(中考数学复习教案) 18二次函数的应用 课时18二次函数的应用

《二次函数的应用》导学案九年级数学一、教学目标：能根据实际问题中的条件确定二次函数的关系式，并利用二次函数的性质来解决实际问题。

二、教学重难点：重点：由实际问题的条件确定二次函数的解析式难点：从现实问题中建立二次函数模型三、教学过程：（一）、有关利润问题：1、某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?（二）、形积变化问题（运动观点）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s 的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．（三）、巩固训练1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2、一养鸡专业户计划用116 m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大?最大为多少?3、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．并求出x为何值时，四边形面积最大4、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－x2＋4表示．（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？。

二次函数中考复习专题教案第一章：二次函数的基本概念1.1 二次函数的定义解释二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c强调a、b、c系数的含义和作用1.2 二次函数的图像介绍二次函数图像的特点：开口方向、顶点、对称轴、与y轴的交点等利用图形软件绘制几个典型二次函数的图像，让学生观察和分析1.3 二次函数的性质讨论二次函数的增减性、对称性、周期性等性质引导学生通过图像理解二次函数的性质第二章：二次函数的顶点式2.1 顶点式的定义解释顶点式：y = a(x h)^2 + k强调顶点(h, k)对二次函数图像的影响2.2 利用顶点式求解二次函数的图像和性质引导学生通过顶点式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用顶点式求解最值问题2.3 顶点式的应用讨论顶点式在实际问题中的应用，如抛物线运动、几何问题等给出几个实际问题，让学生运用顶点式解决第三章：二次函数的解析式3.1 解析式的定义解释二次函数的解析式：y = ax^2 + bx + c强调解析式与顶点式的关系3.2 利用解析式求解二次函数的图像和性质引导学生通过解析式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用解析式求解最值问题3.3 解析式的应用讨论解析式在实际问题中的应用，如物理、化学等领域的方程求解给出几个实际问题，让学生运用解析式解决第四章：二次函数的图像与性质4.1 图像与性质的关系讨论二次函数图像与性质之间的关系引导学生通过图像判断二次函数的性质4.2 开口方向与a的关系解释开口方向与a的关系：a > 0时开口向上，a < 0时开口向下举例说明如何通过开口方向判断二次函数的性质4.3 对称轴与顶点的关系解释对称轴与顶点的关系：对称轴为x = h举例说明如何通过对称轴判断二次函数的性质第五章：二次函数的实际应用5.1 实际应用的基本形式讨论二次函数在实际应用中的基本形式举例说明如何将实际问题转化为二次函数问题5.2 利用二次函数解决实际问题引导学生运用二次函数解决实际问题，如最值问题、优化问题等给出几个实际问题，让学生运用二次函数解决5.3 实际应用的拓展讨论二次函数在其他领域的应用，如经济学、生物学等引导学生思考如何将二次函数应用于解决其他实际问题第六章：二次函数的综合应用6.1 二次函数与线性函数的组合解释二次函数与线性函数组合的形式，如y = ax^2 + bx + c 与y = dx + e 的组合强调组合函数的图像和性质6.2 利用综合应用解决实际问题引导学生运用综合应用解决实际问题，如函数交点问题、不等式问题等给出几个实际问题，让学生运用综合应用解决6.3 综合应用的拓展讨论综合应用在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将综合应用应用于解决其他实际问题第七章：二次函数与不等式7.1 二次不等式的定义解释二次不等式的形式，如ax^2 + bx + c > 0强调解二次不等式的方法和步骤7.2 利用图像解决二次不等式问题引导学生通过图像解决二次不等式问题，如找出不等式的解集举例说明如何利用图像解决实际问题7.3 二次不等式的拓展讨论二次不等式在其他领域的应用，如经济学、工程学等引导学生思考如何将二次不等式应用于解决其他实际问题第八章：二次函数的最值问题8.1 二次函数最值的概念解释二次函数最值的概念，如最大值、最小值强调最值与对称轴、顶点的关系8.2 利用顶点式求解最值问题引导学生通过顶点式求解二次函数的最值问题举例说明如何利用顶点式求解实际问题中的最值8.3 最值问题的拓展讨论最值问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将最值问题应用于解决其他实际问题第九章：二次函数与几何问题9.1 二次函数与几何图形的关系解释二次函数与几何图形的关系，如圆、椭圆、抛物线等强调二次函数在几何问题中的应用9.2 利用二次函数解决几何问题引导学生运用二次函数解决几何问题，如求解三角形面积、距离问题等举例说明如何利用二次函数解决实际问题中的几何问题9.3 几何问题的拓展讨论几何问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将几何问题应用于解决其他实际问题第十章：二次函数的综合训练10.1 综合训练的目的强调综合训练的重要性，提高学生对二次函数知识的综合运用能力引导学生通过综合训练巩固所学知识10.2 综合训练的内容设计几个综合训练题目，包括不同类型的二次函数问题，如图像分析、性质判断、实际应用等让学生在规定时间内完成综合训练题目给予学生综合训练的反馈，指出错误和不足之处重点和难点解析1. 第一章中二次函数的基本概念：理解二次函数的一般形式和系数含义是学习二次函数的基础，对于图像的特点和性质的理解也是解决复杂问题的关键。

图18－7 (1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值 范围)；
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浙派名师中考 (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 解：(1)把x＝0，y＝2，及h＝2.6代入到y＝a(x－6)2＋h中，
B．4 s
C．3 s
D．2 s
B
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浙派名师中考 B
图18－1
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4．(2013·宁波)如图18－2所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3，0)，下列结论
中，正确的一项是
( D )
图18－2 A．abc<0 B．2a＋b<0 C．a－b－c<0 D．4ac－b2<0
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5．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成 的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图18－3所示)， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )
函数图象得
∴函数关系式为y＝－x＋180.
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(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是 商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最 大，最大利润是多少？ 解： W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180) ＝－x2＋280x－18 000 ＝－(x－140) 2＋1 600， 当售价定为140元，W最大＝1 600. ∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元．

中学数学二次函数的应用教案一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式及其性质；2. 掌握二次函数在现实生活中的应用，包括抛物线的运动轨迹和最值问题；3. 能够运用二次函数解决生活中的实际问题。

二、教学重难点1. 重点：二次函数的性质、抛物线的运动轨迹；2. 难点：运用二次函数解决实际问题。

三、教学准备1. 教材《中学数学》教材；2. 平面坐标系的展示工具；3. 课件及多媒体设备。

四、教学过程步骤一：导入1. 通过展示一张图片或视频，呈现一个抛物线的实例，引发学生们对抛物线的兴趣与思考。

步骤二：概念讲解1. 引导学生回顾二次函数的定义，与线性函数进行对比，概括二次函数的一般形式：$y = ax^2 + bx + c$；2. 分析二次函数的图像特点，强调抛物线的开口方向和顶点坐标的意义。

步骤三：性质解析1. 讲解二次函数的基本性质，包括对称轴、顶点、最值等的定义和计算方法；2. 通过具体例题演示，让学生掌握如何计算二次函数的对称轴、顶点和最值。

步骤四：案例分析1. 通过真实生活中的案例，如抛物线的喷泉、运动物体的轨迹等，展示二次函数的应用；2. 引导学生发现并分析这些案例中的数学模型，启发学生运用二次函数解决实际问题的能力。

步骤五：实际问题解决1. 设计一些实际问题，让学生自主思考并运用二次函数解决；2. 鼓励学生进行合作讨论，互相交流解题思路和方法。

步骤六：总结1. 提醒学生再次回顾二次函数的概念和性质，总结本节课所学内容；2. 强调二次函数的应用场景，并展望下节课的学习内容。

五、教学扩展1. 培养学生的动手能力，让学生自己使用计算机或绘图工具绘制二次函数的图像；2. 扩展学生的数学思维，引导他们进一步探索二次函数与其他函数之间的关系，如指数函数、对数函数等。

六、课堂作业1. 练习册相关习题完成；2. 鼓励学生运用二次函数解决自己遇到的实际问题。

七、教学反思本节课通过引入实际案例和问题，将抽象的二次函数概念与现实生活联系起来，提高了学生的学习兴趣和应用能力。

第三单元 第18课时 二次函数的应用知识点回顾：1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象和性质、顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与x 轴两交点间的距离？ 2.各类二次函数顶点位置与a 、b 、c 的关系：(顶点在x 轴上、y 轴上、原点、经过原点) 3、求二次函数解析式的方法：4、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的最大(或最小)值？ 知识点一：求二次函数的解析式例1.（18兰州）农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图所示，则需要塑料布（m2）与半径（（不考虑塑料埋在土里的部分） ．③交点式来求解析式。

答案：同步检测：1、（18庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立图（1） 图（2）平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x =答案：C2、（18芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为(10)A -，，(0B ，(00)O ，，将此三角板绕原点O 顺时针旋转90°得到A B O ''△，一抛物线经过点A B B '、、，求该抛物线解析式。

答案：∵抛物线过(10)A B -，，设抛物线的解析式为(1)(0)y a x x a =+≠．又∵抛物线过(0B ，将坐标代入上解析式得：3)a a =⨯-=-·，．(1)3)y x ∴=-+-． 即满足条件的抛物线解析式为21)y x x =-+知识点二：利用二次函数的顶点式求最值二次函数y ＝ax2＋bx ＋c ＝0，当x ＝2a b-时，a 4b ac 4y 2-=最大（小）值例2.（18浙江台州）如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高 度（单位：米）与小球运动时间（单位：秒）的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度 ．分析：将化为顶点式即可求最大高度答案：4.9米 同步检测：1、（18内江）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是 2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米． 答案：0.52、(18哈尔滨）小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S （单位：平方米）随矩形一边长x （单位：米）的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？ 答案：（1）根据题意，得2602302xS x x x -==-+ 自变量x 的取值范围是030x <<（2）10a =-<，S ∴有最大值301522(1)b x a ∴=-=-=⨯- 2243022544(1)ac b S a --===⨯-最大∴当15x =时，225S =最大答：当x 为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米知识点三：根据二次函数图像上某些点坐标解决有关问题例3.(18襄樊)如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是m ．分析：推出的距离转化为数学上的求y=0时的x 的值（取正值） 答案：10 同步检测：1、（18庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y （元/平方米）随楼层数x （楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x ，y ）都在一个二次函数的图像上（如图所示），则6楼房子的价格为 元/平方米． 答案：2180；2、（18江西）某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数2120y x =（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ）A ．40 m/sB ．20 m/sC ．10 m/sD ．5 m/s答案：C知识点四：根据二次函数图像和性质解决销售利润问题例4、(18青岛）某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式3368y x =-+，而其每千克成本2y与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．（1）试确定b c 、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？分析：（1）由题意：将（3，25）、（4，24）两点坐标代入可得：22125338124448b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩解得7181292b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （2）理解利润的正确意义：12y y y =- 23115136298882x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭21316822x x =-++（3）21316822y x x =-++2111(1236)46822x x =--+++21(6)118x =--+∵108a =-<，∴抛物线开口向下，在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．由题意5x <，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大． 最大利润211(46)111082=--+=（元）． 同步检测：1、（18莆田）出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出()6x -个，则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大． 答案：32、（18包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．答案：解：（1）根据题意得65557545.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1120k b =-=，．所求一次函数的表达式为120y x =-+．（2）(60)(120)W x x =--+21807200x x =-+-2(90)900x =--+， 抛物线的开口向下，∴当90x <时，W 随x 的增大而增大，而6087x ≤≤，∴当87x =时，2(8790)900891W =--+=．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由500W =，得25001807200x x =-+-，整理得，218077000x x -+=，解得，1270110x x ==，．由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而6087x ≤≤，所以，销售单价x 的范围是7087x ≤≤ 知识点五：根据二次函数图像和性质解决最佳方案问题例5.(18新疆)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m ，抛物线拱高为5.6m ．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式． （2）现需在抛物线AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB 上，每扇窗户宽1.5m ，高1.6m ，相邻窗户之间的间距均为0.8m ，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m ．请计算最多可安装几扇这样的窗户？分析：（1）可设抛物线的表达式为2y ax =，过点(6 5.6)B -，． ∴可得745a =-∴抛物线的表达式为2745y x =- （2）设窗户上边所在直线交抛物线于C 、D 两点，D 点坐标为（k ，t ）已知窗户高1.6m ，∴ 5.6( 1.6)4t =---=- ∴27445k --=125.07 5.07k k -≈，≈（舍去）∴ 5.07210.14CD =⨯≈（m ） 又设最多可安装n 扇窗户∴1.50.8(1)10.14n n ++≤ ∴ 4.06n ≤ ∴最多可安装4扇窗户． 同步检测：（18长春）如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）解：（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为由已知：当时即表达式为（或）（2）令（舍去）．足球第一次落地距守门员约13米．3分（3）如图，第二次足球弹出后的距离为，根据题意：（即相当于将抛物线向下平移了2个单位）解得3分（米）．∴他应再向前跑17米． 随堂检测1、(18恩施). 将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大（ ）A. 7B. 6C. 5D.42、用长为8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是 ( ) A2564m 2B 34m 2C 38m 2 D 4m 23、（18吉林长春）某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为 元时，获得的利润最多.4、(18武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？5、（18金华）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋0.9. （1）求该抛物线的解析式；（2）如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，华的身高；·AOBD EFy（3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时超过．．她的头顶,请结合图像,写出t的取值范围 .6、（18兰州）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图6-1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图6-2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．x7、（18四川巴中）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线21855y x x =-+，其中y （m ）是球的飞行高度，x （m ）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ． （1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离．（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．8、（18黄冈）新星电子科技公司积极应对2018年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y 与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线2y x x=-+-的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，5205123010，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？9、（18南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.18万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？9题图10、（18日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．△EMN的面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．随堂检测参考答案1、C2、C3、704、：（1）2(21010)(5040)101102100y x x x x =-+-=-++（015x <≤且x 为整数）；（2）210( 5.5)2402.5y x =--+．100a =-<，∴当 5.5x =时，y 有最大值2418.5．015x <≤，且x 为整数，当5x =时，5055x +=，2400y =（元），当6x =时，5056x +=，2400y =（元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当2200y =时，21011021002200x x -++=，解得：12110x x ==，．∴当1x =时，5051x +=，当10x =时，5060x +=．∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）5、（1）由题意得点E （1,1.4）, B(6,0.9), 代入y =ax 2+bx +0.9得 0.9 1.43660.90.9a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得 0.10.6a b =-⎧⎨=⎩∴所求的抛物线的解析式是y =－0.1x 2＋0.6x +0.9. （2）把x =3代入y =－0.1x 2＋0.6x +0.9得 y =－0.1×32＋0.6×3+0.9=1.8∴小华的身高是1.8米 （3）1＜t ＜56、解：（1）根据题目条件，A B C ，，的坐标分别是(100)(100)(06)-，，，，，．设抛物线的解析式为2y ax c =+，将B C ，的坐标代入2y ax c =+，得60100c a c =⎧⎨=+⎩，解得3650a c =-=，．所以抛物线的表达式是y =x（2）可设(5)F F y ，，于是2356 4.550F y =-⨯+= 从而支柱MN 的长度是10 4.5 5.5-=米．（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(70)，．过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23763.06350H y =-⨯+>≈．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 7、解：（1）21855y x x =-+2116(4)55x =--+∴抛物线21855y x x =-+开口向下，顶点为1645⎛⎫⎪⎝⎭，，对称轴为4x =（2）令0y =，得：218055x x -+=解得：10x =，28x =∴球飞行的最大水平距离是8m ．（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m∴抛物线的对称轴为5x =，顶点为1655⎛⎫⎪⎝⎭，设此时对应的抛物线解析式为216(5)5y a x =-+ 又点(00)，在此抛物线上，162505a ∴+= ∴16125a =- 21616(5)1255y x ∴=--+ 2163212525y x x=-+8、（1）2210(1,2,3,4)1080120(5,6,7,8,9)502051230(10,11,12)x x y x x x x x x -=⎧⎪=-+=⎨⎪-+-=⎩（2）10(1,2,3,4)2090(5,6,7,8,9)10210(10,11,12)x s x x x x -=⎧⎪=-=⎨⎪-+=⎩（3）由（2）知当1,2,3,4x =时，s 的值均为－10；当5,6,7,8,9x =时，当9x =时s 有最大值90；而在10,11,12x =时，10210s x =-+,当10x =时，s 有最大值110； 因此第10月公司所获利润最大，它是110万元。

二次函数中考复习专题教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图像；2. 掌握二次函数的求解方法，包括顶点式、标准式和一般式；3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

二、教学内容1. 二次函数的定义与性质二次函数的定义：函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）；二次函数的图像：开口方向、顶点、对称轴、单调区间。

2. 二次函数的图像与性质图像特点：开口方向、顶点、对称轴；性质：单调性、最值。

3. 二次函数的求解方法顶点式：f(x) = a(x h)^2 + k；标准式：f(x) = ax^2 + bx + c；一般式：ax^2 + bx + c = 0。

4. 实际问题求解应用二次函数解决几何问题；应用二次函数解决物理问题；应用二次函数解决生活中的问题。

5. 二次函数的综合应用二次函数与其他函数的结合；二次函数与方程组的结合；二次函数与不等式的结合。

三、教学过程1. 复习导入：回顾一次函数和指数函数的相关知识，为二次函数的学习打下基础；2. 知识讲解：分别讲解二次函数的定义、性质、图像与求解方法；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题；4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识；四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况；2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，巩固所学知识；3. 课后作业：布置课后作业，检查学生对知识的掌握程度；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，培养团队合作精神。

五、教学资源1. PPT课件：展示二次函数的相关概念、性质、图像等；2. 练习题：提供不同难度的练习题，巩固所学知识；3. 实际问题案例：提供与生活相关的实际问题，引导学生运用二次函数解决；4. 教学视频：讲解二次函数的求解方法和解题技巧。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；2. 数形结合：利用图形展示二次函数的性质，加深学生对二次函数的理解；3. 小组讨论：鼓励学生进行小组讨论，培养团队合作精神和沟通能力；4. 分层教学：针对不同学生的学习水平，给予相应的指导和辅导；5. 激励评价：及时给予学生鼓励和评价，提高学生的学习积极性。

中考数学复习二次函数综合应用一、选择题1．(2012·济宁)一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A) A．5元B．10元C．0元D．3600元2．(2012·北海)为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是(B) A．600m2B．625m2C．650m2D．675m23．(2012·河北)竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是(C) A．第3秒B．第3.5秒C．第4.2秒D．第6.5秒4．如图18－1所示，抛物线y ＝12(x－2)2－8与x轴交于A、B两点，顶点为C，为使△ABC成为直角三角形，必须将抛物线向上平移几个单位(D)A．7B．6C．5D．4二、填空题5．已知抛物线y＝x2＋x＋b2经过点a，－14和(－a，y1)，则y1的值是__34__．6．飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)与滑行时间t(s)的函数关系式是s＝60t－1.5t2，飞机着陆后滑行的最长时间是__20__s.7．如图18－2所示，已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P图18－1图18－2从A 点出发，沿A →B →C →E 运动，到达点E .若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，则当y＝13时，x 的值等于__23或53__．8．甲乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s (m)与其距地面高度h (m)之间的关系式为h ＝－112s 2＋23s ＋32.如图18－3所示，已知球网AB 距原点5m ，乙(用线段CD 表示)扣球的最大高度为94m ，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是__5＜m ＜4＋7__．三、解答题9．用长为12m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃如图18－4所示，围出的苗圃是五边形ABCDE ，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∠C ＝∠D ＝∠E .设CD ＝DE ＝x m ，五边形ABCDE 的面积为S m 2.问当x 取什么值时，S 最大？并求出S 的最大值．解：连接EC ，作DF ⊥EC ，垂足为F ，∵∠DCB ＝∠CDE ＝∠DEA ，∠EAB ＝∠CBA ＝90°，∴∠DCB ＝∠CDE ＝∠DEA ＝120°，∵DE ＝CD ∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∴∠CEA ＝∠ECB ＝90°，∴四边形EABC 为矩形，∵DE ＝x m ，∴AE ＝6－x ，DF ＝12x ，EC ＝3x ，S ＝－334x 2＋63x (0<x <6)．当x ＝4m 时，S 最大＝123m 2.10．(2011·成都)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图18－5所示的长方形ABCD .已知木栏总长为120米，设AB 边的长为x 米，长方形ABCD的面积为S 平方米．(1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)．当x 为何值图18－3图18－4图18－5时，S取得最值(请指出是最大值还是最小值)？并求出这个最值．解：∵AB＝x，∴BC＝120－2x，∴S＝x(120－2x)＝－2x2＋120x；当x＝120 2×2＝30时，S有最大值为0－12024×（－2）＝1800.(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图18－5所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(1)中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．解：设圆的半径为r，路面宽为a，根据题意得4r＋2a＝60，2r＋2a＝30，解得r＝15，a＝0.∵路面宽至少要留够0.5米宽，∴这个设计不可行．B组能力提升11．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B) A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒12．(2013·兰州)如图18－6所示，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为(B) 13．(2011·泸州)如图18－7所示，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，图18－6图18－7它的下底AB 是圆的直径，上底CD 的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是__10__．14．如图18－8所示，P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点，从P 向AB 作垂线PQ ，Q 为垂足．图18－8延长QP 与AC 的延长线交于R ，设BP ＝x (0≤x ≤1)，△BPQ 与△CPR 的面积之和为y ，把y 表示为x 的函数是__y ＝338x 2－32x ＋34__．15．(2013·滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm ，高为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)．解：已知抽屉底面宽为x cm ，则底面长为180÷2－x ＝(90－x )cm.由题意得y ＝x (90－x )×20＝－20(x 2－90x )＝－20(x －45)2＋40500当x ＝45时，y 有最大值，最大值为40500.答：当抽屉底面宽为45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm 3.16．(2013·潍坊)为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图18－9所示的休闲文化广场．在Rt △ABC 内修建矩形水池DEFG ，使顶点D 、E 在斜边AB 上，F 、G 分别在直角边BC 、AC 上；又分别以AB 、BC 、AC 为直径作半圆，设计了两弯新月(图中阴影部分)，两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖．其中AB ＝243米，∠BAC ＝60°.设EF ＝x 米，DE ＝y 米．图18－9(1)求y 与x 之间的函数解析式；解：在Rt △ABC 中，由题意得AC ＝123米，BC ＝36米，∠ABC ＝30°，∴AD ＝DG tan60°＝x 3＝33x ，BE ＝EF tan30°＝3x ，又AD ＋DE ＋BE ＝AB ，∴y ＝243－33x －3x ＝243－433x (0＜x ＜8)．(2)当x 为何值时，矩形DEFG 的面积最大？最大面积是多少？解：矩形DEFG 的面积S ＝xy ＝243－433x ＝－433x 2＋243x ＝－433(x －9)2＋108 3.所以当x ＝9时，矩形DEFG 的面积最大，最大面积为1083平方米．(3)求两弯新月(阴影部分)的面积，并求当x 为何值时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的13？解：记AC 为直径的半圆、BC 为直径的半圆、AB 为直径的半圆面积分别为S 1、S 2、S 3，两弯新月面积为S ，则S 1＝18πAC 2，S 2＝18πBC 2，S 3＝18πAB 2，由AC 2＋BC 2＝AB 2可知S 1＋S 2＝S 3，∴S 1＋S 2－S ＝S 3－S △ABC ，故S ＝S △ABC ，所以两弯新月的面积S ＝12×123×36＝2163(平方米)由－433(x －9)＋1083＝13×2163，即(x －9)2＝27，解得x ＝9±33，符合题意，所以当x ＝9±33米时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的13.。

二次函数的应用教案一、引言二次函数作为高中数学中的重要内容之一，具有广泛的应用价值。

本教案将介绍二次函数的应用，并提供相关练习和实例，帮助学生更好地理解和掌握二次函数的应用方法。

二、教学目标1. 理解二次函数的基本概念和性质；2. 掌握二次函数在实际问题中的应用方法；3. 能够运用二次函数解决与实际问题相关的计算和分析。

三、教学内容1. 二次函数的基本概念回顾；2. 二次函数的图像特征及其解析式；3. 利用二次函数模型解决实际问题；4. 实例分析和练习。

四、教学步骤Step 1：二次函数的基本概念回顾（10分钟）1. 提醒学生二次函数的定义和一般式表达形式；2. 回顾二次函数的图像特点，如开口方向、对称轴等。

Step 2：二次函数的图像特征及其解析式（20分钟）1. 讲解二次函数的顶点形式和标准形式，并给出它们的解析式；2. 解释二次函数图像的平移、伸缩对解析式的影响。

Step 3：利用二次函数模型解决实际问题（30分钟）1. 介绍如何通过给定问题寻找相应的二次函数模型；2. 指导学生将实际问题转化为数学模型，并运用得到的二次函数解决问题。

Step 4：实例分析和练习（40分钟）1. 通过实例分析，引导学生熟悉二次函数的应用方法；2. 布置练习题，让学生在课堂上或课后进行巩固练习。

五、教学资源1. 教材：包括二次函数相关知识点的教材章节；2. 讲义：内容详尽的二次函数应用教案讲义；3. 实例：包括实际问题转化为二次函数模型的实例。

六、教学评估1. 教师根据学生的课堂参与情况和练习表现进行评估；2. 学生通过课堂练习和作业测试自我评估。

七、拓展应用1. 引导学生自行寻找并解决与二次函数相关的实际问题；2. 分享与二次函数应用相关的数学竞赛题目。

八、总结通过本教案，学生能够全面了解二次函数的应用方法，掌握二次函数解决实际问题的技巧，并通过实例练习提升应用能力。

教师在教学过程中应注重引导学生思考和解决问题的能力培养，培养学生对数学知识的应用意识和兴趣。

二次函数的应用教案教案：二次函数的应用一、教学目标：1.理解二次函数的概念及其一般式；2.掌握二次函数的图像特点；3.学会利用二次函数解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

二、教学准备：1.教学工具：多媒体设备、黑板、教材等；2.教学素材：二次函数的图像、实际问题等。

三、教学过程：1.导入与展示（10分钟）引导学生复习二次函数的基本概念，并展示一些二次函数的图像，让学生感受二次函数的基本特点。

2.探究与讨论（15分钟）通过讨论和思考，引导学生找出二次函数图像中的关键要素：顶点、对称轴、开口方向等，并与函数表达式进行关联。

3.案例分析（20分钟）将二次函数的解释和实际问题相结合，通过一些实际案例，引导学生理解二次函数的应用。

比如：抛物线的应用、最值问题、几何问题等。

4.讲解与总结（20分钟）讲解二次函数的一般式及其性质，通过展示一些典型的例题和解题方法，引导学生掌握二次函数的解题技巧。

5.练习与巩固（20分钟）给学生一些练习题，让学生动手解答，帮助学生巩固所学知识。

6.拓展与应用（15分钟）通过一些扩展问题和应用题，培养学生的批判性思维和问题解决能力。

7.总结与作业（10分钟）总结二次函数的基本特点和解题方法，布置相应的作业，让学生自主巩固所学内容。

四、教学评估及反思：通过学生的课堂表现、练习情况以及课后作业的完成情况，来评估学生对二次函数应用的理解和掌握程度。

根据评估结果，及时调整教学策略，加强薄弱环节的讲解和练习。

教学反思：二次函数是高中数学中的重要内容，掌握好二次函数的应用对于学生的数学学习和解决实际问题非常关键。

本课在教学过程中注重结合实际问题，引导学生思考和探究，并通过一些典型问题的分析和解答，帮助学生更好地理解和掌握二次函数的应用。

同时，在教学过程中注重培养学生的解决问题的能力，引导学生发展批判性思维和创新思维。

通过及时反馈和评估，不断优化教学，提高教学效果。

九年级数学《二次函数的应用》函数实际运用教案教学目标:1. 了解二次函数的基本概念和特性；2. 掌握二次函数的应用，尤其是函数的图像和实际问题的联系；3. 培养学生分析和解决实际问题的能力。

教学准备:1. 教材：九年级数学教材第X章；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT、作业本。

教学过程:一、引入活动1. 导入话题：请学生们回顾上节课学习的内容，简要询问二次函数的定义和基本形式。

2. 引入主题：将本节课的主题以问题的形式呈现给学生：“二次函数在现实生活中有哪些应用呢？”二、知识讲解1. 讲解二次函数的图像：通过展示PPT上的图像，引导学生观察二次函数图像的特点，并介绍顶点、对称轴、开口方向等概念。

2. 讲解二次函数的实际应用：从实际生活中选择几个典型的例子，如抛物线的运动轨迹、塔的高度与时间的关系等，解释二次函数在这些问题中的应用。

三、案例分析1. 案例一：小明从楼顶向上抛一颗球，球的运动轨迹可以用二次函数表示。

给定抛物线的顶点坐标和距离地面的最大高度，请让学生通过公式推导和计算，确定球的运动轨迹方程。

2. 案例二：某商场为了促销，准备通过调整售价和销量之间的关系来提高利润。

请学生根据售价和销量的数据，建立二次函数模型，并通过求解最值问题，确定最佳销售策略。

四、讨论与总结1. 学生交流：请学生们以小组为单位，根据自己感兴趣的实际问题，讨论并找出相关的二次函数应用案例。

每个小组选择一个案例进行介绍，并给出解决问题的策略。

2. 整体总结：引导学生总结本节课所学的知识点和方法，强调二次函数在实际生活中的广泛应用。

五、拓展练习1. 练习一：请学生们完成教材上与二次函数应用相关的练习题，巩固所学知识。

2. 练习二：设计一道与实际生活相关的二次函数问题，并要求学生用二次函数的方法解答。

六、作业布置1. 布置笔记作业：请学生们对本节课的要点进行整理，写一份学习笔记，明确二次函数应用的基本概念和方法。

2. 布置实践作业：要求学生们在日常生活中寻找并记录二次函数应用的实例，包括图像、方程和实际问题的解决过程。

《二次函数》的应用教学目标：1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。

2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。

重点难点：重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。

难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。

教学过程：一、例题精析，引导学法，指导建模1．何时获得最大利润问题。

例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P=－150(x －30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润Q=－4950(50－x)2＋1945(50－x)＋308万元。

(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。

学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。

教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。

教师精析：(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=－150(x －30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M 1＝10×10=100万元。

(2)若对该产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是：P ＝－150(25－30)2＋10=9.5(万元) 则前5年的最大利润为M 2=9.5×5=47.5万元设后5年中x 万元就是用于本地销售的投资。

初中数学《二次函数的应用》教案_学习方法网－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2.3二次函数的应用教学目标设计1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a&ne;0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。

能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。

2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。

情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。

2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。

教学方法设计由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以&ldquo;启发探究式&rdquo;为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到&ldquo;不但使学生学会，而且使学生会学&rdquo;的目的。

为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。

教学过程导学提纲设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。

《二次函数的应用》教学设计一、教学背景分析：1.教学内容分析：二次函数的知识是七到九年级数学学习的重要内容之一，它的应用是本章的教学重点也是难点。

因为它是从生活实际问题中抽象出的数学知识，又是在解决实际问题时广泛应用的数学工具，因此这部分的教学内容具有重要意义；同时学好二次函数的应用，可又为高中进一步学习各类初等函数作好准备。

而经历从实际问题情景入手，抽象出解决问题的数学模型和相关知识的过程中不仅可以让学生体会数学的价值和建模的意义，更能提高学生应用数学知识解决问题的意识。

2.学生情况分析：本节课的授课对象是九年级的学生。

在此之前，学生已经掌握了求二次函数解析式的方法并理解图象上的点和图象的关系，并且学习了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函数的应用，以及初步的二次函数的应用，经历了多次从实际问题抽象出数学知识再运用相关知识解决实际问题的过程；因此他们有解决简单实际问题的基础知识和基本能力。

但是，由于函数知识的抽象性，多数学生在学习时应用函数的意识并不强；同时，他们从实际问题中抽象出数学问题的能力以及利用已有的数学知识去解决的能力也是比较弱的。

二、教学重点：建立适当的坐标系解决实际问题.三、教学难点：正确理解实际问题中的量与坐标系中的点的对应关系.四、教学目标：1.能把实际问题归结为数学知识来解决，并能运用二次函数的知识解决实际问题.2.经历在具体情境中抽象出数学知识的过程，体验解决问题方法的多样性，体会建模思想，渗透转化思想、数形结合思想，提高数学知识的应用意识.3.在运用数学知识解决问题的过程中，体会数学的价值、感受数学的简捷美，并勇于表达自己的看法.五、教学方式：引导发现、合作探究六、教学手段：多媒体、学案七、教学过程：教学环节师生活动设计意图一、情境引入教师用多媒体展示颐和园图片：同学们知道这是哪儿吗？颐和园是目前中国最大、现存最完整的皇家园林。

在颐和园的湖区景点中，有一座非常著名的桥就是——十七孔桥，它是乾隆年间修建的，全长150米，宽8米，全长150米，宽8米；因有十七个桥洞而得名，是圆内最大的一座石桥。

《二次函数的应用》教案教学目标一、知识与技能1．巩固并熟练掌握二次函数的性质．2．能够运用二次函数的性质解决实际问题．3．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．增强解决问题的能力．二、能力目标建立二次函数模型，进一步体会如何应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而提高理解实际问题、从数学角度抽象分析实际问题和运用数学知识解决实际问题的能力．三、情感态度与价值观1．从实际生活中认识到：数学来源于生活，数学服务于生活．2．培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成．3．经历求最大面积的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．教学重点能利用实际问题列出二次函数的解析式，并能利用二次函数的性质求出最大值和最小值．教学难点能利用几何图形的有关知识求二次函数的解析式．教学过程一、相关知识回顾1．函数223y x x =+-的最值是，是最（填“大”或者“小”）值．2．说说你是如何做的？3．将函数2245y x x =+-化成顶点式，并指出顶点坐标，对称轴．二、新课引入1．合作讨论，解决问题：如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角的边上． （1）如果设矩形的一边AB =x m ，那么AD 边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？解：（1）设AD 的长度为a m ，则：BC =a mBC ∥AD （已知） ∴403040a x -= ∴3304a x =- 即3304AD x =-（2）∵223(30)433043(20)300(040)4y x ax x x x x x =⋅=⋅-=-+=--+<< 当20300x y ==最大时，2．变式训练，灵活运用议一议：如果把上题中的矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？小组成员之间相互讨论．解：由勾股定理可得，这个三角形的斜边长为50m易求得斜边上的高为24m ．设矩形的一边 m AD x =，另一边AB =a m ，则有242450a x -= 解得：122425a x =-所以2212242512(25)300(050)25y x ax x x x =⋅=-=--+<< 因此，当25=x 时，300=最大y3．归纳总结解决问题的路和方法整理（1）数据（常量、变量）提取；（2）自变量、因变量识别；（3）构建函数解析式，并求出自变量的取值范围；（4）利用函数（或图像）的性质求最大（或最小）值．4．迁移运用，培养能力例1、某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m .当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m ），此时，窗户的面积是多少？解： 74π 15x y x ++= ∴4715x x y π--= 015x <<且1570154x x π--<< ∴0 1.48x <<设窗户的面积是S m 2.则：22+ππx 22221π221157ππ22471522715225()21456S x xy x x x x x x x =+--=+⋅=-+=--+ ∴当15 1.0714x =≈时，225 4.0256S =≈最大 因此，当x 约为1.07 m 时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m 2.例2、某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据销售经验，提高单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量会减少10件.当销售单价为多少时，该店能在一个月内获最大利润？5．归纳总结，探索规律．（1）对问题情景中的数量（提取常量、变量）关系进行梳理；（2）建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等）（3）建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等），解决问题用字母（参数）来表示不同数量（如不同长度的线段）间的大小联系；6．变式与拓展，灵活掌握练习1、如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为16米．（1）求截面积S （米2）关于底部宽x （米）的函数解析式，及自变量x 的取值范围？ （2）试问：当底部宽x 为几米时，隧道的截面积S 最大（结果精确到0.01米）？练习题2、已知，直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长．1．解：∵隧道的底部宽为x ，周长为16，则隧道下部矩形的高为π284x +-故当48.4432≈+=πx 米时，S 有最大值 答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的面积最大2．解：设其中的一条直角边长为x ，则另一条直角边长为（2－x ），又设斜边长为y ，则：所以：当x =11练习3、如课本图，抛物线形悬索桥，已知悬索桥两端主塔高150m ，主塔之间的距离为900m ，是建立适当的直角坐标系，求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.练习4、小妍想将一根72cm 长的彩带剪成两段，分别为成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和是多少？归纳小结：1．本节课我们主要学习了哪些知识？利用几何图形的性质，列出二次函数的解析式，并求最大（小）值y =。

教学目标：1.以具体实践案例为基础，理解二次函数的深刻内涵及有关概念，感受现实问题中两个变量之间的相互关系；2.体会数量关系变化的过程，学会使用“二次函数”这一数学模型；3. 使学生能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题；4. 培养学生数学建模能力（包括理解实际问题的能力，抽象分析问题的能力，运用数学知识的能力和通过实际加以检验的能力，体会数学知识的现实意义，激发学生学习数学的热情；教学重点及难点：㈠教学重点：1、将生活中的实际问题转化为数学问题。

2、将实际问题中的数量关系，归结二次函数变量之间的关系，从而利用二次函数知识解决实际问题。

㈡教学难点：1、将实际问题转化为数学问题。

解：如图，建立平面直角坐标系，点（4，4）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：2(4)4y a x =-+, (08)x ≤≤ 209抛物线经过点（0，） 220(04)49a ∴=-+ 19a ∴=- 21(4)49y x ∴=--+ 208y 9x ==当时， ∵篮圈中心距离地面3米,20y 39=< ∴此球不能投中问题;若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?预设:（1）跳得高一点（2） 向前平移一点【设计意图】通过这一问题，让学生思考角度和力度都不变,，与哪些数学知识点有关，体会实际问题中的语言，与数学知识点的转化，进而体会抛物线上下、左右的平移应用。

(1)在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?(2)在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？三、学以致用，巩固提高练习：一场足球比赛中, 一球员从球门正前方17m 处将球踢起正射向球门, 球飞行路线为抛物线, 当球飞行水平距离为1 0m时，球到达最高点，此时球高4米。

在球门正前方1m 处只有一名身高1.85m的后卫, 他的最大弹跳高度为o.8m，若此时该后卫起跳及时，他能否拦住球? 为什么? 若没有这名后卫, 球能否射进球门(在不考虑守门员等情况下) ? ( 球门高:2.44m)【教师、学生活动】过程小结：我们通过建立数学模型把实际问题转化成数学问题来解决，体现了数学中的建模的思想。

二次函数的应用教案一、教学目标1.知识与技能目标：了解二次函数的概念和特征，掌握二次函数的图像特点和性质。

2.过程与方法目标：通过观察、实验和归纳，培养学生的观察、实验、归纳和推理能力。

3.情感、态度与价值观目标：培养学生的探究精神，激发学生对数学的兴趣与热爱。

二、教学重难点1.教学重点：二次函数的概念、特征和图像。

2.教学难点：二次函数的应用问题的解决方法。

三、教学过程Step 1 导入新知识通过引入一个实际问题，提出一个数学应用的问题，并引出二次函数的概念和特征。

示例问题：一个人站在地面上，向上抛一个物体，假设抛物线的顶点高度是10米，抛物线与地面相交的两个点的高度分别是2米和18米，求抛物线的方程。

Step 2 探究二次函数1. 让学生通过分析实际问题的图像特点和数学公式的关系，推导出二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c。

2.利用计算器或数学软件，让学生绘制出抛物线的图像，观察二次函数的特点。

Step 3 二次函数的性质1.探究二次函数的开口方向，通过改变二次函数的参数a的值，观察二次函数的图像变化。

2.探究二次函数的最值，引出二次函数的顶点公式。

Step 4 应用二次函数解决实际问题通过给出一些具体的应用问题，让学生应用二次函数的知识解决问题。

示例问题：1.一辆汽车以匀加速直线运动的方式行驶，位移与时间的关系可以用二次函数表示，已知汽车在2秒时的位移是5米，在5秒时的位移是12米，求汽车的速度函数和位移函数。

2.一个学生站在距离地面20米的楼顶上，抛出一个物体，求物体离地面的最大距离和物体落地的时间。

Step 5 总结归纳通过讨论和总结归纳，让学生对二次函数的特点和性质有更清晰的认识。

四、教学方法1.观察法：通过观察实际问题和二次函数的图像，引导学生发现二次函数的特点和规律。

2.实验法：通过计算器或数学软件绘制二次函数的图像，进行实验观察。

3.归纳法：通过讨论和总结，归纳出二次函数的性质和解决问题的方法。

二次函数应用的教案教案标题：二次函数应用的教案教案目标：1. 理解二次函数的基本概念和特性；2. 掌握二次函数的图像、顶点、轴对称性等相关知识；3. 学会运用二次函数解决实际问题。

教案步骤：1. 引入二次函数的概念（10分钟）a. 提问引导学生思考：你们对二次函数有什么了解？b. 解释二次函数的定义和一般形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

2. 讲解二次函数的图像和特性（15分钟）a. 展示二次函数的图像，并解释图像的特点。

b. 解释二次函数的顶点、轴对称性等概念，并通过图像进行说明。

3. 演示二次函数的应用（20分钟）a. 提供一些实际问题，如抛物线运动、最值问题等，让学生尝试用二次函数解决。

b. 引导学生分析问题，建立数学模型，并用二次函数解答。

4. 学生练习与巩固（15分钟）a. 给学生分发练习题，让他们在课堂上独立完成。

b. 随堂检查学生的练习，解答学生疑问。

5. 拓展应用与实践（10分钟）a. 鼓励学生在日常生活中寻找更多二次函数的应用场景，并分享给全班。

b. 提供一些拓展问题，让学生进行思考和探究。

6. 总结与反思（10分钟）a. 小结二次函数的基本概念和特性。

b. 让学生回顾本节课所学内容，并提出疑问或反思。

教案评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度。

2. 练习题表现：评估学生在练习题上的完成情况和准确性。

3. 拓展问题回答：评估学生对于拓展问题的回答和思考能力。

教案扩展：1. 可以引入二次函数的标准形式，让学生了解不同形式之间的转换关系。

2. 可以进一步讲解二次函数的根与因式分解的关系，帮助学生更好地理解二次函数的解法。

3. 可以引导学生进行二次函数应用的实践活动，如设计抛物线运动的实验等。

教案注意事项：1. 在讲解二次函数的图像时，使用具体的例子进行说明，以帮助学生更好地理解。

2. 在演示二次函数应用时，尽量选择与学生生活经验相关的问题，增加学习的实用性。