简单的线性规划问题第2课时

§3.3.2简单的线性规划第2课时三维目标知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实 际相结合的科学态度和科学道德。

教学重难点重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；难点：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.尤其是最优解是整数解.教学过程一、复习回顾完成下列问题（详见课件），复习回顾上节课的概念和图解法二、讲授新课1、线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：（1）在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；（2）给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

例1、某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t 需消耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品1吨需消耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元,每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300t 、消耗B 种矿石不超过200t 、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能 使利润总额达到最大?解：设生产甲、乙两种产品.分别为x t 、y t,52150542004936000x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 3600100051000z z x y y x =+⇒=-+ 作出一组平行线351000z y x =-+ 经过可行域上的点M 时,目标函数在y 轴上截距最大.解得交点M 的坐标为(12.4,34.4)故应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大例2、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： O需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，根据题意可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,273,182,152y x y x y x y x作出可行域：目标函数为z =x +y ，作出在一组平行直线x +y =t （t 为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x +3y =37和直线2x +y =15的交点A （539,518），直线方程为x +y =557. 由于539518和都不是整数，而最优解（x ，y ）中，x 、y 必须满足x ，y∈Z ，所以，可行域内点(539,518)不是最优解.经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是x +y =12,经过的整点是B (3,9)和C (4,8)，它们是最优解.答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张.结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤如下：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）画出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解,当最优解是整数时，可以用调整法或网格法；(4) 还原为实际问题，做出解答。

§3.3.2简单的线性规划（第2课时）班级 姓名组别代码评价【使用说明与学法指导】1． 在自习或自主时间通过阅读课本的例5、例6、例7用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。

训练案在自习或自主时间完成。

2． 重点预习：从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决。

3． 把有疑问的题做好标记或写到后面“我的疑问处”。

【学习目标】1．巩固线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。

2.经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力。

3.结合教学内容体会线性规划的化归、数形结合的数学思想，增强观察、联想以及作图的能力，提升数学建模能力和解决实际问题的能力.【学习重点】从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决。

【学习难点】从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决。

【知识链接】用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤？【预习案】预习一：巩固用图解法解决线性规划问题例1．求y x z -=的最大值，使x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x预习自测：设x 、y 满足约束条件2438x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求y x z 23-=的最大值、最小值。

【探究案】探究：应用线性规划问题的图解法解决一些简单的实际问题例2．营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。

为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？归纳：应用线性规划问题的图解法解决一些简单的实际问题的基本步骤：练习：某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元。

课时作业(二十七)1．如果实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么2x －y 的最大值为()A ．2B ．1C ．－2D ．－3答案 B解析 如图所示可行域中，2x －y 在点C 处取得最大值，即在C(0，－1)处取得最大值，最大值为1.2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0且x ＋y 的最大值为9，则实数m＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 C解析 如图，设x ＋y ＝9，显然只有在x ＋y ＝9与直线2x －y －3＝0的交点处满足要求，解得此时x ＝4，y ＝5，即点(4，5)在直线x －my ＋1＝0上，代入得m ＝1.3．已知x ，y ∈Z ，则满足⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤5，y ≥0的点(x ，y)的个数为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12答案 D解析 画出不等式组对应的可行域，共12个点．4．若实数x 、y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x>0，则yx 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 在平面内作出x 、y 满足的可行域，设P(x ，y)为可行域内任一点，则直线PO 的斜率k PO ＝y x ，由数形结合得，k PO >1，故yx 的取值范围是(1，＋∞)，选C.5．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x －y ，则使z 取得最小值的点的坐标为( )A ．(1，1)B ．(3，2)C ．(5，2)D ．(4，1)答案 A解析 对直线y ＝x ＋b 行平移，注意b 越大，z 越小．6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( ) A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1，6]D ．[－6，32]答案 A解析 利用线性规划的知识求解．作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，又直线y ＝3x －z 的斜率为3.由图像知当直线y ＝3x －z 经过点A(2，0)时z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过点B(12，3)时，z 取最小值－32.∴z ＝3x －y 的取值范围为[－32，6]．故选A.7．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表菜的种植面积(单位：亩)分别为( ) A ．50，0 B ．30，20 C ．20，30 D ．0，50答案 B解析 设黄瓜的种植面积为x 亩，韭菜的种植面积为y 亩，则由题意知其满足的条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，化简得⎩⎨⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y.目标函数z ＝x ＋0.9y 的几何意义是直线x ＋0.9y －z ＝0在x 轴上的截距，由图可知当直线经过点B(30，20)时，目标函数z ＝x ＋0.9y 取得最大值． 8．已知以x ，y 为自变量的目标函数ω＝kx ＋y(k>0)的可行域如下图阴影部分(含边界)，若使ω取最大值时的最优解有无穷多个，则k 的值为( ) A ．1B.32C ．2D ．4答案 A解析 目标函数可变形为y ＝－kx ＋ω，又∵k>0，结合图像可知，当ω最大时，－k ＝k DC ＝4－22－4＝－1.即k ＝1.9．已知x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y2的最小值为( ) A.10 B ．2 2 C ．8 D ．10答案 D解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A(－3，0)与可行域上点(x ，y)间距离的平方．显然|AC|长度最小，所以|AC|2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10.故选D.10．点P(1，a)到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3>0表示的区域内，则a ＝________． 答案 3 解析|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3.又点P 在3x ＋y －3>0表示区域内，∴3＋a －3>0，∴a>0，∴a ＝3.11．在坐标平面内，点的纵、横坐标都是整数时，称该点为整点，则由不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0所表示的区域内整点的个数是________．答案 9解析 首先画出不等式组表示的平面区域(如图)，再用打网格法找出区域内整点，部分靠近边界的点代入验证，共9个点．12．记不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D.若直线y ＝a(x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________． 答案 [12，4]解析 作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a(x ＋1)过定点C(－1，0)，由图并结合题意可知k BC ＝12，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a(x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4.13．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围． 解析 (1)作出可行域如图，计算得点A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)．z ＝x 2＋(y －5)2，表示可行域内任一点(x ，y)到点M(0，5)的距离的平方． 过点M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上，故|MN|＝|0－5＋2|1＋（－1）2＝32＝322， ∴|MN|2＝(322)2＝92，∴z 的最小值为92. (2)z ＝2·y －（－12）x －（－1），表示可行域内的点(x ，y)与定点Q(－1，－12)连线的斜率的2倍． 连接QA ，QB.∵k QA ＝74，k QB ＝38，∴z 的取值范围是[34，72]．14．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 解析 设投资人分别用x 万元，y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点． 解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6.此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∵7>0，∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值．所以，投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．15．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a 的钢条2根，长度为b 的钢条1根；或截成长度为a 的钢条1根，长度为b 的钢条3根．现长度为a 的钢条至少需要15根，长度为b 的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？解析 设按第一种切割方式需钢条x 根，按第二种切割方式需钢条y 根，根据题意得约束条件是⎩⎨⎧2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x>0，x ∈N ，y>0，y ∈N ，目标函数是z ＝x ＋y ，画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分．由⎩⎨⎧2x ＋y ＝15，x ＋3y ＝27，解得⎩⎨⎧x ＝3.6，y ＝7.8. 此时z ＝11.4，但x ，y ，z 都应当为正整数， 所以点(3.6，7.8)不是最优解．经过可行域内的整点且使z 最小的直线是y ＝－x ＋12，即z ＝12，满足该约束条件的(x ，y)有两个：(4，8)或(3，9)，它们都是最优解． 即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，可满足要求．1．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx 的最大值为________．答案 2解析 画出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P(x ，y)与原点的连线的斜率．A(1，2)，B(3，0)，∴0≤yx≤2.2．若实数x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是()A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，＋∞)D ．[－12，1)答案D解析 所求问题转化为求动点(x ，y)与定点(－1，1)连线的斜率问题．不等式组表示的可行域如图所示．目标函数ω＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点(－1，1)的连线的斜率，由图可见，点(－1，1)与点(1，0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到，故－12≤ω<1.3．若目标函数z ＝x ＋y ＋1在约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，y ≤n ，x ≥－3下取得最大值的最优解有无穷多个，则n 的取值范围是________． 答案 n>2解析先根据⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，x ≥－3作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z＝x ＋y ＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x ＋y －2＝0，且只有当n>2时，可行域才包含x ＋y －2＝0这条直线上的线段BC 或其部分．4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( ) A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元答案 D解析 设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，获得利润为z ，则有下列关系：则有⎩⎨⎧ y>0， 3x ＋y ≤13， 2x ＋3y ≤18.目标函数z ＝5x ＋3y ，作出可行域后(如图所示阴影区域)求出可行域边界上各端点的坐标，可知当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元，故选D.。

“简单的线性规划”的设计说明
本节课是“简单的线性规划”第二课时，为实现本课时的教学目标，抓住重点，突破难点，在设计这堂课时，考虑了如下方面：
1.从实际出发，引出线性规划问题，在数学概念的引入过程中，教学的主要方式是在学生已经获得的感性认识的基础上，再给数学概念下定义。

本节课首先从创设一个实际问题情境出发，然后将一个实际问题抽象概括为一个数学问题，从而引出线性规划问题。

2.变方法的传授过程为问题的解决过程
本节课主要通过问题1说明线性规划的意义及有关概念，介绍了线性规划问题的图解法。

因此，问题的教学是本节的重点。

在讲解问题1 时，教师主要采用启发式教学方法引导学生在对问题的观察、联想、分析、化归的尝试过程中，紧紧抓住数形结合的思想方法，通过学生的积极参与及多媒体手段的运用，再达到使一个平淡的方法传授过程变为生动有趣的问题的解决过程的目的。

3．通过变式训练，促进知识的深化。

为使学生将所学的知识转化为技能，本节课的练习设计力求由浅入深，由易到难，同时又有利于教师及时反馈、及时调节，使学生对线性规划的知识在认识上得到深化、升华。

4.重视小结的“画龙点睛”作用。

课堂小结主要帮助学生对线性规划问题进行再认识，并将本节内容纳入原有知识体系，使其达到举一反三、灵活运用的目的。