高斯投影及换带计算分解
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大地测量学第六章高斯投影及其计算
应用大地测量学
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
几种常见地图投影各自的特点及其分带方法
几种常见地图投影各自的特点及其分带方法高斯-克吕格（Gauss-Kruger）投影，是一种“等角横切圆柱投影”。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777一1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于1912年对投影公式加以补充，故名。
设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面。
然后将圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即获高斯一克吕格投影平面。
一、只谈比较常用的几种：“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影”1．墨卡托(Mercator)投影1.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种" 等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定，假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
“海底地形图编绘规范”（GB/T 17834-1999，海军航保部起草）中规定1：25万及更小比例尺的海图采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形图（1：5万，1：25万，1：100万）采用统一基准纬线30°，非基本比例尺图以制图区域中纬为基准纬线。
高斯投影6度和3度分带计算公式
高斯投影6度和3度分带计算公式高斯投影6度和3度分带计算公式什么是高斯投影6度和3度分带？•高斯投影是一种常用于大地测量和地图制图的投影方法。
根据地球的形状和表面特征，我们将地球划分成了若干个分带，每个分带的宽度为6度或3度。
•6度和3度分带指的是每个分带的经度跨度。
例如，6度分带就是每个分带的中央经线与相邻分带的中央经线之间跨越6度。
高斯投影6度和3度分带计算公式6度分带投影计算公式1.计算投影平面与地球经度的差值：L=λ−L02.计算弧长元素：N=a/√1−e2⋅sin2φ3.计算卯酉圈曲率半径：M=N⋅(1−e2)=a⋅(1−e2)/(1−e2⋅sin2φ)4.计算子午线弧长：A=(1+3e2/4+45e4/64+175e6/256+11025e8/16384)⋅N5.计算坐标系原点到点的子午线弧长：S=A−A06.计算纬度差：t=tanφ7.计算坐标Y轴偏移量：y=x⋅cosφ8.计算坐标X、Y（单位：m）：X=S−N⋅tanφ2⋅L2−N⋅tanφ24⋅(5−t2+9C2+4C4)⋅L4−N⋅tanφ720⋅(61−58t2+t4−270C2+330C4)⋅L6Y=N⋅L⋅cosφ1+N⋅L3⋅cosφ6⋅(1−t2+C2)+N⋅L5⋅cosφ120⋅(5−18t2+t4+14C2−58C4)3度分带投影计算公式1.计算投影平面与地球经度的差值：L=λ−L02.计算弧长元素：N=a/√1−e2⋅sin2φ3.计算卯酉圈曲率半径：M=N⋅(1−e2)=a⋅(1−e2)/(1−e2⋅sin2φ)4.计算子午线弧长：A=(1+3e2/4+45e4/64+175e6/256+11025e8/16384)⋅N5.计算坐标系原点到点的子午线弧长：S=A−A06.计算纬度差：t=tanφ7.计算坐标Y轴偏移量：y=x⋅cosφ8.计算坐标X、Y（单位：m）：X=S−N⋅tanφ2⋅L2+N⋅tanφ24⋅(5+t2+9C2+4C4)⋅L4−N⋅tanφ720⋅(61+90t2+45t4+46C2−252C4−90C6)⋅L6Y=N⋅L⋅cosφ1+N⋅L3⋅cosφ6⋅(1+2t2+C2)+N⋅L5⋅cosφ120⋅(5+28t2+24t4+6C2+8C4)示例解释假设我们需要计算某个点在高斯投影6度分带中的投影坐标。
高斯投影换带计算分解
虽计算量稍大，但由于计算机的普及和本法的通用性及计算 的高精度，它自然便成为坐标邻带换算中最基本的方法。
4、算例
某点P在1954北京坐标系6°带平面直角坐标为:
x1 =3589644.286m，y1 =20679136.438m
求P点在3°第40带的平面坐标 x2 , y2 。
➢ 根据 x1, y1 ,利用高斯反算公计算换算 (B, L) ，得到
3. 根据换带后新的中央子午线经度L0‘ ，计算相应的经差;
4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x'，y'。
反算公式 正算公式
3、高斯换带的优点
本质： 把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标:
平面坐标
大地坐标
平面坐标
这种方法,理论上最简明严密，精度最高，通用性最强。不 仅适用于6°-6°带，3°-3°带以及6°-3°带互相之间的邻带坐标换 算，且适用于任意带之间的坐标换算。
1） 3°带与6°带的中央子午 线重合
如图所示， 3°第41带与6° 带的第21带的中央子午线重 合，中央子午线经度均为 123°。既然中央子午线一致， 坐标系统也就一致。所以， 图中P1点在6°带第21带的坐 标，也就是该点在3°带第41 的坐标。在这种情况下， 6° 带与3°带不存在坐标换带的 计算问题。
邻带方里网： 如图所示：
规定：在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中。
三、换带的分类
当测区跨不同的投影带时，测图时测区中所有 控制点应采用同一投影带的坐标，位于不同投 影带的点应进行同一坐标系统（同一个椭球） 不同投影带之间的坐标换算：具体情况有以下 几种： 6°带坐标→相邻6°带坐标； 6°带坐标→3°带坐标； 3°带坐标→相邻3°带坐标； 6°带或3°带坐标→任意带坐标；
4、算例
某点P在1954北京坐标系6°带平面直角坐标为:
x1 =3589644.286m，y1 =20679136.438m
求P点在3°第40带的平面坐标 x2 , y2 。
➢ 根据 x1, y1 ,利用高斯反算公计算换算 (B, L) ，得到
3. 根据换带后新的中央子午线经度L0‘ ，计算相应的经差;
4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x'，y'。
反算公式 正算公式
3、高斯换带的优点
本质： 把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标:
平面坐标
大地坐标
平面坐标
这种方法,理论上最简明严密，精度最高，通用性最强。不 仅适用于6°-6°带，3°-3°带以及6°-3°带互相之间的邻带坐标换 算，且适用于任意带之间的坐标换算。
1） 3°带与6°带的中央子午 线重合
如图所示， 3°第41带与6° 带的第21带的中央子午线重 合，中央子午线经度均为 123°。既然中央子午线一致， 坐标系统也就一致。所以， 图中P1点在6°带第21带的坐 标，也就是该点在3°带第41 的坐标。在这种情况下， 6° 带与3°带不存在坐标换带的 计算问题。
邻带方里网： 如图所示：
规定：在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中。
三、换带的分类
当测区跨不同的投影带时，测图时测区中所有 控制点应采用同一投影带的坐标，位于不同投 影带的点应进行同一坐标系统（同一个椭球） 不同投影带之间的坐标换算：具体情况有以下 几种： 6°带坐标→相邻6°带坐标； 6°带坐标→3°带坐标； 3°带坐标→相邻3°带坐标； 6°带或3°带坐标→任意带坐标；
6 高斯投影及其计算
所以
∂f ∂f =i ∂l ∂q
∂x ∂y = ∂q ∂l
大地测量学基础
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
一、高斯投影的基本概念
横轴椭圆柱等角投影， 高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影 属于正形投影。 高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，属于正形投影。 x 世界上最先采用高斯投影的国家是奥地利和德国， 世界上最先采用高斯投影的国家是奥地利和德国，我国于 1952年正式决定采用高斯投影 年正式决定采用高斯投影。 1952年正式决定采用高斯投影。 N
200 1/2000
250 1/1300
300 1/900
大地测量学基础
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
三、高斯投影的分带
为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。 为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
L0 3° 9° 75° 81° 87° 93° 99° 105° 111° 117° 123° 129° 135°
2、引入等量纬度q，将x、y表为q、l的函数； 引入等量纬度q 表为q 的函数； x=f1（ ），y=f2 y=f2（ 取全微分， 3、对 x=f1（q，l），y=f2（q，l）取全微分，引入符号 E、F、G； 4、根据长度比m与方向A无关，a=b，得E=G； 根据长度比m与方向A无关，a=b， E=G； 5、由E=G、F=0得主要条件。 E=G、F=0得主要条件。 得主要条件
大地测量学基础
第一节 地图投影概念和正形投影性质
正轴投影——圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤 圆柱面中心轴与椭球短轴重合， 正轴投影 圆柱面中心轴与椭球短轴重合 道相切。 道相切。 横轴投影——圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某 圆柱面中心轴与椭球长轴重合， 横轴投影 圆柱面中心轴与椭球长轴重合 一子午圈相切。 一子午圈相切。 斜轴投影——圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位 圆柱面中心轴与椭球长、 斜轴投影 圆柱面中心轴与椭球长 短轴都不重合， 于两者之间。 于两者之间。
第16次课 高斯投影正反算与邻带换算
预习内容
6.4 高斯投影正反算与邻带换算
6.4 高斯投影正反算与邻带换算
一、高斯投影正算
Direct solution of the Gauss projection
1、公式推导 (Formula derivation)
投影方程
x（中央子午线 L0 )
l L L0
x F1 ( B, L) y F2 ( B, L)
n4
n5
1 dm3 4 dq
1 dm4 5 dq
m4
1 dn3 4 dq
m5
1 dn4 5 dq
一、高斯投影正算
引入高斯投影条件二：中央子午线投影为纵坐标轴
l 0, y 0
n0 m1 n2 m3 n4 m5 ...... m0 n1 m2 n3 m4 n5 ......
（二）、方法：
1 、直接法 2 、间接法
三、高斯坐标的邻带换算
（二）、方法：
1 、直接法: 利用相邻两带坐标之间关系式进行坐标互换（多种公式） 2 、间接法： 通过大地坐标进行高斯正反算互相换算（目前使用多）
东带：1 , y1 ) 反解 L, B) (x （ 对西带中央子午线经差 l ( L L0 ） （西带） (l , B) 正解 西带：（x2，y2）
n0 ?
m0 ?
dm0 n1 dq
1 dm1 n2 2 dq 1 dm2 n3 3 dq
m1
dn0 dq
m2
m3
1 dn1 2 dq
1 dn2 3 dq
n0 m1 n2 m3 n4 m5 ...... m0 n1 m2 n3 m4 n5 ......
高斯投影坐标计算
x m0 m 2 l 2 m 4 l 4 y m1l m3 l 3 m5 l 5
式中m0 , m1 , 是待定系数，它们都是纬度B的函数
2) 由第三个条件即正形投影条件可知
y x x y 和 l q l q
分别对l 和q求偏导数并代入上式得
2、高斯投影坐标反算公式
已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(B，L）的 问题称高斯投影坐标反算。 B 1 ( x, y) 函数式：
l 2 ( x, y)
同正算一样，对投影函数提出三个条件 (1) x (2) x (3) 正形投影条件。
1) 由第一个条件（x 坐标轴投影成中央子午线，是投 影的对称轴）可知
Bf为x值对应的底点纬度， tf ηf Mf Nf 均为底点纬度 的函数。
当l＜3.5°时，
上式换算精度达0.0001″
高斯投影反算公式的几何解释
B B f ( n2 y 2 n4 y 4 = Bf高斯投影坐标正算的数值公式 将75国际椭球参数代入前面推导的高斯计算公式， 经过一些简单变化，可得高斯投影正算公式。 高斯投影正算公式:
B 2 2 2 x 6367452 .1328 (a0 (0.5 (a4 a6l )l )l N ) cos B sin B y (1 (a3 a5l 2 )l 2 )lN cos B
实用公式的系数
N 6399596 .652 [21565 .045 (108.996 0.603cos2 B) cos2 B] cos2 B 2 2 2 a 32144 . 5189 [ 135 . 3646 ( 0 . 7034 0 . 0041 cos B ) cos B ] cos B 0 cos2 B) cos2 B 0.04167 a4 (0.25 0.00253 2 2 a ( 0 . 167 cos B 0 . 083 ) cos B 6 0.001123 cos2 B) cos2 B 0.1666667 a3 (0.3333333 a 0.00878 (0.1702 0.20382cos2 B) cos2 B 5
高斯投影及换带计算
测绘学院《大地测量学基础》课件
10
6.2 高斯投影概述（重点）
1、控制测量对地图投影的要求
1）等角投影（又称正形投影）
2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起 的改正数。
3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样 的计算公式和用表把各带联成整体 。
测绘学院《大地测量学基础》课件
8
• 3、中国各种地图投影：
1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方 位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割 圆锥投影。
• 2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正 轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投 影（宽带）。
• 3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时 期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯克吕格投影（解放以后）。
x F1(L, B) y F2 (L, B)
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上 的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平 面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差 异称作投影的变形
测绘学院《大地测量学基础》课件
4
长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
（1）该点位于6˚ 带的第几带？
（第19带）
（2）该带中央子午线经度是多少？
（L。=6º×19-3º=111˚）
（3）该点在中央子午线的哪一侧？
（先去掉带号，原来横坐标y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西侧）
（4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？
（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）
高斯投影及换带计算
测绘学院《大地测量学基础》课件
24
高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角 坐标系的异同点 ：
不同点： 1、 x，y轴互异。 2、 坐标象限不同。 3、表示直线方向的方位角
定义不同。 相同点：
数学计算公式相同。
测绘学院《大地测量学基础》课件
Ⅳx
o
Ⅲ
α Ⅰp
D
y
Ⅱ
x=Dcosα
y=Dsinα
高斯平面直角坐标系
y3
6N
3 f
cos
Bf
1
2t
2 f
2 f
y5
120N
5 f
cos
Bf
5
28t
2 f
24t
4 f
6
2 f
8
2 f
t
2 f
测绘学院《大地测量学基础》课件
30
3、高斯投影坐 标正反算公式的
几何解释 ：
①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且 为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴， 其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。
B B f
tf 2M f N f
y2
tf
24M
f
N
3 f
5
3t
2 f
2 f
9
2 f
t
2 f
y4
过所求点P作中央子午线的垂线，
tf
720M
f
N
5 f
y
61
90t
2 f
45t
4 f
y6
该垂线与中央子午线的交点的纬 度，称垂足纬度。其值由子午线 弧长计算公式反算求得。
高斯投影坐标计算
高斯投影坐标计算
本节要点提要
1、高斯投影坐标正算公式 2、高斯投影坐标反算公式 3、高斯投影坐标正算的数值公式 4、高斯投影坐标反算的迭代计算公式
地图投影的分类
• 按投影变形性质分类: 等角投影 等距投影 等积投影
a=b
• 按投影面分类 : 圆锥面 正轴投影 切投影
a=1 or b=1
圆柱(椭圆柱) 面 横轴投影 割投影
(1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影 条件。
高斯投影坐标正算
l =3／ρ=0.052
1) 由第一个条件（中央子午线投影后为直线） 可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即 中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子 午线。 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数。
由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式
d m d m d m 1 1 0 1 m m m = 2 1 2 3 d q 2 d q 3 d q
m0=?
３) 由第二条件（中央子午线投影后长度不变）可 知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应 该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。
Байду номын сангаас
a· b=1
平面投影 斜轴投影
• 按投影的中心轴线: • 按椭球面与投影面的切割情况分:
高斯投影特性（三个）： – 中央子午线投影后为一直线，且长度不变； 其它经线为凹向中央子午线的曲线，且长 度改变。 – 投影后，赤道为一直线，但长度改变，其 它纬线呈凸向赤道的曲线。 – 投影后，中央子午线与赤道线正交，经线 与纬度也互相垂直，即高斯投影为等角投 影。
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影 坐标正算公式精度为0.001m
本节要点提要
1、高斯投影坐标正算公式 2、高斯投影坐标反算公式 3、高斯投影坐标正算的数值公式 4、高斯投影坐标反算的迭代计算公式
地图投影的分类
• 按投影变形性质分类: 等角投影 等距投影 等积投影
a=b
• 按投影面分类 : 圆锥面 正轴投影 切投影
a=1 or b=1
圆柱(椭圆柱) 面 横轴投影 割投影
(1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影 条件。
高斯投影坐标正算
l =3／ρ=0.052
1) 由第一个条件（中央子午线投影后为直线） 可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即 中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子 午线。 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数。
由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式
d m d m d m 1 1 0 1 m m m = 2 1 2 3 d q 2 d q 3 d q
m0=?
３) 由第二条件（中央子午线投影后长度不变）可 知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应 该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。
Байду номын сангаас
a· b=1
平面投影 斜轴投影
• 按投影的中心轴线: • 按椭球面与投影面的切割情况分:
高斯投影特性（三个）： – 中央子午线投影后为一直线，且长度不变； 其它经线为凹向中央子午线的曲线，且长 度改变。 – 投影后，赤道为一直线，但长度改变，其 它纬线呈凸向赤道的曲线。 – 投影后，中央子午线与赤道线正交，经线 与纬度也互相垂直，即高斯投影为等角投 影。
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影 坐标正算公式精度为0.001m
高斯投影反算临带换算
Inverse Solution of Gauss Projection
① 公式推导
根据高斯投影的第二
个条件，将q、l展开为
y的幂级数（y值与椭 球的半径相比是一个 相对较小的数值）：
q l x y l q x y
q m '0 m '2 y2 m '4 y4 ..... l n '1 y n '3 y3 n '5 y5 ......
n '5
sec B f
120
N
5 f
5
28t
2 f
24t
4 f
2、高斯投影反算公式 (x，y ->L，B)
Inverse Solution of Gauss Projection
① 公式推导
可得q、l的具体表达式：
如何求B
q qf
t f sec Bf
2
N
2 f
y2 t f sec Bf
N
5 f
61
90t
2 f
45t
4 f
y6
''
''
l ''
N f cos Bf
y
6N
3 f
1
2t
2 f
2 f
y3
''
120
N
5 f
cos
Bf
5
28t
2 f
24t
4 f
6
2 f
8
2 f
t
① 公式推导
根据高斯投影的第二
个条件，将q、l展开为
y的幂级数（y值与椭 球的半径相比是一个 相对较小的数值）：
q l x y l q x y
q m '0 m '2 y2 m '4 y4 ..... l n '1 y n '3 y3 n '5 y5 ......
n '5
sec B f
120
N
5 f
5
28t
2 f
24t
4 f
2、高斯投影反算公式 (x，y ->L，B)
Inverse Solution of Gauss Projection
① 公式推导
可得q、l的具体表达式：
如何求B
q qf
t f sec Bf
2
N
2 f
y2 t f sec Bf
N
5 f
61
90t
2 f
45t
4 f
y6
''
''
l ''
N f cos Bf
y
6N
3 f
1
2t
2 f
2 f
y3
''
120
N
5 f
cos
Bf
5
28t
2 f
24t
4 f
6
2 f
8
2 f
t
高斯投影3度带计算公式
高斯投影3度带计算公式高斯投影是一种常用的地图投影方法，用于将地球表面的经纬度坐标转换为平面坐标。
高斯投影采用的是平行圆柱投影的形式，在不同的区域采用了不同的投影方式，这些区域被称为投影带。
高斯投影3度带是根据经度每3度划分一个投影带，适用于中国境内。
1.确定投影带：首先需要确定要计算的点所在的投影带。
高斯投影3度带的标准经度线是经度的倍数，例如北京所在的投影带的标准经度线为120度。
2.确定坐标原点：每个投影带都有自己的坐标原点，原点的纬度为0度，经度为标准经度线的整数倍。
例如，北京所在的投影带的坐标原点为北纬0度，东经120度。
3.计算纬度差值：将待转换的点的纬度与坐标原点的纬度之差转换为弧度表示。
纬度差值可以通过以下公式计算：ΔB=(B-B0)×π/180其中，B为待转换点的纬度，B0为坐标原点的纬度，π为圆周率。
4.计算子午线弧长：子午线弧长是指从赤道到待转换点所在纬度圈的弧长。
子午线弧长可以通过以下公式计算：L = (M1 - M0) × sin(ΔB) + M1 × ΔB其中，M0为坐标原点的子午线弧长，ΔB为前一步计算的纬度差值，M1为纬度圈的平均子午线弧长。
5.计算投影坐标：通过以下公式计算待转换点的高斯投影坐标：X = M + N × tnα × [1 + (E^2 × cos^2α / (1 - E^2))] × ΔL × ΔL / 2Y = Y0 + N × [tnα × ΔL × (1 + ΔL × ΔL × (1 - E^2) / 6) + ΔL × ΔL × ΔL × ΔL × ΔL × tnα × (5 - tn^2α + 9 × E1^2 + 4 × E1^4) / 120]其中，X和Y分别为待转换点的投影坐标，M为坐标原点的子午线弧长，N为卯酉圈的卯酉弧长，α为纬度圈的中央子午线倾角，ΔL为待转换点的经度与标准经度之差转换为弧度表示，E为椭球的第一偏心率，Y0为投影带的Y轴坐标原点，E1为椭球的第二偏心率。
高斯投影及换带计算讲解共52页文档
高斯投影及换带计算讲解
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
Байду номын сангаас
52
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
Байду номын сангаас
52
高斯投影及换带计算分解
测绘学院《大地测量学基础》课件
19
若已知某点的经度为L，则该点的6º 带的带号N由下式计算：
L N int( ) 1 6
若已知某点的经度为L，则该点所在 3º带的带号按下式计算：
L n （四舍五入） 3
测绘学院《大地测量学基础》课件 20
高斯平面直角坐标系的建立：
x轴 — 中央子午线的投影 y轴 — 赤道的投影 原点O — 两轴的交点
中央子午线 赤道 子午线 平行圈
x
O
y
15
（4） 除赤道外的其余纬线，投 影后为凸向赤道的曲线，并以赤 道为对称轴。 （5）经线与纬线投影后仍然保 持正交。 （6） 所有长度变形的线段，其 长度变形比均大于l。 （7）离中央子午线愈远，长度 变形愈大。
x
平行圈
赤道 子午线
O
y
中央子午线
测绘学院《大地测量学基础》课件
测绘学院《大地测量学基础》课件 18
按照6º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=6ºN－3º （N为6º带的带号） 例：20带中央子午线的经度为： L。＝6º× 20－3º＝117 º 按照3º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3º， 其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=3ºn （n为3º带的带号） 例：120带中央子午线的经度为 L。＝3º× 120＝360 º
不变。
测绘学院《大地测量学基础》பைடு நூலகம்件
14
3)、高斯投影的特点:
（1）中央子午线投影后为直 线，且长度不变。 （2） 除中央子午线外，其余 子午线的投影均为凹向中央 子午线的曲线，并以中央子 午线为对称轴。投影后有长 度变形。 （3） 赤道线投影后为直线， 但有长度变形。
高斯投影高斯投影正算公式
Direct Solution of Gauss Projection
① 公式推导 a)级数展开
展开条件：经差 l 不大，在0～3.5°（0.061rad）
以内，展开后的形式（ l的幂级数 ） ：
xm0m1lm2l2m3l3m4l4..... yn0n1ln2l2n3l3n4l4......
由于展开点为P0（B， 0），则式中待定系数是等量 纬度q（或大地纬度B）的函数
纬线投影为平 行直线，经线 投影为与纬线 垂直而且间隔 相等的平行直 线，两经线间 的距离与相应 的经差成正比。
x f
y c
a dx Rd
b cd rd
dx c Rd r
dx c d cos
x
c
ln
tan
45
2
y c m c r
c=R切圆柱投影
如为椭 球呢？
② 高斯投影的几何概念高－斯等投角影横平切面椭圆柱投影
－
两带坐标重叠40km相
当于的经差22′。
3、高斯平面直角坐标系
Gauss Plane Rectangular Coordinate System
① 定义
x
纵坐标轴x：中央子午线的投
影线；
横坐标轴y：赤道的投影线；
o
y
原点o：中央子午线与赤道的
交点的投影点；
② 自然坐标与通用坐标
500km 中央子午线投影
④ UTM
长度比0.9996的选 择可以使6°带的 中央经线与边缘经 线的长度变形的绝 对值大致相等；
两条无长度变形的 割线的位置距中央 经线以东以西各 180km，相当于经 差约± 1°40′。
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
① 公式推导 a)级数展开
展开条件：经差 l 不大，在0～3.5°（0.061rad）
以内，展开后的形式（ l的幂级数 ） ：
xm0m1lm2l2m3l3m4l4..... yn0n1ln2l2n3l3n4l4......
由于展开点为P0（B， 0），则式中待定系数是等量 纬度q（或大地纬度B）的函数
纬线投影为平 行直线，经线 投影为与纬线 垂直而且间隔 相等的平行直 线，两经线间 的距离与相应 的经差成正比。
x f
y c
a dx Rd
b cd rd
dx c Rd r
dx c d cos
x
c
ln
tan
45
2
y c m c r
c=R切圆柱投影
如为椭 球呢？
② 高斯投影的几何概念高－斯等投角影横平切面椭圆柱投影
－
两带坐标重叠40km相
当于的经差22′。
3、高斯平面直角坐标系
Gauss Plane Rectangular Coordinate System
① 定义
x
纵坐标轴x：中央子午线的投
影线；
横坐标轴y：赤道的投影线；
o
y
原点o：中央子午线与赤道的
交点的投影点；
② 自然坐标与通用坐标
500km 中央子午线投影
④ UTM
长度比0.9996的选 择可以使6°带的 中央经线与边缘经 线的长度变形的绝 对值大致相等；
两条无长度变形的 割线的位置距中央 经线以东以西各 180km，相当于经 差约± 1°40′。
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
高斯投影及分带介绍
高斯投影及分带介绍2011年09月29日星期四 10:17高斯坐标即高斯-克吕格坐标系（1）高斯-克吕格投影性质高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichGauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。
投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。
取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。
（2）高斯-克吕格投影分带按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。
分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。
通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。
六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2 (60)带。
各种投影转化的算法公式
各种投影转化的算法公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。