湖南长沙2019长郡中学高三理科模拟试题卷(4套含答案和解析)

绝密★启用前【考试时间：2019年2月12日9：00～11：30】长郡中学2019届第一次适应性考试理科综合能力测试第I卷(共126分)一、选择题：本大题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.近些年由于温室效应导致北极海冰持续融化，已知降低空气中CO2的浓度能缓解温室效应，海洋浮游植物是吸收CO2的主力军。

马丁设想：向海洋投放水溶性铁能促进浮游植物吸收CO2进行光合作用，降低CO2浓度，从而减缓温室效应。

针对以上介绍，下列说法正确的是A.铁元素和CO2中的C、O均是大量元素B.铁以化合物的形式被浮游植物吸收C.铁元素是构成浮游植物叶绿素的组成成分D.海水温度的高低会影响浮游植物吸收铁2.长郡中学高三生物兴趣小组为了研究pH对某种酶活性的影响，设置a、b、c三组实验，各组pH条件均不同，其他条件相同且适宜。

测定各组在不同反应时间内的产物量，结果如图1所示。

下列相关分析不正确的是A.a组的pH可能高于b组的pHB.a组pH条件下，该酶降低化学反应的活化能可能最多C.在c组pH条件下比较适宜保存酶D.实验要求“其他条件相同且适宜”的目的是减小实验误差3.有甲、乙、丙、丁四种信息分子，它们运输到靶细胞后，检测发现：甲与受体结合后，肝脏加速合成多糖；乙与受体结合后，靶细胞上的钠离子通道开放；丙生成后，通过体液运输到靶细胞，与受体结合后，人体的呼吸运动增强；丁与靶细胞结合后，毛细血管的通透性増大，腺体分泌物增多。

下列说法正确的是A.甲可与斐林试剂反应生成砖红色沉淀B.乙的合成和分泌离不开溶酶体C.生成丙的反应只能发生在无氧环境下D.丁引起的反成具有明显的个体差异4.雄蝗虫体细胞中有23条染色体，其性染色体组成为XO型，雌蝗虫的性染色体组成为XⅩ型。

下列有关叙述正确的是A.雌蝗虫有丝分裂中期的细胞与减数第一次分裂中期的染色体数目相同B.同样是有丝分裂后期，雄蝗虫细胞的染色体数比雌蝗虫细胞的染色体数少1条C.雄蝗虫的精原细胞在形成过程中，可观察到11个四分体D.雄蝗虫产生的精子与卵细胞结合后，发育的子代均为雌性5.图2为某六肽化合物合成的示意图。

长郡中学2019届第一次适应性考试理科综合能力测试本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．满分300分，时量150分钟．第I卷(共126分)一、选择题：本大题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．近些年由于温室效应导致北极海冰持续融化，已知降低空气中CO2的浓度能缓解温室效应，海洋浮游植物是吸收CO2的主力军。

马丁设想：向海洋投放水溶性铁能促进浮游植物吸收CO2进行光合作用，降低CO2浓度，从而减缓温室效应。

针对以上介绍，下列说法正确的是A．铁元素和CO2中的C、O均是大量元素B．铁以化合物的形式被浮游植物吸收C．铁元素是构成浮游植物叶绿素的组成成分 D．海水温度的高低会影响浮游植物吸收铁2．长郡中学高三生物兴趣小组为了研究pH对某种酶活性的影响，设置a、b、c三组实验，各组pH条件均不同，其他条件相同且适宜。

测定各组在不同反应时间内的产物量，结果如图l所示。

下列相关分析不正确的是A．a组的pH可能高于b组的pHB．a组pH条件下，该酶降低化学反应的活化能可能最多C．在c组pH条件下比较适宜保存酶D．实验要求“其他条件相同且适宜”的目的是减小实验误差3．有甲、乙、丙、丁四种信息分子，它们运输到靶细胞后，检测发现：甲与受体结合后，肝脏加速合成多糖；乙与受体结合后，靶细胞上的钠离子通道开放；丙生成后，通过体液运输到靶细胞，与受体结合后，人体的呼吸运动增强；丁与靶细胞结合后，毛细血管的通透性增大，腺体分泌物增多。

下列说法正确的是A．甲可与斐林试剂反应生成砖红色沉淀B．乙的合成和分泌离不开溶酶体C．生成丙的反应只能发生在无氧环境下D．丁引起的反成具有明显的个体差异4．雄蝗虫体细胞中有23条染色体，其性染色体组成为XO型，雌蝗虫的性染色体组成为XX 型。

下列有关叙述正确的是A．雌蝗虫有丝分裂中期的细胞与减数第一次分裂中期的染色体数目相同B．同样是有丝分裂后期，雄蝗虫细胞的染色体数比雌蝗虫细胞的染色体数少l条C．雄蝗虫的精原细胞在形成过程中，可观察到11个四分体D．雄蝗虫产生的精子与卵细胞结合后，发育的子代均为雌性5．图2为某六肽化合物合成的示意图。

湖南省长郡中学2019届高三下学期第二次模拟考试试题数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1.设全集，则 （ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A 中的元素，从而求出A 的补集即可．或者将分别代入检验.【详解】解法1：，故 ，所以选C. 解法2：将分别代入检验，可得，故，所以选C.【点睛】本题考查了集合的运算，考查不等式解法，是基础题．2.若为第二象限角．则复数 （为虚数单位）对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应复平面的点，然后判断对应三角函数的符号即可得到答案. 【详解】解：因为为第二象限角．所以，即复数的实部为负数，虚部为正数，所以对应的点在第二象限． 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数对应的复平面的点的相关概念，难度较小.3.已知等差数列前9项的和为27，，则A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】试题分析：由已知，所以故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4.条件，条件，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】试题分析：条件等价于，条件等价于集合，因为，且，所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．考点：充分必要条件．5.设函数，则使成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过判断原函数单调性和奇偶性脱离f，建立不等式关系解出即可.【详解】解：根据题意，函数，则，即函数为偶函数，当时，易得为增函数，则，变形可得：，解可得或，即的取值范围为故选：D．【点睛】本题主要考查函数的单调性，奇偶性以及通过函数性质解不等式问题，难度中等.6.如图所示，半径为1的圆是正方形的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形内，用表示事件“豆子落在圆内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用几何概型先求出，，再由条件概率公式求出．【详解】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形阴影部分内”，则，，．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数. 详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.8.已知，则的展开式中的系数为（）A. B. 15 C. D. 5【答案】D【解析】由题意得，故求的展开式中的系数．∵，展开式的通项为．∴展开式中的系数为．选D．9.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图象，并且的图象如图所示，则的表达式可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可．【详解】∵g（0）＝2sinφ＝1，即sinφ，∴φ或φ（舍去）则g（x）＝2sin（ωx），又当k=1,即g（x）＝2sin（x），把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin（4x），再把纵坐标缩短到到原来的，得到y＝sin（4x），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[（x-）]＝故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键．10.已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点的坐标，根据可得，再利用两点间距离得出关于方程，从而解得渐近线方程.【详解】解：设因为点关于渐近线的对称点为，不妨设渐近线方程为，故有，解得，因为，所以，根据两点间距离可得，，即，即，即，即，可得，所以，故渐近线方程为，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程、两点间距离公式等知识，解题时需要有较强的运算能力.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit）”，1位只能存放2种不同的信息：0或l，分别通过电路的断或通实现．“字节（Byte）”是更大的存储单位，，因此1字节可存放从至共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（）A. 254B. 381C. 510D. 765【答案】B【解析】【分析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果.【详解】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为，，，，，，，共个.转化为十进制并相加得，故选B.【点睛】本小题主要考查二进制转化为十进制，阅读与理解能力，属于基础题.12.已知函数有唯一零点，则a=A. B. C. D. 1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量满足，且，则在方向上的投影为_____．【答案】1【解析】【分析】通过向量的数量积及投影的相关概念建立方程即可得到答案.【详解】解：向量满足，且，则在方向上的投影为：．故答案为：1．【点睛】本题主要考查向量的数量积，及投影的相关概念，难度较小.14.设满足约束条，则目标函数的最大值为_____．【答案】4【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，通过目标函数表示的斜率式观察图像即可得到答案.【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．目标函数的几何意义为区域内的动点到定点的斜率，由图象知的斜率最大，由得，此时的斜率，即的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查线性规划问题，在于考查学生的作图能力及转化能力，此题只需将目标函数化为斜率式即可得到答案.15.已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则_____．【答案】【解析】【分析】画出几何图像，建立几何关系，通过建立方程即可得到答案.【详解】解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线的焦点，准线．又直线过定点，因为，所以为中点，连接，所以．设，所以，．作，则垂足为的中点，设，则，，求得、，所以，故答案为：．【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及学生的计算能力，难度中等.16.某工厂现将一棱长为的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案.【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点在侧面的中线上．∵正四面体棱长为，∴，，，∴，设圆柱的底面半径为，高为，则．由三角形相似得：，即，圆柱的体积，∵，当且仅当即时取等号．∴圆柱的最大体积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知分别是的三个内角的对边，若，角是最小的内角，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若的面积为42，求的值．【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .【解析】【分析】(Ⅰ)由正弦定理，三角形内角和定理可得，结合，整理可得，又，利用同角三角函数基本关系式可求的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角形的面积公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据余弦定理可求的值．【详解】(Ⅰ) 由、，及正弦定理可得：，由于，整理可得：，又，因此得：．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，又的面积为42，且，从而有，解得，又角是最小的内角，所以，且，得，由余弦定理得，即．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想。

2019届湖南省长郡中学高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设全集{}21,2,3,4,5},3,{4|0U A x x x x N ==≤∈-+，则U C A = （ ）A ．{}1,2,3B ．{}3,4,5C ．{}4,5D ．{}0|3x x x <>或【答案】C【解析】求出集合A 中的元素，从而求出A 的补集即可．或者将1,2,3,4,5x =分别代入2430x x -+≤检验. 【详解】解法1：2{|430,}{|13,}A x x x x N x x x N =-+≤∈=≤≤∈，故U C A = {}4,5，所以选C.解法2：将1,2,3,4,5x =分别代入2430x x -+≤检验，可得1,2,3A ∈，故U C A ={}4,5，所以选C.【点睛】本题考查了集合的运算，考查不等式解法，是基础题．2．若θ为第二象限角．则复数cos sin z i θθ=+ （i 为虚数单位）对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】根据复数对应复平面的点，然后判断对应三角函数的符号即可得到答案. 【详解】解：因为θ为第二象限角．所以cos 0,sin 0θθ<>，即复数z 的实部为负数，虚部为正数，所以z 对应的点在第二象限． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数对应的复平面的点的相关概念，难度较小. 3．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=aA.100B.99C.98D.97【答案】C【解析】试题分析：由已知，1193627{,98a d a d +=+=所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 4．条件，条件，则是的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 【答案】A【解析】试题分析：条件等价于，条件等价于集合，因为，且，所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．【考点】充分必要条件．5．设函数()2(ln 1)f x x =+，则使()()21f x f x >+成立的x 的取值范围是（ ）A.(,1)-∞B.(1,)+∞C.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】通过判断原函数的单调性和奇偶性脱离f ，建立不等式关系解出即可. 【详解】解：根据题意，函数()2(ln 1)f x x =+，则()()()22ln 1ln 1()f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，即函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，易得()f x 为增函数，则()()()()212121f x fx fx f x x x >+⇒>+⇒>+，变形可得：23210x x -->，解可得13x <-或1x >，即x 的取值范围为1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数的单调性，奇偶性以及通过函数性质解不等式问题，难度中等. 6．如图所示，半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内，用A 表示事件“豆子落在圆O 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OEF （阴影部分）内”，则()|P B A =（ ）A.4π B.14C.16π D.18【答案】B【解析】利用几何概型先求出()22124P A ππ⨯==，()22114216P AB ππ⨯⨯==，再由条件概率公式求出(|)P B A ． 【详解】如图所示，半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内，用A 表示事件“豆子落在圆O 内”，B 表示事件“豆子落在扇形(OEF 阴影部分)内”，则()22124P Aππ⨯==，()22114216P ABππ⨯⨯==，()()116(|)44P ABP B AP Aππ∴===．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD-，在四棱锥P ABCD-中，2,2,2,1PD AD CD AB====，由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC====则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解. 8．已知，则的展开式中的系数为（ ）A ．B ．15C ．D ．5【答案】D 【解析】由题意得，故求的展开式中的系数．∵，展开式的通项为． ∴展开式中的系数为．选D ．9．把函数()y f x =的图象向左平移23π个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，并且()g x 的图象如图所示，则()f x 的表达式可以为（ ）A.()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()2sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可． 【详解】∵g （0）＝2sinφ＝1，即sinφ12=， ∴φ52,6k ππ=+或φ2,6k k Z ππ=+∈（舍去） 则g （x ）＝2sin （ωx 56π+），又755122,,2,12667k k Z k ππωπω⎛⎫+=∈∴=-⨯ ⎪⎝⎭当k=1, 2ω= 即g （x ）＝2sin （2x 56π+）， 把函数g （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的12，得到y ＝2sin （4x 56π+），再把纵坐标缩短到到原来的12，得到y ＝sin （4x 56π+），再把所得曲线向右平移23π个单位长度得到函数g （x ）的图象， 即g （x ）＝sin[4（x -23π）56π+]＝8511sin 4x sin 4sin 43666x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω 和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键．10．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】先利用对称求出点A 的坐标，根据11F AO AOF ∠=∠可得1PF c =，再利用两点间距离得出关于,,a b c 方程，从而解得渐近线方程. 【详解】 解：设00(,)P x y因为2F 点关于渐近线的对称点为00(,)P x y ，不妨设渐近线方程为by x a=， 故有00001()22y b x c a y x c b a⎧⨯=-⎪-⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得22002a b x caby c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为11F AO AOF ∠=∠， 所以11PF F O c ==，根据两点间距离d =1PF c ==，即()()22222a b 2abc 0c c c -++-=，即4222224a 4a b c c c+=， 即42244a 4a b c +=，即()22244a a b c +=， 可得223a b =，所以ba=故渐近线方程为y =，故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程、两点间距离公式等知识，解题时需要有较强的运算能力.11．电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit ）”，1位只能存放2种不同的信息：0或l ，分别通过电路的断或通实现．“字节（Byte ）”是更大的存储单位，18Byte bit =，因此1字节可存放从()200000000至()211111111共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（ ） A ．254 B ．381C ．510D ．765【答案】B【解析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果. 【详解】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为11000000，1100000，110000，11000，1100，110，11，共7个.转化为十进制并相加得()()()()()()() 76655443322110 22222222222222+++++++++++++381=，故选B.【点睛】本小题主要考查二进制转化为十进制，阅读与理解能力，属于基础题.12．已知函数有唯一零点，则a=A．B．C．D．1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题13．已知向量,a b满足2b=，则a在b方向上的投影为_____．a b⋅=，且(1,3)【答案】1【解析】通过向量的数量积及投影的相关概念建立方程即可得到答案.【详解】解： 向量,a b 满足2a b ⋅=，且(1,3)b=，则a 在b 方向上的投影为：||cos 1||13a b a b θ⋅===+． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查向量的数量积，及投影的相关概念，难度较小.14．,x y 设满足约束条10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则目标函数31y z x +=+的最大值为_____．【答案】4【解析】画出不等式表示的平面区域，通过目标函数表示的斜率式观察图像即可得到答案. 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．目标函数31y z x +=+的几何意义为区域内的动点(),x y 到定点()1,3D --的斜率， 由图象知AD 的斜率最大， 由1010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()0,1A ，此时AD 的斜率13410z +==+， 即z 的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查线性规划问题，在于考查学生的作图能力及转化能力，此题只需将目标函数化为斜率式即可得到答案.15．已知直线()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =_____．【答案】223【解析】画出几何图像，建立几何关系，通过2FA FB =建立方程即可得到答案. 【详解】解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，准线1x =-．又直线()1y k x =+过定点()1,0P -， 因为2FA FB =，所以B 为AP 中点， 连接OB ，所以OB AF ∕∕．设BF m =，所以，OB m =．作BE OF ⊥，则垂足E 为OF 的中点，设BE n =， 则2214m n -=，221m m n =-32m =、2n =221312BE n k PE ===+，故答案为：23． 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及学生的计算能力，难度中等.16．某工厂现将一棱长为3的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为_____． 【答案】227π【解析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案. 【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心'O ，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N 在侧面的中线AM 上．∵3，∴32BM =，12O M '=，1BO '=， ∴2AO '=设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则102r <<． 由三角形相似得：2122r h-=222h r =，圆柱的体积()22212V r h r r ππ=-，∵()3212112327r r r r r ++-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12r r =-即13r =时取等号． ∴2π． 故答案为：227π． 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.三、解答题17．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且34sin 3cos c a B b A =+． （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值．【答案】(Ⅰ) 3sin 5B =;(Ⅱ) b =【解析】(Ⅰ)由正弦定理，三角形内角和定理可得()3sin 4sin sin 3sin cos A B A B B A +=+，结合sin 0A >，整理可得3cos 4sin B B =，又sin 0B >，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角形的面积公式可求c 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值，根据余弦定理可求b 的值． 【详解】(Ⅰ) 由34sin 3cos c a B b A =+、A B C π++=，及正弦定理可得：()3sin 4sin sin 3sin cos A B A B B A +=+，由于sin 0A >，整理可得：3cos 4sin B B =， 又sin 0B >，因此得：3sin 5B =． (Ⅱ)由(Ⅰ)知3sin 5B =，又ABC 的面积为42，且10a =， 从而有13104225c ⨯⨯=，解得14c =， 又角B 是最小的内角，所以03B π<≤，且3sin 5B =，得4cos 5B =，由余弦定理得2224141021410725b =+-⨯⨯⨯=，即b =．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想。

2019年4月长郡中学2019届第一次适应性考试数学(理科)试题第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。

【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。

4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。

【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。

2019届长郡中学高三下学期一模考试
数学（理）试卷
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，
所以，解得：，
所以复数可化为，
所以复数在复面上对应的点的坐标为.
故选：D
2.已知集合若，则实数的取值范围为（）
A.
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出集合A,B ，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.
所以集合.
由得：.
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