2.3《匀变速直线运动的位移与时间的关系》

匀变速直线运动的位移与时间的关系公式
匀变速直线运动的位移与时间的关系公式可以由运动学公式推导得到，具体分为两种情况：
1. 匀速直线运动的位移与时间的关系公式：
位移 = 速度 ×时间
其中，位移表示物体在运动过程中从起点到终点的距离，速度表示物体的运动速度，时间表示运动的时间长度。

2. 变速直线运动的位移与时间的关系公式：
位移 = 初速度 ×时间 + 0.5 ×加速度 ×时间²
其中，初速度表示运动开始时的速度，加速度表示运动过程中的加速度。

这个公式描述了的位移与时间的关系可以用来计算变速直线运动下物体在不同时间点的位置。

注意，这个公式的适用条件是运动过程中加速度是一个常量。

另外还有一种特殊情况，匀变速直线运动中，如果物体的位移与时间的关系符合二次函数的形式，可以使用二次函数公式来描述位移与时间的关系。

例如：位移 = a ×时间² + b ×时间 + c，其中a、b和c是常数。

第三节匀变速直线运动的位移与时间的关系一、位移时间公式1、推导：①图像法：（由v-t图像求位移）---微元的思想结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积．即：位移与时间关系式：x＝v0t＋12at2.②解析法：（由平均速度求得）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+==atvvvvvt vxtt2得：x＝v0t＋12at2.2、物理意义：在匀变速直线运动中位移随时间变化的规律。

3、注意：①适用范围：匀变速直线运动。

②决定关系：位移的决定式，即匀变速直线运动中位移是由初速度、加速度、时间共同决定。

③比例关系：二次关系，也叫非线性关系。

④同一性：x、a、v0、vt具有同一性。

⑤合理性：已知位移反求时间，可能有两个值，要合理取舍。

二、速度--时间公式应用1、使用方法：①判断：运动性质（a为定值）。

②确定：研究对象和研究过程。

③设定：正方向（一般初速度的方向为正方向，无初速度则选择加速度为正方向）。

④公式应用：x＝v0t＋12at2；（此式子为矢量式，应将方向带入求解）⑤结果：结果如何为矢量，大小方向都需要求解。

2、例子：已知一个物体以向西的初速度4m/s做匀变速直线运动，其加速度大小为2m/s2，求1s末、2s末、4s末、8s末的速度和位移和路程，如果该物体是汽车，则结果又将如何？．三、推论1、逐差相等原理：在匀变速直线运动中，相邻相等的时间间隔位移之差是一个定值。

表达式：△x=aT 2．推导：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=212022019213421221T a T v x T a T v x aT T v x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=-20232012521321T a T v x x T a T v x x 2aT x =∆ 2、比例关系：初速度为零的匀加速直线运动中①在前T ，前2T ，前3T 的位移之比1:4:9……n2②在第T ，第2T ，第3T 的位移之比1:3:4……（2n-1） 3、逆向思维法：末速度为零的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为零的匀加速直线运动。

教师姓名学生姓名年级学科课题名称第二章第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系课型时间教学目标1.知道匀速直线运动的位移与时间的关系.2.理解匀变速直线运动的位移及其应用.3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用.4.理解v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移.教学重难点教学重点1.理解匀速直线运动的位移及其应用.2.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用.教学难点1.v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移.2.微元法推导位移公式.A预习本节内容，了解本节内容基本概况B、新课教学前面我们学习了匀变速直线运动中速度与时间的关系，其关系式为v=v0+at.在探究速度与时间的关系时，我们分别运用了不同方法来进行.我们知道，描述运动的物理量还有位移，那位移与时间的关系又是怎样的呢？我们又将采用什么方法来探究位移与时间的关系呢？一、匀速直线运动的位移与时间的关系做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x=vt.说明：取运动的初始时刻物体的位置为坐标原点，这样，物体在时刻t的位移等于这时的坐标x，从开始到t时刻的时间间隔为t.在坐标纸上作出匀速直线运动的v---t图象，猜想一下，能否在v---t图象中表示出做匀速直线运动的物体在时间t内的位移呢？探究1.作出匀速直线运动的物体的速度—时间图象.2.由图象可看出匀速直线运动的v-t图象是一条平行于t轴的直线.3.发现，从0——t时间内，图线与t轴所夹图形为矩形，其面积为vt.4.结论：对于匀速直线运动，物体的位移对应着v-t图象中一块矩形的面积，如图教学过程讨论了匀速直线运动的位移可用v-t图象中所夹的面积来表示的方法，匀变速直线运动的位移在v-t 图象中是不是也有类似的关系，下面我们就来学习匀变速直线运动的位移和时间的关系.二、匀变速直线运动的位移问题：对于匀变速直线运动的位移与它的v-t图象是不是也有类似的关系？思考，并阅读“思考与讨论”。

第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系学习目标核心提炼1.知道匀速直线运动的位移与v －t 图象中矩形面积的对应关系。

1种方法——极限思想解决问题的方法 1个公式——位移与时间关系式x ＝v 0t ＋12at 22种图象——x －t 和v －t 图线的特点及应用 2个重要推论——⎩⎨⎧v ＝v t 2＝v 0＋v 2Δx ＝aT 22.了解位移公式的推导方法，感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法。

3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式。

会应用此关系式对匀变速直线运动问题进行分析和计算。

4.知道什么是x －t 图象，能应用x －t 图象分析物体的运动。

一、匀速直线运动的位移阅读教材第37～38页“匀速直线运动的位移”部分，知道匀速直线运动的位移x 与v －t 图象中矩形面积的对应关系。

1．位移公式：x ＝v t 。

2．在v －t 图象中的表示位移：对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于v －t 图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积。

如图所示阴影图形面积就等于物体t 1时间内的位移。

思维拓展如图1所示，质点在5 s 内的位移是多大？图1★答案★ 0～3 s 位移x 1＝v 1t 1＝9 m 3～5 s 位移x 2＝－v 2t 2＝－4 m 故0～5 s x ＝x 1＋x 1＝5 m 。

二、匀变速直线运动的位移分析教材第38～40页图2.3－2的甲、乙、丙、丁的图解过程，了解位移公式的推导方法，从中感受极限思维方法的应用。

1．在v －t 图象中的表示位移： (1)微元法推导①把物体的运动分成几个小段，如图2甲，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积。

所以，整个过程的位移≈各个小矩形面积之和。

②把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移。

图2③把整个过程分得非常非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移。

2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系（考点解读）（原卷版）考点1 匀变速直线运动位移与时间的关系1、匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x ＝v 0t ＋12at 2。

2、公式的推导（1）利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。

（2）利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t 内的平均速度就等于时间t 内的初速度v 0和末速度v 的平均值，即x ＝12(v 0＋v )t 。

结合公式v ＝v 0＋at 可导出位移公式：x ＝v 0t ＋12at 2，当初速度为0时，x ＝12at 2。

3、技巧归纳（1）在v －t 图像中，图线与t 轴所围的面积对应物体的位移，t 轴上方面积表示位移为正，t 轴下方面积表示位移为负。

（2）位移公式x ＝v 0t ＋12at 2只适用于匀变速直线运动。

（3）公式中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取正方向；一般选v 0的方向为正方向．当物体做匀减速直线运动时，a 取负值，计算结果中，位移x 的正负表示其方向。

（4）当v 0＝0时，x ＝12at 2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x 与t 2成正比。

4、匀变速直线运动中的平均速度该段时间的末速度v=v t +at ，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。

5、匀变速直线运动推论公式：任意两个连续相等时间间隔T 内，位移之差是常数，即△x=x 2-x 1=aT 2．拓展：△x MN =x M -x N =（M-N ）aT 2。

推导：如图所示，x 1、x 2为连续相等的时间T 内的位移，加速度为a 。

考点2 匀变速直线运动速度与位移的关系 1、匀变速直线运动位移与速度的关系。

2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系1．能运用位移公式解决有关问题.2．会推导速度与位移的关系式，知道式中各物理量的含义，会用公式v 2－v 20＝2ax 进行分析和计算.3.会推导Δx ＝aT 2并会用它解决相关问题．一、匀变速直线运动的位移匀变速直线运动的位移与时间的关系：x ＝v 0t ＋12at 2. 1．两种特殊形式(1)当v 0＝0时，x ＝12at 2(由静止开始的匀加速直线运动)． (2)当a ＝0时，x ＝v 0t(匀速直线运动)．2．公式的矢量性 公式中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．若选v 0的方向为正方向，则：(1)物体加速，a 取正值；物体减速，a 取负值．(2)若位移为正值，位移的方向与正方向相同；若位移为负值，位移的方向与正方向相反．1.一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t 内通过的位移为x ，则它从出发开始经过4x 的位移所用的时间为( )A.t 4B.t 2 C ．2tD ．4t【答案】C【解析】由位移公式得x ＝12at 2,4x ＝12at ′2，所以t 2t ′2＝14，故t ′＝2t ，C 正确． 2. 某物体运动的v －t 图象如图所示，根据图象可知，该物体( )A ．在0到2s 末的时间内，加速度为1m/s 2B ．在0到5s 末的时间内，位移为10mC ．在0到6s 末的时间内，位移为7.5mD ．在0到6s 末的时间内，位移为6.5m【答案】AD【解析】在0到2s 末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a ＝Δv Δt ＝22m/s 2＝1 m/s 2，故A 正确.0到5s 内物体的位移等于梯形面积x 1＝(12×2×2＋2×2＋12×1×2) m ＝7m ，故B 错误．在5s 到6s 内物体的位移等于t 轴下面三角形面积x 2＝－(12×1×1) m ＝－0.5m ，故0到6s 内物体的位移x ＝x 1＋x 2＝6.5m ，C 错误，D 正确．3. 一滑块在水平面上以10m/s 的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s 2.求：(1)滑块3s 时的速度；(2)滑块10s 时的速度及位移．【答案】(1)4m/s (2)0 25m【解析】取初速度方向为正方向，则v 0＝10m/s ，a ＝－2m/s 2由t ＝Δv a 得滑块停止所用时间t ＝0－10－2s ＝5s (1)由v ＝v 0＋at 得滑块经3s 时的速度v 1＝10m/s ＋(－2)×3 m/s ＝4m/s(2)因为滑块5s 时已经停止，所以10s 时滑块的速度为0,10s 时的位移也就是5s 时的位移，由x ＝v 0t ＋12at 2得x ＝(10×5－12×2×52) m ＝25m二、速度与位移的关系1．匀变速直线运动的位移速度公式：v 2－v 20＝2ax ，此式是矢量式，应用解题时一定要先选定正方向，并注意各量的符号．若v 0方向为正方向，则：(1)物体做加速运动时，加速度a 取正值；做减速运动时，加速度a 取负值．(2)位移x>0说明物体通过的位移方向与初速度方向相同，x<0说明物体通过的位移方向与初速度方向相反． 2．当v 0＝0时，v 2＝2ax.3．公式特点：不涉及时间．推导补充公式：1．中间时刻的瞬时速度2t v ＝v 0＋v 2. 2．中间位置的瞬时速度2x v ＝v 20＋v 22. 3．平均速度公式总结：v ＝x t，适用条件：任意运动． v ＝v 0＋v 2，适用条件：匀变速直线运动． v ＝2t v ，适用条件：匀变速直线运动．重要推论Δx ＝aT 2的推导及应用1．匀变速直线运动中，在连续相等的时间T 内的位移之差为一恒定值，即Δx ＝x 2－x 1＝aT 2.2．应用(1)判断物体是否做匀变速直线运动如果Δx ＝x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1＝aT 2成立，则a 为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．(2)求加速度利用Δx ＝aT 2，可求得a ＝Δx T 2.1. A 、B 、C 三点在同一条直线上，一物体从A 点由静止开始做匀加速直线运动，经过B 点的速度是v ，到C 点的速度是3v ，则x AB ∶x BC 等于( )A ．1∶8B ．1∶6C ．1∶5D ．1∶3【答案】A【解析】由公式v 2－v 20＝2ax ，得v 2＝2ax AB ，(3v)2＝2a(x AB ＋x BC )，联立两式可得x AB ∶x BC ＝1∶8.2.一质点做匀变速直线运动，初速度v 0＝2m/s,4s 内位移为20m ，求：(1)质点4s 末的速度；(2)质点2s 末的速度．【答案】(1)8m/s (2)5 m/s【解析】利用平均速度公式4 s 内的平均速度v ＝x t ＝v 0＋v 42， 代入数据解得，4 s 末的速度v 4＝8 m/s2 s 末的速度v 2＝v 0＋v 42＝2＋82m/s ＝5 m/s. 3.做匀加速直线运动的物体，从开始计时起连续两个4s 的时间间隔内通过的位移分别是48m 和80m ，则这个物体的初速度和加速度各是多少？【答案】8m/s 2 m/s 2【解析】根据关系式Δx ＝aT 2，物体的加速度a ＝Δx T 2＝80－4842 m/s 2＝2 m/s 2.由于前4 s 内的位移48＝v 0×4＋12a ×42，故初速度v 0＝8 m/s.1.一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s 末的速度达到4m/s ，物体在第2s 内的位移是( )A ．6mB ．8mC ．4mD ．1.6m【答案】A【解析】根据速度时间公式v 1＝at 1，得a ＝v 1t 1＝41m/s 2＝4 m/s 2.第1s 末的速度等于第2s 初的速度，所以物体在第2s 内的位移x 2＝v 1t 2＋12at 22＝4×1m ＋12×4×12m ＝6m ．故选A. 2.—质点沿x 轴做直线运动，其v －t 图象如图所示．质点在t ＝0时位于x ＝0处，开始沿x 轴正向运动．当t ＝8s 时，质点在x 轴上的位置为( )A ．x ＝3mB ．x ＝8mC ．x ＝9mD ．x ＝0【答案】A【解析】在v －t 图象中图线与时间轴所围的面积表示了质点的位移，由v －t 图象可知，在0～4s 内图线位于时间轴的上方，表示质点沿x 轴正方向运动，其位移为正，x 1＝2＋4×22m ＝6m ，在4～8s 内图线位于时间轴的下方，表示质点沿x 轴负方向运动，其位移为负，x 2＝－2＋4×12m ＝－3m,8s 内质点的位移为：6m ＋(－3m)＝3m ，故A 正确．3.汽车以10m/s 的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后做匀减速运动经2 s 速度变为6 m/s ，求：(1)刹车后2s 内前进的距离及刹车过程中的加速度；(2)刹车后前进9m 所用时间；(3)刹车后8s 内前进的距离．【答案】(1)16m －2m/s 2 (2)1s (3)25m【解析】 (1)取初速度方向为正方向，汽车刹车后做匀减速直线运动，由v ＝v 0＋t 1得a ＝v 1－v 0t 1＝6－102m/s 2＝－2 m/s 2， 负号表示加速度方向与初速度方向相反．再由x ＝v 0t ＋12at 2可求得x 1＝16m ， (2)由位移公式x ＝v 0t ＋12at 2 可得9＝10t ＋12×(－2)t 2，解得t 2＝1s(t 3＝9s ，不符合实际，舍去)，即前进9m 所用时间为1s. (3)设汽车刹车过程所用时间为t ′，则汽车经过时间t ′速度变为零．由速度公式v ＝v 0＋at 可得t ′＝5s ，即刹车5s 后汽车就已停止运动，在8s 内位移即为5s 内位移，故x ′＝v 0t ′＋12at ′2＝(10×5) m ＋[12×(－2)×52] m ＝25m. 4.．战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v 所需时间为t ，则起飞前的运动距离为( )A ．vtB.vt 2 C ．2vtD ．不能确定【答案】B【解析】因为战机在起飞前做匀加速直线运动，则x ＝v t ＝0＋v 2t ＝v 2t ，B 正确． 5.从斜面上某一位置每隔0.1s 释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图3所示的照片，测得x AB ＝15cm ，x BC ＝20cm.试问：(1)小球的加速度是多少？(2)拍摄时小球B 的速度是多少？(3)拍摄时x CD 是多少？【答案】(1)5m/s 2 (2)1.75 m/s (3)0.25m【解析】小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1s ，可以认为A 、B 、C 、D 是一个小球在不同时刻的位置．由推论Δx ＝aT 2可知，小球加速度为a ＝Δx T 2＝x BC －x AB T 2＝20×10－2－15×10－20.12m/s 2＝5 m/s 2. (2)由题意知B 点对应AC 段的中间时刻，可知B 点的速度等于AC 段上的平均速度，即v B ＝v AC ＝x AC 2T ＝20×10－2＋15×10－22×0.1m/s ＝1.75 m/s. (3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以x CD －x BC ＝x BC －x AB所以x CD ＝2x BC －x AB ＝2×20×10－2m －15×10－2m ＝25×10－2m ＝0.25m.。

第二章匀变速直线运动的研究第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系一、匀速直线运动的位移1．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x=vt2．做匀速直线运动的物体，其v–t图象是一条平行于时间轴的直线，其位移在数值上等于v–t图线与对应的时间轴所围的矩形的面积。

二、匀变速直线运动的位移1．位移公式：x=__________（1）公式中x、v0、a均是矢量，应用公式解题前应先规定_________，明确各物理量的正负，一般规定初速度方向为正方向。

（2）当v0=0时，x=12at2，表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时间的关系。

2．做匀变速直线运动的物体的位移，对应其v–t图象中_________________________________。

三、匀变速直线运动的两个重要推论1．平均速度做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内___________的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。

即v=xt=v t/2=02tv v+z/x*xk2．逐差相等在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx=_______v0t+12at2正方向图线与时间轴所围的面积中间时刻aT2一、匀变速直线运动的位移与时间的关系【例题1】（2017江苏南通通州区东社学校高一学情检测）某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x =0.5t +t 2(m)，则当物体的速度为3 m/s 时，物体已运动的时间为A ．1.25 sB ．2.5 sC ．3 sD ．6 s 参考答案：A二、匀变速直线运动的两个重要推论【例题2】（2017山东锦泽高二期末）甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。

在t =0到t =t 1时间内，它们的v –t 图象如图所示。

在这段时间内A ．汽车甲的平均速度比乙大B ．汽车乙的平均速度等于122v v + C ．甲、乙两汽车的位移相同D ．甲、乙两汽车的加速度都逐渐减大 参考答案：A试题解析：平均速度等于位移与时间的比值，在v t -图象中，图线与时间轴所围的面积代表位移的大小，根据图象可知，甲的位移大于乙的位移，由于时间相同，所以汽车甲的平均速度比乙的大，A 正确，C 错误；如图所示，直线表示匀减速直线运动，其平均速度为122v v +，而匀减速直线运动的位移大于该变减速运动的位移，则汽车乙的平均速度小于122v v +，B 错误；因为切线的斜率等于物体的加速度，汽车甲和乙的加速度大小都逐渐减小，D错误。