高中数学新课程创新教学设计案例直线与平面垂直

《直线与平面垂直的判定》教学设计一．教材分析直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况．它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，同时它也为研究线面角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容进行了必要的知识准备．因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容．本节课主要研究了直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们初步应用，在此过程中蕴含着丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想．判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务．二．学情分析从学生已有的认知基础来看，学生已经学习了空间中的平行关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.从学生能力来看，学生学习的困难主要有以下两个：1．理解直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比较困难的．所以在设计教学时，首先通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性．2．用定义去判定直线与平面垂直是不方便的，如何在较短的时间内，让多数学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这需要一个较好的载体，去引导学生探究直线与平面垂直的判定定理，同时完成对定理条件的确认．所以，在教学过程中，通过折纸试验，精心设置问题，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．并且引导学生通过操作、摆出反例模型，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．三．目标分析教学目标：1．通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能对它们进行简单的应用.2．通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用.3．让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.并渗透事物间相互转化和理论联系实际的辨证唯物主义观点.教学重难点：教学重点是直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用．教学难点是对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．四．教学策略本课在设计上采用了由感性到理性、从具体到抽象的教学策略.同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点.教法:问题引导、启发探究和归纳总结相结合学法:教学手段:教学流程：五．教学过程Ⅰ．创设情境生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？①如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等.②将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系.活动设计：学生举例,教师通过PPT，展示生活中一些线面垂直的例子，引导学生观察直线与平面垂直的情况.【设计意图】从实例到图片，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备.数学源于现实，从日常生活中碰到的的问题，引导学生对实际问题进行数学抽象，激发学生学习兴趣和求知欲，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.Ⅱ．观察归纳自主探究Array（1）直线与平面垂直的定义请同学们回忆一下圆锥的形成过程.我们经常说“立竿见影”．在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子．如果某一时刻，你发现竿与影所成的角不是直角，是否可以断定竿发生了倾斜？问题1：①竿所在直线和地面影子所在直线是什么位置关系?②竿所在直线和地面内任意一条直线是什么位置关系?问题2：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？由此你能得到什么启发，你觉得怎样能用你学过的知识给出线面垂直的定义.定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直,记作：lα⊥,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线l与平面α垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.活动设计：多媒体演示：①圆锥的形成过程；②旗杆与它在地面上影子的位置变化.【设计意图】结合几何直观感知，学生就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义并让学生体会到线面垂直的本质是直线与平面内任意一条直线垂直.问题3：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？②如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线是否与这个平面内的任何直线都不垂直? ③如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？ 【设计意图】在问题3中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题：通过对概念的辨析,深化理解,同时得到线面垂直的一个性质. （2）直线与平面垂直的判定定理探究:准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触）问题4：①如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面α垂直？②由折痕AD BC ⊥，翻折之后垂直关系，即AD CD ⊥，AD BD ⊥发生变化吗？由此你能得到什么结论？定理：与此平面垂直.用符号语言表示为：【设计意图】引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的判定定理．让学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性.由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理.因而在探索直线与平面垂直判定定理过程中，安排学生动手实验，讨论交流、为便于b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα图1D CA B图2DBAααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,Cab\αmnAB C D αAA 'BB 'C 'DD '学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，并通过问题让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力.思考：如图，有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂有两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把 它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上),C D .如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 练一练:1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两条边； ②梯形的两条边； ③圆的两条直径； ④正六边形的两条边．试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由. 2.判断正误:如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ( )Ⅲ．数学运用 深化认识例题: 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．证明：在平面α内作两条相交直线m ，n ． 因为直线a α⊥，根据直线与平面垂直的定义知,a m a n ⊥⊥．又因为b ∥a 所以m b ⊥，n b ⊥．又因为α⊂m ，α⊂n ，m ，n 是两条相交直线， 所以α⊥b ．如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直．练一练：1.如图，空间中直线l 和三角形的两边AC ,BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是（ ）A .平行B .垂直C .相交D .不确定2.探究：如图，直四棱柱////ABCD A B C D -（侧棱与底 面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD 满足什么 条件时,///A CB D ⊥？AVBC K【设计意图】通过对例题和习题的探究，培养学生的正、逆向思维能力，强化学生灵活运用线面垂直的定义和判定定理进行线线垂直和线面垂直之间转化的能力. 同时，例题为我们提供了判定线面垂直的又一种方法. Ⅳ．回顾反思 拓展延伸课堂小结:线面垂直的定义线 线面垂直的判定定理作业布置：1.判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）正方体''''ABCD A B C D -中，棱'BB 和底面ABCD 垂直．（2）正三棱锥P ABC -中，M 为棱BC 的中点，则棱BC 和平面PAM 垂直．2.如图，圆O 所在一平面为α，AB 是圆O 的直径，C 是 圆周上一点,且PA AC ⊥, PA AB ⊥,求证： （1）PA BC ⊥； （2）BC ⊥平面PAC ；（3）图中哪些三角形是直角三角形.3.如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =．求证：VB AC ⊥．D'B'DBAM PABA C EF K V 线线垂直线面垂直如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．变式引申 如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =，K 是AC 的中点．若E 、F 分别是AB 、BC 的中点，试判断直线EF 与平面VKB 的位置关系．【设计意图】小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一 方面，更是对探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训.六．板书设计。

高中数学优秀教案线面垂直
课型：新授课
教学目标：
1. 理解线面垂直的概念；
2. 能够判断线段和平面是否垂直；
3. 能够应用线面垂直的性质解决实际问题。

教学重难点：
1. 线面垂直的性质；
2. 如何判断线段和平面是否垂直。

教学准备：
1. 教材《高中数学》相关教学内容；
2. 板书、彩色粉笔、投影仪；
3. 实物模型：线段、平面。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师向学生展示实物模型，让学生观察线段和平面的相互关系，引出线面垂直的概念。

二、讲解（15分钟）
1. 带领学生理解线面垂直的性质，并讲解判断线段和平面是否垂直的方法；
2. 通过例题分析，帮助学生掌握线面垂直的应用技巧。

三、练习（20分钟）
1. 分发练习题，让学生独立完成；
2. 随堂检测，及时纠正学生的错误。

四、拓展（10分钟）
教师展示一些拓展性的问题，激发学生兴趣，引导学生深入思考线面垂直的相关问题。

五、总结（5分钟）
对本节课所学内容进行总结，并对学生提出的问题进行解答。

六、课后作业
布置相关的课后作业，巩固所学知识。

教学反思：
1. 本节课注重引导学生理解线面垂直的性质，并通过实际问题让学生应用所学知识；
2. 在练习环节要及时纠正学生的错误，以确保他们正确掌握线面垂直的判断方法；
3. 在拓展环节要精心设计问题，引导学生拓展思维，培养他们的解决问题能力。

《直线与平面垂直的判定》教学设计一、教学内容分析本节课选自高中数学新人教版必修2A版第二章，“2.3.1直线与平面垂直的判定”第一课时.主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。

其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化,它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！本节课中，学生将按照“直观感知-操作确认-归纳总结"的认知过程展开学习，对大量图片、实例的观察感知，概括出线面垂直的定义;对实例、模型的分析猜想、折纸实验,发现线面垂直的判定定理.学生将在问题的驱动下,进行更主动的思维活动，经历从现实生活中抽象出几何图形和几何问题的过程，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用，发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生质疑思辨、创新的精神。

二、学生情况分析所教学生是石嘴山市光明中学理科普通班高二（17）班的学生，他们在数学的学习中，有一定的兴趣。

在初中学生已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，在高中学习了直线、平面平行的判定定理,对空间概念建立有一定的基础.但是，学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。

三、教学目标设计【设计意图】结合《课程标准》以及学生考虑到学生的接受能力、和课堂容量等情况,提出本节课的目标如下：1、通过直观感知、操作确认,归纳出线面垂直的判定定理；2、能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

这些目标的提出以知识为载体，在训练中提升学生的能力，为学生的进一步发展做好基础。

【教学目标】1、通过对视频、图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义,并能正确理解直线与平面垂直的定义。

2、通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

3、让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

2019年7月高中《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：“数学学科素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些数学学科核心素养既相对独立，又相互交融，共同组成了一个有机的整体.”由此可见，数学核心素养应该成为高中数学课程目标的基本体现，是学生个体终身发展以及社会需要的基本素质和必备品质.笔者认为，数学核心素养首先要落实到课堂教学设计上，从而让课堂成为学生核心素养成长的土壤.本文以“直线与平面垂直的判定”新授课的教学设计为例，分享笔者的实践与思考.一、过渡语言的设计如果将一节课比作成一场观众期待的春节联欢晚会，那么课堂过渡语言就是晚会主持人的串词.一节课常常有多个知识点，如何做到“无缝对接”，使得教学过程自然流畅，这是教学设计中必须要考虑的一个重要问题.在“直线与平面垂直的判定”这节课中，如何从直线与平面垂直的定义“直线与平面内任意一条直线垂直”过渡到直线与平面垂直的判定的探究，笔者在这节课中是这样设计的：我们知道直线与平面内任意一条直线垂直，则直线就与这个平面垂直.这是直线与平面垂直的定义，肯定可以作为直线与平面垂直的判定.但你觉得这样去判断，方不方便呢？不方便的地方在哪里？那么一个自然的想法就是：减少直线的条数.减少到几条合适呢？授课时发现，通过这几句话的过渡，学生的积极性一下子就被调动了起来，探究直线与平面垂直的判定的热情明显高涨.二、教学问题的设计培养学生的数学核心素养，关键在于培养学生会思考.而思考当然是以问题为牵引，因此课堂设计常常要对关键性问题的提出进行斟酌.问题何时提？问题怎么提？问题提到什么程度？这些都是教师需要再三思量的.在“直线与平面垂直的判定”一节中，笔者通过投影天安门城楼升国旗的背景，让学生观察旗杆与地面上的影子的关系，从而抽象地概括出线面垂直的定义.为了达到预期的课堂教学效果，笔者设计了如下三个问题，进而让学生进行环环相扣的思考.（1）在阳光的照射下，旗杆AB 与它在地面上的影子互相垂直吗？（2）随着太阳的移动，显然影子也会跟着发生变化.请问：旗杆AB 还与它的影子互相垂直吗？（教师通过电脑动画展示，旗杆AB 始终与地面内过B 的任意一条直线垂直，也就是旗杆AB 始终与它的影子垂直）（3）旗杆AB 与地面内不经过B 的直线也相互垂直吗？为什么会这样呢？通过以上三个问题的设计与引导，学生很容易发现旗杆在与地面垂直的情况下，旗杆会与地面上的任何一条直线互相垂直，进而抽象地概括出了直线与平面垂直的定义，从而形成了本节课的核心概念.数学抽象是六大数学核心素养之首，它是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展和应用的过程中.通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验.通过上面问题的设计，能让学生顺利抽象出线面垂直这一核心概念，为了进一步巩固这一概念，笔者又设计了如下两个问题让学生进行辨析.（1）如图1，直线l 与平面α垂直吗？（显然不垂直，学生很容易找到一条直线与l 不垂直）（2）如图2，平面α内能找到直线与l 垂直吗？能找到几条呢？无数条可以吗？基于数学核心素养的课堂设计———以直线与平面垂直的判定为例筅江苏省清河中学王新明教材教法教学导航162019年7月高中图2图1通过设计这两个问题，让学生从正反两个方面来巩固对线面垂直定义的掌握.尽管直线与平面内无数条直线都垂直，但直线与平面并不一定垂直.由此可见，直线与平面垂直定义中的“任意”不可以改为“无数”，同时也为进一步探索直线与平面垂直的判定定理做好铺垫.三、课堂探究的设计课堂探究是指学生围绕着某个数学问题自主探索、学习的过程.课堂探究是课堂设计中非常重要的环节，因为真正的数学教育应当是数学知识再发现的教育.为此，笔者选择三角形折叠探究实验，让学生动手操作并确认线面垂直的判定定理.笔者紧扣判定定理所需的条件将折纸实验分成如下三步，并设置了三个问题：怎么折（明确垂直关系）、怎么展（明确两相交直线）、怎么放（明确两相交直线在平面内），然后让学生自主探究直线与平面垂直的判定定理，鼓励学生将上述探究所得的结论用数学语言表述出来，经讨论后规范呈现.鉴于教材中没有给予判定定理的证明方法，笔者借助定义让学生加深对线面垂直的判定定理的认同感，培养其理性精神.有了前面圆锥的形成作为铺垫，学生容易得到折痕AD 与桌面内的任意一条过点D 和不过点D 的直线都垂直，从而与桌面垂直，最终完成定理的教学.值得强调的是，引导学生归纳出线面垂直的判定定理之后，应及时告知学生这是用不完全归纳法得到的，严格来说是需要进行证明的.只是教材在这个地方没有给出，在我们学习向量之后是可以进行证明的.这也恰恰说明了数学具有形式性和经验性的双重特点.正如波利亚所指出的：“一方面，数学是欧几里得式的严谨科学，从这方面来看，数学像是一门严谨的演绎科学；但另一方面，数学像是一门试验性的归纳科学.”我们要让学生在学习数学的过程中认识到数学的这两个方面的特点，既强调抽象归纳，又重视演绎推理.总之，课堂探究的设计是一门高深的学问.它不仅仅是探究实验或问题本身的设计，还包括对其呈现方式、利用方式、实验预设、连锁反应、推广应用等一系列的问题的探究.四、题组变式的设计著名的数学家陈省身先生说过：“数学的确好玩，它就像一个花园，你在外面看看也许不起眼，可是你一旦走进去就会发现那是一个奇妙而美丽的世界.”高中数学课堂如果在教师的精心设计下，如水乳交融一般，则让学生有更多体验成功的机会和平台，从而使学生的思维变得更加活跃.数学课堂可以充分发挥问题变式，形式上可以是“一题多变”、“多题一变”、“一题多用”、“多题一用”等.关键是要能突出知识之间的内在联系，能有效地完成教学目标.在“直线与平面垂直”的判定一节中，笔者给出了一组变式题目：例题如图3所示，在三棱椎V -ABC 中，VA =VC ，AB=BC ，K 是AC 的中点.求证：AC ⊥平面VKB.图3图4变式:（1）在三棱椎V -ABC 中，VA =VC ，AB=BC.求证：VB ⊥AC.（2）如图4所示，若E 、F 分别是AB 、BC 的中点，试判断EF 与平面VKB 的位置关系.（3）在（2）的条件下，有同学说“因为VB ⊥AC ，VB ⊥EF ，所以VB ⊥平面ABC ”，这种说法对吗？例题主要考查的是直线与平面垂直的判定定理的应用，变式（1）在原题的基础上，考查了直线与平面垂直的定义；变式（2）是对课本例题的灵活应用；变式（3）进一步巩固了直线与平面垂直的判定定理.三个变式环环相扣，都强化了本节课的主要内容，突出了知识之间的内在联系，同时又使得各个要点之间融会贯通，从而圆满地达成了课堂教学目标.俗话所说：“活到老，学到老”.在新课程的背景下，教师要善于拓展自己的教学方式，激发学生的学习兴趣，从而真正提升学生的核心素养.参考文献:[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017版)[M ].北京:人民教育出版社,2018.[2]陈伯良.数学课堂教学设计的艺术[J ].中学数学教学参考(上),2006(6).[3]皮连生.教学设计———心理学的理论与技术[M ].北京:高等教育出版社,2015.F教材教法教学导航17。

2.3.1直线与平面垂直的判定（一）漳浦一中 高中数学 杨琳琳一、教学目标1.通过对图片的观察，从熟知的生活中的事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理，进而结合图形用抽象化的数学语言总结、表述出直线与平面垂直的判定定理；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

二、教学重点、难点1.教学重点：概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

2.教学难点：概括出直线与平面垂直的判定定理及运用。

三、教学方法启发式教学四、教学过程设计定义形成部分师：同学们，我们先观察一下以下的图片，说出旗杆与地面、显示器的侧边与桌面有什么位置关系？师：请同学们再看看门的边缘与地面是什么关系呢？师：经过我们的观察，我们发现旗杆与地面、大桥的桥柱和水面都是垂直的关系，不过我们现在要用数学的眼光来观察、分析、研究这些事物，我们先观察第1个图。

将旗杆（是许多事物的代表）看成直线l ，将地面（也是许多事物的代表）看成平面α，今天就来研究直线l 与平面α垂直的有关知识。

定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α.直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 它们唯一的公共点P 叫做垂足。

用符号语言表示为： 设计意图：从实际出发，看做平面α，旗杆看做l ，有具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换.m l l m αα⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭师：现在我们已经学习了，直线与平面垂直的性质，那我们来看看以下的说法正确吗？①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

②直线与平面内的无数条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？ ③若a ⊥α,b ⊂α，则a ⊥b 。

设计意图：通过练习强化对概念的理解，突出概念里重要元素。

③在考察对垂直概念的理解以外还把具体的文字语言改为用数学语言表示，再次教育学生习惯数学语言，把具体问题抽象化。

课题：2.3.1 《直线与平面垂直的判定》教学设计一、教学目标教学目标知识目标借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义.能力目标 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念.情感目标 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣. 重难点重点 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理.难点 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理及初步应用.法制渗透 无 教学方法 启发式 教学工具 三角形纸片二、教学设计活动名称 师生互动活动意图活动1[复习旧知引入课题]1.空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？答案：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交.2. 直线和平面相交时，有一种特殊的位置关系是什么？（垂直） 是否也可以像直线与平面平行那样，也有一个判定定理呢？ →引入课题：直线与平面垂直的判定（板书课题）1、答案让学生回答，教师引导和纠正.2、教师引导学生回忆，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流．结合学生已有知识，启发学生思考，激发学生学习兴趣．活动2[探究和证明判定定理]1．知识探究（一）：直线与平面垂直的概念 （1）创设情境请同学们找出下图中线与面垂直的地方？（2）思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？→通过动画的展示，让学生明白到底什么叫做直线与平面垂直.直线与平面垂直的定义：如果一条直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.记作 α⊥l .l a若a l a l ⊥⇒⊂⊥αα,（线面垂直⇒线线垂直）. （3）深入理解“线面垂直定义”教师引导学生去探索和发现直线与平面垂直的判定的证明方法。

让学生知道数学问题源于实际生活，培养学生证明直线与平面垂直的判定的方法，证明思路。

Pα①.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直（ ）②.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直（ ） 答案：①√，②×2、知识探究（二）：直线与平面垂直的判定定理 （1）思考：是否把平面中的直线一一找出，才能证明直线与平面垂直,该怎样判定直线与平面垂直呢？ （2）探究活动：请同学们拿出一块三角形的纸片，做以下试验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）. ①折痕AD 与桌面垂直吗？ ②如何翻折才能保证折痕AD 与桌面所在平面肯定垂直 答案：当BC AD ⊥时AD 作为BC 边上的高时，AD ⊥α，这时AD ⊥ BC ，即AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，BD ∩CD=D.结论：AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，BD ∩CD=D ，有AD ⊥α. (3) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.n m m n P l l m l n ααα⊂⎫⎪⊂⎪⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭线线垂直⇒线面垂直活动名称师生互动 活动意图αPnml活动3[学以致用]例1.如图，已知a ∥b 、a ⊥α.求证：b ⊥α.分析已知条件 → 讨论如何利用直线与平面垂直的判定定理 → 示范格式 → 得出结论 证明：在平面α内作两条相交直线n m ,. 因为直线α⊥a ，根据直线与平面垂直的定义知n a m a ⊥⊥,.又因为b ∥a 所以.,n b m b ⊥⊥又因为n m ,是平面α内的两条相交直线， 所以α⊥b .结论：若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.例2.如图，已知OA 、OB 、OC 两两垂直.（1）求证：OA ⊥平面OBC （2）求证：OA ⊥BC.B分析已知条件 → 讨论如何利用直线与平面垂直的判定定理 → 示范格式答案：(1)OC OB OA ,, 两两垂直 OC OA OB OA ⊥⊥∴, 又O OC OB =⋂ ⊥∴OA 平面OBCBCOA OBCBC OBC OA ⊥∴⊂⊥ , )2(平面平面教师引导学生由已知条件，并结合判定定理去解决问题；并让抽学生解答, 教师应该关注并发现学生的做题步骤，对做得好的学生应该给予表扬．同时强调，立体几何是一门数与形结合的学科．教师引导学生发现答案，并让学生上黑板来板书解答过程。

《直线与平面垂直》教学设计江苏省东海高级中学王丙利一、教学目标知识与技能目标：理解直线与平面垂直的定义、判定定理及性质定理并能进行简单的应用；过程与方法目标：通过对定义的总结和对判定、性质定理的探究，不断提高学生的空间想象、抽象概括和逻辑思维能力；情感态度与价值观目标：通过学习，使学生在认识到数学源于生活的同时，体会到数学中的严谨细致之美，简洁朴实之美，和谐自然之美，从而使学生更加热爱数学，热爱生活．二、教学重难点1.教学难点：直线与平面垂直的定义、判定定理及性质定理；2.教学难点：直线与平面垂直定义、判定定理的探索及反证法。

三、教学方法1.教法：启发诱导式2.学法：合作交流、动手试验四、教具准备计算机、多媒体课件、三角形卡纸五、教学过程（一）情景创设师：上课.生：起立.师：同学们好.生：老师好.师：我检查一下大家站的直吗，嗯，不错，都挺直的，大家看看我站的直吗？生：直.师：什么叫“直”？生：就是“人与地面垂直”.师: 也就是直线与平面垂直（板书），生活中关于垂直的例子很多，比如：（图1）（图2）师：我们如何定义直线与平面垂直呢？师：我们来看一个演示，大家观察圆锥的轴与底面是什么关系？生：圆锥的轴与底面垂直.师：圆锥的轴与底面内所有过O点的直线是什么关系?生：垂直.师：和不过O点的直线是什么关系呢？(随手画一条和轴不相交的直线)生：也垂直.师：为什么？生：因为它可以平移到过O点的位置.师：很好，请坐.师：你能给出定义吗？生：当直线与平面内的任意一条直线都垂直时直线垂直于平面.师：很好.（二）知识构建1.直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作α⊥a，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，直线和平面的交点叫做垂足.若,,l a lα⊂⊥则α⊥a. (板书)师:“任意”是“无数”吗？αla生：不是“无数”，若只垂直于互相平行的无数条直线，这样的直线不一定垂直于平面．师：非常漂亮，请坐.师：线面垂直的定义我们知道了，下面我们来探讨一下如何判断线面垂直，如何判断山顶上的旗杆垂直于水平面？(讨论)生：可以用一条铅垂线，若旗杆与铅垂线平行，则旗杆垂直于地面.师：这就是如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.师：你能证明吗？已知：,,//α⊥a b a 求证：α⊥b .分析：说明直线b 垂直于平面内的任意一条直线.证明：学生板演.师：如果旗杆在水平的地面上，你还有别的方法判断吗？（讨论）生：可以用三角板围旗杆转一圈，判断是否垂直于地面的每一条直线. 师：非要转一圈吗？动手操作：大家可以两个人合作，拿出一支笔，竖直的放在桌面上，另一位同学拿出两个三角板，看看能不能找到办法，检验笔是否与桌面垂直.生：用两个三角板把它们的一条直角边紧贴着桌面，当另外的直角边都与笔重合，笔就垂直于地面.师：很好，它比定义简单的多了，我们可以作判定定理.2.直线与平面垂直的判定定理：请同学们用三种语言描述．（让学生叙述、上黑板写）文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．图形语言： 符号语言：若αα⊂⊂=⋂⊥⊥n m A n m n a m a ,,,,，则α⊥a ．lα m n A师：大家分析一下定理中的关键词是什么？操作：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD 、DC 与桌面接触）.观察并思考：①折痕AD 与桌面垂直吗？②如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？生：当折痕AD 与BC 垂直时，折痕AD 与桌面垂直.师：你能证明吗？生：因为此时CD AD BD AD ⊥⊥,，,,BD CD D BD α=⊂I 所以，AD α⊥师:当旗杆与地面垂直时，旗杆与铅垂线是什么关系？生：互相平行.师：大家能证明吗？例2：已知αα⊥⊥b a ,，求证：b a //.分析：当直接证明找不到思路时，不妨采用间接法，若结论不成立会怎样？证明：假设a 不平行与b ，设b 与α的交点为O ，过O 点作a b //'.直线b 与'b 确定平面β，设c =⋂βα.因为αα⊥⊥b a ,，所以c b c a ⊥⊥,.又因为a b //'，所以c b ⊥'.这样在平面β内，过直线c 上一点O 就有两条直线与c 垂直，显然不可能. 因此b a //.这就是直线与平面垂直的性质定理. β D C B A A α四、总结反思（1）本节课你学会了哪些内容？（2）你还有哪些收获？五、布置作业探究：如图，PA ⊥圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥 中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？。

高中数学《直线和平面垂直》三篇教学设计的评析之一Title: Analysis of Three Lesson Designs on "Perpendicular Lines and Planes" in High School MathematicsIntroduction:In this article, we will analyze and evaluate three different lesson designs on the topic of "Perpendicular Lines and Planes" in high school mathematics education. Each lesson design aims to provide students with a thorough understanding of the concepts and applications related to perpendicular lines and planes. By examining the strengths and weaknesses of each lesson design, we will gain insights into effective teaching strategies for this topic.Lesson Design 1: Understanding the Concept of PerpendicularityIn this lesson, the teacher introduces the concept of perpendicular lines and planes through real-life examples. The lesson starts with a brief discussion on the characteristics of perpendicular lines and planes, focusing on their 90-degree angle formation. To facilitate understanding, visual aids such as geometrical drawings and interactive diagrams are employed.After the introduction, students are given the opportunity to explore various scenarios involving perpendicular lines and planes. They are encouraged to identify perpendicular relationships in different objects, ranging from common household items to architectural structures. By actively engaging with the materials, students develop a deeperunderstanding of the concept of perpendicularity and its relevance in everyday life.To consolidate their learning, students are then provided with practical exercises and problem-solving tasks. These activities challenge students to apply their knowledge of perpendicular lines and planes to solve mathematical problems accurately. The teacher also ensures that students receive immediate, constructive feedback during this process to enhance their understanding.Strengths:- Real-life examples and visual aids make the concept more relatable and engaging.- Active learning through exploration and problem-solving fosters deeper comprehension.- Immediate feedback helps students rectify misconceptions promptly.Weaknesses:- The lesson may lack a formal introduction to mathematical definitions and notations.- The focus on real-life examples could lead to difficulty in transferring knowledge to abstract mathematical problems.Lesson Design 2: Analyzing Geometrical Properties of Perpendicular LinesThis lesson design employs a more deductive approach to understanding perpendicular lines and planes. The teacher begins by presenting the basicdefinitions and properties of perpendicular lines using abstract mathematical language. Clear explanations and illustrative examples are provided to ensure students grasp key concepts.Following the introduction, students are given a set of geometric figures and shapes. They are required to identify and analyze properties that are directly related to perpendicular lines and planes. Through guided practice and independent exploration, students uncover the geometric principles governing perpendicularity.To reinforce their understanding, students engage in collaborative activities, such as group discussions and peer teaching. This encourages active participation and fosters a supportive learning environment. The teacher also encourages students to apply the acquired knowledge to solve practical problems and examine its applications in various fields.Strengths:- Deductive approach provides a solid foundation in mathematical definitions and properties.- Collaborative activities promote peer learning and increase student engagement.- Practical problem-solving tasks enhance the application of knowledge.Weaknesses:- The abstract nature of the lesson may lead to difficulties in connecting with real-life applications.- Limited emphasis on concrete examples may hinder some students' comprehension.Lesson Design 3: Enhancing Visualization through Interactive TechnologyThis lesson design utilizes interactive technology to enhance students' visualization skills in understanding perpendicular lines and planes. Students are introduced to geometric software or virtual manipulatives, which allow them to dynamically interact with 3D representations of lines and planes.The teacher guides students through a series of interactive activities and simulations. Students manipulate virtual objects and observe the resulting changes in the relationships between lines and planes. The teacher encourages students to make connections between their observations and the mathematical concepts of perpendicularity.To consolidate their understanding, students engage in hands-on activities involving physical manipulatives, such as wooden blocks or rulers. This tactile experience further strengthens their visualization skills and solidifies their understanding of perpendicular lines and planes.Strengths:- Interactive technology provides a dynamic and engaging learning experience.- Visualization skills are developed and reinforced through hands-on activities.- Connections between concrete manipulatives and abstract concepts are facilitated.Weaknesses:- Limited access to technology or resources may hinder the implementation of this lesson design.- The heavy reliance on visual aids may overshadow the importance of formal mathematical notation.Conclusion:Each of these lesson designs offers unique approaches to teaching "Perpendicular Lines and Planes" in high school mathematics. While the first design prioritizes real-life examples, the second focuses on deductive thinking, and the third emphasizes visualization and interactive technology. Consideration of students' diverse learning styles and preferences is crucial in selecting an effective lesson design. By incorporating elements from each design and adapting them to individual teaching contexts, educators can create engaging and comprehensive learning experiences for their students.。

《直线与平面垂直的判定》教学设计一．教学内容课题：直线与平面垂直的判定（第一课时）教材：普通高中课程标准实验教科书北师大版《必修2》第一章第六节二．教学目标：⒈知识与技能：掌握直线与平面，并能进行简单应用。

⒉过程与方法：在合作探究中，逐步构建知识结构；通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，欣赏事物的能力，培养学生动手实践的能力。

⒊情感、态度与价值观：垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可以让学生感受数学就在身边，提高学生的学习立体几何的兴趣，培养学生团队合作的精神。

4.数学思想：在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.三．教材分析：本节课是第六节“垂直关系”中“线面垂直”的第一课时，是立体几何的核心内容之一，在学生学习了平行关系之后，本节仍然以长方体为载体来学习，是对学生“直观感知，操作确认，归纳总结，初步运用”的认知过程的一个再强化。

四．学情分析：学生已经学习了直线和平面，平面和平面平行的判定及性质，学习了两条直线（共面或异面）相互垂直的位置关系，有了“通过观察，操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力，几何直观能力和推理论证能力。

五．教学的重点和难点：重点：线面垂直的定义，线面垂直的判定的定理难点：线线垂直于线面垂直的相互转化，应用六．教学准备多媒体课件：展示相关资料，图片，例题及习题。

学案：引导学生学习的资料，例题。

教具：学生实验需要，辅助展示相关情节。

观察我们教室及身边现有的物体，你能找出直线与平面“垂直”的例子吗？注：这里所有的“垂直”都是直观的，没有定义的。

然后通过“两条直线（共面或异面）相互垂直的位置关系”得出的直线也都垂直．师生活动：教师用实物演示三角板变化而移动的过程，引导学生得从线与线的垂直来定义线面垂直实际是把高维的问题转化为，判定下列说法的对错内的无数条直线都垂直，那么直线l和平面大胆引导学生去发现，敢于猜想b A l a l b ⎪⇒=⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭）和直线与平面垂直的定义相比八．板书设计教案说明一．数学本质、地位、作用分析：垂直关系式立几中的核心内容之一也是高考考查空间位置关系的重要方面，各种题型都有涉及，难度以简单，中档题为主，通常与其他问题综合考察，如角度、距离等。