运用平移知识解决面积问题

第课时利用平移解决问题1.学生掌握运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题的策略,发展学生的空间观念。

2.通过学生经历自主探究的过程,运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题,加深对“平移”这种图形变换方式的理解。

3.体会数学知识之间的密切联系,感受数学美。

【重点】运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题。

【难点】在解决问题的过程中,加深对平移的理解。

【教师准备】PPT课件。

【学生准备】方格纸。

请画出小树向右平移4格后的图形。

(让学生说一说,平移的时候应该注意些什么)【参考答案】方法一出示:师:同学们想一想,怎样去求长方形和正方形的周长和面积?预设生1:长方形周长=(长+宽)×2或长×2+宽×2;长方形面积=长×宽。

生2:正方形周长=边长×4;正方形面积=边长×边长。

揭示课题:如果不是长方形或正方形的图形,我们怎样求它的周长和面积呢?今天我们来学习——利用平移来解决问题。

(板书课题:利用平移解决问题)回顾了旧知识,唤醒了学生的记忆,帮助学生更好地进行后面的学习。

方法二师:上节课我们已经学习了平移的一些知识,利用我们学习的平移知识,还能解决一些图形面积计算问题。

下面我们来做进一步的研究。

(板书课题:利用平移解决问题) 通过简单的谈话,直接揭示我们这节课要学习的内容,简单明了地直接导入新课。

教学例4,利用平移的知识解决面积问题。

1.提出问题。

师:现在在方格纸上又出现了一个新的图形,你能够知道它的面积是多少吗?2.提出要求,独立解决。

师:请你自己求一求这个图形的面积,可以在图上标一标,写一写,画一画。

(学生自己活动,教师巡视,了解学生解决问题的基本思路和方法,选取典型案例)3.讨论交流。

师:这里有几位同学解决问题的方法,我们一起来看看。

预设生1:数方格的方法。

数一数这个图形占有多少个方格,当数到不是整个格时,要拼一拼。

生2:算一算的方法。

三角形面积的计算与形的平移变换在几何数学中，三角形是最简单的图形之一。

计算三角形的面积和进行形状的平移变换是我们学习三角形的基本内容。

本文将介绍三角形面积的计算方法，并探讨三角形在平移变换中的特点和应用。

一、三角形面积的计算方法三角形的面积计算是几何学中的基本问题，有多种不同的方法可供选择。

下面分别介绍三角形面积计算的几种常见方法。

1.1 海伦公式海伦公式是一种计算任意三角形面积的方法。

假设三角形的三边长分别为a、b、c，则可以使用以下公式计算其面积S：\[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]其中s为半周长，即\[s = \frac{a+b+c}{2}\]。

1.2 矩阵法矩阵法是一种利用线性代数的方法计算三角形面积的方法。

假设三角形的三个顶点坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)，则可以使用以下公式计算其面积S：\[S = \frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} x1 & y1 & 1 \\ x2 & y2 & 1 \\ x3 & y3 & 1 \end{array}\right|\]。

1.3 底边高公式底边高公式是一种利用三角形底边和高的关系计算三角形面积的方法。

假设三角形的底边长度为b，高为h，则可以使用以下公式计算其面积S：\[S = \frac{1}{2}bh\]。

以上是三角形面积计算的三种常见方法，根据具体情况选择合适的方法进行计算。

二、三角形的平移变换平移变换是指在平面上将图形沿着指定的方向和距离移动的变换。

对于三角形而言，平移变换可以通过将三角形的每个顶点沿着指定的方向和距离移动来实现。

三角形的平移变换可以使用向量表示。

设三角形的三个顶点的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)，平移的向量为(a, b)，则平移后的新坐标分别为(x1+a, y1+b)、(x2+a, y2+b)、(x3+a, y3+b)。

第3课时平移（2）▷教学内容教科书P87例4，完成P87“做一做”，P88“练习二十一”第3、4题。

▷教学目标1.经历自主探究的过程，运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题，加深对“平移”这种图形变换方式的理解。

2.在解决简单不规则图形面积问题的过程中，体验转化的数学思想，发展空间观念。

3.体会数学知识之间的密切联系，感受数学的魅力。

▷教学重点运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题。

▷教学难点在解决问题的过程中，加深对平移的理解。

▷教学准备课件。

▷教学过程一、温故设疑1.复习“平移”。

师：上节课我们学习了平移，现在我来考考大家。

（出示课件）【学情预设】图形A向右平移9格得到图形B，图形B向下平移5格得到图形C。

平移改变了图形的位置，不改变图形的形状和大小。

2.复习“面积”。

师：这是我们学过的什么图形？现在将它们移入方格纸中，你能很快地知道它们的面积吗?你是怎样想的?（课件出示习题）◎教学笔记【教学提示】教学中，教师要能暴露自己的思考路径，和学生一起思考，帮助学生形成“从头到尾”思考问题的习惯和意识。

【学情预设】先在方格图中分别找出长方形的长和宽、正方形的边长，再计算它们的面积。

长方形的面积：6×3＝18(cm2)；正方形的面积：4×4＝16(cm2)。

【设计意图】“转化”的前提是学生必须要有将新问题转化后能解决问题的已有知识储备，而长方形和正方形面积的计算就是这节课新知生长的基础，通过激活学生的已有经验，为后面新知的探究奠定基础。

3.设疑。

课件出示教科书P87例4的主题图。

师：这个图形的面积是多少？\[板书课题：平移（2）\]二、自主探究1.探究解法。

（1）师：请你们仔细观察，这个图形有什么特点？【学情预设】预设1：这个图形有两条边是曲线。

预设2：这个图形和我们以前学习的图形不同。

我们以前学习的图形除了圆是由一条曲线围成的以外，其他图形都是由线段围成的。

预设3：这是一个不规则的图形。

《用平移知识解决问题》【学情分析】：本课是《平移》的第二课时，它是《数学课程标准》“空间和图领域”中新内容，是培养学生空间观念的基础，要求学生通过平移，把一些不规则的图形转化成以前学过的规则图形，来求出图形的面积；同时让学生经历观察、操作、比较和归纳的过程,渗透转化的数学思想方法，增强数学问题意识，培养学生实际操作和数学思考能力及合作意识。

【教学目标】（一）知识与技能学生掌握运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题的过程中，培养学生迁移、转化的能力，发展学生的空间观念。

（二）过程与方法通过学生经历自主探究的过程，运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题，加深对“平移”这种图形变换方式的理解。

（三）情感态度和价值观体会数学知识之间的密切联系，感受数学美。

【教学重难点】教学重点：运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题。

教学难点：在解决问题的过程中，加深对平移的理解。

【教学准备】方格纸、课件。

【教学过程】（一）问题导入教师出示一个七巧板拼图1、师问：同学们，你们从这幅图中看到了什么？生：2、师问：整幅图是以什么拼成的？生：七巧板3、师问：你能求出七巧板拼图的面积吗？预设：七块拼图（三角形，正方形平行四边形）面积之和。

4、师：正方形，三角形有自己的名字，而且能用面积公式直接求出面积，这样的图形叫——规则图形（板书）。

师：你还认识哪些规则图形？生：5、师：没有名字也不能用面积公式直接求出面积的图形叫——不规则图形（板书）。

6、师：正方形面积可以用公式计算，但是，三角形、平行四边形面积公式我们没有学过，那这个拼图的面积还能求吗？7、一起来看数学奇迹：变成了一个正方形。

如果正方形边长是5cm，面积：5×5=25（cm2）正方形面积就是拼图面积。

8、实现这个奇迹的原因是：生；平移。

9、师：这节课我们就利用平移知识来解决问题。

板书课题，齐读课题。

（二）探索新知1．提出问题。

教师：这个单元用的最多的是方格图，现在在方格纸上又出现了一个新的图形，它有名字吗？同学们仔细观察，这个图形有什么特点？生：[两条曲边，与我们以前学的图形不一样。

第01讲图形的平移【题型1生活中的平移现象】【题型2图形的平移】【题型3利用平移的性质求面积】【题型4利用平移的性质求长度】【题型5利用平移的性质求角度】【题型6利用平移解决实际问题】【题型7平移作图】考点：平移1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。

2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。

3.平移的性质（1）对应点的连线平行(或共线)且相等（2）对应线段平行(或共线)且相等；（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。

4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法（1）找关键点；（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点（3）连接对应点。

将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形【题型1生活中的平移现象】【典例1】（2023秋•道里区校级期中）在下列实例中，属于平移过程的有（）①时针运行的过程；②电梯上升的过程；③地球自转的过程；④小汽车在平直的公路行驶．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（2023春•林州市期末）下列运动属于平移的是（）A．荡秋千的小朋友B．转动的电风扇叶片C．正在上升的电梯D．行驶的自行车后轮【变式1-2】（2023春•富川县期末）一个图形，经过平移后，改变的是（）A．颜色B．形状C．大小D．位置【变式1-3】（2023春•呼伦贝尔期末）在下列现象中，属于平移的是（）A．小亮荡秋千运动B．升降电梯由一楼升到八楼C．时针的运行过程D．卫星绕地球运动【题型2图形的平移】【典例2】（2023春•罗山县期末）如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023春•启东市期末）“水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水！以下通过平移节水标志得到的图形是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2023春•扎赉特旗期末）如图，将图中的冰墩墩通过平移可得到图为（）A．B．C．D．【变式2-3】（2023春•琼海期末）如图所示的各组图形中，表示平移关系的是（）A．B．C．D．【题型3利用平移的性质求面积】【典例3】（2023春•惠城区校级期中）如图，长为50m，宽为30m的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1m，其它部分均种植草坪，则种植草坪的面积为（）A．1344m2B．1421m2C．1431m2D．1341m2【变式3-1】（2023春•凉山州期末）如图在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是2m），则空白部分表示的草地面积是（）A．70m2B．60m2C．48m2D．18m2【变式3-2】（2023春•南陵县期末）如图，小红家楼梯长3m，高2m，宽1m，若想铺上地毯，则所需地毯的面积（）A．2m2B．3m2C．5m2D．6m2【变式3-3】（2023秋•滨州期中）如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF 的位置，平移距离为7，AB＝13，DO＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．70B．48C．84D．96【题型4利用平移的性质求长度】【典例4】（2022秋•芝罘区期末）如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（）A．16cm B．22cm C．20cm D．24cm【变式4-1】（2022秋•桓台县期末）如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上）．若BF＝10cm，EC＝4cm，则平移距离为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm【变式4-2】（2023春•南山区期末）如图，将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，连结BE，若CD＝6，AF＝14，则BE的长为（）A．4B．6C．8D．12【变式4-3】（2023春•唐县期末）如图，直角三角形ABC的周长为22，在其内部有5个小直角三角形，这5个小直角三角形都有一条边与BC平行，则这5个小直角三角形的周长为（）A．11B．22C．33D．44【题型5利用平移的性质求角度】【典例5】（2023春•霸州市期末）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接AB，AC，∠BAC＝45°，∠ACB是钝角，将三角形ABC沿着直线l向右平移得到三角形A1B1C1，连接AB1，在平移过程中，当∠AB1A1＝2∠CAB1时，∠CAB1的度数是（）A．15°B．30°C．15°或45°D．30°或45°【变式5-1】（2023春•丰满区期末）将△ABC沿AB方向平移到△EFD的位置，若∠1＝31°，∠2＝57°，则∠D的度数为（）A．91°B．90°C．92°D．105°【变式5-2】（2023春•凤翔县期中）如图，∠1＝70°，∠2＝160°直线a平移后得到直线b，则∠3＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【变式5-3】（2023春•遂川县期末）如图（1），将一副直角三角板两斜边摆放在同一直线上，且点A，D重合，固定含45°角的三角板ABC，将含角的三角板DEF从图（1）的位置，沿射线BA平移至图（2）的位置，则平移过程中，根据两个三角板的摆放位置，下列钝角：100°，105°，120°，135°，150°，165°，170°，沿三角板的边缘能直接画出的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【题型6利用平移解决实际问题】【典例6】（2023春•南宁月考）如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．（1）比较两条线路的长短：粗线①细线②；（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）如果这段路程长4.7千米，小丽坐出租车从体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，小丽身上有10元钱，够不够坐出租车从体育馆到少年宫呢？说明理由．【变式6-1】（2022秋•路北区期末）如图，有一块长为20米，宽为10米的长方形土地，现在将三面留出宽都是x米的小路，中间余下的长方形部分做草坪（阴影部分）．（1）用含字母x的式子表示：草坪的长a＝米，宽b＝米；（2）请求出草坪的周长；（3）当小路的宽为1米时，草坪的周长是多少？【变式6-2】（2022春•婺城区校级期中）如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b 米，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的甬路，剩余部分种草．（提示：π取3）（1）甬路的面积为平方米；种花的面积为平方米．（2）当a＝2，b＝10时，请计算该长方形场地上种草的面积．（3）在（2）的条件下，种花的费用为每平方米30元，种草的费用为每平方米20元，甬路的费用为每平方米10元．那么美化这块空地共需要资金多少元？【变式6-3】（2023春•莱州市期末）如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为6a米，四条小路的长与宽都为b米和米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米30元．（1）用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简．（2）若a＝10，b＝5，计算草坪的造价．【题型7平移作图】【典例7】（2022秋•蚌山区期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将△ABC向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到△A1B1C1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）．（1）在图中画出平移后的△A1B1C1；（2）直接写出△A1B1C1各顶点的坐标．A1；B1；C1；（3）求出△ABC的面积．【变式7-1】（2023秋•崇左期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，4），B（﹣2，1），C（﹣4，1），将△ABC向右平移3个单位再向下平移2个单位得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1．（1）在图上画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）设点P（m，n）为△ABC内一点，经过平移后，请写出点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标．【变式7-2】（2023秋•铜陵期中）如图，在正方形网格中有一个格点三角形ABC（△ABC 的各顶点都在格点上）．（1）画出△ABC中AB边上的高CD；（2）将△ABC先向上平移3格，再向右平移4格，画出平移后的△A′B′C′；（3）在图中画出一个锐角格点三角形ABP，使得其面积等于△ABC的面积，并回答满足条件的点P有多少个．【变式7-3】（2023秋•蚌山区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（3，1），C（0，2），将△ABC先向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到△A'B'C'．（1）在图中画出平移后的△A'B'C'；（2）求△ABC的面积．一．选择题（共10小题）1．（2023春•高邮市期中）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（）A．B．C．D．2．（2023秋•长汀县期中）小芳和小明在手工课上各自制作楼梯模型，他们用的材料如图，则（）A．一样多B．小明多C．小芳多D．不能确定3．（2022春•当涂县期末）下列生活现象中，属于平移现象的是（）A．急刹车时汽车在地面滑行B．足球在草地上跳动C．投影片的文字经投影转换到屏幕上D．钟摆的摆动4．（2023秋•金安区校级月考）将点P（﹣3，2）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣4）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣5，﹣4）D．（﹣5，﹣2）5．（2022•陵水县二模）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A．48B．96C．84D．42 6．（2022•定海区校级模拟）如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为（）A．3B．4C．5D．6 7．（2022春•甘井子区校级期末）线段CD是由线段AB平移得到的，点A（3，﹣1）的对应点C的坐标是（﹣2，5），则点B（0，4）的对应点D的坐标是（）A．（5，﹣7）B．（4，3）C．（﹣5，10）D．（﹣3，7）8．（2022春•古城区期末）如图，图1与图2中的三角形相比，图2中的三角形发生的变化是（）A．向左平移3个单位长度B．向左平移1个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度9．（2022春•淮南期末）线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣2，3）的对应点为C （2，﹣1），则点B（1，1）的对应点D的坐标为（）A．（﹣1，﹣3）B．（5，3）C．（5，﹣3）D．（0，3）10．（2022春•曲靖期末）如图是一块长方形ABCD的场地，长AB＝102m，宽AD＝51m，从A、B两处入口的中路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪面积为（）A．5050m2B．5000m2C．4900m2D．4998m2二．填空题（共6小题）11．（2021•鞍山）如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为．12．（2022春•兴庆区期末）将点A（﹣2，﹣3）先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度得到点B，则点B所在象限是第象限．13．（2020春•德州期末）某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为．14．（2022春•清河县期末）如图，把边长为3cm的正方形ABCD先向右平移1cm，再向上平移1cm，得到正方形EFGH，则阴影部分的面积为．15．（2022春•连平县校级期末）如图，长方形ABCD的边AB＝6，BC＝8，则图中五个小长方形的周长之和为．16．（2023春•康巴什期末）如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是．三．解答题（共3小题）17．（2022春•饶平县校级月考）宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？18．（2022秋•大祥区期末）如图，已知A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），△ABC经过平移得到的△A′B′C′，△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1+6，y1+4）．（1）请在图中作出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′、C′的坐标．19．（2022春•上海期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．；（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC＝S四边形ABDC？若存在这样一点，（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△P AB求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．。

妙用图形变换巧求面积武鸣县民族中学韦秋华进入中考第一轮复习后，学生在复习过程中经常遇到求面积的问题。

由于求面积问题考察形式多样，所求面积的图形往往不是规则图形，条件又相对比较隐蔽，因此这类题成为不少学生学习过程中的一个拦路虎。

但新课标明确提出：图形面积的计算是数学计算中的一个重要部分，它在注重培养学生的计算能力的同时还可以将各章节知识融于其中，所以有利于提高学生分析问题、解决问题的能力。

因此要求学生熟悉初中阶段所学的知识，夯实基础，这样才能根据图形的特点，妙用图形变换，“巧”求面积。

而初中阶段接触到的图形变换包括平移、旋转和翻折等。

因此，如果能够灵活运用这些图形变换，不仅可以有效的解决面积问题，还能很好的完成新课标的要求。

下面将本人在教学中的一些感悟列举如下：一、利用平移变换，将不规则图形平移成一个规则的图形比如，在九年级同步学习中有这样的一道题，这道题也曾经在中考时考查过。

例1：如图，在高为2，底角为30°的楼梯上铺地毯，且每一级台阶宽度为2，求地毯的面积30°每一级台阶的高沿竖直方向平移正好是楼梯的铅直高度，而台阶的长度向水平方向平移则在学习反比例函数的时候，在同步学习中有下面的一道题。

次为1，2，3，4.过这些点分别作x轴和y轴的垂线，则图中所构成的阴影部分的面积从在学习反比例函数的时候，学生基本上掌握了求与之相关的面积要用到k这个量。

但是学生通过观察，发现要单独求S1、S2、S3、S4，已知它们的长都是1，但缺少各个图形的高。

如果将S2、S3、S4向左平移到S1的正下方，可以发现S1+ S2 +S3+S4刚好是一个矩形，而且这个矩形的长和高正好是点P1的横坐标和纵坐标，所以这个矩形的面积就是又如在学习实际问题和一元二次方程时，课本当中也有这样的一道题。

例3：如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？学生在做这道题的时候，感觉比较困难。

第7章《平面图形的认识（二)》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 和平移有关的图形周长、面积计算【考点解读】本考点解题时,一般运用平移的性质(如:连接平移前后对应点的线段的长等于平移的距离）来解决有关图形的周长、面积计算问题.例 1 如图所示是重叠的两个直角三角形,将直角三角形ABC 沿BC 方向平移到DEF ∆.如果8AB =c ｍ，4BE =cm,3DH =cm ，那么图中阴影部分的面积为 ｃm 2．分析:阴影部分是一个梯形,用我们目前所学的知识无法求出该梯形的上、下底和高，因而不能运用梯形的面积公式求其面积.注意到DEF ∆是由ABC ∆经过平移得到的,因此ABC DEF S S ∆∆=,即HEC DEF ABEH S S S S ∆∆+=+阴影梯形，于是ABEH S S =阴影梯形1(883)4262=+-⨯=（cm ２). 答案：26【规律·技法】本题考查平移的性质:经过平移,对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等,对应角相等。

解题的关键是找到平移的对应点。

【反馈练习】1。

(2018·苏州期中)如图,将ABC ∆沿BC 方向平移2 cm 得到DEF ∆.若ABC ∆的周长为16 ｃm ，则四边形ABFD 的周长为( ）A 。

16 c ｍ Ｂ． 18 c ｍ C. ２0 c ｍ Ｄ。

２2 ｃｍ点拨:由平移的性质可知2BE FC AD ===ｃm,AC DF =。

2。

（201８·扬州期末）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD ，长50AB =m ，宽30BC =m,为方便游人观赏,公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）,小路的宽均为1 m ，那么小明沿着小路的中间从出口A 到出口B 所走的路线（图中虚线)长为 m.点拨:分别求出小明横向和纵向移动的距离即可。

考点2 利用平行线的性质和三角形内角和定理求角度大小【考点解读】本考点解题时要熟练掌握平行线的性质与三角形内角和定理，这是解题的基础,要善于分解图形，即将较复杂的图形分解出“两条平行线被第三条直线所截"与“三角形”的图形,然后分析各角之间的联系．例2 (2０17·重庆)如图，//AB CD ,E 是CD 上一点,42AEC ∠=︒,EF 平分AED ∠交AB于点F ，求AFE ∠的度数．分析:由互补的性质求出AED ∠的度数,由角平分线的定义得出DEF ∠的度数，再由平行线的性质即可求出AFE ∠的度数.解答：因为42AEC ∠=︒,所以18042138AED ∠=︒-︒=︒。

2平移本小节内容包括教材P86~89的2个例题和练习二十一。

本小节由两个例题组成。

例3是通过在方格纸上画出不同方向、不同格数平移图形的活动,使学生了解平移的两个参量:移动的方向、移动的距离。

例4是在方格纸上运用平移的知识解决面积问题,同时让学生感受转化的思想。

1.掌握图形平移的两个关键要素,一是平移的方向,二是平移的距离;能按要求画出简单的平面图形平移后的图形。

2.掌握运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题的策略,发展学生的空间观念。

3.通过学生经历自主探究的过程,运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题,加深对“平移”这种图形变换方式的理解。

4.养成思考的习惯,学会多角度地思考、解决问题,激发学生对数学探索的热情和勇于挑战的精神。

【重点】理解并掌握平移的特征。

【难点】按要求画出简单的平面图形平移后的图形;利用图形的平移解决数学问题。

第课时平移1.学生结合实例,进一步感知平移现象。

2.学生会在方格纸上画一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。

3.在探究式的教学活动中,培养主动探索,勇于发现的精神,体会数学的应用价值。

【重点】平移的特点和图形平移的两个关键要素。

【难点】在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。

【教师准备】PPT课件。

【学生准备】方格纸。

下面的运动是平移吗?如果是,在后面的括号里面画上“√”,不是的画“✕”。

升旗时国旗的运动()钟摆的运动 ()在算盘上拨珠()电梯的运动 ()风扇叶片的运动()火车的直线运动()光盘在电脑里的运动()飞机的螺旋桨转()【参考答案】√✕√√✕√✕✕方法一课件演示:一个图形在方格图中从左往右平移。

师:图形做的是什么运动?预设生:平移。

师:往哪个方向平移的?预设生:往右平移。

师:为了能看清平移的情况,用实线表示平移前的图形,虚线表示平移后的图形,用箭头表示平移的方向。

揭示课题:今天这节课我们学习图形变换的另一种形式:平移。

(板书课题:平移)[设计意图]利用多媒体课件展示出一个图形的运动,调出了学生已有的知识经验,会很轻松地回答出这个图形的运动是平移,从而创造出轻松愉悦的学习环境和氛围。

平面图形的面积问题在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理等等。

难度自不必说，思维的层次也大为不同。

甚至一些证明，必须用演绎推理来完成，比如“两直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，这个命题就需要演绎推理思维，学生必须要在自己的心中构建直观图形，难度加大了。

如“三角形的内角和等于180°”这个定理，在小学教材中是由实验得出的，学生较熟悉。

因此，在教学中既让学生通过实验得出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。

求几何图形面积常见方法及运用：【解题技巧】常见模型例1．（2022春·六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。

【答案】8平方厘米【分析】观察图形可知，小正方形部分阴影面积等于长方形空白处面积，如下图：阴影部分面积等于长是（2＋2）厘米，宽是2厘米长方形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。

【详解】（2＋2）×2＝4×2＝8（平方厘米）【答案】4平方厘米【分析】通过观察图形可知，把阴影部分通过“旋转”或“割补”法，把阴影部分拼成三角形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出大三角形的面积，再除以2，即可求出阴影部分的面积。

【详解】如图：4×4÷2÷2＝16÷2÷2＝8÷2＝4（平方厘米）变式1．（2023秋·北京西城·五年级统考期末）将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图）。

已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，图中涂色部分的面积是（）cm2。

A．24 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】如图：观察图形可知，三角形ABC左右两边的涂色小三角形完全一样，把左边的涂色小三角形平移至右边，与右边涂色小三角形组合成一个与①一样大的三角形；这样三角形ABC平均分成4份，涂色部分占其中的一份；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形ABC的面积，再除以4即是涂色部分的面积。

平移的实际应用在现实世界中，广泛存在着物体的平移，我们知道，平移后的图形与原来的图形的形状、大小都不发生变化，利用平移的这一特征可以帮助我们快速、简捷地求解一些实际生活中的问题。

现举例说明。

一、比较面积大小例1：有两块同样形状的长方形耕地，长为m，宽为m，现在两块耕地中各修一条为m宽的路。

问剩下耕地的面积大小关系如何？A 甲>乙B 甲<乙C 甲=乙D 不好确定析解：不少同学看了题目以后认为图中的耕地面积不好求。

从图上看之后认为图（甲）中路的面积比图（乙）中路的面积大，所以理所当然的认为（甲）图中的耕地面积小于（乙）图中的耕地面积。

实际上这是错误的，我们如果利用平移法来解决这个问题就很简单。

把（甲），（乙）两图中的路的右边部分向左平移m，则两个图形就都变成长为()1-a m，宽为m的图形，它们的面积是一样大的，故选C。

点评：对于某些计算问题，在不改变数字的前提下采用平移的方法适当改变图形的形状，有时能给解决问题带来意想不到的效果，请同学们仔细体会。

二、设计最短路径例2：如图2-1所示，在淮河的两岸有A、B两个村庄，现要在河上架设一座桥MN，桥的方向与河岸垂直，假设河的两岸与是平行的，问桥应架在何处，才能使从A村到B村的距离最短？图 2图 1N 1M 1NMCABl 1l 2l 2l 1BA图2-2图2-1析解：由于河的两岸平行，且桥与河岸垂直，所以桥长MN 是不变的，不论桥架在何处，MN 是A 、B 两村之间的必经路段。

要使路径AMNB 最短，只需AM+NB 最短即可，既然河宽与AM+NB 无关，我们可设想把河岸与重合在一起，这样显然只要连结A 、B 两点，与河岸的交点即为要确定的点。

如果我们再把与拉开，就是所要解决的问题了。

过A 点作AC 垂直河岸，且使AC 等于河宽，连结BC ，交河岸于N 点。

过N 点作MN 垂直河岸交于点M ，则MN 就是桥应架设的位置，如图2-2。

否则，若在别处架设桥M 1N 1，连结A M 1、N 1B 、C N 1，那么A M 1+ M 1N 1+ N 1B= （C N 1+ N 1B ）+MN ＞BC+MN=CN+NB+MN=AM+ NB+MN ，故原架桥方法能使A 村到B 村的距离最短。

弯曲小路面积平移法弯曲小路面积平移法，这是一个有趣而有挑战性的数学概念。

它涉及到曲线的面积计算问题，以及如何通过平移曲线来得到更大范围的面积。

在本文中，我将以简单、清晰的方式介绍这个概念，帮助你更好地理解。

1. 弯曲小路面积的计算弯曲小路面积平移法是一种通过平移曲线来计算曲线所围成的面积的方法。

我们需要理解弯曲小路的定义。

弯曲小路是指一条曲线，它由两个垂直于 x 轴的函数所确定。

这两个函数分别是上方曲线函数 f(x) 和下方曲线函数 g(x)。

如果我们将这条弯曲小路在 x 轴上平移一个单位，然后计算新的曲线所围成的面积，这个面积将比原先的面积大。

这是因为，平移后的曲线将覆盖原先曲线所围成的面积，并且在 x 轴上面积变大的地方，会增加面积。

通过不断平移曲线并计算面积增量，我们可以得到整条弯曲小路所围成的面积。

2. 示例为了更好地理解弯曲小路面积平移法，我们来看一个简单的示例。

假设我们有一个弯曲小路，上方曲线函数为 f(x) = x^2，下方曲线函数为 g(x) = 0。

现在，我们将这条小路在 x 轴上平移一个单位，并计算新的曲线所围成的面积增量。

- 当 x = 0 时，原曲线的面积为 0。

- 当 x = 1 时，新曲线的面积增量为 (1^2 - 0) = 1。

- 当 x = 2 时，新曲线的面积增量为 (2^2 - 0) = 4。

- 当 x = 3 时，新曲线的面积增量为 (3^2 - 0) = 9。

如此继续下去，我们可以得到整条弯曲小路所围成的面积为 1 + 4+ 9 + ...3. 总结与回顾弯曲小路面积平移法是一种通过平移曲线并计算面积增量来求解弯曲小路面积的方法。

通过不断平移曲线，并计算每次平移后的面积增量，我们最终可以得到整条弯曲小路所围成的面积。

这个方法的精髓在于通过平移曲线来增加面积，并利用数学计算方法将面积增量相加得到最终结果。

它不仅能够帮助我们解决曲线面积计算的问题，还能锻炼我们的数学思维和计算能力。

四年级下册数学教案-1.1 平移和运用平移解决面积问题
教学目标
1.了解平移的定义；
2.掌握平移的基本方法和规则；
3.运用平移解决面积问题。

教学重点
1.平移的定义和基本方法；
2.运用平移解决面积问题。

教学难点
1.运用平移解决面积问题。

教学过程
教学内容1：平移的定义与规则
教学目标
1.了解平移的定义；
2.掌握平移的基本方法和规则。

教学步骤
1.引入：老师向学生展示图形，问：“如果我们要把它移到另一个地方，应该怎么做呢？”
2.介绍平移的概念：告诉学生平移是指把一幅图形整体沿着某个方向移动一段距离的操作。

3.讨论平移的规则：对于任何一个图形，平移有以下规则：
–平移是整体移动，每一个点都沿着同一个方向移动相同的距离；
–平移前后的图形形状大小都不变，只是位置改变；
–平移可以向上下左右四个方向进行；
–平移可以是正方向也可以是反方向；
–平移中间的空白部分可以忽略不计。

教学内容2：运用平移解决面积问题
教学目标
1.掌握平移运用解决面积问题的方法。

教学步骤
1.回顾上一节课的知识，介绍运用平移解决面积问题的方法：将图形平移后，再用已知面积的图形去填补所求图形，从而得出所求图形的面积。

2.通过实例让学生了解平移解决面积问题的方法。

3.带领学生完成练习。

课后作业
1.完成课堂练习；
2.自选一个待解决的面积问题，用平移的方法求解。

总结
通过这节课的学习，学生了解了平移的定义和基本规则，并掌握了运用平移解决面积问题的方法。

这些知识将为后续的学习提供基础。

运用平移解决面积问题评课一、引言平移是初中数学中一个非常重要的概念，它在解决面积问题中起到了至关重要的作用。

本文将从平移的定义、性质和应用三个方面进行详细的讲解，以期帮助初中数学教师更好地教授这一知识点。

二、平移的定义平移是指在平面内把图形沿着某个方向移动一段距离而不改变其形状和大小的变换。

具体来说，若将点P(x,y)沿着向量a=(m,n)进行平移，则新点P'(x+m,y+n)。

三、平移的性质1. 平移保持图形的大小和形状不变；2. 平移保持图形内部所有点之间的距离和相对位置关系不变；3. 平移保持图形周长不变；4. 平移保持图形面积不变。

四、运用平移解决面积问题1. 通过平移求解梯形面积梯形是初中数学中经常涉及到的一个图形，其面积公式为S=(a+b)h/2。

但有时候我们需要求解梯形与其他图形组成的复合图形面积，这时就需要运用平移来简化问题。

例如，如图所示的一个梯形与一个矩形组成的图形，我们需要求解其面积。

首先，我们将矩形沿着梯形下边平移h个单位，得到如下图所示的复合图形。

由于平移不改变图形面积，因此原梯形和矩形组成的复合图形与新的梯形和矩形组成的复合图形面积相等。

而新的梯形和矩形组成的复合图形很容易求解出其面积为S'=(a+b)(h+c)，其中c为矩形长。

因此，原梯形和矩形组成的复合图像面积为S=S'-(bc/2)=(a+b)h/2+bc。

2. 通过平移求解圆环面积圆环是指由两个同心圆所围成的一段环状区域。

其面积公式为S=π(R^2-r^2)，其中R为大圆半径，r为小圆半径。

但有时候我们需要求解圆环与其他图像组成的复合图像面积，这时就需要运用平移来简化问题。

例如，如图所示一个圆环与一个正方体组成了一个立体图像，我们需要求解其表面积。

首先，我们将正方体沿着竖直方向平移一个圆环高度h个单位，得到如下图所示的复合立体图像。

由于平移不改变图像面积，因此原圆环和正方体组成的立体图像与新的圆环和正方体组成的立体图像表面积相等。

巧求面积教学目标：学会应用所学知识解决一些实际问题及较复杂的面积计算。

教学过程：一、知识要点我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，运用这些知识可以解决许多有关面积的问题。

但是有些比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算，生搬硬套公式往往不能奏效，这时，我们可以运用一些巧妙的解题技巧来解决问题。

1、面积公式：长方形的面积=长×宽（S=a×b a表示长方形的长b表示长方形的宽）正方形的面积=边长×边长（S=a×a a表示正方形的边长）2、锦囊妙计。

（1）割补法：把图形分割或添补成可求面积的长方形或正方形，再用长方形或正方形的面积公式计算。

（2）平移法: 通过平移的方法把分散的面积集中到一个长方形或正方形中，再用长方形或正方形的面积公式计算。

二、典型例题1、割补法例1.张爷爷有一块如下图的菜地，你能帮他计算出菜地的面积吗？（单位:米）（1）学生先独立思考，说一说自己的想法。

（2）解析：通过观察可以看出，这个图形可以采用分割的方法，把图形分割成两个长方形，图形的面积=两个长方形面积的和；或者在图形的左上角补上一个正方形，把它变成一个大长方形，图形的面积=大长方形面积－正方形面积。

（课件动画演示）列式：30×20+（30+20）×40=2600（平方米）列式：30×40+（30+40）×20=2600（平方米）列式：（20+30）×（40+30）－30×30=2600（平方米）答：张爷爷的菜地面积是2600平方米。

例2：下图为一个长50米、宽25 米的标准游泳池。

它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖(阴影部分)。

求游泳池面积和地砖面积。

宽长解析：从图中可以看出，游泳池是长方形，可直接运用长方形面积公式计算出来。

而瓷砖面积不规则，无法直接运用长方形面积公式计算。

如果把大长方形中间空白部分的小长方形割掉（课件动画演示），剩下的就是阴影部分的面积，所以阴影的面积=大长方形的面积－小长方形的面积，即可求出地砖面积。

课题：微专题：巧用平移变换求图形的周长、面积课时：1课时执教：林冰玲时间：2016年6月14日一、教材分析在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，这是中考数学的必考内容。

本节课是平移在求图形周长、面积中的应用。

教学中常遇见平移情形下求图形周长或者阴影部分的面积类问题，其中所求的部分或成一个整体或是零散分布，其形状或是规则图形或是不规则图形，其状态往往是动态的．解决此类问题的关键是以静制动，化不规则图形为规则图形，再用相应规则图形的周长、面积公式求解．二、学情分析本课之前学生已经能理解掌握平移的概念、性质及能利用平移作图，学生还须具有一定的观察、归纳、探索能力。

但学生的抽象概括、探索能力稍微弱一些，而且虽然学生对动手操作活动较为感兴趣，探索精神和学习毅力却又不足.三、教学目标1、知识与技能目标：使学生能够利用平移变换解决简单的计算问题，如求图形的周长、图形的面积。

2、过程与方法目标：在研究问题的过程中培养学生的直观感知能力和归纳能力。

3、情感、态度与价值观：体验数学知识是通过观察猜想和验证的过程，欣赏数学图形之美；体验数学的学习是一个观察、猜想、归纳、验证的过程。

四、教学重点：平移变换的正确使用五、教学难点：能对复杂图形进行恰当的平移变换六、教学准备：学生准备剪刀、作图工具。

利用电脑多媒体优化课堂教学。

七、教学过程：环节教学活动过程设计设计意图时间分配教学内容及教师活动学生活动环节一一、以题点知。

1、将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）A．B．C．D．2、如图，△ABC平移之后成为△DCE，则平移的距离为.3、如图，多边形的相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为（）.（A）21 （B）26 （C）37（D）42独立完成复习回顾平移的概念、性质。

3分钟二、操作探究1、如图，某公园有一块长42米、宽20米的长方形草地。

现公园要在草坪中铺设一条纵向的小路(小路任何地方的水平宽度都要求是2米）。

《运用平移知识解决问题》教学反思石嘴山市第七小学邰树桃我今天执教的是新人教版2014年秋季刚刚改版的四年级下册数学第七单元例4的内容。

本节课的教学目标：1.让学生经历自主探究的过程，运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题，加深对平移这种图形变换方式的理解。

2.在解决简单不规则图形面积问题的过程中，培养学生迁移、转化的能力，发展空间观念。

3.体会数学知识间的密切联系，感受数学美。

教学重点是运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题。

教学难点是在解决问题的过程中，加深对平移的理解。

回顾全课，我的教学设计立足“学生的发展”，以“求不规则图形的面积”为载体，渗透数学思想方法，让所有学生经历了在有效的数学活动中“思数学”“探数学”“用数学“的全过程，真正成为了学习的主人。

下面我对本节课的优点和不足及以后的改进方向进行总结。

（一）成功之处1.信息技术、数字化资源的运用合理、有效。

“数学课程标准”指出，数学教学活动必须建立在学生的认知水平和已有的知识经验基础之上。

课初，在复习铺垫孕伏、谈话引入以后，借助研究面积单位和本单元对称、平移常用的学生熟知的方格图，探究不规则图形的面积，四人小组借助例4的不规则梯形方格图合作交流探究解决方案汇报环节，学生拿着自己的研究方案，借助电子白板操作展示方案，在白板上连线、鼠标笔拖动平移操作，把自己的方案展示出来，电子白板的拖拽功能让学生的操作过程、思维历程完整地再现在全体学生面前，这为教师把握学生的思维起点、剖析学生的认知缺陷、疏导学生的思维障碍，调控课堂的进程节奏提供了极大的方便。

传统教学中的小组合作，独立思考过程与结果的呈现基本上以语言描述为主，师生间的互动也是通过言语来完成的。

这种描述是学生思维外化的过程，有利于培养学生思维的条理性、逻辑性，但囿于学生的语言表述能力、教师等待的耐心、教师捕捉学生言语关键词句的教育机智等因素制约，常会有师生信息交流的“岔道现象”发生。

有了电子白板的辅助，这节课的汇报交流借力白板来同时呈现过程，白板补充言语的不足，让思维过程呈现更充分，让教师的评点、剖析、引导更具针对性、实效性，让学生的空间观念发展过程“有迹可寻”，让学生的思维脉络曲径通幽“有踪可追”，它的应用最大限度达到师生、生生交流合作，课堂变得轻松愉快。