0），B为直线x=﹣1上一个动点，P为直线AB与双曲线y=1x的交点，且AP=2AB，则满足条件的点P的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】如图，设P（m，1m），B（﹣1，n），直线x=﹣1与x轴交于C，∵A（﹣2，0），∴OA=2，OC=1，∴AC=1，BC∥y轴，∴12 AB ACAP AO==，∴P1，P3在y轴上，这样的点P 不存在，点P 4在AB 之间，不满足AP=2AB ，过P 2作P 2Q ⊥x 轴于Q ，∴P 2Q ∥B 1C ，∴1212AB AC AP AQ ==，∴1122m =--，∴m=﹣4，∴P （﹣4，﹣14），∴满足条件的点P 的个数是1，随练2、图中给出的直线1y k x b =+和反比例函数2k y x=的图像，判断下列结论正确的个数有（）①2k ＞b ＞1k ＞0；②直线1y k x b =+与坐标轴围成的△ABO 的面积是4；③方程组12y k x b k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的解为11x 6y 1=-⎧⎨=-⎩，22x 2y 3=⎧⎨=⎩；④当－6＜x ＜2时，有21k k x b x +>A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】暂无解析随练3、如图，双曲线x m y =与直线b kx y +=相交于点M ，N ，且点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于x 的方程x m ＝b kx +的解为（）A.1=x B.1=x 或3-=x C.3=x D.1-=x 或3=x 【答案】B【解析】暂无解析随练4、如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=m x的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．【答案】（1）y=2x-；y=﹣x ﹣1（2）x ＜﹣2或0＜x ＜1【解析】（1）∵A （﹣2，1）在反比例函数y=m x的图象上，∴1=2m -，解得m=﹣2．∴反比例函数解析式为y=2x-，∵B （1，n ）在反比例函数h 上，∴n=﹣2，∴B 的坐标（1，﹣2），把A （﹣2，1），B （1，﹣2）代入y=kx+b ，得212k k b b -==-++⎧⎨⎩，解得：11b k =--=⎧⎨⎩，∴一次函数的解析式为y=﹣x ﹣1；（2）由图象知：当x ＜﹣2或0＜x ＜1时，一次函数的值大于反比例函数．随练5、如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边AD 在x 轴上，点B 在第四象限，直线BD 与反比例函数y=m x的图象交于点B 、E ．（1）求反比例函数及直线BD 的解析式；（2）求点E 的坐标．【答案】（1）y=﹣2x ；y=﹣x ﹣1（2）E （﹣2，1）【解析】（1）边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边在AD 在x 轴上，点B 在第四象限，∴A （1，0），D （﹣1，0），B （1，﹣2）．∵反比例函数y=m x 的图象过点B ，∴1m =﹣2，m=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣2x，设直线BD 的解析式为y=kx+b ，∵y=kx+b 的图象过B 、D 点，∴-2-k+b=0k b +=⎧⎨⎩，解得=-1b=-1k ⎧⎨⎩．直线BD 的解析式y=﹣x ﹣1；（2）解方程组2y=-x y=-x 1⎧⎪⎨⎪-⎩，解得-2y=1x =⎧⎨⎩或x=1y=-2⎧⎨⎩，∵B （1，﹣2），∴E （﹣2，1）．随练6、定义运算max{a ，b}：当a≥b 时，max{a ，b}=a ；当a ＜b 时，max{a ，b}=b ．如max{﹣3，2}=2．（1）max{，3}=____________；（2）已知y 1=1k x 和y 2=k 2x+b 在同一坐标系中的图象如图所示，若max{1k x ，k 2x+b}=1k x，结合图象，直接写出x 的取值范围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x ﹣2}的值．【答案】（1）3（2）﹣3≤x ＜0或x≥2（3）当2x+1≥x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=2x+1，当2x+1＜x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=x ﹣2．【解析】（1）3}=3．故答案为：3；（2）∵max{1k x ，k 2x+b}=1k x，∴1k x≥k 2x+b ，∴从图象可知：x 的取值范围为﹣3≤x ＜0或x≥2；（3）当2x+1≥x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=2x+1，当2x+1＜x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=x ﹣2．反比例函数与几何综合知识精讲一．反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况．二．反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论．三．反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意k 值的几何意义和正负的讨论．三点剖析一．反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况．二．反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论．三．反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意k 值的几何意义和正负的讨论．四．易错点：1.涉及到特殊三角形与动点问题时，一般都为多个解，注意不要漏解2.在求三角形和四边形面积用坐标表示线段长度时，注意正负号的问题．与三角形综合例题1、在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P 在反比例函数y=2x 的图象上，若△PAB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为（）A.2个B.4个C.5个D.6个【答案】D。

第六章反比例函数6.1 反比例函数教学目标：1．从现实情境和已有的知识经验出发，理解两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。

2．经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数解析式，体会函数的模型思想。

教学重点：理解和领会反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式。

教学难点：例1涉及科学学科知识，学生理解问题时有一定的困难。

教材分析：函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型。

在前面已学习过“变化之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已经有了初步的认识，在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念，为后续学习产生积极的影响。

教材以有趣的数学生活实例，让学生通过讨论合作的方式，理解反比例函数的概念，培养学生函数的数学思想，为学生能更好地“用数学”打下基础。

关键信息： 1、关注学生的学习过程，让学生经历抽象反比例函数概念的过程。

2、数学来源于生活，又服务于生活，引导学生将所学的知识用于生活中，培养学生运用数学解决实际问题的能力。

3、学生分小组探究结论，培养学生的团队精神，合作意识，同时让学生自己叙述探究的结果，提高学生的表达能力，从而提高其学习的积极性。

学情分析：学生的年龄特点和认知特点此阶段学生有比较强烈的自我发展意识。

本节课让学生在做中探索，在做中感悟，在做中收获，老师可以尽可能的让学生在这些活动中表现自我，发展自我，从而感受数学的丰富多样，让学生尽情的去做探索者，研究者，挑战自己，展示自己。

本节课通过对具体情景的分析，概括出反比例函数的概念。

通过例题和举例可以丰富对函数的认识，理解反比例函数的意义。

教学过程设计：一、复习导入：1.矩形的长为6，宽y和面积x之间的关系为_________________.2.矩形的面积为6，一边长y和另一边长x之间的关系为________________.在小学里我们已经学过，如果两个变量的积是一个不为零的常数，我们就说这两个变量成反比例.（通过复习正比例函数，类比着学习反比例函数，揭示课题，板书课题：6.1反比例函数（1））二、新课教学：（一）、思考并回答下面的问题：1.北京到杭州的铁路线长为1661km.一列火车从北京开往杭州，记火车全程的行驶时间为x(h),火车行驶的平均速度为y(km/h),请填写下表。