函数的对称性PPT讲稿
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函数的周期性和对称性PPT课件
13
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
12
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
12
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
函数的对称性(课堂PPT)
f(x)=f(4-x)
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
8
（代数证明） 求证
F(a-x)+F(a+x)=2b
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
18
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
8
（代数证明） 求证
F(a-x)+F(a+x)=2b
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
18
高中数学课件-函数的周期性与对称性
（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；
（2）试求方程f（x）＝0在闭区间
［－2005，2005］上的根的个数，并证 明你的结论.
课后练习 1，已知函数f(x)图象如图所示，则f(x)=( )
A, x2 2 | x | 1
B,x2-2|x|+1 C,|x2-1|
D, x2 2x 1
答案A
2、已知函数y=|x+1|-|x-2|画出其图象， 说明它关于哪个点对称（不必证明），并 指出函数的最值。
2、函数y f (x)满足f (a x) f (a x) 0
函数y f (x)的图像关于点 (a,0)对称.
3、函数y f (x)满足f (a x) f (b x) 0 函数y f (x)的图像关于点(a b ,0)对称. 2
4、函数y f (x)满足f (a x) f (b x) c 函数y f (x)的图像关于点( a b , c )对称. 22
3、已知定义在（-∞，+∞）上的奇函数 f(x)的图象关于x=1对称。⑴求f(0);⑵若 0≤x≤1时，f(x)=x,求x∈[-1,3]时，f(x)的解 析式
则 f (15.5） ———。
2.已知定义域为R的偶函数f(x)满足 f(-x+3) = f(x)，且f(1)= -1，则 f (5) + f (14) =__________.
3.定义在R上的偶函数f（x）满足f (x 1) f（x 1）， 当0 x 1时，f（x） x2，则y f（x）- log5x的零点的个数？
【例1】已知函数f（x）的定义域为R，则 判断下列命题:
①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的 图象关于直线x＝2对称；
②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x） 的图象关于原点对称；
（2）试求方程f（x）＝0在闭区间
［－2005，2005］上的根的个数，并证 明你的结论.
课后练习 1，已知函数f(x)图象如图所示，则f(x)=( )
A, x2 2 | x | 1
B,x2-2|x|+1 C,|x2-1|
D, x2 2x 1
答案A
2、已知函数y=|x+1|-|x-2|画出其图象， 说明它关于哪个点对称（不必证明），并 指出函数的最值。
2、函数y f (x)满足f (a x) f (a x) 0
函数y f (x)的图像关于点 (a,0)对称.
3、函数y f (x)满足f (a x) f (b x) 0 函数y f (x)的图像关于点(a b ,0)对称. 2
4、函数y f (x)满足f (a x) f (b x) c 函数y f (x)的图像关于点( a b , c )对称. 22
3、已知定义在（-∞，+∞）上的奇函数 f(x)的图象关于x=1对称。⑴求f(0);⑵若 0≤x≤1时，f(x)=x,求x∈[-1,3]时，f(x)的解 析式
则 f (15.5） ———。
2.已知定义域为R的偶函数f(x)满足 f(-x+3) = f(x)，且f(1)= -1，则 f (5) + f (14) =__________.
3.定义在R上的偶函数f（x）满足f (x 1) f（x 1）， 当0 x 1时，f（x） x2，则y f（x）- log5x的零点的个数？
【例1】已知函数f（x）的定义域为R，则 判断下列命题:
①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的 图象关于直线x＝2对称；
②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x） 的图象关于原点对称；
高中数学—函数的对称性与周期性—完整PPT
函数的对称性与周期性
函数的轴对称
函数的点对称求函数对Βιβλιοθήκη 后的解析式对称轴或对称中心
原函数
对称函数
原点
对称的两函数
对称轴或对称中心
两函数关系式
原点
同一函数的对称性
对称轴或对称中心
函数满足的关系式 无
原点
无
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
函数的轴对称
函数的点对称求函数对Βιβλιοθήκη 后的解析式对称轴或对称中心
原函数
对称函数
原点
对称的两函数
对称轴或对称中心
两函数关系式
原点
同一函数的对称性
对称轴或对称中心
函数满足的关系式 无
原点
无
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
高三函数的周期性与对称性课件
函数的周期性
周期性的概念
周期函数以固定的周期重复数具有平移、拉伸和反射等性质。
周期函数的图像
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，呈现周期性 变化。
周期函数应用举例
周期性在声波、光波、电信号等现象中具有重要应 用。
函数的对称性
1
偶函数和奇函数的定义
偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称。
2
偶函数和奇函数的性质及图像
偶函数具有对称图像，奇函数具有关于原点对称的图像。
3
偶函数、奇函数和周期函数的关系
周期函数可以同时具有偶函数和奇函数的对称性。
4
对称函数应用举例
对称函数在几何学、计算机图形学和物理学等领域有广泛应用。
综合应用
1 生活实际
通过例子，说明周期性和对称性在人类身边的生活中的应用，如音乐、绘画、建筑等。
高三函数的周期性与对称 性课件
介绍高三函数的周期性和对称性的重要性和应用场景。探讨函数的周期性和 对称性的概念及性质，并能够熟练地解决相关题型。
概述
重要性
了解函数的周期性和对称性有助于解决复杂的函数问题，提高数学应用能力。
应用场景
周期性和对称性在自然科学、经济学、工程学等领域有广泛应用。
目标
介绍本课程的学习目标和内容，准备学生理解函数的周期性和对称性。
2 经济
探索周期性和对称性在经济领域的应用，如经济周期、周期性的经济指标预测等。
3 科学
介绍周期性和对称性在自然科学和工程学中的应用，如周期性震动、交流电等。
总结
通过本课程的学习，你将掌握函数的周期性和对称性的概念及性质，并能够灵活地运用于解决实际问题。
函数的对称性ppt课件
(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是
偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是
A.f(－1)<f(1)<f(2)
B.f(1)<f(2)<f(－1)
C.f(2)<f(－1)<f(1)
D.f(－1)<f(2)<f(1)
√
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝
则 + = ．
【答案】6
【解析】设函数 图象的对称中心为 , ，则有2 = + (2 − )，
即2 = 3 − 9 2 + 29 − 30 + (2 − )3 − 9(2 − )2 + 29(2 − ) − 30，
整理得2 = (6 − 18) 2 − (122 − 36) + 83 − 362 + 58 − 60，
所以 = 2 ．
故答案为 = 2 ．
题型三
例3
两个函数图象的对称
已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)
的图象
√
A.关于直线x＝1对称
B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称
D.关于点(3,0)对称
跟踪训练3
A.y＝ex－1
√
C.y＝e2－x
A
B
考点2 函数的对称性
一。函数的图象自对称性
函数y=f(x)图象关于直线x=a对称⇔f(2a-x)=f(x)
函数y=f(x)图象关于点(a,b)中心对称 ⇔f(2a-x)+f(x)=2b
函数的对称性课件高三数学一轮复习
(2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点
+
，
2
2
成中心对称．
(2)双曲线型函数f
+
(x)＝
的图象的对称中心为
+
− ，
.
第4课时 函数的对称性
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
2．(1)若函数f (x)满足f (2－x)＋f (x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(
C．原点对称
)
D．直线y＝x对称
[因为f (x)＝x3＋x为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．故选C.]
2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y
＝
1
的图象之间的关系是(
3
A．关于x轴对称
C．关于原点对称
B [因为y＝
)
B．关于y轴对称
D．关于直线y ＝x对称
5
，
2
−
1
2
对称，
5
1
则x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝ ×2＝5，y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝－ ×2＝－1，
2
2
+
所以
＝5× ＋(－1)× ＝2n.故选C.]
2
2
=1
第4课时 函数的对称性
链接教材
典例精研
夯基固本
核心考点
课时分层作业
名师点评 中心对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔2b－f (x)＝f
+
，
2
2
成中心对称．
(2)双曲线型函数f
+
(x)＝
的图象的对称中心为
+
− ，
.
第4课时 函数的对称性
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
2．(1)若函数f (x)满足f (2－x)＋f (x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(
C．原点对称
)
D．直线y＝x对称
[因为f (x)＝x3＋x为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．故选C.]
2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y
＝
1
的图象之间的关系是(
3
A．关于x轴对称
C．关于原点对称
B [因为y＝
)
B．关于y轴对称
D．关于直线y ＝x对称
5
，
2
−
1
2
对称，
5
1
则x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝ ×2＝5，y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝－ ×2＝－1，
2
2
+
所以
＝5× ＋(－1)× ＝2n.故选C.]
2
2
=1
第4课时 函数的对称性
链接教材
典例精研
夯基固本
核心考点
课时分层作业
名师点评 中心对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔2b－f (x)＝f
函数及其应用函数的奇偶性对称性与周期性课件理ppt
利用函数的对称性和周期性解决实际问题，如物理学中的振动问题、对称问题等。
利用函数的对称性和周期性解决数学问题，如代数、几何等领域的问题。
函数对称性和周期性的应用举例
知识点回顾与总结
05
函数的概念及定义
函数的表示方法
函数的奇偶性、对称性与周期性
本章重点回顾
对于函数的奇偶性、对称性和周期性的判断和应用，有些学生可能感到困难。这是因为这些性质比较抽象，需要较强的数学素养和推理能力。
奇函数
对于函数f(x)，如果对于任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就是偶函数。
偶函数
奇函数与偶函数
对称性
若对于任意的x1，x2∈D，都有f(x1)=f(x2)，则称f(x)在D上具有对称性。
反对称性
若对于任意的x1，x2∈D，当且仅当x1=x2时，才有f(x1)=f(x2)，则称f(x)在D上具有反对称性。
练习题
题目1答案偶函数奇函数偶函数题目2答案$x<0$时，$f(x)$是减函数，所以$f(x)<0$当$x<0$时，$f(x)$是增函数，所以$f(x)<0$题目3答案$f(4.5)+f(5.5)+f(6.5)+f(7.5)=sin4.5+sin5.5+sin6.5+sin7.5=0$$f(4.5)+f(5.5)+f(6.5)+f(7.5)=cos4.5+cos5.5+cos6.5+cos7.5=2$
对称性与反对称性
周期性
若存在常数T，使得对于任意的x∈D，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)在D上具有周期性，T为f(x)的周期。
非周期性
函数的对称性课件高一上学期数学人教A版
典例精析
B
高中数学必修第一册
典例精析
B
高中数学必修第一册
知识小结
高中数学必修第一册
典例精析
3
高中数学必修第一册
典例精析
3
高中数学必修第一册
3.2.2 函数的对称性
高中数学必修第一册
问题探究
高中数学必修第一册
问题探究
高中数学必修第一册
问题探究
高中数学必修第一册
知识小结
1.函数图象关于直线对称 在定义域内恒满足的条件
的图象的对称轴
高中数学必修第一册
知识小结
1.函数图象关于点对称 在定义域内恒满足的条件
的图象的对称中心
高中数学必修第一册
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f (x)有怎样的对称关系式？
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
f(x)=f(2a-x)
证明： （必要性）
分析： 任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)
？若点P关于直线x=a的对称点P’ 也在f(x)图像上．
P’
P(x0,y0)
则由P的任意性可知
y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点 都在y=f(x)图像上
f(1+x)= f(3-x) f(2+x)= f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称
Y
f(x)= f(-2-x)
-2-x
-3 -2 -1 x=-1
x
x
12 3 4 5 67 8
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称
F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x)
x=a
a F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
函数 f图(x像)关于 轴对x称 a
证明： （必要性）
f (a x) f (a x) x D
-3 -2 xx-1x
1xx x 2 3 4 5 6
-x
-3 -2 -1
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a+x)+F(a-x)=0
a
函数图像关于(a,0)中心对称
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
-x x
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
F(-x)=-F(x) 函数图像关于(a,0)中心对称
函数的对称性课件
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=F(x)图像关于直线x=0对称
Y
从”数”的角度看， F(-x)=F(x)
F(1) F(1) F(2) F(2)
F(x) F(x)
-x
x
-3 -2 -1
X
12 3 4 5 67 8
x0
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称
已知
f(x)=f(2a-x)
() 在y=f(x)图像上任取一点P
若点P关于直线x=a的对称点P’
P’
P(x0,f(x0))
P’(2a-x0,f(x0))
? 也在f(x)图像上
2a-x0
x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称
x
12
f (6 x) f (6 x)
F(1) F(1) F(2) F(2)
F(x) F(x)
f (5) f (7) f (4) f (8)
f (6 x) f (6 x)
f (x)
-x
x
-3 -2 -1
12 3 4 5 67 8
x 6
x0
x6
思考？若函数 图f像(x关)于 轴对称x， a
F(-x)+F(x)=0
y
-x
o xa
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0
y
2a-x o
x
a
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
则函数图像关于点
(
a+,bC 2
)对称
☺ 知识内容： 函数图像的对称性
y=F(x)图像关于x=a轴对称
对称关系式
F(x)=F(2a-x)
F(a-x)=F(a+x)
y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称
F(x)+F(2a-x)=2b
F(a-x)+F(a+x)=2b
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
从”数”的角度看，
y
f(1)= f(3)
f(0)= f(4)
f (x)
f(-2)= f(6)
4-x
-3 -2 -1 0
12 3
x2
f(310)= f(4-310)
f(x)= f(4-x)
x
x
4567 8
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称
Y
f (x)
从”数”的角度看，
f(x)= f(4-x)
Y
f(x)= f(-2-x) f(-1+x)= f(-1-x)
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
x
12 3 4 5 67 8
x=-1
猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)= f(a+x)
xa
（代数证明） 已知
y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
() 在y=f(x)图像上任取一点P
P’ 2a-x0
P(x0,f(xP’的坐标应满足y=f(x) x0
P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
也在f(x)图像上
（代数证明） 求证
y=f(x)图像关于直线x=a对称
b
a-x o
a+x
a
x
类比探究
中心对称性
y=F(x)图像关于(a,b)中心对称
F(x)+F(2a-x)=2b
F(a+x)+F(a-x)=2b
y
b
o
a
x
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,
点 ( a+,b0 )
则函数图像关于 2 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,
知识迁移：
已知对任意x，有f(x+2)=f(-x),
当x [2,3]，y=x
求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
谢谢!
奇函数
函数图像关于(0,0)中心对称 F(-x)=-F(x)
即：F(-x)+F(x)=0
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
xa
则y=f(x)图像上图象关于x=a对称 P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)
Y0=f(2a-x0)
函数图像关于直线x=0对称
函数图像关于(0,0)中心对称
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x)
f(a-x)=f(a+x)
特例：a=0
xa
y=f(x)图像关于直线x=0对称
f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),
则函数图像关于
直线对称x=
a+b 2
类比探究
从”形”的角度看， y=F(x)图像关于(0,0)中心对称
中心对称性 从”数”的角度看，