四川成都七中高新校区高2021届零诊模拟考试 文科数学 含答案

2021届四川省成都七中高三入学考试数学（文）试题一、单选题 1．已知集合(){},21A x y y x ==-，(){}2,B x y y x ==，则AB =（ ）A ．∅B ．{}1C ．(){}1,1D ．(){}1,1-【答案】C【解析】由题意可知A B 是直线21y x =-与抛物线2y x 的交点，所以两关系式联立成方程组求解即可 【详解】解：由221y x y x=-⎧⎨=⎩，得2210x x -+=，解得1x =，1y =， 所以A B =(){}1,1，故选：C 【点睛】此题考查集合的交集运算，考查两曲线的交点问题，属于基础题2．复数z =的模是（ ）A ．1BC ．2D【答案】B【解析】先算1的模，再利用复数的除法计算z . 【详解】因为()()()2121111i z i i i i -===-++-，所以z =B .【点睛】本题考查复数的除法及其复数的模的计算，属于基础题. 3．已知命题():,0,23xxp x ∃∈-∞<；命题:0,,sin 2q x x x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝【答案】C【解析】试题分析：因为当0x <时，213x⎛⎫> ⎪⎝⎭即23x x >，所以命题p 为假，从而p ⌝为真.因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，即sin x x >，所以命题q 为真，所以()p q ⌝∧为真，故选C.【考点】命题的真假.4．抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用抛物线定义可得点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍，从而可得结果. 【详解】解：依题意，得F （1,0），抛物线的准线为x ＝－1， 线段AF 的长等于点A 到准线x ＝－1的距离，因为点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，所以，点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍 设A 点横坐标为0x ，是0x ＋3＝2（0x ＋1），解得：0x ＝1， 所以，｜AF ｜＝1－（－1）＝2 故选B 【点睛】本题考查了抛物线定义，考查了数形结合的思想，属于基础题.5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A ．55.2,3.6 B ．55.2,56.4 C ．64.8,63.6 D ．64.8,3.6【答案】D【解析】首先写出原来数据的平均数的公式和方差的公式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的公式，两部分进行比较，即可得到结果.【详解】设这组数据分别为12,,,n x x x ，由其平均数为4.8，方差是3.6，则有1121() 4.8n x x x x n=+++=，方差22221121[()()()] 3.6n S x x x x x x n=-+-++-=，若将这组数据中每一个数据都加上60，则数据为1260,60,,60n x x x +++，则其平均数为1121[(60)(60)(60)] 4.86064.8n x x x x n=++++++=+=，方差为22222121[(6064.8)(6064.8)(6064.8)] 3.6n S x x x n=+-++-+++-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差公式的计算与应用，其中熟记数据的平均数和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】先利用13y x =的单调性比较a ，c 的大小，再利用1()3xy =比较b ，c 的大小可得. 【详解】先比较a ，c 的大小关系，由13y x =在R 上是增函数可得：a c >， 再比较b ，c 的大小关系，由1()3xy =在R 上是减函数可得：b c <， 综上可得：a c b >>， 故选：B. 【点睛】比较数的大小时，我们要找到它们的共性，合理利用对应函数的单调性是解决此类问题的关键，属于简单题目.7．若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，5cos()13αβ+=，则sin β的值为（ ）A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365【答案】B【解析】根据,αβ为锐角，且4cos 5α=，5cos()13αβ+=，利用平方关系求得sin ,sin()ααβ+，再由sin sin[()]βαβα=+-，利用两角差的正弦公式求解.【详解】因为,αβ为锐角，且4cos 5α=，5cos()13αβ+=， 所以312sin ,sin()513ααβ=+=，所以故sin sin[()]βαβα=+-，124533313513565=⨯-⨯=， 故选：B. 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及平方关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为（ ） A ．203B ．100C ．20D ．203【答案】A【解析】设圆锥高为x ，利用x 表示出底面半径，从而可构造出关于圆锥体积的函数关系式；利用导数求得当2033x =时，体积最大，从而得到结果. 【详解】设圆锥的高为()020x x <<，则圆锥底面半径：2400r x =-∴圆锥体积：()223114004003333V r x x x x x ππππ=⋅=-=-+24003V x ππ'∴=-+，令，解得：203x =当2030,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，0V '>；当203203x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，0V '<∴当203x =，V 取最大值即体积最大时，圆锥的高为：2033本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数思想来解决立体几何中的最值问题，关键是能够构造出关于所求变量的函数，从而利用导数来求解最值.9．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）A ．12π+B ．22π+C ．1π+D ．2π+【答案】B【解析】由三视图理解该几何体：一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱组成，即可求体积； 【详解】由三视图可知：该几何体可看作由一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱组成， ∴12111222V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B 【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积，注意几何体的组合分别求体积后加总，属于简单题；10．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i 行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C【解析】由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a,所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C 【点睛】本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用. 11．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．(6,10) B ．(6,8)C ．(8,10)D ．(6,12)【答案】A【解析】根据题干得到函数在4π处取得最大值，当x ∈0,4π⎛⎫⎪⎝⎭时，,4x πωϕϕϕω⎛⎫+∈+⎪⎝⎭，()sin ,?f t t t x ωϕ==+有两个零点,故这两个零点应该是,2ππ，得到()50,24πϕπωπ=-∈进而求解.【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立,说明函数在4π处取得最大值，又因为()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，当x ∈0,4π⎛⎫⎪⎝⎭时，,4x πωϕϕϕω⎛⎫+∈+⎪⎝⎭在这个范围内()sin ,?f t t t x ωϕ==+有两个零点,故这两个零点应该是,2ππ 结合条件：当4t πϕω=+时取得最大值，故根据三角函数的图像的性质得到542πϕωπ+=，()50,24πϕπωπ=-∈，解得()6,10ω∈.故答案为A. 【点睛】这个题目考查了三角函数的性质的应用，整体思想的应用，整体思想是将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx 中的x ．12．已知函数()212ln xf x x -=的定义域为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，若对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．(],5-∞D ．(],6-∞【答案】B【解析】由题意可知，()f x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，将不等式()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-两边同时乘以12x x -，变形为()()12221211f x f x mx x ->-，不妨设12x x >，则()()122212f x f x x x m m -<-，构造新函数()()21,0,mg x f x x x e ⎛⎫⎛⎤=-∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭，根据函数单调性定义可知，若使得对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则需()10,0,g x x e ⎛⎫⎛⎤'≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立，即min22ln m x，求解即可.【详解】()212ln x f x x -=∴()()()()()()2223212ln 12ln 4ln 1x x x x x f x xx ''----'==函数()f x 的定义域为10,e ⎛⎤⎥⎝⎦∴()0f x '<，即函数()f x 在10,e ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1222120x x x x +∴> ∴()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-变形为()()()()1212122212x x f x f x mx x x x +->-即()()12221211f x f x mx x ->- 不妨设12x x >，则()()12f x f x <，221211x x < 即()()122212f x f x x x m m -<- 令2212ln 1()(),0,m m x g x f x x x x e ⎛⎫--⎛⎤=-=∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 则()()()()()2223212ln 1ln 424ln m x x x m x m xg x x x ''------++'==若使得对任意的121,0,x x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立.则需()10,0,g x x e⎛⎫⎛⎤'≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.则1424ln 0,0,m x x e ⎛⎫⎛⎤-++≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.即122ln ,0,m x x e⎛⎫⎛⎤≤-∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.所以()min 122ln 22ln 4m x e≤-=-=. 即实数m 的取值范围是(],4-∞. 故选：B 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，等价变形，构造新函数，是解决本题的关键，本题属于难题.二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =________．【解析】根据正投影定义确定点B 坐标，再根据空间两点距离公式求结果. 【详解】因为点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为()1,0,3，即B ()1,0,3，所以OB =【点睛】本题考查空间直角坐标正投影以及空间两点距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知x ，y 满足22x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-+的最大值为____________.【答案】1-【解析】作可行域，作目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作可行域，如图ABC 内部（含边界），作直线:20l x y -+=，由2y x x y =⎧⎨+=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)C ，平移直线l ，向上平移时2z x y =-+增大，∴当直线l 过点(1,1)C 时，2z x y =-+取得最大值1-． 故答案为：1-．【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键．15．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，若13b =，4a c +=，则a 的值为______.【答案】1或3【解析】利用正弦定理把边角关系式转化为角的三角函数关系式，再利用两角和的正弦公式化简该式可得23B π=，利用余弦定理可求a 的值． 【详解】cos cos 2B bC a c=-+， 即有2cos cos cos -=+a B b C c B ，即()2sin cos sin cos cos sin sin sin -=+=+=A B B C C B B C A ， 即有1cos 2B =-，由于B 为三角形的内角，则23B π=， 又2222cos b a c ac B =+-，即有2213a c ac =++，又4a c +=，解得，1a =，3c =或3a =，1c =. 故答案为：1或3． 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，注意分析三边三角中哪些是已知的，哪些是未知的，从而确定用什么定理解决问题．16．已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m nΩ-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________.【答案】12【解析】根据正弦定理，可得2PF c =，根据椭圆与双曲线定义可求得a m c =+，结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1，可得220c m mc --=，进而求得双曲线的离心率c e m=． 【详解】 设焦距为2c在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+ 即22a c m c -=+ 所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即1c c a m ⨯= ，即2c a m= 所以2c m c m+=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率 所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --=由一元二次方程求根公式可求得e = 因为双曲线中1e >所以e =【点睛】本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法，计算量复杂，属于难题．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,21n n a a S +==+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在20x y -+=上，*.n N ∈（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）13n n a -=，1(1)221n b n n =+-⋅=-（2）2112132323n n n n T ---=--⋅⋅1133n n -+=-.【解析】（1）利用n a 与n S 的递推关系可以n a 的通项公式；P 点代入直线方程得12n n b b +-=，可知数列{}n b 是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.【详解】()1由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得12n n n a a a +-=，()132n n a a n +=≥．又21213a S =+=，所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-()2因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=+++⋯+． 则123111352321333333n n n n n T ---=+++⋯++， 两式相减得：21222221133333n n n n T --=+++⋯+-． 所以21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅． 【点睛】用递推关系1=(2)n n n a S S n --≥求通项公式时注意n 的取值范围，所求结果要注意检验1n =的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.18．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥底面ABCD ，PDC 是等边三角形，底面ABCD 为梯形，且60DAB ∠=，//AB CD ，22DC AD AB ===．(Ⅰ)证明：BD PC ⊥；(Ⅱ)求A 到平面PBD 的距离．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）32h =. 【解析】（1）由余弦定理得BD 3=，从而BD⊥AB，由AB∥DC，得BD⊥DC．从而BD⊥平面PDC ，由此能证明BD⊥PC（2）设A 到平面PBD 的距离为h ．取DC 中点Q ，连结PQ ，由V A-PBD =V P-ABD ，能求出A 到平面PBD 的距离． 【详解】（1）由余弦定理得22BD 12212cos603=+-⨯⨯︒=， ∴222BD AB AD +=，∴ABD 90∠=︒，BD AB,AB //DC,⊥ ∴BD DC ⊥.又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC底面ABCD DC =，BD ⊂底面ABCD ，∴BD ⊥平面PDC ，又PC ⊂平面PDC ，∴BD PC ⊥. （2）设A 到平面PBD 的距离为h.取DC 中点Q ，连结PQ ,∵△PDC 是等边三角形，∴PQ DC ⊥.又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC 底面ABCD DC =，PQ ⊂平面PDC ，∴PQ ⊥底面ABCD ，且PQ 3=，由（Ⅰ）知BD ⊥平面PDC ，又PD ⊂平面PDC ，∴BD PD ⊥. ∴A PBD P ABD V V --=，即1132⨯3h = 1132⨯33解得3h =. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸(mm)x 之间近似满足关系式b y c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）.按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(0.302,0.388)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程. 附：对于样本(),(1,2,,6)i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211ˆnniii i i i nniii i v v u u v u nvub v v vnv ====---==--∑∑∑∑，ˆˆau bv =-， 2.7183e ≈. 【答案】（1）15；（2）0.5ˆyex =. 【解析】（1）根据优等品的质量与尺寸的比(0.302,0.388)yx∈，得到随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，有3件为优等品，有3件为非优等品，列出所有从6件中取2件的所有基本事件和2件均为优等品的基本事件，再用古典概型的概率公式求得答案；（2）对b y c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i i v x u y ==，则u b v a =⋅+，根据表中的数据，先求得u 关于v 的回归方程，从而求得y 关于x 的回归方程. 【详解】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比(0.302,0.388)yx∈， 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为,,a b c ， 有3件为非优等品，记为,,d e f ，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d(,),(,),(,),(,),(,)c e c f d e d f e f ，选中的两件均为优等品的事件为(,),(,),(,)a b a c b c ， 所以所求概率为31155=. （2）对b y c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln ,ln i i i i v x u y ==，则u b v a =⋅+，且ln a c = 由所给统计量及最小二乘估计公式有：6162221675.324.618.360.271101.424.660.5426ˆi i i i i v u uvbvv ==--⨯÷====-÷-∑∑ 118.324.62ˆˆ16au bv ⎛⎫-⨯⎪⎝⎭=-==， 由ˆˆln ac =得ˆc e =， 所以y 关于x 的回归方程为0.5ˆyex =.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，换元法的应用，用最小二乘法公式求回归方程，考查了分析理解能力，转化与化归思想，计算能力，属于中档题. 20．设函数()f x =[()24143ax a x a -+++]x e ．（1）若曲线()y f x =在点（1，()1f ）处的切线与x 轴平行，求a ；（2）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 【答案】(1) 1 (2)（12，+∞） 【解析】分析：（1）先求导数，再根据()01f '=得a ；（2）先求导数的零点：1a，2；再分类讨论，根据是否满足()f x 在x =2处取得极小值，进行取舍，最后可得a 的取值范围．详解：解：（Ⅰ）因为()f x =[()24143ax a x a -+++]x e ，所以f ′（x ）=［2ax –（4a +1）］e x +［ax 2–（4a +1）x +4a +3］e x （x ∈R ） =［ax 2–（2a +1）x +2］e x ． f ′(1)=(1–a )e ．由题设知f ′(1)=0，即(1–a )e=0，解得a =1． 此时f (1)=3e≠0． 所以a 的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x ）=［ax 2–（2a +1）x +2］e x =（ax –1）(x –2)e x ． 若a >12，则当x ∈(1a，2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )>0． 所以f (x )<0在x =2处取得极小值． 若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x –2<0，ax –1≤12x –1<0， 所以f ′(x )>0．所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是（12，+∞）． 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.21．如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆的面积为2.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）由题设知()()12,0,,0F c F c -其中222c a b =-由12112222F F DF c DF =⇒=,结合条件12DF F ∆的面积为22，可求c 的值，再利用椭圆的定义和勾股定理即可求得,a b 的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）假设存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点；设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点为()()111222,,,P x y P x y 由圆的对称性可知1212,x x y y =-=，利用()()111222,,,P x y P x y 在圆上及11220PF P F ⋅=确定交点的坐标，进而得到圆的方程. 解：（1）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，由12122F F DF =得121222F F DF ==从而122112122222DF F S DF F F ∆=⋅==故1c =. 从而122DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2322DF =. 所以12222a DF DF =+=，故2222,1a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=（2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212xy +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=1212.PP x =，由（1）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =. 当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y 由111,CP F P ⊥得101111,1y y y x x -⋅=-+而1111,3y x =+=故053y = 圆C 的半径22141542333CP ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，存在满足条件的圆，其方程为：2253239x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭ 【考点】1、椭圆的标准方程；2、圆的标准方程；3、直线与圆的位置关系；4、平面向量数量积的应用.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=，（R ρ∈），直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度AB . 【答案】（1）26y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2）2373. 【解析】（1）根据参数方程，消去参数，得到曲线普通方程，再由题意求出定义域即可；（2）先将（1）中的曲线方程化为极坐标方程，得到226sin cos ρθρθ=-，（2cos ρθ≥），设,A B 的极坐标分别为12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将6πθ=代入曲线的极坐标方程，由根与系数关系，以及()21212124AB ρρρρρρ=-=+-，即可得出结果. 【详解】（1）曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数）.将①式两边平方，得22212x t t=++③， ③②，得26x y -=，即26y x =-， 因为1112?2t t t t t t+=+≥=，当且仅当1t t =，即1t =±时取“=”，所以2x ≥，即2x -≤或2x ≥， 所以曲线C 的普通方程为26y x =-（2x -≤或2x ≥）.（2）因为曲线C 的直角坐标系方程为26y x =-（2x -≤或2x ≥），所以把x cos y sin ρθρθ==，代入得：226sin cos ρθρθ=-，（2cos ρθ≥），则曲线C 的极坐标方程为226sin cos ρθρθ=-，（2cos ρθ≥）设,A B 的极坐标分别为12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将6πθ=代入曲线C 的极坐标方程得232240ρρ--=，433ρ≥,因为∆=4+4×3×24=4×73>0,∴1211ρ?ρ33==，满足ρ≥， 所以|12|AB ρρ=-=【点睛】 本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标的方法求弦长的问题，属于常考题型.23．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -．【答案】（1）[]1,1M =-；（2）证明见解析.【解析】（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果； （2）利用分析法证明不等式【详解】 （1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩()12422x f x x ⎧≤-⎪≤∴⎨⎪-≤⎩或1144122x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或1422x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 114x ∴-≤≤-或1144x -<<或114x ≤≤ 所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b --+≥，即2242a ab b ++≥， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．【点睛】本题考查含绝对值不等式解法、分析法证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.。

成都七中高2022届高二下期零诊模拟考试数学（文）时间：120分钟 满分：150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.1.设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则A B ⋃= （）A.3(3,)2-- B.3(3,)2- C.3(1,)2 D.(1,)+∞2．复数z 满足i z i =-)1(（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．21- B ．21C ．i 21-D ．i 213．极坐标系中，直线l 的方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与曲线:2C ρ=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定，与θ有关4．若双曲线C 的中心为坐标原点，其焦点在y 轴上，离心率为2，则该双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．y =B．y x =C ．4y x =±D ．14y x =±5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-，则A 的大小为（） A ．4πB ．3πC ．6πD ．34π6.等差数列{}n a 公差为d (d ≠0)，且满足358,,a a a 成等比数列，则1d a =( )A.12 B.1 C.3 D.27．在圆2216x y +=内随机取一点P ，则点P 落在不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，表示的区域内的概率为 （） A ．14πB ．34πC ．1πD ．43π8.已知直线l 为曲线sin cos y x x x =+在2x π=处的切线，则在直线l 上方的点是()算步骤.17. （本小题满分12分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[]45,50，得到的频率分布直方图如图所示.（1）上表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.18.(本小题满分12分)已知曲线2()ln 1f x x x ax =+-+.（1）当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；（2）对任意的x ∈[1，+∞)，都有()0f x ≥，求实数a 的取值范围.19.(本小题满分12分)如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形， AC BD O ⋂=， 1AO ⊥底面ABCD ， 2AB =，13AA =. （1）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）若60BAD ∠=︒，求D 点到面B 1BC 的距离.20．(本小题满分12分)已知函数()()ln x f x mx m R x=-∈． （1）若f(x)≤0恒成立，求实数m 的最小值；（2）当0m ≥时，试确定函数()f x 的极值点个数，并说明理由.21．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为且经过点(-.点M 是x 轴上一点.过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若||2||,AM MB =且直线l 与圆224:7O x y +=相切于点N ，求||MN 的长．22．(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (t为参数)，曲线C 的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点，直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求的值. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231θρcos 4=)0,1(P 11PA PB+成都七中高2022届高二下期零诊模拟考试数学（文）1.D 2．B 3．B 4．B 5．A 6.A. 7．C 8.C 9．A 10．B 11．B 12．C 13．1217151311ln +++++>+n n ）（14．6365或336515.{x 丨x ＜-1或x ＞1或x=0} 16．4917.解：（1）由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=. ……4分 （2）因为第1，2，3组共有5050200300++=人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人. ……8分（3）设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从6位同学中抽两位同学有：()()()()()()()()()1234123412(,),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A C A C A C B C B C B C B C C C ， ()()()()()1314232434,,,,,,,,,C C C C C C C C C C 共15种可能.……10分其中2人年龄都不在第3组的有：(),A B 共1种可能，所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=.……12分 18.解：（1）函数f (x )的定义域为{x |x >0}，当a =1时，2()ln 1f x x x x =+-+，1()21f x x x '=+-，(1)2,(1)1f f '∴==， 所求切线方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.……5分（2）由题意对于[)1,x ∀∈+∞有2()ln 10f x x x ax =+-+≥则可得2ln 1x a x x ++≤，x ∈[1，+∞).设2ln 1()x x g x x ++=，x ∈[1，+∞)，22ln ()x x g x x'-=，x ∈[1，+∞) 再设m (x )=x 2-ln x ，x ∈[1，+∞)，2121()20x m x x x x '-=-=>，m (x )在[1，十∞)上为增函数，m (x )≥m （1）=1，即g '(x )>0，g (x )在[1，+∞)上为增函数，g (x )≥g （1）=2，即a ≤2. ……12分由韦达定理得212122224,.44tm m y y y y t t -+=-=++ ……6分 由2122122222,2,y y y y y y y y =-+=-+=-则[]221212122()2().y y y y y y =--+=-+2222422().44m tm t t -=--++化简得2222(4)(4)8.m t t m -+=- 原点O到直线的距离d = 又直线l 与圆224:7O x y +=相切,= 即227 1.4t m =- 22224222(4)(4)82116160714m t t m m m t m ⎧-+=-⎪⇒--=⎨=-⎪⎩即22(34)(74)0.m m -+= 解得243m =.此时243t =,满足0.∆>此时(3M ± ……10分 在Rt ONM △中，||21MN ==∴||MN的长为21……12分22．解： ..........5分（2）........7分 .........10分 013t 21231)1(=-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y x l t y t x 的普通方程为得直线消去 .42-x 04cos 4cos 422222=+∴=-+∴=∴=y x y x ）（曲线的直角坐标方程：θρρθρ 03304:21231222=-+=-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t t x y x C t y t x 得代入曲线0,033,21212121><⎩⎨⎧-=⋅-=+t t t t t t t t B A 不妨设则两点对应的参数分别为，设.3154)(111121212212121212121=-+=-=+=+=+∴t t t t t t t t t t t t t t t t PB PA。

绝密★启用前四川省成都市普通高中2021届高三毕业班上学期摸底测试(零诊)数学(文)试题(解析版)本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题）1至2页,第Ⅱ卷（非选择题）3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

5．考试结束后,只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合}20|{<<=x x A ,}1|{≥=x x B ,则=B A C(A)}10|{≤<x x (B)}10|{<<x x(C)}21|{<≤x x (D)}20|{<<x x解：{|12}A B x x =≤<,故选C2．复数i ii z (22-=为虚数单位)在复平面内对应的点位于B (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解：22(2)24242(2)(2)555i i i i z i i i i +-+====-+--+,其在复平面内对应的点的坐标为24(,)55-,故选B 3．已知函数⎩⎨⎧>≤-=.0,ln 0|,1|)(x x x x x f ,则=))1((e f f D (A)0 (B)1 (C)1-e (D)2 解：11()ln 1f e e ==-,1(())(1)|2|2f f f e=-=-=,故选D 4．为了加强全民爱眼意识,提高民族健康素质,1996年,卫生部,教育部,团中央等12个部委联合发出通知,将爱眼日活动列为国家节日之一,并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高-(1)班有40名学生,学号为01到40,现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日’’宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 8217 37 93 23 78 87 35 20 96 4384 26 34 91 64 84 42 17 53 3157 24 55 06 88 77 04 74 47 6721 76 33 50 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读,则抽取的第5名学生的学号是C(A)17 (B)23 (C)35 (D)37 解：读取的前5名学生的学号依次是：39,17,37,23,35, 故选C5．记函数)(x f 的导函数是)('x f ．若2()cos x f x x π=-,则=)6('πf B (A)61- (B)65 (C)6332- (D)6332+ 解：2'()sin x f x x π=+,21156'()sin 66326f ππππ⨯=+=+=,故选B 6． “3=k ”是“直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切”的A(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件。

四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期入学考试文科数学试题一、单选题1．设集合U =R ，集合{}210A x x =->，{}02B x x =<≤，则集合()U A B =A ．()11-，B ．[]11-，C ．(]01，D ．[]12-， 2．已知i 是虚数单位，设2332iz i-=+，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量1(2BA = ,31(),22BC = 则∠ABC =A ．30B ．45C ．60D ．1204．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．815 B ．18C ．115D ．1305．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2120n n n a a a n *+++-=∈N ．若16182024a a a ++=，则35S =（ ）．A ．140B ．280C ．70D ．4206．已知命题:p 存在 a R ∈，曲线221-=x ay 为椭圆；命题1:02x q x -≤-的解集是{}12x x <<．给出下列结论中正确的有（ ）①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且（q ⌝）”是真命题；③命题“（p ⌝）或q ”为真命题；④命题“（p ⌝）或（q ⌝）”是真命题． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S 的值为（参考数据：sin150.2588sin7.50.1305︒︒=＝，）A ．2.598B ．3.106C ．3.132D ．3.1428．下列说法正确的是（ ）A ．若函数()f x 对于任意x ∈R 都有()()4f x f x =-成立，则()2f x +是偶函数.B ．若函数()32120163f x alog x blog x f =++=，（），则132016f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；C ．对于函数()f x lnx =，其定义域内任意12x x ≠都满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭；D ．函数()(01)x f x a a a =>≠，满足对定义域内任意实数a b ，都有()()()f a b f a f b +=⋅，且()f x 为增函数.9．设函数11()cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()y f x =（ ）A ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线6x π=对称B ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线3x π=对称C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且其图象关于直线6x π=对称D ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且其图象关于直线3x π=对称10．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是A ．12.5；12.5B ．13；13C ．13；12.5D ．12.5；1311．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π12．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．34二、填空题13．函数2()sin f x x =的最小正周期为_______.14．已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____________________.15．若x ，y 满足约束条件50210,210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩则z ＝2x ＋y 的最大值为________．16．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________．三、解答题17．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2sin (2)sin (2)sin a A b B c C =+. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，b =ABC 的面积.国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：（1）建立y 关于x 的线性回归方程；（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆi ii nii x ynxybxnxπ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，ACBD O =.（1）证明:1B C 平面1A BD ；（2）设AB =12,AA =3BAD π∠=，若1A O ⊥平面ABCD ，求三棱锥11B A BD -的体积.20．设椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，过F 且x 轴垂直的直线与椭圆的一个交点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，过M 且与l 垂直的直线与x 轴和y 轴分别交于N 、P 两点，记FMN ∆和OPN ∆的面积分别为1S 、2S ，若1210S S =，求直线l 的方程.21．已知函数()12,x xf x te t R e =--∈. （1）当4t =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0t >时，若函数()()1x xg x e f x te x =+-+在R 上有唯一零点，求t 的值.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:x tl y at=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，点B 为线段OA 的中点.（1）求动点B 的运动轨迹2C 的参数方程； （2）若直线l 与2C 的公共点分别为,M N ，当3OMON=时，求a 的值.参考答案：1．C解不等式得A,求得UA ，进而可求().U AB ⋂解：因为集合{}{}21011A x x x x x =->=-或，所以{}11UA x x =-≤≤，所以(){}01U A B x x ⋂=<≤. 故选C.【点睛】本小题考查集合的基本运算，全集、补集、交集等基础知识：考查运算求解能力. 2．A由复数除法法则计算出z ，再计算出2z +，可得其对应点的坐标，得所在象限．解：由已知223(23)(32)649632(32)(32)13i i i i i i z i i i i -----+====-++-，222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限． 故选：A ．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，掌握除法运算法则和共轭复数的概念是解题基础． 3．A解：试题分析：由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos a b a b θ⋅＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤；（2）由向量的数量积的性质知||=?a a a ，，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．4．C解：试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I ，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N ，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C ．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP A n=（其中n 是基本事件的总数，m 是事件A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的． 5．B由()2120n n n a a a n *+++-=∈N ，可得数列{}n a 为等差数列，再根据16182024a a a ++=，可得188a =，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.解：解：∵()2120n n n a a a n *+++-=∈N ，∴122n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 为等差数列，由等差数列的性质得1620135182a a a a a +=+=， ∵16182024a a a ++=，∴188a =， ∴135351835353582802a a S a +=⨯==⨯=． 故选：B ． 6．B由已知命题描述，判断p 、q 的真假，再判断由或且非组合p 、q 构成的复合命题真假即可.解：当12a =-时曲线221-=x ay 为椭圆，故p 是真命题；102x x -≤-的解集是{}12x x ≤<，故q 是假命题； ∴p ⌝是假命题，q ⌝是真命题.“p 且q ”是假命题，①错误；“p 且（q ⌝）”是真命题，②正确；“（p ⌝）或q ”为假命题，③错误；“（p ⌝）或（q ⌝）”是真命题，④正确． 故选：B 7．C解：阅读流程图可得，输出值为：136048sin 240.1305 3.132248S =⨯⨯≈⨯= .本题选择C 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8．A根据函数奇偶性、对数函数、指数函数的性质，计算可得.解：解：对于A ，因为函数()f x 对于任意x ∈R 都有()()4f x f x =-成立，故()f x 关于2x =对称，则()2f x +关于0x =对称，即函数()2f x +是偶函数，故A 正确；对于B ，因为()()32120163f x alog x blog x f =++=，， 即()3220162016201613f alog blog =++=，32201620162alog blog ∴+=()323211112016201611201620162016f alog blog alog blog ⎛⎫∴=++=-++=- ⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，函数()f x lnx =，其定义域内任意12x x ≠，1212ln 22x x x x f ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()12111222l ln ln 22n f x f x x x x x +==+因为()2112212x x x x +>，ln y x =在定义域上单调递增，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫∴>⎪⎝⎭ 故C 错误；对于D ，函数()(01)x f x a a a =>≠，满足对定义域内任意实数a b ，都有()()()f a b f a f b +=⋅，但当1a >时，()f x 为增函数；当01a <<时，()f x 为减函数，故D 错误； 故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性，指数、对数函数的应用，属于中档题. 9．B利用辅助角公式可得1()2sin()23f x x π=+，再由正弦函数的性质判断各选项的正误.解：由题设，1111()cos ]2sin()2622623f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1(,)2332x πππ+∈，可知：()y f x =在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上递增；6x π=时，152312x ππ+=，显然不是()y f x =对称轴，3x π=时，1232x ππ+=，此时1sin(231)x π=+，3x π=是()y f x =对称轴.故选：B 10．D解：分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数， 所以中间一个矩形最该，故数据的众数为101512.52+=， 而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标， 第一个矩形的面积为0.2，第二个矩形的面积为0.3，故将第二个矩形分成3:2即可， 所以中位数是13，故选D.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 11．C解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积． 12．A解：试题分析：如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a Ec a a c=+⇒-+-同理由222221(,0),(,)(0,)33b b b b B a Mc G a c e a a c a c a c -⇒⇒=⇒=⇒=+-+,故选A.考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)bA a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a E c a a c=+⇒-+-同理由2(,0),(,)(0,b B a M c G a-⇒22221)33b b b a c e a c a c a c ⇒=⇒=⇒=+-+. 13．π 解：试题分析：，所以函数的周期等于考点：1.二倍角降幂公式；2.三角函数的周期.14．2214x y -=解：依题意，设所求的双曲线的方程为224x y λ-=.点M 为该双曲线上的点，16124λ∴=-=.∴该双曲线的方程为：2244x y -=，即2214x y -=.故本题正确答案是2214x y -=.15．8解：画出可行域(如图所示)，通过平移直线y ＝－2x 分析最优解．∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，将直线y ＝－2x 向上平移，经过点B 时z 取得最大值．由50,210x y x y +-=⎧⎪⎨⎪-+=⎩ 解得x=3,y=2 ∴z max ＝2×3＋2＝8. 16．8解：试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．17．（1）6π；（2（1）ABC 中，由正弦定理得222b c a +-=，再由余弦定理求得cos A =，6A π=；（2）ABC 中，由正弦定理得到sin B =，进而得到角B ，再由内角和为π得到角C ，由三角形面积公式即得结论．解：（1）由已知及正弦定理可得22(2)(2)a b b c c =+，整理得222b c a +-=，所以cos A =又(0,)A π∈，故6A π=．（2）由正弦定理可知sin sin a b A B=，又2a =，b =6A π=，所以sin B =． 又5(0,)6B π∈，故3B π=或23π．若3B π=，则2C π=，于是12ABCSab == 若23B π=，则6C π=，于是1sin 2ABCS ab C ==． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理，以及三角形面积公式的应用，属于中档题 18．（1）222955y x =+；（2）7． （1）根据公式求线性回归方程即可；（2）根据线性回归方程可设222955n a n ，求出67,S S ，与200080%1600⨯=比较即可求解. 解：（1）1234535x ++++==，1015192328195y ++++==， 则51522222222110305792140531922ˆ12345535i ii ii x y nxybxnx ==-++++-⨯⨯===++++-⨯-∑∑，222919355ˆa =-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程222955y x =+． （2）设222955na n ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，易知数列{}n a 是等差数列， 则()12222922291155558225n n n a a S n n n n⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=⋅=⋅=+， 因为6127.2S ，7163.8S ， 所以6101272S =，7101638S =200080%1600⨯=（人），所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天．19．（1）证明见解析（2【解析】（1）由已知可得11B C A D ∥，即可证明结论；（2）由（1）1B C 平面1A BD ，有111B A BDC A BD V V --=1A BCD V -=，根据已知条件，即可求解.解：（1）依题意，11//A B AB ，且//AB CD ，∴11//A B CD ， ∴四边形11A B CD 是平行四边形，∴11B C A D ∥， ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，∴1B C平面1A BD .（2）依题意，12,AA AO ==1Rt AAO △中，11AO ， 所以三棱锥1A BCD -的体积1A BCDV 113BCD S AO =⋅△21213⎫=⨯⨯⎪⎪⎝⎭=由（1）知1B C平面1A BD ，∴111B A BDC A BD V V --=1A BCD V -=. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查用等体积法求三棱锥的体积，属于基础题,20．（1）22143x y +=；（2）3(1)y x =±+. （1）由椭圆得性质得出1c =，将点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程结合,,a b c 的关系，列出方程组求解即可得出椭圆方程；（2）设直线AB 方程为1x my =-，联立椭圆方程，结合韦达定理得出点M 的坐标，再由直线MP 方程得出点P ，N 的坐标，由三角形面积公式以及1210S S =，得出m 的值，即可得出直线l 的方程.解：（1）222219141ab a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩22143x y ⇒+=. （2）由题意知，斜率不为0，故设直线AB 方程为1x my =-. 设1122(,),(,)A x y B x y联立椭圆方程可得()2234690m y my +--=221634y y m m ∴++=，()122221268234324m x x m y m m y -+=+--+==+ 2243,3434m M m m -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭21:34MP y m x m ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭234P m y m -⇒=+ 同理2134N x m -=+，12||||||M FN y S S NO OP ⋅=⋅10N F M N P x x y x y -=⋅=21193m m ⇒=⇒=± 所以直线方程为：3(1)y x =±+【点睛】本题主要考查了根据椭圆上的点求椭圆方程以及椭圆中和三角形相关的问题，属于中档题.21．（1）单调递增区间(),ln 2-∞-，单调递减区间()ln 2,-+∞；极大值6-，无极小值；（2）1 (1)依题意4t =-可知()142xx f x e e =---,则()()12121()4x x x x xe ef x e e e +-'=-+=,利用导数求单调性和极值的常规方法即可求出结果.(2)当0t >时，()2()1(2)x x x xg x e f x te x te t e x =+-+=+--,利用导数的方法可得()g x 的单调区间,()g x 的极小值是()ln g t -，只要()ln 0g t -=，即1ln 10t t-+=时,能满足题意;构造函数()1ln 1t F t t=-+在0,上单调递增,从而确定=1t 时有唯一的零点.解：（1）当4t =-时，()142xxf x e e =---. 则()()12121()4x xx x xe ef x e e e +-'=-+=， 令0f x，得ln2x =-，∴()f x 的单调递增区间是(),ln 2-∞-，单调递减区间是()ln 2,-+∞， ∴()f x 的极大值是1(ln 2)42262f -=-⨯--=-，无极小值（2）当0t >时，()2()1(2)x x x xg x e f x te x te t e x =+-+=+--，则()()2g ()2(2)1121x xx x x te t e te e '=--=-++，令0g x，得ln x t =-，∴()g x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增，∴()g x 的极小值是()ln g t -，∴只要()ln 0g t -=，即可满足函数在R 上有唯一零点 ∴()n 0ln 1l 1t g t t=-+=-，令()1ln 1t F t t =-+，则211()0F t t t'=+>.∴()F t 在0,上单调递增，∵()01F =，∴t 的值是1.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,综合考查导数在函数中的运用,难度困难.22．（1）2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）0a =（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，将点A 代入曲线1C ，即可得动点B 的运动轨迹2C 的极坐标方程，利用公式222,cos x y x ρρθ=+=转化为普通方程，再写出参数方程即可；（2）设点()()12,,,M N ρθρθ，则123ρρ=，代入2C 的极坐标方程解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，再通过22222cos 1cos cos sin 1tan θθθθθ==++求出tan θ，即a 可得. 解：解：（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，又点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，则()2282cos 120ρρθ-⨯+=，即24cos 30ρρθ-+=， 由222,cos x y x ρρθ=+=得动点B 的运动轨迹2C 的普通方程为：22430x y x +-+=，即()2221x y -+=化为参数方程为2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）直线:x tl y at =⎧⎨=⎩（t 为参数）普通方程为：y ax =，则极坐标方程为tan a θ=，设点()()12,,,M N ρθρθ，因为3OMON=，则123ρρ=， 将点()()12,,,M N ρθρθ代入22:4cos 30C ρρθ-+=，得2112224cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩，即222222912cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩， 解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，22222cos 1cos 1cos sin 1tan θθθθθ∴===++，解得tan 0θ=，即0a =.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查极坐标的应用，是中档题.。

成都七中高新校区高 2021届零诊模拟考试文科数学（满分 150 分，考试时间 120 分钟）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合=>A x x {|log 1}2，集合=<B x {x |||3}，则⋂=A B ( )A ．<<x x {|23}B ．-<<x x {|32}C ．-<<x x {|33}D ．>x x {|2}2．已知复数z 满足+=z i (1)|1|，其中i 为虚数单位，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2019年9月到2020年2月这半年中，”高考数学改革”一词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值4．成都七中高新校区高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6:5:7，高新防疫站欲对学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从学校高中三个年级的学生中抽取容量为n 的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n 等于( )A ．35B ．45C ．54D ．635.已知等差数列a n {}的前n 项和为S n ，且+=+a a a 3476，则=S (9 )A ．27B ．227C ．9D ．36．在不等式组≥⎩⎪≥+-≤⎨⎪⎧-+y x y x y 020 10所表示的平面区域内随机地取一点M ，则点M 恰好落在第二象限的概率为15.已知锐角三角形ABCBC ||，且|AB|=3，|AC|=3，则|BC|=16．已知函数⎩⎪+≤⎨=⎪⎧->x x x f x x x x x 2,03ln 2,02)(，函数=-+g x f x kx 1)()(有四个零点，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）17．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求实数a ，b 的值；(2)若=f x '()0存在两个不同的实数解，求实数a 的取值范围．18．《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁），并制作了对照表（如表所示）:由表中数据分析，x 与y 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为70岁的观众每周学习诗词的平均时间．参考公式：∑∑-=-==xn x b x y nx yi i n i i i n ()ˆ1221，=+y bx a ˆˆˆ．19．如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，，顶点在底面内的射影恰为点．（1）求证：平面；（2）若直线与底面所成的角为，求线段AD 1的长及B 点到平面AA D 1的距离． 20．设函数=--=-x e f x ax a lnx g x e x(),()12，其中∈a R ，=⋯e 2.71828为自然对数的底数. （1）讨论f x ()的单调性；（2）证明：当>x 1，>g x ()021．已知矩形EFMN，=EF ||，=FM ||1，以EF 的中点O 为原点，建立如图的平面直角坐标系，若椭圆Γ以E ，F 为焦点，且经过M ，N 两点.（1）求椭圆Γ方程；（2）直线=+l y x m :与Γ相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点C ，使得△ABC 为正三角形，若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=+⎧y x t 211（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为+=ρρθ3sin 12222．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的参数方程；（2）若P (1,0)，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求+PM PN ||||的值． -ABCD A B C D 1111ABCD AB CD //=AB 4==BC CD 2D 1ABCD C ⊥BC ACD 1DD 1ABCD π4的成都七中高新校区高 2021届零诊模拟考试文科数学答案1—12 A D D C AC A A B C A B 13. 21 14. 109215.317.解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 18.解：（1）设污损的数字为x ，由北方观众平均人数不超过南方观众平均人数得+++++++++x 5578798281807377788680，解得：x 6，即=x 6，7，8，9， ∴北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的概率为：=10542．（2）设线性回归方程为：==+++x 43520304050，==+++y 4 3.53 3.5 3.54， ∴∑=⨯+⨯+⨯+⨯==x y i i i 20330 3.540 3.550450514，∑=+++==x i i 400900160025005400124，-⨯==-⨯⨯b 54004350.03ˆ505435 3.52，=-⨯=a 3.50.0335 2.45ˆ， ∴=+yx 0.03 2.45ˆ，当=x 70时，=⨯+=y 0.0370 2.45 4.55ˆ．答：年龄为70岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.55小时．19.解：（1）证明：如图，连接，则平面，平面，，在等腰梯形中，连接，过点作于点，，，，则，，，，因此满足，，又，平面，，平面．（2）解：由（1）平面，，，，D C 1⊥D C 1ABCD ⊂BC ABCD ∴⊥BC D C 1ABCD AC C ⊥CG AB G =AB 4==BC CD 2AB CD //=AG 3=BG1==CG∴===AG +==AC BC AB 16222∴⊥BC AC D C 1⊂AC AD C 1=D C A C C 1∴⊥BC AD C 1⊥D C 1ABCD ∴∠=πD DC 41∴==D C CD 21=--y x m 3,令=x 0,可得=-y m 3,即⎝⎭ ⎪-⎛⎫C m 30,.又因为=PC AB 2,=⨯23,即=33.解得=±m 5,满足<<m .故y 轴上存在点C 使得ABC 为等边三角形,此时=+l y x 5:或=-l y x 5:22.解：（1）直线l 的参数方程转换为普通方程为=y -=y 0。

四川省成都市2021届高三上学期摸底数学试卷（文科）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知向量=（5，﹣3），=（﹣6，4），则+=（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）2．（5分）设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4} B．{4} C．∅D．{1，3，4}3．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠54．（5分）计算21og63+log64的结果是（）A．l og62 B．2C．l og63 D．35．（5分）已知实数x，y 满足，则z=4x+y的最大值为（）A．10 B．8C．2D．06．（5分）已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α7．（5分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A肺颗粒物，般状况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m3）则下列说法正确的是（）A．这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等B．这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C．这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D．这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等8．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8B．C．3D ．10．（5分）已知定义在R上的函数f （x）的周期为4，且当x∈（﹣1，3]时，f （x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上．11．（5分）已知α∈（0，），cosα=，则sin（π﹣α）=．12．（5分）当x＞1时，函数的最小值为．13．（5分）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是．14．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是．15．（5分）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的全部可能取值构成集合A；P（x，y ）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的全部可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3，S7=49，n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =，求数列{b n}的前n项和T n．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c ，已知向量=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c）且•=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin（A+）的值域．18．（12分）某地区为了解2022-2021学年高二同学作业量和玩电脑玩耍的状况，对该地区内全部2022-2021学年高二同学接受随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如表：认为作业多认为作业不多总数宠爱电脑玩耍72名36名108名不宠爱电脑玩耍32名60名92名（I）已知该地区共有2022-2021学年高二同学42500名，依据该样本估量总体，其中宠爱电脑玩耍并认为作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B，C，D，E，F六名同学中，但有A，B两名同学认为作业多假如从速六名同学中随机抽取两名，求至少有一名同学认为作业多的概率．19．（12分）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．（I）求证：BC⊥平面V AC；（Ⅱ）若AC=1，求二面角M﹣V A﹣C的余弦值．20．（13分）已知椭圆F ：﹣=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，）两点．（I）求椭圆F的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，点O为坐标原点，设射线OG交F 于点Q ，且=2．①证明：4m2=4k2+1；②求△AOB的面积．21．（14分）巳知函数f（x）=ax2﹣bx﹣1nx，其中a，b∈R．（Ⅰ）当a=3，b=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为2x﹣3y﹣e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a，b的值；（Ⅲ）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+1nx]对任意的x1＞x2≥4，总有＞﹣1成立，试用a表示出b的取值范围．四川省成都市2021届高三上学期摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知向量=（5，﹣3），=（﹣6，4），则+=（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：利用向量的坐标运算即可得出．解答：解：=（5，﹣3）+（﹣6，4）=（﹣1，1）．故选：D．点评：本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．2．（5分）设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4} B．{4} C．∅D．{1，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：利用集合的交、并、补集的混合运算求解．解答：解：∵全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，∴（∁U S）∪T={2，4}∪{4}={2，4}．故选：A．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠5考点：全称命题；命题的否定．专题：简易规律．分析：依据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．解答：解：∵命题是全称命题，∴依据全称命题的否定是特称命题得：￢p为∃x0∈R，2≠5，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求娴熟把握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础．4．（5分）计算21og63+log64的结果是（）A．l og62 B．2C．l og63 D．3考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数性质求解．解答：解：21og63+log64=log69+log64=log636=2．故选：B．点评：本题考查对数的性质的求法，是基础题，解题时要留意对数性质的合理运用．5．（5分）已知实数x，y 满足，则z=4x+y的最大值为（）A．10 B．8C．2D．0考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出足约束条件的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行推断，即可求出4x+y的最大值．解答：解：已知实数x、y 满足，在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是A（0，0），B（0，2），C（2，0），由图可知，当x=2，y=0时，4x+y的最大值是8．故选：B．点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．6．（5分）已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：探究型；空间位置关系与距离．分析：依据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定即可．解答：解：若a∥b、b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；若a∥α、b⊂α，则a∥b或a，b异面，故B错误；若a⊥α，b⊥α，则a∥b，满足线面垂直的性质定理，故正确若b⊥α，a⊥b，则a∥α或a⊂α，故D错误；故选：C点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是基础题．解题时要认真审题，认真解答，留意空间想象力量的培育．7．（5分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A肺颗粒物，般状况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m3）则下列说法正确的是（）A．这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等B．这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C．这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D．这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：概率与统计．分析：依据茎叶图中的数据分布，分别求出甲乙的极差，中位数，众数，平均数比较即可．解答：解：依据茎叶图中的数据可知，这l0日内甲、极差为55，中位数为74，平均数为73.4，这l0日内乙、极差为57，中位数为68，众数为68，平均数为68.1，通过以上的数据分析，可知C正确．故选；C．点评：本题考查茎叶图的识别和推断，依据茎叶图中数据分布状况，即可确定极差，中位数，众数，平均数大小，比较基础．8．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，依据题意求得周期，进而求得ω，函数的解析式可得，最终利用正弦函数的单调性求得函数的单调减区间．解答：解：f（x）=2（sinωx+cosωx）=2sin（ωx+），依题意知函数的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z），故选A．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，三角函数图象与性质．求得函数的解析式是解决问题的基础．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8B．C．3D ．考点：双曲线的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先依据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，依据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．解答：解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，∵|AB|=2，圆的半径为3∴圆心到渐近线的距离为2，即=2，解得b= a∴c=3a，∴双曲线的离心率为e==3．故选：C．点评：本题主要考查了双曲线的简洁性质．解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．10．（5分）已知定义在R上的函数f （x）的周期为4，且当x∈（﹣1，3]时，f （x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7考点：分段函数的应用；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：先依据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及y=log5x的图象，结合图象当x＞6时，y=log6x ＞1此时与函数y=f（x）无交点，即可判定函数函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数．解答：解：依据周期性画出函数y=f（x）的图象，y=log6x的图象当x=6时log66=1，∴当x＞6时y=log5x此时与函数y=f（x）无交点，结合图象可知有5个交点，则函数g（x）=f（x）﹣log6x的零点个数为5，故选B．点评：本题考查函数的零点，求解本题，关键是争辩出函数f（x）性质，作出其图象，将函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较简洁．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上．11．（5分）已知α∈（0，），cosα=，则sin（π﹣α）=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式与同角三角函数间的关系即可求得答案．解答：解：∵cosα=，α∈（0，），∴sin（π﹣α）=sinα==．故答案为：．点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的关系的应用，属于基础题．12．（5分）当x＞1时，函数的最小值为3．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式就看得出．解答：解：∵x＞1，∴==3，当且仅当x=2时取等号．故答案为：3．点评：本题查克拉基本不等式的应用，属于基础题．13．（5分）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是28+12．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知该几何体是一平放的直三棱柱，利用数据推断出底面为正三角形，再利用表面积公式计算．解答：解：由三视图可知该几何体为上部是一平放的直三棱柱．底面三角形为等腰三角形，底边长为2，腰长为2；棱柱长为6．S底面==4S侧面=cl=6×（4+2）=24+12所以表面积是28+12．故答案为：28+12．点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算力量，空间想象力量，三视图复原几何体是解题的关键14．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序的运行结果是什么．解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，i=1，S=0+=；i≥4？，否，i=2，S=+=；i≥4？，否，i=3，S=+=；i≥4？，否，i=4，S=+=；i≥4？，是，输出S=．故答案为：．点评：本题考查了程序框图的运行过程，解题时应模拟算法程序的运行过程，从而得出正确的结果，是基础题．15．（5分）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的全部可能取值构成集合A；P（x，y ）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的全部可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：依据指数函数的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B，然后依据几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：∵y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，∴0＜a＜1，∴A={a|0＜a＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P 是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：点评：本题主要考查几何概型的概率计算，利用直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B是解决本题的关键．综合性较强，难度格外大．三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3，S7=49，n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）依据等差数列，建立方程关系即可求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）求出数列{b n}的通项公式，利用等比数列的求和公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设等差数列的公差是d，∵a2=3，S7=49，∴，解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）b n ===2n，则数列{b n}为等比数列，则数列{b n}的前n项和T n =．点评：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，要求娴熟把握等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查同学的运算力量．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c ，已知向量=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c）且•=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin（A+）的值域．考点：余弦定理；平面对量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量的数量积为0，利用平面对量的数量积运算法则计算得到关系式，由余弦定理表示出cosB，将得出关系式代入求出cosB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由B的度数，利用内角和定理求出A的范围，进而确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（A）的值域．解答：解：（Ⅰ）∵=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c），且•=0，∴（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即a2+c2=b2+ac，∴cosB==，∵B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：A=π﹣﹣C∈（0，），∴A+∈（，），∴sin（A+）∈（，1]，则f（A）=sin（A+）的值域为（，1]．点评：此题考查了余弦定理，平面对量的数量积运算，以及正弦函数的值域，娴熟把握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）某地区为了解2022-2021学年高二同学作业量和玩电脑玩耍的状况，对该地区内全部2022-2021学年高二同学接受随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如表：认为作业多认为作业不多总数宠爱电脑玩耍72名36名108名不宠爱电脑玩耍32名60名92名（I）已知该地区共有2022-2021学年高二同学42500名，依据该样本估量总体，其中宠爱电脑玩耍并认为作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B，C，D，E，F六名同学中，但有A，B两名同学认为作业多假如从速六名同学中随机抽取两名，求至少有一名同学认为作业多的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（I）依据样本数据统计表，可得200名同学中宠爱电脑玩耍并认为作业不多的人有36名，求出其占总人数的概率，再乘以2022-2021学年高二同学的总数即可；（Ⅱ）求出至少有一名同学认为作业多的大事的个数，和从这六名同学中随机抽取两名的基本大事的个数，两者相除，即可求出至少有一名同学认为作业多的概率是多少．解答：解：（Ⅰ）42500×答：欢电脑玩耍并认为作业不多的人有7650名．（Ⅱ）从这六名同学中随机抽取两名的基本大事的个数是至少有一名同学认为作业多的大事的个数是：15﹣=15﹣6=9（个）全部至少有一名同学认为作业多的概率是．答：至少有一名同学认为作业多的概率是．点评：本题主要考查了概率的运算，考查了同学的分析推理力量，解答此题的关键是要弄清楚两点：①符合条件的状况数目；②全部状况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小．19．（12分）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．（I）求证：BC⊥平面V AC；（Ⅱ）若AC=1，求二面角M﹣V A﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由线面垂直得VC⊥BC，由直径性质得AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面V AC．（Ⅱ）分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M ﹣VA﹣C的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵VC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴VC⊥BC，∵点C为⊙O上一点，且AB为直径，∴AC⊥BC，又∵VC，AC⊂平面V AC，VC∩AC=C，∴BC⊥平面V AC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得BC⊥VC，VC⊥AC，AC⊥BC，分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），V（0，0，2），B（0，2，0），=（1，0，﹣2），，设平面V AC 的法向量==（0，2，0），设平面V AM 的法向量=（x，y，z），由，取y=，得∴，∴cos ＜＞==，∴二面角M﹣V A﹣C 的余弦值为．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，留意向量法的合理运用．20．（13分）已知椭圆F ：﹣=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，）两点．（I）求椭圆F的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，点O为坐标原点，设射线OG交F 于点Q ，且=2．①证明：4m2=4k2+1；②求△AOB的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件得，由此能示出椭圆方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明4m2=1+4k2．②由已知条件得m≠0，|x1﹣x2|==，由此能求出△AOB的面积．解答：（Ⅰ）解：∵椭圆F ：﹣=1（a＞b＞0）经过D（2，0），E（1，）两点，∴，解得，∴椭圆方程为（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴，即，（1）∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=+2m=，又由中点坐标公式，得，将Q （）代入椭圆方程，得，化简，得4m2=1+4k2，（2）．②解：由（1），（2）得m≠0，且|x1﹣x2|==，（3）在△AOB 中，，（4）结合（2）、（3）、（4），得S△AOB ==，∴△AOB 的面积是．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查方程的证明，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，留意弦长公式的合理运用．21．（14分）巳知函数f（x）=ax2﹣bx﹣1nx，其中a，b∈R．（Ⅰ）当a=3，b=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为2x﹣3y﹣e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a，b的值；（Ⅲ）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+1nx]对任意的x1＞x2≥4，总有＞﹣1成立，试用a表示出b的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=3，b=﹣1时，=，利用导数性质能求出当x=时，函数f（x ）取得微小值即最小值=．（Ⅱ）由，得f′（e）=，由曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为2x﹣3y﹣e=0，能求出，b=．（Ⅲ）由题意知函数h（x）=在x∈[4，+∞）上单调递增．2b ≤，由此利用分类争辩思想能求出当时，．当，．解答：解：（Ⅰ）当a=3，b=﹣1时，f（x）=x2+x﹣lnx，（x＞0）．==，令f′（x）＞0，解得；令f′（x）＜0，解得．∴函数f（x ）在区间上单调递减，在区间上单调递增．因此当x=时，函数f（x）取得微小值即最小值，最小值为==．（Ⅱ），∴f′（e）=，∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为2x﹣3y﹣e=0，∴，解得．∴，b=．（Ⅲ）由函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1＞x2≥4，总有＞﹣1成立，∴函数h（x）=在x∈[4，+∞）上单调递增．∴h′（x）=ax2﹣2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立．∴=ax+在[4，+∞）上恒成立，∴2b ≤，x∈[4，+∞）．令u（x）=，x∈[4，+∞）．（a＞0）．则=．令u′（x）=0，解得．∴u（x ）在上单调递减，在上单调递增．（i ）当时，即时，u（x ）在上单调递减，在上单调递增．∴u（x）min ==，∴，即．（ii）当时，即，函数u（x）在[4，+∞）上单调递增，∴，即．综上可得：当时，．当，．点评：本题考查了利用导数争辩函数的单调性极值与最值，考查了分类争辩的思想方法，考查了推理力量和计算力量，属于难题．。

2020-2021学年四川省成都七中高二下学期文零诊数学试题一、单选题1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则AB =（ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．(1,)+∞【答案】D【分析】先利用一元二次不等式及一次不等式求出集合A ，B ，然后画数轴进行并集的运算即可． 【详解】解：3{|13},{|}2A x xB x x =<<=>，(1,)AB ∴=+∞．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．复数z 满足()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．12C ．12iD ．12i -【答案】B【分析】根据复数的运算法则，化简得的1122z i =-+，结合复数的概念，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得(1)z i i -=，可得(1)111222i i i z i i ⋅+===-+- 故复数z 的虚部为12. 故选：B.3．在极坐标系中，直线l 的方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与曲线:2C ρ=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定，与θ有关【答案】B【分析】首先根据极直互化得到直线和圆的直角坐标方程，根据圆心到直线的距离跟半径的大小比较判断直线与曲线的位置关系即可.【详解】因为直线l 的方程为1sin 2(sin )232πρθρθθ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭,即sin cos 4ρθθ=，因为极坐标系中：sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以直线l 的直角坐标方程为4x +=，对于曲线:2C ρ=，因为ρ22+4x y =， 所以:2C ρ=表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆， 因为圆心到直线的距离2d =， 所以直线l 与曲线C 相切. 故选：B.4．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y x =C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】B【分析】易得2c a =，再结合222c a b =+可求得223a b=，最后由双曲线的焦点在y 轴上写出渐近线方程即可. 【详解】由题得，2ca=，即2c a =， 再由222c a b =+，得2224a a b =+，即223a b =，所以223a b=，又因为双曲线的焦点在y 轴上，所以其渐近线方程为a y x b =±=. 故选：B .【点睛】易错点睛：本题求解渐近线方程是易忽略焦点在y 轴上这一条件，从而导致错解.5．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1)b c a b sinA ==-,则A= A ．34πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C【详解】试题分析：由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-，因为()2221sin a b A =-，所以cos sin A A =，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,A π∈，所以4A π=，故选C.【解析】余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.6．等差数列{}n a 公差为()0d d ≠，且满足3a ，5a ，8a 成等比数列，则1d a =（ ）A ．12 B ．1 C ．3 D ．2【答案】A【分析】根据等差数列的基本量的计算，结合等比中项的概念，列式化简即可得解.【详解】根据题意可得：2538a a a =⋅，所以2111(4)(2)(7)a d a d a d +=++，由0d ≠，解得12a d =， 所以112d a =. 故选：A7．在圆2216x y +=内随机取一点P ，则点P 落在不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，表示的区域内的概率为 （ ） A ．14πB ．34πC ．1πD ．43π【答案】C【分析】首先由画出不等式表示的可行域，根据可行域的形状求出其面积，再求出圆2216x y +=的面积，最后根据几何概型公式求解即可.【详解】根据不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，如图做出点P 的可行域:由图可知：点P 的可行域为等腰三角形ABC ， 所以1162ABCSAB OC =⨯⨯=, 圆2216x y +=的面积为16π， 由几何概型可知，圆2216x y +=内随机取一点P ，则点P 落在不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域内的概率为：16116P ππ==, 故选：C【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可. 8．已知直线l 为曲线sin cos y x x x =+在2x π=处的切线，则在直线l 上方的点是（ ） A ．,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,0C ．(),1π-D ．()1,π-【答案】C【分析】利用导数的几何意义求得切线的方程，进而判定点与切线的位置关系即可. 【详解】'cos cos sin 2cos sin y x x x x x x x =+-=-, 22x y ππ==-',又当2x π=时，1y =，所以切线的方程为122y x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭, 对于A,当2x π=时，1y =，故点,12π⎛⎫⎪⎝⎭在切线上； 对于B,当2x =时，2921π11 3.2502244y πππππ⎛⎫=--+=-++>-++=-> ⎪⎝⎭，故点()2,0在切线下方；对于C,当x π=时，2π91111,2512244y πππ⎛⎫=--+=-+<-+=-<- ⎪⎝⎭，故点(),1π-在切线上方；对于D,当x =1时，211122242y ππππππ⎛⎫=--+=-++>->- ⎪⎝⎭,故点()1,π-在切线下方. 故选：C.【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法和点与直线的位置关系的判定，其中导数的运算是重点.点与直线的位置关系的判定中利用不等式的基本性质和π的过剩和不足近似值进行大小判定是需要仔细处理的.9．设(3,),(5,1)a m b ==，p ：向量a 与a b -的夹角为钝角，q ：()2,3m ∈-，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题知()2,1a b m -=--，进而根据题意得以()0a a b ⋅-<且a 与a b -的不共线，解得23m -<<且35m ≠，再结合集合关系判断即可得答案. 【详解】由题知()2,1a b m -=--, 因为向量a 与a b -的夹角为钝角, 所以()0a a b ⋅-<且a 与a b -的不共线,所以260m m -+-<且()312m m -≠-,解得23m -<<且35m ≠ 因为332,,355m ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()2,3m ∈-的真子集,所以p 是q 的充分不必要条件, 故选:A【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．8+D ．14+【答案】B【分析】首先根据三视图得到几何体的形状，接着利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】由题意可得几何体如下图所示四棱锥P ABCD -：其中2,2,3PA PB AB CD AD BC ======,且四边形ABCD 为矩形，三角形PAB 为等腰直角三角形， 且面ABCD ⊥面PAB ，所以3ABCD S ==h ==所以11433P ABCD ABCD V S h -=⨯⨯=⨯=，故选：B【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 11．已知函数f (x )满足：对任意x ∈R ，f (﹣x )=﹣f (x )，f (2﹣x )=f (2+x )，且在区间[0，2]上，f (x )=22x +cos x ﹣1，m =f ，n =f (7)，t =f (10)，则（ ）A ．m <n <tB ．n <m <tC ．m <t <nD ．n <t <m【答案】B【分析】根据题意探究得到()f x 的周期为8，将,n t 都化到[0,2]上对应的函数值，进而用单调性可得结果.【详解】∵f (﹣x )=﹣f (x )，f (2﹣x )=f (2+x )， ∴f (x )为奇函数，且关于x =2对称.将x 换成x +2，则f (2﹣(x +2))=f (2+x +2)，即f (﹣x )=f (x +4)=﹣f (x )， 将x 换成x +4，则f (x +8)=﹣f (x +4)=f (x )，即f (x )的最小正周期为8， ∴ f （7）=f (8﹣1)=f (﹣1)=﹣f （1）， f (10)=f (8+2)=f （2），当[0,2]x ∈时，f (x )=22x +cos x ﹣1，f ′(x )=x ﹣sin x ，令()()sin g x f x x x '==-，则()1cos 0g x x '=-≥， 所以()g x 在[0,2]上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，即当[0,2]x ∈时，()0f x '≥，所以()f x 在[0,2]上单调递增， 即当[0,2]x ∈时，f (x )≥f (0)=0.∴﹣f （1）<0，0<f f （2），∴f （7）<f f (10)，即n <m <t . 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：探究得到()f x 的周期为8，将,n t 都化到[0,2]上对应的函数值.12．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，Р是椭圆上不同于A ，B 的一点．设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当2343a b mn mn⎛⎫-+⎪⎝⎭取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A B ．45C D ．15【答案】C【分析】根据椭圆方程，利用22b mn a=-为定值，代入整理可得323223234433a a a a b mn mn b b b ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，构造函数322343y t t t =-+利用导数即可得解.【详解】设(,)P x y ，222222222y y y y b mn a x a x a x a a y b=⋅===-+---， 所以3232232323444333a a a a ab mn mn b mn mn b b b⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令at b=，1t >， 构造函数322343y t t t =-+，2264y t t '=-+，当(1,2)t ∈，0y '<，322343y t t t =-+为减函数，当(2+)t ∈∞，，0y '>，322343y t t t =-+为增函数， 所以2t =时取最小值， 此时2a b =，e =故选：C 二、填空题13．观察下列式子，1ln 23>，11ln 335>+，111ln 4357>++，……，根据上述规律，第n个不等式应该为__________． 【答案】()111ln 13521n n +>+++⨯+ 【分析】根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，对于第一个不等式，1ln 23>，则有()1ln 11211+>⨯+， 对于第二个不等式，11ln 335>+，则有()11ln 213221+>+⨯+，对于第三个不等式，111ln 4357>++，则有()111ln 2135231+>++⨯+，依此类推：第n 个不等式为：()111ln 13521n n +>+++⨯+， 故答案为()111ln 13521n n +>+++⨯+． 【点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律． 14．已知4sin 5β=，()5sin 13αβ+=，其中α，()0,βπ∈，则sin α的值为________． 【答案】6365或3365【分析】本题主要利用正弦的两角差公式进行计算，根据题意可知2παβπ<+<，分02πβ<<和2πβπ<<两种情况讨论即可得解.【详解】由α，()0,βπ∈可得02αβπ<+<， 又()5sin 013αβ+=>， 所以0αβ<+<π， 由()45sin sin 513βαβ=>+=，故2παβπ<+<， 所以当02πβ<<，则3cos 5β=，()12cos 13αβ+=-，此时5312463sin sin()sin()cos cos()sin 13513565ααββαββαββ=+-=+-+=⨯+⨯=， 当2πβπ<<时，3cos 5β=-，()12cos 13αβ+=-，所以5312433sin sin()sin()cos cos()sin ()13513565ααββαββαββ=+-=+-+=⨯-+⨯=. 故答案为：6365或336515．已知偶函数()f x ，对任意的x 都有()()2'6f x xf x +>，且()12f =，则不等式()2231x f x x >-的解集为_________．【答案】{1x x <-，或0x =，或}1x >【分析】由已知条件构造函数22()()31g x x f x x =-+，求导后可判断出()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，由()12f =，可得(1)(1)0g g -==，由()f x 为偶函数，可判断出()g x 为偶函数，而不等式()2231x f x x >-转化为()0>g x ，偶函数的性质可得1x >，从而可求出x 的范围，再由(0)10g =>可得0x =，进而可求出不等式的解集【详解】解：令22()()31g x x f x x =-+，则'2''()2()()6[2()()6]g x xf x x f x x x f x xf x =+-=+-，因为对任意的x 都有()()2'60f x xf x -+>，所以当0x >，'()0g x >，当0x <，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减， 因为()12f =，所以(1)(1)0g g -==， 因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以2222()()()3()1()31()g x x f x x x f x x g x -=----+=-+=， 所以()g x 为偶函数，所以由()0>g x ，所以()(1)g x g >，所以1x >，解得1x <-或1x >， 因为(0)10g =>，所以0x =， 综上，1x <-，或1x >，或0x =，所以不等式的解集为{1x x <-，或0x =，或}1x >. 故答案为：{1x x <-，或0x =，或}1x >16．抛物线1C ：()220x py p =>与双曲线2C ：223x y λ-=有一个公共焦点F ，过2C 上一点()4P 向1C 作两条切线，切点分别为A 、B ，则AF BF ⋅=______． 【答案】49【分析】将点P 的坐标代入双曲线方程，可求得λ的值，从而可得双曲线的方程，则可得焦点坐标，可得抛物线的准线方程，由导数的几何意义可得,A B 两点处的切线的斜率，求得切点弦AB 的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，计算即可【详解】解：由于点()4P 在曲线2C 上，所以453163λ=-⨯=-， 则双曲线的方程为2233x y -=-，即2213x y -=，则(0,2)F ，所以抛物线方程为28x y =，准线方程为2y =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2211228,8x y x y ==，由218y x =，得'14y x =，所以11(,)A x y 处的切线方程为1111()4y y x x x -=-， 即22111111844y x x x x -=-，即2111148y x x x =-，将点()4P 代入可得114160y --=，同理可得224160y --=，所以直线AB 的方程为4160y --=，联立抛物线的方程28x y =，可得2229320y y -+=， 所以121229,162y y y y +==，所以12(2)(2)AF BF y y ⋅=++1629449=++=.故答案为：49【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查切线方程的求法，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是由导数的几何意义求出切线方程114160y --=，224160y --=，从而可得切点弦AB 的方程为4160y --=，考查计算能力，属于较难题三、解答题17．某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[]45,50，得到的频率分布直方图如图所示.（1）上表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.【答案】（1）200a =，50b =；（2）第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；（3）1415. 【分析】（1）根据频率分布直方图得出[)35,40和[]45,50的频率，即可得出正整数,a b 的值；（2）利用分层抽样的性质，即可得出年龄在第1，2，3组的人数；（3）利用列举法得出6人中随机抽取2人的所有情况，根据古典概型的概率公式求解即可.【详解】解：（1）由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=. （2）因为第1，2，3组共有5050200300++=人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人.（3）设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从6位同学中抽两位同学有：()()()()()()()()()1234123412(,),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A C A C A C B C B C B C B C C C ，()()()()()1314232434,,,,,,,,,C C C C C C C C C C 共15种可能.其中2人年龄都不在第3组的有：(),A B 共1种可能， 所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=. 【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用 ，利用古典概型概率公式计算概率，属于中档题.18．已知曲线2()ln 1f x x x ax =+-+.（1）当a =1时，求曲线在x =1处的切线方程；（2）对任意的x ∈[1，+∞)，都有()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）y =2x -1；（2）a ≤2.【分析】（1）代入1a =，对函数()f x 求导后求出切线的斜率，即可求出切线方程； （2）分离参量后，构造新函数，对新函数求导计算出最值，即可得到a 的取值范围. 【详解】（1）函数f (x )的定义域为{x |x >0}，当a =1时，2()ln 1f x x x x =+-+，1()21f x x x'=+-，(1)2,(1)1f f '∴==， 所求切线方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.（2）由题意对于[)1,x ∀∈+∞有2()ln 10f x x x ax =+-+≥则可得2ln 1xa x x ++≤，x ∈[1，+∞).设2ln 1()x x g x x ++=，x ∈[1，+∞)，22ln ()x x g x x '-=，x ∈[1，+∞)再设m (x )=x 2-ln x ，x ∈[1，+∞)，2121()20x m x x x x'-=-=>，m (x )在[1，十∞)上为增函数， m (x )≥m （1）=1，即g '(x )>0，g (x )在[1，+∞)上为增函数，g (x )≥g （1）=2，即a ≤2. 【点睛】思路点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以选用分离参量的方法，构造新函数，运用导数知识求出新函数的最值，即可得到结果；如果不分离参量，也可以直接对函数进行求导后解答，需要注意分类讨论.19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1A O ⊥底面ABCD ，2AB =，13AA =．（1）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）若60BAD ∠=︒，求D 点到面1B BC 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）要证面面垂直只要证明其中一个面内的一条直线垂直于另外一个平面即可； （2）利用等体积法11B D B C C B B D V V --=，根据所给条件求得各已知量，代入即可得解. 【详解】（1）∵1A O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴1AO BD ⊥．∵ABCD 是菱形， ∴CO BD ⊥，∵1AO CO O ⋂=，∴BD ⊥平面1A CO ，∵BD ⊂平面11BB D D ， ∴平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）根据题意可得13,A A AO =1AO1A D 22211119471cos 22322AA AD A D A AD AA AD +-+-∠===⋅⨯⨯，1sin A AD ∠=所以11322ADA S=⨯⨯=， 易知11B BC A AD ≅，所以1BCB S=，由BCDS1AO 设D 点到面1B BC 的距离为h ， 根据等体积法11B D B C C B B D V V --=可得111133BCC BCDSh SAO ⋅=⋅代入数据可得h =，所以D 点到面1B BC . 20．已知函数()()ln xf x mx m R x=-∈． （1）若()0f x ≤恒成立，求实数m 的最小值；（2）当0m ≥时，试确定函数()f x 的极值点个数，并说明理由．【答案】（1）12e；（2）1个，理由见解析. 【分析】（1）首先将题意转化为2ln xm x ≥恒成立，设()2ln x g x x=，再利用导数求()g x 的最大值即可得到答案.（2）首先求导得到()221ln 'x mx f x x--=，令()21ln h x x mx =--，根据函数()h x 在区间()0,∞+上单调递减，20m h e -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0h e <，即可得到当0m ≥时，函数()f x 有且只有一个极值点.【详解】（1）由题意可得ln x mx x≥，即2ln xm x ≥．令()2ln x g x x =，()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，解得x =(x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；()max 12g x ge ==，所以12m e ≥，即m 的最小值为12e .（2）∵()()ln 0xf x mx m x=-≥， ∴()()2221ln 1ln '0x x mx f x m x x x ---=-=>，令()21ln h x x mx =--，∵()1'20h x mx x=--<，所以函数()h x 在区间()0,∞+上单调递减.∵me m >，∴2102m m m m h e e -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，()20h e me =-<，∴()00,x ∃∈+∞，使得()00h x =，∴当()00,x x ∈时，()0h x >，即()'0f x >，()f x 在区间()00,x 单调递增； 当()0x x ∈+∞时，()0h x <，即()'0f x <，()f x 在区间()0,x +∞单调递减， ∴0x x =，是函数()f x 在区间()0,∞+内的极大值点， 即当0m ≥时，函数()f x 有且只有一个极值点．21．已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为)，且经过点⎛- ⎝⎭．点M 是x 轴上一点．过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若2AM MB =，且直线l 与圆O ：2247x y +=相切于点N ，求MN 的长． 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题意，列出方程组，结合222a c b -=，求得,a b 的值，即可求解； （2）设直线:l x ty m =+，联立方程组，根据根与系数的关系，求得1212,y y y y +，根据2AM MB =，得出()()2222448m t t m -+=-，再结合直线与圆相切，得到22714m t =-，联立方程组求得m 的值，求得点M 的坐标，结合Rt ONM △，即可求解. 【详解】（1）由椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为)，且经过点⎛- ⎝⎭， 可得()2222222311a b c ab ⎧-==⎪⎪⎛⎨ ⎪-⎝⎭+=⎪⎩，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）设(),0M m ，直线:l x ty m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 由2AM MB =，可得122y y =-，由2214x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2224240t y tmy m +++-=， 所以12224tm y y t +=-+，212244m y y t -=+，由21222y y y =-，122222y y y y y +=-+=-，则()()2212121222y y y y y y =--+=-+⎡⎤⎣⎦，可得222242244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，化简得()()2222448m t t m -+=-．由原点O到直线的距离d =又由直线l 与圆O ：2247x y +==22714m t =-． 由()()222222448714m t t m t m ⎧-+=-⎪⎨=-⎪⎩，整理得422116160m m --=，即()()2234740m m -+=，解得243m =， 此时243t =，满足0∆>．此时M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 在Rt ONM △中，MN ==MN【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点()1,0P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B ，求11PA PB+的值． 【答案】（Ⅰ）:10l x -=，()22:24C x y -+=；（Ⅱ【分析】（Ⅰ）由112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）直接消去参数t ，可得直线的普通方程，把cos ρθ=4两边同时乘以ρ，结合222x y ρ=+，cos x ρθ=可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2240x y x +-=，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t 的几何意义求解．【详解】解：（Ⅰ）由112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t，可得10x -=．∵cos ρθ=4，∴24cos ρρθ=，即2240x y x +-=． ∴曲线的直角坐标方程为()2224x y -+=；（Ⅱ）把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2240x y x +-=，得230t +-=．设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t则12t t +=123t t =-． 不妨设10t <，20t >，∴1212121111t tPA PB t t t t ++=+===． 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数t 的几何意义是解题的关键，是中档题．。

四川省成都七中高2021届零诊模拟考试数学试题（文科）时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合=--<=<A x x x B x x {|(21)(2)0},{|ln 0}，则 A B =（A ）(0,2) （B ）(12,1) （C ）(0,1) （D ）2(0,)1 2．复数=⋅+∈z a a (1(i),(R)表示纯虚数，则实数a 的值为（A） （B） （C ）0 （D ）-13. 作变速运动的物体的路程与时间的函数关系为=+s t t t ()2，则该物体在=t 2时的瞬时速度为（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）34．如图，已知正方体-ABCD A B C D ,1111，记四面体A BDC 11分别在面CC D D 11内的投影为正视图，在面BCC B 11内的投影为侧视图，在面ABCD 内的投影为俯视图，则下列判断正确的是（A ）正视图与侧视图相同 （B ）正视图与俯视图相同（C ）侧视图与俯视图相同 （D ）三个视图均相同5．抛物线=x y 42的上一点P 到焦点F 的距离为4，则点P 到x 轴的距离为（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）36．已知函数f x ()的导函数为=-f x x x ()sin /，且=f 2(1)1，则-=f (1) （A ）-2cos11（B ）+2cos11 （C ）21 （D ）-21 7．某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息，判断学生的分数在[70,80)之间的频数为（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）208．实数a b ,满足=a b 23，则下列不等式一定正确的是（A ）≤a b （B ）≥a b （C ）≥a b |||| （D ）≤a b ||||三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题12分）已知函数=+++∈f x x ax bx a b ()1,(,R)32在点f (1,(1))处的切线方程为=-+y x 261． （Ⅰ）求a b ,的值；（Ⅱ）若方程=f x m ()有三个不同的根，求实数m 的取值范围．18．（本小题12分）已知某同学的物理成绩y （单位：分）与数学成绩x （单位：分）之间具有线性相关关系，在连续的五次月考中，该生的物理成绩与数学成绩统计如下表： 90 （Ⅰ）利用上表中的五组数据求回归直线方程=+y bx a ˆˆˆ.若在第六次月考中该生数学成绩为=x 135，利用该回归直线方程预测第六次月考的物理成绩；（Ⅱ）从这五次月考成绩中，任取两次，求这两次中至少有一次数学成绩超过物理成绩30分的概率．（：式公考参∑∑-==---==∧∧∧x x b a y b x x x y y i ini ii n (),()()121）19．（本小题12分）在三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，∠=CAB 90，且==AC AB 1,2，E 为BB 1的中点，M 为AC 上一点，=AM AC 32． （1）若要三棱锥-A C ME 11，求AA 1的长度； （2）证明：CB //1平面A EM 1．A 1B AC B 1 C 1 EM20. (本小题12分)已知圆P ：⎩⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎧αααy x 22sin ,33(21cos ,3为参数）与x 轴相交于点F ，点F 为椭圆+=>>a b a b x y 1(0)2222的一个焦点，且该椭圆经过点P .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆上两动点A ，B (不同于P )满足=+-λλOF OA OB (1)，M 为直线AB 上的一点，满足直线P A ，PM ，PB 的斜率依次成等差数列，求证：点M 的横坐标为定值．21．（本小题12分）已知函数=>f x x x ()ln ,(0)．（1）不等式+≥-x mf x x 1()1在上恒成立，求实数的取值范围； （2）已知∈απ2(0,)，比较αf (tan )与-απ42tan()的大小关系．22.（本小题10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=+⎧y x t 222,1（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为+=ρθθρsin 4sin 2.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点M 的直角坐标为(2,2).若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A B ,，求∙MA MB 的值.x ∈+∞[1,)m四川省成都七中高2021届零诊模拟试题文科数学参考答案一、选择题：BABCD CDCAB DA二、填空题：4206)π 2 -[22l n2 三、解答题：17．解：（Ⅰ）解：（1）=++f x x ax b ()32/2由题意得：++=-a b 326=-+=-f 22(1)6111，即+++=-a b 21111， 由上述方程解得=-=-a b 2,63…………………6分 （Ⅱ）=--+f x x x x 2()61332 ∴=--=+-f x x x x x ()3363(1)(2)2∴f x ()在区间-∞-+∞(,1),(2,)上递增，在区间-(1,2)的上递减，……………9分 值小极∴==-f x f ()(2)9，值大极=-=f x f 2()(1)9 要使方程=f x m ()有三个不同的根，则实数m 的取值范围是-2(9,)9 …………………12分 18．解：（Ⅰ）根据表中数据可得：==x y 120,90,..................1分∑--==x x y y i i i()()13515∑-==x x i i()250125∑∑-∴==--==∧x x b x x y y i ii i i ()0.54()()12515..................2分 =-⋅∧a yb x ∴=a 25.2 故所求回归直线的方程为=+y x 0.5425.2..................4分 易知x 的值为135，∴=y 98.1(分)∴故第六次月考物理成绩预测值为98.1分...................6分 （Ⅱ）数学成绩超过物理成绩30分的月考有：第三次和第四次，从五次月考中任取两次的所有情况有：（一二），（一三），（一四），（一五），（二三），当直线AB 斜率等于零时，-A B (2,0),(2,0)，此时=x 40， 综上得点M 的横坐标为定值4．…………………12分21．解：（1）不等式++≥⇔-≥--x x mf x m x x x 11()ln 011， 令+=-≥-x h x m x x x 1()ln ,(1)1， =h (1)0∴∃>x 10，使函数h x ()在x [1,]0上单调递增， 所以+=≥+-x x h x m x x (1)()0(1)22/2在x [1,]0上恒成立， 即+++≥=xx x m x 2(1)1222在x [1,]0上恒成立， ∴≥m 21， 经验证，当≥m 21时，+≥-x mf x x 1()1+∞(1,)上恒成立，…………………5分 （2）由（1）知当时，， 当时， ，, 令，当时，，即， 当时，，即， ，， 当时，，；当时，，； 当时，，． …………………12分 22.解：（1）⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=+⎧y x t 222,1可得)-+y x 22. +=∴+=ρθθρρθρθρsin 4sin sin 4sin 2222解得=x y 42.…………………5分x >1x x x >-+ln 211x <<01x >11x x x x x x ∴>-+⇔<-+ln121111ln 211=x t 2t >1t t t >-+222ln 211t t t >-+22ln 11t <<01t t t <-+222ln 211t t t <-+22ln 11f =(tan )ln tan ααααααααα-=-+=-+222222cos 2sincos sin cos tan 1tan 1<<απ04α<<0tan 1f <-(tan )cos 2αα=απ4α=tan 1f =-(tan )cos 2αα<<παπ42α>tan 1f >-(tan )cos 2αα（2）将⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=+⎧y x t 2221代入抛物线方程=x y 42可得. ()()+=t 224212整理可得(+--=t t 81602. ∴⋅=-MA MB =-=-MA MB t t 1612.…………………10分。

四川省成都市2021届高三数学零模考试试题 文（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数1iz i =+（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） A. 12- B. 12i C. 12D. 12i -【答案】C 【解析】 试题分析：(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i -+====+++-，则虚部为，故选. 考点：复数的运算、复数的实部与虚部.2.若集合{1234}A =，，，，{}260B x x x =--≤，则A B =（ ）A. {1}B. {12}，C. {2,3}D. {12,3}， 【答案】D 【解析】{}60,23,1,2,3x x x A B --≤∴-≤≤⋂=,选D .3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A. 甲所得分数的极差为22B. 乙所得分数的中位数为18C. 两人所得分数的众数相等D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D 【解析】 【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A 正确；乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C 正确；甲的平均分为11151720222224323319699x ++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x ++++++++==乙，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D 错误，故选D.【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.4.若实数,x y 满足约束条件220,10,0.x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩表示的平面区域，如图所示．由2z x y =-可得1122y x z =-，则12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，故选A ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A. 1 B. 3C. 6D. 9【答案】D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++= ，可得31212log 12a a a =，进而可得()6121212673a a a a a == ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.6.设函数()f x 的导函数为()f x '，若()1ln 1xf x e x x=+-，则()1f '=（） A. 3e - B. 2e -C. 1e -D. e【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x '，即可求出()1f '的值.【详解】由题得()21=ln x xe f x e x x x '+-，所以()211==e 111e f '--. 故选C【点睛】本题主要考查函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 7.ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若向量(),cos m a A =-，()cos n C c =-，且0m n ⋅=，则角A 的大小为（）A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角A 的方程，得解．【详解】由0m n =得，0(,cos )(cos ,2)cos )cos a A C c a C c A =--=--，由正弦定理得，sin cos cos sin cos 0A C B A C A +=，化为sin()cos 0A C B A +=，即sin cos 0B B A =， 由于sin 0B ≠，∴cos A =()0,A π∈∴4A π=，故选B ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S 的值并输出变量m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得 开始 0S =1m =① 1122100⨯=< 2m =② 12122210100⨯+⨯=< 3m = ③ 12312223234100⨯+⨯+⨯=< 4m = ④ 12341222324298100⨯+⨯+⨯+⨯=< 5m =⑤ 123451222324252258100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>6m =故选B ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.若矩形ABCD 的对角线交点为O '，周长为410，四个顶点都在球O 的表面上，且3OO '=，则球O 的表面积的最小值为（）A.3223πB.6423πC. 32πD. 48π【答案】C 【解析】 【分析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球的表面积的最小值．【详解】如图，设矩形ABCD 的两邻边分别为a ，b ，则210a b +=，且外接圆O '的半径22a b r +=．由球的性质得，OO '⊥平面ABCD ，所以球O 的半径2222(3)34a b R r +=++由均值不等式得，2222a ba b ++222()202a b a b++=， 所以222220(3)33844a b R r +=+++=，当且仅当10a b == 所以球O 的表面积的最小值为2432R ππ=， 故选C ．【点睛】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 10.已知函数()()221xf x x a x e =++，则“2a =()f x 在-1x =处取得极小值”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，分析函数()f x 在1x =-处取得极小值时的a 的范围，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：若()f x 在1x =-取得极小值，2222()[(2)1](1)(1)x x f x x a x a e x x a e '=++++=+++．令()0f x '=，得1x =-或21x a =--． ①当0a =时，2()(1)0xf x x e'=+．故()f x 在R 上单调递增，()f x 无最小值；②当0a ≠时，211a --<-，故当21x a <--时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当211a x --<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增． 故()f x 在1x =-处取得极小值．综上，函数()f x 在1x =-处取得极小值0a ⇔≠．∴“a =()f x 在1x =-处取得极小值”的充分不必要条件．故选A ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题．11.已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A. 3⎛ ⎝B.C. 131,(5,)3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D. (1,5)(13,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据双曲线的定义，212MF MF a =+，转化为124MF MN a b ++>，即()1min24MFMNa b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点共线时，1MF MN+最小，转化为不等式23242b a b a+>，最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MF MF a -=，若2||4MF MN b +>，即1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>， 如图所示，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或22135,1c c a a >∴<<或5,ca >∴双曲线C 的离心率的取值范围为131,(5,)⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值，转化为,a b 的代数关系，最后求ca的范围. 12.若关于x 的不等式ln 10x x kx k -++>在()1,+∞内恒成立，则满足条件的整数k 的最大值为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据题意即可得出函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方，当直线(1)1y k x =--与函数(1)y xlnx x =>相切时，可设切点为0(x ，0)y ，从而可以得出()000000111y x lnx y k x lnx k =⎧⎪=--⎨⎪+=⎩①②③，联立三式即可得出01k x =-，根据01x >即可得出0k >，再根据③即可得出1k >，从而得出整数k 的最大值为2．【详解】关于x 的不等式10xlnx kx k -++>在(1,)+∞内恒成立， 即关于x 的不等式(1)1xlnx k x >--在(1,)+∞内恒成立， 即函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方．当直线(1)1y k x =--与函数(1)y xlnx x =>相切时，设切点为0(x ，0)y ，则()000000111y x lnx y k x lnx k =⎧⎪=--⎨⎪+=⎩①②③，由①②得，000(1)1x lnx k x =--，把③代入得00(1)(1)1x k k x -=--，化简得01x k =+．由01x >得，0k >． 又由③得011k lnx =+>．即相切时整数2k ．因此函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方时，整数k 的最大值为2． 故选C ．【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13.某公司一种新产品的销售额y 与宣传费用x 之间的关系如表：已知销售额y 与宣传费用x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为9y bx =+，则b 的值为__________． 【答案】6.5 【解析】 【分析】由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数． 【详解】由表中数据，计算0123425x ++++==，10152030351102255y ++++===，又归直线方程为ˆˆ9y bx =+过样本中心点(2,22)得， ˆ2229b=+， 解得13ˆ 6.52b ==． 故答案为6.5．【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题． 14.已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线l ：20x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为__________．【解析】 【分析】先表示出曲线C 上的点到直线距离，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值. 【详解】表示曲线2cos ,:(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意点(2cos ,sin )P θθ到直线:20l x y +-的距离d ==当sin()1θα+=时，||min min PQ d ===故答案为5【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.已知()f x 是定义在(),ππ-上的奇函数，其导函数为()f x '，4f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且当()0,x π∈时，()()sin cos 0f x x f x x '+>．则不等式()sin 1f x x <的解集为__________．【答案】,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】令()()sin F x f x x =，根据据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出()sin f x x 的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集． 【详解】令()()sin (0)F x f x x x π=<<， 则()()sin ()cos 0(0)F x f x x f x x x π''=+><<，所以()()sin F x f x x =在(0,)π上为单调递增，且()()sin 1444F f πππ==，所以()()sin ()4F x f x x F π=<，解得04x π<<．由()f x 是定义在(,)ππ-上的奇函数得，()()sin()()sin F x f x x f x x f -=--=-⋅-=（x)sinx=F(x)所以()()sin F x f x x =在(,)ππ-为偶函数，且(0)(0)sin 00F f == 所以不等式()sin 1f x x <的解集为(),44ππ-，故答案为(),44ππ-．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．16.已知抛物线C ：20)2(y px p =＞的焦点为F ，准线为l ．过点F 作倾斜角为120︒的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的标准方程为__________． 【答案】22y x = 【解析】 【分析】设出直线AF 的方程，与抛物线方程联立，消去x ，解方程求得p 的值，再写出抛物线C 的标准方程．【详解】由题得直线AF的方程为)2p y x =-，从而()2pA -；由22)2y pxp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x ，2220py +=，解得y p或y =（舍去），从而1()6B p p ； 由4||3AB =43， 解得1p =，所以抛物线C 的标准方程为22y x =．故答案为22y x =．【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知函数()32133f x x mx nx =+++，其导函数()f x '的图象关于y 轴对称，()213f =-．（Ⅰ）求实数,m n 的值；（Ⅱ）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围． 【答案】（Ⅰ）0m =，4n =-（Ⅱ）725,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导函数()f x '的图象关于y 轴对称求出m 的值，再根据()213f =-求出n 的值；（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.【详解】解：（Ⅰ）()22f x x mx n '=++.函数()f x '的图象关于y 轴对称，0m ∴=. 又()121333f n =++=-，解得4n =-. 0m ∴=，4n =-.（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根时，求λ的取值范围. 由（Ⅰ），得()31433f x x x =-+.()24f x x '∴=-. 令()0f x '=，解得2x =±. 当2x <-或2x >时，()0f x '>，()f x ∴(),2-∞-，()2+∞，上分别单调递增. 又当22x -<<时，()0f x '<，()f x ∴在()2,2-上单调递减. ()f x ∴的极大值为()2523f -=，极小值为()723f =-. ∴实数λ的取值范围为725,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题．18.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A ，B ，C 三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：A 类行业：85，82，77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；（Ⅱ）若从抽取的A 类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．【答案】（Ⅰ）A ，B ，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）45【解析】 【分析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率． 【详解】（Ｉ）由题意，得抽取的A ，B ，C 三类行业单位个数之比为3:3:4. 由分层抽样的定义，有A 类行业的单位个数为32006010⨯=， B 类行业的单位个数为32006010⨯=，C 类行业的单位个数为42008010⨯=，故该城区A ，B ，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M . 这3个单位的考核数据情形有{}85,82,77，{}85,82,78，{}85,82,83，{}85,82,87，{}85,77,78，{}85,77,83，{}85,77,87，{}85,78,83，{}85,78,87，{}85,83,87，{}82,77,78，{}82,77,83，{}82,77,87，{}82,78,83，{}82,78,87，{}82,83,87，{}77,78,83，{}77,78,87，{}77,83,87，{}78,83,87，共20种.这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有{}85,82,83，{}85,82,87，{}85,83,87，{}82,83,87，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种， 故所求概率()441205P M =-=. 【点睛】本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，AB AD =，PA PD ⊥，AD CD ⊥，60BAD ∠=，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（Ⅰ）证明：平面BMN 平面PCD ；（Ⅱ）若6AD =，求三棱锥P BMN -的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；93【解析】 【分析】第一问先证明BM ∥平面PCD ，MN ∥平面PCD ，再根据面面平行的判定定理证明平面BMN平面PCD ．第二问利用等积法可得13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅，分别求出PMN ∆的面积和BM 的长度即可解决问题．【详解】（Ⅰ）连接BD ，∴AB AD =，60BAD ∠=，∴ABD ∆为正三角形. ∵M 为AD 的中点，∴BM AD ⊥.∵AD CD ⊥，,CD BM ⊂平面ABCD ，∴BMCD .又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴BM ∥平面PCD . ∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MNPD .又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴MN ∥平面PCD . 又,BM MN ⊂平面BMN ，BM MN M =，∴平面BMN平面PCD.（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证BM AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，∴BM ⊥平面PAD . 又6AD =，60BAD ∠=，∴33BM =在PAD ∆中，∵PA PD =，PA PD ⊥，∴2322PA PD AD ===∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点， ∴PMN ∆的面积(21119324424PMNPAD S S ∆∆==⨯⨯=， ∴三棱锥P BMN -的体积13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅19933334=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定和性质，等积法求三棱锥的体积问题，属中等难度题．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为()13,0F -，)23,0F ，且经过点13,2A ⎫⎪⎭．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点0(4)B ，作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P Q ，两点，记点P 关于x 轴对称的点为P '．证明：直线P Q '经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标．【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）证明见解析，直线P Q '经过x 轴上定点D ，其坐标为()1,0【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知结合椭圆定义求得a ，再求得b ，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为4(0)x my m =+≠，再设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则1(P x '，1)y -．联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，求出P Q '所在直线方程，取0y =求得x 值，即可证明直线P Q '经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标． 【详解】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，可知122a AF AF =+142==. 解得2a =. 又2221b a =-=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为()40x my m =+≠. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,P x y '-.由22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，可得()2248120m y my +++=. ()216120m ∆=->，212m ∴>. 12284m y y m -∴+=+，122124y y m =+. ()21212121P Q y y y y k x x m y y '++==--，∴直线P Q '的方程为()()211121y y y y x x m y y ++=--.令0y =，可得()211124m y y x my y y -=+++.121224my y x y y ∴=+=+22122244441884m m m m m m ⋅++=+=--+.()1,0D ∴. ∴直线P Q '经过x 轴上定点D ，其坐标为()1,0.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.已知函数()1xxxf x ae e =--，其中0a >． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值．【答案】(1) 10x y -+=；(2) 1a = 【解析】 【分析】（1）根据题意求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）问题等价于关于x 的方程1(1)x x x a e e =+有唯一的解时，求a 的值．令1()(1)x xxg x e e =+，求得()g x 的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得a 的值； 【详解】解：（1）当2a =时，()21xx xf x e e=--， 所以()12xx xf x e e-'=-， 所以()0211f '=-=． 又()0211f =-=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x -=， 即10x y -+=．（2）问题等价于关于x 的方程11x xx a e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有唯一的解时，求a 的值．令()11x x x g x e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()212xxx e g x e --'=．令()12xh x x e =--，则()20xh x e '=--<，()h x ∴在(),-∞+∞上单调递减．又()00h =，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在(),0-∞上单调递增；当()0,x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，()g x ∴在()0,∞+上单调递减． ()g x ∴的极大值为()01g =．∴当(],0x ∈-∞时，()(],1g x ∈-∞；当()0,x ∈+∞时，()()0,1g x ∈．又0a >，∴当方程11x x x a e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有唯一的解时，1a =．综上，当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为1．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查换元法和构造函数法，以及化简运算能力，属于中档题．22.在直角坐标系xOy 中，过点()1,1P 的直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||PA PB +的最小值．【答案】（Ⅰ）2240x y x +-= 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，并整理得()22sin 2cos 20t t αα+--=，再利用直线参数方程t 的几何意义求出11||||PA PB +的最小值． 【详解】解：（Ⅰ）4cos ρθ=，24cos ρρθ∴=.由直角坐标与极坐标的互化关系222x y ρ=+，cos x ρθ=.∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，并整理得()22sin 2cos 20t t αα+--=.()22sin 2cos 80αα∆=-+>，∴可设12,t t 是方程的两个实数根，则122cos 2sin t t αα+=-，1220t t =-<.11PA PB ∴+=121212121211t t t t t t t t t t +-+====≥=4πα=时，等号成立. 11PAPB∴+. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，考查直线参数方程t 的几何意义，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．。

四川省成都市2021届零诊（高二下期末）文科数学模拟试题简介-- 2020.6.30鉴于成都市今年高二下期（零诊）摸底考试范围和比例作了部分调整，除了2020届（去年）的零诊外，之前的摸底试题参考意义不大。

2021届成都市零诊考试范围和分布比例：数学理：人教A版必修1、2、3、4、5; 选修2-1，选修2-2，选修4-4。

数学文：人教A版必修1、2、3、4、5; 选修1-1, 选修1-2，选修4-4。

其中高一内容约占15%(重点考查函数等)，高二上期内容约占35%，高二下期内容约占50%。

本套卷按新课标（全国卷）的试题类型编写。

（12道选择，4道填空，6道解答题）试卷根据成都市最新的考试范围和分布比例编写，希望能给广大师生朋友在备考零诊提供一点微薄之力。

如有不足之处，望大家多多指正！四川省成都市2021届零诊（高二下期末）文科数学模拟试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，2{|-40}B x x x x =≤，则=⋂B A （ ）}3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D【答案】A【解析】由题意得：{1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A ，[]2{|-40}1,4B x x x =≤=，所以=⋂B A }3,2,1{.【方法总结】集合中的元素有关问题的求解策略：(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．已知复数z 满足(3425z i i i ⋅-=+为虚数单位) ，则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（ ） A ．21,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,15⎛⎫⎪⎝⎭C ．21,5⎛⎫--⎪⎝⎭D ．2,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意,得525z i ⋅=+.则25z i =+,其在复数平面内对应的点的坐标为2,15⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B. 3．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图： 则下列结论中正确的是( )A ．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B ．该家庭2019年教育医疗的消费额与2015年教育医疗的消费额相当C ．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的五倍D ．该家庭2019年生活用品的消费额是2015年生活用品的消费额的两倍【答案】C解析：设该家庭2015年全年收入为a ，则2019年全年收入为2a .对于A ，2019年食品消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年食品消费额为0.4a ，故两者相等，A 不正确．对于B ，2019年教育医疗消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年教育医疗消费额为0.2a ，故B 不正确．对于C ，2019年休闲旅游消费额为0.25×2a ＝0.5a ，2015年休闲旅游消费额为0.1a ，故C 正确．对于D ，2019年生活用品的消费额为0.3×2a ＝0.6a ，2015年生活用品的消费额为0.15a ，故D 不正确．故选C.4．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π【答案】A【解析】2的等腰直角三角形,高为2.222+2=22.故外接球表面积22224482S R πππ⎛=== ⎝⎭.故选：A 5.已知双曲线M ：22221x y a b -=和双曲线N ：22221y x a b-=，其中0b a >>，且双曲线M 与N 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M 的离心率是（ ）. 51+ 51- 53+ 35-【答案】AxO yc2a +c 2c解析:如图所示，易知2a c +=，即c e a ===.故选A. 6．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式()11nn n n f x a x a x--=++10a x a ++的值的秦九韶算法，即将()f x 改写成如下形式：()()()()1210nn n f x a x ax a x a x a --=+++++，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（ ）.A. i v vx a =+B. ()i v v x a =+C. i v a x v =+D. ()i v a x v =+【答案】A解析:秦九韶算法的过程是()011,2,,nk k n k v a v v x a k n --=⎧⎪⎨=+=⎪⎩.这个过程用循环结构来实现,则在空白的执行框内应填入i v vx a =+.故选A. 7.下列函数中，与函数()11122x x f x -+=-的奇偶性、单调性均相同的是( ) . A ．e xy = B．(ln y x = C ．2y x =D ．tan y x =【答案】B解析 由已知()111=22x x f x -+-，x ∈R ，则()()111111=2222x x x x f x f x ----++--=-=-，所以()f x 为R 上的奇函数. 设()112x f x -=，()2112x f x +=-.易判断()1f x 为R 上的增函数，()2f x 也为R 上的增函数， 所以()()()12f x f x f x =+为R 上的增函数.A 选项中的e xy =不是奇函数，排除A ；B 选项中令()(ln f x x =，则()(ln f x x -=-+==(()ln x f x -=-，所以()f x 为奇函数.设()u x x =()u x 为增函数，而ln yu =也为增函数，由复合函数的单调性知(ln y x =为增函数，所以B 选项中的函数的奇偶性、单调性与()111=22x x f x -+-的奇偶性、单调性相同；C 选项中2y x =不是奇函数，排除C ；D 选项中tan y x =在R 上不是单调函数.排除D.故选B.8．平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点00(,)P x y ，且(,0)2απ∈-，3cos()65πα+=，则0x 的值为（ ）A ．410B ．310C ．410D ．310【答案】A【解析】因为(,0)2απ∈-，3cos()65πα+=，所以(,)636πππα+∈-，若(0,)66ππα+∈，3cos()625πα+>>，所以不符合， 所以(,0)63ππα+∈-，4sin()65πα+=-所以03414cos cos ()66525210x ππαα-⎡⎤==+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦. 9． 已知()20,20360x y D x y x y x y ⎧⎫+-⎧⎪⎪⎪=-+⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+⎩⎩⎭，给出下列四个命题：其中真命题的是（ ）.()1:,,0P x y D x y ∀∈+； ()2,,210P x y D x y ∀∈-+： ；()31:,,41y P x y D x +∃∈--； ()224,,2P x y D x y ∃∈+：； A. 12,P P B. 23,P P C. 34,P P D. 24,P P 【答案】D解析 画出D 的可行域如图所示.对于命题1P ,在点()2,0A -处, 202<0x y +=-+=-,则1P 是假命题; 对于命题2P ,在点()0,2C 处, 21x y -+取最大值为1-,1<0-,故2P 是真命题; 对于命题3P ,点(),x y 到()1,1-的斜率最小值在点()0,2C 处取到为21301+=--,3>4--,故3P 是假命题; 对于命题4P ,在点()0,2C 处,22024>2+=,故4P 是真命题.故选D.10.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

2021～2022学年度下期高2023届考试数学试卷（文科）考试时间：120分钟 总分：150分一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．设复数121i,2i z z =-+=+（i 为虚数单位），则在复平面内12z z +对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{A x y ==，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}1,0,1-3．已知8位同学某次数学测试成绩的茎叶图如图，则下列说法正确的是（ ）A ．众数为7B ．平均数为65C ．中位数为64D ．极差为174．已知点A 的坐标(,)x y 满足线性约束条件103x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，(0,0)O ，(2,4)B ，则OA OB ⋅的最大值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．65．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．已知函数()()()2log 2,04,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2022f =（ ） A ．0 B ．12 C ．1 D ．27．已知公比为q 的等比数列{}n a 中，1232343,24a a a a a a ==，平面向量(1,)a q =，(2,3)b q =，则下列c 与2a b +共线的是（ ）A ．(1,4)c =B ．(1,5)c =C ．(5,2)c =D ．(2,5)c = 8．《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部以用数学著作，该书清初传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著．书中卷八有这样一个问题：“今有物一面平堆，底脚阔七个，上阔三个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S 即为总个数，则总个数S =（ ）A ．18B ．25C ．33D ．4218．我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年3月我校进行一次数学考试，从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；(2已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．19P ABCD -，2AB DC =，0AB BC ⋅=，AP BD ⊥，且AP DP DC BC ====(1)求证：BD ⊥平面ADP ；(2)求四棱锥P ABCD -的体积.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，若1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，x 轴上方一点P 在椭圆C 上，且满足12PF PF ⊥，122PF PF +=(1)求C 的方程及点P 的坐标；(2)过点P 的直线l 交C 于另一点Q （点Q 在第三象限），点M 与点Q 关于x 轴对称，直线PM 交x 轴于点N ，若PQN ∆的面积是QMN ∆的面积的2倍，求直线l 的方程．21.已知函数3()22cos 3x k f x e x ax k x =+++(其中,,a k R ∈ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数)(1)当0k =时,求函数()f x 的单调区间；(2)当1k =时,若12,x x 是()f x 的两极值点且12x x <,求实数a 的取值范围.（选修4—4：坐标系与参数方程）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为[)()22cos 0,222sin x y ααπα=+⎧∈⎨=+⎩．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知点()1,5P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，求|PM |的值．文科参考答案一．选择题1—5：ADBAC 6—10：DDBDB 11—12：BC二．填空题13.30 14．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭15. 6 16.[]1,2 三．解答题17． 解: (1)∵()f x 在2x =处有极值，∴()20f '=， ∵()234f x x ax '=-+，∴1280a -+=， ∴32a =………………………………………………………………………………4分 经检验，当32a =时，2x =是()f x 的极值点， ∴32a =． …………………………………………………………………………6分 (2)由（1）知32a =，∴()3231f x x x =-++，()236f x x x '=-+， 令()0f x '=，得10x =，22x =， ()f x '()f x从上表可知:()f x 在区间3,4-上()()max min (3)55;(4)15f x f f x f =-===-……………………………12分 18． 解：（1）本次考试成绩的平均数为450.1550.26650.2750.3850.08950.06⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=66.8. ……………5分 （2）第五组与第六组学生总人数为(0.080.06)507+⨯=，其中第五组有4人，记为a 、b 、c 、d ，第六组有3人，记为A 、B 、C ，从中随机抽取2人的情况有：ab 、ac 、ad 、aA 、aB 、aC 、bc 、bd 、bA 、bB 、bC 、cd 、cA 、cB 、cC 、dA 、dB 、dC 、AB 、AC 、BC 共有21种，其中至少1人成绩优秀的情况有15种 ………………………………………10分∴所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率155217=．……………… …………12分19. (1)连接BD ，由2AB DC =，0AB BC ⋅=知2//,AB DC AB DC CD BC ==⊥，在Rt BCD 中，22216,4BD CD BC BD =+==，设AB 的中点为Q ，连接DQ ，则//,CD QB QB CD =，所以四边形BCDQ 为平行四边形，又,CD BC DC BC ⊥=，所以四边形BCDQ 为正方形，所以,DQ AB DQ AQ ⊥==Rt AQD 中，22216AD AQ DQ =+=，在ABD ∆中，222161632AD BD AB +=+==，所以AD BD ⊥，又,AP BD AP AD A ⊥⋂=，,AP AD ⊂平面ADP所以BD ⊥平面ADP ……………6分21. 解：（1）当0k =时，()2x f x e ax =+∵()2e x f x a '=+，∴当0a ≥时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无单调递减区间；当0a <时，令()0f x '>，即e 2x a >-，∴ln 2⎛⎫>- ⎪⎝⎭a x ， ∴()f x 在ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减. 综上，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，无单调递减区间；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间是,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.………………………………………………………………………6分 (2) 当1k =时，()312e 2cos 3x f x ax x x =+++有两个极值点12,x x 所以2()2e 2sin 0x f x a x x '=+-+=在R 上有两个不等实数根12,x x设2()2e 2sin x F x x x a =-++，则()2e 2cos 2x F x x x '=-+，设()()x F x ϕ'=，()2e 2sin 22e 0x x x x ϕ'=+≥>+∴()F x '在(,)-∞+∞上单调递增，又0(0)2e 2cos000F '=-+=，∴,()0x ∈+∞时，()(0)0F x F ''>=∴()F x 在(0,)+∞上单调递增，同理()F x 在(,0)-∞上单调递减，∴min ()(0)2F x F a ==+ …………………………………………9分 当,()x F x →-∞→+∞；当,()x +F x →∞→+∞；要使()F x 在R 上有两个不同的实根，则20a +<即2a <-所以当2a <-函数()F x 有两个不相等的变号零点12,x x 即()f x 有两个极值点1x 和2x . ∴若有两个极值点，则2a <-. ………………………………………………………12分22. 解： (1)将曲线C 的参数方程中的参数α消去，得C 的普通方程为()()22224x y -+-=，由sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos 60ρθρθ+-=， ………3分 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得直线l 的直角坐标方程为60x y +-=．………5分(2)由于点()1,5P 在直线l 上，所以直线l的参数方程为125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入()()22224x y -+-=，得260t ++=， …………………8分 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=-因为M 为AB的中点，所以122t t PM +==10分。