2018年上海市各区二模卷第24题

2018年上海市各区二模卷第24题1. （18徐汇）如图，已知直线122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，抛物线212y x bx c =-++过点B 、C ，且与x 轴交于另一个点A .（1）求该抛物线的表达式；（2）点M 是线段BC 上一点，过点M 作直线l ∥y 轴交该抛物线于点N ，当四边形OMNC 是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC ，设点D 是该抛物线上的一点，且满足DBA CAO ∠=∠，求点D 的坐标.2. （18杨浦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线4y x =+经过点A 、C ，点P 为抛物线上位于直线AC 上方的一个动点.（1）求抛物线的表达式；（2）如图（1），当CP ∥AO 时，求PAC ∠的正切值；（3）当以AP 、AQ 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时， 求出此时点P 的坐标.3. （18黄浦）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)A 和(0,3)B ，其顶点为D . （1）求此抛物线的表达式； （2）求ABD ∆的面积；（3）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若DPH ∆与AOB ∆相似，求点P 的坐标.4. （18宝嘉）已知平面直角坐标系xOy ，如图，直线y x m =+经过点(4,0)A -和(,3)B n . （1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线2y x bx c =++经过点A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求sin ∠ABP ； （3）设点Q 在直线y x m =+上，且在第一象限内，直线y x m =+与y 轴的交点为点D ，若AQO DOB ∠=∠，求点Q 的坐标.分别交于点(1,0)B -、(3,0)C ，点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结DC ，求△ACD 的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标.和点(1,0)B ，与y 轴相交于点(0,3)C . （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）求证：DAB ACB ∠=∠；（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 是以AD 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标.7. （18奉贤）已知平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线2223y x mx m =-++（0m >）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴为直线l ，过点C 作直线l 的垂线，垂足为点E ，联结DC 、BC . （1）当点(0,3)C 时，①求这条抛物线的表达式和顶点坐标； ②求证：DCE BCE ∠=∠；（2）当CB 平分DCO ∠时，求m 的值.8. （18松江）如图，已知抛物线2y ax bx =+的顶点为(1,1)C -，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线对称轴于点B ，直线CP 交x 轴于点A . （1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，试用m 的代数式表示线段BC 的长； （3）如果ABP ∆的面积等于ABC ∆的面积，求点P 坐标.yPOxCBA9. （18普陀）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，并与抛物线21742y x bx =-++的对称轴交于点(2,2)C ，抛物线的顶点是点D .（1）求k 和b 的值；（2）点G 是y 轴上一点，且以点B 、C 、G 为顶 点的三角形与BCD ∆相似，求点G 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E ：它关于直线AB 的对称点F 恰好在y 轴上，如果存在，直接写出点E 的坐标，如果不存在，试说明理由.10. （18崇明）已知抛物线经过点(0,3)A 、(4,1)B 、(3,0)C . （1）求抛物线的解析式；（2）联结AC 、BC 、AB ，求BAC ∠的正切值；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作PG AP ⊥交y 轴于点G ，当点G 在点A 的上方，且APG △与ABC △相似时，求点P 的坐标.yxABCO11. （18青浦）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的图像与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线2x =上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处. （1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标. ．ABOxy 备用图ABOxy12. （18金山）平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c =++经过点A（1,0）和B （3,0），与y 轴相交于点C ，顶点为P . （1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标； （2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA =EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，∠MEQ =∠NEB ，求点Q 的坐标.13. （18静安）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(8,0)B 和点(9,3)C -，抛物线28y ax ax c =-+（a 、c 是常数，0a ≠）经过点B 、C ，且与x 轴的另一交点为A ，对称轴上有一点M ，满足MA MC =. （1）求这条抛物线的表达式； （2）求四边形ABCM 的面积； （3）如果坐标系内有一点D ， 满足四边形ABCD 是等腰梯形， 且AD ∥BC ，求点D 的坐标.14. （18虹口）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与直线132y x =-+分别交于x 轴、y 轴上的B 、C 两点，抛物线的顶点为点D ，联结CD 交x轴于点E .（1）求抛物线的解析式以及点D 的坐标；（2）求tan BCD ∠；（3）点P 在直线BC 上，若PEB BCD ∠=∠，求点P 的坐标.15．（18浦东）已知平面直角坐标系xOy （如图8），二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图像经过A （-2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C 点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点E 在线段OC 上，且∠CBE =∠ACO ，求点E 的坐标；（3）点M 在y 轴上，且位于点C 上方，点N 在直线BC 上，点P 为上述二次函数图像的对称轴．．．上的点，如果以C 、M 、N 、P 为顶点的四边形是菱形，求点M 的坐标.yx12 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –51 2 3 4 5–1 –2 –3 –4 –5 O图8。

电路计算宝山：22、在图12所示的电路中,电源电压为6伏恒定不变.闭合电键S,电流表、电压表的示数分别为0、4安和2伏.⑴求电阻R 1的阻值. ⑵求电阻R 2消耗的电功率P 2.⑶选用下列五个定值电阻（R 3=10欧、R 4=15欧、R 5=20欧、R 6=30欧、R 7=50欧）中的一个替换图12中的电阻R 2,是否存在替换上的电阻所消耗的电功率与电阻R 2消耗的电功率P 2相等的可能？若存在这种可能,请通过计算指出它的阻值,并求出此时通过它的电流I ′和加在它两端的电压U ′.若不存在这种可能,请说明理由.⑴∵闭合电键,R 1与R 2串联,∴I 1＝I 2＝I ＝0、4安,U 1＝U －U 2＝6伏－2伏＝4伏； ∴R 1＝11I U ＝安伏4.04＝10欧（公式1分,过程1分,结果1分,共计3分） （2）P 2＝U 2×I 2＝2伏×0、4安＝0、8瓦；（公式1分,过程1分,结果1分,共计3分）（3）P 2′＝U 2′×I 2′＝(6伏－U 1′)×I 1′＝(6伏－U 1′)×欧101U ＝0、8瓦∴ U 1′＝4伏（即为原电压值）,或U 1′＝2伏；图12R 1∴U 2′＝（U －U 1′）＝（6伏－2伏）＝4伏,∴I 2′＝I 1′＝11R U '＝欧伏102＝0、2安,R 2′＝''22IU ＝安伏2.04＝20欧.故选择R 5替换R 2,R 2消耗的电功率与原先R 2消耗的电功率相等.（U 2′值1分,I 2′值1分,R 2′值1分,共计3分）崇明：22、在图15所示的电路中,电源电压为18伏保持不变,电阻R 1的阻值为10欧、闭合电键S 后,电流表A 的示数如图16(a)所示、（1）求电阻R 1两端的电压U 1； （2）求电阻R 2的阻值；（3）现有标有“20Ω 3Α”、“50Ω 2Α”字样的滑动变阻器,请从中选择一个替换R 2,并将一个表盘如图16(b)所示的电压表并联在R 1或R 2两端,要求在移动变阻器滑片P 的过程中电压表示数的变化量最大.①选择的变阻器是 ,电压表接在 两端；②求电压表示数的最大变化量U ∆、（1）U 1＝I 1 R 1＝0、5安×10欧＝5伏 公式、代入、答案各1分（2）U ＝U －U 1＝18伏－5伏＝13伏R 2＝U 2/ I ＝13伏/0、5安＝26欧图16(a)(b)图15公式、代入、答案各1分（3）“50Ω 2Α”；R 2 2分 当R 2＝0欧时,U 2最小＝0伏 1分I最小＝U / R 大＝18伏/（10欧＋50欧）＝0、3安U 2最大＝I最小R 2＝0、3安×50欧＝15伏 1分奉贤：22、如图11 所示,电源电压为12 伏不变,电阻R 1 的阻值为30 欧,电阻R 2 的阻值为10 欧,闭合电建S 后, 求：（1）通过电路的电流I 1： （2）电路消耗的功率P ：（3）现用标有“20 欧0、5 安”字样的滑动变阻器替换R 1 或R 2,使移动变阻器滑片的过程中电流表示变化量△I 的值最小,求变阻器连入电路的阻值范围.22、（1）12UI R R =+＝0、3A ；（2）P 1＝UI ＝3、6W黄浦：22、在图12（a）所示的电路中,电源电压为6伏且不变.闭合电键S后,电压表的示数为2伏,电流表的示数为0、2安.①求电阻R1的阻值.②通电10秒,求电流通过变阻器R2所做的功W2.③小红将R1和R2按图12（b）所示接入相同电源的电路,她设想通过移动变阻器R2的滑片P,使（a）、（b）两电路消耗的总功率相等.请判断她的方案是否可行,并说明理由.22、①电阻R1的阻值为10欧；②电流通过变阻器R2所做的功W2为8焦；③不可行,理由略嘉定： 22、在如图13（a）所示的电路中,电源电压为6伏且保持不变,滑动变阻器R 2是规格为“20 2A ”和 、5A”中的一个.（1）若电阻R 1的阻值15欧,求电键闭合后： ①通过R 1的电流I 1 ②电阻R 1消耗的电功率P 1.（2）若在电路中正确串联两个电流表,闭合电键后,当变阻器连入电路的阻值为其最大阻值的一半时,电流表示数如图13（b ）、（c ）所示.请通过计算判断所用变阻器的规格,并求出R 1可能的阻值.（1）①I 1＝U /R 1＝6伏/15欧＝0、4安 3分 ②P 1＝U 1I 1＝6伏×0、4安＝2、4瓦 3分（2）当用规格为“20Ω 2A ”滑动变阻器时,I 2＝U /R 2＝6伏/10欧＝0、6安当用规格为“50Ω 1、5A ”滑动变阻器时,I 2＝U /R 2＝6伏/25欧＝0、24安由图可知：两电流表的示数为别为0、18A 或0、9A,0、3A 或1、5A,由此可知：电流表一定不会串联在滑动变阻器R 2所在支路,故只能一个测R 1所在支路电流,且选择的滑动变阻器的规格为“20Ω 2A ” I 2 ＝（判断1分 过程说明1电流表组合方式只有以下两种：R（a ）（b （c ）当I =0、9A 时,I 1＝0、3A R 1＝U /I 1 ＝6伏/0、3安＝20欧 1分当I ＝1、5A 时,I 1＝0、9A R 1＝U /I 1 ＝6伏/0、9安＝6、7欧 1分闵行：21、在图12（a ）所示的电路中,电源电压为12伏且保持不变,电阻R 1的阻值为20欧,滑动变阻器R 2上标有“10欧 2安”字样.将电键闭合后,求：（1）通过电阻R 1的电流.（2）电阻R 1通电10秒所消耗的电能.（3）再将两个表盘如图12（b ）所示的电流表A 1、A 2正确接入电路,要求通过移动变阻器的滑片,使A 1与A 2示数的比值最大.请指出两电流表的位置,并算出此比值.普陀：21、在如图 9（a ）所示的电路中,电源电压恒定不变,R 1 的阻图122（a ） （b ）值为 30 欧,滑动变阻器上标有“20Ω 2A”字样,闭合电键后,电流表 A1 的示数如图 9(b)所示.① 求R1 两端的电压U1；② 若R2 消耗的电功率为 4、5 瓦,求通过R2 的电流I2；③ 现将同样规格的电流表 A2 接入电路中,不改变 A1 量程,调节滑片P的位置,使两电流表指针偏离 0 刻度线的角度相同,且电路元件均正常工作,求R2 接入电路的阻值.青浦：21、如图9所示的电路中,电源电压保持不变.①若电阻R1的阻值为20欧,当电键S闭合时,电流表A的示数为0、5安.求电阻R1两端的电压U1和10秒钟电流通过电阻R1所做的功W1.②若闭合电键S,将滑动变阻器R2的滑片P从a端移到b端时,电流表、电压表的示数如下表所示.求电源电压U和电阻R1的阻值.①U 1＝I 1R 1＝0、5安×20欧＝10伏 2分W 1＝U 1 I 1t ＝10伏×0、5安×10秒＝50焦 2分②当滑片P 在a 点时,U ＝I (R 1＋R 2）＝0、2安×(R 1＋R 2）＝0、2安×R 1＋4伏当滑片P 在b 点时,U ＝U 1＝I 1R 1＝0、6安×R 1 1分 ∵ 电源电压不变, ∴ 0、2安×R 1＋4伏＝0、6安×R 1 1分R 1＝10欧 U ＝6伏 2分松江：21、在图13所示的电路中,电源电压为18伏保持不变,电阻R 1的阻值为10欧, 滑动变阻器R 2上标有“1、5A”字样.闭合电键S后,电流表A 的示数如图14所示.① 求电阻R 1两端的电压U 1.② 求10秒内电流通过滑动变阻器R 2所做功W 2.③ 在电路安全工作的情况下,移动变阻器R 2的滑片,电路消耗的最大功率恰为最小功率的2、5倍,求变阻器的最大阻值R 2最大.图14图13图9①U1＝I1R1＝0、8安×10欧＝8伏 3分②U2＝U- U1＝18伏-8伏=10伏 1分W2＝U2 I2t＝10伏×0、8安×10秒＝80焦2分③P最大＝2、5P最小UI最大＝2、5UI最小1分I最大＝2、5I最小I最大＝2、5U/R最大1、5安＝2、5×18伏/（10欧+R2最大）1分R2最大＝20欧1分徐汇：22、在图10所示电路中,电源电压为18伏,R1为定值电阻,R2为滑动变阻器.①当电路中电流为0、6安时,求接入电路的总电阻值.②在确保电路中各元件安全的情况下,移动滑动变阻器的滑片,滑动变阻器的电阻变化范围为8欧~50欧；用定值电阻R0替换R1后,再移动滑动变阻器的滑片,滑动变阻器的电阻变化范围变为3欧~60欧.求该滑动变阻器R2的规格以及定值电阻R1、R0的阻值,并写出计算过程.滑动变阻器R2的规格为“欧安”；定值电阻的阻值R1= 欧；R0= 欧.①R=U/I=18伏/0、6安=30欧②（U-U2大)/R1=U2大/R2大代入数据,解得R1=10欧I大= U/（R1+R2小）=18伏/（10欧+8欧）=1安（R0+R1小’ )=U/I大代入数据,解得R0=15欧U/（R0+R2大’）=U2/R2大解得U2<15伏故R2大=60欧杨浦：24、在图12（a）所示的电路中,电源电压为24 伏保持不变,电阻R1 的阻值为10欧,滑动变阻器标有“50Ω 2A”字样,所用电表的表盘如图（b）所示.闭合电键S 后,电流表A 的示数为1 安. 求：①电压表V1 的示数U1；②在电路各元件都正常工作的情况下,移动变阻器滑片P 的过程中电流表示数的最大值.杨浦：25、在图13（a）所示的电路中,定值电阻R1的阻值为10 欧,滑动变阻器R2 上标有“50Ω1A”字样,所用电流表如图13（b）所示①若电源电压为6 伏,则闭合电键,求通过电阻R1 的电流I.②若电源电压为6 伏,通过变阻器R2 的电流为0、5 安,求10 秒内电流通过R2 所做功W2.③若电源电压可变,范围在6～12 伏之间,在不损坏电路元件的情况下,求该电路消耗的最大功率和最小功率.长宁（金山）：21、如图9所示的电路中,电源电压保持不变.①若电阻R 1的阻值为20欧,当电键S 闭合时,电流表A 的示数为0、5安.求电阻R 1的两端电压U 1和10秒钟电流通过电阻R 1所做的功W 1. ②若闭合电键S 后,将滑动变阻器R 2的滑片P 从a 端移到 b 端时,电流表、电压表的示数如下表所示.求：电源电压U 和电阻R 1的阻值.①U 1＝I 1R 1＝0、5安×20欧＝10伏 2分W 1＝U 1 I 1t ＝10伏×0、5安×10秒＝50焦 3分②当滑片P 在a 点时,U ＝I (R 1＋R 2）＝0、2安×(R 1＋R 2）＝0、2安×R 1＋4伏 1分当滑片P 在b 点时,U ＝U 1＝I 1R 1＝0、6安×R 1 1分 ∵ 电源电压不变, ∴ 0、2安×R 1＋4伏＝0、6安×R 1 ∴ R 1＝10欧 U ＝6伏 2分图9。

电学实验杨浦：30. 小华做“测定小灯泡的电功率”实验，现有电源（有3伏、4.5伏，6伏可选）、待测小灯（标有“0.28A ”字样）、电压表、电流表、滑动变阻器、电键及导线若干。

小华连接电路，进行实验，闭合电键后，在移动变阻器的滑片的过程中，电压表的示数从2.4伏逐渐减小至零，电流表示数变化范围为0.12安~0.24安，小灯亮度虽随之变化，但是一直较暗。

①你认为小华的实验中存在的问题是：①__________________；②____________________。

②经过思考后，小华仅对实验器材略作调整，然后闭合电键，继续实验，发现当小灯正常发光时，电压表和电流表的示数的乘积为0.616瓦。

实验中，小华判断小灯正常发光的依据是：____________，此时的电源电压为___________伏，小灯的额定功率为__________瓦。

答案：奉贤：25．小杨同学在做“测定小灯泡的电功率”实验时，实验器材齐全并完好，其中电源电压为6伏且不变，待测小灯泡L 标有“4.5V ”字样，且有规格为“20Ω 1A ”和“50Ω 2A ”的两种滑动变阻器可选。

他正确串联实验器材，闭合电键并逐步移动滑片P 的位置，观察电压表及电流表的示数，并记录实验数据，部分实验数据如表所示。

① 小杨同学实验中选用的滑动变阻器为____（9）___， 理由是____（10）___。

② 根据表中的信息可求得的小灯泡最暗时电源的电功率为 （11） 瓦。

③ 根据表中的信息计算出小灯泡L 的额定功率。

（需写出计算过程）__（12）_____答案：宝山、嘉定：26．小姜同学在做“用电流表、电压表测电阻”实验，现有电压不变的电源，待测电阻R x ，电流表、电压表（0～15V 档损坏），滑动变阻器（标有“20Ω 2A ”字样），电键及导线若干。

实验中，小姜同学先依据实验原理设计了实验所用电路图，如图16（a ）所示。

当小姜同学将滑片移至最右端后闭合电键后，电压表示数为2.0伏，电流表示数为0.20安；接着他将滑片P 向左移至中点时，电压表示数为3.0伏，电流表示数如图16（b ）所示。

2017学年上海市初三二模记叙文阅读汇编（含答案）【黄浦区】（二）阅读下文，完成第19—23题（20分）车票①我看了看手表，是晚上七点五十分。

这不是一个很晚的时间，可是在一个冬日的乡下公路上，它已经很晚，更是很黑，很晚很黑的公路上只有这一辆手扶拖拉机“突突突”开着，我坐在它后面的车斗里，心里淌过的是一条舒展的光芒般的水流：“（）！”我在路上走了好长一段，都没有拖拉机开过来。

有卡车驶过，但是卡车的架势总令我完全不指望。

它是“呼”地驶过，而拖拉机是“突突突”，“突突突”的声音和速度都和缓得多，让你敢走上去拦一拦。

②我看着专心开拖拉机的农民，他凌乱的头发在夜风里有些飘曳，像田垄上的一小撮草，这一撮草应该有些日子没洗了，黑暗中也能看见不清洁。

那时的农民男人不是经常洗头的，可是我已经不会嫌弃，我下乡在农场四年了，农场也有农民，习惯了他们的凌乱，熟悉他们不复杂的心思，比起城里人，比起读过些书的我们这些青年，他们品性的清爽面积要大得多了。

我刚才朝着他招手，他立即就停下了，他应该是三四十岁了，我小心也讨好地说：“让我搭一下好吗？我是农场的知青，没有车了！”他用乡下话说：“我是到桃园的！”我说：“好的好的，到了桃园我就下去自己走。

”我要到的塘外比桃园远，先到桃园，然后到团结，然后是塘外，到了塘外我还要走五十分钟。

我就这样上了车，跟着他“突突突”往前开。

风不小的，路边没有什么树，出门时，外祖母让我穿上妈妈为我新买的棉风雪大衣，我说过年再穿吧，她说过年再穿干什么，晚上路上会冷。

没有想到，它就真的为我挡住了很多的冷，拖拉机男人穿着粗布棉袄。

我是很想往前凑过头和他说几句话，告诉他我是在西渡坐末班车回农场，可是晕了车，忍啊忍啊，后来忍不住，就下来吐，车开走了，我蹲在路边吐，吐的时候完全不想车开走了怎么办，还有那么多路，怎么回农场。

吐的时候的确是胸前涌满了而脑子空无的。

可是拖拉机“突突突”地开，他听不见的。

我这么想，只是觉得他如果知道些情景，了解了来龙去脉，我心里会有买了一张车票的踏实，我喜欢心里踏实，不模模糊糊，含混一片。

如图1，已知平行四边形ABCD 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝45°．将△ABC 沿着AC 翻折，点B 落在点E 处，联结DE ，那么DE AC的值为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江18”，可以体验到，△ACH 是等腰直角三角形，DE 与AC 平行．答案 1．思路如下：如图2，设CE 与AD 交于点H ．由∠ACB ＝45°，可知∠BCE ＝90°．所以△ACH 是等腰直角三角形．所以===CE CB CA CH CH CH 1=EH CH． 由△EAC ≌△BAC ≌△DCA ，可知A 、D 两点到AC 的距离相等．所以DE //AC ．所以1==DE EH AC CH ．图2如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋b x 的顶点为C (1,－1)，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线于点B ，直线CP 交x 轴于点A ．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，使用m 的代数式表示线段BC 的长；（3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江24”，拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，△ABP 与△ABC 是同高三角形，面积比等于PH 与CE 的比．思路点拨1．函数的解析式中待定两个系数，需要知道两个点的坐标．看似缺少条件，其实解析式中隐含了抛物线经过原点．2．△ABP 与△ABC 是同高三角形，面积相等时高也相等．图文解析（1）设抛物线的顶点式为y ＝a (x －1)2－1＝ax 2－2ax ＋a －1．对照y ＝ax 2＋b x ，根据常数项相等，得a －1＝0．所以a ＝1．所以抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－1＝x 2－2x ．（2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ，设对称轴与x 轴交于点E ，那么E (1, 0)．已知点P 的横坐标为m ，那么PH ＝m 2－2m ． 由=BE PH OE OH ，得221-=BE m m m．所以BE ＝m －2． 所以BC ＝BE ＋EC ＝m －2＋1＝m －1．图2 图3（3）如图3，因为△ABP 与△ABC 是同高三角形，当它们的面积相等时，底边AP ＝AC ． 此时PH ＝CE ＝1．所以点P 的纵坐标为1．解方程m 2－2m ＝1，得1=m当1=m 时，PH ＝m 2－2m ＝m (m －2)＝1)＝1．所以点P 的坐标是(1．考点伸展第（3）题可以从不同的角度认识△ABP 和△ABC ．例如，如图3，当△ABP 与△ABC 的面积相等时，△PBC 是△ABC 面积的2倍，这两个三角形有公共底边BC ，所以高EH 是高EA 的2倍．于是得到A 是EH 的中点，进一步得到P 、C 两点的纵坐标互为相反数．再如，把BA 看作△ABP 与△ABC 的公共底边，那么P 、C 两点到直线BA 的距离相等．由于两条高是平行且相等的，这样也可以得到A 是PC 的中点．例 2018年上海市松江区中考模拟第25题如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，以点C 为圆心、CB 为半径的圆交AB 于点D ，过点A 作AE //CD ，交BC 的延长线于点E ．（1）求CE 的长；（2）P 是CE 延长线上一点，直线AP 、CD 交于点Q ．①如果△ACQ ∽△CPQ ，求CP 的长；②如果以点A 为圆心，AQ 为半径的圆与⊙C 相切，求CP的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江25”，拖动点P 在CE 的延长线上运动，可以体验到，⊙A 与⊙C 可以内切，不可能外切．思路点拨1．图形中A 、B 、C 、D 、E 等5个点都是确定的，因此图1中所有线段和角都是确定的．因为点P 而动的线段CP 、EP 、AP 、AQ ，都可以用CP ＝x 来表示．2．如果△ACQ ∽△CPQ ，那么∠P ＝∠ACQ ＝∠CAE 也是确定的．3．对于⊙A 与⊙C ，⊙C 的半径和圆心距是确定的，如果两圆相切，⊙A 的半径AQ 就是确定的．图文解析（1）如图2，由DC //AE ，得 DC BC AE BE．因为DC ＝BC ，所以AE ＝BE ． 设CE ＝m ，那么在Rt △ACE 中，AE ＝BE ＝2＋m ，AC ＝3．由勾股定理，得(2＋m )2＝32＋m 2．解得CE ＝m ＝54．图2 图3（2）①如图2，在Rt △ACE 中，CE ＝54，AC ＝3，所以tan ∠CAE ＝512． 如图3，如果△ACQ ∽△CPQ ，那么∠ACQ ＝∠P ．又因为∠ACQ ＝∠CAE ，所以∠P ＝∠CAE ．在Rt △ACP 中，tan ∠P ＝AC CP ＝512，所以CP ＝125AC ＝365． ②对于⊙A ，r A ＝AQ ；对于⊙C ，r C ＝2；圆心距d ＝AC ＝3．当⊙A 与⊙C 内切时，AQ －2＝3，此时AQ ＝5．当⊙A 与⊙C 外切时，AQ ＋2＝3，此时AQ ＝1．如图3，在Rt △ACP 中，AC ＝3，设CP ＝x ，那么AP如图4，由DC //AE ，得555()4445==÷-=-AQ EC x AP EP x ．当AQ ＝5545=-x 45=-x ． 整理，得15x 2－40x ＋16＝0．解得1 2.18=≈x （如图5所示），20.49=≈x （舍去）．当AQ ＝1545=-x ．所以45=-x ． 整理，得9x 2＋40x ＋200＝0．此方程无实数根，所以⊙A 与⊙C 不可能外切．图4 图5考点伸展第（1）题求CE 的长，还可以这样解：如图6，设⊙C 的直径为BF ，那么∠B 是等腰三角形ABF 的底角．如图7，∠B 是等腰三角形CBD 和等腰三角形EBA 的公共底角．这三个等腰三角形两两相似． 由=BA BF BE BA ，得2134==BA BE BF ．所以CE ＝BE －BC ＝1324-＝54．图6 图7如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于_________．动感体验请打开几何画板文件名“18长宁17”，拖动点C在以AB为直径的半圆O上运动，可以体验到，半高三角形有两种情况，一是等腰直角三角形，二是两条直角边的比为1∶2．答案如图1，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CO是斜边上的中线，那么CO＝12AB＝52为定值．当CD＝12AB时，CD与CO重合，△ABC是等腰直角三角形（如图2所示）．此时△ABC的周长为5+．如图2，当AC＝2BC时，设AC＝2m，BC＝m，由勾股定理，得5m2＝52．解得m ABC的周长为5+图1 图2 图3如图1，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD 上一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18长宁18”，拖动点A 可以改变矩形ABCD 的形状，但是对角线BD 保持不变，可以体验到，△BCP 和△ECP 关于CP 保持对称，当EP //AB 时，∠CED ＝∠ABD ．答案 12．思路如下：已知BD ＝1，设AB ＝x ，那么AD EC ＝BC ＝AD如图2，当EP //AB 时，∠DEP ＝90°．根据等角的余角相等，∠CED ＝∠ABD ． 如图3，如图4，由sin ∠CED ＝sin ∠ABD ，得=DC AD EC BD．1=．整理，得x 2＋x －1＝0．解得12-=x ．图2 图3 图4如图1，在直角坐标平面内，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于B (－1, 0)、C (3, 0)两点，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结DC ，求△ACD 的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18长宁24”，可以体验到，△ACD 是直角三角形．拖动点P 在直线CD 上运动，可以体验到，△OCP 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．第（2）题先证明△ACD 是直角三角形，再计算面积比较方便．2．第（3）题首先要发现并证明△OCP 与△ABC 中一组相等的角，然后根据两边对应成比例分两种情况列方程．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于B (－1, 0)、C (3, 0)两点，所以y ＝a (x ＋1)(x －3)． 对照y ＝ax 2＋bx －3，根据常数项相等，得－3a ＝－3．解得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4．顶点为D (1,－4)．（2）如图2，由A (0,－3)、C (3, 0)、D (1,－4)，可得AC 2＝18，AD 2＝2，CD 2＝20． 所以CD 2＝AC 2＋AD 2．所以△ACD 是直角三角形，∠CAD ＝90°．所以S △ACD ＝12⋅AC AD 3．图2 图3 图4（3）第一步，先探求∠OCD ＝∠BAC ．如图3，由C (3, 0)、D (1,－4)，可得tan ∠DCO ＝42＝2．如图4，作BH ⊥AC 于H ．由OA ＝OC ，得AC ＝C ＝45°．在等腰直角三角形BCH 中，BC ＝4，所以BH ＝CH ＝在Rt △BAH 中，AH ＝tan ∠BAC ＝BHAH ＝2． 所以∠OCD ＝∠BAC ． 第二步，当点P 在射线CD 上时，∠OCP ＝∠BAC ，分两种情况讨论相似．如图5，作PM ⊥x 轴于M ，那么CM ＝5，PM ＝2CM ．①当=CP ABCO AC 时，3CP CP 此时CM ＝1，PM ＝2．所以P (2,－2)（如图6所示）．②当=CP ACCO AB 时，3CP CP ． 此时CM ＝95，PM ＝185．所以OM ＝935-＝65，P 618(,)55-（如图7所示）．图5 图6 图7考点伸展第（2）题求△ACD 的面积方法多样．例如，如图8，用梯形ONDC 的面积减去直角三角形AOC 和直角三角形AND 的面积． 再如，如图9，DF 把△ACD 分割为两个三角形，DF 是公共底边，高的和等于OC ． 还可以由∠OAC ＝∠DAN ＝45°，先证明直角三角形ACD ，再计算面积．图8 图9例 2018年上海市长宁区中考模拟第25题在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD ．已知圆O 的半径长为5，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图2，设AC ＝x ，△△ACO OBDS S ＝y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18长宁25”，拖动点C 在AB 上运动，可以体验到，△AOC 与△OBC 是同高三角形，△OBD 与△OBC 也是同高三角形．还可以体验到，四边形AOBD 的两组对边各有一个时刻平行．思路点拨1．圆中已知定弦，一般先求弦心距．2．在△ACO 个△OBD 之间，找一个相关联的△OBC ．3．按照对边平行，分两种情况讨论梯形AOBD ．图文解析（1）如图3，当点D 是弧AB 的中点时，OD 垂直平分弦AB ，垂足为C ．在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝4，所以OC ＝3．此时CD ＝OD －OC ＝5－3＝2．图3 图4 图5（2）如图5，△ACO 和△OBD 都可以与△OBC 相关联．第一步，用x 表示OC 的长．如图4，作OH ⊥AB 于H ，那么OH ＝3，CH ＝4－x ，所以OC第二步，如图5，因为△△ACO OBC S S ＝AC BC ＝8-x x ，△△OBD OBC S S ＝OD OC，所以y ＝△△ACO OBD S S ＝△△△△÷ACO OBD OBC OBC S S S S＝8-x x定义域是0＜x ＜8．（3）如图6，延长BO 交圆于点E ，那么BE 是圆的直径，AE ＝2OH ＝6． 情形1，如图6，如果OA //BD ，那么∠DBA ＝∠BAO ＝∠ABO ．根据相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，此时AD ＝AE ＝6． 情形2，如图7，如果AD //BO ，那么四边形ADBE 是等腰梯形． 作AM ⊥BE 于M ，作DN ⊥BE 于N ，那么AD ＝MN ．在Rt △AEM 中，AE ＝6，cos ∠E ＝35，所以EM ＝35AE ＝185． 此时AD ＝MN ＝BE －2EM ＝181025-⨯＝145．图6 图7 图8考点伸展第（2）题也可以用面积公式求△ACO 的面积，用割补法求△OBD 的面积．如图8，△OBC 和△DBC 的公共底边为BC ，高OH ＝3，求高DG 也要先用x 表示OC 的长，再根据相似比求得DG 的长．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是边AB上一点（不与A、B重合），以点A 为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，那么⊙C的半径r的取值范围是______．动感体验请打开几何画板文件名“18崇明17”，拖动点E在AB上运动，可以体验到，⊙C的半径CF＝AC－AE．答案8≤r＜13．思路如下：如图2，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝12，所以AC＝13．如果⊙C与⊙A外切于点F，那么⊙C的半径r＝CF＝AC－AE＝13－AE．因为0＜AE≤5，所以8≤r＜13．图1如图1，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，联结CE ，那么线段CE 的长等于_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明18”，可以体验到，A 、B 、C 、E 四点在以AB 为直径的圆D 上，四边形AEDB 是轴对称图形，可以计算得到对角线EB 的长，进而在直角三角形ECB 中得到CE 的长．答案 如图2，在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10． 在△ABD 中，DA ＝DB ＝5，AB ＝6，容易得到S △ABD ＝12． 所以S 四边形AEDB ＝24．再由S 四边形AEDB ＝12⋅AD EB ＝52EB ＝24，得EB ＝485． 如图3，在Rt △ECB 中，CE 2＝CB 2－EB 2＝224810()5-＝225048()()55-＝2221()(5048)5⨯-＝21()9825⨯⨯＝21()4945⨯⨯．所以CE ＝1725⨯⨯＝145．图2 图3如图1，已知抛物线经过点A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求∠BAC的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG⊥AP交y轴于点G，当点G在点A的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明24”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△AHP 与△APG保持相似．直角三角形AHP的两条直角边的比可以为1∶3，也可以为3∶1．思路点拨1．第（1）题设抛物线的一般式列三元一次方程组比较方便．2．第（2）题先证明△ABC是直角三角形，用勾股定理的逆定理书写起来比较方便．3．第（3）题根据相似三角形的传递性，过点P作y轴的垂线段PH，转化为△AHP与△ABC相似的问题．4．根据直角边对应成比例，分两种情况讨论△AHP与△ABC相似．图文解析（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c．将A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)分别代入，得3,1641, 930.=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ca b ca b c解得12=a，52=-b，c＝3．所以215322=-+y x x．（2）如图2，由A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)，得AC2＝18，BC2＝2，AB2＝20．所以AC2＋BC2＝AB2．所以△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．所以tan∠BAC＝BCAC13．图2（3）设点P 的坐标为215(,3)22-+x x x ． 如图3，作PH ⊥y 轴于H ，那么△AHP ∽△APG ． 如果△APG 与△ABC 相似，那么△AHP 与△ABC 也相似． 分两种情况讨论△AHP 与△ABC 相似：①如图4，当3==HA CAHP CB 时，3=HA HP ． 解方程21533322-+-=x x x ，得x ＝11，或x ＝0．此时P (11, 36)．②如图5，当13==HA CA HP CB 时，13=HA HP ．解方程215133223-+-=x x x ，得x ＝173，或x ＝0．此时P 1726(,)33．图3 图4 图5考点伸展如果第（3）题求点G 的坐标，也需要先求点P 的坐标．如图4，HG ＝13HP ＝113，此时OG ＝y P ＋HG ＝11363+＝1193．所以G 119(0,)3． 如图5，HG ＝3HP ＝17，此时OG ＝y P ＋HG ＝26173+＝773．所以G 77(0,)3．例 2018年上海市崇明区中考模拟第25题如图1，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，D是AC边上一点，且AB2＝AD·AC，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF＝∠C，AE与BD相交于点G．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数关系式；（3）联结FG，当△GEF是等腰三角形时，求BE的长度．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明25”，可以体验到，在等腰三角形ANC中，有一个“一线三等角”模型．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点E在BC运动，可以体验到，△GEF的每个顶点都可以落在对边的垂直平分线上．思路点拨1．第（1）题是典型的“平分＋平行”模型，过点A作BC的平行线交于BD的延长线于M，通过计算得到AM＝AB．2．第（2）题如果想到了“一线三等角”，就构造一个等腰△ANC，问题迎刃而解．3．第（3）题的△GEF中，cos∠GEF是定值，设法用x表示夹∠GEF的两条边，然后分三种情况列方程．图文解析（1）由AB2＝AD·AC，得26416123===ABADAC．所以1641239=÷=ADAC．所以45=ADCD．如图2，过点A作BC的平行线交BD的延长线于点M，那么45==AM ADBC CD．所以AM＝45BC＝8．所以AM＝AB．所以∠M＝∠ABM．图2 又因为∠M＝MBC，所以∠ABM＝∠MBC，即BD平分∠ABC．（2）第一段，如图3，作AH⊥BC于H，设BH＝m，那么CH＝10－m．由勾股定理，得AB2－BH2＝AC2－CH2．所以82－m2＝122－(10－m)2．解得m＝1．因此cos ∠C ＝93124==CH AC ． 第二段，如图3，以AH 为对称轴，构造等腰三角形ANC ，那么NB ＝8．第三段，如图4，由∠AEC ＝∠N ＋∠NAE ，∠AEC ＝∠AEF ＋∠CEF ，∠N ＝∠C ＝ ∠AEF ，可得∠NAE ＝∠CEF ．又因为∠N ＝∠C ，所以△ANE ∽△ECF ． 所以=AN EC NE CF ．所以12108-=+xx y． 整理，得280212+-=x x y ．定义域是0＜x ＜10．图3 图4（3）如图5，在△GEF 中，∠GEF 是定值，cos ∠GEF ＝cos ∠C ＝34． 第一步，用x 表示EG 、EF ．如图6，由8==EG BE x AG AM ，得8==+EGBE xAE AM x． 所以8=+xEG AE x．如图4，由△ANE ∽△ECF ，得1012-==EFEC xAEAN ． 所以1012-=xEF AE ．图5 图6第二步，分三种情况讨论等腰三角形GEF ． ①如图7所示，当EF ＝EG 时，10812-=+x x AE AE x ．整理，得x 2＋10x －80＝0．解得5=-x ．此时BE 5． ②如图8所示，当GE ＝GF 时，1324=EF EG ．所以131028412-⨯=⨯+x xx ． 整理，得x 2＋16x －80＝0．解得x ＝4，或x ＝－20．此时BE ＝4． ③如图9所示，当FE ＝FG 时，1324=EG EF ．所以110321248-⨯=⨯+x xx． 整理，得x 2－6x －80＝0．解得3=-x BE 3图7 图8 图9考点伸展第（1）题也可以这样思考：如图10，已知△ABC 的三边，由AB 2＝AD ·AC ，可以求得AD 的长，也可以得到△ABD ∽△ACB ．再根据对应边成比例，求得DB 的长，得到DB ＝DC ，得到∠DBC ＝∠C ．经过等量代换，得到∠ABD ＝∠DBC ．但是这个解法对第（2）、（3）题的帮助不大．图10如图1，点A、B在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC的度数为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定17”，可以体验到，四边形OABC是菱形，△OAB是等边三角形．答案120°．思路如下：如图2，由弦AC与半径OB互相平分，可知四边形OABC是平行四边形．由OA＝OC，得平行四边形OABC是菱形．如图3，由OA＝OB＝AB，得△OAB是等边三角形．于是可得∠AOC＝120°．图2 图3如图1，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点D 在边AB 上，且∠BDC ＝90°．如果△ACD 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，点D 旋转至点D 1，那么线段DD 1的长为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定18”，拖动点C 1绕点A 旋转，可以体验到，△ACC 1与△ADD 1保持相似．答案4225．思路如下： 如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么BH ＝CH ＝3．所以cos ∠B ＝BHAB＝35． 在Rt △BCD 中，BD ＝BC ·cos ∠B ＝365⨯＝185．所以AD ＝1855-＝75．如图3，由△ADD 1∽△ACC 1，得11=AD ACDD CC ． 如图4，当C 1与B 重合时，17556=DD ．此时DD 1＝4225．图2 图3 图4例 2018年上海市嘉定区中考模拟第24题已知平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋m 经过点A (－4, 0)和点B (n , 3)．（1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，该抛物线的顶点为P ，求sin ∠ABP 的值；（3）设点Q 在直线y ＝x ＋m 上，且在第一象限内，直线y ＝x ＋m 与y 轴的交点为D ，如果∠AQO ＝∠DOB ，求点Q 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定24”，可以体验到，△ABP 是直角三角形．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，可以体验到，△BOD ∽△BQO ．思路点拨1．第（2）题求sin ∠ABP 的值，可以先求tan ∠ABP 的值．如果准确描出A 、B 、P 三点的位置，答案就在图形中．2．第（3）题先根据题意画出示意图，如果能根据∠AQO ＝∠DOB ，发现相似三角形，那么就可以确定BQ 的长，进而求得点Q 的坐标．图文解析（1）将点A (－4, 0)代入y ＝x ＋m ，得－4＋m ＝0．解得m ＝4．将点B (n , 3)代入y ＝x ＋4，得n ＋4＝3．解得n ＝－1．（2）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－4, 0)，可设y ＝(x ＋4)(x －x 2)． 代入点B (－1, 3)，得3＝3(－1－x 2)．解得x 2＝－2．所以y ＝(x ＋4)(x ＋2)＝x 2＋6x ＋8＝(x ＋3)2－1．顶点为P (－3,－1)．如图2，由A (－4, 0)、B (－1, 3)、P (－3,－1)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是3，A 、P 两点间的水平距离和竖直距离都是1，所以∠BAO ＝∠P AO＝45°，AB ＝AP所以在Rt △ABP 中，tan ∠ABP ＝AP AB ＝13．所以sin ∠ABP 图2（3）如图3，由y ＝x ＋4，得D (0, 4)．再由B (－1, 3)，得BO 2＝10，BD 如果∠AQO ＝∠DOB ，那么△BOD ∽△BQO ．所以=BO BQBD BO ．所以2===BO BQ BD 所以B 、Q 两点间的水平距离和竖直距离都等于5．所以Q (4, 8)．图3 图4考点伸展第（3）题也可以用等角的正切值相等来解．如图4，作BF ⊥y 轴于F ，作OE ⊥AB 于E ．在等腰直角三角形AOE 中，AO ＝4，所以OE ＝E (－2, 2)．由于tan ∠DOB ＝BF OF ＝13，所以tan ∠AQO ＝OE QE ＝13．所以QE ＝3OE ＝． 所以Q 、E 两点间的水平距离和竖直距离都等于6．所以Q (4, 8)．例 2018年上海市嘉定区中考模拟第25题在圆O中，AO、BO是圆O的半径，点C在弧AB上，OA＝10，AC＝12，AC//OB，联结AB．（1）如图1，求证：AB平分∠OAC；（2）点M在弦AC的延长线上，如果△AMB是直角三角形，请你在如图2中画出点M 的位置并求CM的长；（3）如图3，点D在弦AC上，与点A不重合，联结OD与弦AB交于点E，设点D 与点C的距离为x，△OEB的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定25”，拖动点M在AC的延长线上运动，可以体验到，直角三角形ABM存在两种情况．拖动点D在AC上运动，可以体验到，△OEB与△OAB是同高三角形，y随x的增大而增大．思路点拨1．已知半径和弦，一般情况下先求弦心距．2．直角三角形ABM存在两种情况，∠AMB＝90°和∠ABM ′＝90°，两种情况的图形叠放在一起，BM就是直角三角形ABM′斜边上的高．3．第（3）题用同高三角形的面积比，运算量比较小．图文解析（1）如图4，由OA＝OB，得∠OAB＝∠OBA．由AC//OB，得∠CAB＝∠OBA．所以∠OAB＝∠CAB，AB平分∠OAC．（2）点M存在两种情况：M和M′（如图6所示）．如图5，作OH⊥AC于H，那么在Rt△OAH中，OA＝10，AH＝6，所以OH＝8．如图6，当∠AMB＝90°时，AM＝AH＋HM＝AH＋OB＝6＋10＝16．此时CM＝AM－AC＝16－12＝4．当∠AB M ′＝90°时，∠BAM＝∠M ′BM．所以'81162===M M BMBM AM．所以1'42==M M BM．此时CM ′＝8．图4 图5 图6（3）第一步，如图7，S △OAB ＝12⋅OB OH ＝11082⨯⨯＝40． 第二步，如图8，由1012==-BE BO AE AD x ，得1022=-BE BA x ． 第三步，如图9，由于△OEB 与△OAB 是同高三角形，所以1022△△==-OEB OAB S BE S BA x ． 所以y ＝S △OEB ＝104022⨯-x ＝40022-x．定义域是0≤x ＜12．图7 图8 图9考点伸展第（3）题求△OEB 的面积的方法多样．例如，△ODB 的面积是定值，△OEB 与△ODB 也是等高三角形，底边OE 与OD 的比，同样根据OB 与AD 的比可以推导出来．再如，如果把EB 看作底边，那么高是定值，等腰三角形OAB 的高和底角、底边也是确定的，于是可以根据比例线段推导出EB 的长（用x 表示）．如果两圆的半径之比为3∶2，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是_________．动感体验请打开几何画板文件名“18金山17”，拖动圆心B向右运动，可以体验到，圆A与圆B 的位置关系依次是内切、相交和外切．答案15．思路如下：设圆A的半径为3m，圆B的半径2m．如图1，当圆A与圆B内切时，圆心距d＝AB＝3m－2m＝3．解得m＝3．如图2，当圆A与圆B外切时，圆心距d＝AB＝3m＋2m＝5m＝15．如图3所示，圆A与圆B相交．图1 图2 图3如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，P是直线BC上一点，把△BDP沿PD所在的直线翻折后，点B落在点Q处，如果QD⊥BC，那么点P和点B间的距离等于_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18金山18”，拖动点P在直线BC上运动，可以体验到，有两个时刻，直线QD与BC垂直，此时Rt△PEQ的三边比为3∶4∶5．答案52或10．思路如下：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10，sin∠B＝35，tan∠B＝34．如图2，设直线QD与BC交于点E，当QD⊥BC时，E为垂足．已知D为AB的中点，所以QD＝BD＝5．在Rt△BDE中，BD＝5，所以DE＝3，BE＝4．在Rt△PEQ中，∠Q＝∠B，QE＝QD－DE＝5－3＝2，所以PE＝34QE＝32．此时PB＝BE－PE＝342＝52．如图3，在Rt△PEQ中，QE＝QD＋DE＝5＋3＝8，所以PE＝34QE＝6．此时PB＝BE＋PE＝4＋6＝10．图2 图3如图1，平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (1, 0)和点B (3, 0)，与y 轴相交于点C ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA ＝EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，∠MEQ ＝∠NEB ，求点Q 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18金山24”，可以体验到，当EA ＝EC 时，点E 在AC 的垂直平分线上．还可以体验到，与∠NEB 相等的∠MEQ 有两个，就是直线AE 与抛物线的两个交点，但是点A 在对称轴的左侧．思路点拨1．已知二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．如果EA ＝EC ，由两点间的距离公式，根据EA 2＝EC 2列整式方程．3．已知∠MEQ ＝∠NEB ，构造两个直角三角形相似，用相似比求解比较简便． 图文解析（1）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1, 0)、B (3, 0)两点，所以y ＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1．顶点为P (2,－1)．（2）如图2，由y ＝x 2－4x ＋3，得C (0, 3)．设E (2, m )，已知A (1, 0)．由EA 2＝EC 2，得12＋m 2＝22＋(m －3)2．解得m ＝2．所以点E 的坐标为(2, 2)．（3）如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ．作PH ⊥MN 于H ．设Q (x , x 2－4x ＋3)，已知B (3, 0)、E (2, 2)．由tan ∠HEQ ＝tan ∠FEB ，得=QH BF EH EF ． 所以221(43)22-=-+-x x x ．整理，得x 2－6x ＋5＝0． 解得x ＝5，或x ＝1（在对称轴左侧，舍去）．此时Q (5, 8)．图2 图3考点伸展第（3）题求得的x 1＝5，x 2＝1的几何意义是什么呢？由于∠FEB 是确定的，所以∠MEQ 的大小也是确定的，位置有两个．也就是说，经过点E 的直线EQ 与抛物线有两个交点，其中一个交点就是A (1, 0)．显然A 、B 两点关于抛物线的对称轴是对称的．第（2）题求得点E (2, 2)以后，通过计算可以证明，△ACE 是等腰直角三角形．常用的方法有两种，一是勾股定理的逆定理，二是相似比．方法一，由A (1, 0)、C (0, 3)、E (2, 2)，可得AE 2＝5，CE 2＝5，AC 2＝10．所以AC 2＝AE 2＋CE 2．所以△ACE 是直角三角形．方法二，如图2，由2==CG EF EG AF，得∠ECG ＝∠AEF ． 由于∠ECG 与∠CEG 互余，所以∠AEF 与∠CEG 互余．于是得到∠AEC ＝90°．例 2018年上海市金山区中考模拟第25题如图1，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝5，sin∠B＝35，P是线段BC上一点，以P为圆心、P A为半径的圆P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD 相交于点E，设BP＝x．（1）求证△ABP∽△ECP；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18金山25”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，△APQ 的高是定值，就是梯形的高．还可以体验到，△QED与△QAP相似存在两种情况，每种情况下，△ABP、△ECP、△EDQ和△APQ都是等腰三角形．思路点拨1．过等腰梯形上底的两个顶点作双垂线，把所有的线段长都标记出来．2．△ABP、△ECP和△EDQ两两相似，△APQ是等腰三角形．如果这4个三角形中任何两个相似时，4个三角形都是等腰三角形．图文解析（1）如图2，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以∠B＝∠C．因为P A＝PQ，所以∠1＝∠2．由AD//BC，得∠1＝∠3，∠2＝∠4．所以∠3＝∠4．所以△ABP∽△ECP．图2 图3（2）如图3，作AM⊥BC于M，作PN⊥AD于N．在Rt△ABM中，AB＝5，sin∠B＝35，所以AM＝3，BM＝4．所以AN＝MP＝BP－BM＝x－4．由P A＝PQ，PN⊥AQ，得AQ＝2AN＝2(x－4)．所以y＝S△APQ＝12⋅AQ PN＝12(4)42⨯-⨯x＝4x－16．定义域是4＜x＜132．（3）按照点Q的位置分两种情况讨论△QED与△QAP相似．情形1，如图4，点Q在AD上．由于△EDQ∽△ECP∽△ABP，当△EDQ∽△APQ时，△ABP∽△APQ．因为P A＝PQ，所以BP＝BA＝5．情形2，如图5，点Q在AD的延长线上．当△DEQ∽△APQ时，∠EDQ＝∠A．所以DC//AP．所以∠3＝∠C．又因为∠C＝∠B，所以∠3＝∠B．所以AB＝AP．所以点A在BP的垂直平分线上，此时BP＝2BM＝8．图4 图5考点伸展第（2）题求y关于x的函数关系式，事实上，不论点Q在AD上，还是点Q在AD的延长线上，都有AQ＝2AN＝2MP＝2(BP－BM)＝2(x－4)，所以关系式是一样的．这样的话，函数的定义域为4＜x≤13．当x＝132时，如图6所示；当x＝13时，如图7所示．图6 图7在平面直角坐标系中，如果对任意一点(a, b)，规定两种变换：f (a, b)＝(－a,－b)，g (a, b)＝(b,－a)，那么g [ f (1,－2)]＝_________．动感体验请打开几何画板文件名“18静安17”，拖动点P(a, b)在坐标平面内运动，可以体验到，变换f (a, b)就是作点P(a, b)关于原点的对称点；变换g (a, b)分两步，先作点P(a, b)关于直线y＝x的对称点Q，再作点Q关于x轴的对称点（如图1所示）．答案如图2，由f (a, b)＝(－a,－b)，得f (1,－2)＝(－1, 2)．由g (a, b)＝(b,－a)，得g(－1, 2)＝(2, 1)．所以g [ f (1,－2)]＝g(－1, 2)＝(2, 1)．图1 图2等腰△ABC 中，AB ＝AC ，它的外接圆⊙O 的半径为1，如果线段OB 绕点O 旋转90°后可与线段OC 重合，那么∠ABC 的余切值是_________．动感体验请打开几何画板文件名“18静安18”，可以体验到，等腰三角形ABC 与等腰直角三角形OBC 的对称轴是重合的．答案 11．思路如下：如图2，在等腰直角三角形OBC 中，OB ＝OC ＝1，所以BC设BC 的中点为H ，那么OH ⊥BC ，AH ⊥BC ．所以A 、O 、H 三点共线．如图3，在Rt △ABH 中，BH ，AH ＝1cot ∠ABC ＝BH AH 1．如图3，在Rt △ABH 中，BH ＝2，AH ＝12-，所以cot ∠ABC ＝BH AH 1．图2 图3 图4如图1，在平面直角坐标系中，已知点B(8, 0)和点C(9,－3)，抛物线y＝ax2－8ax＋c（a、c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一个交点为A，对称轴上有一点M，满足MA＝MC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形ABCM的面积；（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，求点D的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18静安24”，可以体验到，四边形ABCM是梯形．还可以体验到，如果四边形ABCD是等腰梯形，那么△ADE∽△CBF．思路点拨1．第（2）题先根据两点间的距离公式列方程求得点M的坐标，再判断四边形ABCM 的形状，然后求面积．2．第（3）题中，A、B、C三点是确定的，用一个字母n表示点D的坐标，就可以列方程了．列方程的依据可以根据腰相等，也可以根据对角线相等．图文解析（1）由y＝ax2－8ax＋c，可知抛物线的对称轴是直线x＝4．点B(8, 0)关于直线x＝4的对应点是A(0, 0)．设抛物线的解析式为y＝ax(x－8)，代入C(9,－3)，得－3＝9a．解得13=-a．所以2118(8)333=--=-+y x x x x．（2）设M(4, m)．由MA2＝MC2，得42＋m2＝52＋(m＋3)2．解得m＝－3．所以M(4,－3)，MC//x轴，MC＝5．所以四边形ABCM是梯形，高为3．所以S梯形ABCM＝139(5+8)322⨯⨯=．图2 图3 （3）作等腰梯形ABCD的外接矩形AEHF．由B(8, 0)、C(9,－3)，可得tan∠CBF＝3．由∠ADE＝∠DAB＝∠CBF，得tan∠ADE＝3．设DE ＝n ，AE ＝3n ，那么D (n ,－3n )．由DC ＝AB ，得DC 2＝AB 2．所以(n －9)2＋(3n －3)2＝82．整理，得5n 2－18n ＋13＝0．解得n ＝1，或n ＝135． 当n ＝1时，D(1,－3)．此时DC //x 轴//AB ，四边形ABCD 是平行四边形，不合题意． 当n ＝135时，D 1339(,)55-．此时ABCD 是等腰梯形． 考点伸展第（3）题解等腰梯形，设好了点D 的坐标为(n ,－3n )以后，有4种列方程的方法． 上面第一种方法，由腰相等DC ＝AB ，根据DC 2＝AB 2列方程．这个方程是一元二次方程，一个解是等腰梯形，另一个解是平行四边形．也就是说，一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形．这是因为以C 为圆心、AB 为半径的圆与直线AD 有两个交点．第二种方法，由对角线相等DB ＝AC ，根据DB 2＝AC 2列方程．这个方程的两个解，也是等腰梯形和平行四边形．这是因为以B 为圆心、AC 为半径的圆与直线AD 有两个交点（如图4所示）．第三种方法，设BC 的中点为P ，那么P 173(,)22-，根据PD 2＝P A 2列方程．这个方程的两个解，一个是点A ，一个是点D ．这是因为以P 为圆心、P A 为半径的圆与直线AD 有两个交点（如图5所示）．第四种解法，设AD 的中点为Q ，那么Q 3(,)22-n n ，根据QB 2＝QC 2列方程．这个方程是一元一次方程，有一个解．这是因为AD 的垂直平分线与BC 有且只有一个交点（如图6所示）．图4 图5 图6第五种解法，设D (x , y )．由2222,,⎧=⎪⎨=⎪⎩DC AB DB AC 列方程组2222222(9)(3)8,(8)93，⎧-++=⎪⎨-+=+⎪⎩x y x y 一个解是平行四边形ABDC ，一个解是等腰梯形ABCD ．例 2018年上海市静安区中考模拟第25题如图1，平行四边形ABCD 中，已知AB ＝6，BC ＝9，cos ∠ABC ＝13，对角线AC 、BD 交于点O ，动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ，交线段P A 于点E ．设BP ＝x ．（1）求AC 的长；（2）设⊙O 的半径为y ，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点E ，求⊙O 与⊙P 的圆心距OP 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18静安25”，拖动点P 在由B 向A 运动，可以体验到，⊙P 与⊙O 保持外切，直角三角形OPH 的直角边OH 是定值，斜边OP 和直角边PH 随PB 的增大而减小．思路点拨1．通过计算，可以发现平行四边形ABCD 中，△ABC 是等腰三角形．2．第（2）题和第（3）题的一般策略是，构造圆心距OP 为斜边的直角三角形． 图文解析（1）如图2，作AF ⊥BC 于F ．在Rt △ABF 中，AB ＝6，cos ∠ABF ＝BF AB ＝13，所以BF ＝2．所以AF ＝．在Rt △ACF 中，CF ＝BC －BF ＝9－2＝7，所以AC 9．图2 图3（2）如图3，作CG ⊥AB 于G ，作OH ⊥AB 于H ，那么OH ＝12CG ． 在Rt △BCG 中，BC ＝9，cos ∠GBC ＝BG BC ＝13，所以BG ＝3．所以CG ＝AG ＝3．所以OH ＝12CG ＝AH ＝12AG ＝32．。

2018年上海静安区 初三二模语文试卷、文言文（ 40 分）（一）默写（ 15 分）1 几处早莺争暖树， 。

2． ，雪尽马蹄轻。

3．了却君王天下事， 。

4．敏而好学， ，是以谓之文也。

5． ，佳木秀而繁阴。

（二）阅读下面的宋词，完成 6—7 题 （4分）诉衷情【宋】陆游当年万里觅封侯，匹马戍梁州。

关河梦断何处，尘暗旧貂裘。

胡未灭，鬓先秋，泪空流。

此生谁料，心在天山，身老沧洲。

6．“鬓先秋”的意思是 。

（2 分）7．下列理解不．正确．．的一项是（ ）（ 2 分）A. “觅封侯”用班超典故表达建功立业之志。

B. “关河”两句表明作者已长期不受重用。

C. “胡未灭”三句抒写词人壮志未酬的悲愤。

D. “此生”三句表达作者对人生易老的感慨。

《钱塘湖春行》 ） 《观猎》）《破阵子 ?为陈同甫赋壮词以寄》 ）（《论语 ?公冶长》） （《醉翁亭记》 ）（三）阅读下面的选文，完成8—10 题（8 分）出师表（节选）臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明。

故五月渡泸，深入不毛。

今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。

此臣所以报先帝，而忠陛下之职分也。

至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

8.《出师表》是（人名）在出师伐魏前向（人名）陈情言事的奏章。

（2 分）9.翻译文中的画线句。

（3 分）此臣所以报先帝，而忠陛下之职分也。

10.作者追述二十一年经历，对其作用分析不当．．的一项是（）（3 分）A.希望后主效法先帝任人唯贤，知人善任。

B.说明创业艰辛，激励后主完成统一大业。

C.表明自己出身卑微并无野心，只求报效尽忠。

D.劝谏后主体谅老臣，兴复之事应交给有司负责。

2019年上海市各区二模卷第24题1. （18徐汇）如图，已知直线122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，抛物线212y x bx c =-++过点B 、C ，且与x 轴交于另一个点A .（1）求该抛物线的表达式；（2）点M 是线段BC 上一点，过点M 作直线l ∥y 轴交该抛物线于点N ，当四边形OMNC 是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC ，设点D 是该抛物线上的一点，且满足DBA CAO ∠=∠，求点D 的坐标.2. （18杨浦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线4y x =+经过点A 、C ，点P 为抛物线上位于直线AC 上方的一个动点. （1）求抛物线的表达式；（2）如图（1），当CP ∥AO 时，求PAC ∠的正切值；（3）当以AP 、AQ 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时， 求出此时点P 的坐标.3. （18黄浦）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)A 和(0,3)B ，其顶点为D . （1）求此抛物线的表达式； （2）求ABD ∆的面积；（3）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若D PH ∆与AOB ∆相似，求点P 的坐标.4. （18宝嘉）已知平面直角坐标系xOy ，如图，直线y x m =+经过点(4,0)A -和(,3)B n . （1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线2y x bx c =++经过点A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求sin ∠ABP ； （3）设点Q 在直线y x m =+上，且在第一象限内，直线y x m =+与y 轴的交点为点D ，若AQO DOB ∠=∠，求点Q 的坐标.5. （18长宁）如图平面直角坐标系xOy ，抛物线23y ax bx =+-与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点(1,0)B -、(3,0)C ，点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结DC ，求△ACD 的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P的坐标.6. （18闵行）如图，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点(1,0)B ，与y 轴相交于点(0,3)C . （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）求证：DAB ACB ∠=∠；（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 是以AD 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标.7. （18奉贤）已知平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线2223y x mx m =-++（0m >）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴为直线l ，过点C 作直线l 的垂线，垂足为点E ，联结DC 、BC . （1）当点(0,3)C 时，①求这条抛物线的表达式和顶点坐标； ②求证：DCE BCE ∠=∠；（2）当CB 平分DCO ∠时，求m 的值.8. （18松江）如图，已知抛物线2y ax bx =+的顶点为(1,1)C -，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线对称轴于点B ，直线CP 交x 轴于点A . （1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，试用m 的代数式表示线段BC 的长； （3）如果ABP ∆的面积等于ABC ∆的面积，求点P 坐标.9. （18普陀）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y 点A 、B ，并与抛物线21742y x bx =-++D . （1）求k 和b 的值；（2）点G 是y 轴上一点，且以点B 、C 、G 为顶 点的三角形与BCD ∆相似，求点G 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E ：它关于直线AB 接写出点E 的坐标，如果不存在，试说明理由.10. （18崇明）已知抛物线经过点(0,3)A 、(4,1)B 、(3,0)C . （1）求抛物线的解析式；（2）联结AC 、BC 、AB ，求BAC ∠的正切值；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作PG AP ⊥交y 轴于点G ，当点G 在点A 的上方，且APG △与ABC △相似时，求点P 的坐标.11. （18青浦）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的图像与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线2x =上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处. （1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标.12. （18，A （1,0）和B （3,0P .（1 （2）点E EC ，求点（3）在（2∠MEQ =∠13. （18静安）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(8,0)B 和点(9,3)C -，抛物线28y ax ax c =-+（a 、c 是常数，0a ≠）经过点B 、C ，且与x 轴的另一交点为A ，对称轴上有一点M ，满足MA MC =. （1）求这条抛物线的表达式； （2）求四边形ABCM 的面积； （3）如果坐标系内有一点D ， 满足四边形ABCD 是等腰梯形， 且AD ∥BC ，求点D 的坐标.14. （18虹口）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与直线132y x =-+分别交于x 轴、y 轴上的B 、C 两点，抛物线的顶点为点D ，联结CD 交x 轴于点E . （1）求抛物线的解析式以及点D 的坐标；（2）求tan BCD ∠；（3）点P 在直线BC 上，若PEB BCD ∠=∠，求点P 的坐标.15．（18浦东）已知平面直角坐标系xOy （如图8），二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图像经过A （-2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C 点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点E 在线段OC 上，且∠CBE =∠ACO ，求点E 的坐标；（3）点M 在y 轴上，且位于点C 上方，点N 在直线BC 上，点P 为上述二次函数图像的对称轴．．．上的点，如果以C 、M 、N 、P 为顶点的四边形是菱形，求点M 的坐标.。

上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题宝山区、嘉定区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知平面直角坐标系xOy （如图7），直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B . （1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求ABP ∠sin 的值；（3）设点Q 在直线m x y +=上，且在第一象限内，直线m x y +=与y 轴的交点为点D ，如果DOB AQO ∠=∠，求点Q 的坐标.24.解：（1） ∵直线m x y +=的经过点)0,4(-A∴04=+-m ……………………1分∴4=m ………………………………1分∵直线m x y +=的经过点)3,(n B ∴34=+n ……………………1分∴1-=n …………………………………………1分（2）由可知点B 的坐标为)3,1(-∵抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ∴⎩⎨⎧=+-=+-310416c b c b∴6=b ， 8=c∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862++=x x y …………………1分∴抛物线862++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P ……………1分∴23=AB ,2=AP ,52=PB∴222PB BP AB =+∴︒=∠90PAB ……………………………………1分∴PB APABP =∠sin ∴1010sin =∠ABP …………………………………………1分图7（3）过点Q 作x QH ⊥轴，垂足为点H ，则QH ∥y 轴 ∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠∴△OBD ∽△QBO∴OBDBQB OB =……………1分 ∵直线4+=x y 与y 轴的交点为点D ∴点D 的坐标为)4,0(,4=OD又10=OB ，2=DB∴25=QB ，24=DQ ……………1分∵23=AB∴28=AQ ,24=DQ ∵QH ∥y 轴 ∴AQADQH OD = ∴28244=QH ∴8=QH ……………………………………1分 即点Q 的纵坐标是8又点Q 在直线4+=x y 上点Q 的坐标为)8,4(……………1分长宁区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分）∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分）若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 崇明区24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）已知抛物线经过点(0,3)A 、(4,1)B 、(3,0)C ． （1）求抛物线的解析式；（2）联结AC 、BC 、AB ，求BAC ∠的正切值；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作PG AP ⊥交y 轴于点G ，当点G 在点A 的上方，且APG △与ABC △相似时，求点P 的坐标．24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）设所求二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，………………………1分将A （0,3）、B （4，）、C （3,0）代入，得 1641,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得12523a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩………2分所以，这个二次函数的解析式为215322y x x =-+ ……………………………1分 （2）∵A （0,3）、B （4，）、C （3,0）∴AC =BC =AB =∴222AC BC AB +=∴90ACB =︒∠ ………………………………………………………2分∴13BC tan BAC AC ===∠ ……………………………………………2分（3）过点P 作PH y ⊥轴，垂足为H设P 215(,3)22x x x -+，则H 215(0,3)22x x -+ ∵A （0,3） ∴21522AH x x =-，PH x = ∵90ACB APG ==︒∠∠∴当△APG 与△ABC 相似时，存在以下两种可能： 1° PAG CAB =∠∠ 则13tan PAG tan CAB ==∠∠ 即13PH AH = ∴2115322x x x =- 解得11x = ………………………1分∴点P 的坐标为(11,36) ……………………………………………………1分 2° PAG ABC =∠∠ 则3tan PAG tan ABC ==∠∠ 即3PH AH = ∴231522x x x =- 解得173x = …………………………1分 ∴点P 的坐标为1744(,)39……………………………………………………1分 奉贤区24．（本题满分12分，每小题满分各4分）已知平面直角坐标系xOy （如图8），抛物线)0(3222>++-=m m mx x y 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴为直线，过点C 作直线的垂线，垂足为点E ，联结DC 、BC ． （1）当点C （0，3）时，① 求这条抛物线的表达式和顶点坐标； ② 求证：∠DCE=∠BCE ；（2）当CB 平分∠DCO 时，求m 的值．黄浦区24．（本题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （0,3），其顶点为D . （1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD 的面积；（3）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴 右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若△DPH 与△AOB 相 似，求点P 的坐标.24. 解：（1）由题意得：013b cc=++⎧⎨=⎩，———————————————————（2分）解得：43b c =-⎧⎨=⎩，—————————————————————————（1分）所以抛物线的表达式为243y x x =-+. ——————————————（1分） （2）由（1）得D （2，﹣1），———————————————————（1分） 作DT ⊥y 轴于点T , 则△ABD 的面积=()11124131211222⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=.————————（3分） （3）令P ()()2,432p p p p -+>.————————————————（1分）由△DPH 与△AOB 相似，易知∠AOB =∠PHD =90°，所以243132p p p -++=-或2431123p p p -++=-，————————————（2分） 解得：5p =或73p =，所以点P 的坐标为（5,8），78,39⎛⎫-⎪⎝⎭.————————————————（1分）金山区24．（本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （3,0），与y 轴相交于点C ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标； （2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA =EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线 上，∠MEQ =∠NEB ，求点Q 的坐标．24．解：（1）∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （1，0）和B （3，0）， ∴10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得：4b =-，3c =．……………………………（2分）∴这条抛物线的表达式是243y x x =-+…………………………………（1分）顶点P 的坐标是（2，-1）．………………………………………………（1分）（2）抛物线243y x x =-+的对称轴是直线2x =，设点E 的坐标是（2，m ）．…（1分）根据题意得：=，解得：m=2，…（2分）∴点E 的坐标为（2，2）．…………………………………………………（1分） （3）解法一：设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+，记MN 与x 轴相交于点F ．图8作QD ⊥MN ，垂足为D ，则2DQ t =-，2243241DE t t t t =-+-=-+………………………（1分） ∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF ，∴△QDE ∽△BFE ，…………………（1分）∴DQ DEBF EF =，∴224112t t t --+=， 解得11t =（不合题意，舍去），25t =．……………………………（1分） ∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）解法二：记MN 与x 轴相交于点F ．联结AE ，延长AE 交抛物线于点Q ，∵AE=BE ， EF ⊥AB ，∴∠AEF=∠NEB ，又∵∠AEF=∠MEQ ，∴∠QEM=∠NEB ，………………………………（1分）点Q 是所求的点，设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+， 作QH ⊥x 轴，垂足为H ，则QH =243t t -+，OH =t ，AH =t -1， ∵EF ⊥x 轴，∴EF ∥QH ，∴EF AFQH AH=，∴221431t t t =-+-，………（1分） 解得11t =（不合题意，舍去），25t =．……………………………………（1分） ∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）静安区24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点B （8,0）和点C （9，3-）．抛物线c ax ax y +-=82（a ，c 是常数，a ≠0）经过点B 、C ，且与x 轴的另一交点为A ．对称轴上有一点M ，满足MA =MC ． （1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形ABCM 的面积；（3） 如果坐标系内有一点D ，满足四边形ABCD且AD //BC ，求点D 的坐标．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4解：（1）由题意得：抛物线对称轴aax 28-=，即4=x ． 点B （8,0）关于对称轴的对称点为点A （0,0）∴0=c ， …………（1分）将C （9，-3）代入ax ax y 82-=，得31-=a …………………………（1分）∴抛物线的表达式：x x y 38312+-=…………………………（1分） （2）∵点M 在对称轴上，∴可设M （4，y ） 又∵MA =MC ，即22MCMA =∴2222)3(54++=+y y , 解得y =-3, ∴M （4，-3） …………………（2分） ∵MC //AB 且MC ≠AB , ∴四边形ABCM 为梯形，,AB =8,MC =5,AB 边上的高h = y M = 3 ∴2393)58(21)(21=⨯+⨯=⨯+=MH MC AB S(3) 将点B （8,0）和点C （9，﹣3）代入b kx y BC += 可得⎩⎨⎧-=+=+3908b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=243b k 由题意得，∵AD //BC , 3-=BC k ∴3-=AD k ，x y AD 3-=…（又∵AD 过（0,0），DC =AB =8， 设D (x ,-3x ) 2228)33()9(=+-+-x x , …………………………（1分）解得11=x (不合题意，舍去)， 5132=x …………………………（1分）∴5393-=-=x y ∴点D 的坐标)539,513(-．……………………（1分）闵行区24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于 点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB ；（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 是以AD 为 底的等腰三角形，求Q 点的坐标．24．解：（1）把B （1，0）和C （0，3）代入22y ax x c =-+中，得9603a c c ++=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩．……………………………………（2分）∴抛物线的解析式是：223y x x =--+．……………………………（1分） ∴顶点坐标D （－1，4）．……………………………………………（1分） （2）令0y =，则2230x x --+=，13x =-，21x =，∴A （－3，0）∴3OA OC ==，∴∠CAO =∠OCA ．…………………………………（1分）在Rt BOC ∆中，1tan 3OB OCB OC ∠==．………………………………（1分）∵AC =，DC =AD =， ∴2220AC DC +=，220AD =；∴222AC DC AD +=，ACD ∆是直角三角形且90ACD ∠=，∴1tan 3DC DAC AC ∠==，又∵∠DAC 和∠OCB 都是锐角，∴∠DAC =∠OCB ．…………………（1分） ∴DAC CAO BCO OCA ∠+∠=∠+∠，即DAB ACB ∠=∠．……………………………………………………（1分） （3）令(Q x ，)y 且满足223y x x =--+，(3A -,0)，(1D -，4）∵ADQ ∆是以AD 为底的等腰三角形，∴22QD QA =，即2222(3)(1)(4)x y x y ++=++-， 化简得：220x y -+=．………………………………………………（1分） 由222023x y y x x -+=⎧⎨=--+⎩，……………………………………………………（1分）解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴点Q的坐标是⎝⎭，⎝⎭．…（2分） 普陀区24．（本题满分12分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，并与抛物线21742y x bx =-++的对称轴交于点()2,2C ，抛物线的顶点是点D ．（1）求k 和b 的值；（2）点G 是y 轴上一点，且以点B 、C 、G 为顶点的三角形与△BCD 相似，求点G 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E ：它关于直线AB 的对称点F 恰好在y 轴上．如果存在，直接写出点E 的坐标，如果不存在，试说明理由．24．解：（1） 由直线3y kx =+经过点()2,2C ，可得12k =-.·················································· （1分）由抛物线21742y x bx =-++的对称轴是直线2x =，可得1b =. ······················· （1分） （2） ∵直线132y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴点A 的坐标是()6,0，点B 的坐标是()0,3. ····················································· （2分）∵抛物线的顶点是点D ，∴点D 的坐标是92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.·············································· （1分） ∵点G 是y 轴上一点，∴设点G 的坐标是()0,m . ∵△BCG 与△BCD 相似，又由题意知，GBC BCD ∠=∠，∴△BCG 与△BCD 相似有两种可能情况： ·························································· （1分） ①如果BG BC CB CD ＝，解得1m ＝，∴点G 的坐标是()0,1. ···· （1分）②如果BG BC CD CB ＝，那么352m -＝，解得12m ＝，∴点G 的坐标是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1分）综上所述，符合要求的点G 有两个，其坐标分别是()0,1和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）点E 的坐标是91,4⎛⎫- ⎪⎝⎭或92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ····································································· （2分+2分）图10xy 11 O青浦区24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）已知：如图8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y axbx =++的图像与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线2x =上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处． （1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标． ．24．解：（1）∵顶点C 在直线2x =上，∴22=-=bx a，∴4=-b a ． ······················ （1分） 将A （3，0）代入23y ax bx =++，得933=0++a b ， ························· （1分） 解得1=a ，4=-b ． ····················································································· （1分） ∴抛物线的解析式为243=-+y x x ．························································· （1分） （2）过点C 作CM ⊥x 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．∵243=-+y x x =()221=--x ，∴C （2，1-）．··································· （1分）∵1==CM MA ，∴∠MAC =45°，∴∠ODA =45°， ∴3==OD OA ． ··························································································· （1分） ∵抛物线243=-+y x x 与y 轴交于点B ，∴B （0，3），∴6=BD ． ································································································ （1分） ∵抛物线在平移的过程中，线段BC 所扫过的面积为平行四边形BCDE 的面积， ∴12262122==⨯⨯⋅=⨯=BCDEBCDSSBD CN ． ································ （1分）（3）联结CE .∵四边形BCDE 是平行四边形，∴点O 是对角线CE 与BD 的交点， 即OE OC ==（i ）当CE 为矩形的一边时，过点C 作1CF CE ⊥，交x 轴于点1F ，设点1F a （,0），在1Rt OCF 中，22211=OF OC CF +， 即 22(2)5a a =-+，解得 52a =，∴点152F （,0） ··········································· （1分） 同理，得点252F （-,0） ····························································································· （1分） （ii ）当CE 为矩形的对角线时，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧分别交x 轴于点3F 、4F ，可得34=OF OF OC =3F ）、4F （）······· （2分） 综上所述：满足条件的点有152F （,0），252F （-,0），3F ）），4F （）． 松江区24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，已知抛物线y=ax 2+bx 的顶点为C （1，1-），P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线对称轴于点B ，直线CP 交x 轴于点A ． （1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，试用m 的代数式表示线段BC 的长； （3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点P 坐标．24．（本题满分12分，每小题各4分）解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx 的顶点为C （1，1-）∴ 112a b b a +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩…………………………………2分解得：12a b =⎧⎨=-⎩…………………………………1分∴抛物线的表达式为：y=x 2-2x ；…………………………1分 （2）∵点P 的横坐标为m ，∴P 的纵坐标为：m 2-2m ……………………………1分 令BC 与x 轴交点为M ，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N ∵P 是抛物线上位于第一象限内的一点，(第24题图)∴PN = m 2-2m ，ON =m ，O M =1由PN BMON OM =得221m m BM m -=………………………1分 ∴ BM =m -2…………………………………………………1分 ∵ 点C 的坐标为（1，1-），∴ BC= m -2+1=m -1………………………………………1分 （3）令P (t ，t 2-2t ) ………………………………………………1分 △ABP 的面积等于△ABC 的面积 ∴AC =AP过点P 作PQ ⊥BC 交BC 于点Q ∴CM =MQ =1∴t 2-2t =1 …………………………………………………1分∴1t =1t =………………………………1分∴ P 的坐标为（1）……………………………………1分徐汇区24. 如图，已知直线122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，抛物线212y x bx c =-++过点B 、C ，且与x 轴交于另一个点A .（1）求该抛物线的表达式；（2）点M 是线段BC 上一点，过点M 作直线l ∥y 轴 交该抛物线于点N ，当四边形OMNC 是平行四边形时， 求它的面积；（3）联结AC ，设点D 是该抛物线上的一点，且满足DBA CAO ∠=∠，求点D 的坐标.杨浦区24、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，在平面直角坐标系中，抛物线于X轴交于点A、B，于y轴交于点C，直线经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点。

2018年上海市宝山、嘉定区中考化学二模试卷24．（6分）一包白色固体中可能含有氯化钠、硫酸铜、硫酸镁、硝酸钡中的一种或多种，加水溶解得到无色溶液A，某化学兴趣小组按如下流程继续进行实验检验原白色固体成分。

①操作1的名称为，用到的主要玻璃仪器为；②白色沉淀B的化学式为；③溶液E中一定含有的溶质是；④白色固体组成情况为。

26．（7分）一包白色粉末可能含有碳酸钙、碳酸钠、硫酸钠、氯化钠、硝酸钾中的一种或几种，为了确定其组成，进行实验，按要求进行回答：实验步骤实验过程 实验现象 结论 ① 取样，进行焰色反应，透过蓝色钴玻璃火焰呈 原粉末中含有硝酸钾②原粉末中肯定不含碳酸钙 ③有气泡产生 原粉末中肯定有④ 取步骤③试管中的溶液Ⅰ．先加入Ⅱ．再加入原粉末中肯定还有的物质是氯化钠肯定没有硫酸钠⑤反思：在步骤③中加入的稀硝酸是否一定要过量，理由是25．（9分）有一包白色固体，可能是碳酸钠、氯化钠、氢氧化钠、硝酸钡中的一种或几种，为确定成分，进行如下实验（硝酸钠溶液和硝酸钡溶液均呈中性）：①白色沉淀A 是，化学方程式是。

②滤液B 中溶质一定有，可能有（任写一种情况）；为确定白色固体中可能存在的物质，进一步对滤液B 进行实验，步骤如下：Ⅰ．重新取滤液B，滴加过量的试剂X；Ⅱ．向Ⅰ中的溶液滴加过量的稀硝酸；Ⅲ．向Ⅱ中的溶液滴加试剂Y。

完成填空：试剂X 是溶液（填“氯化钡”或“硝酸钡”）；试剂Y 是溶液。

若（写现象及对应的步骤编号），能确定白色固体中含有氢氧化钠。

若（写现象及对应的步骤编号），能确定白色固体中含有氯化钠。

22．（5分）有一包白色固体，可能含有碳酸钠、硫酸铜、硫酸钠、氯化钠等物质中的一种或几种。

某化学兴趣小组为探究其成分做了以下实验：实验步骤实验现象分析与结论（化学方程式）1．取该固体样品溶于水澄清无色溶液一定不含有2．从步骤1中，取澄清无色溶液向其中滴入氯化钡溶液产生白色沉淀固体中一定含有再加入足量稀硝酸沉淀部分消失3．从步骤1中，取澄清无色溶液向溶液中滴加足量的硝酸钡溶液产生白色沉淀向溶液中滴加足量硝酸钡溶液的作用是。

综合计算宝山区、嘉定区21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，AD AC =. （1）如果BAC ∠︒=∠-10BCA ，求D ∠的度数； （2）若10=AC ，31cot =∠D ，求梯形ABCD 的面积.21.解：（1）∵AD ∥BC∴CAD BCA ∠=∠ …………………1分 ∵BAC ∠︒=∠-10BCA∴BAC ∠︒=∠-10CAD …………………1分 ∵︒=∠90BAD∴BAC ∠︒=∠+90CAD∴︒=∠40CAD …………………1分 ∵AD AC =∴D ACD ∠=∠ …………………1分 ∵︒=∠+∠+∠180CAD D ACD∴︒=∠70D …………………1分(2) 过点C 作AD CH ⊥,垂足为点H ，在Rt △CHD 中，31cot =∠D ∴31cot ==∠CH HD D …………………………1分 设x HD =,则x CH 3=，∵AD AC =,10=AC ∴x AH -=10 在Rt △CHA 中，222AC CHAH =+ ∴22210)3()10(=+-x x∴2=x ，0=x （舍去）∴2=HD …………1分 ∴6=HC ，8=AH ，10=AD ………………1分 ∵︒=∠=∠90CHD BAD ∴AB ∥CH∵AD ∥BC ∴四边形ABCH 是平行四边形 ∴8==AH BC ………1分 ∴梯形ABCD 的面积546)810(21)(21=⨯+=⨯+=CH BC AD S ………1分 长宁区图4DCB A图4DCBAH21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ．（1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE // ∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分） 在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分） 崇明区21．（本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分）已知圆O 的直径12AB =，点C 是圆上一点，且30ABC ∠=︒，点P 是弦BC 上一动点， 过点P 作PD OP ⊥交圆O 于点D ． （1）如图1，当PD AB ∥时，求PD 的长； （2）如图2，当BP 平分OPD ∠时，求PC 的长．ADB第21题图21．（本题满分10分，每小题5分）（1）解：联结OD∵直径12AB = ∴6OB OD == ……………………………………1分∵PD OP ⊥ ∴90DPO =︒∠∵PD AB ∥ ∴180DPO POB +=︒∠∠ ∴90POB =︒∠ ……1分 又∵30ABC =︒∠，6OB =∴30OP OB tan =︒= ………………………………………………1分 ∵在Rt POD △中，222PO PD OD += ……………………………1分∴2226PD +=∴PD =……………………………………………………………1分 （2）过点O 作OH BC ⊥，垂足为H ∵OH BC ⊥∴90OHB OHP ==︒∠∠ ∵30ABC =︒∠，6OB =∴132OH OB ==，30BH OB cos =︒=……………………2分 ∵在⊙O 中，OH BC ⊥∴CH BH ==……………………………………………………1分 ∵BP 平分OPD ∠ ∴1452BPO DPO ==︒∠∠ ∴453PH OH cot =︒= ……………………………………………1分∴3PC CH PH =-=- ………………………………………1分（第21题图1）ABOP CD （第21题图2）OABDPC奉贤区21.（本题满分10分，每小题满分各5分）已知：如图6，在△ABC 中，AB =13，AC=8，135cos =∠BAC ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，E 是BD 的中点，联结AE 并延长，交边BC 于点F ． (1) 求EAD ∠的余切值； (2) 求BFCF的值． 21、（1）56； （2）58； 黄浦区21．（本题满分10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =23， AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积； （2）求CE ∶DE.21. 解：（1）由AB =AC =6，AH ⊥BC ，得BC =2BH .—————————————————————————（2分） 在△ABH 中，AB =6，cosB =23，∠AHB =90°， 得BH =2643⨯=，AH=2分） 则BC =8，所以△ABC 面积=182⨯=——————————————（1分） （2）过D 作BC 的平行线交AH 于点F ，———————————————（1分）由AD ∶DB =1∶2，得AD ∶AB =1∶3， 则31CE CH BH AB DE DF DF AD ====. ——————————————（4分）图6ABCD EF金山区21．（本题满分10分，每小题5分）如图5，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE =BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ．（1）求证：AF=BE ；（2）如果BE ∶EC=2∶1，求∠CDF 的余切值．21．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∠B =90°，∴∠DAF=∠AEB ，……………………………………………………………………（1分） ∵AE=BC ，DF ⊥AE ，∴AD=AE ，∠ AFD=∠EBA=90°，………………………（2分） ∴△ADF ≌△EAB ，∴AF =EB ，………………………………………………………（2分）（2）设BE =2k ，EC =k ，则AD =BC =AE =3k ，AF =BE =2k ，…………………………（1分）∵∠ADC =90°，∠AFD =90°，∴∠CDF +∠ADF =90°，∠DAF +∠ADF =90°， ∴∠CDF =∠DAF …………………………………………………………………（2分） 在Rt △ADF 中，∠AFD =90°，DF=∴cot ∠CDF =cot ∠DAF=5AF DF ==．………………………………（2分） 静安区21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知：如图，边长为1的正方形ABCD 中，AC 、DB 交于点H ．DE 平分∠ADB ，交AC 于点E ．联结BE 并延长，交边AD 于点F ． （1）求证：DC =EC ； （2）求△EAF 的面积．21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵正方形ABCD ，∴DC=BC=BA=AD , ∠BAD =∠ADC =∠DCB =∠CBA =90°AH=DH=CH=BH , AC ⊥BD ,ABCDF图5第21题图∴∠ADH =∠HDC =∠DCH =∠DAE = 45°． …………（2分） 又∵DE 平分∠AD B ∴∠ADE =∠EDH∵∠DAE +∠ADE =∠DEC , ∠EDH +∠HDC =∠EDC …………（1分） ∴∠EDC =∠DEC …………（1分） ∴DC =EC …………（1分） （2）∵正方形ABCD ，∴AD ∥BC , ∴△AFE ∽△CBE ∴2)(ECAE S S CEB AEF =∆∆ ………………………………（1分） ∵AB=BC=DC=EC =1，AC =2,∴AE =12- …………………………（1分） Rt △BHC 中， BH =22BC =22, ∴在△BEC 中，BH ⊥EC , 4222121=⨯⨯=∆BEC S ……………………（2分） ∴2)12(42-=∆AEF S , ∴4423)223(42-=-⨯=∆AEF S …………（1分） 闵行区21．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知一次函数24y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内作直角三角形ABC ，且∠BAC = 90o，1tan 2ABC ∠=．（1）求点C 的坐标；（2）在第一象限内有一点M （1，m ），且点M 与点C 位于直线AB 的同侧，使得ABC ABM S S ∆∆=2求点M 的坐标．21．解：（1）令0y =，则240x -+=，解得：2x =，∴点A 坐标是（2，0）．令0x =，则4y =，∴点B 坐标是（0，4）．………………………（1分） ∴AB ==1分） ∵90BAC ∠=，1tan 2ABC ∠=，∴AC =． 过C 点作CD ⊥x 轴于点D ，易得OBA DAC ∆∆∽．…………………（1分） ∴2AD =，1CD =，∴点C 坐标是（4，1）．………………………（1分）（2）11522ABC S AB AC ∆=⋅=⨯=．………………………………（1分） ∵2ABM ABC S S ∆∆=，∴52ABM S ∆=．……………………………………（1分） ∵(1M ，)m ，∴点M 在直线1x =上；令直线1x =与线段AB 交于点E ，2ME m =-；……………………（1分） 分别过点A 、B 作直线1x =的垂线，垂足分别是点F 、G ，∴AF +BG = OA = 2；……………………………………………………（1分）∴111()222ABM BME AME S S S ME BG ME AF ME BG AF ∆∆=+=⋅+⋅=+1152222ME OA ME =⋅=⨯⨯=…………………（1分） ∴52ME =，522m -=，92m =，∴(1M ，92）．……………………（1分） 普陀区21．（本题满分10分）如图7，在Rt △ABC 中，90C ∠=，点D 在边BC 上，DE ⊥AB ，点E 为垂足，7AB =，45DAB ∠=，3tan 4B =. （1）求DE 的长； （2）求CDA ∠的余弦值． 21．解：（1）∵DE ⊥AB ，∴︒=∠90DEA又∵45DAB ∠=，∴AE DE =． ················· （1分） 在Rt △DEB 中，︒=∠90DEB ，43tan =B ，∴43=BE DE ． ······· （1分） 设x DE 3=，那么x AE 3=，x BE 4=．∵7AB =，∴743=+x x ，解得1=x ． ··············· （2分） ∴3=DE ． ··························· （1分） （2） 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得23=AD ． ··········· （1分）同理得5=BD ． ························· （1分） 在Rt △ABC 中，由43tan =B ，可得54cos =B ．∴528=BC ． ···· （1分） ∴53=CD ． ·························· （1分）ABCDE 图7∴102cos ==∠AD CD CDA ． ··················· （1分）即CDA ∠青浦区21. (本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）如图5，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=3，BC =4，∠ABC 的平分线交边AC 于点D ，延长BD 至点E ，且BD=2DE ，联结AE ．（1）求线段CD 的长； （2）求△ADE 的面积.21．解：（1）过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ． ················ （1分）∵BD 平分∠ABC ，∠C =90°，∴DH = DC =x ， ························ （1分） 则AD =3-x ．∵∠C =90°，AC=3，BC =4，∴AB =5. ·············· （1分） ∵sin ∠==HD BCBAC AD AB， ∴435=-x x ， ························ （1分） ∴43=x . ·························· （1分） （2）1141052233=⋅=⨯⨯=ABDSAB DH . ·············· （1分） ∵BD=2DE ， ∴2==ABD ADES BDSDE， ····················· （3分） ∴1015323=⨯=ADES. ···················· （1分） 松江区21.（本题满分10分, 每小题各5分） 如图，已知△ABC 中，∠B =45°，1tan 2C =， BC =6.（1）求△ABC 面积；（2）AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于ED BA图5AB点E. 求DE 的长．21.（本题满分10分, 每小题各5分） 解：（1）过点A 作AH ⊥BC 于点H …………1分 在Rt ABC ∆中，∠B =45°设AH =x ,则BH =x ………………………………1分 在Rt AHC ∆中，1tan 2AH C HC == ∴HC=2x ………………………………………………………1分 ∵BC =6∴x+2x =6 得x =2∴AH =2…………………………………………………………1分 ∴162ABC S BC AH ∆=⋅⋅=……………………………………1分(2)由（1）得AH =2，CH =4在RtAHC ∆中，AC ==…………………2分∵DE 垂直平分AC ∴12CD AC == ED ⊥AC …………………………………………………1分 在Rt EDC ∆中，1tan 2ED C CD==……………………………1分 ∴DE = ………………………………………………1分 徐汇区21. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D . （1）求tan DAB ∠；（2）若⊙O 过A 、D 两点，且点O 在边AB 上，用 尺规作图的方法确定点O 的位置并求出的⊙O 半径. （保留作图轨迹，不写作法）(第21题图)DACBE杨浦区21、（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）已知，如图5，在梯形ABCD中，DC//AB, AD=BC, BD平分∠ABC，∠A=600求：（1）求∠CDB的度数（2）当AD=2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积。

2018年上海市各区二模卷第24题2018年上海市各区二模卷第24题1 _ .............. ,,,1.(18徐汇)如图，已知直线y -x 2与x轴、y轴分别交于点B、C ,抛物线1 2 , ，一- 1 人」y 2x bx c过点B、C ,且与x轴交于另一个点A.(1)求该抛物线的表达式；(2)点M是线段BC上一点，过点M作直线l // y轴交该抛物线于点N ,当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；(3)联结AC ,设点D是该抛物线上的一点，且满足DBA CAO ,求点D的坐标.1 .......... .2.(18杨浦)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x bx c与x轴交于点A、2B,与y轴交于点C ,直线y x 4经过点A、C ,点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.(1)求抛物线的表达式；(2)如图(1),当CP // AO时，求PAC的正切值；(3)当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，.求出此时点P的坐标2018年上海市各区二模卷第24题23.(18黄浦)已知抛物线y x bx c经过点A(1,0)和B(0,3),其顶点为D.(1)求此抛物线的表达式；(2)求ABD的面积；(3)设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH 对称轴，垂足为H , 若DPH与AOB相似，求点P的坐标.4.(18宝嘉)已知平面直角坐标系xOy,如图，直线y x m经过点A( 4,0)和B(n,3).(1)求m、n的值；(2)如果抛物线y x2bx c经过点A、B,该抛物线的顶点为点P,求sin/ABP;(3)设点Q在直线y x m上，且在第一象限内，直线y x m与y轴的交点为点D,若AQO DOB ,求点Q的坐标.25.(18长丁)如图平面直角坐标系xOy,抛物线y ax bx 3与y轴交于点A,与x轴分别交于点B( 1,0)、C(3,0),点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)联结DC,求^ ACD的面积；(3)点P在直线DC上，联结OP,若以0、P、C为顶点的三角形与△ ABC相似，求点P的坐标.26.(18闵仃)如图，已知平面直角坐标系xOy,抛物线y ax 2x c与x轴交于点A 和点B(1,0),与y轴相交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)求证：DAB ACB;(3)点Q在抛物线上，且^ ADQ是以AD 为底的等腰三角形，求Q点的坐标.2 27.(18奉贤)已知平面直角坐标系xOy中(如图)，抛物线y x 2mx 3m(m 0)与x轴交于点A、B (点A在点B左侧)，与y轴交于点C ,顶点为D ,对称轴为直线l ,过点C作直线l的垂线，垂足为点E ,联结DC、BC .(1)当点C(0,3)时，①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；②求证：DCE BCE;(2)当CB平分DCO时，求m的值.28.(18松江)如图，已知抛物线y ax bx的顶点为C(1, 1), P是抛物线上位于第象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B,直线CP交x轴于点A.(1)求该抛物线的表达式；(2)如果点P的横坐标为m,试用m的代数式表示线段BC的长;(3)如果ABP的面积等于ABC的面积，求点P坐标.(2)点G 是y 轴上一点，且以点 B 、C 、G 为顶点的三角形与 BCD 相似，求点G 的坐标;(3)在抛物线上是否存在点 E ：它关于直线 AB 的对称点F 恰好在y 轴上，如果存在，直接写出点E 的坐标，如果不存在，试说明理由10. (18崇明)已知抛物线经过点 A(0,3)、B(4,1)、C(3,0). (1)求抛物线的解析式；(2)联结AC 、BC 、AB,求 BAC 的正切值；(3)点P 是该抛物线上一点， 且在第一象限内，过点P 作PG AP 交y 轴于点G ,当点G 在点A 的上方，且 △ APG 与△ ABC 相似时，求点 P 的坐标.9. (18普陀)如图，在平面直角坐标系.. ......... 1 2A 、B ,并与抛物线y — x bx4 xOy 中，直线y 7的对称轴交于点 2kx 3与x 轴、y 轴分别相交于点 C(2,2),抛物线的顶点是点 D .211. (18青浦)已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y ax bx 3的图像与 X 轴交于点A (3, 0),与y 轴交于点B,顶点C 在直线X 2上，将抛物线沿射线 AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处.求这个抛物线的解析式;已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形,(1,0)和B (3,0),与y 轴相交于点C,顶点为P. (1)求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标;(2)点E 在抛物线的对称轴上，且 EA = EC,求点E 的坐标; (3)在(2)的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN,点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，/ MEQ=/NEB,求点Q 的坐标.(2) 求平移过程中线段 BC 所扫过的面积;(3) 求点 F 的坐标.12. (18金山)平面直角坐标系 xOy 中(如图)，已知抛物线 2x bx c 经过点A13.(18静安)在平面直角坐标系xOy中，已知点B(8,0)和点C(9, 3),抛物线y ax28 ax c (a、c是常数，a 0)经过点B、C ,且与x轴的另一交点为A,对称轴上有一点M ,满足MA MC .(1)求这条抛物线的表达式；(2)求四边形ABCM的面积；(3)如果坐标系内有一点D ,满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD // BC ,求点D的坐标.214.(18虹口)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax 2x c与直线1……j …，， .. ....... .. ... ..... .......y -x 3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D ,联结CD交x轴于点E .(1)求抛物线的解析式以及点D的坐标；(2)求tan BCD ;(3)点P在直线BC上，若PEB BCD ,求点P的坐标.15.(18 浦东)已知平面直角坐标系xOy (如图8),二次函数y=ax2+bx+4的图像经过A (-2,0)、B (4, 0)两点，与y轴交于点0黑(1)求这个二次函数的解析式；(2)如果点E在线段OC上，且/CBE=/ACO,求点E的坐标；(3)点M在y轴上，且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为上述二次函数图像的对称轴上的点，如果以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标.♦♦♦321 -j1与4 1 O,1e -,。

1 / 14EOBA CMHOBACDPF （2019宝山、嘉定）18．如图，点M 的坐标为(3,2)，动点P 从点O 出发，沿y 轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x ＋b 也随之移动，如果点M 关于l 的对称点落在坐标轴上，设点P 的移动时间为t ，那么t 的值可以是 ．24．（本题满分12分，第(1)、第(2)、第(3)小题满分各4分） 如图，已知对称轴为直线1x =-的抛物线32++=bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A . （1）求点B 的坐标及此抛物线的表达式；（2）点D 为y 轴上一点，若直线BD 和直线BC 的夹角 为15º，求线段CD 的长度；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点， 第24题图 当BPC ∆为直角三角形时，求点P 的坐标.25．（本题满分14分，第(1)、第(2)小题满分各4分,第(3)小题满分6分）如图已知： AB 是圆O 的直径，AB=10，点C 为圆O 上异于点A 、B 的一点，点M 为弦BC 的中点．（1）如果AM 交OC 于点E ，求OE ：CE 的值； （2）如果AM ⊥OC 于点E ，求∠ABC 的正弦值；（3）如果AB ：BC=5：4，D 为BC 上一动点，过D 作DF ⊥OC ，交OC 于点H ，与射线BO 交于圆内点F ，请完成下列探究．探究一：设BD=x ，FO=y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．探究二：如果点D 在以O 为圆心，OF 为半径的圆上，写出此时BD 的长度．2 / 14崇明18．如图4，在ABC △中，已知AB AC =，30BAC ∠=︒，将ABC △绕着点A 逆时针旋转30︒，记点C 的对应点为点D ，AD 、BC 的延长线相交于点E .如果线段DE边AB 的长为 ▲ ．24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图8，抛物线2y x bx c =++交x 轴于点(1,0)A 和点B ，交y 轴于点(0,3)C ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找出点P ，使PC PO =，求点P 的坐标；（3）将直线AC 沿x 轴的正方向平移，平移后的直线交y 轴于点M ，交抛物线于点N ． 当四边形ACMN 为等腰梯形时，求点M 、N 的坐标．25．（本题满分14分，其中第(1)、(2)小题满分各4分，第(3)小题满分6分）如图9，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，8AB DC ==，12BC =，3cos 5C =，点E 为AB 边上一点，且2BE =．点F 是BC 边上的一个动点（与点B 、点C 不重合），点G 在射线CD 上，且EFG B ∠=∠．设BF 的长为x ，CG 的长为y ．（1）当点G 在线段DC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当以点B 为圆心，BF 长为半径的⊙B 与以点C 为圆心，CG 长为半径的⊙C 相切时， 求线段BF 的长；（3）当CFG △为等腰三角形时，直接写出线段BF 的长．图8DAEB FCG图9备用图3 / 1418． 如图5，矩形ABCD ，AD =a ，将矩形ABCD 绕着顶点B 顺时针旋转，得到矩形EBGF ，顶点A 、D 、C 分别与点E 、F 、G 对应（点D 与点F 不重合）．如果点D 、E 、F 在同一条直线上，那么线段DF 的长是 ▲ ．（用含a 的代数式表示）24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图9，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点A (-2，0)和点B (4，0) ．（1）求这条抛物线的表达式和对称轴；（2）点C 在线段OB 上，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为点C ，交抛物线与点D ，E 是BD中点，联结CE 并延长，与y 轴交于点F ． ①当D 恰好是抛物线的顶点时，求点F 的坐标； ②联结BF ，当△DBC 的面积是△BCF 面积的32时，求点C 的坐标．25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图10，已知△ABC ，AB ，3BC =，∠B =45°，点D 在边BC 上，联结AD ， 以点A 为圆心，AD 为半径画圆，与边AC 交于点E ，点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ． （1）设BD 为x ，点D 、F 之间的距离为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）如果E 是»DF的中点，求:BD CD 的值； （3）联结CF ，如果四边形ADCF 是梯形，求BD 的长 ．图5图10图9OABxy4 / 14E 第25题图C A BD Q F P G 18．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，点E 在边AD 上且AE =4，点F 是边BC 上的一个动点，将四边形ABFE 沿EF 翻折，A 、B 的对应点A 1、B 1与点C 在同一直线上，A 1B 1与边AD 交于点G ，如果DG =3，那么BF 的长为 ▲ ．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+8y ax bx =+与x 轴相交于点A （-2，0）和点B （4，0），与y 轴相交于点C ，顶点为点P ．点D （0，4）在OC 上，联结BC 、BD ． （1）求抛物线的表达式并直接写出点P 的坐标；（2）点E 为第一象限内抛物线上一点，如果△COE 与△BCD 的面积相等，求点E 的坐标；（3）点Q 在抛物线对称轴上，如果△BCD ∽△CPQ ，求点Q 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =3，AB =4，点P 为射线BC 上一动点，以P 为圆心，BP 长为半径作⊙P ，交射线BC 于点Q ，联结BD 、AQ 相交于点G ，⊙P 与线段BD 、AQ 分别相交于点E 、F ．（1）如果BE=FQ ，求⊙P 的半径；（2）设BP=x ，FQ=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）联结PE 、PF ，如果四边形EGFP 是梯形，求BE 的长．C第18题图ABDE第24题图 x B O C D A y P5 / 14 BACB 1A 1 E图3D黄浦18．如图3，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =，将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转，得到11A B C ∆ ，点A 、B 分别与点1A 、1B 对应，边11A B 分别交边AB 、BC 于点D 、E ，如果点E 是边11A B 的中点，那么1BDB C= ▲ ．24．（本题满分12分）如图7，已知抛物线2y ax bx c=++经过原点()0,0O 、()2,0A ，直线2y x =经过抛物线的顶点B ，点C 是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC 、OC 、AB ，过点C 作CE ∥x 轴，分别交线段OB 、AB 于点E 、F . （1）求抛物线的表达式；（2）当BC CE =时，求证：BCE ∆∽ABO ∆； （3）当CBA BOC ∠=∠时，求点C 的坐标.25．（本题满分14分）已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，2ABC C ∠=∠，点E 是射线AD 上一点，点F 是射线DC 上一点，且满足BEF A ∠=∠.（1）如图8，当点E 在线段AD 上时，若AB=AD ，在线段AB 上截取AG=AE ，联结GE .求证：GE=DF ；（2）如图9，当点E 在线段AD 的延长线上时，若AB =3，AD =4，1cos 3A =，设AE x =，DF y =，求y 关于x 的函数关系式及其定义域；（3）记BE 与CD 交于点M ，在（2）的条件下，若△EMF 与△ABE 相似，求线段AE 的长.D A BCEF图9ABCE FG D图86 / 14静安18．如图4，在平面直角坐标系xOy 中，已知A（0），B （0，6），M （0，2）．点Q 在直线AB 上，把△BMQ 沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，联结PQ ．如果 直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐 标是 ▲ ．24．在平面直角坐标系xOy 中（如图7），已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过原点，与 x 轴的另一个交点为A ，顶点为P （3-，4）． （1）求这条抛物线表达式；（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛 物线顶点为Q ，它与y 轴交点为B ，联结PB 、 PQ ．设点B 的纵坐标为m ，用含m 的代数式表示∠BPQ 的正切值；（3）联结AP ，在（2）的条件下，射线PB 平分∠APQ ，求点B 到直线AP 的距离．25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分5分）已知：如图8，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，AB=BC=CD =6．动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的⊙P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合）， 联结PE 、PC ．设BP = x ，PC = y ． （1） 求证：PE ∥DC ；（2） 求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3） 联结PD ，当∠PDC =∠B 时，以D 为圆心 半径为R 的⊙D 与⊙P 相交，求R 的取值范围．图4图8A BEDP图77 / 1418．如图，在△ABC 中，AB = AC = 5，BC =D 为边AC 上一点（点D 与点A 、C 不重合）．将△ABC 沿直线BD 翻折，使点A 落在点E 处，联结CE ．如果CE // AB ，那么AD ︰CD = ▲ ．24．（本题共3小题，每小题各4分，满分12分）已知抛物线2y x b x c =-++经过点A （1，0）、B （3，0），且与y 轴的公共点为点C ． （1）求抛物线的解析式，并求出点C 的坐标； （2）求∠ACB 的正切值；（3）点E 为线段AC 上一点，过点E 作EF ⊥BC垂足为点F ．如果14EF BF =，求△BCE 的面积．25．（本题共3小题，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分，满分14分）如图1，点P 为∠MAN 的内部一点．过点P 分别作PB ⊥AM 、PC ⊥AN ，垂足分别为点B 、C ．过点B 作BD ⊥CP ，与CP 的延长线相交于点D ．BE ⊥AP ，垂足为点E ． （1）求证：∠BPD =∠MAN ； （2）如果sin MAN ∠=AB =BE = BD ，求BD 的长； （3）如图2，设点Q 是线段BP 的中点．联结QC 、CE ，QC 交AP 于点F ．如果 ∠MAN = 45°，且BE // QC ，求PQF CEFS S ∆∆的值．ABC（第18题图）E M（图2）A NQFPC DBMN ABCDP（图1）E（第24题图）8 / 1418.定义：如果P 是圆O 所在平面内的一点，Q 是射线OP 上一点，且线段OP 、OQ 的比 例中项等于圆O 的半径，那么我们称点P 与点Q 为这个圆的一对反演点，已知点M 、N 为 圆O 的一对反演点，且点M 、N 到圆心O 的距离分别为4和9，那么圆O 上任意一点A 到 点M 、N 的距离之比AMAN= 24. 已知抛物线213y x bx c =++经过点(3,4)M -，与x 轴相交于点(3,0)A -和点B ，与y 轴 相交于点C .（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果P 是这条抛物线对称轴上一点，PC BC =，求点P 的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，当点P 在x 轴上方时，求PCB ∠的正弦值.25. 已知AB 是圆O 的一条弦，P 是圆O 上的一点，过点O 作MN AP ⊥，垂足为点M ，并交射线AB 于点N ，圆O 的半径为5，8AB =. （1）当P 是优弧AB 的中点时（如图），求弦AP 的长；（2）当点N 与点B 重合时，试判断：以点O 为圆心，32为半径的圆与直线AP 的位置关系， 并说明理由；（3）当BNO BON ∠=∠，且圆N 与圆O 相切时，求圆N 的半径的长.9 / 14普陀18.如图7，AD 是△ABC 的中线，点E 在边AB 上，且DE ⊥AD ，将△BDE 绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，联结AF 交BC 于点G ，如果52AE BE =，那么GFAB 的值等于 ▲ ．24．在平面直角坐标系xOy 中，直线243y x m =-+(0)m >与x 轴、y 轴分别交于点A 、B如图11所示，点C 在线段AB 的延长线上，且2AB BC =．（1）用含字母m 的代数式表示点C 的坐标；（2）抛物线21103y x bx =-++经过点A 、C ，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）题的条件下，位于第四象限的抛物线上，是否存在这样的点P ：使2PAB OBC S S =△△，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，试说明理由．25． 如图12，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，4cos 5BAC ∠=，点O 是边AC 上一个动点（不与A 、C 重合），以点O 为圆心，AO 为半径作⊙O ，⊙O 与射线AB 交于点D ；以点C 为圆心，CD 为半径作⊙C ，设OA x =．（1）如图13，当点D 与点B 重合时，求x 的值；（2）当点D 在线段AB 上，如果⊙C 与AB 的另一个交点E 在线段AD 上时，设AE y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）在点O 的运动的过程中，如果⊙C 与线段AB 只有一个公共点，请直接写出x 的取值范围．图7ABCDEB图12AB COD图13AB （D ）C O图11xyO AB 11青浦18．我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=12，动点P从点A开始沿射线AC方向以1个单位/秒的速度向点C运动，动点Q从点C开始沿射线CB方向以2个单位/秒的速度向点B 运动，P、Q两点分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ的中点M运动的轨迹长为▲．24.（本题满分12分，每小题满分各4分）已知：如图10，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）经过点A（6，-3），对称轴是直线x=4，顶点为B，OA与其对称轴交于点M，M、N关于点B对称．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）联结ON、AN，求△OAN的面积；（3）点Q在x轴上，且在直线x=4右侧，当∠ANQ=45°时，求点Q的坐标．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，D是AB的中点. 以CD为直径的⊙Q分别交BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，联结EF交CD于点G．（1）如图11，如果BC=2，求DE的长；（2）如图12，设BC=x，=GDyGQ，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）如图13，联结CE，如果CG=CE，求BC的长．图6图10图11 图13图1218．已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC =8，BC =6．将△ABC 绕点B 旋转得到△DBE ，点A的对应点D 落在射线BC 上．直线AC 交DE 于点F ，那么CF 的长为________．24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，抛物线24y ax x c =++过点A （6，0）、B （3，23），与y 轴交于点C ．联结AB 并延长，交y 轴于点D ． （1）求该抛物线的表达式；（2）求△ADC 的面积；（3）点P 在线段 AC 上，如果△OAP 和△DCA求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=24，BC=16．点O 在边BC 上，以O 为圆心，OB 为半径的弧经过点A ．P 是弧AB 上的一个动点． （1）求半径OB 的长；（2）如果点P 是弧AB 的中点，联结PC ，求∠PCB 的正切值； （3）如果BA 平分∠PBC ，延长BP 、CA 交于点D ，求线段DP 的长．·（第25题图）OBC A·（备用图）OBCA18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，cos B =23，先将△ACB 绕着顶点C 顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A'CB'（点A'、C 、B'的对应点分别是点A 、C 、B ），联结A'A 、B'B ，如果△AA'B 和△AA'B'相似，那么A C '的长是 ▲ ．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线214y x bx c =-++与直线132y x =-分别交于x 轴、y轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，联结CD 交x 轴于点E ． （1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标； （2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC=∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．25.如图，在△ABC 中，AC=BC=10，3cos 5C =，点P 是AC 边上一动点（不与点A 、C 重合），以P A 长为半径的⊙P 与边AB 的另一个交点为D ，作DE ⊥CB 于E .（1）当⊙P 与边BC 相切时，求⊙P 的半径；（2）联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当以PE 长为直径的⊙Q 与⊙P 相交于AC 上边的点G 时，求相交所得的公共弦的长.备用图ACEDCABPO（第18题图）18．如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD =5，AE =2，AF =4.如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是 ▲ .24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知开口向下的抛物线222y ax ax =-+与y 轴的交点为A ，顶点为B ，对称轴与x 轴的交点为C ，点A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M ，直线AB 与直线OD 交于点N . （1）求点D 的坐标；（2）求点M 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）当点N 在第一象限，且∠OMB =∠ONA25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC =AO ，点D 为BC 的中点. （1）如图1，联结AC 、OD ，设∠OAC =α，请用α表示∠AOD ；（2）如图2，当点B 为»AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离； （3）如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长.D（第24题图） （第25题图）O A （图1） B CD AOBCD. （图2） A O（备用图）18.如图3，在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，将ABC ∆绕着点C 旋转， 点B A 、的对应点分别是点'A 、'B ，若点'B 恰好在线段'AA 的延长线上， 则'AA 的长等于 ▲ ．交于点A ，点A 的横坐标为6，抛物线顶点为点B ． （1）求这条抛物线的表达式和顶点B 的坐标；（2）过点O 作AB OP //，在直线OP 上点取一点Q ，使得OBA QAB ∠=∠，求点Q 的坐标；（3）将该抛物线向左平移)0(>m m 个单位，所得新抛物线与y 轴负半轴相交于点C 且顶点仍然在第四象限，此时点A 移动到点D 的位置，:CB25.如图7，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，3=AC ，4=BC ，点P 在边AC 上（点P 与点A 不重合），以点P 为圆心，PA 为半径作⊙P 交边AB 于另一点D ，DP ED ⊥，交边BC 于点E ．(1) 求证：DE BE =；(2) 若x BE =，y AD =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；(3) 延长ED 交CA 的延长线于点F ，联结BP ，若BDP ∆与DAF ∆相似，求线段AD 的长．图3BC图6BEDBB。

2018年浦东新区初三数学二模试卷及答案2018年浦东新区初三数学二模试卷（完卷时间：100分钟，满分：150分）2018.5考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸．．．规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸．．．的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列代数式中，单项式是（A）1；（B）0；x（C）1+x；（D）x．2．下列代数式中，二次根式nm+的有理化因式可以是（A）nm-；（C）m+；（B）nm-．nm+；（D）n3．已知一元二次方程0122=-+x x，下列判断正确的是 （A ）该方程有两个不相等的实数根；（B ）该方程有两个相等的实数根；（C ）该方程没有实数根； （D ）该方程的根的情况不确定．4．某运动员进行射击测试，共射靶6次，成绩记录如下：8.5，9.0，10，8.0，9.5，10，在下列各统计量中，表示这组数据离散程度的量是（A ）平均数； （B ） 众数； （C ） 方差； （D ） 频率．5．下列y 关于x 的函数中，当0>x 时，函数值y 随x 的值增大而减小的是（A ）2x y = ； （B ）22+=x y ； （C ）3x y = ； （D ）xy 1=． 6．已知四边形ABCD 中，AB //CD ，AC=BD ，下列判断中正确．．的是 （A ）如果BC=AD ，那么四边形ABCD 是等腰梯形；（B ）如果AD //BC ，那么四边形ABCD 是菱形；（C ）如果AC 平分BD ，那么四边形ABCD是矩形；（D ）如果AC ⊥BD ，那么四边形ABCD 是正方形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：=⋅b a a b 232 ▲ ． 8．因式分解：=-224y x▲ ． 9．方程312=-x 的解是 ▲ ．10．如果将分别写着“幸福”、“奋斗”的两张纸片，随机放入“■都是■出来的”中的两个■内（每个■只放一张纸片），那么文字恰好组成“幸福都是奋斗出来的”概率是 ▲ ．11. 已知正方形的边长为2cm ，那么它的半径长是 ▲ cm ．12．某市种植60亩树苗，实际每天比原计划多种植3亩树苗，因此提前一天完成任务，求原计划每天种植多少亩树苗．设原计划每天种植x亩树苗，根据题意可列出关于x 的方程 ▲ ． 13．近年来，出境旅游成为越来越多中国公民的假期选择.将2017年某小区居民出境游的不同方式的人次情况画成扇形图和条形图,如图1所示.那么2017年该小区居民出境游中跟团游的人数为 ▲ ．14．如图2，在□ABCD 中，E 是BC 中点，AE交BD 于点F ，如果a AE ，那么AF = ▲ （用向量a 表示）．15．在南海阅兵式上，某架“直-8”型直升飞机图2图1 图3在海平面上方1200米的点A 处，测得其到海平面观摩点B 的俯角为︒60，此时点A 、B 之间的距离是 ▲ 米．16．如图3，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB=DC =3，BC =6，将△ABD 绕着点D逆时针旋转，使点A 落在点C 处，点B 落在点B '处，那么B B '= ▲ ．17．如果抛物线C ：)0(2≠++=a c bx ax y 与直线l ：)0(≠+=k d kx y 都经过y 轴上一点P ，且抛物线C 的顶点Q在直线l 上，那么称此直线l 与该抛物线C具有“点线和谐”关系．如果直线1+=mx y 与抛物线n x x y +-=22具有“点线和谐”关系，那么=+n m ▲ ．18. 已知1l ∥2l ，1l 、2l 之间的距离是3cm ，圆心O 到直线1l 的距离是1cm ，如果⊙O 与直线1l 、2l 有三个公共点，那么圆O 的半径为 ▲ cm ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分） 计算：1-312127-2-18）（++．图5 图4 20．（本题满分10分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+≤-->612163x x x x ， ，并把它的解集在数轴（如图4）上表示出来．21．（本题满分10分）如图5，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ， 30=∠CEA ，OE =4，DE =35．求弦CD 及⊙O 的半径长．22．（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）某市为鼓励市民节约用气，对居民管道天然气实行两档阶梯式收费.年用天然气量310立方米及以下为第一档；年用天然气量超出310立方米为第二档．某户应交天然气费y （元）与年用x 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 O 图5天然气量x （立方米）的关系如图6所示，观察图像并回答下列问题：（1）年用天然气量不超过310立方米时，求y 关于x 的函数解析式（不写定义域）；（2）小明家2017年天然气费为1029元，求小明家2017年使用天然气量．23.（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分） 已知：如图7，在正方形ABCD 中，点E 为边AB 的中点，联结DE ．点F 在DE 上，且CF=CD ，过点F 作FG ⊥FC 交AD 于点G ．（1）求证：GF=GD ；（2）联结AF ，求证：AF ⊥DE ．图6 图724．（本题满分12分，每小题4分）已知平面直角坐标系xOy（如图8），二次函数y＝ax2＋bx＋4的图像经过A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点E在线段OC上，且∠CBE=∠ACO，求点E的坐标；（3）点M在y轴上，且位于点C上方，点N在直线BC上，点P对称轴．．．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图9，已知在△ABC 中，AB=AC ，21tan =B ，BC =4，点E 是在线段BA 延长线上一点，以点E 为圆心，EC 为半径的圆交射线BC 于点C 、F （点C 、F 不重合），射线EF 与射线AC 交于点P ．（1）求证：AC AP AE ⋅=2；（2）当点F 在线段BC 上，设CF =x ，△PFC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）当21=EF FP 时，求BE 的长．备用图 图8 图92018年浦东新区初三数学二模参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ； 2．C ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．22ab ；8．()()y x y x 22-+； 9．5=x ；10．21；11．2；12．136060=+-x x ； 13．24； 14．a 32； 15．3800；16．9；17．0；18．2或4．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式23-1-222++=．…………………………………………………（8分）2-23=．………………………………………………………………（2分）20. 解：3611.26x x x x >-⎧⎪-+⎨≤⎪⎩， 由①得：62->x ．…………………………………………………………（2分）解得3->x ．…………………………………………………………（1分）由②得：11-3+≤x x ）（．……………………………………………………（1分）133+≤-x x ．……………………………………………………（1分）42≤x ．解得2≤x ．……………………………………………………………（1分）∴原不等式组的解集为23-≤<x .…………………………………（2分）…………………………………（2分）① ②21.解：OD M CD OM O ，联结于点作过点⊥.……………………………………（1分）∵，︒=∠30CEA ∴︒=∠=∠30CEA OEM .…………………………………（1分）在Rt △OEM 中，∵OE =4，∴221==OE OM ，3223430cos =⨯=⋅=︒OE EM ．（2分）∵35=DE ，∴33=-=EM DE DM ．…………（1分）∵CD OM OM ⊥过圆心，,∴DM CD 2=.…………（2分）∴36=CD ．……………………………………………（1分）∵，，332==DM OM∴在Rt △DOM 中，()313322222=+=+=DM OM OD ．……（1分） ∴ 弦CD 的长为36，⊙O 的半径长为31．……………………………（1分）22．解：（1）设)0(≠=k kx y .…………………………………………………………（1分）∵)0(≠=k kx y 的图像过点（310，930），……………………………（1分）∴，k 310930=∴3=k .…………………………………………………（2分） ∴x y 3=．…………………………………………………………… （1分） （2）设)0(≠+=k b kx y .………………………………………………………（1分）∵ )0(≠+=k b kx y 的图像过点（310，930）和（320，963），∴ ⎩⎨⎧=+=+63.9320930310b k b k ，∴⎩⎨⎧-== 3.93.3b k ，……………………………………………………………（1分）∴933.3-=x y .…………………………………………………………（1分）当3401029933.31029==-=x x y ，解得时，.……………………（1分）答：小明家2017年使用天然气量为340立方米.……………………（1分）23.证明：（1）∵是正方形四边形ABCD ，∴︒=∠90ADC .………（1分）∵FG ⊥FC ， ∴∠GFC =90°. …………………………（1分）∵，CD CF = ∴∠CDF =∠CFD .………………………（1分）∴∠GFC-∠CFD=∠ADC-∠CDE，即∠GFD=∠GDF.（1分）∴GF=GD .………………………………………………（1分）（2）联结CG.∵，CD=∴CF=GF，GDCG.……（1分）点FD、的中垂线上在线段∴GC⊥DE，∴∠CDF+∠DCG= 90°，∵∠CDF+∠ADE= 90°，∴∠DCG=∠ADE.∵是正方形四边形ABCD，∴AD=DC，∠DAE=∠CDG=90°，∴△DAE≌△CDG.……………………………………………………（1分）∴AE=.………………………………………………DG…………（1分）∵的中点，点AD是边是边G点ABE∴的中点，∴=.……………………………………………AG=GFGD………（1分）∴，，GFD GDF AFG DAF ∠=∠∠=∠………………………………（1分）∵，︒=∠+∠+∠+∠180GDF GFD AFG DAF ……………………（1分）∴，︒=∠+∠18022GFD AFG∴∠AFD = 90°，即AF ⊥DE .…………………………………………（1分）证法2：（1）联结CG 交ED 于点H .∵是正方形四边形ABCD ，∴︒=∠90ADC .…………………………（1分）∵FG ⊥FC ，∴∠GFC = 90°.……………………………………………（1分）在Rt △C FG 与Rt △CDG 中，⎩⎨⎧==.CG CG CD CF ，…………………………………………………………… （1分）∴Rt △CFG ≌Rt △CDG .………………………………………………（1分）∴GF=.………………………………………………GD…………（1分）（2）∵，=CF=CDGF，GD∴的中垂线上G.………………………………点FDC在线段、（1分）∴FH=HD，GC⊥DE，∴∠EDC +∠DCH =90°，∵∠ADE+∠EDC= 90°，∴∠ADE=∠DCH.……………………………………………………（1分）∵是正方形四边形ABCD，∴AD=DC=AB，∠DAE=∠CDG= 90°，∵GDC∠=∠=∠，，.ADE∠EAD=DCDCHAD∴△ADE≌△DCG.……………………………………………………（1分）∴DG AE =.…………………………………………………………（1分）∵的中点，是边点AB E ∴的中点，是边点AD G∵的中点，是边点FD H ∴GH 是△AFD 的中位线.………………（1分）∴，AF GH //∴，GHD AFD ∠=∠∵GH ⊥FD ，∴∠GHD =90°，………………………………………（1分）∴∠AFD = 90°，即AF ⊥DE .………………………………………（1分） 24．解：（1）∵ 抛物线42++=bx axy 与x 轴交于点A （-2，0），B （4，0），∴⎩⎨⎧=++=+.04416042-4b a b a ；…………………………………………………（1分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.121-b a ；…………………………………………………………（2分） ∴ 抛物线的解析式为421-2++=x x y .……………………………（1分） （2）H BC EH E 于点作过点⊥.在Rt △ACO中， ∵A （-2，0），∴ OA =2，4421-02=++==x x y x 时，当，∴OC=4，在Rt △C OB 中，∵∠COB=90°，OC=OB=4， ∴2445==∠︒BC OCB ，. ∵BC EH ⊥，∴CH=EH .∴在Rt △ACO 中，21tan ==∠CO AO ACO …………………………（1分）∵∠CBE=∠ACO ，∴在Rt △EBH 中，1tan 2EH EBH BH ∠==. 设k BH k k EH 2)0(=>=，则，CH=k，CE =. ∴243==+=k HB CH CB .∴，324=k ……………………………………………………………（1分）∴，38=CE ………………………………………………………………（1分）∴，34=EO ∴），（340E .………………………………………………（1分）（3）∵ A （-2，0），B （4，0），∴抛物线的对称轴为直线x =1.………………………………………（1分）①的边时，为菱形当MCNP MC∴，PN CM //∴∠PNC =∠NCO =45°. ∵点P 在二次函数的对称轴上，∴，的横坐标为点1P 1的横坐标为点N . ∴245sin 1==︒CN .∵是菱形，四边形MCNP ∴，2==CN CM∴，24+=+=CM OC OM ∴)240(+，M .……………………………………………………（1分）②的边时，不存在为菱形当MCPN MC .……………………（1分）③的对角线时，为菱形当MNCP MC，于点交设Q CM NP ∴互相垂直平分，、NP CM ∴1==QP NQ .，QC MQ =∵上，在直线点BC N ∠NCM =∠OCB=45°.在Rt △CQN 中，∴∠NCQ =∠CNQ=45°，∴，1==CQ QN ∴1MQ CQ ==，∴，2=CM ∴，624=+=+=CM OC OM ∴M（，6）.………………………………………………………（1分）∴综上所述)240(+，M 或 M （0，6）.25．证明：（1）∵，AC AB =∴∠B =∠ACB .∵，EC EF =∴∠EFC =∠ECF .…………………………………（1分） ∵，BEF B EFC ∠+∠=∠又∵，ACE ACB ECF ∠+∠=∠∴∠BEF =∠ACE .………………………………………………（1分）∵是公共角，EAC ∠∴△AEP ∽△ACE .……………………………………………（1分）∴，AEAPAC AE =∴ACAP AE ⋅=2.……………………………（1分）（2）∵∠B =∠ACB ，∠ECF =∠EFC ，∴△ECB ∽△PFC . ∴PM CEH F B A 2⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆CB FC S S ECB PFC .………………………………………………（1分） E EH CF H ⊥过点做于点， ∵，经过圆心，CF EH EH ⊥∴x FC CH 2121==.∴x BH 214-=.…………………………（1分）在Rt △BEH 中，∵，21tan ==∠BH EH B ∴x EH 41-2=. ∴x x EH BC S ECB 214)412(42121-=-⨯⨯=⋅=∆.…………（1分）∴24214⎪⎭⎫⎝⎛=-x x y .∴)40(32832<<-=x x x y .………………………………………（2分）（3） ①上时，在线段当点BC F∵，21=EF FP ∴，21==EC PE EF PEABFEC∵△AEP ∽△ACE . ∴，ECPEAC AE = ∴12AE AC =.……………………………………………………（1分）M BC AM A ，垂足为点作过点⊥. ∵，AC AB =，4=BC ∴，221==BC BM在Rt △ABM 中，∵，21tan =∠B ∴1AM AB AC ===，.…（1分）∴，25=AE ∴253=BE .………………………………………（1分）②F BC 当点在线段延长线上时，∵∠EFC =∠ECF ，EFC FCP P ∠=∠+∠，ECF B BEC∠=∠+∠.又∵B ACB ACB FCP ∠=∠∠=∠，，∴∠B =∠FCP .∴∠P =∠BEC .∵是公共角，EAC ∠∴△。

2018年上海市黄浦区高考物理二模试卷一、单项选择题（共40分，1至8题每小题3分，9至12题每小题3分．每小题只有一个正确选项）1．（3分）下列射线中，属于电磁波的是（）A．阴极射线B．α射线C．β射线D．γ射线2．（3分）白光通过双缝后产生的干涉条纹是彩色的，其原因是不同色光具有不同的（）A．传播速度B．光强C．振动方向D．波长3．（3分）在一个U原子核衰变为一个Pb原子核的过程中，发生α衰变的个数为（）A．5B．8C．10D．164．（3分）三束单色光①、②、③的频率分别为ν1、ν2、ν3（已知ν1＜ν2＜ν3）。

某种金属在光束②照射下，能产生光电子。

则该金属（）A．在光束①照射下，一定能产生光电子B．在光束①照射下，一定不能产生光电子C．在光束③照射下，一定能产生光电子D．在光束③照射下，一定不能产生光电子5．（3分）2017年4月“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道（可视为圆周）运行。

与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的（）A．周期变大B．动能变大C．速率变大D．向心加速度变大6．（3分）电场中有a、c两点，一正电荷由a点运动到c点电势能减少，由此可知（）A．a点的场强大于c点的场强B．a点的电势高于c点的电势C．电场线的方向由a沿直线指向cD．该正电荷在a点的动能大于在c点的动能7．（3分）一个质点做简谐运动，其位移随时间变化的s﹣t图象如图。

以位移的正方向为正，该质点的速度随时间变化的v﹣t关系图象为（）A．B．C．D．8．（3分）在不同温度下，一定量气体的分子速率分布规律如图所示。

横坐标v 表示分子速率，纵坐标f（v）表示某速率附近单位区间内的分子数占总分子数的百分率，图线1、2对应的气体温度分别为t1、t2，且t1＜t2．以下对图线的解读中正确的是（）A．t1温度时，分子的最高速率约为400m/sB．对某个分子来说，温度为t1时的速率一定小于t2时的速率C．温度升高，f（v）最大处对应的速率增大D．温度升高，每个单位速率区间内分子数的占比都增大9．（4分）质量为m的汽车，起动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为（）A．B．C．D．10．（4分）某同学将轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，将衣架挂在绳上晾晒衣物，衣架挂钩可视为光滑。

2018年上海市杨浦区中考语文二模试卷一、文言文阅读（共40分）1．（15分）默写（1）几处早莺争暖树，。

（《钱塘湖春行》）（2），带月荷锄归。

（《归园田居》）（3）马作的卢飞快，。

（《破阵子•为陈同甫赋壮词以寄》）（4），，众宾欢也。

（《醉翁亭记》）（5）虎见之，，……（《黔之驴》）三、标题2．（4分）阅读古诗词，完成下列各题蝶恋花柳永伫倚危楼风细细，望极春愁，黯黯生天际。

草色烟光残照里，无言谁会凭阑意。

拟把疏狂图一醉，对酒当歌，强乐还无味。

衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。

（1）下列理解不恰当的一项是A．危楼：高楼B．伫：久立C．疏狂：狂放不羁D．强乐：极致的快乐（2）下列理解正确的一项是A．题目“蝶恋花”巧设比喻，含蓄表达了这首词思恋怀人的主题。

B．上阕塑造了一位暮色中登楼远望，因相思而忧愁的主人公形象。

C．下阕情景交融，展现了主人公苦中求乐，仍难遣愁绪的过程。

D．本首词主题是豁，围绕“春愁”，写尽怀恋意中人的缠绵相思。

3．（9分）阅读选文，完成下列各题伤仲永金溪民方仲永，世隶耕。

仲永生五年，未尝识书具，忽啼求之；父异焉，借旁近与之，即书诗四句，并自为其名。

其诗以养父母、收族为意，传一乡秀才观之。

自是指物作诗，立就，其文理皆有可观者。

邑人奇之，稍稍宾客其父；或以钱币乞之。

父利其然也，日扳仲永环谒于邑人，不使学。

余闻之也久。

明道中，从先人还家，于舅家见之，十二三矣。

令作诗，不能称前时之闻。

又七年，还自扬州，复到舅家问焉，曰：“泯然众人矣！”（1）选文的作者是时期政治家、文学家。

（2）用现代汉语翻译下面的句子。

邑人奇之，稍稍宾客其父（3）一下不能说明仲永天赋异才的一项是A．金溪民方仲永，世隶耕B．未尝识书具，忽啼求之C．自是指物作诗，立就，其文理皆有可观者D．日扳仲永环谒于邑人4．（12分）阅读下文，完成下列各题曹玮知镇戎军日①，尝出战小捷，虏兵②引去。

玮侦虏兵去已远，乃驱所掠牛羊辎重，缓驱而还，颇失部伍③其下忧之，言于玮曰：“牛羊无用，徒縻④军。

2018年上海市各区二模卷第24题1. （18徐汇）如图，已知直线122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，抛物线212y x bx c =-++过点B 、C ，且与x 轴交于另一个点A .（1）求该抛物线的表达式；（2）点M 是线段BC 上一点，过点M 作直线l ∥y 轴交该抛物线于点N ，当四边形OMNC 是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC ，设点D 是该抛物线上的一点，且满足DBA CAO ∠=∠，求点D 的坐标.2. （18杨浦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线4y x =+经过点A 、C ，点P 为抛物线上位于直线AC 上方的一个动点.（1）求抛物线的表达式；（2）如图（1），当CP ∥AO 时，求PAC ∠的正切值；（3）当以AP 、AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时， 求出此时点P 的坐标.3. （18黄浦）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)A 和(0,3)B ，其顶点为D . （1）求此抛物线的表达式； （2）求ABD ∆的面积；（3）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若DPH ∆与AOB ∆相似，求点P 的坐标.4. （18宝嘉）已知平面直角坐标系xOy ，如图，直线y x m =+经过点(4,0)A -和(,3)B n . （1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线2y x bx c =++经过点A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求sin ∠ABP ； （3）设点Q 在直线y x m =+上，且在第一象限内，直线y x m =+与y 轴的交点为点D ，若AQO DOB ∠=∠，求点Q 的坐标.5. （18长宁）如图平面直角坐标系xOy ，抛物线23y ax bx =+-与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点(1,0)B -、(3,0)C ，点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结DC ，求△ACD 的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标.6. （18闵行）如图，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点(1,0)B ，与y 轴相交于点(0,3)C . （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）求证：DAB ACB ∠=∠；（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 是以AD 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标.7. （18奉贤）已知平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线2223y x mx m =-++（0m >）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴为直线l ，过点C 作直线l 的垂线，垂足为点E ，联结DC 、BC . （1）当点(0,3)C 时，①求这条抛物线的表达式和顶点坐标； ②求证：DCE BCE ∠=∠；（2）当CB 平分DCO ∠时，求m 的值.8. （18松江）如图，已知抛物线2y ax bx =+的顶点为(1,1)C -，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线对称轴于点B ，直线CP 交x 轴于点A . （1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，试用m 的代数式表示线段BC 的长； （3）如果ABP ∆的面积等于ABC ∆的面积，求点P 坐标.yPOxCBA9. （18普陀）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线3y kx=+与x轴、y轴分别相交于点A、B，并与抛物线21742y x bx=-++的对称轴交于点(2,2)C，抛物线的顶点是点D.（1）求k和b的值；（2）点G是y轴上一点，且以点B、C、G为顶点的三角形与BCD∆相似，求点G的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E：它关于直线AB的对称点F恰好在y轴上，如果存在，直接写出点E的坐标，如果不存在，试说明理由.10. （18崇明）已知抛物线经过点(0,3)A、(4,1)B、(3,0)C.（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求BAC∠的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG AP⊥交y轴于点G，当点G 在点A的上方，且APG△与ABC△相似时，求点P的坐标.yxABCO11. （18青浦）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的图像与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线2x =上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处. （1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标. ．12. （18金山）平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c =++经过点A（1,0）和B （3,0），与y 轴相交于点C ，顶点为P . （1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标； （2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA =EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，∠MEQ =∠NEB ，求点Q 的坐标.ABOxy 备用图ABOxy13. （18静安）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(8,0)B 和点(9,3)C -，抛物线28y ax ax c =-+（a 、c 是常数，0a ≠）经过点B 、C ，且与x 轴的另一交点为A ，对称轴上有一点M ，满足MA MC =. （1）求这条抛物线的表达式； （2）求四边形ABCM 的面积； （3）如果坐标系内有一点D ， 满足四边形ABCD 是等腰梯形， 且AD ∥BC ，求点D 的坐标.14. （18虹口）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与直线132y x =-+分别交于x 轴、y 轴上的B 、C 两点，抛物线的顶点为点D ，联结CD 交x轴于点E .（1）求抛物线的解析式以及点D 的坐标；（2）求tan BCD ∠；（3）点P 在直线BC 上，若PEB BCD ∠=∠，求点P 的坐标.15．（18浦东）已知平面直角坐标系xOy （如图8），二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图像经过A （-2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C 点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点E 在线段OC 上，且∠CBE =∠ACO ，求点E 的坐标；（3）点M 在y 轴上，且位于点C 上方，点N 在直线BC 上，点P 为上述二次函数图像的对称轴．．．上的点，如果以C 、M 、N 、P 为顶点的四边形是菱形，求点M 的坐标.yx12 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –51 2 3 4 5–1 –2 –3 –4 –5 O图8。