湖北省 黄冈中学 高一数学期末考试试题

2023-2024学年湖北省黄冈市高一上册元月期末数学试题一、单选题1．命题“1,lg 0x x ∀≥≥”的否定为（）A ．1,lg 0x x ∃≤<B ．1,lg 0x x ∀≤<C ．1,lg 0x x ∀≥<D ．1,lg 0x x ∃≥<【正确答案】D【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“1,lg 0x x ∀≥≥”的否定为“1,lg 0x x ∃≥<”.故选:D.2．已知集合{}{2314150,A xx x B x y =-+≤==∣∣则A B = （）A ．5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,3C ．5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【正确答案】D【分析】解不等式2314150x x -+≤得集合A，求函数y 的定义域得集合B ，再求A B ⋂即可.【详解】由2314150x x -+≤得533x ≤≤，5,33A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦函数y =0.5470log (47)0x x ->⎧⎨-≥⎩，即0471x <-≤，解得：724x <≤，7,24B ⎛⎤∴= ⎥⎝⎦所以A B = 7,24⎛⎤⎥⎝⎦，故选：D3．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（）A ．tan2y x =B ．πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．3cos 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB ，根据诱导公式化简CD 的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性可判断.【详解】tan2y x =的最小正周期为π2,故A 错误；πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为非奇非偶函数，故B 错误；3cos 2πsin 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，易知为奇函数，且最小正周期为2ππ2=，故C 正确；πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数，故D 错误.故选:C.4．衡量病毒传播能力的一个指标叫做传播指数Rt ，它指的是在自然情况下（没有外力介人，同时所有人都没有免疫）一个感染者传染的平均人数.它的计算公式是：1Rt =+确诊病例增长率⨯系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）.根据统计，某种传染病例的平均增长率为50%，两例连续病例间隔时间平均为4天.根据以上数据计算，若甲感染这种传染病，则经过4轮传播后由甲引起的得病总人数（不含甲）为（）A ．81人B ．120人C ．243人D ．36人【正确答案】B【分析】根据1Rt =+确诊病例增长率⨯系列间隔，先求得Rt ，然后求经过4轮传播后由甲引起的得病总人数.【详解】由题意得：1504=3Rt =+%⨯，所以经过4轮传播后由甲引起的得病的总人数约为：2343+3+3+3=3+9+27+81120=.故选：B.5．已知9π20π19πcos ,sin ,tan 573a b c ===，则有（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【正确答案】C【分析】将,a b 化到同一个单调区间上的同名函数比大小，再将,,a b c 与1比大小.【详解】99ππ3πcos πcos π2πcos cos sin 555510a ⎛⎫⎛⎫==-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20π66πsinsin 2ππsin πsin 7777b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，因为sin y x =在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，所以π3πsin sin 710<，又19πππtantan 6π+tan 333c ⎛⎫==== ⎪⎝⎭所以1b a c <<<，故选：C6．已知角α的终边过点()3,2cos P α，则cos α=（）A ．2B ．C ．2±D ．12【正确答案】A【分析】根据三角函数的定义和同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】由三角函数的定义可得：2cos sin tan 3cos αααα==，也即22sin cos 3αα=，由22sin cos 1αα+=可得：424cos 9cos 90αα+-=，解得：23cos 4α=或2cos 3α=-（舍去），因为角α的终边过点()3,2cos P α，所以cos 0α>，则cos α=故选.A7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()33f =，对[)12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠有()()12120f x f x x x ->-，则关于x 的不等式()()229x f x ++<的解集为（）A ．(),1-∞B ．()5,1-C ．()(),51,∞∞--⋃-+D ．()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】B【分析】根据题干条件得到函数()f x 在R 上的单调递增，且()()333f f -=-=-，换元后得到()9tf t <，分三种情况，由单调性解不等式得到33t -<<，从而得到51x -<<.【详解】因为对[)12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠有()()12120f x f x x x ->-，所以[)0,x ∈+∞上，()f x 单调递增，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上的单调递增，又()33f =，所以()()333f f -=-=-，()()229x f x ++<，令2x t +=，则()9tf t <，当0=t 时，显然满足()09tf t =<，当0t >时，因为()339f =，()f x 在R 上的单调递增，所以当()0,3t ∈时，满足()9tf t <，当0t <时，因为()339f --=，()f x 在R 上的单调递增，所以当()3,0t ∈-时，满足()9tf t <，故33t -<<，即323x -<+<，解得51x -<<.故选：B8．已知函数()()1221,2log 2,2x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()()()280f x a f x a -+-=有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．154,4⎛⎤--⎥⎝⎦B ．15,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．()4,0-D ．74,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】令()t f x =，作出函数()t f x =的图象，分析可知关于t 的方程()280t a t a -+-=在(]1,3内有两个不等的实根，令()()28g t t a t a =-+-，利用二次函数的零点分布可得出关于a 的不等式组，解之即可.【详解】令()t f x =，作出函数()t f x =的图象如下图所示：因为关于x 的方程()()()280f x a f x a -+-=有6个不同的实数根，则关于t 的方程()280t a t a -+-=在(]1,3内有两个不等的实根，设()()28g t t a t a =-+-，则函数()()28g t t a t a =-+-在(]1,3内有两个不等的零点，所以，()()()2Δ8408132127034150a a a g a g a ⎧=++>⎪+⎪<<⎪⎨⎪=-->⎪=--≥⎪⎩，解得1544a -<≤-.故选：A.二、多选题9．下列计算结果为有理数的是（）A ．πtan3B ．2lg2lg25+C ．1ln33e -D ．436log 3log 6log 8⋅⋅【正确答案】BCD【分析】根据特殊角的三角函数判断A ，根据对数的运算性质与换底公式判断BCD.【详解】πtan33=，不是有理数，故A 错误；()2lg2lg25lg 4lg 25lg 425lg1002+=+=⨯==，是有理数，故B 正确；3ln 1log e ln3ln e 33e 3e 3e e e 0-=-=-=-=，是有理数，故C 正确；436ln 3ln 6ln 8ln 83ln 23log 3log 6log 8ln 4ln 3ln 6ln 42ln 22⋅⋅=⋅⋅===，是有理数，故D 正确.故选:BCD.10．若,x y ∈R ，则使“1x y +>”成立的一个必要不充分条件是（）A ．e 1x y +>B ．221x y +>C ．1x y +>D ．221x y +>【正确答案】ACD 【分析】若pq ，q p ⇒,则p 是q 的必要不充分条件，解指数不等式可判断A ；取22x y ==可判断B ；C 选项中利用,x x y y ≥≥可判断；D 选项中利用指数函数的值域进行判断.【详解】对于A ，由e 1x y +>可得0x y +>，则“0x y +>”是“1x y +>”的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，当22x y ==时，21x y +=，此时221x y +=，得不到221x y +>，故B 错误；对于C ，1x y ==-时，21x y +=>，此时21x y +=-<,故“1x y +>”不是使“1x y +>”成立的充分条件.因为,x x y y ≥≥,所以x y x y +≥+.当1x y +>时，必有1x y +>.所以“1x y +>”是使“1x y +>”成立的必要条件.故“1x y +>”是使“1x y +>”成立必要不充分条件，故C 正确；对于D ，当0x y ==时，2221x y =+>，此时01x y +=<,故“221x y +>”不是使“1x y +>”成立的充分条件.当1x y +>时，x 与y 中至少有一个正数，不妨设0x >,则21x >,又因为20y >，则必有221x y +>,所以“221x y +>”是使“1x y +>”成立的必要条件.故“221x y +>”是使“1x y +>”成立必要不充分条件，故D 正确.故选;ACD.11．函数()()2sin 2(0)f x x ωϕω=+>，以下正确的是（）A ．若()f x 的最小正周期为π，则2ω=B ．若()()124f x f x -=，且12minπ2x x -=，则1ω=C ．当0,N ϕω=∈时，()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎣⎦单调且在ππ,33⎡⎤-⎢⎣⎦不单调，则1ω=.D ．当π12ϕ=时，若对任意的x 有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则ω的最小值为58【正确答案】BCD【分析】由函数周期公式可判断A ；由题意得122π2T x x -==，结合函数周期公式可判断B ；若()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调，则5π2π2ω-≤-且2ππ52ω≤，结合N ω∈得1ω=，则()2sin 2f x x =，验证题设条件可判断C ；由题意得Z ππ2π2π,3122k k ω+=+∈，即53,Z 8k k ω=+∈，求得ω最小值可判断D.【详解】()()2sin 2(0)f x x ωϕω=+> ，2ππ2T ω∴==，1ω∴=，故A 错误；max min ()2,()2f x f x ==- ，又()()124f x f x -=，且12min π2x x -=，1222πT x x ∴-==，2ππ2T ω∴==，1ω∴=，故B 正确；当0ϕ=时，若()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎣⎦单调，则2π2πππ5,522ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，π5π22ω∴-≤-且2ππ52ω≤，504ω∴<≤，又N ω∈，1ω∴=，则()2sin 2f x x =，由ππ222x -≤≤，得ππ44x -≤≤，此时()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎣⎦单调且在ππ,33⎡⎤-⎢⎣⎦不单调，故C 正确；当π12ϕ=时，π()2sin 212f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为对任意的x 有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则Z ππ2π2π,3122k k ω+=+∈，即53,Z 8k k ω=+∈，当0k =时，ω取最小值58，故D 正确．故选：BCD.12．空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x xf x a b -=+（其中,a b 为非零常数），则对于函数()y f x =以下结论正确的是（）A ．若a b =，则()y f x =为偶函数B ．若1,2a b ==，则函数()3y f x =-的零点为0和ln2C ．若1ab =，则函数()y f x =的最小值为2D ．若()y f x =为奇函数，且(),0x ∃∈-∞使()22e e 0x xf x -++≤成立，则a 的最小值为【正确答案】ABD【分析】根据函数的奇偶性定义判断A 即可；利用函数零点的定义及指对运算即可求得函数()3y f x =-的零点，从而判断B 即可；根据1ab =得()1e e x xf x a a =+，讨论a 的符号从而确定函数值域，从而判断C 即可；根据含参不等式能成立，利用指数函数的性质进行参变分离，结合基本不等式求得最值，即可得a 的取值范围，从而判断D 即可.【详解】解：对于A ，当a b =时，()e e x x f x a a -=+，函数定义域为R ，所以()()e e x xf x a a f x --=+=，则()y f x =为偶函数，故A 正确；对于B ，若1,2a b ==，()e 2e x xf x -=+，则函数e 2e 30x x y -=+-=，整理得()2e 3e 20x x -+=，即()()e 1e 20x x--=，解得0x =，ln 2x =，所以函数()3y f x =-的零点为0和ln2，故B 正确；对于C ，若1ab =，则()1e e xx f x a a =+，当0a >时，1e 2e x x a a +≥=，当且仅当1e e xx a a =，即ln x a =-时等号成立；当a<0时，1e 2e x x a a +≤-=-，当且仅当1e exx a a -=-，即()ln x a =--时等号成立；所以()(][),22,f x ∞∞∈--⋃+，故C 错误；对于D ，若()y f x =为奇函数，则()()0f x f x +-=，所以()()e e e e e e 0x x x x x x a b a b a b a b ---+++=+++=，所以0a b +=，则()e e x xf x a a -=-，若(),0x ∃∈-∞使()22e e 0x x f x -++≤成立，则22e e e e 0x x x x a a --++-≤，若(),0x ∈-∞，则x x <-，e e x x -<，所以e e 0x x --<即()()222e e 2e e 2e e e e e e e ex xxxx x x xx xx x a -------++≥-==-+---能成立，又()2eee exx x x---+≥=-当且仅当()2e e e e x x x x ---=-时，即e 2x=时，等号成立，所以a ≥a 的最小值为D 正确.故选：ABD .三、填空题13．函数()1lg 23y x -的定义域为__________.【正确答案】3,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由解析式可得()240230lg 230x x x ⎧-≥⎪->⎨⎪-≠⎩，求解即可.【详解】由题意可得()240230lg 230x x x ⎧-≥⎪->⎨⎪-≠⎩,故22322x x x -≤≤⎧⎪⎪>⎨⎪≠⎪⎩，即322x <<.故函数()1lg 23y x =+-的定义域为3,22⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为:3,22⎛⎫⎪⎝⎭.14．已知函数()()log 140,1a y x a a =-+>≠的图象过定点P ，且点P 在指数函数()f x 图象上，则()4log 6f =__________.【分析】由对数函数的图象可得()2,4P ，故可求()f x 的解析式，根据对数的运算即可求解.【详解】在()log 14(0,1)a y x a a =-+>≠中，令2x =,可得log 144a y =+=,故()2,4P .设()()0,1xf x b b b =>≠,由题意可得24=b ,解得2b =.所以()2xf x =，()4log 6log 4log 622f ==.故答案为15．已知,,21a b a b +∈+=R ，则2121a b +++的最小值为__________.【正确答案】85##1.6【分析】由21a b +=可得()()2225a b +++=，又212221222a b a b +=+++++，再用“乘1法”即可求最小值.【详解】因为21a b +=，所以()()2225a b +++=.所以()()2122221222212222225a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=+=++++⨯ ⎣⎦++++++⎝⎭()()2222211844522255a b b a ⎛⎫⎛⎫++⎪=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,当且仅当11,24a b ==时等号成立.故2121a b +++的最小值为85.故答案为:85.16．已知()42229x x f x x-+=，()292g x x tx =-+，若对[]11,2x ∀∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12g x f x >成立，则实数t 的取值范围为__________.【正确答案】5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】分析可知，()()12min min g x f x ≥，求出()f x 在[]2,3上的最小值为174，可知()291724g x x tx =-+>对任意的[]1,2x ∈恒成立，利用参变量分离法可求得实数t 的取值范围.【详解】若对[]11,2x ∀∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12g x f x >成立，则()()12min min g x f x ≥，当[]2,3x ∈时，令[]24,9s x =∈，则()42222299922x x f x x s x x s -+==+-=+-，由对勾函数的单调性可知，函数()92h s s s=+-在[]4,9上单调递增，所以，当[]4,9s ∈时，()()min 1744h s h ==，故当[]1,2x ∈时，()min 174g x ≥，即()291724g x x tx =-+>对任意的[]1,2x ∈恒成立，所以，14t x x<+对任意的[]1,2x ∈恒成立，由对勾函数的单调性可知，函数()14p x x x=+在[]1,2上单调递增，所以，当[]1,2x ∈时，()()min 514p x p ==，故54t <.故答案为.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭四、解答题17．（1）已知π6α=，求()()27πcos tan πcos 2π25π3πcos sin 22ααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.（2）已知11222a a --=，求1222a a a a ---++的值.【正确答案】（1）3；（2）9.【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系可得原式1cos α=，代值求解即可；（2）将11222a a --=两边平方可求1a a -+，从而可求1122a a -+，利用平方差公式可得1a a --，故可求解.【详解】（1）原式=2(sin )tan cos tan 1sin (cos )sin cos 3αααααααα-===-（2）11222,a a --= 两边平方得1124,6,a a a a ---+=∴+=21112228a a a a --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭.1111111222222()()a a a a a a a a ----∴+=∴-=+-=∴1122122()a a a a a a a a ------==+++18．设函数()()232f x ax b x =+-+.(1)若不等式()0f x >的解集为()2,1-，求a b -的值；(2)若,a b +∈R ，且x ∀∈R 都有()()11f x f x +=-，求2248a b ab ++的最大值.【正确答案】(1)3a b -=-(2)272【分析】(1)根据一元二次不等式的解集即可求解；(2)根据题意可得函数关于直线1x =对称，利用二次函数的对称轴得出23a b +=，再结合基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意可知：2-和1是方程()0f x =的两根，则有()()()()()2221232,f x a x x a x x ax b x =+-=+-=+-+且0.a <∴1,31,2, 3.a b b a b =--=-=∴-=-（2）由(1)(1)f x f x +=-知()f x 关于直线1x =对称，即31,2 3.2b a b a--=∴+=()()22222274824949.22a b a b ab a b ab ab +++=++=+≤+=当且仅当322a b ==时等号成立.∴2248a b ab ++的最大值为27.219．已知函数()()π2cos 20π6f x x θθ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭为奇函数.(1)求函数()f x 的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应x 的取值集合.(2)求函数()πππ,,662g x f x x ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间.【正确答案】(1)()ππ4x k k =+∈Z 时()f x 取最小值2-；()ππ4x k k =-∈Z 时()f x 取最大值2;(2)ππ,612⎡⎤--⎢⎥⎣⎦与5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据奇函数的性质可得()00f =，结合0πθ<<可求2π.3θ=从而可得()2sin 2f x x =-，根据正弦函数的性质即可求解；（2）π()2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性即可求解.【详解】（1）依题意有()π2π02cos 0,0π,.63f θθθ⎛⎫=-=<<∴= ⎪⎝⎭ 即()π2cos 22sin 22f x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，为奇函数，满足题意.当ππ22ππ()24x k x k k =+=+∈Z 即时()f x 取最小值2-；当ππ22ππ()24x k x k k =-=-∈Z 即时()f x 取最大值2.（2）依题意π()2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()g x 单调递减，则ππ3π2π22π,.232k x k k +≤-≤+∈Z ∴5π11πππ,.1212k x k k +≤≤+∈Z又ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，令1,0k k =-=得其减区间为ππ,612⎡⎤--⎢⎥⎣⎦与5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．某儿童玩具厂生产的某一款益智玩具去年年销量为2百万件，每件销售价格为20元，成本16元.今年计划投入适当广告费进行促销.预计该款玩具的年销售量P 百万件与年广告费用()02x x ≤≤百万元满足341P x =-+，现已知每件玩具的销售价为年平均每件玩具所占广告费的1(0)t t >与原销售价之和.(1)当投入广告费为2百万元时，要使该玩具的年利润不少于12百万元，求t 的取值范围；(2)若4t =时，则当投入多少百万元浩费该玩具生产厂获得最大利润.【正确答案】(1)01t <≤；(2)当广告费2百万时最大利润为212万元.【分析】（1）年利润23201623W t ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，解12W ≥即可；（2）当4t =时，416314x W x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭,利用函数的单调性即可求解.【详解】（1）当2x =时3P =，销售价为122202033t t+⋅=+，年利润2232016210123W t t ⎛⎫=+--=+≥ ⎪⎝⎭，解得01t <≤.（2）当4t =时，年利润312342016416163441414x x W P x P x x P x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-=--=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，设()414x f x x =++()02x ≤≤，设1202x x ≤<≤，则()()121212441414x x f x f x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪++⎝⎭()()()()()()2112211212441114114x x x x x x x x x x ⎡⎤--=+=--⎢⎥++++⎣⎦，因为1202x x ≤<≤，所以12113,113x x ≤+<<+≤，所以()()121119x x <++<，所以()()12444911x x <<++，所以()()12410114x x ->++.因为210x x ->，所以()()12f x f x >，所以()414x f x x =++在[]0,2上单调递减，所以当02x ≤≤时min 4411114326x x ⎛⎫+=+= ⎪+⎝⎭,所以max 112116362W =-⨯=.综上：当广告费2百万时最大利润为212万元.21．已知函数()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()g x 图象与()f x 的图象关于y x =对称.(1)若函数()()2211y g tx t x =--+在()1,+∞上单调递减，求实数t 的取值范围；(2)不等式()()2226g a x g x a <+-在[]4,9x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[]0,2(2)()3+∞，【分析】(1)依题意可得12()log g x x =，再根据复合函数的单调性可列出不等式，结合二次不等式恒成立求解即可；(2)把问题转化为22(26)a x x a >+-在[]4,9上恒成立，分离参数，转化为最值比较即可.【详解】（1）因为函数()g x 图象与()f x 的图象关于y x =对称.所以12()log g x x =，2212((21)1)log ((21)1)y g tx t x tx t x =--+=--+在(1,)+∞上单调递减，令2()(21)1t x tx t x =--+，则()t x 在(1,)+∞上单调递增，且()0t x >对(1,)x ∈+∞恒成立.0t ∴≥，且(1)(21)10, 2.t t t t =--+≥∴≤当0=t 时，()1t x x =+在(1,)+∞上单调递增，符合题意；当02t <≤时，()t x 的对称轴为2111122t x t t-==-<，()t x 在(1,)+∞上单调递增，符合题意.故t 的取值范围为[]0,2.（2）依题意有20,a x >且4260, 1.a a +->∴>不等式()()21122log 2log 26a x x a <+-在[]4,9上恒成立，即22(26)a x x a >+-在[]4,9上恒成立，26,2)6x a a x ∴>+-∴->-在[]4,9上恒成立，当4x =时不等式成立，所以必须a >在(]4,9上恒成立.max a >(]24222,0,14,t t t t t t t +--=∈==-+而24t t -+在(]0,1上单调递增，2(4)3,3t a t∴-+=∴>综上：a 的取值范围为()3+∞，.22．已知()1f x +为R 上的偶函数，当1x ≥时函数()()lg 6f x x =+.(1)求()2f -并求()f x 的解析式；(2)若函数()212g x x tx =++在[]0,2的最大值为12，求t 值并求使不等式()()2f m t f m t +>-成立实数m 的取值范围.【正确答案】(1)()()()lg 6,11lg 8,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩；(2)2t =-，24,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由()1f x +为R 上的偶函数，得()(2)f x f x =-，可求()2f -的值；当1x <时21x ->，2x -代入()lg 6y x =+求得当1x <时的解析式；（2）讨论对称轴的位置，确定212y x tx =++的单调性，根据()g x 在[]0,2的最大值为12求得2t =-，根据()f x 的对称性与单调性解不等式()()2f m t f m t +>-得m 的范围.【详解】（1）∵(1)f x +为R 上的偶函数，∴(1)(1)f x f x +=-+，∴()f x 关于x =1对称，∴(2)(4)lg101f f -===.又(1)(1)-+=+f x f x ，()(2)f x f x ∴=-，当1x <即21x ->时，()()()(2)lg (2)6lg 8f x f x x x=-=-+=-，故()()()lg 6,1lg 8,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.（2）当0t ≥时21()2g x x tx =++在[]0,2上单调递增，()g x 的最小值为12，与题意矛盾，0.t ∴<同理当对称轴22t -≥即4t ≤-时，则212y x tx =++在[]0,2上单调递减，191(2)(0),2,222g g t ∴≤=∴+≤522t ∴-≤≤-，矛盾.若40t -<<，02,2t <-<则()122122g t g ⎧≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，29122211422t t ⎧+≤⎪⎪∴⎨⎪-+≤⎪⎩，52220t t ⎧-≤≤-⎪∴⎨⎪-≤≤⎩，2t ∴=-，显然当2t =-时，()22112122y x x x =-+=--在[]0,2上值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21()22g x x x =-+在[]0,2上最大值为12，符合题目要求.故2t =-.不等式()(2)f m t f m t +>-成立即(2)(22)f m f m ->+成立，当1x ≥时函数()()lg 6f x x =+为增函数，所以()f x 在对称轴1x =右侧为增函数，左侧为减函数，距离对称轴越远其值越大，|21|221m m ∴-->+-，解得243m -<<故m 的取值范围为24,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ωϕ+的奇偶性的处理方法：若()f x ωϕ+具有奇偶性，则()f x ωϕ+的对称轴为y 轴或对称中心为原点，可以得到()f x 也有对称轴或对称中心，方法是通过平移变换与伸缩变换将()f x ωϕ+的图象变换到()f x 的图象，在变换过程中对称轴或中心也跟着作相应的变换.如(21)f x +为R 上的偶函数，向右平移12个单位得到(2)f x 的图象，则(2)f x 的图象关于12x =对称，再将(2)f x 的图象横坐标变为原来的2倍，得到()f x 的图象，则()f x 的图象关于1x =对称.。

1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，若f(2) = f(3)，则f(1)的值为（）A. -2B. 0C. 2D. 32. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 = 9，a1 + a4 + a5 = 21，则a1 + a2 + a3 + a4 + a5的值为（）A. 15B. 18C. 21D. 243. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, -1)，则向量a + b的模长为（）A. √5B. √10C. √15D. √204. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的取值范围为（）A. x ≥ 0B. x ≤ 0C. y ≥ 0D. y ≤ 05. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，若x + y = 0，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 60°，则∠ABC的度数为（）A. 60°B. 75°C. 80°D. 90°7. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - n + 1，则数列{an}的前10项和为（）A. 55B. 65C. 75D. 858. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)的图像关于x = 2对称，则f(3)的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 79. 在直角坐标系中，点P的坐标为(2, 3)，点Q在直线y = 2x上，且|PQ| = √5，则点Q的坐标为（）A. (1, 2)B. (3, 6)C. (1, 6)D. (3, 2)10. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1 + a2 + a3 = 9，a1 + a2 + a3 + a4 = 27，则q的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 41. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 + a4 = 20，则a1 + a5 + a6 + a7 = __________。

湖北省黄冈市黄冈中学高一上学期期末考试数学试题一、选择题(每小题5分，共60分)1、设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=( )A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]2、下列函数中，既是奇函数又存在零点的是( )A．y=cosx B．y=sinxC．y=lnx D．3、下列各组向量中可以作为基底的是( )A．a=(0，0)，b=(1，－2)B．a=(1，2)，b=(3，4)C．a=(3，5)，b=(6，10)D．a=(2，－3)，b=(－2，3)4、要得到函数的图像，只需要将函数y=sin4x的图像( ) A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位5、在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，( )A．－4 B．4C．－8 D．86、如果一个点既在对数函数的图像上又在指数函数的图像上，那么称这个点为“幸运点”．在下面的五个点M(1，1)，N(1，2)，P(2，1)，Q (2，2)，中，“幸运点”有多少个？( )A．0 B．1C．2 D．37、已知函数f(x)=x(e x＋ae－x)(x∈R)，若函数f(x)是偶函数，记a=m，若函数f(x)为奇函数，记a=n，则m＋2n的值为( )A．0 B．1C．2 D．－18、若，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为( )A．B．或0C．0 D．以上答案都不对9、已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A，ω均为正的常数，φ为锐角)的最小正周期为π，当时，函数f(x)取得最小值，记a=f(0)，，则有( )A．a=b＜c B．a＜b＜cC．b＜a＜c D．c＜a＜b10、如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}11、设定义在区间(－b，b)上的函数是奇函数(a，b∈R且a≠－2)，则a b的取值范围是( )12、对于定义域为R的函数g(x)，若存在正常数T，使得cosg(x)是以T 为周期的函数，则称g(x)为余弦周期函数，则下列函数中余弦周期函数有多少个？( )①h(x)=2016x ②h(x)=|x| ③A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题(每小题5分，共20分)13、已知角α的终边过点，则tanα=__________．14、若函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是__________．15、已知函数f(x)=a x＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b=__________．16、已知a=log827，则2a＋2(－a)=__________．三、解答题(本大题共有6题，满分70分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17、(10分)已知方程x2＋px＋q=0的两个不相等实根为α，β．集合A={α，β}，B={2，4，5，6}，C={1，2，3，4}，A∩C=A，A∩B=，求p，q的值．18、(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量．(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求sinx＋cosx的值．19、(12分)某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系；(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？(3)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？20、(12分)如图，半径为4 m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，水轮每分钟旋转4圈，水轮圆心O距离水面2 m，如果当水轮上的点P从离开水面的时刻(P0)起开始计算时间．(1)求点P到水面的距离y(m)与时间t(s)满足函数的关系；(2)求点P第一次到达最高点需要的时间．21、(12分)若在定义域内存在实数x0，使得f(x0＋1)=f(x0)＋f(1)成立，则称函数f(x)是“可拆函数”．(1)函数是否是“可拆函数”？请说明理由；(2)若函数f(x)=2x＋b＋2x是“可拆函数”，求实数b的取值范围；(3)证明：f(x)=cosx是“可拆函数”．22、(12分)已知集合M={h(x)|h(x)的定义域为R，且对任意x都有h(－x) =－h(x)}，设函数．(1)当a=b=1时，判断是否有f(x)∈M，说明理由．(2)若函数f(x)∈M，且对任意的x都有f(x)＜sinθ成立，求θ的取值范围．1、A解析：集合M={0，1}，N=(0，1]，∴M∪N=[0，1]．故选A．2、B解析：A是偶函数且有零点，B是奇函数且有零点，C有零点但是非奇非偶函数，D是奇函数但无零点．故选B．3、B解析：能作为基底的两个平面向量要求是不共线，A中是零向量与任意向量均共线，C中，共线，D中，共线，B中1×4－2×3≠0，不共线．故选B．4、B解析：，故需将y=sin4x向右平移即可．5、D解析：，故选D．6、C解析：对于指数函数y=a x，当且仅当x=0时y=1，故M，P均不是“幸运点”；对于对数函数y=log a x，当且仅当y=0时x=1，故N不是“幸运点”，因为，所以Q是“幸运点”，因为，故G也是“幸运点”．7、B解析：当f(x)是偶函数时y=e x＋a·e－x是奇函数，记g(x)=e x＋a·e－x，∴g(－x)=－g(x)，∴e－x＋a·e x=－(e x＋a·e－x)，∴a=－1；同理，当f(x)是奇函数时y=e x＋a·e－x是偶函数，a=1，即m=－1，n=1，∴m＋2 n=1．8、A解析：由同角三角函数的基本关系得sin2θ＋cos2θ=1，即，∴k=1或－7，又因为角θ的终边不落在坐标轴上，，9、A解析：由周期为π知ω=2，又时函数取得最小值，故，，又φ为锐角，，且A＞0，∴a=b＜c，故选A．10、C解析：线段BC的方程为y=2－x(0≤x≤2)，令log2(x＋1)=2－x，得x=1，结合y=log2x的图像得到解集为{x|－1＜x≤1}，故选C．本题的易错点是没有注意到x≠－1而错选B．11、A解析：由f(x)为奇函数得f(－x)=－f(x)，，∴a=2，，定义域为，故选A．本题的易错点是没有注意到b 可以等于，而错选了C．12、D解析：对于①，；对于②，，对于③，．故选D．本题的易错点是没有考虑到③其实是周期函数．13、14、[0，1)15、16、17、解：由A∩C=A，A∩B=φ得A={1，3}，(4分)即方程x2＋px＋q=0的两个根是1，3，(6分)由韦达定理得1＋3=－p，p=－4；(8分)1×3=q，q=3．(10分)18、(1)因为m⊥n，所以(2分)所以tanx=1．(5分)(2)因为m，n的夹角为，①(7分)设sinx＋cosx=a ②由①2＋②2得(10分)因x是锐角，所以a为正值，所以．(12分)19、解：(1)当时，L(x)=2＋0.5x当x＞30时，(注：x也可不取0)(2)当时，由L(x)=2＋0.5x=35得x=66，舍去．当x＞30时，由L(x)=0.6x－1=35得x=60．∴老王家该月用电60度．(8分)(3)设按第二方案收费为F(x)元，则F(x)=0.58x．当0≤x≤30时，由L(x)＜F(x)，得2＋0.5x＜0.58x．∴x＞25．∴25＜x≤30．当x＞30时，由L(x)＜F(x)，得0.6x－1＜0.58x，∴x＜50．∴30＜x＜50综上，25＜x＜50．故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好．(12分)20、解：(1)以O为原点建立如图所示的直角坐标系．由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y(m)与时间t(s)满足函数关系∵水轮每分钟旋转4圈，.∵水轮半径为4 m，∴A=4．．当t=0时，y=0，．．(6分)(2)由于最高点距离水面的距离为6，∴当k=0时，即t=5(s)时，点P第一次达到最高点．(12分)21、(1)由f(x＋1)=f(x)＋f(1)化简整理得k(x2＋x＋1)=0 (2分)当k=0时，有无数个x使上式成立，所以f(x)是“可拆函数”．(3分)当k≠0，方程x2＋x＋1=0 无实根，所以f(x)不是“可拆函数”．(4分)(2)因为函数f(x)=2x＋b＋2x是“可拆函数”所以方程2(x＋1)＋b＋2(x＋1)=2x＋b＋2x＋4＋b即2x=2＋b有实数根．(6分)所以b＋2＞0，b＞－2．(8分)(3)因cos(x＋1)=cosx＋cos1设g(x)=cos(x＋1)－cosx－cos1g(0)=cos1－1－cos1=－1＜0，所以g(x)在上至少有一个零点，即有x0使f(x0＋1)=f(x0)＋f (1)成立，所以f(x)=cosx是“可拆函数”(12分)22、解：(1)举反例即可．，所以f(－1)≠－f(1)，∴f(x)M．(4分)(2)∵f(x)M，∴f(－x)=－f(x)，即对定义域内任意实数x成立．化简整理得(2a－b)·22x＋(2ab－4)·2x＋(2a－b)=0，这是关于x的恒等式，所以．所以．又因为函数f(x)的定义域为R，所以不合题意．综上a=1，b=2．(8分)，因为2x＞0，所以2x＋1＞1，，从而；∵f(x)＜sinθ，，解得(12分)。

2020-2021学年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3+i)=2−i ，则下列说法正确的是( )A. 复数z 的模为√22B. 复数z 的共轭复数为−12+12i C. 复数z 的虚部为12iD. 复数z 在复平面内对应的点在第二象限2. 在△ABC 中，a =15，b =10，A =45°，则cosB =( )A. √23B. −√23C. √73D. −√733. 不同的直线m 和n ，不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出α//β的是( )A. α∩γ=n ，β∩γ=m ，n//mB. α⊥γ，β⊥γC. n//m ，n ⊥α，m ⊥βD. n//α，m//β，n//m4. 若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为( )A. 2B. 4C. √3D. 2√35. 一个正方体有一个面为红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为( )A. 13B. 56C. 23D. 7126. 如图，正三棱锥A −BCD 中，∠BAD =20°，侧棱长为2，过点C 的平面与侧棱AB 、AD 相交于B 1、D 1，则△CB 1D 1的周长的最小值为( )A. 2√2B. 2√3C. 4D. 27. 如图所示，△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，D 是BC 的中点，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 114B. −114C. 52D. −528.欧几里得在《几何原本》中，以基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点．其中第Ⅰ命题47是著名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，书中给出了一种证明思路：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，四边形ABHL、ACFG、BCDE都是正方形，AN⊥DE 于点N，交BC于点M.先证明△ABE与△HBC全等，继而得到矩形BENM与正方形ABHL面积相等；同理可得到矩形CDNM与正方形ACFG面积相等；进一步推理得证．在该图中，若tan∠BAE=12，则sin∠BEA=()A. √210B. 3√1010C. √55D. √1010二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列各组向量中，可以作为基底的是()A. e1⃗⃗⃗ =(0,2)，e2⃗⃗⃗ =(32,0) B. e1⃗⃗⃗ =(0,0)，e2⃗⃗⃗ =(1,−2)C. e1⃗⃗⃗ =(1,3)，e2⃗⃗⃗ =(−2,−6)D. e1⃗⃗⃗ =(3,5)，e2⃗⃗⃗ =(5,3)10.下列关于复数z的四个命题中假命题为()A. 若z+z−=0，则z为纯虚数B. 若|z1|=|z2|，则z1=±z2C. 若|z−i|=1，则|z|的最大值为2D. 若z3−1=0，则z=111.如图在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D是AB上的动点，则下列结论正确的是()A. BC ⊥AC 1B. 当D 为AB 的中点时，平面CDB 1⊥平面AA 1B 1BC. 当D 为AB 中点时，AC 1//平面CDB 1D. 三棱锥A 1−CDB 1的体积是定值12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是( )A. c =acosB +bcosAB. 若acosA =bcosB ，则△ABC 为等腰三角形C. 若a 2tanB =b 2tanA ，则a =bD. 若a 3+b 3=c 3，则△ABC 为锐角三角形三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一个口袋中装有2个红球，3个绿球，采用不放回的方式从中依次取出2个球，则第一次取到绿球第二次取到红球的概率为______．14. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，AB =1，AC =2，AD =√32，则△ABC 的面积为______． 15. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，直线B 1O 与平面ACD 1所成角的正弦值为______．16. 如图等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，CD =12AD =13AB =2，O 是梯形ABCD 的外接圆的圆心，M 是边BC 上的中点，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.复数z满足|z|=√2，z2为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限．(1)求复数z；(2)复数z，z−，z2所对应的向量为a⃗，b⃗ ，c⃗，已知(λa⃗+b⃗ )⊥(λb⃗ +c⃗ )，求λ的值．c=b，18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+12(1)求角A；(2)若a=√7，△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．219.黄冈市一中学高一年级统计学生本学期20次数学周测成绩(满分150)，抽取了甲乙两位同学的20次成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，142，141乙：102，105，113，114，116，117，125，125，127，128，128，131，131，135，136，138，139，142，145，150(1)根据以上记录数据求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？(2)将同学乙的成绩分成[100,110)，[120,130)[130，140)[140,150)，完成下列频率分布表，并画出频率分布直方图；(3)现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意取出2个成绩，求取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率．分组频数频率[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]合计20120.如图，已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，BC//AD且BC=2AD，平面PAC⊥平面ABCD，PA=PC，PA⊥AB．(1)证明：AB⊥PC；(2)若PA⊥PC，PB=2PC=4，求四棱锥P−ABCD的体积．21.如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD⊥CD，设∠ACD=θ．(1)若△ABC面积是△ACD面积的4倍，求sin2θ；(2)若tan∠ADB=1，求tanθ．222.如图①梯形ABCD中AD//BC，AB=√3，BC=1，CD=√2，BE⊥AD且BE=1，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面ABE⊥平面BCDE，CE与BD相交于O，点P 在AB上，且AP=2PB，R是CD的中点，过O，P，R三点的平面交AC于Q．(1)证明：Q是的中点；(2)证明：AD⊥平面BEQ；(3)M是AB上一点，已知二面角M−EC−B为45°，求AM的值．AB答案和解析1.【答案】A【解析】解：复数z 满足z(3+i)=2−i ，整理得：z =2−i3+i =(2−i)(3−i)(3+i)(3−i)=12−12i ， 对于A ：|z|=√(12)2+(−12)2=√22，故A 正确；对于B ：复数z 的共轭复数为12+12i ，故B 错误； 对于C ：复数z 的虚部为−12，故C 错误；对于D ：复数z 在复平面内对应的点在第四象限，故D 错误． 故选：A ．直接利用复数的运算，复数的共轭运算，复数的模，复数表示的几何意义的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：复数的运算，复数的共轭运算，复数的模，复数表示的几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：根据正弦定理可得：sinB =bsinA a=10×sin45°15=√23， ∵a =15>b =10，∴由大边对大角可得：0<B <A =45°， ∴cosB =√1−sin 2B =√73． 故选：C ．根据正弦定理可得：sinB =bsinA a=√23，由a =15>b =10，由大边对大角可得：0<B <A =45°，故可求cos B 的值．本题主要考查了正弦定理的应用，考查了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：由不同的直线m和n，不同的平面α，β，γ，知：若α∩γ=n，β∩γ=m，n//m，则α与β相交或平行，故A不正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B不正确；若n//m，n⊥α，m⊥β，则由平面平行的判定定理知α//β，故C正确；若n//α，m//β，n//m，则α与β相交或平行，故D不正确．故选C．利用平面平行的判定定理，对四个选项分别进行判断，能够得到正确答案．本题考查平面平行的判断所应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4.【答案】B【解析】解：如图，圆锥的轴截面为等腰△SAB，且内切圆为球的大圆．设圆锥底面圆周的半径为r，高为h，球的半径为R，R=1．πr2ℎ=2⋅则由条件有134πR3，整理得r2ℎ=38①在△SAB中，SA=SB=⋅√r2+ℎ2，所以12⋅ℎ⋅2r②，(√r2+ℎ2+√r2+ℎ2+2r)⋅1=12联立①②，解得r=√2,ℎ=4．故选：B．利用体积公式求出圆锥底面圆半径r与高h的关系，再通过球与圆锥相切，利用等面积法列出r与h的另一组关系，通过解方程组求解．本题考查圆锥的内切球，球和圆锥的体积公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：第一个正方体出现红色，绿色，黄色的概率分别为16,13,12，第二个正方体出现红色，绿色，黄色的概率分别为13,13,13，∵两个正方体朝上的面颜色相同的概率为16×13+13×13+12×13=13， ∴两个正方体朝上的面颜色不同的概率为1−13=23． 故选：C ．根据已知条件，结合古典概型的概率公式，可得两个正方体朝上的面颜色相同的概率，再求其对立事件的概率，即可求解．本题主要考查古典概型的问题，需要学生熟练掌握古典概型的概率计算公式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：把正三棱锥A −BCD 的侧面展开， 两点间的连接线CC′即是截面周长的最小值．正三棱锥A −BCD 中，∠BAD =20°，所以，∠CAC′=60°，AC =2， ∴CC′=2，∴截面周长最小值是CC′=2． 故选：D ．首先，展开三棱锥，然后，两点间的连接线CC′即是截面周长的最小值，然后，求解其距离即可．本题重点考查了空间中的距离最值问题，属于中档题．注意等价转化思想的灵活运用．7.【答案】B【解析】解：∵△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，D 是BC 的中点，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ))=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−112AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−112×32−14×22−13×3×2×12=−114． 故选：B ．根据已知条件代入化简，通过向量的数量积的定义求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．8.【答案】D【解析】解：设AB =k ，AC =m ，BC =n ，可得k 2+m 2=n 2， ∵BH//CL ， ∴∠BHC =∠HCL ， 又△ABE ≅△HBC ， 可得∠BHC =∠BAE ， ∴∠HCL =∠BAE ， ∴tan∠HCL =12， 即k k+m =12， ∴m =k ， ∴n =√2k ，在△ABE 中，tan∠BAE =12，得sin∠BAE =1√5， 在△ABE 中，AB sin∠BEA =BEsin∠BAE ， 即ksin∠BEA =n1√5，可得sin∠BEA =√1010．故选：D ．设AB =k ，AC =m ，BC =n ，由勾股定理可得k 2+m 2=n 2，由同角的基本关系式求得sin∠BAE ，cos∠BAE ，在△ABE 中，求得AE ，分别运用余弦定理和正弦定理，计算可得所求值．本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理和勾股定理，以及同角的基本关系式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：∵0×0≠2×32，∴e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 不共线，∴A 正确， ∵0×(−2)=0×1，∴e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 共线，∴B 错误，∵1×(−6)=3×(−2)，∴e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 共线，∴C错误，∵3×3≠5×5，∴e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 不共线，∴D正确，故选：AD．利用基底的定义，判断两个向量是否共线，即可得到结果．本题考查向量共线的坐标运算，考查基底的定义，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：选项A：设z=a+bi，(a,b为实数)，因为z−=a−bi，所以z+z−=2a=0，则a=0，所以z=bi，因为b可能为0，故A错误，选项B：当z1=1+i，z2=1−i时，|z1|=|z2|，故B错误，选项C：当|z−i|=1时，复数z对应的点在以(0,1)为圆心，1为半径的圆上，故|z|的最大值为1+1=2，故C正确，选项D：当z=−12+√32i时，z3=1，故D错误，故选：ABD．选项A：设z=a+bi，(a,b为实数)，然后求出共轭复数，进而可以判断；选项B：举出反例即可判断，选项C：根据复数的几何意义即可判断，选项D：举出反例即可判断．本题考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数以及复数的几何意义更知识，考查了学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A，∵在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴BC⊥CC1，又AC⊥CB，CC1∩CA=C，CC1⊂平面ACC1A1，CB⊂平面ACC1A1，∴BC⊥平面ACC1A1，又AC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AC1，故A正确；对于B，∵在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴AA1⊥CD，∴当CD⊥AB时，由AA1，AB是平面AA1B1B中的相交线，得到CD⊥平面AA1B1B，平面CDB1⊥平面AA1B1B，此时D不一定为中点，故B错误；对于C，设BC1∩B1C=O，则O是BC1中点，连结OD，则D是AB中点时，OD//AC1，∵AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1，∴AC1//平面CDB1，故C正确；对于D，∵△A1B1C的面积是定值，AB//A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，∴AB//平面A1B1C，∴D到平面A1B1C的距离是定值，∴三棱锥A1−CDB1的体积是定值，故D正确．故选：ACD．对于A，推导出BC⊥CC1，AC⊥CB，从而BC⊥平面ACC1A1，进而BC⊥AC1；对于B，当CD⊥AB时，存在点D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B，此时D不一定为中点；对于C，设BC1∩B1C=O，连结OD，D是AB中点时，OD//AC1，得AC1//平面CDB1；对于D，△A1B1C的面积是定值，由AB//A1B1，知AB//平面A1B1C，D到平面A1B1C的距离是定值，进而三棱锥A1−CDB1的体积是定值．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．12.【答案】AD【解析】解：对A：∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA，∴c=acosB+bcosA，所以A正确；对B：∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∵△ABC的内角A，B，C，∴2A=2B或2A+2B=π即A=B或A+B=π2，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对C：∵a2tanB=b2tanA，∴由正弦定理得：sin2AtanB=sin2BtanA，得：sin2AsinBcosB=sin2BsinAcosA，整理得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=π2，故C错误；对D：由题意知：a、b、c中c是最大的正数，∴由a3+b3=c3变形得：(ac )3+(bc)3=1<(a c )2+(bc)²，∴a2+b2>c2，∴C为锐角，又知C为最大角，∴△ABC为锐角三角形，故D正确；故选：AD．由正弦定理以及三角恒等变换可得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA，即可判断A；由正弦定理可将条件转换为sin2A =sin2B ，进而得到A =B 或A +B =π2，即可判断B ； 由正弦定理把a 2tanB =b 2tanA 转化为：sin 2AtanB =sin 2BtanA ，化简后可判断C ； 由a 3+b 3=c 3变形得：(ac )3+(bc )3=1<(ac )2+(bc )²，可判断D ；本题主要考查了正弦定理的运用，解三角形问题，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力，属于中档题．13.【答案】0.3【解析】解：由题意可得，样本空间的总数为5×4=20， 第一次取到绿球第二次取到红球的样本数为3×2=6， 故所求的概率P =620=0.3． 故答案为：0.3．根据已知条件，分别求出样本空间的个数和第一次取到绿球第二次取到红球的样本数，再结合古典概型的概率计算公式，即可求解．本题主要考查古典概型的问题，需要学生熟练掌握古典概型的概率计算公式，属于基础题．14.【答案】√32【解析】解：∵D 是BC 中点，且AB =1，AC =2，AD =√32，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )²，即34=14(1+4+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1， ∴cos∠BAC =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−11×2=−12， ∴sin∠BAC =√32， ∴S △ABC =12AB ⋅ACsin∠BAC =12×1×2×√32=√32． 故答案为：√32．根据题意AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，两边平方即可求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，从而可求出cos∠BAC =−12，进而求出sin∠BAC =√32，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积；本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．15.【答案】2√23【解析】解：以AB 、AD 、AA 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的边长为1，则A(0,0，0)，B(1,0，0)，D(0,1，0)，C(1,1，0)，B 1(1,0，1)，C 1(1,1，1)，D 1(0,1，1)，O(12,12,0)，所以B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,−1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)．设平面ACD 1的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则 {n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y =0y +z =0，令y =−1，则x =1=z ，则n⃗ =(1,−1,1)． 于是，cos <B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |=−12−12−1√32×√3=−23√2=−2√23，所以sinθ=|cos <B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n⃗ >|=2√23． 其中θ为直线B 1O 与平面ACD 1所成角． 所以直线B 1O 与平面ACD 1所成角的正弦值为2√23． 故答案为：2√23． 首先建立空间直角坐标系且不妨设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的边长为1，于是写出各点的坐标，然后求出平面ACD 1的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，进而由sinθ=cos <B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |即可得出所求的答案．本题考查直线与平面所成的角，考查学生的空间想象能力和计算能力，属中档题．16.【答案】16【解析】解：设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)， ∵M 是边BC 上的中点， ∴λ=12，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−2λ3)AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵O 是△ABC 的外心，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=18AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=8， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅[λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−2λ3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ] =λAO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−2λ3)AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8λ+18(1−2λ3)=18−4λ,λ=12，即AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16， 故答案为：16．根据题意，利用平面向量的线性运算，即可求解结论．本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．17.【答案】解：(1)设z =a +bi(a >0,b >0)，则|z|=√a 2+b 2=√2，即a 2+b 2，①∵z 2=a 2−b 2+2abi 为纯虚数，∴a 2−b 2=0且2ab ≠0，② 由①②解得a =1，b =1， ∴z =1+i ； (2)∵z =1+i∴z−=1−i，z2=2i，∴a⃗=(1,1),b⃗ =(1,−1),c⃗=(0,2)，∴a⃗⋅b⃗ =0,a⃗⋅c⃗=2,b⃗ ⋅c⃗=−2,b⃗ 2=2，由(λa⃗+b⃗ )⊥(λb⃗ +c⃗ )，得(λa⃗+b⃗ )⋅(λb⃗ +c⃗ )=0，即λ2a⃗⋅b⃗ +λa⃗⋅c⃗+λb⃗ 2+b⃗ ⋅c⃗=0，∴4λ−2=0，得λ=12．【解析】(1)设z=a+bi(a>0,b>0)，由已知可得a与b的关系，列方程组求解a与b的最值，则z可求；(2)由(1)中求得z可得z−，z2，得到a⃗，b⃗ ，c⃗，进一步得到(λa⃗+b⃗ )与(λb⃗ +c⃗ )的坐标，再由数量积为0列式求解λ值．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，考查向量的数量积运算，是基础题．18.【答案】解：(1)∵acosC+12c=b，由正弦定理得sinAcosC+12sinC=sinB，又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴12sinC=cosAsinC，∵sinC>0，∴cosA=12，∴A=π3；(2)由余弦定理得：7=b2+c2−2bccos60°即b2+c2−bc=7，∴(b+c)2−3bc=7，又S△ABC=12bcsinA=√34bc=3√32，∴bc=6，∴(b+c)2−18=7，∴b+c=5，∴△ABC的周长为5+√7．sinC=sinB，，结合sinB=sin(A+C)=【解析】(1)由正弦定理可知sinAcosC+12sinAcosC+cosAsinC，整理即可得到cos A，进而可求出A；(2)由余弦定理可求得(b+c)2−3bc=7，结合面积公式得到bc，进而可知b+c，即可求出周长．本题考查解三角形，涉及正弦定理、余弦定理，三角函数恒等变换，三角形面积公式等知识点的应用，属于中档题．=119，19.【答案】解：(1)甲的中位数是117+1212=128>119，乙的中位数是128+1282∴乙的成绩更好．(2)完成频率分布表如下：分组频数频率[100,110)20.1[110,120)40.2[120,130)50.25[130,140)60.3[140,150)30.15合计201乙的频率分布直方图如下图所示：(3)甲乙两位同学的不低于140(分)的成绩共5个，甲两个成绩记作A1、A2，乙3个成绩记作B1、B2、B3(其中B3表示150分)，任意选出2个成绩所有的取法为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)，共10种取法，其中两个成绩不是同一个人的且没有满分的是：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，共4种取法，∴取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率P=410=25．【解析】(1)分别求出甲、乙的中位数，从而得到乙的成绩更好．(2)完成频率分布表，作出乙的频率分布直方图．(3)甲乙两位同学的不低于140分的成绩共5个，甲两个成绩记作A1、A2，乙3个成绩记作B1、B2、B3(其中B3表示150分)，任意选出2个成绩，利用列举法，求出取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率．本题考查中位数、概率的求法，频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】(1)证明：取AC的中点O，连接PO，如图所示；因为AP=PC，所以PO⊥AC，又因为平面PAC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，又因为AB⊂平面ABCD，所以PO⊥AB；......①又因为AB⊥PA，......②由①②可得AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC．(2)解：因为PB=2PC=4，所以PA=PC=2，又AB⊥PA，所以AB2=PB2−PA2，所以AB=2√3；又因为PA⊥PC，PA=PC=2，所以AC=2√2，PO=√2；由(1)知AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，所以S△ABC=12AB⋅AC=12×2√3×2√2=2√6；所以V三棱锥P−ABC =13S△ABC⋅PO=13×2√6×√2=43√3；又因为BC//AD，BC=2AD，所以S△ABC=2S△ACD，所以V 三棱锥P−ACD =12V 三棱锥P−ABC =23√3； 所以四棱锥P −ABCD 的体积是V 四棱锥P−ABCD =V 三棱锥P−ABC +V 三棱锥P−ACD =43√3+23√3=2√3． 另解：因为S △ABC =12AB ⋅AC =12×2√3×2√2=2√6， 所以S △ADC =√6，所以S 梯形ABCD =3√6，计算四棱锥P −ABCD 的体积是V 四棱锥P−ABCD =13×3√6×√2=2√3．【解析】(1)取AC 的中点O ，连接PO ，得出PO ⊥AC ，根据平面PAC ⊥平面ABCD 得出PO ⊥平面ABCD ，证明PO ⊥AB ；再由AB ⊥PA 证明AB ⊥平面PAC ，即可证明AB ⊥PC ． (2)根据题意利用分割补形法计算四棱锥P −ABCD 的体积，另一种解法是直接计算四棱锥的体积即可．本题考查了四棱锥的体积计算问题，也考查了运算求解能力，和逻辑推理能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设AB =a ，则AC =√3a ，AD =√3asinθ，CD =√3acosθ， 由题意S △ABC =4S △ACD ，则12a ⋅√3a =4⋅12√3acosθ⋅√3asinθ， 所以sin2θ=√36．(2)由正弦定理，△ABD 中，BD sin∠BAD =ABsin∠ADB ， 即BD sin(π−θ)=asin∠ADB ① 在△BCD 中，BD sin∠BCD =BCsin∠CDB ， 即BD sin(π6+θ)=2asin(π2−∠ADB)②②÷①得：sinθsin(π6+θ)=2tan∠ADB =1，∴sinθ=sin(π+θ)，3化简得cosθ=(2−√3)inθ，所以tanθ=2+√3．【解析】(1)直接利用三角形的面积公式的应用求出结果；(2)利用正弦定理建立方程组，进一步建立三角函数式，最后解方程组求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．22.【答案】证明：(1)在图①中过C作CF⊥AD，则EF=BC=1，CF=BE=1，又∵CD=√2，∴DF=1，∴DE=2，∴DE//BC，且DE=2BC，∴DO=2OB，又∵AP=2PB，∴OP//AD，∴OP//平面ACD，又∵平面OPQR∩平面ACD=RQ，∴OP//RQ，∴PQ//AD，又∵R是CD的中点，∴Q是AC的中点．(2)在直角梯形BCDE中，BC=BE=1，∴CE=√2，∴∠CED=∠BCE=45°．又CD=√2，∴∠ECD=90°，DE=2，∴CD⊥CE，①又∵平面ABE⊥平面BCDE，AE⊥BE，∴AE⊥平面BCDE，∴AE⊥CD，②由①②得CD⊥平面ACE，∴CD⊥EQ，③∵AB=√3,BE=1，∴AE=√2，∴AE=CE，∴EQ⊥AC，④由③④可得EQ⊥平面ACD，∴EQ⊥AD，⑤又∵BE⊥AE，BE⊥DE，∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥AD，⑥由⑤⑥可得AD⊥平面BEQ．(3)过M作MH⊥BE，则MH⊥平面BCDE，过H作HG⊥CE，连结MG，则∠MGH为二面角M−CE−B的平面角，∴∠MGH=45°，设AMAB=λ，∴MH=(1−λ)AE=(1−λ)√2，又HEBE =AMAB=λ，∴HE=λ，∵∠BEC=45°，∴HG=√22λ，由∠MGH=45°得HG=MH，∴√22λ=(1−λ)√2，∴λ=23．【解析】(1)在图①中过C作CF⊥AD，证明PQ//AD，结合R是CD的中点，推出Q 是AC的中点．(2)证明CD⊥CE，推出AE⊥CD，得到CD⊥平面ACE，推出CD⊥EQ，EQ⊥AC，即可证明EQ⊥平面ACD，得到EQ⊥AD，推出BE⊥AD然后证明AD⊥平面BEQ．(3)过M作MH⊥BE，过H作HG⊥CE，连结MG，说明∠MGH为二面角M−CE−B的平面角，设AMAB=λ，然后转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法与应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，中档题．。