居于马线性代数第一章答案

1、22220aab a b ab ab abb=⋅-⋅=2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b aa bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+----20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)011w wwww ww w w w w w w w w www+⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663x xxx x x x x x x x xx=++---=-+9、143000400400431(1)0434********324321+-=-=-按第行展开10、公式： 111112111222222122112212000000000000n n nn nn nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,11100000000(1)0n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：101000010000100200002010(1)1008000080090000910+-⋅按第行展开 9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、3111111112111110200311*(2)8111100204111112----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 12341234123421113234113410113103110102223412*********114141231123111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、50421111111121011211121021014324741204120032415311115420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 365641111111111111112545325453032750327536342254650328700012254653634203075002001111136564329722------===---根据课本20页公式（1.21），原式012112003*4120322=-=-=-（）15、1200340012132*160013345151-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*220000130101143100002400024011113-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22） 23001121120030212(1)30212*(5)600024031241240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!00300040005B ---==------=----所以 3*5*(1)||||3!5!0A AB B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b xa xbc x a b xb xc a b xa xbc a b xb xc a b xb c a b c x a b xb c x x a b c a b xb c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、1111111121111100311111004111110xx x x x y x y yxy++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()00xx xxy y xx xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开 2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b ac aab c b a c ab ac aabcb ac a--==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b ac a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac ab ab a b ac a c ac bab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a ab b b a b a b acacabaccc ac a=--=-------整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a ab ac a c b b b cc---=故原式得证。

1、22220a aba b ab ab ab b =⋅-⋅=2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi ba bi a bi ab a b ab a b a a bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+---------920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++---45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+----20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)011w w w w w ww w w w w w w w w w w w +⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663x xxx x x x x x x x xx =++---=-+9、143000400400431(1)0434*******4324321+-=-=-按第行展开10、公式：11111211122222212211221200000000000n n nn nn nnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,1110000000(1)0000n n n n n n n nn n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：10100001000010020*******(1)1008000080090000910+-⋅ 按第行展开9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、3111111112111110200311*(2)8111100204111110002----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即123412341234211132341134101131031101022234121412022211141412311230111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、504211111111210112111210210143247412041200324153111150420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）3656411111111111111125453254530327503275363422546503287000122546536342030750020011111365640329700022------===--- 根据课本20页公式（1.21），原式012112003*41203022=-=-=-（）15、1200340012132*16001334510051-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*22000013010114301000024000240101100013-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22）23001121120030212(1)30212*(5)6000240312401240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!030004000500B ---==------=----所以3*5*(1)||||3!5!0A AB B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b x a x b c x a b x b x c a b x a x b c a b x b x c a b xb c a b c x a b x b c x x a b c a b x b c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、11111111211111003111110041111100x x x x x y x y y x y++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()000x x x xy y xx xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b a c a ab c b ac a b a c a a b c b a c a --==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b a c a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac a b ab a b a c a c ac b ab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a a b b b a b a b a c a c a b a c c c a c a =--=------- 整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a a b a c a c b bb cc ---= 故原式得证。

解：4234231142342311)1342(4432231144322311)1324()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a a =--=-ττ4.计算abcdef abcdef abcdef abcdef efcf bfde cd bdae ac ab r r r r c c c r f r d r a c ec c c b 420020111111111111111111111)1(12133213213211,1,11,1,1-=--=--=---=-----++5．求解下列方程10132301311113230121111112121)1(12322+-++-++=+-++-+=+-+-+++x x x x x x x x x x x x c c r r 1132104201)3(113210111)3(21+-+--++=+-+-++=-x x x x x x x x x r r 3,3,30)3)(3(11421)3(3212-==-==-+=+---++=x x x x x x x x x 得二列展开cx b x a x b c a c a b x c x b x a c b a x c b a x c b a x ====------=32133332222,,0))()()()()((1111)2(得四阶范得蒙行列式6.证明322)(11122)1(b a b b a a b ab a -=+右左证明三行展开先后=-=-=-----=----=+=+--323322222)(11)()()()1(100211122)1(:2132b a b a b a ba ba b a b b a a b b a b a b b ab ab a b b a ab ab ac c c c1432222222222222222222222222(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369(3))(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369c c c ca a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d --++++++++++++==++++++++++++二三列成比例))()()()()()((1111)4(44442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a dcbad c b a D +++------==44444333332222211111)(x d c b a xdcbax d c b a x d c b a x f 五阶范得蒙行列式解考虑函数=（5）))()()()()()(())()()()()()(()()())()()()()()()()()((454545453453d c d b c b d a c a b a d c b a A M D d c d b c b d a c a b a d c b a A ，A x x f ，Ｍx x f D a b b c a b c d b d a d d x c x b x a x ------+++-==------+++-=----------=于是的系数是中而对应的余子式中是（5）n n a a a a a xx x x 12101000000000100001----解：nn n n n n n n n n nn x a x a a x a x a a a a a a a xx x x D +++=-++--+--=---=+++-++++-10)1()1(1211110121)1()1()1()1()1(1000000000100001按最后一行展开7、设n 阶行列式)det(ij a D =把D 的上下翻转、或逆时针旋转090、或依副对角线翻转、依次得111131111211111,,a a a a D a a a a D a a a a D n n nn n nn n nnnn=== 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(证明：将D 上下翻转，相当于将对D 的行进行)1(21-n n 相邻对换得1D ，故D D n nn 2)1(1)1(--=将D 逆时针旋转090相当于将T D 上下翻转，故D n n D n n D T 2)1(2)1(2-=-=D 依副对角线翻转相当于将D 逆时针旋转090变为2D ， 然后再2D 左右翻转变为3D ，故D D D D n n n n n n =--=-=---2)1(2)1(22)1(3)1()1()1(8、计算下列行列式（k D 为k 阶行列式）（1）aa D n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；解：)1()1(0100)1(1122211111-=-+=-+==--++-+a a a a a aa a a D n n n n n n n n n n 列展开按行展开按（2）x a a a x a a a x D n=解：xaa x a a a n x x a aa x a a a x D nc c c n111])1([21-+==+++12)]()1([0001])1([1--≥--+=---+=n r r k a x a n x ax a x a a a n x k(3)111111)()1()1()()1()1(11111n a n a a a n a n a a a n a n a a a D n n n n n nnm n -+---+---+--=----+解：11111(1)(1)22111111(1)(1)()(1)(1)()111111111111()()()((1)(1)()(1)(1)()n nnn n n n n n n n n n n j i n n n n mnnna a a n a n a a a n a n D a a a n a n a a a n a n j i a a a n a n a a a n a n ----++++≥>≥------+---+-=--+---+-=-=--=--+---+-∏上下翻11)n j i i j +≥>≥-∏（4）n n nnn d c d c b a b a D11112=（未写出的均为0）解：)1(2)1(211112)(02232--↔↔-===n n n n n n n nnn r r c c nnnnn D c b d a D d c b a d c d c b a b a D mn得递推公式)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D ，而11112c b d a D -=递归得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)det(),||n ij ij D a a i j ==-解111,2,,1120121111110121111210311111230123010001200(1)(1)211201231i i j r r n i n c c n n n n D n n n n n n n n n n n n +-=-+-------==-------------==---------解:11211*222,3,,1111111(6)1111111111101111000111100:01111i n nr r n i n nna a D a a a a a D D a a -=+++=++-+-===+-解111211121,2,,12111(1)1110001(1)0000i inc c na n i ni ina a a a a a a a a a ++==++++==+∑9．设3351110232152113-----=D ，D 的),(j i 元的代数余子式为ij A ，求44333231223A A A A +-+解：24335122313215211322344333231=-----=+-+A A A A。

习题1.11、写出下列随机试验的样本空间.（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.（2）在单位园中任取一点记录其坐标.（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）}8,7,6,5,4{ =Ω（2）}1).{(22<+=Ωy x y x（3）}18,,10,9,8,7,6,5,4,3{ =Ω2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件AB-，BC，CB .解：)}6.6(),5.5(),4.4(),3.3(),2.2(),1.1{(=-A B{(=2.2(),1.1BC3.3(),)}4.4(),2.2(),1.13.3(),{(CB4.4(),=5.5(),6.6(),)}6.5(),5.6(),6.4(),4.6(),3、设某人向靶子射击3次，用i A表示“第i次射击击中靶子”（3,2,1=i），试用语言描述下列事件.（1）21A A （2）321)(A A A （3）2121A A A A解：（1）第1，2次都没有中靶（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶（3）第二次中靶4．设某人向一把子射击三次，用i A 表示“第i 次射击击中靶子”（i =1，2，3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：（1）“至少有一次击中靶子”可表示为 ；（2）“恰有一次击中靶子”可表示为 ；（3）“至少有两次击中靶子”可表示为 ；（4）“三次全部击中靶子”可表示为 ；（5）“三次均未击中靶子”可表示为 ；（6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 .解：（1）321A A A ; (2) 321321321A A A A A A A A A ;(3)323121A A A A A A ; (4) 321A A A ; (5) 321A A A (6) 321A A A5.证明下列各题（1）B A B A =- （2）)()()(A B AB B A B A --=证明：（1）右边=AB A B A -=-Ω）（={A ∈ωω且}B A B -=∉ω=左边（2）右边=）（A B AB B A ()() ={}B A B A =∈∈ωωω或习题1.21.设A 、B 、C 三事件，41)()()(===C P B P A P , 0)(,81)()(===AB P BC P AC P ，求A 、B 、C 至少有一个发生的概率.解：0)(0)(=∴=ABC P AB P).(C B A P )()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++= =21812413=⨯-⨯2.已知5.0)(=A p ，2.0)(=B A P ， 4.0)(=B P ，求 （1）)(AB P ，(2))(B A P -， (3))(B A P ， (4))(B A P .解：（1）1.0)()(,==∴=∴⊂A P AB P AAB B A（2）5.0)()(,==∴=∴⊂B P B A P BB A B A3.设)(A P =0.2 )(B A P =0.6 A .B 互斥，求)(B P .解：B A , 互斥，)()()(B P A P B A P +=故4.02.06.0)()()(=-=-=A P B A P B P4.设A 、B 是两事件且)(A P =0.4,8.0)(=B P（1）在什么条件下)(AB P 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？解：由加法公式)()()()(B A P B P A P AB P -+==)(2.1B A P -（1）由于当B A ⊂时B B A = ，)(B A P 达到最小， 即8.0)()(==B P B A P ，则此时)(AB P 取到最大值，最大值为0.4（2）当)(B A P 达到最大， 即1)()(=Ω=P B A P ，则此时)(AB P 取到最小值，最小值为0.25.设,1615)(,81)()()(,41)()()(=======C B A P AC P BC P AB P C P B P A P 求).(C B A P 解：)(1)(ABC P ABC P -=,16116151)(1=-=-=C B A P ).(C B A P )()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++= =167161813413=+⨯-⨯ 习题1.31.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.解：设事件A ={3张中至少有2张花色相同} 则A ={3张中花色各不相同}602.01)(1)(35211311311334≈-=-=C C C C C A P A P 2.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.解法一 随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有350C 种取法，而发生“某一个部件强度太弱”这一事件只有33C 这一种取法，其概率为19600135033=C C ，而10个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为196011960010101===∑=i i p p 解法二 样本空间的样本点的总数为350C ，而发生“一个部件强度太弱”这一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有33110C C 种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为1960135033110==C C C p 3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.解法一 设A 表示“取出的3个数之积能被10整除”，1A 表示“取出的3个数中含有数字5”， 2A 表示“取出的3个数中含有数字偶数”， 214.0786.019495981)(()(1)(1)(1)()(3332121212121=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=-=-==A A P A P A P A A P A A P A A P A P ）解法二设”次取得数字为“第5k A k ，3,2,1=k k B k 次取得偶数”，为“第。

一、习题1参考答案1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.（1）41253； （2）3712456； （3）57681234； （4）796815432 解（1）()4125330014τ=+++= 偶排列（2）()37124562500007τ=+++++= 奇排列（3）()576812344544000017τ=+++++++= 奇排列 （4）()7968154326755032129τ=+++++++= 奇排列 2. 确定i 和j 的值,使得9级排列.(1)1274569i j 成偶排列; (2)3972154i j 成奇排列. 解 (1) 8,3i j == (2) 8,6i j == 3.计算下列行列式.（1） 412－3－ （2） 2211a a a a ++-1 （3） cos sin sin cos x xx x -（5）2322a a bab （6） 1log log 3b aab （7） 000xy x z y z--- 解（1）131523125=⨯-⨯=- （2）4(3)2(1)4212=-⨯--⨯=-－3－ （3）()22322211(1)11a a a a a a a a a a =-++-=--++-1 （4）22cos sin cos sin 1sin cos x x x x x x -=+= （5）233232220a a a b a b bab =-=（6）1log 3log log 2log 3b b aa ab a b=-=(7) 0000000xyxz xyz xyz y z -=+----=--4. 当x 取何值时3140010xx x≠ ？ 解 因为314010xx x2242(2)x x x x =-=-所以当0x ≠且2x ≠时，恒有3140010xx x ≠5. 下列各项，哪些是五阶行列式ij a 中的一项；若是，确定该项的符号.1225324154(1);a a a a a 3112435224(2);a a a a a 4221351254(3)a a a a a解 (1)不是 (2)不是 (3)不是6. 已知行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ，写出同时含21a 和21a 的那些项，并确定它们的正负号.解 12213443a a a a (2143)2τ= 符号为正； 14213243a a a a (2134)1τ= 符号为负. 7. 用行列式定义计算下列行列式.(1) 11121314152122232425313241425152000000a a a a a a a a a a a a a a a a (2)020200002200(3) 01000200001000n n-解 （1）行列式的一般项为12345()1122334455(1)j j j j j j j j j j a a a a a τ-若345,,j j j 中有两个取1,2列，则必有一个取自3,4,5列中之一的零元素，故该行列式的值为零，即原式0=（2）行列式中只有一项(3241)13223441(1)16a a a a τ-=不为零，所以原式16= （3）行列式的展开项中只有(2,3,4)11223341,1(1)(1)!n n n n n a a a a a n τ---=- 一项不为零，所以原式1(1)!n n -=-8. 用行列式性质计算下列行列式.(1) 111314895（2）1234234134124123（3）41241202105200117⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）2141312112325062⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5）ab ac aebd cd debf cf ef---（6）a b aa a bb a aa b a解 (1) 111314895321331r rr r--111021013--232r r-111005013--23r r↔111013005---5=(2)12342341341241232341c c c c+++10234103411041210123123413411014121123=121314r rr rr r-+-+-+123401131002220111------34222r rr r-+123401131000440004---160=(3)4124120210520011712r r↔12024124105200117-2131410r rr r--120207240152200117-----24r r↔120201170152200724----3242157r rr r++1202011700178500945342r r-12020117001500945=--(4) 2141312112325062-13r r↔1232312121415062--213141325r rr rr r---12320775032301098----------232r r -12320131032301098-3242310r r r r --123201310076002118----0=(5) abac ae bdcd de bfcfef---每列都提取公因式bc eadf bc e b c e ---每列都提取公因式111111111adfbce --- 1213r r r r ++11102020abcdef -23r r ↔11120002abcdef --4abcdef = (6）0000a b a a a b b a a a b a 4321r r r r +++2222000a b a b a b a ba a bb a a a b a ++++()11110200aa b a b b a a a ba =+121314ar r br r ar r -+-+-+()1111002000a b aa b a b b a b b a a --+----- 3232r r r r +-()11110020000a b aa b b b b b --+---=()2111100201100101a b a b a b --+--- 3424r r r ar ++()211110002200110101b a b a b -+---24c c ↔()211110101200110002b a b b a-+---()()2422224b a b b a b a b =+-=-9. 证明下列等式.(1) 111222222222111333333333a b c bc a c ab a bc a b c b c a c a b a b c =-+(2)11122122111211121112111221222122212221220000a a a a a a b b c c b b a a b b c c b b = (3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++=33()xy z a b y z x zxy+(4) 222244441111a b c da b c d a b c d ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d ⋅-+++ 证明 （1）左式123123123321213132a b c b c a c a b a b c a b c a b c =++--- 133321233212332()()()a b c b c b a c a c c a b a b =---+-=222222111333333b c a c a b a b c b c a c a b -+=右式（2）1112212211121112212221220000a a a a c c b b c c b b 按第一行展开222111121112121111122221222121220000a a a c b b a c b b c b b c b b - 111211121122122121222122b b b b a a a a b b b b =-1112111221222122a ab b a a b b =(3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++ 按第一列分开x ay bzaz bxa y az bx ax by z ax by ay bz ++++++ y ay bzaz bxb z az bx ax by x ax by ay bz +++++++2(0)xay bz z ay az bx x z ax by y +++++分别再分(0)yz az bxb z x ax by x y ay bz++++33x y z y z x a y z x b z x y zxy x yz +分别再分332(1)x y z x y za yz x b yz x z xy zxy=+-=右边 (4) 222244441111a b c d a b c d a b c d 213141c c c c c c --- 222222244444441000a b a c a d aa b a c a d a a b a c a d a --------- 按第一列展开222222222222222()()()b ac ad ab ac ad a b b a c c a d d a --------- 每列都提取公因式222111()()()()()()b ac ad a b a c a d a b b a c c a d d a ---++++++ 1213c c c c -+-+()()()b ac ad a ---222221()()()()()b ac bd bb b ac c a b b ad d a b b a +--++-++-+ 按第一列展开()()()()()b ac ad a c b d b -----222211()()()()c bc b a c bd bd b a d b ++++++++()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d -+++10.设行列式30453221--,求含有元素2的代数余子式的和. 解 含有元素2的代数余子式是12222313A A A A +++()()()()345453343050111121212222--=-+-+-+---11161026=---=- 11. 设行列式3040222207005322=--D ,求第四行各元素余子式之和的值是多少? 解 解法一：第四行各元素余子式之和的值为41424344M M M M +++040340300304222222222222700000070070=+++---780314(7)(1)(2)28=-⨯++⨯+-⨯-⨯-=-解法二：第四行各元素余子式之和的值为4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+3040222207001111=---按第3行展开32340(7)(1)222111+----232r r +340704111--按第2行展开34282811-=---12.已知 1012110311101254-=-D ,试求: (1) 12223242A A A A -+- (2) 41424344A A A A +++ 解 (1)方法一：虽然可以先计算处每个代数余子式,然后再求和,但是这很烦琐.利用引理知道，第一列每个元素乘以第二列的代数余子式的和等于零。

第一章课后习题及解答计算下列二、三阶行列式（用沙路法和定义）：1..02222=-=abab b a babab a2..1)sin sin (cos cos cos sin sin cos =--=-αααααααα3. .)(222))((2222222b a ab b a ab i b a ab bi a bi a bia ab bi a -=-+=--=--+=-+4. .5)3(422)2(351)4(24)4(5)2(2)3(13325214423-=-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=--- 5. .0942861753843762951987654321=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=6..1810142199)1(22021119941202)1(210112101199202114122-=⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯=-7. 111222ωωωωωω，其中.2321i+-=ω=36331ωωω-++=0.8..662323213212322233+-=---++⨯⨯=x x x x x x x xxx x xx计算下列数字元素行列式（利用行列式性质展开）：9. .2564)1(123423403400400046=-=10.!.10!10)1(1000009000800020001000)09876543211(=-=ι11.111111111111---)4,3,2,(1=-i r r i=.8)2(20200002011113-=-=---12.3214214314324321（将2,3,4行加到第1行，提取公因子10）=103214214314321111（122334,,r r r r r r ---）=10113113110321--)4,3,2,(1=-i r r i=104040012101111---=102)4(-⨯=160.13.1111021*********-（41r r ↔）=245021*********--（1413125,4,r r r r r r ---）=315423001201111--------（32r r -）=315423043101111-------（24235,3r r r r ++）=1714870043101111-（342r r -）=710870043101111-=-.14. 1111156452243633545246563--（，2413,r r r r --提取第3行公因子2-）=11111210001110035452465632---（21r r -）=11111210001110035452111112---（,,21512r r r r --提取第5行公因子2-）=41121000111001323011111（45r r -）=4121000111001323011111-=4)3(-⨯=.12-15..32)16()2(1531432115310000430021=-⨯-=-⨯=-16. 11010420003100010987654321（,21r r -提取第1行公因子,5-提取第4行公因子2）=10-11010210003100010987611111（233445,,r r r r r r ↔↔↔）=1021310001098761101011111（4513,6r r r r --）=10131000432101101011111-（23r r -）=10131000322001101011111-=10.202-=-17. 8521310421042002030021100--（122334,,r r r r r r ↔↔↔）=8521304200203002110010421---（233445,,r r r r r r ↔↔↔）=04220300211008521310421-- =.6012)5(0422032111321-=⨯-=- 18.0BA*, 其中.0050004000300020*******,321021001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B ABA *(换行)=AB *-0=!.3!5=-A B证明下列恒等式：19. .)1(3332221112333332222211111c b a c b a c b a x c b x a xb ac b x a xb ac b x a xb a -=++++++ 证：333332222211111c b x a xb ac b x a x b a c b x a x b a ++++++=333222111333222111333222111333222111c b xb c b xb c b x b c xa xb c x a x b c x a x b c b a c b a c b a c xa a c x a a c x a a +++ =003332221112333222111+++c a b c a b c a b x c b a c b a c b a =3332221112)1(c b a c b a c b a x - .111111111111111122y x yy x x =-+-+证：yy x x-+-+1111111111111111=yy x x yy x -+-+--11111101110111010010010001=yy x x xy -+-+1111111112=)11110110101001(2yy x yy x xy -+-+-+=))((222y x y x xy ---+=22y x 21. ).)()()((111333b c a c a b c b a cbac b a---++= 证：333322221111dcbad c b a d c b a （范德蒙行列式）=))()()()()((a b a c b c a d b d c d ------，其中，2d -的系数即为333111cbac b a∴ ))()()((111333a b a c b c c b a cbac b a---++=. 22. .111)(111222323232ccb b aa ca bc ab ccb b a a ++= 证：323232321111dddc c c b b b a a a （范德蒙行列式）=))()()()()((a b a c b c ad b d c d ------其中，d 的系数即为323232111ccb b aa ∴ 222323232111)())()()((111ccb b a a ca bc ab a b a c b c ca bc ab ccb b a a ++=---++=.计算下列各题：23.543002201dc b a =540020cb a d -=02ba cd -=.abcd24.dc b a1110011001---=dc dc b a 111001)1(11101------ =dc ddc ba 11)10111(-+-+-=.)1)(1(ad cd ab +++25.2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a=0（因为按照行列式的求和性质展开时，每一项中均有两列成比例）26.1222111b a a c c b b a c a c bc b a +++（将2, 3列加到第1列）=122111b a a c cb a b ac b a a c cb ac b c b a ++++++++++ （第1，4列成比例）=0.27.44332211000000a b a b b a b a （按第1行展开）=00000433221433221b a b b a b a a b b a a - =332241332241a b b a b b a b b a a a -=))((32324141b b a a b b a a --.28.nn 222221222223222222222221-22321,,c c c c c c n ---=2203020001200002000021---n n(按照第1列展开)=22030200120002---n n=)!2(2--n .29.nn n nn a a a an a a a a na a a a)()2()1()()2()1(2111112222---------(范德蒙行列式)=∏≤<≤---ni j j a i a 0))((=∏=+-nk n n k 12)1(!)1(.30.nn n n n n n n n n n nn nn n n nn n n n n b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a 111121211111212222222122111121211111+-+++-++-++------(第i 行提取公因子1,,1,+=n i a ni ，然后应用范德蒙行列式)=)(11∏+≤<≤-n i j j i jib a ab .用克拉默法则解下列线性方程组：31. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=++-=++.0,124,12,324543213214321431x x x x x x x x x x x x x x解：,71111021*********-=-=D ,71110211121124031-=-=D ,71110214121124352==D,71110114111123053=-=D ,701111214121134054-=-=D∴ .1,1,1,144332211==-==-====DD x DD x DD x DD x32. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++=+++.5,4,3,1,143215321542154315432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：类似31题求解可得：.45,41,43,47,41154321-=-====x x x x x33. 问：齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+-+=+++=+++0,03,02,04321432143214321bx ax x x x x x x x x x x ax x x x有非零解时，b a ,必须满足什么条件？解：,011131********=-baa 即.4)1(2b a =+34. 求平面上过两点),(11y x 和),(22y x 的直线方程（用行列式表示).解：设直线方程为0=++c by ax ，则其满足：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,02211c by ax c by ax c by ax有非零解，从而所求直线方程为：01112211=y x y x y x . 35. 求三次多项式332210)(x a x a x a a x f +++=, 使得.16)3(,3)2(,4)1(,0)1(====-f f f f解：由题意，得下列线性方程组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=-+-162793,3842,4,03210321032103210a a a a a a a a a a a a a a a a用克拉默法则求解，得：2,5,0,73210=-===a a a a , 从而，32257)(x x x f +-=.补充题证明下列恒等式：36.∏∑==+=+++ni i ni ina a a a a 1121.)11(111111111（1）用数学归纳法证明之；（2）利用线性性质，将原行列式表示为n 2个行列式之和的方法，计算行列式； （3）利用递推公式，计算行列式.解：（1）1=n 时，左边=1111a a +=+，右边=11a +，结论成立。

习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。

A 组1.判别Q (厉)二｛0 +勿亦|0,处0｝是否为数域？解是.2.设/(x) = x3 4-x2 4-x+l, g(兀)=兀2+3兀+ 2,求 /(兀)+ g(x)，/(x)-g(x), f(x)g(x). 解/(x) + g (x) = x3 4- 2x2 + 4x + 3 ,/(兀)-g(x)"-2x-l,f(x)g(x) = x5 +4x4 +6兀'+6兀$ +5x + 2 .3.设/(%) = (5x-4),993(4x2 -2x-l),994 (8x3 -1 lx+2)'995,求 /(%)的展开式中各项系数的和.解由于/(兀)的各项系数的和等于/⑴，所以/(I) = (5-4严3(4-2- 1尸94(8-11 + 2)1995 =-1.4.求g(兀)除以/(兀)的商q(x)与余式心).(1)f (x) —— 3%2— x — 1, g(兀)=3F - 2兀+1 ；(2)/(x) = x4 -2x4-5, g(x) = x2 -x + 2 .解（1）用多项式除法得到x 73x~ — 2x +13_93X + 3—x —x-i3 37 ° 14 7-- 无_+ —x --3 9 926 2-- X ---9 9所以'恥）十岭心）W（2）用多项式除法得到x4— 2x + 5兀4 —”丫" + 2 兀2— 2x~ — 2 兀+5 jy?—兀~ + 2 兀-x2-4x4-5-兀? + X - 2—5x + 7所以，q(x) = x2 +x-l, r(x) = -5x + 7 .5.设是两个不相等的常数，证明多项式/(兀)除以(x-a)(x-b)所得余式为af(b)_bg)a-b a-h证明依题意可设/(x) = (x - a)(x - b)q(x) + cx+d,则”(a) = ca + d,[f(b) = cb + d.解得F=(/a) --,\d = (af(b)-bf(a))/(a-b).故所得余式为a-b a-b6.问m,p,q适合什么条件时，/(兀)能被g(x)整除？(1) /(x) = x3 + px + q , g(x) = x2 + nvc-1；(2) f(x) = x4 + px2 +q , g(兀)=x2 + mx+l.解(1)由整除的定义知，要求余式r(x) = 0 .所以先做多项式除法,3x2 + mx -1x-in“+ “X + q3 2x + mx^ - x-mx1 +(〃 + l)x + g2 2一 mx_ — m^x + m°(# +1 + 加〜)兀 + (g —m)要求厂(x) = (/? + l +加2)兀+ (§ —加)=0 ,所以(“ + 1 +加2) = 0, q-m = 0.即p = -l-m2, q - m时, 可以整除.（2）方法同上.先做多项式除法，所得余式为厂（兀）=加（2 — ”一nr ）兀+ （1 + @ —卩一加〜），所以 m （2-p-/772） = 0, 1 + ^ - p - m 2= 0 ,即 m = 0, p = q + \ 或“二 2— 加［q = l 时，可以整除.7. 求/（兀）与gCr ）的最大公因式:(1) f (x) — x 4 + — 3%2 — 4x — 1, g (x)=兀彳 + — x — 1 ； (2) f(x) = x 4— 4x 3+ 1, g(x) = x 3— 3x 2+1 ；(3) /(x) = x 4 -10x 2 +1, g(x) = x 4 -4A /2X 3 +6X 2 +4A /2X +1 .解（1）用辗转相除法得到用等式写出來，就是所以(/(x),g(x)) = x + l ・（2）同样地,<8 4 / 3 3= -X + — — -X-—(3 344-2x 2-3x-l1 1 --- X 4——2 -- 4 X 3+ X 2- X - 1 x 4 + x 3- 3x 2- 4x- 11 2 3 , -2x 2 — 3兀—12 21 2 3 1 -- X ----- X ---—2兀~ — 2兀2 4 433-- X ----X -144一丄 184—X H - 3 3 0心宀丄兀2 24 3 2牙+牙-X - Xf(x) = xg(x)^(-2x 2-3x-l),g(x) =所以(/⑴,g (兀)) = 1.⑶ 同样用辗转相除法，可得(/(x),g(x)) = F —2血兀一1.8.求 w(x),仄兀)使 w(x) f\x) + v(x)g(ji) = (/(x), g(%))：(1) f (x) = %4 4- 2x^ — %2 — 4x — 2, (x) = %4 + x — x~ — 2x — 2 : (2) /(x) = 4x 4-2x 3-16x 2+5x4-9, g(x) = 2兀3-x 2-5x+4:(3) /(x) = x A-x 3-4x 2 +4x + l, g (兀)=x 2 -x-l.解(1)利用辗转相除法，可以得到/(x) = g (A ：) + (x 3-2x)'g (兀)=(x+l)(x 3 - 2x) + (x 2 -2),x — 2兀=x(^x~ — 2).因而，(/(x),g(x)) = x 2-2,并且(/(兀),g (兀))=/ 一 2 = g (兀)_ (兀+1)(疋 _ 2兀) =g (兀)一(X +1) (f(x) -g (兀))=(一兀 一 1)/(兀)+ (兀+2)g(x),所以 u(x) = -x-\, v(x) = x + 21 10 -- X H --- 3 9x 3 - 3x 2x-13 1 2 2X H —X X 3 3 10 2 2~~'- ---- X H 兀+ 13 -- 3 10 ° 10 20 X --- 兀 3 9 916~~1T —X ------ 9 927 441 --------- X ---------------16 256-3x 2+—x1649一一539 兀+ --- 27 256(2)利用辗转相除法，可以得到/(x) = 2xg(x)-(6x 2 +3兀-9),(\ 1Ag(x) = —(6x_ + 3兀一9) ——% + — — (% — 1), —(6x - + 3x — 9) = —(x —1)(6% + 9).因而，(/⑴,g(Q) = x-1，并且(1 1 …厶— —X + _ f (x) + _兀_—x~\ I 3 3丿 (3 3丿] 1 2 7 2fi/f 以 W (X )= X H —, V (X )= — --- X — \ •3 3 3 3(3) 利用辗转相除法，可以得到fM = X —3)g(x) + (x — 2),g(x) = (x+l)(x-2) + l ・因而( f(x), g(x)) = 1 ,并且(/(兀),g(x)) = 1 = g(x) - (x+1)(兀一 2)=g (兀)-(兀+1)(/(兀)-(x 2 一3)gCr))—(—兀―1) f (x) + (兀'+ 兀2 — 3兀—2)g(x),所以u (兀)= -x-l, v(x) = x 3 +x 2 -3x-2.9.设/(x) = %3+ (14-t)x 2+ 2x + 2w, g(x)二F+zx + u 的最大公因式是一个二次多项式，求/，凤的值.解利用辗转相除法，可以得到/(%) = g(x) + (l + /)兀2 +(2-/)兀 + « ,(/(x), g(x)) = x-l = -(6x 2+ 3x-9)+ | _g(x)I d J J(I ] \= (/(x)-2xg(x)) --x+- -g(x)\ 3丿 <2 o 2 d ,、 U 3 广—---- 兀+ (1 + r t-2(l +r)2(尸 + r—w)(i+r) + (t— 2)~u[(l + t)2 — (r —2)]由题意，/(x)与g(Q的最大公因式是一个二次多项式，所以(广 + / —w)(l + /) + (f— 2)~(T H?皿(l + r)2-(r-2)] A ；=0,(l + O2解得u = o^t = -4.10.设(x —I)[(A/+ B F+I),求A和B.由题意要求知解用(兀一1)2 去除f\x) = Ar4 + Bx2 +1 ,得余式”(x) = (4A + 2B)兀+1 -3人一B,斤（兀）=0,即4A + 2B = 0,1-3A-B = O,解得A = l,B = -2.11.证明:如果(/(x),g(x)) = l, (/(x),/z(x)) = l,那么(/(x), g(x)/z(x)) = l. 证明由条件可知,存在络(兀)和片⑴ 使得旳(兀)/(兀)+岭⑴g(x) = l,存在如(兀)和卩2(兀)使得u2(x)f(x) + v2(x)h(x) = 1.用/?(兀)乘以第一式得坷(x)f(x)h(x) + V, (x)g(x)h(x) = h(x),代入第二式得u2(x)f(x) + v2 (x) [u t (x)f(x)h(x) 4-Vj (x)g(x)/z(x)] = 1, 即[w2(兀)+ u\ (x)v2(x)h(x)]f(x) + [v, (x)v2(x)]g(x)h(x) = 1,所以(/(x),g(x)/z(x)) = l.12.证明：如果/(x)与g(x)不全为零，且/心)/(兀)+ 咻)g(兀)=(/(%), g(Q)，证明由于w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x),g(x)), /(X )与 g(x)不全为零，所以(/(x)，g(x))HO.两 边同时除以(/(Hg(Q)HO,有所以(弘(兀),咻)) = 1 .13.证明：如果〃(兀)|/(兀),〃(兀)|g(x),且〃(兀)为/(兀)与g(x)的一个组合，那么〃(兀)是/G)与 g(x)的一个最大公因式.证明由题意知d(x)是/(X )与g(x)的公因式.再由条件设d(x) = w(x)/(x) + v(x)^(x) •又设h(x) 为/(x)与g(x)的任一公因式，即/z(x)|/(x), h(x)\g(x),则由上式有h(x)\d(x).故而”(兀)是/(兀)与 g(x)的一个最大公因式.14.证明：(.fO)/2(X ), gO)/2(X )) = (.f(X ), g(x))〃(x),其中力(兀)的首项系数为 1.证明显然(/(x), g(x))/?(x)是f{x)h{x)与g(x)h(x)的一个公因式.下面來证明它是最大公因式. 设 /心),v(x)满足 w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x), g(X>),贝iJu(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = (/(x),g(x))/z(x).由上题结果知，(/(兀),g(X ))/7(X )是/(X )/?(X )与g(JC”7(X )的一个最大公因式，又首项系数为1,所以(/(x)A(x), ^(%)/?(%)) = (/(x), ^(x))/i(x)・/⑴ g (兀)、(/(兀),g (兀))’(f(x),g(x))丿证明设〃(兀)=(/(兀),g(x)),则存在多项式M (x), v(x),使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)・因为/(X )与g (尢)不全为零，所以d(x)HO.上式两边同时除以〃(兀)，有故 /(兀) _____________ g (x)l (/(x),g(x))‘(/(x),g(x))‘u(x) /(X ) (/(%), g(x)) + v(x) g(x) (y (x ),^(x ))15.设多项式/(x)与gS)不全为零，证明1 = u(x)/(兀)(/(兀),g(x))+咻)g(x) (/(兀),g(x))=1成立.16. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解兀4+ 1为不可约因式之积.在有理数域上兀°+1是不可约多项式.否则，若+ +1可约，有以下两种可能.(1) 兀4+1有一次因式，从而它有有理根，但/(±1)工0,所以卍+1无有理根.(2) x 4+ 1 无一次因式，设x 4+1 = (x 2+处 +方)(F +cx + d),其中 a,b y c,cl 为整数.于是a + c = O, b+ 〃 + ac = O, cut + be = 0 , bd = \,又分两种情况：① b = d = \,又 a = —c,从而由 b + 〃 + ac = O,得 a 2=2,矛盾； ② b = d = — \,则 a 2= —2 ,矛盾.综合以上情况，即证.17. 求下列多项式的有理根： (1) /(x) = x 3-6x 2+15兀一 14 ；(2) ^(X ) = 4X 4-7X 2-5X -1；(3) /z(x) = x 5+ %4— 6x^ — 14x~ — 1 lx — 3 ・解(1)由于/(x)是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为-14的因数.-14的 因数有：±1, ±2, ±7, ±14,计算得到:/(D = -4, /(-1) = -36, /(2) = 0, /(-2) = -72,/(7) = 140, /(-7) = -756, /(14) = 1764, /(一 14) = —4144,故x = 2是/(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = 2是于(兀)的单根.⑵ 类似(1)的讨论可知，g(x)的可能的有理根为:故x = --是巩兀)的有理根.再由多项式除法可知，兀二-丄是/(劝的2重根.2 2⑶ 类似地，加兀)的可能的有理根为：±1,±3,计算得到解在实数域上的分解式为X4+ 1 = (X 2 + 1)2-2X 2 =(X 2+V2X + 1)(X 2-V2X +1).在复数域上的分解式为x + ----------1 2 2%4+ 1 = f亠迈亠近、X ---------- 12 2/±1, ±1 ±?计算得到g(l) = -9,g(-1) = 1, g(］、r 、171=-5, g —=0, g — 一 —‘ g —〔2< 264 ,4丿11A(l) = -28, /?(-l) = 0,(3) = 0,加一3) = -96.故x = -l, x = 3是//(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = -\是/z(x)的4重根，兀=3是//(兀)的单根.18.若实系数方程x34- px + q = 0有一根a + bi (a,b为实数，/?工0),则方程x3 + px-q = 0有实根2—证明设原方程有三个根不失一般性，令=a + bi,从而有a2 =a-bi,由根与系数的关系可知0 = $ + 冬 + 他=(° + 勿)+ (a - bi) + ,所以冬二-2d，即(-2a)‘ + /?(-2a) + g = 0，故(2a)' + p(2a)-q = 0.这说明x3 + /zr-g = 0有实根2a .19.证明：如果(%-i)|/(r),那么证明因为u-i)|/(z),所以/(r)= /(i)= 0.因此，令y(x)=(x-i)g(x),则有E =(*-i)g(;),即(伙-1)|/(疋).20.下列多项式在有理数域上是否可约？(1)土 (%) = F+1；(2)/；(X)= X4-8?+12X2+2；(3)人(x) = x" +『+1 ；(4)厶(无)=* + "； + 1,门为奇素数；(5)厶(兀)=兀°+4尬+ 1, A为整数.解(1) ./；(兀)的可能的有理根为：±1,而/(±1) = 2,所以它在有理数域上不可约.(2)由Eisenstein判别法，取素数p = 2,则2不能整除1,而2|(-8), 2|12, 2|2,但是2?不能整除2,所以该多项式在有理数域上不可约.(3)令x=y + l,代入厶(x) = P+x'+l有^(y) = ^(y + l) = / + 6/+15/+21/+18y24-9y4-3.取素数0 = 3,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以/(兀)在有理数域上不可约.(4)令兀= y_l,代入f4(x) = x p 4-px + 1,得g(y)=厶(y j) = -+ cy~2——C；-2y2 + (Cf* + p)y-p，取素数p,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以£(兀)在有理数域上不可约.(5)令x=y + l,代入农(兀)=兀4+4Ax+l,得g(.y)=厶(y +1) = y" + 4y‘ + 6y2 + (4k + 4)y + 4R + 2 ,収素数p = 2,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以点(兀)在有理数域上不可约.1•设/(X)，g(X)，加兀)是实数域上的多项式，(1)若/2U) = xg2(x) + x/z2(x),则/(x) = g(x) = h{x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题是否成立？证明(1)当g(兀)=/2(兀)=0时，有严⑴=0,所以/(%) = 0 ,命题成立.如果g(x), /z(x)不全为零，不妨设g(x)H0・当h(x) = 0时，a(xg2(x) + x/i2U)) = l + 2a^(x)为奇数；当加兀)工0时，因为g(x),瓜兀)都是实系数多项式，所以Xg2(x)与兀胪(兀)都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有d(xg2(x) + x/『(x))为奇数.而这时均有/2(x)^0 ,且df\x) = 2df(x)为偶数,矛盾.因此有g(兀)=力(兀) = 0,从而有f(x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题不成立.例如，设f(x) = 0 , g(x) = x\ h(x) = ix,1,其中斤为自然数, 有/2 (x) = xg2 (x)xh2 (x),但g(x) / 0 ,力(兀)工0.2.设/(x), g(x)9 h(x)e P[x],满足(x2 4-l)h(x)4-(x-l)/(x) + (x+2)g(x) = 0,(x2 + l)/?(x) + (x+ l)/(x) + (x - 2)^(%) = 0.证明(X2+1)|(/U), g(X))・证明两式相加得到2(x2 + l)h(x) + 2x(/(x) + g(兀))=0.由(x2+l,兀)=1可知(x2 + l)|(/(x) + g(x)).两式相减得到-2f(x) + 4g(x) = 0, f(x) = 2g(x).故(x2 + l)|/(x), (x2+l)|g(x), BP(X2+1)|(/(X),g(x)).3・设gi(x)g2(x)\f{(x)f2(x),证明(1)若/(x)|g](x)，/(X)H0,则g2(x)\f2(x)；(2)若g2(x)|/；(x)/；(x),是否有g2(x)\f2(x)?解(1)因为gi(兀)g2(兀)庞(兀)£(兀)，/O)|gi(X)，故存在多项式h(x), h}(x)使得fl(x)f 2(x) = g](x)g 2(x)h(x\ g](兀)=Z (x)h }(x).于是/；(兀)£(兀)=/(兀)人(兀)g2(x)力(兀)•由于 土(兀)工0,故有 f 2(x) = h l (x)g 2(x)h(x),即g 2(x)\f 2(x).(2)否•例如取 g {(x) = x-2 , ^2(X ) = X 2-1 , (x) = (x-l)(x-2), (x) = (x + l)(x4-2).虽 然 gSx)g 2(x)\f^x)f 2(x)且 g 2(x)\f {(x)f 2(x),但 g 2(x)不能整除 f 2(x).4.当R 为何值时，/(x) = X 2 +伙+ 6)x + 4k + 2和g(x) = F+(£ + 2)x + 2R 的最大公因式是一次 的？并求出此吋的最大公因式.解 显然 g(x) = (x + £)(x+2).当(/(x),g(Q) = x + 2时'/(一2) = 4 — 2伙+ 6) + 4£ + 2 = 0‘ 则k = 3.当(于(兀),g(Q )=兀 + £ 时’/(一灯=k 2 - k(k + 6) + 4Z: + 2 = 0 ‘ 则 k = l.这时(/(x), g(x))=兀+1. 5.证明：对于任意正整数斤，都有(/(x),g(Q)"=(/"(x),g"(x))・证明 由题意可知/(%)与&(兀)不全为零.令(/(x), g(x)) = d(x),Z 、” g(x) 、d(x)丿/心)/"(兀)+ 咚)g"(兀)=d\x).又由 d(x)\f(x), d(x)|g(x),有 d n (x) f l \x), d"(x) g"(x),因此 d"(x)是厂(x)与 g"(x)的首项系数为1的最大公因式，从而有(广(x),g"(x))= 〃"(兀)=(/(x),g(x))" •6.设 / (x) = af(x) + bg(x), g[ (x) = c/(x) + dg(x),且 ad - be H 0 ,证明(/(x),g(x)) = (/](x), g](X ))・证明设(/(x), g(x)) = d(x),则 d(x)\f(x\d(x)\g(x).由于 “所以对任意正整如，有爲J 寫〕"卜 于是有u{x) +咻) 则〃(兀)工0,从而fi (兀)=妙(x) + bg(x) , g] (x) = (x) + dg (x),故d (x)| (x), d (x)|g t (x).又设h(x)\ (x), /z(x)|(x),由上式及ad-bc^O ,可得从而/?(x)|/(x), h(x)\g(x),于是h(x)\d(x),即〃(兀)也是/；(兀)和g|(x)的最大公因式，即(/(x), g(x)) = (/；(x),&(兀))・7.设 /(x) = t/(x)/(x), g(Q 二 dCr)g](x),且/O)与 gd)不全为零，证明〃(兀)是/O)与 gCO的一个最大公因式的充分必要条件是(/(劝,g|(x)) = 1.证明必要性.若〃(x)是/(兀)与g (兀)的一个最大公因式，则存在多项式w(x),v(x)使W (x)/(x) +v(x)g(x) = d(x),于是u(x)d(x)f t (x) + v(x)d(x)g l (x) = d(x).由/(力与g (兀)不全为零知如工0,因此有u(x)f l (x) + v(x)g l (x) = l f 即(土(兀),g©))i •充分性.若(f l (x),g l (x)) = l ,则存在多项式u(x),v(x),使 u(x)f l (x)+ v(x)g l (x) = l. 两边同吋乘〃(兀)有u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)・由d(x)是/(x)与g(x)的一个公因式知，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.8.设于(兀)和g(x)是两个多项式，证明(f(x), g(x)) = l 当且仅当(f(x)-l-g(x), f(x)g(x)) = l. 证明 必要性.设(f(x)9g(x)) = l,若f(x) + g(x)与/⑴g(x)不互素，则有不可约公因式p(x), 使p(x)lf(x)g(x)f所以 p(x)| /(X )或 0(x)|g(x).不妨设 p(x)\ /(x),由 P (x)|(/(x) + g (兀))可知 p(x)|g(x),因此 P (兀)是 /(兀)和g“)的公因式,与/(%), g (x)互素矛盾,故 蚀+g (兀)与蚀g (兀)互素.充分性.设(/(兀)+ gO) J(x)g (兀)) = 1,则存在w(x), v(x)使(/(兀)+ g (兀))心)+ /(x)g(x)v(x) = 1 , f(x)u(x) + g (兀)(臥兀)+d ad-be zw- h ad 一gi (兀)， g(x) -c ad -be a ad -be g](x)，/(x)v(x)) = 1, 上式说明(/(兀),g(兀)) = 1.9.如果(x2 +x + l)|/j(x3) + x/^(x3),那么(x-l)|/；(x), 0 — 1)|/；(兀)・T；®所以，^3=£23 = 1.证明X2+X + l的两个根为£\= 士护和£2=因为U2+x+l)|(/；(^3) + x/；(^3)),所以(兀一£|)(x - £2)|/；(X')+/(F)，故有y 窗)+ £/(郃)=0,［爪哥)+ £2£(哥)=0,即解得/(l) = /；(l) = o,从而(兀—1)|久(兀)，(x-1)|/；(%).10.若f(x)\f(x H),则/(x)的根只能是零或单位根.证明因为f(x)\f(x n),故存在多项式g(x),使/(x n) = /(x)^(x).设。

习 题 1-11．计算下列二阶行列式： （1）xx 11； （2）ααααsin cos cos sin -．解 （1）()11112-=-=x x xx ．（2）1)cos (sin sin cos cos sin 22=--=-αααααα．2．计算下列三阶行列式：（1）121223112--； （2）00000d c b a ； （3）222111c b a c ba； （4）cb a b a ac b a b a a cb a ++++++232． 解 （1）原式5)2(2213)1(12112)1()2(31122=-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯=． （2）原式00000000000=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=dc b a c ad b ． （3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc ---=---++=． （4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +-++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++-+++-．3．证明下列等式：=333231232221131211a a a a a a a a a 3332232211a a a aa 3331232112a a a a a -3231222113a a a a a +．证明 333231232221131211a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=)()()(312232211331233321123223332211a a a a a a a a a a a a a a a -+---=3332232211a a a a a =3331232112a a a a a -3231222113a a a a a +．4．用行列式解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=+=+643534y x y x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++-=+-1236132321321321x x x x x x x x x ．解 （1）74334==D ，246351==D ，963542==D ，所以 721==D D x ，792==D D y ． （2）23213111132-=--=D ，232111161311-=----=D ， 462131611122-=---=D ，691136111323-=---=D ； 所以 111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．习 题 1-21．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）4321； （2）2314； （3）1243； （4）3142；（5）)2(42)12(31n n -； （6）2)22()2()12(31 --n n n ．解 （1）是标准排列，其逆序数为0； （2）逆序有（4 1），（4 3），（4 2），（3 2），所以逆序数为4． （3）逆序有（3 2），（3 1），（4 2），（4 1）,（2 1），所以逆序数为5． （4）逆序有（2 1），（4 1），（4 3），所以逆序数为3． （5）逆序有（3 2） 1个 （5 2），（5 4） 2个 （7 2），（7 4），（7 6） 3个 …………………（)12(-n 2），（)12(-n 4），（)12(-n 6），…，（)12(-n )22(-n ） )1(-n 个所以逆序数为 2)1(21-=+++n n n ． （6）逆序有（3 2） 1个 （5 2），（5 4） 2个 …………………（)12(-n 2），（)12(-n 4），（)12(-n 6），…，（)12(-n )22(-n ） )1(-n 个 （4 2） 1个 （6 2），（6 4） 2个 …………………（)2(n 2），（)2(n 4），（)2(n 6），…，（)2(n )22(-n ） )1(-n 个所以逆序数为 )1(12)1()1(21-=+++-+-+++n n n n ．2．写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项．解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p a a a a τ-，其中τ为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++，所以44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.3．在5阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？ （1）5145342213a a a a a ； （2）2544133251a a a a a ； （3）2344153251a a a a a ； （4）4512345321a a a a a ． 解 （1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号． （2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号．（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号． （4) 因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．若n 阶行列式)det(ij a =D 中元素ij a ),,2,1,(n j i =均为整数，则D 必为整数．这一结论对吗？为什么？解 这一结论正确，因整数经乘法运算后仍为整数，而D 为元素的乘法的代数和，因此结果仍为整数．5．证明：若n 阶行列式中有n n -2个以上的元素为零，则该行列式值为零．证明 因n 阶行列式中有2n 个元素，而有n n -2个以上元素为零，故不为零的元素的个数小于n ．从而，在行列式展开式中的n 个元素的乘积项中至少有一个元素为零，所以乘积为零，代数和也为零，故该行列式的值为零．6．用行列式定义计算下列行列式：（1）0001100000100100； （2）0100111010100111； （3）nn 0000000010020001000-； （4）011,22111,111n n n n a a a a a a --． 解 （1）在展开式43214321)1(p p p p a a a a∑-τ中，不为0的项取自于113=a ，122=a ，134=a ，141=a ，而4)3241(=τ，所以行列式值为11111)1(4=⨯⨯⨯-． （2）在展开式43214321)1(p p p p a a a a∑-τ中，取14344==a a p ，则33p a 取为⎪⎩⎪⎨⎧====1134332333a a a a p p ，则⎪⎩⎪⎨⎧====1122224222a a a a p p ，11p a 取为111=a ，除此之外的项均为0．即行列式 4334221143322411)1()1(a a a a a a a a D ττ-+-=，而 2)1423(=τ，1)1243(=τ， 所以 0)1()1(2=-+-=D ．（3）在展开式n np p p a a a2121)1(∑-τ中，不为0的项取为11,1=-n a ，22,2=-n a ，…，11,1-=-n a n ，n a nn =，而 2)1)(2()1)2)(1((--=--n n n n n τ，所以 !)1(2)1)(2(n D n n ---=．（4）在展开式n np p p a a a 2121)1(∑-τ中，不为0的项取n a 11,2-n a …1n a nn a ．而2)1()1)2)(1((-=--n n n n n τ，所以 11,212)1()1(n n n n n a a a D ---=．习 题 1-31．设0333231232221131211≠==a a a a a a a a a a D ，据此计算下列行列式： （1）131211232221333231a a a a a a a a a ； （2）333231232221131211a ka a a ka a a ka a ； （3）333231131211232221444333222a a a a a a a a a ； （4）323233312222232112121311253225322532a a a a a a a a a a a a ------． 解 （1）a a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a -=-↔33323123222113121131131211232221333231； （2）ka a a a a a a a a a k k k r a ka a a ka a a ka a =≠÷3332312322211312112333231232221131211)0(， 当0=k 时，结论仍成立．（3）33323123222113121121333231131211232221444222333444333222a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a -↔ a a a a a a a a a a r r r 24)24(423333231232221131211321-=-÷÷÷．（4）3233312223211213113232323331222223211212131123223223225253225322532a a a a a a a a a c c a a a a a a a a a a a a ---------- a a a a a a a a a a c c a a a a a a a a a c c c 121212)2(3233323123222113121132323331222321121311321=↔-÷÷÷． 2．用行列式性质计算下列行列式：（1）111210321； （2）333222111321321321a a a a a a a a a +++++++++； （3）efcfbfde cd bdaeac ab ---；（4）yxyx x y x y yx y x+++；（5）28947104546333412------； （6）2605232112131412-． 解 （1）0111210000111210321321=--r r r ． （2）02112112113213213213211213333222111=+++--+++++++++a a a cc c c a a a a a a a a a ．（3）0202001321c e ec b adf rr r r e c be c b ec b adf ef cfbfde cd bdae ac ab-++---=---abcdef ec ecbadf r r 420002032=--↔． （4）yxyx x y x y x y x y y x c c c yxyx x y x y y x y x222222321++++++++++xy yy x y x y y x r r r r ---++--00)(21223 2)22()()22(y y x x y x y x +--+=)(2))((23322y x y x xy y x +-=--+=．（5）由于行列式中的第一列和第三列元素对应成比例，所以028947104546333412=------． （6）000002321121314122605232112131412214=----r r r ．3．把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：（1）3351110243152113------； （2）107825513315271391-------．解：（1）2113110243153351335111024315211341-------↔------r r 11101605510019182403351325141312---------+r r r r r r 111016019182401120335155323------↔÷r r r 2000320011203351533200760011203351581243432423-----↔+------+r r r r r r r r 402)2(215=⨯-⨯⨯⨯-=． （2）78130210017251307139121078255133152713*********------++---------r r r r r r r31224000210017251307139117324-=-----++r r r ．4．用行列式性质证明下列等式：（1）yxzx zyz y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax )(33+=+++++++++； （2）333222111333332222211111c b a c b a c b a c c b kb a c c b kb a c c b kb a =++++++； （3）0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ． 证明 （1）bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开列按第左边1bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ bzay y zby ax x y bxaz z xab bz ay x zby ax z ybxaz y xa +++++++22分开列分别再按第bzay y xby ax x z bxaz z y b bz ay x xby ax z zbx az y y ab ++++++++2 z y z y x yx z xab y y z x x y zz xb a z x z y zy xy xb a y xzx z yzy xa 22233+++分开列分别再按第 zy xy x z x z yb y y x x x zzz yab z x xy z zxy yab y xxx z zzy y b a 3222++++ zy x y x zx z yb y x zx z yzy x a 330000+++++= =-+=y x z x zy zy xb y xzx z yzy x a 323)1(右边． （2）左边=-+++-3331221112133331222111132c b a c b a c b a kc c c b kb a c b kb a c b kb a c c 右边． （3）左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 062126212621262123222221312=++++--d d c cb b a ac c c c ．5．计算下列n 阶行列式：（1）)1(3210321102113011321--------------n nn n n n n n；（2）1121122112111211111-----+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a；（3）a b b b b a b b bb a b bb b a ；（4）11111000000000112211-----n n a a a a a a ； （5）xa a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n -+-+-+-+-------113211232113221132111321．解 （1）)1(3210321102113011321--------------n nn n n n n n!0000210002)1(23002)1(262021321,,3,21n nn n nn n n nn n i r r i =----=+．（2）1121122112111211111-----+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a∏-=--==-11121121100000001,,3,2n i i n n i b b b b a a a ni r r．（3）a b b b b a b b b b a b bb b a ab b bn a b b a b b n a ba b n a bb b b n ac c n i i)1()1(0)1()1(21-+--+-+-++∑= ni r r i ,,21 =-ba b a b a b b b b n a ----+00000)1()(])1([1b a b n a n --+=-．（4）11111000000000112211-----n n a a a a a a nn a a a n i c c n i i 13210000000000001,,2,11211-----=+-+∏-=--=111)1(n i i n a n ．（5）x a a a a a a a xa a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n -+-+-+-+-------113211232113221132111321xa xa x a x a a a a a a n i r r n n n n i ----=----12211321100000000000,,3,2)())((1211x a x a x a a n ---=- ．6．解下列方程：（1）0913251323221321122=--x x ； （2）0)1(11111)2(111112111111111111=------xn x n x x．解（1）因22341222400051320010*******2513232213211x x r r r r x x ------1221)4)(1(22x x --=0)4)(1(322=--=x x 所以解为 1±=x ，2±=x ．（2）因左边n i r r i ,,3,21 =-xn x n x x ------)2(00000)3(000001000000111110])2[()1(=----=x n x x ，所以解为 2,,2,1,0-=n x ．习 题 1-41．求行列式342102321-=D 中元素3和4的余子式和代数余子式．解 3的余子式8420213==M ，3的代数余子式8)1(133113=-=+M A ． 4的余子式5123132-==M ，4的代数余子式5)1(322332=-=+M A ． 2．已知210004321333231232221131211==a a a a a a a a a D ，求333231232221131211a a a a a a a a a ．解：因为21)1(1000432133323123222113121111333231232221131211=-⋅==+a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ，所以 21333231232221131211=a a a a a a a a a ．3．已知四阶行列式D 的第3行元素依次为1,1,2,2-，它们的余子式依次为4,3,2,5，求行列式D ． 解 将行列式D 按第三行元素降阶展开，有3434333332323131A a A a A a A a D +++=4)1()1(3)1(12)1(25)1(243332313⋅-⋅-+⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=++++13=4．设四阶行列式的第二行元素依次为0,1,,2x ，其余子式分别为y ,2,6,2-，第三行的各元素的代数余子式分别为5,1,6,3，求此行列式．解 因03424332332223121=+++A a A a A a A a ，即05011632=⨯+⨯++⨯x ，所以 67-=x ．从而 2424232322222121A a A a A a A a D +++=y x ⋅-⋅+-⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=++++42322212)1(0)2()1(16)1(2)1(2 97262-=--=+-=x ．5．按第三行展开并计算下列行列式：（1）5021011321014321---； （2）00000000052514241323125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a a ． 解：（1）原式501211431)1()1(502210432)1(33213--⋅-+--⋅=++ 021101321)1(0521201421)1()1(4333++-⋅+--⋅-+24181218-=-+-=． （2）原式=0000)1(000000)1(514125242321151413112323524225242322151413121331a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++-⋅+-⋅ 353433000A A A ⋅+⋅+⋅+00025242315141341232524231514134231a a a a a a a a a a a a a a a a += 0=．6．证明下列各等式：（1）322)(11122b a b b a ab ab a -=+；（2）444422221111d c b a d c b a dc b a ))()()()()()((d c b a d c d b c b d a c a b a +++------=； （3）n n n n n n na x a x a x a x a a a a xx x ++++=+-------1111221100000100001．证明 （1）左边122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((ab a a b a b +--==-=3)(b a 右边．（2）方法一左边44444442222222001ad a c a b a a d a c a b a a d a c a b a---------=)()()(4,3,22222222222222221a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b i c c i ---------=-)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b ++++++---=))()((1312a d a c a b c c c c -----)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ ))()()()((b d b c a d a c a b -----=)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-．方法二记D d c b a d c b a d c b a =444422221111，构造矩阵444443333322222111111x d c b a x d c b ax d c b a xd c b aD =，则1D 是范德蒙德行列式，其结果为))()()()()()()()()((1d x c x b x a x c d b d a d b c a c a b D ----------=，其中3x 的系数为))()()()()()((d c b a c d b d a d b c a c a b +++-------．由行列式的降阶展开法则知，55445335225151A x A x A x xA A D +-+-=，其中3x 的系数D A =-45，所以有))()()()()()((d c b a c d b d a d b c a c a b D +++------=，即444422221111d c b a d c b a dc b a ))()()()()()((d c b a d c d b c b d a c a b a +++------=． （3） 用数学归纳法证明 当2=n 时，2121221a x a x a x a x D ++=+-=，命题成立．假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D列展开按第则1n D1110010001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.7．计算下列各行列式：（1）3214214314321111； （2）ab c d e ed c b a 010000010000010；（3）328814412211111x x x--； （4）nn a a a a a 0100000000000010001321-． 解 （1）原式12312112112341213121200014,3,21------=------=-i c c i12304012112------r r 1613114=----=．（2）依次按第二行、第三行、第四行降阶展开，有abc d e edc ba 0100000100001022e a a e e a -==．（3）由范德蒙德行列式的结果知，328814412211111x x x--)4)(1(12)12)(22)(12)(2)(2)(1(2--=-----+--=x x x x x ． （4）依次按第1,,3,2-n 行降阶展开，有nn a a a a a 000100000000000010001321 -)1(1111321132-==--n n n n a a a a a a a a a a ．8．计算下列各行列式（k D 为k 阶行列式）：(1)xyy x x y x y x n 0000000000000000=D ；(2)n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=1111321321321321D ；(3))det(ij n a =D ，其中||j i a ij -=；(4)nn a a a +++=11111111121D ，其中021≠n a a a ；(5)1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a n n n n n n n ------=---+D ；（提示：利用范德蒙德行列式的结果．）(6)nnnnn d c d c b a b a11112=D ，其中未写出的元素都是０．解 （1）按第１列降阶展开，有yxy y x yy xyx x y x x D n n0000000000)1(00000000001+-+=n n n y x 1)1(+-+=． （2）nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=1111D 3213213213211001010100111,23211---+=-ni a a a a ni r r∑=+ni ic c 211010*********n ni ia a a a ∑=+∑=+=ni i a 11．（3）ji a ij -=0432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n1,,2,11-=-+n i r r i i 0432111111111111111111111 --------------n n n nn i c c i ,3,21=+152423210222102210002100001---------------n n n n n212)1()1(----=n n n ．（4）nn n nn ni na a a a a a a n i c c D +----=--11001001001,,2,1121Xa a a r a a r n n i i i n n 010010010012111--=∑+（其中∑-=++=111n i in n a aa X ）)11()11(12111121∑∑=-=-+=++=ni in n i i n n n a a a a a a a a a a ．（5）对第1+n 行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第１行，共需交换n 次．再把新的第1+n 行，依次与上面相邻的行交换，直至交换到第２行，共需交换1-n 次．依次类推，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-⋅-⋅-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i ．（6）nnnnn d c d c b a b a D11112=n n n n n nd d c d c b a b a a 0011111111----展开按第一行)1(1111111112nn n n n nn c d c d c b a b a b ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 展开都按最后一行，由此得递推公式222)--=n n n n n n D c b d a D ，所以 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(，而 111111112c b d a d c b a D -==，所以 ∏=-=ni i i iin c b da D 12)(．习 题 1-51．用克拉默法则解下列方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++-=--+-=---=+++4326324231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=+++-=+-+=+++25320112324254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ．解 （1）276741212060311512=-----=D ， 8167402125603915181=------=D ，10867012150609115822-=-----=D ， 2760412520693118123-=---=D 2707415120903185124=-----=D ， 由克拉默法则知，方程组的解为311==D D x ，422-==D D x ，133-==D D x ，144==D Dx ． （2）1531321113221133211-=------=D ， 15313241136211432111=---------=D ，15313411162214332112=--------=D ， 014211632241331113=-------=D ，15343216132411312114-=------=D ；由克拉默法则知，方程组的解为111-==D D x ，122-==D D x ，033==D D x ，144==D Dx ． （3）14251321121341211111=----=D ，142513211210412211151=------=D 284512211203412111512=-----=D ， 426523211013422115113=----=D ， 14221320213212151114-=-----=D ，由克拉默法则知，方程组的解为111==D D x ，222==D D x ，333==D D x ，144-==DDx ． 2．设曲线332210x a x a x a a y +++=通过四点),4,2(),3,1(),3,3()3,4(-，求系数3210,,,a a a a ．解 由于曲线过四点，所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=+++=+++=+++36416432793484233210321032103210a a a a a a a a a a a a a a a a而126416412793184211111==D ，3664164327933842411131=-=D ，1864163127931844111312-=-=D ， 246434127331842113113=-=D ，6316413931442131114-=-=D ， 所以310==D D a ，2321-==D D a ，232==D D a ，2143-==D D a ． 3．证明：对任意实数k ，线性方程组⎩⎨⎧=-+-=+-0)1(20)1(2121x k x kx x k 只有零解．证明 因系数行列式012)1(12122≠+=+-=---=k k k k k k D ，所以线性方程组只有零解．4．问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(3121321x x x x x x x λλλ有非零解？ 解 系数行列式)210(4)4)(6)(5(402062225λλλλλλλ-----=---=D )8)(2)(5()82410)(5(2---=-+--=λλλλλλ，当0=D 时，即8,2,5===λλλ时，齐次线性方程组有非零解．5．问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式μλμμμλ-==12111113D ， 当0=D 时，即10==λμ或时，齐次线性方程组有非零解．,l β能由,m α线)m α 等于 12,,)m l R αβββ,,,。

第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解 由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

1、22220a ab a b ab ab ab b=⋅-⋅= 2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b aa bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+---------920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++---45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+----20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)011w w w w w ww w w w w w w w w w w w +⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663x xxx x x x x x x x xx =++---=-+9、143000400400431(1)043425604324324321+-=-=-按第行展开10、公式：111112111222222122112212000000000000n n nn nn nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,11100000000(1)n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：101000010000100200002010(1)10080000800900009010+-⋅按第行展开9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、31111111*********00311*(2)8111100204111112----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即123412341234211132341134101131031101022234121412022211141412311230111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、5042111111112101121112102114324741204120032415311115420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）3656411111111111111125453254530327503275363422546503287000122546536342030750020011111365640329700022------===--- 根据课本20页公式（1.21），原式012112003*41203022=-=-=-（）15、1200340012132*16001334510051-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*220000*********01000024000240101100013-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22）23001121120030212(1)30212*(5)6000240312401240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!030004000500B ---==------=----所以 3*5*(1)||||3!5!0A AB B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b xb xc a b x a x b c x a b x b x c a b x a x b c a b x b x c a b x b c a b c x a b x b c x x a b c a b x b c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、11111111211111003111110041111100xx x x x y x yyxy++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()000x x x xy y xx xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开 2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b ac aabc b ac a b a c a a b c b a c a --==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b a c a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac a b ab a b a c a c ac b ab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a a bb b a b a b ac a c a b a c c c a c a =--=------- 整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a a b a c a c b b b c c ---=故原式得证。