数学建模(规划问题)

工厂资源规划问题冉光明29信息与计算科学指导老师：赵姣珍目录摘要 (1)关键词 (1)问题的提出 (2)问题重述与分析 (3)符号说明 (4)模型假设 (4)模型建立与求解 (5)模型检验 (9)模型推广 (10)参考文献 (11)附录 (12)摘要：本问题是个优化问题。

问题首先选择合适的决策变量即各种产品数，然后通过决策变量来表达约束条件和目标函数，再利用或编写程序，求得最优产品品种计划；最后通过优化模型对问题作以解释，得出当技术服务消耗33小时、劳动力消耗67小时、不消耗行政管理时，得到的是最优品种规划。

问题一回答：当技术服务消耗33小时、劳动力消耗67小时、不消耗行政管理时，产品不值得生产。

用运算分析，当产品的利润增加至253时，若使产品品种计划最优，此时需要消耗技术服务29h，劳动力消耗46h，行政管理消耗25h。

问题二回答：利用得到当技术服务增加1h时，利润增加2.5元;劳动力增加1h，利润增加1元；行政管理的增减不会影响利润。

问题三回答：增加的决策变量，调整目标函数。

当技术服务消耗33h，劳动力消耗17h，不消耗行政管理，新增量50h时，管理部门采取这样的决策得到最优的产品品种规划。

问题四回答：增加新的约束条件，此时当技术服务消耗32h，劳动力消耗58h，行政管理消耗10h时，得到最优产品品种规划。

本文对模型的求解给出在线性约束条件下的获利最多的产品品种规划。

关键词：线性规划；优化模型；最优品种规划问题的提出某工厂制造三种产品，生产这三种产品需要三种资源：技术服务、劳动力和行政管理。

下表列出了三种单位产品对每种资源的需要量：现有100h的技术服务、600h劳动力和300h的行政管理时间可使用，求最优产品品种规划。

且回答下列问题：⑴若产品值得生产的话，它的利润是多少？假使将产品的利润增加至25/3元，求获利最多的产品品种规划。

⑵确定全部资源的影子价格。

⑶制造部门提出建议，要生产一种新产品，该种产品需要技术服务1h、劳动力4h 和行政管理4h。

313数学教育1、2班，510数学教育1、2、3班数学建模上机测试题，需要把运行结果写出来。

模型包括目标函数、约束条件，编写的程序和程序运行结果四部分内容。

写在作业本上。

按学号顺序做，如35号同学做习题35习题1：某厂计划生产甲、乙、丙三种零件，有机器、人工工时和原材料的限制，有关数据1、2、若原材料为2元/公斤，试建立获得最大利润生产计划的线性规划模型。

习题2：一塑料厂利用四种化工原料合成一种塑料产品。

这四种原料含A、B、C的成分见下表，这种塑料产品要求含A为25%，含B、C都不得少于30%。

问各种原料投放比例为习题3：建立以下线性规划模型1）某家具厂生产桌椅，每张桌子耗用木材0.28立方米、2小时人工，售价288元；每把椅子耗用木材0.13立方米、0.8小时人工，售价147元。

且1张桌子必须配4把椅子。

已知木材本月供应量不得超过52立方米，且每立方米成本价为500元。

本月人工工时上限为288小时，且每小时成本为20元。

（1）写出最大月收益线性规划模型；（2）写出月收益不低于8000元而动用木材最省的线性规划模型（其余条件不变）。

习题4 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。

问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？习题5、某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。

已知：项目A ：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B ：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不超过30万元；项目C ：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D ：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元；问：a.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？习题6 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到第三年年初都可以投资。

基础题：1．目标规划问题最近，某节能灯具厂接到了订购16000套A 型和B 型节能灯具的订货合同，合同中没有对这两种灯具的各自数量做要求，但合同要求工厂在一周内完成生产任务并交货。

根据该厂的生产能力，一周内可以利用的生产时间为20000min ，可利用的包装时间为36000min 。

生产完成和包装一套A 型节能灯具各需要2min ；生产完成和包装完成一套B 型节能灯具各需要1min 和3min 。

每套A 型节能灯成本为7元，销售价为15元，即利润为8元；每套B 型节能灯成本为14元，销售价为20元，即利润为6元。

厂长首先要求必须按合同完成订货任务，并且即不要有足量，也不要有超量。

其次要求满意销售额达到或者尽量接近275000元。

最后要求在生产总时间和包装总时间上可以有所增加，但过量尽量地小。

同时注意到增加生产时间要比包装时间困难得多。

试为该节能灯具厂制定生产计划。

解：将题中数据列表如下：根据问题的实际情况，首先分析确定问题的目标级优先级。

第一优先级目标：恰好完成生产和包装完成节能灯具16000套，赋予优先因子p1；第二优先级目标：完成或者尽量接近销售额为275000元，赋予优先因子p2； 第三优先级目标：生产和包装时间的增加量尽量地小，赋予优先因子p3； 然后建立相应的目标约束。

在此，假设决策变量12,x x 分别表示A 型，B 型节能灯具的数量。

（1） 关于生产数量的目标约束。

用1d -和1d +分别表示未达到和超额完成订货指标16000套的偏差量，因此目标约束为1111211min ,..16000z d d s t x x d d -+-+=+++-=要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小（2） 关于销售额的目标约束。

用2d -和2d +分别表示未达到和超额完成满意销售指标275000元的偏差值。

因此目标约束为221222min ,..1520-275000.z d s t x x d d --+=++=要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，(另外：d +要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小) （3） 关于生产和包装时间的目标约束。

三维路径规划数学建模
三维路径规划数学建模是指在三维空间中寻找一条最优路径的
过程。

这个问题涉及到三维空间中的点和障碍物，以及路径的长度、曲率等因素。

在进行数学建模之前，我们需要定义一些基本概念和符号：
- 三维空间中的点可以使用三维坐标表示，例如 (x, y, z)。

- 障碍物也可以使用几何体表示，如球体、立方体等。

- 路径可以看作是一系列连接在一起的点的集合，我们可以用点的坐标来表示路径。

数学建模的过程包括下面几个步骤：
1. 定义目标：
- 确定起点和终点的位置。

- 确定路径长度、曲率等目标函数。

2. 建立数学模型：
- 将三维空间划分为离散的网格。

- 根据障碍物的位置，在网格中标记障碍物的位置。

- 使用图论算法，如A*算法、Dijkstra算法等，在离散网格中搜索最优路径。

- 可以通过调整网格分辨率和障碍物的大小来平衡计算复杂度和路径的精确性。

3. 求解最优路径：
- 根据建立的数学模型，在离散网格中搜索最优路径。

- 可以通过动态规划、贪心算法等方法求解。

- 通过计算路径长度、曲率等目标函数，评价路径的优劣。

- 可以通过调整模型参数和算法来优化路径的求解过程。

4. 优化路径：
- 根据求解得到的最优路径，对路径进行优化。

- 可以使用插值算法，如Bezier曲线、样条插值等，使路径更加平滑。

- 可以根据实际应用需求，进一步优化路径的特性，如避免突然变化的曲率、尽量避开障碍物等。

以上是三维路径规划数学建模的基本过程，具体建模方法和算法选用可以根据实际问题和需求进行调整和优化。

数模第二阶段培训（数学规划）例1 油品混合问题一种汽油的特性可用两个指标来描述，其点火性用“辛烷比率”来描述，其挥发性用“蒸汽压”来描述。

某石油炼制厂生产两种汽油，这两种汽油的特性及产量如表1所示表1 某厂炼制的汽油特性辛烷比率蒸汽压（10-2克/cm2）可供数量（万公升）第一种汽油104 4 3第二种汽油94 9 7用这两种汽油可以合成航空汽油与车用汽油两种最终产品，其性能如表2所示表2 航空汽油与车用汽油性能要求辛烷最小比率最大蒸汽压（10-2克/cm2）最大需要量（万公升）售价（万元/万公升）航空汽油102 5 2 1.2车用汽油96 8 不限0.7 根据油品混合工艺知道，当两种汽油混合时，其产品汽油的蒸汽压及辛烷比率与其组成成分的体积及相应指标成正比。

问该厂应如何混合油品才能获得最大收益？例2企业季度生产计划问题某厂甲、乙两种产品，第一季度的最大需求量及单位产品利润和每月的库存成本如表1所示。

表1 产品需求量、利润及库存成本需求量利润（未计库存成本）（元/单位产品）每月库存成本（元/单位产品）一月二月三月甲产品250 540 700 3.0 0.2 乙产品180 150 700 4.5 0.3 生产这两种产品都必须经过由两道工序，分别使用A、B两类机器。

A类机器有4台，B类机器有5台，每台机器每月运转180工时。

生产单位甲产品需机器A0.9工时，机器B1.0工时；生产单位乙产品需机器A0.5工时，机器B0.75工时。

该厂仓库容量为100平方米，存贮每单位甲产品需占面积0.75平方米，每单位乙产品需占面积1.2平方米。

该季度开始时无库存量，计划在本季度结束时甲、乙两种产品各库存40单位。

分别求解以下两个问题：（1）假定一月和二月A、B两类机器各有一台检修，三月份有一台A类机器和两台B 类机器检修，A类机器检修需100工时，B类机器检修需150工时。

该厂应如何安排生产计划，才能使本季度获利最大？（2）规定A、B类机器在本季度内需检修的总台数同（1），确定合理的检修计划，使该厂在本季度获利最大？例3投资问题某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如附表所示。

3.5 习题P 54.2.某工厂用21.A A 两台机床加工B B B 321,,三种不同零件。

已知在一个生产周期内A 1只能工作80机时；A 2只能工作100机时。

一个生产周期内计划加工B 1为70件、B 2为50件、B 3为20件。

两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下列各表所示：加工每个零件时间表（单位：机时/个）加工每个零件成本表（单位：元/个）问：怎么样安排两台机床一个周期的加工任务，才能使加工成本最低？解：设在A 1机床加工零件B B B 321,,的数量分别为x x x 321,,，在A 2机床加工零件B B B 321,,的数量分别为x x x 654,,，建立如下线性规划模型：x x x x x x Z 654321633532min +++++=s.t.6,5,4,3,2,1,020507010038032635241654321=≥=+=+=+≤++≤++i x x x x x x x x x x x x x i改写成：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=654321633532min x x x x x x Zs.t. 020507010010001001000100110080311000000321654321654321654321≥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x x x x x x x x x x x x x x结果： 解得7,0,40,0,25,30654321======x x x x x x297760340305253302min =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Z 即机床A 1在一个周期加工零件B B B 321,,的数量分别为30件,25件,0件；A 2机床加工零件B B B 321,,的数量分别为40件，0件，7件；加工成本最低为297元。