湖南长沙2019长郡中学高三理科模拟试题卷(4套含答案和解析)

绝密★启用前【考试时间：2019年2月12日9：00～11：30】长郡中学2019届第一次适应性考试理科综合能力测试第I卷(共126分)一、选择题：本大题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.近些年由于温室效应导致北极海冰持续融化，已知降低空气中CO2的浓度能缓解温室效应，海洋浮游植物是吸收CO2的主力军。

马丁设想：向海洋投放水溶性铁能促进浮游植物吸收CO2进行光合作用，降低CO2浓度，从而减缓温室效应。

针对以上介绍，下列说法正确的是A.铁元素和CO2中的C、O均是大量元素B.铁以化合物的形式被浮游植物吸收C.铁元素是构成浮游植物叶绿素的组成成分D.海水温度的高低会影响浮游植物吸收铁2.长郡中学高三生物兴趣小组为了研究pH对某种酶活性的影响，设置a、b、c三组实验，各组pH条件均不同，其他条件相同且适宜。

测定各组在不同反应时间内的产物量，结果如图1所示。

下列相关分析不正确的是A.a组的pH可能高于b组的pHB.a组pH条件下，该酶降低化学反应的活化能可能最多C.在c组pH条件下比较适宜保存酶D.实验要求“其他条件相同且适宜”的目的是减小实验误差3.有甲、乙、丙、丁四种信息分子，它们运输到靶细胞后，检测发现：甲与受体结合后，肝脏加速合成多糖；乙与受体结合后，靶细胞上的钠离子通道开放；丙生成后，通过体液运输到靶细胞，与受体结合后，人体的呼吸运动增强；丁与靶细胞结合后，毛细血管的通透性増大，腺体分泌物增多。

下列说法正确的是A.甲可与斐林试剂反应生成砖红色沉淀B.乙的合成和分泌离不开溶酶体C.生成丙的反应只能发生在无氧环境下D.丁引起的反成具有明显的个体差异4.雄蝗虫体细胞中有23条染色体，其性染色体组成为XO型，雌蝗虫的性染色体组成为XⅩ型。

下列有关叙述正确的是A.雌蝗虫有丝分裂中期的细胞与减数第一次分裂中期的染色体数目相同B.同样是有丝分裂后期，雄蝗虫细胞的染色体数比雌蝗虫细胞的染色体数少1条C.雄蝗虫的精原细胞在形成过程中，可观察到11个四分体D.雄蝗虫产生的精子与卵细胞结合后，发育的子代均为雌性5.图2为某六肽化合物合成的示意图。

长郡中学2019届第一次适应性考试理科综合能力测试本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．满分300分，时量150分钟．第I卷(共126分)一、选择题：本大题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．近些年由于温室效应导致北极海冰持续融化，已知降低空气中CO2的浓度能缓解温室效应，海洋浮游植物是吸收CO2的主力军。

马丁设想：向海洋投放水溶性铁能促进浮游植物吸收CO2进行光合作用，降低CO2浓度，从而减缓温室效应。

针对以上介绍，下列说法正确的是A．铁元素和CO2中的C、O均是大量元素B．铁以化合物的形式被浮游植物吸收C．铁元素是构成浮游植物叶绿素的组成成分 D．海水温度的高低会影响浮游植物吸收铁2．长郡中学高三生物兴趣小组为了研究pH对某种酶活性的影响，设置a、b、c三组实验，各组pH条件均不同，其他条件相同且适宜。

测定各组在不同反应时间内的产物量，结果如图l所示。

下列相关分析不正确的是A．a组的pH可能高于b组的pHB．a组pH条件下，该酶降低化学反应的活化能可能最多C．在c组pH条件下比较适宜保存酶D．实验要求“其他条件相同且适宜”的目的是减小实验误差3．有甲、乙、丙、丁四种信息分子，它们运输到靶细胞后，检测发现：甲与受体结合后，肝脏加速合成多糖；乙与受体结合后，靶细胞上的钠离子通道开放；丙生成后，通过体液运输到靶细胞，与受体结合后，人体的呼吸运动增强；丁与靶细胞结合后，毛细血管的通透性增大，腺体分泌物增多。

下列说法正确的是A．甲可与斐林试剂反应生成砖红色沉淀B．乙的合成和分泌离不开溶酶体C．生成丙的反应只能发生在无氧环境下D．丁引起的反成具有明显的个体差异4．雄蝗虫体细胞中有23条染色体，其性染色体组成为XO型，雌蝗虫的性染色体组成为XX 型。

下列有关叙述正确的是A．雌蝗虫有丝分裂中期的细胞与减数第一次分裂中期的染色体数目相同B．同样是有丝分裂后期，雄蝗虫细胞的染色体数比雌蝗虫细胞的染色体数少l条C．雄蝗虫的精原细胞在形成过程中，可观察到11个四分体D．雄蝗虫产生的精子与卵细胞结合后，发育的子代均为雌性5．图2为某六肽化合物合成的示意图。

湖南省长郡中学2019届高三下学期第二次模拟考试试题数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1.设全集，则 （ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A 中的元素，从而求出A 的补集即可．或者将分别代入检验.【详解】解法1：，故 ，所以选C. 解法2：将分别代入检验，可得，故，所以选C.【点睛】本题考查了集合的运算，考查不等式解法，是基础题．2.若为第二象限角．则复数 （为虚数单位）对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应复平面的点，然后判断对应三角函数的符号即可得到答案. 【详解】解：因为为第二象限角．所以，即复数的实部为负数，虚部为正数，所以对应的点在第二象限． 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数对应的复平面的点的相关概念，难度较小.3.已知等差数列前9项的和为27，，则A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】试题分析：由已知，所以故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4.条件，条件，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】试题分析：条件等价于，条件等价于集合，因为，且，所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．考点：充分必要条件．5.设函数，则使成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过判断原函数单调性和奇偶性脱离f，建立不等式关系解出即可.【详解】解：根据题意，函数，则，即函数为偶函数，当时，易得为增函数，则，变形可得：，解可得或，即的取值范围为故选：D．【点睛】本题主要考查函数的单调性，奇偶性以及通过函数性质解不等式问题，难度中等.6.如图所示，半径为1的圆是正方形的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形内，用表示事件“豆子落在圆内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用几何概型先求出，，再由条件概率公式求出．【详解】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形阴影部分内”，则，，．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数. 详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.8.已知，则的展开式中的系数为（）A. B. 15 C. D. 5【答案】D【解析】由题意得，故求的展开式中的系数．∵，展开式的通项为．∴展开式中的系数为．选D．9.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图象，并且的图象如图所示，则的表达式可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可．【详解】∵g（0）＝2sinφ＝1，即sinφ，∴φ或φ（舍去）则g（x）＝2sin（ωx），又当k=1,即g（x）＝2sin（x），把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin（4x），再把纵坐标缩短到到原来的，得到y＝sin（4x），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[（x-）]＝故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键．10.已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点的坐标，根据可得，再利用两点间距离得出关于方程，从而解得渐近线方程.【详解】解：设因为点关于渐近线的对称点为，不妨设渐近线方程为，故有，解得，因为，所以，根据两点间距离可得，，即，即，即，即，可得，所以，故渐近线方程为，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程、两点间距离公式等知识，解题时需要有较强的运算能力.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit）”，1位只能存放2种不同的信息：0或l，分别通过电路的断或通实现．“字节（Byte）”是更大的存储单位，，因此1字节可存放从至共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（）A. 254B. 381C. 510D. 765【答案】B【解析】【分析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果.【详解】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为，，，，，，，共个.转化为十进制并相加得，故选B.【点睛】本小题主要考查二进制转化为十进制，阅读与理解能力，属于基础题.12.已知函数有唯一零点，则a=A. B. C. D. 1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量满足，且，则在方向上的投影为_____．【答案】1【解析】【分析】通过向量的数量积及投影的相关概念建立方程即可得到答案.【详解】解：向量满足，且，则在方向上的投影为：．故答案为：1．【点睛】本题主要考查向量的数量积，及投影的相关概念，难度较小.14.设满足约束条，则目标函数的最大值为_____．【答案】4【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，通过目标函数表示的斜率式观察图像即可得到答案.【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．目标函数的几何意义为区域内的动点到定点的斜率，由图象知的斜率最大，由得，此时的斜率，即的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查线性规划问题，在于考查学生的作图能力及转化能力，此题只需将目标函数化为斜率式即可得到答案.15.已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则_____．【答案】【解析】【分析】画出几何图像，建立几何关系，通过建立方程即可得到答案.【详解】解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线的焦点，准线．又直线过定点，因为，所以为中点，连接，所以．设，所以，．作，则垂足为的中点，设，则，，求得、，所以，故答案为：．【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及学生的计算能力，难度中等.16.某工厂现将一棱长为的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案.【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点在侧面的中线上．∵正四面体棱长为，∴，，，∴，设圆柱的底面半径为，高为，则．由三角形相似得：，即，圆柱的体积，∵，当且仅当即时取等号．∴圆柱的最大体积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知分别是的三个内角的对边，若，角是最小的内角，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若的面积为42，求的值．【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .【解析】【分析】(Ⅰ)由正弦定理，三角形内角和定理可得，结合，整理可得，又，利用同角三角函数基本关系式可求的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角形的面积公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据余弦定理可求的值．【详解】(Ⅰ) 由、，及正弦定理可得：，由于，整理可得：，又，因此得：．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，又的面积为42，且，从而有，解得，又角是最小的内角，所以，且，得，由余弦定理得，即．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想。

2019届湖南省长郡中学高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设全集{}21,2,3,4,5},3,{4|0U A x x x x N ==≤∈-+，则U C A = （ ）A ．{}1,2,3B ．{}3,4,5C ．{}4,5D ．{}0|3x x x <>或【答案】C【解析】求出集合A 中的元素，从而求出A 的补集即可．或者将1,2,3,4,5x =分别代入2430x x -+≤检验. 【详解】解法1：2{|430,}{|13,}A x x x x N x x x N =-+≤∈=≤≤∈，故U C A = {}4,5，所以选C.解法2：将1,2,3,4,5x =分别代入2430x x -+≤检验，可得1,2,3A ∈，故U C A ={}4,5，所以选C.【点睛】本题考查了集合的运算，考查不等式解法，是基础题．2．若θ为第二象限角．则复数cos sin z i θθ=+ （i 为虚数单位）对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】根据复数对应复平面的点，然后判断对应三角函数的符号即可得到答案. 【详解】解：因为θ为第二象限角．所以cos 0,sin 0θθ<>，即复数z 的实部为负数，虚部为正数，所以z 对应的点在第二象限． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数对应的复平面的点的相关概念，难度较小. 3．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=aA.100B.99C.98D.97【答案】C【解析】试题分析：由已知，1193627{,98a d a d +=+=所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 4．条件，条件，则是的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 【答案】A【解析】试题分析：条件等价于，条件等价于集合，因为，且，所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．【考点】充分必要条件．5．设函数()2(ln 1)f x x =+，则使()()21f x f x >+成立的x 的取值范围是（ ）A.(,1)-∞B.(1,)+∞C.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】通过判断原函数的单调性和奇偶性脱离f ，建立不等式关系解出即可. 【详解】解：根据题意，函数()2(ln 1)f x x =+，则()()()22ln 1ln 1()f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，即函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，易得()f x 为增函数，则()()()()212121f x fx fx f x x x >+⇒>+⇒>+，变形可得：23210x x -->，解可得13x <-或1x >，即x 的取值范围为1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数的单调性，奇偶性以及通过函数性质解不等式问题，难度中等. 6．如图所示，半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内，用A 表示事件“豆子落在圆O 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OEF （阴影部分）内”，则()|P B A =（ ）A.4π B.14C.16π D.18【答案】B【解析】利用几何概型先求出()22124P A ππ⨯==，()22114216P AB ππ⨯⨯==，再由条件概率公式求出(|)P B A ． 【详解】如图所示，半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内，用A 表示事件“豆子落在圆O 内”，B 表示事件“豆子落在扇形(OEF 阴影部分)内”，则()22124P Aππ⨯==，()22114216P ABππ⨯⨯==，()()116(|)44P ABP B AP Aππ∴===．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD-，在四棱锥P ABCD-中，2,2,2,1PD AD CD AB====，由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC====则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解. 8．已知，则的展开式中的系数为（ ）A ．B ．15C ．D ．5【答案】D 【解析】由题意得，故求的展开式中的系数．∵，展开式的通项为． ∴展开式中的系数为．选D ．9．把函数()y f x =的图象向左平移23π个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，并且()g x 的图象如图所示，则()f x 的表达式可以为（ ）A.()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()2sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可． 【详解】∵g （0）＝2sinφ＝1，即sinφ12=， ∴φ52,6k ππ=+或φ2,6k k Z ππ=+∈（舍去） 则g （x ）＝2sin （ωx 56π+），又755122,,2,12667k k Z k ππωπω⎛⎫+=∈∴=-⨯ ⎪⎝⎭当k=1, 2ω= 即g （x ）＝2sin （2x 56π+）， 把函数g （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的12，得到y ＝2sin （4x 56π+），再把纵坐标缩短到到原来的12，得到y ＝sin （4x 56π+），再把所得曲线向右平移23π个单位长度得到函数g （x ）的图象， 即g （x ）＝sin[4（x -23π）56π+]＝8511sin 4x sin 4sin 43666x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω 和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键．10．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】先利用对称求出点A 的坐标，根据11F AO AOF ∠=∠可得1PF c =，再利用两点间距离得出关于,,a b c 方程，从而解得渐近线方程. 【详解】 解：设00(,)P x y因为2F 点关于渐近线的对称点为00(,)P x y ，不妨设渐近线方程为by x a=， 故有00001()22y b x c a y x c b a⎧⨯=-⎪-⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得22002a b x caby c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为11F AO AOF ∠=∠， 所以11PF F O c ==，根据两点间距离d =1PF c ==，即()()22222a b 2abc 0c c c -++-=，即4222224a 4a b c c c+=， 即42244a 4a b c +=，即()22244a a b c +=， 可得223a b =，所以ba=故渐近线方程为y =，故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程、两点间距离公式等知识，解题时需要有较强的运算能力.11．电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit ）”，1位只能存放2种不同的信息：0或l ，分别通过电路的断或通实现．“字节（Byte ）”是更大的存储单位，18Byte bit =，因此1字节可存放从()200000000至()211111111共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（ ） A ．254 B ．381C ．510D ．765【答案】B【解析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果. 【详解】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为11000000，1100000，110000，11000，1100，110，11，共7个.转化为十进制并相加得()()()()()()() 76655443322110 22222222222222+++++++++++++381=，故选B.【点睛】本小题主要考查二进制转化为十进制，阅读与理解能力，属于基础题.12．已知函数有唯一零点，则a=A．B．C．D．1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题13．已知向量,a b满足2b=，则a在b方向上的投影为_____．a b⋅=，且(1,3)【答案】1【解析】通过向量的数量积及投影的相关概念建立方程即可得到答案.【详解】解： 向量,a b 满足2a b ⋅=，且(1,3)b=，则a 在b 方向上的投影为：||cos 1||13a b a b θ⋅===+． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查向量的数量积，及投影的相关概念，难度较小.14．,x y 设满足约束条10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则目标函数31y z x +=+的最大值为_____．【答案】4【解析】画出不等式表示的平面区域，通过目标函数表示的斜率式观察图像即可得到答案. 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．目标函数31y z x +=+的几何意义为区域内的动点(),x y 到定点()1,3D --的斜率， 由图象知AD 的斜率最大， 由1010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()0,1A ，此时AD 的斜率13410z +==+， 即z 的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查线性规划问题，在于考查学生的作图能力及转化能力，此题只需将目标函数化为斜率式即可得到答案.15．已知直线()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =_____．【答案】223【解析】画出几何图像，建立几何关系，通过2FA FB =建立方程即可得到答案. 【详解】解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，准线1x =-．又直线()1y k x =+过定点()1,0P -， 因为2FA FB =，所以B 为AP 中点， 连接OB ，所以OB AF ∕∕．设BF m =，所以，OB m =．作BE OF ⊥，则垂足E 为OF 的中点，设BE n =， 则2214m n -=，221m m n =-32m =、2n =221312BE n k PE ===+，故答案为：23． 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及学生的计算能力，难度中等.16．某工厂现将一棱长为3的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为_____． 【答案】227π【解析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案. 【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心'O ，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N 在侧面的中线AM 上．∵3，∴32BM =，12O M '=，1BO '=， ∴2AO '=设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则102r <<． 由三角形相似得：2122r h-=222h r =，圆柱的体积()22212V r h r r ππ=-，∵()3212112327r r r r r ++-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12r r =-即13r =时取等号． ∴2π． 故答案为：227π． 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.三、解答题17．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且34sin 3cos c a B b A =+． （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值．【答案】(Ⅰ) 3sin 5B =;(Ⅱ) b =【解析】(Ⅰ)由正弦定理，三角形内角和定理可得()3sin 4sin sin 3sin cos A B A B B A +=+，结合sin 0A >，整理可得3cos 4sin B B =，又sin 0B >，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角形的面积公式可求c 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值，根据余弦定理可求b 的值． 【详解】(Ⅰ) 由34sin 3cos c a B b A =+、A B C π++=，及正弦定理可得：()3sin 4sin sin 3sin cos A B A B B A +=+，由于sin 0A >，整理可得：3cos 4sin B B =， 又sin 0B >，因此得：3sin 5B =． (Ⅱ)由(Ⅰ)知3sin 5B =，又ABC 的面积为42，且10a =， 从而有13104225c ⨯⨯=，解得14c =， 又角B 是最小的内角，所以03B π<≤，且3sin 5B =，得4cos 5B =，由余弦定理得2224141021410725b =+-⨯⨯⨯=，即b =．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想。

2019年4月长郡中学2019届第一次适应性考试数学(理科)试题第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。

【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。

4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。

【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。

2019届长郡中学高三下学期一模考试
数学（理）试卷
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，
所以，解得：，
所以复数可化为，
所以复数在复面上对应的点的坐标为.
故选：D
2.已知集合若，则实数的取值范围为（）
A.
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出集合A,B ，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.
所以集合.
由得：.
- 1 - / 28。

长郡中学2019届第一次适应性考试数学(理科)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分满分.150分，时量120分钟.第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设,a R i ∈为虚数单位.若复数()21z a a i =-++是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为 A. 18,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 74,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 47,55⎛⎫-⎪⎝⎭D. 74,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 2.已知集合(){}(){}2222log 34,3200A x y x x B x x mx m m ==--=-+<>，B A ⊆若，则实数m 的取值范围为A. ()4+∞，B. [)4+∞，C. ()2+∞，D. [)2+∞，3.美国总统伽菲尔德利用右图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知3,4a b ==，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在△CDE的内切圆内部的概率为A.(5032249π- B.449πC.(2532249π- D.249π 4. 已知()31sin 2,cos ,,43αββαβ+==为锐角，则()sin αβ+的值为3214- 3722+3214+5.执行如图所示的程序框图，若输入0,0,1x y n ===，则输出的,xy 的值满足A. 2xy =B. 19y x -=C. 169xy =D. 109y x -=6.已知命题p ：数列{}n a 的通项公式为2n a a n b nc =++(,,a b c 为实数，n N *∈)，且()201720182019,,0k k k a a a k +++>恒为等差数列；命题q ：数列{}nb 的通项公式为()11,n bn aq q n N -*=>∈时，数列{}n b 为递增数列.若p q ∨为真，则实数a 的取值范围为 A. (),0-∞B. [)0,+∞C. ()0,+∞D. (],0-∞7.已知函数()()22,213,24x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨--<≤⎪⎩，则定积分()412f x dx ⎰的值为 A. 948π+ B. 144π+ C. 12π+ D. 324π+8.函数()()t a n0,02fx x πωϕϕω⎛⎫=+<<>⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别变于点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为A.56πB.2π C.512π D.4π 9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M ，N 上取三点A ，B ，P ，其中P 为侧面M 的对角线上一点(与对角线端点小重合)，A ，B 为侧面N 的一条对角线的两个端点.若以线段AB 为直径的圆过点P ，则m 的最小值为A.B. 23C.4D.210.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，抛物线225y x =与双曲线C 交于纵坐标为1的点M ，直线1F M 与抛物线的准线交于N ，若112955F N F M =，则双曲线的方程为 A.22145x y -= B.221169x y -= C. 22154x y -= D.221916x y -=11.小明站在点O 观察练车场上匀速行驶的小车P 的运动情况，小车从点A 出发的运动轨如图所示.设小明从点A 开始随动点P 变化的视角为AOP θ=∠，练车时间为t ，则函数()f t θ=的图象大致为12.定义{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，若存在整数n 满足1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +的值A.一定大于12B.一定小于14C.一定等于14D.一定小于14第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 是CD 的中点，记,,,BE a AC b a b ==用表示AB ，则AB =_________.14.太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外云观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组()()222222401111x y x x y x y ⎧+≤⎪⎪≤+-≤⎨⎪++≥⎪⎩或来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则2z x y =+的最大值为___________.15.已知()()()()()()222222111222:220,:110,C x y r r C x y r r -+-=>+++=>12C C 与相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12r r为_________.16.在各项均为正数的等比数列{}3148,n a a a a -=中，当取最小值时，则数列{}2n na 的前n 项和为_________.三、解答题(共70分。

绝密★启封前2019届湖南省长郡中学高考模拟押题试卷（四）数学（理）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知z 为纯虚数，且3(2)1i z ai +=+（i 为虚数单位），则a z +=( )A ．1B ．2 D 2. （2019·咸阳市二模)若tan 1α=，则2sin 2cos αα-的值为( )A ．1B ．12C ．13D ．143.命题“00x ∃≤，使得200x ≥”的否定是( )A ．20,0x x ∀≤<B ．20,0x x ∀≤≥ C ．2000,0x x ∃>> D ．2000,0x x ∃<≤ 4.（2019.唐山市二模）已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是（ ）A ．0.6B ．0.7 C.0.8 D ．0.95.（2019·海口市调研）当双曲线2221862x y m m-=+-的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率是( )A ．1±B ．23± C.13± D ．12± 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．2πB ．4π C.6(2π+ D ．(4π+7.（2019·合肥市质检）点G 为ABC 的重心（三角形三边中线的交点），设,BG a GC b ==，则AB =( )A ．3122a b -B ．3122a b + C.2a b - D ．2b a - 8. （2019·太原市二模）设函数()sin()0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且12()()f x f x =，则12()f x x +=( )A ．1B ．129. 执行如图所示的程序框图,则输出a 的值为( )A ．2B ．23 C.12D ．-1 10.（2019.南昌市二模）32)1+-x x （展开式x 项的系数为（ ）A ．-3B ．-1 C.1 D ．311.（2019·保定市二模）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A ．6B ．5 C. 4 D ．5.512. （2019·济南市二模）设函数'()f x 是()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且3()'()3f x f x =-，则4()'()f x f x >的解集是( )A ．ln 4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．ln 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D．3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若,x y 满足约束条件：0,23,23,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则x y -的取值范围是 ．14.函数()22()sin log 2g x x x t x =+为偶函数，则t = ． 15.（2019.福建省质检）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点与抛物线x y E 4:2=的焦点F 重合，点P 是椭圆C 和抛物线E 的一个公共点，点)1,0(Q 满足QP QF ⊥，则C 的离心率为 ．16. （2019·泰安一模）已知平面向量,a b 满足1b =，且a 与b a -的夹角为120°，则a 的模的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(2019.山西省质量检测）数列{}n a 满足，).2,(196≥∈--=*n N n a a n n （1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-31n a 是等差数列； （2）若,61=a 求数列{}n a lg 的前999项的和.18.如图，四棱锥PABCD 中，⊥PD 底面M CD AB BAD CD AB ABCD ,3,2,3;//,===∠π为PC 上一点，.2MC PM =证明：//BM 平面;PAD （1）若,3,2==PD AD 求二面角C MB D --的正弦值.19.（2019·石家庄模拟）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究,针对篮球运动员在投篮命中时,运动员在篮筐中心的水平距离这项指标,对某运动员进行了若干场次的统计,依据统计结果绘制如下频率分布直方图:(1) 依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离的中位数；(2) 在某场比赛中，考察前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的计1分，否则扣掉1分，用随机变量X 表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望.20.（2019·唐山市二模） 已知点F 为抛物线2:4C x y =的焦点，,,A B D 为抛物线C 上三点，且点A 在第一象限，直线AB 经过点,F BD 与抛物线C 在点A 处的切线平行，点M 为BD 的中点.(1)证明：AM 与y 轴平行；(2)求ABD 面积S 的最小值.21. 已知函数2()1xe f x x mx =-+ . (1)若(2,2)m ∈-，求函数()y f x =的单调区间；(2)若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[0,1]x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为sin (0)a a ρθ=>，射线,,,442πππθϕθϕθϕθϕ==+=-=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点,,,A B C D .(1)若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程；(2)求OA OC OB OD +的值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()||,0f x x a a =-<.(1)证明：1()2f x f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭； (2)若不等式1()(2)2f x f x +<的解集非空，求a 的取值范围.理科数学答案一、选择题1-5: DBACB 6-10:CDDAA 11、12：BB二、填空题 13. 33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 14. 12 15.1-216.0,3⎛ ⎝⎦三、解答题17.解析：（1）证明：)2(3193331933131111111≥-----------------n a a a a a a a n n n n n n n ， ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-31n a 是等差数列，（2),62-a 由(1)知,3)1(3131311n n a a n --+--- ).(,3lg lg )1lg(lg ),()1(3**N n n n a N n nn a n n ∈+-+-∴∈+-∴ ∴数列{}n a lg 的前999项和.3lg 99931000lg 3lg 999)999lg 1000lg 2lg 3lg 1lg 2(lg 3lg 999+-+--++-+-+- S18. 解析：(1)证明：在DC 上取点E (图略），使,2EC DE -连接,,ME BE则,,//AB DE AB DE -则四边形ABED 是平行四边形，则,//AD EB则平面PAD //平面MBE ,⊂BM 平面⊄BM MBE ,平面PAD ，//BM ∴平面PAD .（2）由题意知ABD ∆是正三角形，建立以D 为坐标原点的空间直角坐标系如图：则),1,2,0(),0,1,3(),1,2,0(),0,3,0(,013(--M P B ），，设平面DBM 的法向量为),,,(z y x n - 则由,02,03-+--+-⋅z y DM y x DB n 得⎩⎨⎧----,2,3y z x y 令,1-x 则,32,3---z y 则),32,3,1(--n设平面MBC 的法向量为),1,1,0(),0,2,3(),,,(1-----z y x n 则,0,02311---⋅-+--⋅z y MC n y x BC n令,2-x 则,3,3--z y 即),3,3,2(1-n则,8101045104632),cos(122--⨯+--⋅⋅-n n n n n n 则二面角C MB D --的正弦值.863)810(1sin 2---α 19.解析:(１)设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x0.0520.100.200.5⨯++<，且(0.400.20)10.60.5+⨯=>，[]4,5x ∴∈由()0.4050.2010.5x ⨯-+⨯=，解得 4.25x =，∴ 该运动员到篮筐的水平距离的中位数是4.25(米) ．（2）由频率分布直方圆可知投篮命中时距离篮筐距离超过4米的概率为,53-P 随机变量ξ的所有可能取值为；，，，，4202-4-,62516)52()4(4----X P ,62596)52()2(314----C X P ,625216)52()52()0(2224---C X P ,625216)52()52()2(3124---C X P ,62581)52()4(4---X P.5462581462526250625)2(625)4(-⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯--EX 20.解析：(1)证明：设220101,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2220,(0)4x D x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 由'2x y =得02BD x k =，又124BD x x k +=，所以01224x x x +=，即1202Mx x x x +==， 故AM 与y 轴平行.(2)法一：由,,A B F 共线可得AF BF k k =，所以()01014()0x x x x +-=，因010x x -≠，所以014x x =-，即104x x =-. 直线BD 的方程为20011204=()2242x x x x y x x x -+=++， 所以2020422M x y x =++. 由(1)得30014164x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当004x x =，即02x =时等号成立，故S 的最小值为16. 法二：直线BD 的方程为2011()24x x y x x =-+，20101()24M x x y x x =-+.得2010()4M x x y y --=， 则30124ABD ABM x x S S ∆∆-==. 设直线:1AB y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，则014x x -=，故160ABD S k ∆≥=（时等号成立).21.解析：(1)函数定义域为R ， 222(12)'()(1)x e x mx x m f x x mx -+-+=-+22(1)(1)=(1)x e x x m x mx ----+. ①当11m +=，即0m =时，'()0f x ≥,此时()f x 在R 上单调递增；②当11m +>，即02m <<，(,1)x ∈-∞时，'()0f x >，此时()f x 单调递增，(1,1)x m ∈+时，'()0f x <，此时()f x 单调递减，(1,)x m ∈++∞时，'()0f x >，此时()f x 单调递增.③当11m +<，即20m -<<时，(,1)x m ∈-∞+，'()0f x >，此时()f x 单调递增， (1,1)x m ∈+时，'()0f x <，此时()f x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，此时()f x 单调递增.综上所述，①当0m =时，()f x 在R 上单调递增，②当02m <<时，()f x 在(,1)-∞和(1,)m ++∞上单调递增，()f x 在(1,1)m +上单调递减，③当20m -<<时，()f x 在(,1)m -∞+ 和(1,)+∞上单调递增，()f x 在(1,1)m +上单调递减.(2)当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由(1)知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,1)m +上单调递减.令()g x x =. ①当[0,1]x ∈时，min max ()(0)1,()1f x f g x ===，所以函数()f x 图象在()g x 图象上方.②当[1,1]x m ∈+时，函数()f x 单调递减，所以其最小值为1(1)2m e f m m ++=+，()g x 最大值为1m +，所以下面判断(1)f m +与1m +的大小，即判断x e 与(1)x x +的大小， 其中311,2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦， 令()(1),'()21x x m x e x x m x e x =-+=--，令()'()h x m x =，则'()2x h x e =-， 因311,2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，所以'()20x h x e =->，'()m x 单调递增； 所以'(1)30m e =-<，323'402m e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭故存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 使得000'()210x m x e x =--=，所以()m x 在0(1,)x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 所以022*********()()=211xm x m x e x x x x x x x ≥=--+--=-++， 所以031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10m x x x =-++>，即2(1)e x x >+，也即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.22.解析：(1)212sin 2cos C ρθθρθρθ⎫==+⎪⎪⎝⎭：，化为直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=.把2C 的方程化为直角坐标方程为y a =，因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线y a =经过圆心(1,1)， 解得1a =，故2C 的直角坐标方程为1y =.(2)由题意可得，4OA πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，+2OB πϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，OC ϕ，4OD πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以+OA OC OB OD ⋅⋅8sin sin 8cos cos 44ϕπϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=8cos 842π=⨯=23.解析：（1）证明：函数()||,0f x x a a =-<， 则1111()||||()f x f x a a x a a x a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+--=-++≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11=|||2||||x x x x x +=+≥= （当且仅当||1x =时取等号）.(2)()(2)|||2|,0f x f x x a x a a +=-+-<.当x a ≤时，()(2)223f x f x a x a x a x +=-+-=-， 则()(2)f x f x a +≥-； 当2a a x <<时，()(2)2f x f x x a a x x +=-+-=-， 则()(2)2a f x f x a -<+<-； 当2a x ≥时，()(2)232f x f x x a x a x a +=-+-=-， 则()(2)2a f x f x +≥-，则()f x 的值域为,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 不等式1()(2)2f x f x +<的解集非空，即为122a >-，解得，1a >-，由于0a <， 则a 的取值范围是(1,0)-.。

绝密★启封前2019届湖南省长郡中学高考模拟冲刺试卷（四）数学（理）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知集合{}{}1,2,3,0,1,2,3,4A B =-=,则()B C A B I =（ ） A ．{}0,4 B ．{}0,1,4 C ．{}14， D ．{}0,12.已知i 是虚数单位，复数z 满足1-32z ii i∙=+,则3z +=（ ）A ． D ．53.已知具有线性相关的两个变量x y ，之间的一组数据如下表所示:若x y ，满足回归方程 1.5y x a =+,则以下为真命题的是（ ） A.x 每增加1个单位长度,则y 一定增加1.5 个单位长度 B.x 每增加1个单位长度,y 就减少1.5 个单位长度 C.所有样本点的中心为(1,4.5) D.当8x =时,y 的预测值为13.54.已知点(),4P n 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点,12,F F 是椭圆C 的两个焦点,若12PF F ∆的内切圆的直径为3,则此椭圆的离心率为（ ）A ．57 B ．23 C.35 D ．455.如图,已知ABC ∆与AMN ∆有一个公共顶点A ,且MN 与BC 的交点O 平分BC ,若,AB mAM AC nAN ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则12m n+的最小值为（ ）A ．4B ．2C.32．66.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形且有一侧梭垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵111,ABC A B C AC BC -⊥,若12A A AB ==,当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．B ．3 C.3D ． 7.“34πϕ=”是“函数= 2y cos x 与函数()=2y sin x ϕ+在区间04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,上的单调性相同”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.执行如图所示的程序框图,若输出1007S =-,则判断框内应填的内容是（ ） A ．2015?k < B ．2016?k < C.2017?k < D ．2014?k <9.如图所示，直线l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线,12,F F 是双曲线C 的左、右焦点,1F 关于直线的对称点为1'F ,且1'F 是以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A D ．310.某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人,则不同的分配方法共有（ ）A ．114种B ．150种 C. 120种 D ．118种11.如图,正方体1111ABCD A BC D -的对角线BD 上存在一动点P ,过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于,M N 两点.设,BP x BMN =∆的面积为S ,则当点P 由点B 运动到1BD 的中点时，函数()S f x =的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．12.已知()'f x 为函数()= y f x 的导函数,当02x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝∈⎭，是斜率为k 的直线的倾斜角时,若不等式()()'0f x f x k -∙<恒成立，则（ ）A()3()4f f ππ>B ．(1)2()sin16f f π<()()064f ππ-> D()()063f ππ-<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()2221f x cosx sinx sin x =+-+,则其最小正周期为 ．14.过()()3,1,0,M N a -两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆221x y +=存在公共点,则实数a 的取值范围为 ．15.如图,将正方形ABCD 沿着边BC 抬起到一定位置得到正方形BCEF ,并使得平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角为45°,PQ 为正方形BCEF 内一条直线,则直线PQ 与BD 所成角的取值范围为 ．16..已知菱形ABCD ,E 为AD 的中点,且3BE =,则菱形ABCD 面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和221,S n n n N *=++∈n.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn . 18.如图所示,已知三棱锥P ABC -中,底面ABC 是等边三角形,且=2,,PA PB AC D E ==分别是,AB PC 的中点.(1)求证:AB ⊥平面CDE ;(2)若PC =求二面角A PB C --的余弦值19.伴随着智能手机的深入普及,支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒,有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50 人,对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表:(1)若以“年龄55 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99％的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关:(2)若从年龄在[)55,65,[]65,75内的被调查人中各随机选取2 人进行追踪调查.记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ. ①求随机变量ξ的分布列; ②求随机变量ξ的数学期望. 参考数据如下:参考公式：22(),()()()()n ad bd K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++20. 已知点()0,1A ,过点()0,1D -作与x 轴平行的直线1l ，点B 为动点M 在直线1l 上的投影,且满足MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r(1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)已知点P 为曲线C 上的一点,且曲线C 在点P 处的切线为2l ,若的与直线2l 相交于点Q ,试探究在y 轴上是否存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ? 若存在,求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 21.已知函数()1f x x nx =.(1)若函数()()()()2 '20g x f x ax a x a ==+-+>,试研究函()g x 数的极值情况; (2)记函数()() x x F x f x e =-在区间(1,2)内的零点为o x ，记()(),x x m x min f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,若 ()() m x n n R =∈在区间()1,+∞内有两个不等实根()1212, x x x x <，证明∴122o x x x +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆cos 1:x C y xin αα=+⎧⎨=⎩(α为参数).以O 为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为4 sin ρθ=. (1)分别写出圆1C 的普通方程与圆2C 的直角坐标方程;(2)设圆1C 与圆2C 的公共弦的端点为,A B ,圆1C 的圆心为1C ,求1AC B ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知,a b 均为正实数,且 1a b +=.(1)求2的最大值; (2)求1aba+的最大值.参考答案理数一、选择题1-5:BADCC 6-10:BAACA 11、12：DD二、填空题13.π【解析】因为()21 221= 2 +?cos 21214f x sin x sin x sin x x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-++=++,所以其最小正周期为22T ππ==. 14.5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[解析]点() 3,1M -关于y 轴的对称点为()'3,1M ,则直线'M N 的方程为11?(303)a y x -=---,即()1330a x y a -+-=,由题意可知，圆心(0,0)到直线()1330a x y a -+-=的距离1d =≤,即282100a a +-≤，解得5-14a ≤≤,故实数a 的取值范围为5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15.30,90⎡⎤⎣⎦ 【解析】不妨设正方形的边长为1,作DG CE ⊥,垂足为G ,由,BC CE BC CD ⊥⊥,得BC ⊥平面CDG .故BC DG ⊥.又BC CE C =,得DG ⊥平面BCEF ,故直线BD 在平面BCEF BCEF 内的射影为BG .易知DG =,则BD 与平面BCEF 所成的角为30DBG ∠=,所以BD 与平面BCEF 内的直线所成的最小角为30°,而直线PQ 与BD 所成角的最大角为90°(当PQ 与CF 重合时,PQ 与BD 所成角为90°),所以直线PQ 与BD 所成角的取值范围为30,90⎡⎤⎣⎦16.12【解析】设AE x =,则2AB AD x ==,因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,所以+>,<,AB AE BE AB AE BE ⎧⎨-⎩即231233x x x x x x +>>⎧⎧⇒⎨⎨-<<⎩⎩，所以(1,3)x ∈.设BAE θ∠=,在ABE ∆中,由余弦定理可知()229222x x x xcosθ=+-∙∙,即22594x cosxθ-=，2 2.4ABCDS x x sin xθ=∙∙==菱形2t x=，则()1,9t∈，则ABCDS=菱形5t=，即x=,ABCDS菱形有最大值12.三、解答题17.解:(1)当1n=时,114a S==;当2n≥时，()2211221,n n na S S n n n-=-=--+=+对14a=不成立，所以数列{}n a的通项公式为4,121,2,nann n nN*=⎧=⎨+≥⎩(2)当1n=时,1120T=当2n≥时，111(21(23)n na a n n+=++=111)22n+123n-+（所以111111111161(...)2025779212320101520(23) nn nTn n n n--=+-+-++-=+=++++又1n=时，1120T=符合上式，所以61()20(23)NnnnnT*=-∈+18.解:(1)连接PD,因为PA PB AC==,底面ABC是等边三角形，又因为D是AB的中点，所以,PD AB AB CD⊥⊥.又因为CD PD D =,所以AB ⊥平面CDE . (2)因为2PA PB AC === 由(1),可知PD CD ==而PC =,所以PD CD ⊥.以D 为原点,以DB uu u r的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示，则()()()(1,0,0,1,0,0,,A B C P -,由题意,得平面ABP 的一个法向量为()0,1,0m =u r. 设平面BCP 的一个法向量为(),,n x y z =r.因为()(,BC PC =-=-uu u r uu u r,所以((,,)0(,,)0BC n x y z PC n x y z ⎧∙=-∙=⎪⎨∙=∙=⎪⎩uu u r,即00x ⎧-+=⎪= 令1z =,得1,x y =.所以)n =,所以,cos m n <>==由题意知二面角A PB C --为锐角， 所以二面角A PB C --19.解:(1)22⨯列联表如下:2K 的观测值250(38732)9.524 6.63510403515k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关. (2)①由题意,可知ξ所有可能取值有0,1,2,3,()229340225055C C P C C ξ==∙=,()1122112234340+2222255555C C C C C P C C C C ξ==∙∙=,()221113242342+2222105555CC C C C P C C C C ξ==∙∙=,()211243222555C C P C C ξ==∙=，所以ξ的分布列是②912316()0123502510255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 20.解:(1)设(),M x y ,由题得(),1B x -.又()0,1A ,∴()-, 1MA x y =-uuu r,()()0, 1 ,, 2MB y AB x =--=-uuu r uu u r,由MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r ,得()0MA MB AB =∙+uuu r uuu r uu u r.即()()2,2,204x y x x y --∙-=⇒=, ∴轨迹C 的方程为24x y =.(2)设点()0200,,4x N n P x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，，由214y x =，得1'2y x =， ∴201'2l k y x x x ==∴直线2l 的方程为0020)4(2xx y x x -=-). 令-1y =,可得0020()42xx x x x ==- ∴Q 点的坐标为2,12o o x x ⎛⎫--⎪⎝⎭. ∴220=,,,142o o o x x NP x n NQ n x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭uu u r uuu r ∵点N 在以PQ 为直径的圆上∴22002(1+)()24xxNP NQ n n ∙=---uu u r uuu r=22(1-)()+20()4x n n n n -+-=*要使方程(* )对o x R ∈恒成立，则必有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩，解得1n =.即在y 轴上存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ,其坐标为(0,1).21.解:(1)由题意,得()'1f x lnx =+,故()()221g x ax a x lnx =-+++,故()()()()2111'22x ax g x ax a x x --=-++=,00.x a >>，令()'0g x =,得2111,2x x a ==①当02a <<时，112a >，()1 '002g x x >⇒<<或1x a >;()11'02g x a <⇒<，所以() g x 在12x =处取极大值1ln 224ag =--②当2a =时，()11,'02g x a =≥恒成立,所以不存在极值;③当2a >时，112a ，()1'00g x x a >⇒<<或12x >， ()11'02g x x a <⇒<,所以()g x 在1x a =处取极大值11()ln g a a a =--在12x =处取极小值1()1224ag n =--.综上,当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值,124a n --，在1x a =处取极小值ln 4aa --;当2a =时,不存在极值;当2a >时,() g x 在1x a =处取极大值ln 4aa --, 在12x =处取极小值ln 24a--.(2)()x xF x xlnx e =-,定义域为()0,x ∈+∞,()1'1x x F x lnx e -=++,而()1,2x ∈,故()'0F x >,即()F x 在区间(1,2)内单调递增.又()()21210,2220F F ln e e =-<=->,且)(F x )在区间(1,2)内的图象连续不断，故根据零点存在性定理,有)(F x 在区间(1,2)内有且仅有唯一零点. 所以存在()1,2o x ∈,使得()()000o o x x F x f x e =-=,且当1o x x <<时,()x xf x e <;当o x x >时，()x xf x e >,所以()ln ,1,oox x x x m x xx x ex <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当01x x <<时,() m x xln x =,由()'1 0m x ln x =+>,得()m x 单调递增;当o x x >时,()x xm x e =,由()1'0x xm x e -=<,得()m x 单调递减.若()m x n =在区间()1,+∞内有两不等实根1212,()x x x x <, 则 ()()211, ,,o o x x x x ∈∈+∞.要证122o x x x +>,即证212o x x x >-.又12o o x x x ->,而()m x 在区间()o x +∞，内单调递减， 故可证()()212o m x m x x <-,又由()()12m x m x =, 即证()()112o m x m x x <-, 即111212o o x x x ln x e x x -<-.记()22 ,1o o o x xh x xln x x x e x x-=-<<-,,其中()=0o h x ()220121'1 1ln oo x x h x ln x x e x x e x x +-=++=++---022o x xe x x--,记()t t t e ϕ=,则()1't tt e ϕ-=.当()0,1t ∈时,()'0t ϕ>; 当()1,t ∈+∞时,()'0t ϕ<', 故()1max t e ϕ=.而()0t ϕ>,故()10t e ϕ<<,而 21xo x ->, 所以2021-0o x xe e x x-<-<-因此()22211'1 10o o o x x h x ln x e x x e x x e-=++->->-- 即()h x 单调递增.故当1o x x <<时,()()0o h x h x <= 即111212 o o x xe x x x x ln -<-故122o x x x +>,得证.22.解:(1)因为圆1cos 1:sin x C yαα=+⎧⎨=⎩,(α为参数）， 所以圆1C 的普通方程是()2211x y -+=.因为圆2:4C sin ρθ=, 所以圆2C 的直角坐标方程是224 0x y y +-=.(2)因为圆()221:11C x y -+=,圆222:40C x y y +-=, 两式相减,得-20x y =,即公共弦所在直线为20x y -=, 所以点(1,0)到-20x y =的距离为5所以公共弦长为=所以11225Ac B S ∆==23.解:(l)2=211（ 221+14141)a b ≤∙+++（）（ =()()242241212a b ⎡⎤⎣⎦++=⨯+=,= 即12a b ==时,取等号，故原式的最大值为12.(2)原式=112122ab b a b a ab a b==+++. 因为1212()()a b a b a b +=++ =221+23()b ab aa b a b ++=++3≥=+a 当且仅当2b aa b =，即12a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,取等号.所以原式≤故原式的最大值为。

湖南省长郡中学2019届高三5月最后模拟试卷理科数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】转化M,可得M,N的关系,即可.【详解】,所以可得,故选A.【点睛】本道题考查了集合与集合的关系,难度较小.2.在复平面内表示复数的点位于第一象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本道题结合复数的四则运算,化简该复数,结合复数的意义,建立不等式,即可.【详解】,因为在第一象限内,所以满足所以,故选D.【点睛】本道题考查了复数的基本运算,难度中等.3.在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合充分、必要条件判定，即可。

【详解】结合,可知都是负数,,因而，是方程的两根”是“的充分不必要条件.【点睛】本道题考查了充分必要条件判定以及等比数列的性质，难度中等。

4.下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】选项，，函数单调递减不符合条件；选项，定义域不关于原点对称，不符合条件；选项，函数图象先减后增，在时，函数取得最小值，不符合条件；选项中，因为，所以函数为奇函数，将函数式变为，随着增大函数值也增大，是单调递增函数，符合条件，故选D.5.已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合条件概率计算公式，代入数据，即可。