二元一次方程应用题类型解析全套整合

- 1 -二元一次方程应用题分类复习日期: 2月 8日1、知道用方程组解决实际问题的一般步骤2、读懂并能找出实际问题中的各种形式表达的数量关系，列出方程组,得出问题的解答.列二元一次方程组解应用题（1)列二元一次方程组解应用题的一般步骤 ①设出题中的两个未知数； ②找出题中的两个等量关系;③根据等量关系列出需要的代数式,进而列出两个方程,并组成方程组； ④解这个方程组,求出未知数的值；⑤检验所得结果的正确性及合理性并写出答案． (２)用方程解决实际问题的几个注意事项①先弄清题意,找出相等关系,再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数,再找出含有未知数的代数式,再找相等关系更为合理．②“文字”与“图表”转换:有的应用题,用文字语言表达较难，就可以用表格或图形来分析，这样既直观，也易理解题意．③所列方程两边的代数式的意义必须一致,单位要统一，数量关系一定要相等. ④要养成“验”的好习惯,即所求结果要使实际问题有意义． ⑤不要漏写“答”，“设”和“答”都不要丢掉单位名称. ⑥分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真．⑦对于可解的应用题，一般来说,有几个未知数,就应找出几个等量关系，从而列出几个方程,即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等.例1:配套问题1． 某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓２5个或螺母２0个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套分析:要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2＝每天生产的螺母数×1．因此，设安排x 人生产螺栓，ｙ人生产螺母,则每天可生产螺栓２５x 个,螺母20ｙ个，依题意,得120502201x y x y +=⎧⎨⨯=⨯⎩,解之,得20100x y =⎧⎨=⎩． 故应安排20人生产螺栓,1００人生产螺母．点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一,如何分配生产力,使生产出来的产品恰好配套- 2 -成为主管生产人员常见的问题,解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,其中两种最常见的配套问题的等量关系是:(1)“二合一”问题:如果a 件甲产品和b 件乙产品配成一套,那么甲产品数的b 倍等于乙产品数的ａ倍,即a b=甲产品数乙产品数； (2)“三合一”问题:如果甲产品a 件,乙产品ｂ件,丙产品c 件配成一套,那么各种产品数应满足的相等关系式是：a b c==甲产品数乙产品数丙产品数．跟踪练习１、木工厂有28个工人,每个工人一天加工桌子数与加工椅子数的比是9：２0,现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？2、某车间有90名工人,每人每天平均能生产螺栓１5个或螺帽24个,要使一个螺栓配套两个螺帽,应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？3、现有1９0张铁皮做盒子，每张铁皮可做８个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子,用多少张铁皮做盒身,多少张铁皮做盒底可以使盒身与盒底正好配套？ 例２、数字问题2.一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大９;如果交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原两位数大2７，求这个两位数．分析:设这个两位数十位上的数为x ，个位上的数为ｙ,则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系 原两位数xｙ１0x ＋y１0ｘ+ｙ＝x ＋ｙ+９- 3 -解方程组109101027x y x y y x x y +=++⎧⎨+=++⎩,得14x y =⎧⎨=⎩,因此，所求的两位数是1４．点评：由于受一元一次方程先入为主的影响,不少同学习惯于只设一元,然后列一元一次方程求解,虽然这种方法十有八九可以奏效,但对有些问题是无能为力的,象本题,如果直接设这个两位数为x,或只设十位上的数为x,那将很难或根本就想象不出关于x 的方程．一般地,与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”,然后列多元方程组解之.跟踪练习1、一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9;如果交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原两位数大2７，求这个两位数.２、一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大５，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少９,求这个两位数.某校环保小组成员收集废电池，第一天收集１号电池４节，5号电池５节,总重量为46０克,第二天收集1号电池2节,５号电池３节,总重量为240克，试问１号电池和５号电池每节分别重多少克?2、某船的载重量为300吨,容积为12０0立方米，现有甲、乙两种货物要运,其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为２立方米，要充分利用这艘船的载重和容积,甲、乙两重货物应各装多少吨？- 4 -3、学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺,总务处每发一封信都只用一张信笺,教务处每发出一封信都用3张信笺，结果,总务处用掉了所有的信封,但余下50张信笺,而教务处用掉所有的信笺但余下５0个信封，则两处各领的信笺张数,信封个数分别为多少个?4、为迎接２0０8年奥运会,•某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂主要用甲、乙两种原料，•已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为４盒和3盒,•生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和1０盒.该厂购进甲、乙原料的量分别为２0００0盒和3０000盒，如果所进原料全部用完,求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？１．在某条高速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站，A 到Ｂ的距离为１2０千米，Ｂ到C 的距离也是120千米．分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场,正在Ｂ站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、Ｃ两个加油站驶去,结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少?【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x 、y 千米／时,则()3120120x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理,得40120x y x y -=⎧⎨+=⎩,解得8040x y =⎧⎨=⎩, 因此,巡逻车的速度是80千米／时,犯罪团伙的车的速度是40千米／时．点评:“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间,具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．2．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力,每天可生产这种服装1５0套,按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的45;现在工厂改进了人员组织结构和生产流程,每天可生产这种工作服２0０套，这样不仅比规定时间少用1天,而且比订货量多生产2５套，求订做的工作服是几套?要求的期限是几天?分析:设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意,得- 5 -()41505200125y x y x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩，解得337518x y =⎧⎨=⎩. 点评:工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系,即“工作量＝工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间＝工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”.其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．跟踪练习１、甲、乙二人相距6ｋm,二人同向而行,甲３小时可追上乙；相向而行,１小时相遇。

实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等. 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行.这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析.其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行.这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程.(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速.注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题：(1)基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金.②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息.③本息和：本金与利息的和叫做本息和.④期数：存入银行的时间叫做期数.⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率.⑥利息税：利息的税款叫做利息税.(2)基本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率.④税后利息＝利息× (1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥月利率=年利率1 12 .注意：免税利息=利息5．配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例.6．增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量.7．和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.8．数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n 为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.10．几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12．优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排.需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案.注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案.知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.(4)列方程组解应用题应注意的问题①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； ⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； ⑥列方程组解应用题一定要注意检验.类型一：列二元一次方程组解决——行程问题1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 思路点拨：画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程. (2)有两个等量关系：①相向而行：汽车行驶113小时的路程＋拖拉机行驶113小时的路程＝160千米;②同向而行：汽车行驶12小时的路程＝拖拉机行驶112⎛⎫+ ⎪⎝⎭小时的路程. 解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.根据题意，列方程组()4160,311122x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解这个方程组，得: 90,30x y =⎧⎨=⎩1111901165,3011853232⎛⎫⎛⎫⨯+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略.乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度.类型二：列二元一次方程组解决——工程问题2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付x 元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.解：(1)设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：解得答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元.(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元，故请乙组单独做费用最少.答：请乙组单独做费用最少.总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一线段图或列表法进行分析.【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率解：甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：，解得：答：两件商品的进价分别为600元和400元.【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？如下表：A B进价（元/件）1200 1000售价（元/件）1380 1200（注：获利= 售价—进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）思路点拨：设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：教育储蓄一年定期合计现在x y一年后 2.25%x x+⨯ 2.25%80%+⨯⨯2042.75y y解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：，解得：答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套.【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条.现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题6. 某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有总产值（万元）总支出（万元）利润（万元）去年x y200今年120%x90%y780根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式.解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得：，解之得：答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析.【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口.类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题7.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组.解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x 千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷y 千顶，由题意得：9,1.6 1.514x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：5,4x y =⎧⎨=⎩所以：1.6x =1.65=8, 1.5y =1.54=6答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷6千顶. 【变式1】 (2011年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽.如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？类型八：列二元一次方程组解决——数字问题8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数.思路点拨：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100x＋y问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为：100y＋x解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.依题意可得：，解得：答：这两个两位数分别为45，23.【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数.类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路点拨：本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝50；（2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比.解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取x kg , y kg.依题意得：，答：甲取20kg，乙取30kg法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10x kg和5y kg，则甲种酒精溶液含水7x kg，乙种酒精溶液含水y kg，根据题意得：，所以10x=20,5y=30.答：甲取20kg，乙取30kg总结升华：此题的第（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等.用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了.列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么.有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数.举一反三：【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效.用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？类型十：列二元一次方程组解决——几何问题10．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x、y的二元一次方程组.解：设长方形地砖的长xcm,宽ycm，由题意得：，答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm.总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解.举一反三：【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路点拨：解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁.今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程.解：设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得：，答：父亲现在30岁，儿子6岁.总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）.【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：12．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？思路点拨：如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题. 本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.解：方案一获利为：4500×140=630000(元).方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元).方案三获利如下：设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得：，解得：所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元).因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多答：方案三获利最多，最多为810000元.总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案.举一反三：【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？。

实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：20（x-y）=28014（x+y）=280解得：x=17，y=3答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，类型二：列二元一次方程组解决——工程问题【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.解：类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：①x+y=10②2000x+1500y=18000解得：x=6，y=4答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩(1380-1200)x+(1200-1000)y=60000解得x=200，y=120答：略类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）解：设2000的存款利率是X，则1000的存款利率是3.24%-X,则有:2000*X*(1-20%)+1000*(3.24%-X)*(1-20%)=43.92即：1600X+25.92-800X=43.92800X=18X=2.25%3.24%-2.25%=0.99%所以,2000的存款利率是2.25%,1000的存款的利息率是0.99%.法二：也可用二元一次方程组解。

二元一次方程应用题8种类型一、行程问题1. 题目- 甲、乙两人相距30千米，甲速度为x千米/小时，乙速度为y千米/小时，若两人同时出发相向而行，3小时后相遇；若两人同时同向而行，甲在乙后面，5小时后甲追上乙。

求甲、乙两人的速度。

2. 解析- 根据相向而行时，路程 = 速度和×时间，可得到方程3(x + y)=30，化简为x + y = 10。

- 根据同向而行时，路程差=速度差×时间，可得到方程5(x - y)=30，化简为x - y=6。

- 联立方程组x + y = 10 x - y = 6，将两式相加，2x=16，解得x = 8。

- 把x = 8代入x + y = 10，得y = 2。

二、工程问题1. 题目- 一项工程，甲队单独做需要x天完成，乙队单独做需要y天完成，两队合作需要6天完成；甲队单独做比乙队单独做少用5天。

求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？2. 解析- 把工作总量看作单位“1”，根据工作效率 = 工作总量÷工作时间，两队合作的工作效率为(1)/(6)，甲队工作效率为(1)/(x)，乙队工作效率为(1)/(y)，则(1)/(x)+(1)/(y)=(1)/(6)。

- 又因为甲队单独做比乙队单独做少用5天，所以y - x=5，即y=x + 5。

- 将y=x + 5代入(1)/(x)+(1)/(y)=(1)/(6)中，得到(1)/(x)+(1)/(x + 5)=(1)/(6)。

- 去分母得6(x+5)+ 6x=x(x + 5)，展开6x+30+6x=x^2+5x，移项化为一元二次方程x^2-7x - 30 = 0，因式分解(x - 10)(x+3)=0，解得x = 10或x=-3（天数不能为负舍去）。

- 当x = 10时，y=10 + 5=15。

三、利润问题1. 题目- 某商店购进甲、乙两种商品，甲商品进价为x元/件，乙商品进价为y元/件。

已知购进5件甲商品和4件乙商品共花费300元；甲商品每件售价20元，乙商品每件售价30元，全部售出后利润为100元。

二元一次方程组应用题分类型列方程 （组 ）解应用题的一般步骤 ：1、审：有什么，求什么，干什么；2、设：设未知数，并注意单位；3、找：等量关系；4、列：用数学语言表达出来；5、 解 ：解方程 （组 ）．6、 验 ：检验方程 （组）的解是否符合实际题意．7、 答 ：完整写出答案 （包括单位 ）． 列方程组思想：找出相等关系 “未知” 转化为“已知” .有几个未知数就列出几个方程， 所列方程必须满足：（1） 方程两边表示的是同类量； （2） 同类量的单位要统一； （3） 方程两边的数值要相等 . 类型：（1）行程问题：（2）（3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10 ）几何问题 ;（11 ）年龄问题 ; （12）优化方案问题、行程问题快行距+慢行距=原距 快行距-慢行距=原距顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度逆水（风）速度=静水（风）速度—水流（风）速度 顺速-逆速=2水速； 顺速+逆速=2船速顺水的路程=逆水的路程1、甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行， 1 小时20 分相遇 .相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回，在汽 车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？工程问题 ; 销售中的盈亏问题 ; 储蓄问题 ; 产品配套问题 ; 增长率问题 ; 和差倍分问题： 数字问题 ; 浓度问题 ;（1） 三个基本量的关系： 路程s=速度v X 时间t 时间t =路程s +速度V 速度V =路程s +时间t （2） 三大类型： ① 相遇问题： ② 追及问题： ③ 航行问题：2、两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用 14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

二、工程问题三个基本量的关系： 工作总量=工作时间X 工作效率；工作时间=工作总量十工作效率； 工作效率=工作总量十工作时间甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量， 注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“ 1”。

实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：20（x-y）=28014（x+y）=280解得：x=17，y=3答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，类型二：列二元一次方程组解决——工程问题【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.解：类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：①x+y=10②2000x+1500y=18000解得：x=6，y=4答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）解：设2000的存款利率是X，则1000的存款利率是3.24%-X,则有:2000*X*(1-20%)+1000*(3.24%-X)*(1-20%)=43.92即：1600X+25.92-800X=43.92800X=18X=2.25%3.24%-2.25%=0.99%所以,2000的存款利率是2.25%,1000的存款的利息率是0.99%.法二：也可用二元一次方程组解。

【初中数学】二元一次方程8种典型例题详解1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。

一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等。

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。

3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。

1.和差倍数问题知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。

典型例题：【思路点拨】由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。

变式拓展：【思路点拨】由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。

2.产品配套问题知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。

典型例题：【思路点拨】本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。

变式拓展：【思路点拨】根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。

3.工作量问题知识梳理我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1；工作量＝工作效率×工作时间；总工作量=每个个体工作量之和；工作效率=工作量÷工作时间(即单位时间的工作量)；工作效率=1÷完成工作的总时间。

实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：20（x-y）=28014（x+y）=280解得：x=17，y=3答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，类型二：列二元一次方程组解决——工程问题【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.解：类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：①x+y=10②2000x+1500y=18000解得：x=6，y=4答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？解：设x为第一种存款的方式，Y第二种方式存款，则X + Y = 4000X * 2.25％* 3 + Y * 2.7％* 3 = 303.75解得：X = 1500，Y = 2500。

二元一次方程应用题类型1.简介二元一次方程是数学中常见的方程形式，由两个未知数和一次项组成，具有许多实际应用。

本文将介绍几种常见的二元一次方程应用题类型，并分析解题方法。

2.题型分类2.1速度问题某人骑行一段路程，一段距离内以恒定速度前进，然后在剩余的距离内以不同的恒定速度前进。

已知两段速度和路程的关系，求解两段路程。

示例题：某人骑自行车从A地到B地，前半程以20k m/h的速度行驶，行驶了2小时到达一半的地方C，后半程以15km/h的速度行驶，行驶了4小时到达终点B。

求A地到B地的距离。

解题思路：设A地到B地的距离为Dk m。

根据题意，前半程的路程为D/2km，后半程的路程为D-D/2=D/2km。

根据速度等于路程除以时间的公式，可以得到以下方程组：```20=(D/2)/215=(D/2)/4```解以上方程组，可以得到D=120k m。

因此，A地到B地的距离为120k m。

2.2比例问题某业务员的工资由底薪和提成组成，已知底薪和提成的比例，以及完成的业绩，求解业务员的工资。

示例题：某业务员的底薪为2000元，提成按照销售额的10%计算。

某月该业务员完成的业绩是8万元。

求该业务员的工资。

解题思路：设该业务员的工资为S元。

根据题意，提成的金额为销售额的10%，即提成金额为8万元的10%。

因此，可以得到以下方程：```S=2000+0.1*80000```解以上方程，可以得到S=10000元。

因此，该业务员的工资为10000元。

2.3混合问题某化学试剂的成分由两种物质A和B组成，已知物质A和B的比例，以及混合后的质量，求解各种物质的质量。

示例题：某化学试剂由物质A和物质B组成，A和B的质量比为3:2。

已知将100克物质A和60克物质B混合后得到该试剂。

求物质A和物质B的质量。

解题思路：设物质A的质量为A克，物质B的质量为B克。

根据题意，可以得到以下方程组：```A/B=3/2A+B=160```解以上方程组，可以得到A=90克，B=70克。

初学二元一次方程组的应用，好多同学会遇到会解不会列的尴尬局面。

为此，特把二元一次方程组应用中常见的题型整理出来，希望能对同学们有所帮助。

类型一：行程问题例：甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后3小时相遇可列方程求解。

类型二：工程问题例：小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8类型三：商品销售利润问题例：李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？分析：由题意得出两个相等关系为：甲、乙两种蔬菜共10亩和共获利18000元，依次列方程组求解类型四：银行储蓄问题例：小明的爸爸为了给他筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱．第一种，一年期存取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期存取，这种存款银行利率为年息2.70%．三年后同时取出共得利息303.75元．问小明的爸爸两种存款各存入了多少元？分析：利用两种方式共计存了4000元钱以及两笔存款三年内共得利息303.75元得出等式求出即可类型五：生产配套问题例：现用190张铁皮做盒，一张可以做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子，问用多少张铁皮制盒身、多少张铁皮制盒底，可制成一批完整的盒子？分析：本题的等量关系是：制盒身的铁皮+制盒底的铁皮=190张；盒底的数量=盒身数量的2倍．据此可列方程组求解类型六：增长率问题例：某城市现有人口42万人．计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人中增加1.1%，这样全市人口得增加1%，求这个城市现有城镇人口和农村人口分别是多少人？分析：根据题意可得出的等量关系为：现有的城镇人口+现有的农村人口=42万，计划一年后城镇人口增加的数量+农村人口的增加的数量=全市人口增加的数量，然后列出方程组求解类型七：数字问题例：一个两位数的十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，求这个两位数字．分析：设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，列方程组求解类型八：几何问题用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边分别折3厘米，补较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？分析：设矩形的长为x，宽为y，则可得x-3=y+3，再由矩形的周长为48，可得出2（x+y）=48，联立方程组求解即可类型九：年龄问题例：今年，小李的年龄是他爷爷的1/5,小李发现，12年后，他的年龄变成爷爷的1/3,求今年小李的年龄．分析：通过理解题意可知本题的等量关系，12年之后他爷爷的年龄x1/3=12年之后小李的年龄．根据这两个等量关系，可列出方程，再求解类型十：方案优化问题例：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同类型的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场用9万元同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，求应购进甲、乙两种电视机各多少台？（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．试问：同时购进两种不同型号电视机的方案可以有几种（每种方案必须刚好用完9万元）？为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？并说明理由．分析：（1）本题的等量关系是：甲乙两种电视的台数和=50台，买甲乙两种电视花去的费用=9万元．依此列出方程求出正确的方案；（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方。