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数学辅助线做法技巧初中
数学辅助线是初中数学教学中常用的一种画图方法，可以帮助学生更好地理解和掌握各种数学概念和计算方法。
以下是数学辅助线做法技巧的一些要点：
1. 准确选择辅助线：在做题前，需要仔细分析题目要求和给定条件，准确选择适合的辅助线。
一般来说，辅助线的作用是使问题简化、明了，因此应当选择能够达到这一目的的辅助线。
2. 画图精细：辅助线的画法需要精细，尽量避免出现误差和混淆。
画线时建议使用铅笔轻轻勾画，检查无误后再用黑色笔进行加粗。
3. 辅助线的使用顺序：通常情况下，先画出重要的线条，如角平分线、垂线等，然后再考虑是否需要添加其他的辅助线。
4. 计算过程中注意标注：在使用辅助线进行计算时，需要注意清晰标注各个线段的长度、角度大小等信息，以方便后续的计算和验证。
5. 练习熟练度：数学辅助线是需要经验和技巧的，需要多进行练习和掌握。
可以通过做题、模拟考试等方式提高熟练度。
总之，数学辅助线是初中数学教学中重要的画图方法，能够帮助学生更好地理解和掌握各种概念和计算方法。
在使用辅助线时，需要准确选择、精细画图、注意标注、按顺序使用，同时也需要进行反复训练和提高熟练度。
初中数学作辅助线的方法在数学中，辅助线是指在解题过程中，为了更加清晰地理解和解答问题，而额外添加的辅助线条。
辅助线能够帮助我们识别几何形状的性质、简化题目、发现问题的特点，进而解决问题。
下面将介绍一些初中数学中常用的辅助线的方法。
1.直线的辅助线：1.1利用等角性质：当一道题目中出现两条或多条直线之间存在相等角度的关系时，可以通过画一条平行于其中一条直线的辅助线，从而使问题更加清晰。
例如，当一道题目中有两条平行线上辅助线之间的交角等于已知夹角时，我们可以通过画一条与两条线垂直的辅助线，从而找到问题的解决方法。
1.2利用中点性质：当一道题目中出现一个直线段上存在中点的情况时，可以通过连接这个中点和其它的点，并利用中点将辅助线分成两等分的方式，简化问题。
例如，当一道题目中需要证明一个线段平分另一个线段时，可以通过在两个线段的中点之间画一条辅助线，从而将问题转化为证明两个等腰三角形。
2.圆的辅助线：2.1利用相切性质：当一道题目中出现一个圆和另一个圆间存在相切的情况时，可以通过在两个圆的相切点处引出切线，并连接相切点和圆心的辅助线来简化问题。
例如，当一道题目中有两个圆相切于一个点，需要求证两个圆的半径之比时，可以通过连接两个圆心之间的辅助线，并利用切线及其垂直性质来求解。
2.2利用内接性质：当一道题目中出现一个圆内接于一个图形的情况时，可以通过在圆和图形的交点处引出辅助线，并利用内接四边形的特点来简化问题。
例如，当一道题目中有一个圆内切于一个正方形，需要证明半径与正方形边长之比时，可以通过连接正方形的对角线并利用内接四边形的性质来证明。
3.三角形的辅助线：3.1利用中位线性质：当一道题目中有一个三角形的中位线时，可以通过连接三角形的中位线两端点与对应边上其他点的辅助线，来简化问题。
例如，当一道题目中需要证明两个三角形形状相似时，可以通过连接两个三角形的中位线，然后利用垂直性质来证明。
3.2利用高线性质：当一道题目中有一个三角形的高线时，可以通过连接三角形的高线两端点与对应边上其他点的辅助线，来简化问题。
初中数学做辅助线的方法总结
在初中数学中，做辅助线是解题的重要方法之一。
以下总结了几
种常见的做辅助线的方法：
1. 对称性辅助线法：当一个图形或方程式具有对称性时，可以
画出一条对称轴或一些对称线，从而利用对称性来简化问题。
例如，
在求三角形的中线长度相等定理时，可以描绘出三角形的垂直平分线，并在中点处作垂线，得到两个相等的直角三角形。
2. 垂线辅助线法：当一个角、线段或线段的垂线很难直接操作时，可以画出一条垂线，将问题转化为一个直角三角形问题。
例如，
在求一条线段的垂线长度时，可以先画出一条垂线与该线段相交，并
组成一个直角三角形。
3. 平移辅助线法：当一个几何图形或方程式涉及到平移时，可
以通过向图形或方程式添加平移线或平移量来使问题变得简单。
例如，在证明平行四边形对角线平分的定理时，可以平移一个平行四边形，
使其成为一个重合的平行四边形，从而使问题变得简单。
4. 分割辅助线法：当一个图形或方程式很复杂时，可以通过将
其分解成几个简单的部分来解题。
例如，在求多边形面积时，可以将
多边形分割成几个三角形或梯形，并将它们的面积相加，从而得到多
边形的面积。
总之，做辅助线的方法不只有以上四种，还可以根据具体问题的
不同情况选用其他的方法。
需要注意的是，在使用辅助线时，要注意
画出清晰的图形，并理解各种辅助线的作用，才能有效地解决问题。
初中数学140分以上必须掌握的几何辅助线技巧!2024-7-15初中数学140分以上必须掌握的几何辅助线技巧!2024-7-15初中数学中的几何辅助线技巧对于学生的几何学习和解题能力提升起着重要的作用。
下面是几个学生在几何学习中必须掌握的几何辅助线技巧。
1.画平行线或垂直线：如果需要在图中画平行线或垂直线，可以通过画出等边三角形、等腰三角形、射影三角形等辅助图形来实现。
这样可以帮助我们快速准确地画出平行线或垂直线，进而解决相关问题。
2.画等分线：在一些情况下，我们需要将直线或角度等分为若干等分段。
此时，可以利用相似三角形、等腰三角形等来辅助，画出所需的等分线。
3.绘制三角形的内接圆和外接圆：对于给定的三角形，通过画出三角形的边中垂线、中位线等来确定三角形的内接圆或外接圆。
这样可以帮助我们了解三角形的性质，进而解决相关问题。
4.利用相似三角形解决问题：当我们需要求解一个三角形的边长或角度时，可以利用相似三角形的性质，通过比例关系来求解。
这样可以简化问题的解法，提高解题效率。
5.利用棱台的剖面图：对于给定的棱台，我们可以利用棱台的剖面图，通过画出有关截面图形的辅助线，来解决相关问题。
这样可以帮助我们更好地理解和分析棱台的性质。
6.利用圆锥的剖面图：对于给定的圆锥，我们可以通过画出圆锥的剖面图，辅助我们解决相关问题。
例如，通过画出圆锥的截面图，可以确定截面的形状和性质，进而解决有关圆锥的问题。
7.辅助线的选取：在解决几何问题时，辅助线的选取非常重要。
合理的选择辅助线能够帮助我们简化问题，找到解题的关键。
一般来说，我们可以通过观察图形特点，以及结合已有的几何知识来选择合适的辅助线。
总的来说，几何辅助线技巧是初中数学中非常重要的一部分，能够帮助学生更好地理解和解决几何问题。
通过掌握这些技巧，学生能够提高几何解题的能力和效率，取得更好的学习成绩。
所以，学生在学习几何的过程中，应该重点掌握这些几何辅助线技巧，灵活运用于解题中。
七年级数学辅助线知识点摘要：一、引言二、辅助线的概念与作用1.辅助线的定义2.辅助线的作用三、辅助线的画法1.基本画法2.常见图形中的辅助线四、辅助线在几何问题中的应用1.证明问题2.计算问题五、辅助线在函数问题中的应用1.函数图象的绘制2.函数性质的证明六、总结与展望正文：一、引言辅助线是七年级数学中一个重要的知识点，它对解决几何和函数问题有着关键的作用。
本文将对辅助线的概念、画法和在各类问题中的应用进行详细的阐述。
二、辅助线的概念与作用1.辅助线的定义辅助线是指在几何图形中，为了方便计算和证明而引入的一条非已知线段。
辅助线可以帮助我们更好地理解图形的性质，找到解决问题的方法。
2.辅助线的作用辅助线的主要作用有以下几点：（1）通过辅助线，可以改变问题的叙述方式，使得问题更易于理解。
（2）辅助线可以将已知条件进行合理地转换，从而简化问题。
（3）辅助线可以用来表示图形的隐含性质，帮助我们更好地分析问题。
三、辅助线的画法1.基本画法辅助线的画法并没有固定的规则，但通常可以根据以下几点进行操作：（1）从已知点、线、角出发，按照一定的方向和长度画出辅助线。
（2）在图形的关键位置，如交点、中点、顶点等处作辅助线。
（3）根据已知条件，尽量选择与已知图形平行或垂直的辅助线。
2.常见图形中的辅助线在各种常见图形中，辅助线的画法也有所不同：（1）在平行四边形中，辅助线可以用来证明对角线相等或平分。
（2）在矩形中，辅助线可以用来证明对角线相等或垂直。
（3）在等腰三角形中，辅助线可以用来证明底边中线等于高线。
四、辅助线在几何问题中的应用1.证明问题辅助线在几何证明中有着广泛的应用，如全等三角形的证明、相似三角形的证明等。
通过画辅助线，可以将已知条件进行转换，使得问题变得更容易解决。
2.计算问题在几何计算问题中，辅助线也有很重要的作用。
通过辅助线，可以更方便地计算图形的面积、周长、角度等。
五、辅助线在函数问题中的应用1.函数图象的绘制在函数问题中，辅助线可以帮助我们更准确地绘制函数图象，从而更好地理解函数的性质。
初中几何辅助线技巧
一、画圆
1、通过一点和半径弧线
(1)以其中一个点O为圆心，使用一个圆规将点O的坐标锁定，之后以笔触拉出半径的弧线来作圆。
(2)通过拉出2条切线，使圆的圆心两边都有正确的半径。
2、通过三点画圆
(1)首先准备三个点A、B、C，遵循“连AB及BC的中点与圆的圆心重合”的原则，先将A、B、C三点连线，找出AB和BC两条线段的中点，这两个中点就是圆的圆心O了。
(2)圆心O锁定后，再分别用圆规拉出离圆心O有正确半径的弧线。
二、画直线
1、用规则
(1)使用直尺保持直线的整洁程度，把两个点的坐标连起来，使用反射法实现直线两端的平行。
(2)用圆规拉出两点的中点，再以这个中点连接两点的坐标，画成一条直线。
(3)使用两点式的方法，输入两个点的横纵坐标，然后根据y=kx+b的方程式，连接两个点的坐标，得到一条直线。
2、使用辅助线
(1)画等边三角形，两个点通过等边三角形垂线来画出一条直线。
(2)画正方形，两个点通过正方形的对角线画出一条直线。
(3)圆内外六种角，两个点通过圆内外六种角画出一条直线。
三、画角
1、用圆规
(1)将圆规放置在锐角处，拉出一条线，此线段的角度就是锐角的角度了。
(2)如果需要画出钝角。
巧添辅助线解证几何题在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。
值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。
下面我们分别举例加以说明。
[例题解析]一、倍角问题例1：如图1，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。
求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，可利用三角形角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。
证法一：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC）=90°-12∠BAC。
∵BD⊥AC于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)=12∠BAC即∠DBC=12∠BAC分析二：∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC=½∠BAC”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把½∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。
证法二：如图2，作AE⊥BC于E，则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC∵BD⊥AC于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）即∠DBC=12∠BAC。
证法三：如图3，在AD上取一点E，使DE=CD连接BE∵BD⊥AC∴BD是线段CE的垂直平分线∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C∵AB=AC∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C∴∠EBC=∠BAC∴∠DBC=12∠BAC说明：例1也可以取BC中点为E，连接DE，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。
完整)初中数学几何辅助线技巧
几何常见辅助线口诀
三角形
在三角形中，可以使用角平分线来构造垂线，也可以将图形对折以后进行对称，从而得到更多的关系。
同时，角平分线还可以和平行线一起使用，来构造等腰三角形。
另外，在线段问题中，垂直平分线常常被用来将线段连接起来，而线段和差的问题可以通过延长或缩短线段来解决。
四边形
在处理平行四边形时，可以使用对称中心和等分点来进行计算。
对于梯形问题，可以将其转换为三角形或平行四边形，然后利用已有的知识来解决。
如果出现腰中点，可以连接中位线来解决问题。
如果以上方法都无法奏效，可以尝试使用全等来解决问题。
在证明相似时，可以使用比例和平行线的关系来辅助证明。
圆形
在圆形问题中，可以利用半径和弦长来计算弦心距。
如果出现切线，可以使用勾股定理来计算其长度。
要想证明一条线段是切线，需要利用半径垂线进行辨别。
在处理弧的问题时，需要记住垂径定理和圆周角的性质。
如果要作出内接或外接圆，需要将各边的中垂线或角平分线连起来。
如果遇到相交圆，需要注意作出公共弦。
最后，如果要证明等角关系，可以使用角平分线来构造辅助线。
由角平分线想到的辅助线
在使用角平分线时，可以通过截取构造全等来解决问题。
也可以在角分线上的点向两边作垂线，来构造全等三角形。
同时，三线合一也可以用来构造等腰三角形。
最后，在处理角平分线和平行线问题时，可以使用线段的加减和移动来解决问题。
初中几何是学生学习几何知识的基础阶段，掌握正确的辅助线技巧对于解决几何问题至关重要。
下面是一份关于初中几何中常用的辅助线方法的资料，希望能帮助到您。
一、基本概念辅助线：在解决几何问题时，为了更好地展现图形的性质或构建所需的条件，临时添加的线段称为辅助线。
辅助线不改变原图形的基本结构，但能帮助我们发现解题的关键线索。
二、常用辅助线方法1. 过顶点作垂线●应用场景：证明直角、等腰三角形的性质，求解高、距离等问题。
●示例：证明一个三角形是直角三角形时，可以尝试从一个顶点向对边作垂线，利用勾股定理。
2. 连接中点●应用场景：证明线段倍长、中位线性质、平行四边形和梯形的构造。
●示例：证明两条线段相等时，连接它们的中点，利用中位线定理。
3. 平行线构造●应用场景：形成相似三角形、构造平行四边形、证明角度关系。
●示例：为证明两个角相等，可以在其中一个角的一边上作一条平行于另一角所在直线的辅助线，从而构成一对内错角或同位角。
4. 过顶点作平行线●应用场景：构造全等三角形、证明角平分线性质。
●示例：证明两角相等时，可以从一个角的顶点出发作一条平行于另一个角一边的线，这样可以构造出一组等角的三角形。
5. 延长线段●应用场景：寻找共线点、证明交比不变、构造平行线。
●示例：当需要证明四点共线时，延长某些线段，利用交叉线段的比值相等来证明。
6. 作角平分线或垂直平分线●应用场景：证明等腰三角形、等边三角形性质，解决与圆相关的几何问题。
●示例：证明一个点在三角形某边的垂直平分线上，可以过该点作这条边的垂线，利用垂直平分线的性质。
三、技巧总结1.观察图形特征：首先分析图形的已知条件和所求目标，根据图形的特殊形状或已知条件选择合适的辅助线方法。
2.尝试多种方案：有时候，一种辅助线方法可能不足以解决问题，需要尝试几种不同的方法。
3.灵活运用定理：熟练掌握各种几何定理，并能灵活应用到辅助线的构造中。
4.练习与总结：多做练习，每次解题后总结辅助线的使用经验，逐步提高解题效率。
初中数学辅助线应用技巧总结数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，而辅助线是在解决数学问题时起到辅助作用的直线。
学会灵活运用辅助线可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
本文将总结几种初中数学辅助线的应用技巧。
一、应用技巧1：利用垂直线垂直线是辅助线中最常见的一种。
在解决几何问题时，垂直线可以帮助我们确定几何图形的性质。
例如，在求解平面几何问题时，我们可以利用垂直线来证明两条直线垂直。
在作图时，通过画出垂直线可以辅助我们队几何图形进行分析。
二、应用技巧2：运用平行线平行线也是常用的辅助线之一。
在解决平面几何问题时，可以利用平行线的特性来求解未知角度、边长或形状。
例如，当我们需要求解两条直线平行时，可以通过与这两条直线交叉的另一条直线来构造平行线，从而帮助我们解决问题。
三、应用技巧3：利用等腰三角形等腰三角形是一个重要的几何图形，其辅助线的运用可以帮助我们解决关于三角形的问题。
例如，在求解三角形的面积或者角度时，我们可以构造等腰三角形，从而简化问题的解决。
另外，等腰三角形的对称性质也在解决证明问题时起到重要作用。
四、应用技巧4：利用垂直平分线垂直平分线是连接线段的中点并垂直于该线段的直线。
在解决几何问题时，利用垂直平分线可以帮助我们证明角的相等、线段的相等以及几何图形的对称性质。
例如，当我们需要证明一个四边形是矩形时，可以利用垂直平分线来证明其中的两个角相等。
五、应用技巧5：利用相似三角形相似三角形是指形状相似但大小不同的三角形。
在解决几何问题时，我们可以通过构造相似三角形来求解未知边长或者角度。
例如，在利用勾股定理求解三角形问题时，常常需要使用相似三角形的性质进行推导和证明。
六、应用技巧6：使用角平分线角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。
在解决几何问题时，角平分线可以帮助我们证明角的相等或者构造特定的几何图形。
例如，在求解两个角相等时，可以通过画出角平分线来帮助我们得出证明结果。
七、应用技巧7：利用直行线直行线是指两条相交直线间的形成的四个角中有两个是相等的。
巧添辅助线 解证几何题在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。
值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。
下面我们分别举例加以说明。
[例题解析]一、倍角问题 例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC,BD ⊥AC 于D 。
求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C ，可利用三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。
证法一：∵在△ABC 中，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC ）=90°-12∠BAC 。
∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)= 12∠BAC 即∠DBC=12∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把½∠A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。
证法二：如图2，作AE ⊥BC 于E ，则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC （同角的余角相等）即∠DBC=12∠BAC 。
证法三：如图3，在AD 上取一点E ，使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=12∠BAC 说明：例1也可以取BC 中点为E ，连接DE ，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰例2、如图4，在△ABC 中，∠A=2∠B求证：BC 2=AC 2+AC •AB分析：由BC 2=AC 2+AC •AB= AC （AC+AB ），启发我们构建两个相似的三角形，且含有边BC 、AC 、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知， 构建以AB 为腰的等腰三角形。
证明：延长CA 到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA ∵∠BAC 是△ABD 的一个外角 ∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D ∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C ∴△ABC ∽△BDC ∴AC BCBC CD=∴BC 2=AC •CD AD=AB∴BC 2= AC （AC+AB ）=AC 2+AC •AB二、 中点问题例3．已知：如图，△ABC 中，AB=AC,在AB 上取一点D ，在AC 的延长线上取一点E,连接DE 交BC 于点F,若F 是DE 的中点。
求证：BD=CE分析：由于BD 、CE 的形成与D 、E 两点有关，但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以 关系不明显，由于条件F 是DE 的中点，如何利用这个中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。
由已知AB=AC,联系到当过D 点或E 点作平行线，就可以形成新 的图形关系——构成等腰三角形，也就是相当于先把BD 或CE 移动一下位置，从而使问题得解。
证明：证法一：过点D 作DG ∥AC,交BC 于点G （如上图） ∴∠DGB=∠ACB, ∠DGF=∠FCE ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠B=∠DGB ∴BD=DG ∵F 是DE 的中点 ∴DF=EF在△DF G 和△DEFC 中，DFG= EFC DGF= FCE DF=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△DF G ≌EFC∴DG=CE ∴BD=CEABCEGDFCAB证法二：如图，在AC 上取一点H,使CH=CE,连接DH ∵F 是DE 的中点∴CF 是△EDH 的中位线 ∴DH ∥BC∴∠ADH=∠B, ∠AHD=∠BCA ∵AB=AC ∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD ∴AD=AH ∴AB-AD=AC-AH ∴BD=HC∴BD=CE说明：本题信息特征是“线段中点”。
也可以过E 作EM ∥BC,交AB 延长线于点G ，仿照证法二求解。
例4．如图，已知AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，且E 是BC 的中点 求证：AD=AB+CD证法一：延长AE 交DC 延长线于F ∵AB ∥CD ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF ∵E 是BC 的中点 ∴BE=CE 在△ABE 和△CEF 中BAE= F B= ECF BE=CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABE ≌△CEF ∴AB=CF∵AE 平分∠ABD ∴∠BAE=∠DAE ∴∠DAE=∠F ∴AD=DF ∵DF=DC+CF CF=AB ∴AD=AB+DC证法二：取AD 中点F ，连接EF ∵AB ∥CD ，E 是BC 的中点 ∴EF 是梯形ABCD 的中位线∴EF ∥AB , EF=12（AB+CD ）∴∠BAE=∠AEF ∵AE 平分∠BAD ∴∠BAE=∠FAE ∴∠AEF=∠FAE ∴AF=EF ∵AF=DF∴EF=AF=FD=12AD ∴12 (AB+CD)= 12ADAB CD HEF A B CEFDA BCEF三．角平分线问题 例5．如图（1），OP 是∠MON 的平分线，请你利用图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。
（1） 如图（2），在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F,请你判断并写出EF 与FD 之间的数量关系。
（2） 如图（3），在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
分析：本题属于学习性题型。
这类题型的特点是描述一种方法，要求学生按照指定的方法解题。
指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形。
解：（1）EF=FD （2）答：（1）结论EF=FD 仍然成立理由：如图（3），在AC 上截取AG=AE,连接FG 在△AEF 和△AGF 中，AE=AG EAF= FAG AF=AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEF ≌△AGF∴EF=GF, ∠EFA=∠GFA可得∠FAG+∠FCA=60° ∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60° ∴∠GFC=60°在△CFG 和△CFD 中GFC= DFC CF=CF DCE= ACE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△CFG ≌△CFD ∴FG=FD 又因为EF=GF ∴EF=FD说明：学习性问题是新课程下的新型题，意在考查学生现场学习能力和自学能力。
抛开本题要求从角平分线的角度想，本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的。
解法二：（2）答（1）中的结论EF=FD 仍然成立。
理由：作FG ⊥AB 于G,FH ⊥AC 于H,FM ⊥BC 于M ∵∠EAD=∠DAC ∴FG=FH∵∠ACE=∠BCE ∴FH=FG∵∠B=60° ∴∠DAC+∠ACE=60° ∴∠EFD=∠AFC=180°- 60°=120°在四边形BEFD 中 ∠BEF+∠BDF=180°∵∠BDF+∠FDC=180° ∴∠FDC =∠BEF 在△EFG 和△DFM 中FDC = BEF EGF= DMF=90FG=FM ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴EFG ≌△DFM ∴EF=DF四、线段的和差问题例6 如图，在△ABC 中，AB=AC,点P 是边BC 上一点，PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M,试探究线段PD 、PE 、CM 的数量关系，并说明理由。
分析：判断三条线断的关系，一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系，通过测量猜想PD+PE=CM.分析：在CM 上截取MQ=PD ，得□PQMD,再证明CQ=PE 答：PD+PE=CM证法一：在CM 上截取MQ=PD ，连接PQ. ∵CM ⊥AB 于M, PD ⊥AB 于D∴∠CMB=∠PDB=90°∴CM ∥DP∴四边形PQMD 为平行四边形∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B ∵AB=AC ∴∠B=∠ECP ∴∠QPC=∠ECP ∵PE ⊥AC 于E ∴∠PEC=90°在△PQC 和△PEC 中PQC= PEC QPC= ECP PC=PC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△PQC ≌△PEC ∴QC=PE ∵MQ=PD ∴MQ+QC=PD+PE ∴PD+PE=CM分析2：延长DF 到N 使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM, 再证明PN=PE证法2：延长DF 到N ，使DN=CM ，连接CN同证法一得平行四边形DNCM ，及△PNC ≌△PEC ∴PN=PE ∴PD+PE=CM分析3：本题中含有AB=AC 及三条垂线段PD 、DE 、CM ， 且PABPACABCSSS+=，所以可以用面积法求解。
证法三：连接AP,∵PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M ∠PQC=∠PEC ∠QPC=∠ECP PC=PC ∴121212ABPACPABCS AB PD S AC PE SAB CM =•=•=• ∵AB=AC 且PABPACABCSSS+=∴1112220AB PD AB PE AB CM AB PD PE CM•+•=•≠∴+= 说明：当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解。
FEDCBA五、垂线段问题例7 在平行四边形ABCD 中，P 是对角线BD 上一点，且,,PE AB PF BC ⊥⊥垂足分别是E 、F求证：AB PF BC PE=分析：将比例式AB PF BC PE=转化为等积式AB PE BC PF •=•，联想到AB PE BC PF•=•1122， 即△PAB 与△PBC 的面积相等，从而用面积法达到证明的目的。
证明：连接AC 与BD 交于点O,连接PA 、PC 在平行四边形ABCD 中，AO=COAOBBOCSS∴=同理，AOPCOP AOBAOPBOCCOPPAB PBCS S SS SSSS=∴-=-=∵,,PE AB PF BC ⊥⊥,11221122PAB PBC SAB PE S BC PF AB PE BC PF AB PE BC PF AB PFBC PE∴=•=•∴•=•∴•=•∴=例8求证：三角形三条边上的中线相交于一点。
